CAPÍTULO 2 CÁLCULO DE PIEZAS CON PRETENSADO...

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CAPÍTULO 2

CÁLCULO DE PIEZAS CON PRETENSADO EXTERIOR

2.1. MATERIALES Y PROPIEDADES

2.1.1. Hormigón

El hormigón es el material base en la construcción de elementos con

pretensado exterior, siendo en función de éste que se diseñan la forma y las

dimensiones de la sección. Su principal característica es su gran resistencia a

compresión que, combinada con la capacidad de resistir tracciones del acero,

da lugar a elementos capaces de absorber grandes momentos.

El comportamiento del hormigón es no lineal, debido a que no es

homogéneo en su composición y, además, sus propiedades y capacidad

resistente son difíciles de predecir, ya que dependen de diversos factores como

la temperatura exterior durante su fraguado, la humedad, etc. Por esto, para

elementos hormigonados en obra habrá que establecer un adecuado control de

ejecución. Otra de las dificultades para realizar un modelo del comportamiento

del hormigón es que sus características varían con el tiempo, en función de la

edad de puesta en carga, de las condiciones ambientales, etc.

La norma EHE [10] propone un modelo de comportamiento para el

hormigón y, además, expresiones para evaluar las deformaciones diferidas,

pérdidas de tensión, etc. No obstante, el coeficiente de seguridad aplicado al

hormigón será mayor que en otros materiales, debido a su carácter

impredecible.

Para el cálculo de secciones sometidas a solicitaciones normales en los

Estados Límites Últimos, la norma indica dos posibles diagramas tensión-

deformación de cálculo del hormigón: el diagrama parábola-rectángulo y el

diagrama rectangular.

Capítulo 2. Cálculo de piezas con pretensado exterior

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Diagrama parábola-rectángulo

Está formado por una parábola de segundo grado y un segmento

rectilíneo (figura 2.1). El vértice de la parábola se encuentra en la abscisa

correspondiente a una deformación del 2 ‰ (deformación de rotura del

hormigón a compresión simple) y el vértice extremo del rectángulo en la

abscisa 3,5‰ (deformación de rotura del hormigón en flexión). La ordenada

máxima de este diagrama corresponde a una compresión igual a 0,85fcd siendo

fcd la resistencia de cálculo del hormigón a compresión.

εc

0,85 fcd

0,002 0,0035

σ c

Figura 2.1. Diagrama de cálculo parábola-rectángulo.

Diagrama rectangular

Está formado por un rectángulo cuya anchura es 0,85fcd y cuya altura y

se da en función de la profundidad del eje neutro x (para el caso habitual en

que x 1,25h el valor de la altura del rectángulo es y = 0,8x; para el resto de

los casos y = h). Este diagrama se encuentra representado en la figura 2.2

(caso de x 1,25h).


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h

x y

0,85 fcd

Figura 2.2. Diagrama de cálculo rectangular.

La propiedad principal del hormigón es su resistencia característica a

compresión fck, que viene dada por el fabricante y garantiza que la probabilidad

de que la resistencia del hormigón sea mayor o igual que ese valor es del 95%.

La resistencia de proyecto afectada del correspondiente coeficiente de

seguridad se denomina fcd:

fcd

fck

gc

:=

Otra característica importante del hormigón es su módulo de

deformación longitudinal que, al no tener la curva tensión-deformación un tramo

elástico lineal, se toma la pendiente de la secante de la curva como módulo

instantáneo de deformación longitudinal:

Ec 85003

fcm×:=

Siendo fcm la resistencia media a compresión, expresada en MPa, y que

se calcula como:

fcm fck 8MPa+:=


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2.1.2. Acero para armaduras activas

La propiedad principal del acero es su resistencia a tracción, por ello se

combina con el hormigón de manera que las tracciones sean absorbidas por el

acero y las compresiones por el hormigón. Si además éste se pretesa

aplicando al hormigón una compresión inicial y un momento contrario a aquél

que soportará debido a cargas exteriores, podemos conseguir que en servicio

ninguna de las fibras del hormigón en ninguna de las secciones esté

traccionada, mejorando sensiblemente el comportamiento de la estructura y su

capacidad resistente. Conseguiremos por lo tanto aumentar considerablemente

el momento último del elemento pretensado y, además, desaparecerán otros

problemas asociados a tracciones en el hormigón como la aparición de fisuras.

El comportamiento del acero es lineal y elástico cuando está sometido a

tensiones hasta aproximadamente el 70% de su límite de rotura, es

homogéneo en su composición y sus propiedades no son tan variables como

las del hormigón, son más fáciles de predecir con una mayor seguridad. Por

tanto, es un material más fácil de modelizar y más fiable, por lo que los

coeficientes de seguridad que le aplicaremos serán menores que al hormigón.

La norma EHE [10] propone una curva de comportamiento compuesta

por un tramo recto de pendiente Ep y un tramo curvo a partir de 0,7fpk, que

llega a ser prácticamente horizontal en su último tramo (ver figura 2.3). La

expresión del tramo curvo será:

eP sP( )sP

Ep0.823

sP

fpk0.7-

æçè

ö÷ø

5

+:=


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Figura 2.3. Diagrama tensión-deformación característico para armaduras activas.

El diagrama de cálculo será el diagrama característico afectado del

coeficiente de seguridad del acero γs, siendo la resistencia de cálculo del

acero:

fpd

fpk

gs

:=

Además es posible utilizar un diagrama tensión-deformación simplificado

de cálculo, tomando el tramo de la curva para σp f pd como un tramo recto

horizontal σp = fpd, como se representa en la figura 2.4.

Figura 2.4. Diagrama tensión-deformación de cálculo simplificado para armaduras activas


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Generalmente el dato que facilita el fabricante es la resistencia máxima

del acero para armaduras activas fmax. Sin embargo, la resistencia a la que a

menudo se refiere la norma EHE [10] y la que suele utilizarse en los cálculos es

la resistencia característica fpk que, según el caso, como a continuación

explicaremos, corresponde a un determinado porcentaje de la carga unitaria

máxima fmax.

Según el artículo 32 de la EHE [10], las armaduras activas estarán

formadas por acero de alta resistencia, y sus elementos constituyentes pueden

ser alambres, cordones o barras.

Se denomina tendón al conjunto de las armaduras paralelas de

pretensado que, alojadas dentro de un mismo conducto, se consideran en los

cálculos como una sola armadura. En el caso de armaduras pretesas, recibe el

nombre de tendón, cada una de las armaduras individuales.

El alambre se define como un elemento de sección maciza, procedente

de un estirado en frío o trefilado de alambrón que normalmente se suministra

en rollo. Los alambres se designan con dos letras y el valor de su carga unitaria

máxima, y se distribuyen en una serie de diámetros que se indican en la tabla

2.1.

Designación Serie de diámetros nominales,

en mm Carga unitaria máxima fmáx

en N/mm² no menor que

Y 1570 C 9,4 - 10,0 1.570

Y 1670 C 7,0 - 7,5 - 8,0 1.670

Y 1770 C 3,0 - 4,0 - 5,0 - 6,0 1.770

Y 1860 C 4,0 - 5,0 1.860

Tabla 2.1. Tipos de alambre normalizados.

Su resistencia característica fpk estará comprendida entre el 85% y el

95% de su carga unitaria máxima fmax.

La barra es un producto de sección maciza, que se suministra solamente

en forma de elementos rectilíneos. Según la norma, su carga unitaria máxima


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fmax no será inferior a 980 N/mm2. Su resistencia característica estará

comprendida entre el 75% y el 90% de su carga unitaria máxima fmax.

Los cordones se clasifican en dos tipos:

- Cordón de 2 ó 3 alambres: Conjunto formado por dos o tres alambres de

igual diámetro nominal d, todos ellos arrollados helicoidalmente, con el mismo

paso y el mismo sentido de torsión, sobre un eje ideal común. Los tipos de

cordones normalizados son:




Y 1770 S2 5,6 - 6,0 1.770

Y 1860 S3 6,5 - 6,8 – 7,5 1.860

Y 1960 S3 5,2 1.960

Y 2060 S3 5,2 2.060

Tabla 2.2. Tipos de cordones de 2 ó 3 alambres.

- Cordón de 7 alambres: Conjunto formado por seis alambres de igual

diámetro nominal d, arrollados helicoidalmente, con igual paso y en el mismo

sentido de torsión, alrededor de un alambre central recto cuyo diámetro estará

comprendido entre 1,02 d y 1,05 d. Los tipos de cordones normalizados de 7

alambres son:




Y 1770 S7 16,0 1.770

Y 1860 S7 9,3 - 13,0 - 15,2 - 16,0 1.860

Tabla 2.3. Tipos de cordones de 7 alambres.

Su resistencia característica fpk estará comprendida entre el 88% y el

95% de su carga unitaria máxima fmax.


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Como módulo de deformación longitudinal del acero de las armaduras

constituidas por alambres o barras se adoptará, salvo justificación

experimental, el valor Ep = 200.000 MPa. En los cordones, si no existen valores

experimentales, puede adoptarse el valor Ep = 190.000 MPa.

2.2. CÁLCULO DE LA FUERZA DE PRETENSADO

El dimensionamiento de esta fuerza de pretensado y su excentricidad se

calcula suponiendo un estado límite de descompresión en el que, con las

cargas sin mayorar y en la sección más desfavorable frente a cargas

exteriores, se diseña el momento de pretensado que, siendo de signo contrario

al momento aplicado, ambos combinados den lugar a una distribución de

tensiones en la que ninguna fibra de la sección quede traccionada. A

continuación se adjuntan una serie de diagramas explicativos en los que se

representan las tensiones producidas en la sección debidas al momento

exterior (figura 2.5), al momento de pretensado (figura 2.6) y a ambos actuando

a la vez en la sección (figura 2.7). En ellos M es el momento exterior y Mp es el

momento de pretensado, igual a P (fuerza de pretensado) por e (excentricidad

de P respecto al baricentro G de la sección).

MP P e×:=

e yP yG-:=


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h G

e

-

+

M

si

ss

Figura 2.5. Tensiones debidas al momento exterior.

h G

e -P

si

Figura 2.6. Tensiones debidas a la fuerza y momento de pretensado.


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-

+

si

ss

-

si

+ =

ss

-

Figura 2.7.Tensiones en el estado límite de descompresión.

El procedimiento sería el siguiente:

- Calcular el momento máximo característico en la sección más

desfavorable.

- Calcular las tensiones en las fibras superior e inferior debidas a este

momento máximo (σS y σ i).

- Comprobar que σ i es menor que fcd (ya que será la compresión a la

que esté sometida la fibra inferior cuando actúe sólo el pretensado, y

debemos comprobar que sea una tensión admisible para el hormigón

a compresión).

- Hallar la fuerza de pretensado P y la excentricidad ex tales que,

actuando sólo el pretensado, en la fibra superior la tensión sea cero y

en la fibra inferior se produzca una tensión que compense la debida

al momento exterior (es decir, con el mismo módulo σ i y de signo

contrario). Las ecuaciones a cumplir serán:

Fibra superior:

Fibra inferior:

P-

A TP

ex

S s×+ 0

P-

A TP

ex

S i×- s i-


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Donde son datos conocidos:

AT Área de la sección

Ss Módulo superior de la sección

Si Módulo inferior de la sección

De las ecuaciones anteriores obtenemos P y ex. Éstas serán la fuerza y

excentricidad del pretensado en la sección de cálculo. No obstante, la

excentricidad puede variar a lo largo de la pieza si se considera oportuno,

siendo el trazado de los tendones en el pretensado exterior de forma poligonal,

con ayuda de los desviadores. Una vez diseñada la trayectoria del cable a lo

largo de toda la longitud, habrá que comprobar en las secciones más

significativas que esta fuerza y excentricidad de pretensado son adecuadas y

las tensiones resultantes son admisibles.

2.3. CÁLCULO DE LAS PÉRDIDAS DE LA FUERZA DE PRETENSADO

Se resume a continuación lo más importante respecto al cálculo de

pérdidas en la fuerza de pretensado para armaduras postesas según la norma

EHE [10].

2.3.1. Valor característico de la fuerza de tesado

Según el artículo 10.4 de la normativa EHE [10], el valor característico

de la fuerza de pretensado se calcula como:

Pk = P0 - DPi - DPdif

Siendo:

P0 Fuerza de tesado.

DPi Pérdidas instantáneas.

DPdif Pérdidas diferidas.


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Según el apartado 20.2.1, la fuerza de pretensado estará limitada de

manera que la tensión en los tendones no supere los siguientes valores:

s P0 min 0.75 fPmaxk× 0.9 fPk×,( )£

Siendo:

fPmaxk

Carga unitaria máxima característica.

fPk

Límite elástico característico.

2.3.2. Pérdidas instantáneas

Las pérdidas instantáneas de fuerza son aquéllas que pueden

producirse durante la operación de tesado y en el momento del anclaje de las

armaduras activas y dependen de las características del elemento estructural

en estudio.

Según el apartado 20.2.2 de la norma EHE [10], su valor en cada

sección es:

DPi = DP1 + DP2 + DP3

Siendo:

DP1 Pérdidas de fuerza, en la sección de estudio, por rozamiento a lo largo

del conducto de pretensado.

DP2 Pérdidas de fuerza, en la sección de estudio, por penetración de cuñas

en los anclajes.

DP3 Pérdidas de fuerza, en la sección de estudio, por acortamiento elástico

del hormigón.

Además de estas pérdidas deben tenerse en cuenta, en casos

especiales, pérdidas originadas por otras causas, tales como:

- deformaciones de los moldes, en caso de piezas prefabricadas


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- diferencia de temperatura entre armaduras tesas y la estructura

pretensada, como consecuencia del tratamiento del hormigón

- deformaciones instantáneas en las juntas de las estructuras

prefabricadas construidas por dovelas.

Los valores de estas pérdidas deben determinarse experimentalmente.

Pérdidas de fuerza por rozamiento

Las pérdidas teóricas de fuerza por rozamiento entre las armaduras y las

vainas o conductos de pretensado, dependen de la variación angular total α del

trazado del tendón entre la sección considerada y el anclaje activo; de la

distancia x entre estas dos secciones; del coeficiente µ de rozamiento en curva

y del coeficiente K de rozamiento en recta, o rozamiento parásito. Estas

pérdidas se valorarán a partir de la fuerza de tesado P0.

Donde

m Coeficiente de rozamiento en curva.

a Suma de valores absolutos de las variaciones angulares en radianes que

describe el tendón.

K Coeficiente de rozamiento parásito por metro lineal.

x Distancia al anclaje activo.

Para una mejor comprensión de cómo se calcula la variación angular α i

de cada tramo de longitud Li, se adjunta a continuación la figura 2.8. La

variación angular total α se calcula como la suma de todos los α i.

)1·( )(01

kxePP +--=D ma


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Figura 2.8. Cálculo de la variación angular.

Los datos correspondientes a los valores de µ y de k deben definirse

experimentalmente pero, a falta de éstos, cuando todos los elementos del

tendón se tesan simultáneamente, pueden utilizarse los valores dados por las

tablas 20.2.2.1.1.a, b, c y d de la norma EHE [10].

Concretamente, para los tendones utilizados en el pretensado exterior,

las pérdidas por rozamiento se concentran en los desviadores y, por lo tanto,

están fuertemente influenciados por las características de éstos. A falta de

datos específicos pueden utilizarse los valores de la tabla 20.2.2.1.1.d, que

corresponden al caso de tendones de cordones múltiples y que adjuntamos a

continuación (ver tabla 2.4).

Características de los desviadores y de los

cordones del tendón

m

m

k

Cordones secos sobre tubos de acero 0,25 – 0,30

Cordones engrasados sobre tubos de acero 0,20 – 0,25

Cordones secos sobre tubos de plástico 0,12 – 0,15

Cordones enfilados en un desviador plástico 0,05 – 0,07

0,00

Tabla 2.4. Valores de los coeficientes de rozamiento para pretensado exterior.


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Pérdidas de fuerza por penetración de cuñas

En tendones rectos postesos de poca longitud, la pérdida de fuerza por

penetración de cuñas puede deducirse de la expresión:

Donde

a Penetración de la cuña (a falta de datos del fabricante podrá tomarse a =

6mm).

L Longitud total del tendón recto.

Ep Módulo de deformación longitudinal de la armadura activa.

Ap Sección de la armadura activa.

En los demás casos habrá que tener en cuenta los rozamientos en los

conductos.

Pérdidas de fuerza por acortamiento elástico del hormigón

Cuando las tensiones de compresión al nivel del baricentro de la

armadura activa en fase de tesado sean apreciables, el valor de estas

pérdidas, DP3, se podrá calcular, si los tendones se tesan sucesivamente en

una sola operación, mediante la expresión:

Donde

Ap Sección total de la armadura activa.

pp AEL

aP ··2 =D

cj

pp

cpE

AE

n

nP

··

2

1·3

-=D s


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scp Tensión de compresión, a nivel del centro de gravedad de las armaduras

activas, producida por la fuerza P0 - DP1 - DP2 y los esfuerzos debidos a

las acciones actuantes en el momento del tesado.

Ep Módulo de deformación longitudinal de las armaduras activas.

Ecj Módulo de deformación longitudinal del hormigón para la edad j

correspondiente al momento de la puesta en carga de las armaduras

activas.

n Número de tendones que se tesan sucesivamente.

2.3.3. Pérdidas diferidas

Se denominan pérdidas diferidas a las que se producen a lo largo del

tiempo, después de ancladas las armaduras activas. Estas pérdidas se deben

esencialmente al acortamiento del hormigón por retracción y fluencia y a la

relajación del acero de tales armaduras. La fluencia del hormigón y la relajación

del acero están influenciadas por las propias pérdidas y, por lo tanto, resulta

imprescindible considerar este efecto interactivo.

Según el apartado 20.2.3 de la EHE [10], las pérdidas diferidas pueden

evaluarse de forma aproximada de acuerdo con la expresión siguiente:

Donde

yp Distancia del centro de gravedad de las armaduras activas al centro de

gravedad de la sección.

n Coeficiente de equivalencia igual a Ep/Ec.

j(t,t0) Coeficiente de fluencia para una edad de puesta en carga igual a la edad

del hormigón en el momento del tesad o t 0. Los valores de este

coeficiente se encuentran en la tabla 39.8 de la norma EHE [10] y

)),(1(11

8.0),(),(·

0

2

00

ttI

yA

A

An

ttEttnAP

c

pc

c

p

prcspcp

pdif

cj

sesj

+ïþ

ïýü

ïî

ïíì

++

D++=D


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depende de la humedad relativa, de la edad de puesta en carga t0, y del

espesor medio calculado como

u

Ae c×

=2

Ac Área de la sección transversal.

u Perímetro en contacto con la atmósfera.

ecs Deformación de retracción que se desarrolla tras la operación de tesado.

Sus valores pueden tomarse de la tabla 39.7 de la norma EHE, y

depende del grado de humedad del ambiente, del espesor medio de la

pieza, de la composición del hormigón y de la edad del hormigón. Como

valores finales pueden tomarse los indicados en el Eurocódigo 2 (ENV

1992-1-1:1991) [7] en la tabla 3.4 del apartado 3.1.2.5.5. (Ver tabla 2.5).

Espesor medio e (mm) Situación del elemento Humedad relativa

150 600

INTERIOR 50 % -0.6 ‰ -0.5 ‰

EXTERIOR 80 % -0.33 ‰ -0.28 ‰

Tabla 2.5. Deformación final de retracción εcs en tanto por mil.

scp Tensión en el hormigón en la fibra correspondiente al centro de

gravedad de las armaduras activas debida a la acción del pretensado, el

peso propio y la carga muerta.

Ac Área de la sección de hormigón.

Ic Inercia de la sección de hormigón.

c Coeficiente de envejecimiento. Para evaluaciones a tiempo infinito podrá

adoptarse c = 0,8.

Dspr Pérdida por relajación a longitud constante, que puede evaluarse con

Siendo:

p

kifpr

A

Prs =D


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rf Valor de la relajación a longitud constante a tiempo infinito (ver tabla

2.6).

Pki Valor característico de la fuerza inicial de pretensado, descontadas las

pérdidas instantáneas.

Ap Área total de las armaduras activas.

Para evaluar el valor de la relajación a longitud constante y tiempo

infinito podrá utilizarse la expresión dada por el apartado 38.9 de la EHE [10]

utilizando los datos suministrados por el fabricante o, a falta de éstos, con los

valores de la tabla 38.9.c de la misma norma, que adjuntamos a continuación

(ver tabla 2.6).

Tensión inicial

Tipo de armadura 0,6 fmax 0,7 fmax 0,8 fmax

Alambres y cordones 2,9 5,8 16,0

Barras 5,8 8,7 20,4

Tabla 2.6.Valores de la relajación rf (tanto por ciento de pérdida de la tensión inicial).

2.4. COMPROBACIÓN EN VARIAS SECCIONES

Una de las comprobaciones necesarias es la de tensiones admisibles en

las secciones más significativas, esto es, en los apoyos, en el centro de cada

vano, en el punto de aplicación de una carga puntual, etc. Las tensiones

deberán ser menores o iguales a cero (ante cargas de servicio hemos

dimensionado para que todas las fibras estén comprimidas) y mayores o

iguales a fcd (menores o iguales en módulo).

Estas comprobaciones deberán ser realizadas teniendo en cuenta las

fases de carga reales que se darán en la estructura. Normalmente estas fases

son: tensiones debidas sólo al pretensado, tensiones debidas al pretensado

más el peso propio y tensiones debidas al pretensado más el peso propio más

el total de cargas exteriores. Se considerarán en los cálculos las secciones

extremas (i denota la fibra inferior y s la superior).


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Las comprobaciones a realizar en una sección x genérica serán:

1. Tensiones debidas al pretensado

Fibra superior:

Fibra inferior:

2. Tensiones debidas al pretensado + peso propio

Fibra superior:

Fibra inferior:

3. Tensiones debidas al pretensado + peso propio + carga total exterior

Fibra superior:

Fibra inferior:

Siendo

x La distancia de la sección de estudio a uno de los extremos

Mp(x) El momento debido al pretensado en función de x

Mpp(x) El momento debido al peso propio en función de x

Mtot(x) El momento debido a cargas exteriores en función de x

2.5. CÁLCULO DE LA ARMADURA ACTIVA

Para calcular el área de acero de armadura activa que se necesitará,

dividimos la fuerza de pretensado por la tensión máxima a la que tesamos.

Ésta se calcula a partir de la tensión máxima inicial que indica la norma y

s s1P-

A T

M p x( )

Ss+ 0£:=

s i1P-

A T

M p x( )

Si- fcd³:=

ss2P-

A T

Mp x( )

Ss+

M pp x( )

Ss- 0£:=

s i2P-

A T

M p x( )

Si-

Mpp x( )

Si+ fcd³:=

ss3P-

A T

Mp x( )

Ss+

M tot x( )

Ss- fcd³:=

s i3P-

A T

Mp x( )

Si-

M tot x( )

Si+ 0£:=


30

teniendo en cuenta las pérdidas ya calculadas anteriormente. Denominando γ

al porcentaje de pérdidas con respecto a P en tanto por uno, y recordando que

la tensión máxima a la que podemos tesar es σP0 (ver apartado 2.3.1 de este

mismo capítulo), el área de acero necesaria se calcularía como:

0P

P

PA

sg ×= kPP f max0 75.0 ×=s

2.6. CÁLCULO DEL MOMENTO DE AGOTAMIENTO

El momento de agotamiento es aquel momento máximo que resiste la

sección antes de la rotura, después de haber sufrido grandes deformaciones,

fisuración, etc. El momento de diseño debe ser menor que el momento de

agotamiento.

Para el cálculo distinguiremos entre tensión efectiva (fPe) y tensión última

para la armadura activa (fPs). La tensión efectiva es aquélla a la que está

sometido el cable de pretensado a tiempo infinito, es decir, después de haber

sufrido las pérdidas de tensión, y es a la que se espera que esté sometida la

estructura la mayor parte de su vida. La tensión última es la tensión a la que

estará sometido el tendón en el momento del agotamiento, y que será algo

mayor que la tensión efectiva.

P

PeA

Pf = PsPePs fff D+=

No obstante, algunos códigos europeos consideran la tensión última

igual a la tensión efectiva, quedándose del lado de la seguridad pero, en

algunos casos, desaprovechando las cualidades del sistema de pretensado

exterior.

Para calcular este incremento de tensión ∆fPs, habrá que considerar el

comportamiento de toda la estructura y no el de una sección, pues no existe

compatibilidad en deformaciones entre el a c e r o y el hormigón. Las

recomendaciones de la ATEP [ 4 ] proponen 3 métodos para calcular este


31

incremento según el nivel de exactitud requerido, que se explicarán en el

capítulo 5 de este proyecto. En este caso usaremos la fórmula propuesta por el

código ACI [1]:

Dfps 68.95 MPa×fcd

kA P

B d pA×

æçè

ö÷ø

×

éêêêë

ùúúúû

+:=

Donde:

B Ancho de la sección

dpA Distancia del tendón a la fibra superior en la sección de cálculo A

k Coeficiente que se calcula con la siguiente expresión:

k 100LT

dpA

æçè

ö÷ø

35£if

300LT

dpA

æçè

ö÷ø

35>if

:=

El momento de agotamiento se calcula como:

Mu AP fps× z×:=

Siendo:

z El brazo mecánico, distancia entre el centro de tracciones (centro de

gravedad de los tendones pretensados) y el centro de compresiones

(centro de gravedad de la parte comprimida de la sección).

Para hallar el área comprimida de la sección utilizamos la ecuación de

equilibrio, igualando la fuerza de compresión (área comprimida por t ensión

máxima en el hormigón) a la de tracción (área de pretensado por tensión

última).

C = P

( ) PsPcdcy fAfA ×=×× 85.0


32

De la ecuación anterior obtenemos Acy, que es el área de la sección

comprimida de altura y (ver figura 2.9).

d

x y

0,85 f cd

B

C

P

Acy

zp

vcy

Figura 2.9. Cálculo del momento último.

Una vez obtenida el área, calculamos el centro de gravedad de ésta, vcy,

que depende de la forma de la sección.

El brazo mecánico será:

z dpA vcy-:=

Con todo esto, ya podemos calcular el momento último, que debe ser

mayor que el momento de diseño. El momento último del elemento estructural

calculado será el momento último en la sección más desfavorable, es decir, el

momento último en la sección en la que el cociente entre el momento último y

el momento de diseño se haga menor. Así, podemos también calcular el

coeficiente de seguridad real al que está sometido la estructura como:

grM

Mu

Mmax:=

2.7. CÁLCULO DE LA RESISTENCIA A CORTANTE

Para el análisis de la capacidad resistente de las estructuras de

hormigón frente a esfuerzos cortantes, la norma EHE [10] establece como

método general de cálculo el de Bielas y Tirantes, y señala una serie de


33

comprobaciones a realizar. Sin embargo, no propone una fórmula para el

cálculo de la resistencia a cortante, lo cual supone una limitación, ya que

podemos saber si la estructura resiste o no a cortante, pero no con qué

coeficiente de seguridad resiste ni lo cercanos o lejanos que estamos del

Estado Límite de Agotamiento. Por ello hemos preferido usar el código ACI,

que sí nos ofrece una fórmula para calcular esta resistencia a cortante.

También la ATEP [4] propone un método, pero éste lo veremos más adelante

en el capítulo 5.

La resistencia a cortante (ver fórmulas a continuación) consta de un

término que expresa el cortante resistido por el alma (el término en el que

aparece bw ) y otro que expresa la contribución conjunta del hormigón y la

armadura activa frente a la fisuración por interacción flexión-cortante (término

en el que aparece Mcr). El momento crítico representa el momento total

causante de la fisuración por flexión en la fibra extrema más traccionada. Para

que se produzca la fisuración, la tracción aplicada en la fibra inferior (o en la

fibra más traccionada) debe superar las tensiones de compresión existentes

debidas al pretensado más un término que expresa la resistencia del hormigón

a tracción.

El valor de la resistencia a cortante Vci según el código ACI es:

Vci x( ) 0.005 fck× bw× dpA× Vg x( )+DMcr x( )

a+:=

Donde

DMcr x( ) Sitr 0.05 fck×AP fpe×

Atr+

exc x( ) AP× fpe×

Sitr+

æçè

ö÷ø

× Mg x( )-:=

Siendo

Vg(x) Esfuerzo cortante debido al peso propio

Mg(x) Momento debido al peso propio

Atr Área transformada de la sección, que se calcula como:

A tr A T

Ep

Ec

æçè

ö÷ø

A P×+:=

AT Área total de la sección

AP Sección de armadura activa


34

Sitr Módulo de la sección transformada respecto a la fibra inferior

a Longitud del vano de cortante. Para una carga repartida a vale L/2. En el

caso de una carga puntual este parámetro vale L/2 y en el caso de una

doble carga puntual a L/3 este vale L/3

dpA Profundidad efectiva del centro de las fuerzas de tracción de las

armaduras, incluyendo armadura activa y pasiva

bw Ancho del alma

exc(x) excentricidad del tendón a lo largo de toda la longitud de la pieza

Una vez calculada la resistencia a cortante para toda la longitud de la

pieza, podemos ver cuál es la sección más desfavorable, es decir, dónde la

diferencia entre la resistencia y el valor del cortante se hace menor, y en este

punto calculamos el coeficiente de seguridad real de la estructura frente a

cortante, que nos da una idea de lo lejos estamos del agotamiento frente a

cortante.

t

cirV

V

V=g

En caso de que la resistencia a cortante no sea suficiente, se pueden

colocar estribos, y en la fórmula de la resistencia a cortante se añade un

término que expresa la contribución de los estribos para resistir el cortante.

e

Vyds

s

AfdV ×××= 9.0

Donde:

d Canto útil

Av Área de armadura transversal

se Separación de los estribos

fyd Resistencia de cálculo del acero

El coeficiente de seguridad real frente a cortante quedaría como:

t

scirV

V

VV +=g

CAPÍTULO 2 CÁLCULO DE PIEZAS CON PRETENSADO...

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