Capitulo 1. Teor­a de Matrices. lgebra Lineal para Estad­sticos y Actuarios. William Noguera

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Capítulo 1 del libro que se utiliza en la asignatura Álgebra Lineal I de la carrera Estadísticas y Ciencias Actuariales en la Universidad Central de Venezuela.Autor: Profesor William NogueraContenido 1.1 Introducción. 1.2 Definiciones y ejemplos. 1.3 Álgebra de matrices. 1.4 Tipos especiales de matrices. 1.5 Matriz de datos. 1.6 Operaciones elementales de filas y de columnas. 1.7 Matriz inversa 1.8 Traza de una matriz 1.9 Factorización LU 1.10 Sub-Matriz y matriz particionada 1.11 Rango de una matriz Ejercicios propuestosPublicado en www.eecaucv.blogspot.com

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ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS

Captulo

1

Definicin 1.2.

TEORA DE MATRICES

Sean m, n *. Se define como matriz de orden mxn con coeficientes en K a la funcin Amxn: Jm x Jn K con regla de correspondencia Amxn(i,j) = Aij. La matriz A se representa por un arreglo rectangular con la siguiente estructura:

1.1. INTRODUCCIN. En este captulo se presenta uno de los conceptos ms utilizados tanto en la Estadstica como en las Ciencias Actuariales como lo es el concepto de Matriz. Se exponen la mayora de sus conceptos asociados como lo son: lgebra de Matrices, Tipos Especiales de Matrices, Matriz de Datos, Operaciones Elementales de Filas y Columnas, Matriz Inversa, Traza de una Matriz, Factorizacin LU, Sub-matrices y Matrices Particionadas y Rango de una Matriz. Todo el desarrollo del captulo presenta un enfoque especialmente estadstico, el cual es el objetivo principal de este texto. 1.2. DEFINICIONES Y EJEMPLOS. Definicin 1.1. Se dice que un conjunto no vaco K es un Cuerpo si en dicho conjunto estn definidas las siguientes operaciones: 1. 2. Suma (+): Si x, y K entonces (x + y) K Producto (.): Si x, y K entonces (x . y) K

A11 A12 A 21 A 22 M M A= A i1 A i2 M M A m1 A m2

L L L

A1j L A 2j L M A ij L

A1n A 2n M A in

M M L A mj L A mn

Las m lneas horizontales se denominan filas o renglones de la matriz A y las n lneas verticales se denominan columnas de dicha matriz.Ejemplo 1.2.

Sea m = 3 y n = 2. En este caso J3 = {1, 2, 3} y J2 = {1, 2}. Luego, J3xJ2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}. Sea A3x2: J3 x J2 tal que A3x2(1, 1) = 1, A3x2(1, 2) = 0, A3x2(2, 1) = -1, A3x2(2, 2) = 2, A3x2(3, 1) = 1 y A3x2(3, 2) = 1. Esta funcin as definida es una matriz de orden 3x2. Su representacin mediante un arreglo rectangular es:

Estas operaciones tienen las siguientes propiedades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. x, y K se cumple que x + y = y + x x, y, z K se cumple que x + (y + z) = (x + y) + z K tal que x K se cumple que x + = x x K -x K tal que x + (-x) = . x, y K se cumple que x . y = y . x. x, y, z K se cumple que x . (y . z) = (x . y) . z. u K ( u ) tal que x K se cumple que x . u = x x K ( x ) x-1 K tal que se cumple que x . x-1 = u x, y, z K se cumple que x . (y + z) = (x . y) + (x . z)

1 A = 1 1

0 2 1

Ntese que A11 = 1, A12 = 0, A21 = -1, A22 = 2, A31 = 1 y A32 = 1. Notacin: El conjunto de todas las matrices de orden mxn con coeficientes en K se denomina cuerpo de matrices de orden mxn en K y se denota por Mmxn(K). Observacin: El elemento genrico de una matriz A de orden mxn es Amxn(i,j) = Aij. Para descargar la notacin, se utilizar Aij.Definicin 1.3.

En la mayora de los cuerpos la notacin de la operacin producto es ignorada ya que queda sobreentendida.Ejemplo 1.1.

Los conjuntos y Q tienen estructura de cuerpo con las propiedades de suma y producto. Notacin: Sea n *. El conjunto {1, 2,, n} se denota por Jn.

Sea AMmxn(K). Se dice que la matriz A es: 1. 2. Cuadrada de orden m (n) si m = n. Rectangular si m n .

Cuando A es cuadrada la lnea diagonal formada por los valores A11, A22, ..., Ann se dice que es la diagonal principal de la matriz A.

2

CAPTULO 1: TEORA DE MATRICES

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS

Ejemplo 1.3.

Sean AM2x2() y BM3x2() definidas por: 1 2 1 2 A= ; B = 1 0 2 3 5 3 A es una matriz cuadrada de orden 2 ya que tiene 2 filas y 2 columnas en tanto que B es una matriz rectangular ya que tiene 3 filas y 2 columnas. Los valores 1 y 3 conforman la diagonal principal de A.Ejemplo Aplicado 1.1.

0 103 152 337 49 234 103 0 B = 152 49 0 185 337 234 185 0 655 552 503 318 Definicin 1.4.

655 552 503 318 0

Sean A, B Mmxn(K). Se dice que A y B son iguales si y slo si (i,j) Jm x Jn se cumple que Aij = Bij.Ejemplo 1.4.

En un Reality Show donde participan 6 personas, se le pide a cada una de ellas que sealen a 2 de sus compaeros para ser amenazados. Los 2 participantes con mayores sealamientos sern los amenazados, uno de los cuales ser salvado por el voto del pblico mientras que el otro tendr que abandonar la competencia. Se define la matriz A de la siguiente forma:

Sean A, B M2x2() definidas por:1 b 1 1 A= yB= c - 2 0 a A = B si y slo si b = -1, c = 0 y a = -2.1.3. LGEBRA DE MATRICES. Definicin 1.5.

1 Si la i - sima persona seala a la j - sima persona A ij = 0 Si la i - sima persona NO seala a la j - sima personaEl resultado es el siguiente:0 0 0 A= 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0

Sean A, B Mmxn(K). Se define como matriz suma de A y B y se denota por A + B a la matriz (A + B) Mmxn(K) definida como (A + B)ij = Aij + Bij.Ejemplo 1.5.

2 2 1 2 Sean A, B M2x2() definidas por A = . Como A y B , B= 3 4 1 5 son de orden 2x2 entonces existe la matriz suma A+B la cual es: 1 + (2) 2 + 2 1 4 A+B= = 4 + 5 4 9 3 +1Teorema 1.1.

Observando las columnas de A se aprecia que el participante 1 no tuvo sealamientos, el participante 2 tuvo 4 sealamientos, el participante 3 tuvo 1 sealamiento, el participante 4 tuvo 3 sealamientos, el participante 5 tuvo 2 sealamientos y el participante 6 tuvo 2 sealamientos. Luego, los amenazados son los participantes 2 y 4.Ejemplo Aplicado 1.2.

Sean A, B, C Mmxn(K). Entonces se cumple que: 1. 2. 3. 4. A + B = B + A. A + (B + C) = (A + B) + C. Mmxn(K) (ij = 0 (i,j) Jm x Jn) tal que A Mmxn(K) se cumple que A + = A. AMmxn(K) -AMmxn(K) ((-A)ij) = -Aij) tal que A+(-A)= .

Consideremos las ciudades venezolanas Caracas, Maracay, Valencia, Barquisimeto y Maracaibo. Se define la matriz B de la siguiente forma: Bij = Distancia (Km) de la i-sima ciudad a la j-sima ciudad. La matriz B es la siguiente:

Demostracin

1. 2.

(A + B)ij = Aij + Bij = Bij + Aij = (B + A)ij. (A + (B + C))ij = Aij + (B + C)ij = Aij + Bij + Cij

3

4

CAPTULO 1: TEORA DE MATRICES

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS

3.

4.

A + = A (A + )ij = Aij Aij + ij = Aij ij = Aij - Aij = 0 (i,j) Jm x Jn A + (-A) = (A + (-A))ij = ij Aij + (-A)ij = 0 (-A)ij = 0 - Aij = -Aij

= (Aij + Bij) + Cij = (A + B)ij + Cij = ((A + B) + C)ij

(AB)ij = Observaciones:

Ar =1

n

ir

B rj ; 1 i n; 1 j n

Definicin 1.6.

Sean AMmxn(K) y c K. Se define como matriz mltiplo escalar de A por c y se denota por cA a la matriz (cA) Mmxn(K) definida como (cA)ij = cAij.Ejemplo 1.6.

Sean AMmxn(K) y BMnxp(K). El producto AB esta definido. En el caso del producto BA pueden ocurrir las situaciones siguientes: 1. Si p m entonces BA no est definida. 2. Si p = m entonces BA est definida y se cumple que BAMnxn(K). Si adems m n no tiene sentido considerar la igualdad AB = BA ya que ABMmxm(K) y BAMnxn(K) pero si m = n los productos AB y BA estn definidos con idntico orden pero no necesariamente se cumple que AB = BA.Ejemplo 1.7.

2 1 Sea AM2x3() definida por A = 4 2 2 1 B = 2A = 2 4 2 3 4 2 = 1 8 4

3 . Luego, 1

Sean AM3x2() y BM2x2() definidas por:

6 . Ntese que BM2x3(). 2

1 A = 2 2

1 1 3 y B = 3 1

1 2

Teorema 1.2.

Sean A, B Mmxn(K). Entonces se cumple que: 1. 2. 3. 4. 1A = A. c K se cumple que c(A + B) = cA + cB. c, d K se cumple que (c + d)A = cA + dA. c, d K se cumple que (cd)A = c(dA).

Como el nmero de columnas de A coincide con el nmero de filas de B entonces existe la matriz AB la cual es de orden 3x2 y se determina de la siguiente manera: (AB)11 = (AB)12 = (AB)21 = (AB)22 = (AB)31 = (AB)32 = Luego,

Ar =1 2

2

1r

B r1 = A11B11 + A12B21 = 1.1+(-1).3 = 1 3 = 2 B r 2 = A11B12 + A12B22 = 1.(-1)+(-1).2 = 1 2 = 3 = A21B11 + A22B21 = 2.1+3.3 = 2+9 = 11

Ar =12

1r

Demostracin

1. 2.

(1A)ij = 1Aij = Aij (c(A+B))ij = c(A+B))ij

Ar =1 2

2 r B r1

3.

((c+d)A)ij = (c+d)Aij

= c(Aij + Bij) = cAij + cBij = (cA + cB)ij) = cAij + dAij = (cA)ij + (dA)ij = (cA + dA)ij = c(dAij) = c(dA)ij

Ar =1 2

2r

B r 2 = A21B12 + A22B22 = 2.(-1)+3.2 = 2 + 6 = 4 B r1 = A31B11 + A32B21 = 2.1+1.3 = 2 + 3 = 5 = A31B12 + A32B22 = 2.(-1)+1.2 = 2 + 2 = 0

Ar =1 2

3r

Ar =1

3r B r 2

4.

((cd)A)ij = (cd)Aij

Definicin 1.7.

Sean A Mmxn(K) y B Mnxp(K). Se define como matriz producto de A y B y se denota por AB a la matriz AB Mmxp(K) definida como:

2 3 AB = 11 4 5 0

5

6

CAPTULO 1: TEORA DE MATRICES

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADSTICOS Y ACTUARIOS

Tambin se puede calcular la matriz AB sin realizar todo el procedimiento formal anterior, haciendo la siguiente operacin:

2.

Como C, D Mpxs(K) entonces (C + D) Mpxs(K) y como B Mnxp(K) entonces el producto B(C+D) est definido y se cumple que (B(C + D))Mnxs(K). Luego: (B(C+D))ij =

1.1 + (1).3 1.(1) + (1).2 1 3 1 2 2 3 AB = 2.1 + 3.3 2.(1) + 3.2 = 2 + 9 2 + 6 = 11 4 2.1 + 1.3 2.(1) + 1.2 2 + 3 2 + 2 5 0 Como el nmero de columnas de B no coincide con el nmero de filas de A entonces no existe la matriz BA.Teorema 1.3.

Br =1 p

p

ir (C

+ D) rj

= = =

Br =1 p r =1 p

ir

(C rj + D rj ) C rj + B ir D rj )+

(B Br =1

ir

Sean A, EMmxn(K), BMnxp(K), C, DMpxs(K) y cK. Entonces se cumple que: 1. 2. 3. 4. A(BC) = (AB)C. B(C + D) = BC + BD. (A + E)B = AB + EB. A(cB) = (cA)B = cAB.

ir C rj

Br =1

p

ir D rj

= (BC)ij + (BD)ij = (BC + BD)ij 3. Como A, E Mmxn(K) entonces (A + E) Mmxn(K) y com