Capitulo 1 Introduccion Version 2012

Mecnica Estructural Escuela de Posgrado PUCP CAPITULO 1: Introduccin

Profesor del curso: Jos Acero Martnez 1

CAPITULO 1: INTRODUCCION

1.1 Conceptos Bsicos

- Partcula es una cantidad de materia (o masa) de tamao despreciable, que ocupa el lugar de un punto en el espacio.

- Cuerpo es una coleccin de partculas que pueden tratarse como un solo objeto. - Estructura es un conjunto de cuerpos conectados entre s y apoyados de tal

manera que puedan resistir y transmitir solicitaciones (cargas) hasta sus apoyos. Las Figuras 1.1 y 1.2, muestran los conceptos de partcula, cuerpo y estructura sobre una presa en arco de concreto, apoyada sobre un macizo rocoso.

Figura 1.1. Presa en arco de concreto, que muestra una partcula

Figura 1.2. Presa en arco de concreto, que muestra una cuerpo

1.2 Objetivo de la Mecnica Estructural Objetivo de la mecnica es describir y predecir el comportamiento de partculas y cuerpos bajo la accin de solicitaciones externas. El comportamiento se refiere a la respuesta estructural: desplazamientos (,), deformaciones (,) y fuerzas internas (N, V, M, T) que pueden relacionarse con los esfuerzos (,). Las solicitaciones externas o del medio ambiente son por ejemplo: cargas, cambios de temperatura, fuerzas ssmicas, movimientos de apoyos, etc.



1.3 Clasificacin de la Mecnica Clasificacin de la mecnica.- 1) Mecnica de slidos - Mecnica de slidos rgidos - Mecnica de slidos deformables 2) Mecnica de fluidos 1.4 Breve Enfoque Histrico de la Mecnica o Resistencia de

Materiales En Egipto, se conoce al primer ingeniero cuyo nombre es: IMHOTEP, quien fue el constructor de la pirmide escalonada o con gradas de Sakkara alrededor de 3000 A.C. (Figura 1.3). Se construyeron monumentos, templos, pirmides y otras obras civiles.

Figura 1.3. Pirmide escalonada de Sakkara (3000 A.C.)

En Babilonia, se da a conocer el Cdigo Hammurabi (1750 A.C), que incluye 282 leyes; entre ellas hay penalidades, para aquellos constructores que provocaban el colapso de una casa. En http://es.wikisource.org/wiki, se encuentra:

Ley 229: Si un arquitecto hizo una casa para otro, y no la hizo slida, y si la casa que hizo se derrumb y ha hecho morir al propietario de la casa, el arquitecto ser muerto.

Ley 230: Si ello hizo morir al hijo del propietario de la casa, se matar al hijo del arquitecto.

-Esttica -Dinmica

-Teora Clsica

Teora de Elasticidad Teora de Plasticidad



Ley 231: Si hizo morir al esclavo del dueo de la casa, dar al propietario de la casa esclavo como esclavo (un esclavo equivalente).

Ley 232: Si le ha hecho perder los bienes, le pagar todo lo que se ha perdido, y, porque no ha hecho slida la casa que construy, que se ha derrumbado, reconstruir a su propia costa la casa.

Ley 233: Si un arquitecto hizo una casa para otro y no hizo bien las bases, y si un nuevo muro se cay, este arquitecto reparar el muro a su costa.

En Grecia, se desarroll el estudio de la Esttica, como ciencia. Su mximo representante fue ARQUMEDES (287-212 A.C.), quien estudi las condiciones de equilibrio de la palanca, la ubicacin de los centros de gravedad, el empuje, la flotacin y construy dispositivos de izaje. Arqumedes desarroll la relacin entre la superficie y volumen de esfera y cilindro (Ver Figura 1.4).

Figura 1.4. Relacin entre la superficie y volumen de esfera y cilindro (Arqumedes)

En Roma, se construyeron grandes templos, caminos, puentes y fortificaciones. Inventaron los arcos pero por falta de conocimientos tericos, no siempre usaron la forma ms eficiente. Marcus Vitrovius Pollio (70?-25 A.C.), es el autor de De Architecture, son 10 libros sobre construcciones de edificios y mquinas. Una de las notables construcciones romanas es el Pantheon, una edificacin de concreto y albailera, cuyo dimetro de la cpula es de 43 m (Figura 1.5) y posee una abertura en el centro de la misma (Figura 1.6). El Pantheon fue construido inicialmente por Agrippa (30 A.C. aproximadamente) y culminado por Adriano (Entre 118 y 128 D.C.) En la Edad Media, el conocimiento acumulado por griegos y romanos se pierde en este perodo (o se dedica a aplicaciones militares), este periodo es denominado el periodo oscuro. Se construyen edificaciones con muros de menor espesor de mampostera como la mezquita de Hagia Sophia, en la ciudad de Constantinopla, hoy Estambul en Turqua (Figura 1.7)



Figura 1.5. Vista area del Pantheon Figura 1.6. Abertura en la cpula

Figura 1.7. Hagia Sophia (construido entre los aos de 532 a 537)

En el Renacimiento, muchos artistas se dedican a la arquitectura y la ingeniera. LEONARDO DA VINCI (1452-1519) es el ms notable. Aplic el principio de trabajos virtuales, hizo estudios experimentales sobre la resistencia de materiales estructurales. Hasta el siglo XVI, los ingenieros solamente se basaban en la experimentacin y su buen juicio para disear. En el Siglo XVII, GALILEO GALILEI (1564-1642) se interes en los trabajos de Euclides y Arqumedes, luego apoy las teoras de Coprnico sobre el sistema planetario. Recluido por la inquisicin, escribi el libro que constituye la primera publicacin sobre resistencia de materiales, llamado Dos Ciencias Nuevas; entre los que habla sobre la flexin en vigas.



Contribucin de cientficos en la Historia de la Resistencia de Materiales segn S. Timoshenko GALILEO (1564-1642) Escribi el libro Dos Nuevas Ciencias, que trata sobre las propiedades de los materiales estructurales y la resistencia de vigas, es la primera publicacin en el campo de la mecnica de materiales, y marca el inicio de la historia de la mecnica de slidos deformables. Estudio el caso de traccin simple y flexin: Galileo asevera que la resistencia de la barra es proporcional al rea de la seccin transversal y es independiente de su longitud. A esta resistencia de la barra la llama la resistencia absoluta de rotura. La carga de rotura en traccin segn Galileo, aplicada a una barra (Figura 1.8), se determina con la ecuacin:

AP ROTURAROTURA

Figura 1.8. Carga en traccin de una barra

Si la misma barra trabajara como viga en voladizo (Figura 1.9 y 1.10a) con una carga en el extremo, Galileo asume que cuando ocurre la rotura, la resistencia est uniformemente distribuida en la seccin AB (1.10b). Pero si aceptamos la ley de Hooke, la distribucin de esfuerzos es la que se muestra en la figura 1.10c. Y se concluy que:

P (mxima, segn Galileo) = 3 P (mxima, si el material es elstico)

Figura 1.9. Barra en voladizo de Galileo Figura 1.10. Distribucin de esfuerzos



Los materiales reales no siguen la ley de Hooke hasta la rotura. La distribucin de esfuerzos en rotura es diferente a la figura 1.10c, por lo que no hay tanta diferencia entre la suposicin de Galileo y la realidad. Ejemplo 1.1. Demostrar que la carga mxima segn Galileo es 3 veces la carga mxima segn Hooke. Si se tiene una viga en voladizo con una carga P en su extremo (Figura 1.11) y usando la distribucin de esfuerzos elstico lineal (Ley de Hooke)

Figura 1.11. Viga en voladizo de longitud L, con esfuerzos elstico lineal

Se obtiene las fuerzas resultantes en compresin y traccin (Figura 1.12), Fc y Ft, respectivamente.

Figura 1.12. Fuerzas resultantes, con distribucin de esfuerzos lineal

La fuerza de traccin y de compresin son las mismas, teniendo un valor de:

4

2

2hbhbFF mxmxct

El momento resistente ser:

6

32)(

2hbhFFM mxctRESISTENTE

Si el momento mximo es igual al momento resistente se tendr:

6

2hbLP mxmx

Despejando la carga mxima se tiene:

LhbP mxHOOKEmx 6 2

Ahora, si se tiene una viga en voladizo con una carga P en su extremo (Figura 1.13) y usando la distribucin de esfuerzos uniforme sugerida por Galileo, se logra una solucin distinta.



Figura 1.13. Fuerza resultante, con distribucin de esfuerzos uniforme

Se obtiene la fuerza resultante hbmx (Figura 13), realizando equilibrio alrededor del punto O se obtiene:

2

2hbLP mxmx

LhbP mxGALILEOmx 2 2

Si comparamos la carga de Galileo con la carga de Hooke se tiene que la carga de Galileo es tres veces la carga de Hooke.

HOOKEmx

GALILEOmx PP 3

Robert HOOKE (1635-1703) hizo experimentos con resortes (Figura 1.14) los que dieron lugar en 1678, mediante el documento De Potentia Restitutiva a la ley de Hooke, donde indic que las deformaciones son proporcionales a las fuerzas, base de la mecnica de slidos.

Figura 1.14. Dispositivo experimental utilizado por Hooke

MARIOTTE (1620-1684) trabaj en la teora y experimentacin de la resistencia a flexin de vigas considerando propiedades elsticas del material.



Los hermanos Jacob BERNOULLI (1654-1705) y John BERNOULLI (1667-1748) desarrollaron herramientas matemticas para la curva elstica de deflexiones en vigas a flexin. Daniel BERNOULLI (1700-1782) y Leonard EULER (1707-1783) continuaron los estudios de deformacin en vigas. Euler al estudiar diferentes formas de la elstica con cargas inclinadas lleg al caso de carga en compresin y el pandeo. Las Academias de Ciencias reunan a los investigadores. Alrededor del Siglo XVIII, se establecen las primeras Facultades de Ingeniera. En 1747, se funda en Pars la Ecole des Ponts et Chausses (Escuela de Puentes y Canales) para la formacin de ingenieros especializados en la construccin de caminos, canales y puertos. GERARD, en 1798 publica Trait Analytique de la Rsistance des Solids. Sobre la flexin en vigas, da a entender que las teoras de Galileo y de Mariotte se aplicaban segn el tipo de material:

Frgil: Aplicar teora de Galileo, con distribucin uniforme de esfuerzos Elsticos madera: Aplicar teora de Mariotte, con distribucin triangular de esfuerzos.

PARENT, siguiendo el trabajo de Mariotte investig la flexin de vigas con secciones circulares. Corrige la distribucin de esfuerzos por flexin, en el rango elstico y en la rotura. COULOMB (1756-1806) es el de mayor contribucin del siglo XVIII, abarcando:

a) flexin y fuerza cortante en vigas; b) Estabilidad de muros de sostenimiento; c) Torsin y Pandeo; y d) Ley de la gravitacin universal

La figura 1.15, muestra el modelo de la balanza de torsin para evaluar la ley de gravitacin universal, este modelo se basa en fuerzas de torsin sobre una barra.

Figura 1.15. Balanza de torsin de Coulomb



Por el Siglo XIX, del Ecole Polytechnique salieron los investigadores Poisson, Gay Lussac, Cauchy y Navier. NAVIER (1785-1836), estudi la flexin de vigas, establece que el eje neutro debe pasar por el centroide en el rango elstico, la seccin plana antes de la deformacin permanece plana despus de la aplicacin de cargas. Fue el primero en analizar vigas hiperestticas, tomando en cuenta las condiciones de deformacin. YOUNG (1773-1829), desarroll la nocin del mdulo de elasticidad, que no pudo ser expresado por Hooke.

Cuando los matemticos se interesan en la Resistencia de Materiales se inicia el desarrollo matemtico de la Teora de Elasticidad, ver los trabajos de: Cauchy (1789-1857), Poisson (1781-1840), Lam (1795-1870), Clapeyron (1799-1864), Lagrange (1736-1813). SAINT VENANT (1797-1886), fue ingeniero civil y matemtico. Sus contribuciones fueron: 1) examinar la validez de las suposiciones fundamentales de la flexin: secciones planas permanecen planas despus de la flexin, las fibras longitudinales estn sometidas nicamente a traccin o compresin, y no hay esfuerzos transversales entre ellas (prob que stas se cumplen slo en flexin pura); 2) estudiar la deformacin de la seccin transversal por el efecto de Poisson (curvatura anticlstica); 3) estudiar el alabeo o deformacin debida al esfuerzo cortante. Adems desarroll la derivacin de las ecuaciones fundamentales de la Teora de Elasticidad, y present su teora para el estudio de la torsin en barras, por el mtodo semi-inverso. Otras contribuciones notables de la poca son: Jourawski 1844 (esfuerzos cortantes en vigas de puentes), Duhamel 1834 (integral para respuesta dinmica), Clapeyron 1857 (ecuacin de los tres momentos), Kirchoff 1850 (teora sobre flexin en placas), Kelvin (experimentos en termodinmica y las deformaciones), Maxwell (uso de luz polarizada para estudios de fotoelasticidad y trayectorias de esfuerzos). En la ltima parte del siglo XIX, destacan principalmente: incremento de la capacidad de los ensayos de laboratorio en materiales, Otto Mohr (mtodos grficos, lneas de influencia, teora de falla), Castigliano (teoremas de energa), Boussinesq (esfuerzos y deformaciones en medios semi-infinitos) En el siglo XX hasta 1950, la tendencia ha sido la de proponer soluciones cada vez ms sofisticadas desde el punto de vista matemtico, y por tanto ms precisas, a los problemas de la ingeniera. Algunos temas de desarrollo notable son: el comportamiento post-elstico de los materiales, las teoras de falla, la fatiga, el estudio de medios continuos, el clculo Variacional y la Dinmica de Estructuras Algunos Ingenieros Notables, que han contribuido al avance de la ingeniera: Eiffel (estructuras de acero), Freyssinet (concreto postensado), Terzaghi (mecnica de suelos), Cross (distribucin de momentos), Torroja (diseo de estructuras laminares), Nervi (diseo de estructuras de grandes luces, promovi el uso del ferrocemento por 1940, ver figuras 1.15 y 1.16, reproducidas del ACI 1999 - Parte 5).



Figura 1.15. Composicin del ferrocemento Figura 1.16. Cscara de ferrocemento

1.5 Relaciones fuerza esfuerzo Si se conocen las cargas que actan sobre una estructura y las dimensiones de los elementos que la conforman, se pueden obtener las fuerzas internas en cada seccin transversal, y luego, las distribuciones de esfuerzos normales y cortantes en cada seccin. Asimismo, en forma equivalente, se pueden obtener las componentes de esfuerzos que actan en un punto de ese elemento. La obtencin de las relaciones entre las cargas externas y los esfuerzos dependen de tres grupos de ecuaciones bsicas:

a) Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas (F = 0 y M = 0). b) Las condiciones de compatibilidad o continuidad, que requieren que los

elementos deformados puedan mantenerse unidos sin traslaparse o romperse; estas son condiciones geomtricas entre los desplazamientos y las deformaciones.

c) Las relaciones constitutivas del material, que en la mayora de los casos se asumir que tienen un comportamiento lineal y elstico.

Para establecer las ecuaciones de las condiciones a) y b) se puede utilizar el mtodo de la Mecnica o Resistencia de Materiales y el mtodo de la Mecnica del medio continuo. Mtodo de la Mecnica o Resistencia de Materiales. Se basa en asumir condiciones simplificadas en la geometra de las deformaciones para as establecer la distribucin de las deformaciones unitarias en un elemento. Una suposicin bsica es que las secciones planas antes de la aplicacin de las cargas continen planas despus de dicha aplicacin (llamada hiptesis de Navier o de Bernoulli). Esta suposicin es exacta en tres casos a estudiar:



- Carga axial centrada en elementos de seccin uniforme - Torsin en elementos rectos de seccin circular - Flexin pura en vigas rectas y seccin uniforme

Examinemos el caso de un elemento sometido a carga axial de traccin pura (Figura 1.17).

Figura 1.17. Barra sometida a traccin

El esfuerzo axial a lo largo del elemento se determina con la ecuacin de equilibrio F=0, de la figura 1.18, considerando un diferencial de rea dA, se tiene:

Figura 1.18. Fuerza aplicada sobre un diferencial de rea dA.

A

PdA Integrando sobre el rea, se obtiene

AP

La deformacin es uniforme (compatibilidad), y toma un valor de:

Le

Conociendo la ley constitutiva E , se puede correlacionar las ecuaciones anteriores, obteniendo finalmente el alargamiento e del elemento:

AELPe

En las ecuaciones anteriores: P=carga axial A=rea de la seccin transversal del elemento L=longitud del elemento E=mdulo de elasticidad del material del elemento



Restricciones: - El elemento debe ser prismtico (recto y de seccin transversal constante) - El material del elemento debe ser homogneo (propiedad del material debe ser

constante en todos los puntos a lo largo del elemento) - La carga P debe ser aplicada axialmente a lo largo del eje del centro de

gravedad del elemento. - Los esfuerzos y deformaciones estn restringidos a un comportamiento elstico

lineal. Mtodo de la mecnica del medio continuo.- Se utiliza cuando por las caractersticas de la estructura o de las cargas aplicadas, se tiene un estado de esfuerzos multiaxial complejo de modo que la mecnica de materiales no es aplicable. Si se considera slo deformaciones pequeas y comportamiento lineal elstico del material, el mtodo de la mecnica del medio continuo se convierte en el mtodo de la teora de la elasticidad. Para determinar las relaciones carga-esfuerzo y carga-deformacin, se utiliza un elemento volumtrico diferencial en un punto del cuerpo con las caras orientadas perpendicularmente a los ejes ordenados.

a) Las condiciones de equilibrio involucran ecuaciones diferenciales. b) Las condiciones de compatibilidad involucran ecuaciones diferenciales c) Las relaciones esfuerzo-deformacin pueden estar basadas en resultados

experimentales. Este esquema de anlisis se requiere para estudiar la torsin de elementos de secciones no circulares y elementos con deformaciones por corte. La mecnica del medio continuo puede aplicarse en la teora de elementos finitos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, donde se puede analizar la concentracin de esfuerzos, los cambios de temperatura, los asentamientos, los eventos de simulacin dinmica y otros que pueden ser representados mediante un modelo matemtico. Ejemplo 1.2. Obtener los desplazamientos y esfuerzos de un muro de concreto, mediante un modelo de elementos finitos, para una carga concentrada y para una distribuida en su parte superior. Supongamos un muro de concreto armado cuyas caractersticas son las siguientes: Longitud de Muro = 3.00 m Altura de Muro = 4.00 m Espesor de muro = 0.25 m Mdulo de Elasticidad = 2173700 Tn/m2 Mdulo de Poisson = 0.15 Cargas en la mitad del muro = 3.5 Tn (puede ser por la llegada de una viga transversal al muro)



Hay que indicar que se ha considerado un diafragma rgido en todos los nudos de la parte superior (Figuras 1.19 y 1.20)

Figura 1.19. Geometra del muro Figura 1.20. Deformacin del muro

La figura 1.20, muestra el desplazamiento vertical U3=1.882x10-5m, si comparamos con la frmula de desplazamiento que especifica el Mtodo de la Resistencia de Materiales

mxAELPe 610588.8

325.0.217370045.3

; se observa que el desplazamiento no es ni

aproximado. Las figuras 1.21 y 1.22, muestran la concentracin de esfuerzos en la parte superior del muro.

Figura 1.21. Distribucin de esfuerzo del muro sin deformar

Figura 1.22. Distribucin de esfuerzo del muro deformado



Debido a la carga concentrada en la parte superior, se puede llegar a tener un valor de esfuerzo de 58.61 Tn/m2 (Figura 1.23), y cerca de la parte inferior se tiene un esfuerzo

promedio de 2/666.4325.0

5.3 mTn (Figura 1.24), es decir, el esfuerzo en la parte superior llega a ser 12.5 veces ms aproximadamente que en la parte inferior.

Esfuerzos en el corte A-A

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 0.25

0.5

0.75

1 1.25

1.5

1.75

2 2.25

2.5

2.75

3Longitud de muro (m)

Esfu

erzo

s ax

iale

s (T

n/m

2)

Esfuerzos en el corte B-B

-5-4.5

-4-3.5

-3-2.5

-2-1.5

-1-0.5

0

0 0.25

0.5

0.75

1 1.25

1.5

1.75

2 2.25

2.5

2.75

3

Longitud de muro (m)

Esfu

erzo

s ax

iale

s (T

n/m

2)

Figura 1.23. Distribucin de esfuerzo en el corte A-A

Figura 1.24. Distribucin de esfuerzo en el corte B-B

Ahora desarrollemos el anlisis considerando que la carga de 3.5Tn, se distribuye a lo largo de los nudos de la parte superior del muro (Figura 1.25), y observar sus deformaciones (Figura 1.26) y esfuerzos (Figura 1.27)

Figura 1.25. Distribucin carga en la parte superior

Figura 1.26. Desplazamiento vertical del muro

La figura 1.26, muestra el desplazamiento vertical U3=8.638x10-5m, si comparamos con la frmula de desplazamiento que especifica el Mtodo de la Resistencia de Materiales

mxe 610588.8325.0.2173700

45.3 ; se observa que el desplazamiento es aproximado.



Figura 1.27. Distribucin de esfuerzos

Debido a las cargas distribuidas en la parte superior, se tiene un valor de esfuerzo promedio de 2/67.4 mTn (Figuras 1.28 y 1.29), tanto en la parte superior (corte AA) como en la parte inferior (corte BB).

Esfuerzos en el corte A-A

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 0.25

0.5

0.75

1 1.25

1.5

1.75

2 2.25

2.5

2.75

3


Esfu

erzo

s ax

iale

s (T

n/m

2)

Esfuerzos en el corte B-B

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 0.25

0.5

0.75

1 1.25

1.5

1.75

2 2.25

2.5

2.75

3


Esf

uerz

os a

xial

es (T

n/m

2)

Figura 1.28. Distribucin de esfuerzo en el corte A-A

Figura 1.29. Distribucin de esfuerzo en el corte B-B

Con este ejemplo se ha tratado de demostrar los efectos de la concentracin de esfuerzos y el principio de Saint Venant, el cual establece que tanto el esfuerzo como la deformacin unitaria en puntos del cuerpo suficientemente alejados de la zona de aplicacin de la carga sern los mismos que el esfuerzo y la deformacin unitaria producidos por otras cargas aplicadas que tengan la misma resultante estticamente equivalente y estn aplicadas al cuerpo dentro de la misma regin o rea local.



1.6 Relaciones esfuerzo y deformacin unitaria La relacin esfuerzo deformacin unitaria de un material se determina mediante un ensayo en laboratorio, Los ensayos ms sencillos de realizar son los de traccin o compresin sobre probetas o especimenes cilndricos o cuadrados y con dimensiones Standard, como se muestra en la figura 1.30.

1.6.1. Respuesta Elstica e Inelstica de un Slido Inicialmente, revisaremos los resultados de un ensayo simple de traccin de una barra circular que esta sujeta a una carga axial de traccin P (Figura 1.31). Se asume que la carga se incrementa lenta y monotnicamente (carga que va desde un valor inicial cero a su valor final), adems la respuesta del material no slo depende de la magnitud de la carga, sino tambin de otros factores, tales como: la velocidad de carga, el tipo de carga, etc. Es costumbre en ingeniera dibujar el diagrama de esfuerzos de tensin de la barra en funcin de su deformacin . Adems, se asume que el esfuerzo es uniformemente distribuido sobre el rea de la seccin transversal de la barra y que es igual en magnitud a P/Ao (llamado esfuerzo de ingeniera), donde Ao es el rea original de la seccin transversal de la barra. Similarmente, la deformacin se asume constante a lo largo de la longitud L e igual a L/L = e/L, donde L = e es el cambio o elongacin en la medida original de la longitud L (la distancia JK en la Figura 1.31).

Figura 1.30. Espcimen sin deformar: de

Longitud L , Dimetro D Figura 1.31. Espcimen Deformado:

Longitud L + e

Para que estas suposiciones sean vlidas, los puntos J y K debern estar lo suficientemente separadas de los extremos de la barra (una distancia de uno o ms dimetros D medidos desde los extremos). Sin embargo, de acuerdo a la definicin de esfuerzo, el esfuerzo real es t = P/At, donde At es el rea real de la seccin transversal de la barra cuando acta la carga P (La barra sufre una contraccin lateral en cualquier punto si est cargada, con un cambio correspondiente en el rea de la seccin transversal). La diferencia entre = P/Ao y t = P/At ser pequea, siempre y cuando la elongacin e y, por ende, la deformacin sean lo suficientemente pequeas. Pero si la elongacin es grande, At puede diferir



significativamente de Ao. Adems, la real longitud instantnea cuando acta la carga P es Lt = L+e (Figura 1.31). Por lo tanto, el rea real At y la verdadera medida de la longitud Lt cambian con la carga P. Correspondiendo a un esfuerzo real t, se puede definir la deformacin real t como sigue: En el ensayo de traccin, se asume que la carga P se incrementa desde cero (donde adems e=0) mediante infinitesimales sucesivos dP. Con cada incremento dP en la carga P, hay un incremento de dLt infinitesimal correspondiente a la medida de la longitud Lt en ese instante. Por lo tanto el incremento infinitesimal dt de la deformacin real t debido a dP es:

t

tt L

Ldd Integrando la ecuacin anterior desde L hasta Lt, obtenemos la deformacin real t. As tenemos:

1lnlnln LeLLtLdtL

Ltt

En contraste a la deformacin de ingeniera , la deformacin real t, no es lineal con relacin a la elongacin e de la medida de la longitud original L. Para muchos metales estructurales (en general, aleaciones de acero), la relacin esfuerzo-deformacin del espcimen en traccin toma la forma de la figura 1.32, denominndose diagrama esfuerzo-deformacin en tensin del material. El diagrama de esfuerzo-deformacin (curva OABCF en la Figura 1.32) se obtuvo dibujando una curva suave de datos de ensayo de traccin para cierta aleacin de acero de alta resistencia. Los ingenieros utilizamos estos diagramas de esfuerzo-deformacin para definir ciertas propiedades del material que son consideradas importantes para un diseo seguro de un elemento cargado estticamente.

Figura 1.32. Diagrama de Ingeniera Esfuerzo-Deformacin para un espcimen en

Tensin de Aleacin de Acero



Ejemplo 1.3. Comparar el esfuerzo y deformacin de ingeniera con el real de una barra circular de un metal, sometido a traccin. Los datos se muestran en la tabla 1.1

Tabla 1.1. Datos para el diagrama esfuerzo-deformacin de ingeniera y real Fuerza en Traccin

(klb) d inicial (pulg)

d bajo carga (pulg)

Esfuerzo Ingenieril

(ksi) Esfuerzo Real (ksi)

Deformacin Ingenieril

(in/in) Deformacin Real (in/in)

0 0.5 0.50000 0.00 0.00 0.0000 0.0000 2 0.5 0.49999 10.19 10.19 0.0000 0.0000 4 0.5 0.49995 20.37 20.38 0.0002 0.0002 6 0.5 0.49900 30.56 30.68 0.0040 0.0040 8 0.5 0.49700 40.74 41.24 0.0121 0.0120 10 0.5 0.49400 50.93 52.17 0.0244 0.0241 12 0.5 0.48900 61.12 63.90 0.0455 0.0445 14 0.5 0.48400 71.30 76.09 0.0672 0.0650 16 0.5 0.47600 81.49 89.91 0.1034 0.0984 17 0.5 0.47200 86.58 97.16 0.1222 0.1153 18 0.5 0.46800 91.67 104.64 0.1414 0.1323 19 0.5 0.46100 96.77 113.83 0.1764 0.1624 20 0.5 0.45200 101.86 124.64 0.2237 0.2019

Los esfuerzos y deformaciones de la tabla 1.1, han sido graficados en la figura 1.33, mostrando que el esfuerzo real toma mayores valores que el esfuerzo de ingeniera.

Diagrama Esfuerzo Deformacion Ingenieril VS Real

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200

Deformacin (in/in)

Esfu

erzo

(ksi)

Ingenieril

Real

Figura 1.33. Diagrama Esfuerzo-Deformacin de ingeniera y real para un testigo de

acero sometido a traccin. Notar que para el clculo de la deformaciones se asume que no hay cambio de volumen durante la extensin, por tanto, AoL=AtLt, relacionando se tiene que la deformacin

de ingeniera ser 1AtAo , para cada incremento de carga; por otro lado la



deformacin real ser

AtAo

LLt

LeL

t lnlnln . La figura 1.34, muestra diagramas esfuerzo-deformacin reales y de ingeniera.

Figura 1.34. Diagrama Esfuerzo-Deformacin de ingeniera y real para traccin y

compresin

1.6.2. Propiedades de los materiales Del diagrama esfuerzo-deformacin se obtienen algunas propiedades importantes, para el anlisis y diseo de estructuras. La figura 1.35 (Popov - Resistencia de Materiales), muestra un diagrama esfuerzo-deformacin para un acero dulce, donde se puede observar: una zona elstica, una meseta o plataforma de fluencia, una regin de endurecimiento por deformacin y una regin de esfuerzo post-ltimo. Adems, se puede observar una zona amplificada de la plataforma de fluencia (puntos AB).

Figura 1.35. Diagrama Esfuerzo-Deformacin para un acero dulce



a. Lmite proporcional (Proportional limit): Para muchos materiales estructurales se ha encontrado que la parte inicial de la grfica esfuerzo-deformacin puede ser aproximada por la recta OA. En este intervalo, el esfuerzo y la deformacin son proporcionales entre s (Ley de Hooke), de manera que cualquier incremento en esfuerzo resultar en un aumento proporcional a la deformacin. El esfuerzo en el lmite del punto de proporcionalidad A se conoce como lmite de proporcionalidad.

b. Lmite elstico (Elastic limit): Si se retira una pequea parte de la carga

aplicada sobre el espcimen a prueba, el diagrama regresar a cero, indicando que la deformacin producida por la carga es elstica. Si la carga se aumenta continuamente, se alcanzar un punto en que la aguja no regresar a cero.

Esto indica que ahora el material tiene una deformacin permanente; por tanto, el lmite elstico puede definirse como el esfuerzo al que ocurre la primera deformacin permanente. Para la mayora de los materiales estructurales, el lmite elstico tiene casi el mismo valor numrico que el lmite de proporcionalidad. Comnmente el lmite elstico es mayor que el lmite de proporcionalidad.

c. Punto o lmite de fluencia o cedencia (Yield point): Conforme la carga (fuerza) en el espcimen aumenta ms all del lmite elstico, se alcanza un esfuerzo al cual el material contina deformndose sin que haya incremento de la carga. Al esfuerzo entre la lnea AB de la figura 1.35 se le conoce como esfuerzo de cedencia o fluencia y. Este fenmeno ocurre slo en ciertos materiales dctiles.

El esfuerzo puede disminuir realmente por un momento, resultando en un punto de fluencia superior y en uno inferior (Ver zona amplificada en la figura 1.35).

d. Resistencia a la fluencia o cedencia (Yield strenght): La mayora de los

materiales no ferrosos y los aceros de alta resistencia no tienen un punto de fluencia definido (Figura 1.32). Para estos materiales, la mxima resistencia til corresponde a la resistencia de fluencia, que es el esfuerzo al cual un material exhibe una desviacin limitante especificada de la proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformacin. Por lo general, el esfuerzo de fluencia se determina por el "mtodo de la deformacin permanente especificada" (offset method). La figura 1.36, es la zona amplificada de la figura 1.32, para obtener la resistencia de fluencia y, se marca sobre el eje de la deformacin un punto K. En seguida, se traza la lnea KL paralela a OA (el punto A, es el lmite de proporcionalidad), localizando de esta manera el punto J, interseccin de la lnea KL con el diagrama esfuerzo-deformacin.



Figura 1.36. Diagrama Esfuerzo-Deformacin amplificado, para obtener el esfuerzo de

fluencia

El valor del esfuerzo en el punto J indica la resistencia de cedencia o fluencia. El valor de la deformacin permanente especificada es generalmente un 0.20% de la longitud calibrada.

e. Resistencia lmite o ltima: Conforme aumenta la carga aplicada sobre

espcimen, el esfuerzo y la deformacin se incrementan, como lo indica la porcin de la curva BC (figura 1.35 y figura 1.32) para un material dctil, hasta que se alcanza el esfuerzo mximo u en el punto C; por tanto, la resistencia lmite o la resistencia ltima a la tensin es el esfuerzo mximo desarrollado por el material, basado en el rea transversal inicial Ao.

Un material frgil se rompe cuando es llevado hasta la resistencia lmite, en tanto que el material dctil continuar alargndose.

f. Resistencia a la ruptura: Para un material dctil, hasta el punto de resistencia

lmite, la deformacin es uniforme a lo largo de la longitud de la barra. Al alcanzar el esfuerzo mximo, la muestra experimenta una deformacin localizada o formacin de cuello y la carga diminuye conforme el rea decrece.

Esta elongacin en forma de cuello (Figura 1.37) es una deformacin no uniforme y ocurre rpidamente hasta el punto en que el material falla punto D (Figura 1.35). La resistencia a la ruptura se determina dividiendo la carga de ruptura entre el rea transversal original, la cual, es siempre menor que la resistencia lmite o ltima. Para un material frgil, la resistencia lmite o ltima y la resistencia de ruptura coinciden.



Figura 1.37. Espcimen en estado de ruptura, con formacin de cuello

g. Mdulo de la elasticidad o mdulo de Young: Consideremos la porcin recta de

la curva esfuerzo-deformacin OA de la figura 1.35 de la figura 1.36. La ecuacin de una lnea recta es y= mx + b, donde y es el eje vertical (en este caso, esfuerzo) y x el eje horizontal (en este caso, deformacin). La interseccin de la recta con el eje y es b, y en este caso es cero, ya que la recta pasa por el origen. La pendiente de la recta es m. Cuando se despeja m de la ecuacin, la pendiente es igual a m=y/x=/. De esta manera, se puede determinar la pendiente de la recta dibujando un tringulo rectngulo cualquiera y encontrando la tangente del ngulo (Figura 1.38) que es igual a y/x o esfuerzo/deformacin.

La pendiente es realmente la constante de proporcionalidad entre esfuerzo y deformacin (ley de Hooke) y se conoce como mdulo de elasticidad o mdulo de Young.

Figura 1.38. Determinacin del mdulo de elasticidad

El mdulo de elasticidad se correlaciona con la rigidez, por ejemplo el mdulo de elasticidad del acero es 207 GPa aproximadamente, en tanto el del aluminio es 69 GPa. Con lo que se puede decir que el acero es 3 veces ms rgido que el aluminio.



h. Ductilidad: La ductilidad de un material se determina a partir de la cantidad de deformacin que le es posible soportar hasta que se fractura. La ductilidad es importante para diseadores y fabricantes. El diseador estructural preferir un material que presente una cierta ductilidad, de manera que si el esfuerzo aplicado es demasiado alto, el elemento se deformar plsticamente antes de romperse. La figura 1.39, muestra esquemticamente los niveles de ductilidad de algunos materiales representados mediante una curva esfuerzo deformacin.

Figura 1.39. Niveles de ductilidad de materiales de acuerdo a la curva esfuerzo-

deformacin

i. Porcentaje de elongacin: es una medida de la ductilidad del material y se obtiene de multiplicar la deformacin unitaria de ruptura por cien para tenerlo en tanto por ciento. Es decir, que tanto puede deformarse un material hasta llegar a la rotura.

Por ejemplo para la figura 1.32, el porcentaje de elongacin ser de 23% aproximadamente y para la figura 1.35 el porcentaje de elongacin ser de 11.7% aproximadamente.

j. Resiliencia: es la capacidad de un material de absorber energa sin sufrir una

deformacin unitaria plstica y que libera dicha energa cuando se descarga (Figura 1.40). El rea bajo la curva del diagrama esfuerzo-deformacin en el intervalo elstico, se denomina Mdulo de Resiliencia UR (Figura 1.41).

Figura 1.40. Definicin de resiliencia Figura 1.41. Determinacin del mdulo de

resiliencia



k. Tenacidad: es la capacidad de un material para absorber energa y deformarse plsticamente antes de fracturarse. El rea bajo la curva del diagrama esfuerzo-deformacin completo se denomina Mdulo de Tenacidad UT (Figura 1.42).

Figura 1.42. Determinacin del mdulo de tenacidad

Figura 1.43. Definicin de resiliencia hiper-elstica

La figura 1.43, muestra la descarga y recarga de un material, donde el esfuerzo vuelve a cero, pero hay una deformacin permanente, solo la parte correspondiente al rea triangular ABC, puede recuperarse, a esta zona se le denomina resiliencia hiper-elstica. El resto de la energa gastada al deformarse el material se disipa en forma de calor.

Ejemplo 1.3. La figura 1.44, representa la curva esfuerzo-deformacin, el grfico global (izquierda) y el grfico local (derecha), dicha curva se ha obtenido de un ensayo de traccin de aleacin de aluminio. Sabiendo que, inicialmente, la probeta tena un dimetro de 10 mm y una longitud de 75mm. Calcular:

a. Mdulo de elasticidad b. Alargamiento, al aplicar una carga de 13500 N c. La carga mxima que puede soportar esta probeta, sin que se deforme

permanentemente

Figura 1.44. Diagrama esfuerzo-deformacin global y local



a. Del diagrama pequeo, podemos determinar aproximadamente que para un valor de 200 MPa le corresponde una deformacin de 0.032

Aplicando la ley constitutiva E , despenjando el mdulo de elasticidad se tiene: MPaMPaE 62500032.0/200/

b. Para determinar el alargamiento, se necesita determinar el rea de la seccin

transversal, para luego evaluar la ecuacin: AELPe

25222

10854.754.782

)10(4

mxmmdA mm

xxAELPe 206.0

)10854.7(1062500)75(13500

56

c. Aproximadamente, se puede observar un esfuerzo limite de fluencia de 250MPa, con lo que se obtiene una carga mxima de:

NmmmmNAP 19635)54.78(/250. 22 Ejemplo 1.4. El diagrama esfuerzo deformacin de un acero dulce, se muestra en la figura 1.45 (a la izquierda el grfico global y a la derecha el grfico local), se pide determinar, el mdulo de tenacidad, el mdulo de resiliencia y el mdulo de elasticidad.

Figura 1.45. Diagrama esfuerzo-deformacin global y local



Del grfico global, se puede observar, que un cuadrado representa un rea de: 100(0.05)=5MPa de energa, se ha determinado que existen aproximadamente 29 cuadrados bajo la curva esfuerzo-deformacin. El mdulo de Tenacidad ser, UT = 29(5)=145MPa Del grfico local, se traza una lnea offset, hasta una deformacin de 0.002, obtenindose un esfuerzo de fluencia, MPay 395 . Notar que se tiene un lmite de proporcionalidad de MPaLP 315

El mdulo de Resiliencia ser, UR = 0.0016(315)/2+(0.004-0.0016)(395-315)/2+315(0.004-0.0016)=1.104MPa El mdulo de elasticidad es: GPaMPaE 5.197002.0/395/ 1.6.3. Diagramas esfuerzo-deformacin desarrollados en la PUCP El Laboratorio de Estructuras de la Pontificia Universidad Catlica del Per, ha desarrollado cantidad de ensayos en traccin y compresin en distintos materiales, principalmente en acero de refuerzo ASTM 615 Grado 60 para distintos dimetros, mallas electrosoldadas ASTM A496, concreto, albailera, polmeros, etc. La figura 1.46, muestra un diagrama esfuerzo deformacin de una varilla de 5/8 Grado 60, fabricada por Aceros Arequipa. Se observa que para una deformacin aproximada de 0.031, se ha retirado los medidores de deformacin LVDTs, por ello la recta vertical al final de la curva slo registra cargas. Se nota claramente la curva de descarga y recarga que tiende a ser paralela a la parte inicial del diagrama esfuerzo-deformacin



Diagrama Esfuerzo-Deformacin

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 5 10 15 20 25 30 35

Deformacin (x1000)

Esfu

erzo

(kg/

cm2)

Figura 1.46. Diagrama de Ingeniera Esfuerzo-Deformacin para una varilla de 5/8 de

Aceros Arequipa.

A continuacin, se muestra algunas propiedades que se obtuvieron del ensayo:

- fy 4340 kg/cm2 (esfuerzo de fluencia). - fu 6650 kg/cm2 (esfuerzo mximo o ltimo). - Es 2194000 kg/cm2 (mdulo de elasticidad). - Deformacin en el inicio de la fluencia y 0.00198 - Longitud de la plataforma de fluencia 5.0 y

1.6.4. Variacin del Mdulo de elasticidad respecto a la temperatura En general, los materiales reducen su mdulo de elasticidad, cuando se incrementa la temperatura, la figura 1.47, muestra la variacin del mdulo de elasticidad de tres materiales, aluminio, acero y tungsteno.

Figura 1.47. Variacin del mdulo de elasticidad con la temperatura



1.6.5. Valores de Mdulo de elasticidad de materiales utilizados en ingeniera La figura 1.48, muestra en el eje de las ordenadas, en escala logartmica, los diferentes mdulos de elasticidad (Ashby y Jones, Materiales para la ingeniera, editorial Revert, 2008), este grfico est dividido por materiales cermicos, metales, polmeros y materiales compuestos.

Figura 1.48. Mdulos de elasticidad de diferentes materiales (Ashby y Jones,

Materiales para la ingeniera) La tabla 1.2, muestra los valores de mdulo de elasticidad de mayor valor a menor valor (Ashby y Jones, Materiales para la ingeniera, editorial Revert, 2008)



Tabla 1.2. Mdulos de elasticidad de diversos materiales

1.7 Ensayos complementarios 1.7.1. Tenacidad y pruebas de impacto Aunque la tenacidad de un material puede obtenerse calculando el rea bajo el diagrama esfuerzo-deformacin, la prueba de impacto indicar la tenacidad relativa. La tenacidad es una medida de la cantidad de energa que un material puede absorber antes de fracturarse, evala la habilidad de un material de soportar un impacto sin fracturarse. Esta propiedad se determina mediante una prueba sencilla en una mquina de ensayos de impacto (Figura 1.49), se utiliza una probeta o barra de seccin transversal cuadrada dentro de la cual se realiza una muesca en forma de V o de ojo de cerradura (Figura 1.50).



Figura 1.49. Mquina para realizar el ensayo de impacto

Figura 1.50. Barra con muesca utilizada en el ensayo de impacto, para determinar la tenacidad de

un material Existen dos mtodos para evaluar la tenacidad relativa. Se denominan ensayos de Izod y ensayo de Charpy. La diferencia entre los dos radica principalmente en la forma como se posiciona la muestra a ensayar (Figura 1.51).

Figura 1.51. Se observa la posicin de la muestra en los ensayos de Izod y de Charpy, la

flecha indica la direccin del impacto

Esta probeta se sostiene mediante mordazas y se lanza un pesado pndulo desde una altura h conocida, este pndulo golpea la muestra al descender y la fractura. Si se conoce la masa del pndulo y la diferencia entre la altura final e inicial, se puede calcular la energa absorbida por la fractura (Figura 1.52)



Figura 1.52. Ensayo de Charpy sobre una probeta Figura 1.53. Fractura de la probeta El ensayo de impacto genera datos tiles cuantitativos en cuanto a la resistencia del material al impacto hasta la fractura (Figura 1.53). Sin embargo, no se proporcionan datos adecuados para el diseo de secciones de materiales que contengan grietas o defectos. Este tipo de datos se obtiene desde la disciplina de la Mecnica de la Fractura, en la cual se realizan estudios tericos y experimentales de la fractura de materiales estructurales que contienen grietas o defectos preexistentes. 1.7.2. Fatiga En muchas aplicaciones, tales como en puentes (gra y vehiculares), un componente o elemento se somete a la aplicacin repetida de un esfuerzo inferior al de fluencia del material. Este esfuerzo repetido puede ocurrir como resultado de cargas de rotacin, flexin, o aun de vibracin. Aunque el esfuerzo sea inferior al punto de fluencia, el metal puede fracturarse despus de numerosas aplicaciones del esfuerzo. Este tipo de falla es conocida como fatiga. Un mtodo comn para medir la resistencia a la fatiga es el ensayo de la viga en voladizo rotatoria (Figura 1.54)

Figura 1.54. Ensayo de la viga en voladizo rotativa para medir la resistencia a la fatiga

Capitulo 1 Introduccion Version 2012

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