Capítulo 2

TOPOGRAFÍA

CAPÍTULO 2 : INTRODUCCIÓN

A LAS MEDICIONES Y TEORÍA

DE ERRORES

FERNANDO

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EXACTITUD Y PRECISIÓN

MEDICIONES Y TEORÍA DE ERRORES

Profesor: Ing. FERNANDO CAMPOS TOPOGRAFÍA

Exactitud↑ Precisión ↑

Exactitud↓ Precisión ↑

Exactitud↑ Precisión ↓

Exactitud↓ Precisión ↓

EXACTITUD Y PRECISIÓN

INTRODUCCIÓN.-

Toda medición contiene errores inevitables. Es necesario saber

cómo y cuándo se pueden ajustar o corregir estos errores.

EXACTITUD Y PRECISIÓN.-

La exactitud es el grado de perfección obtenido en las

mediciones (“valor real”).La precisión es el grado de refinamiento de las mediciones, es

decir que tan cerca está una medición de otra.



De

nsid

ad

de

pro

ba

bili

da

d

Va

lor

de

re

fere

ncia

Exactitud

PrecisiónValor

EXACTITUD

Valor real: 100m

1ra medición = 90 m

2da medición = 110 m

3ra medición = 100 m

Promedio = 100 m

El promedio = “valor real”, entonces es EXACTO



PRECISIÓN

Valor real: 100m

El valor promedio ≠ “valor real”, no es EXACTO

Una medición es muy similar a la siguiente, PRECISO

1ra medición = 90.01 m

2da medición = 89.99 m

3ra medición = 90.00 m

Promedio = 90.00 m



ERRORES

ERRORES.- Un error es la diferencia entre lo medido y el valor

real. Los errores no pueden ser eliminados, pero si minimizados.

Es importante conocer cuales son las fuentes de error en un trabajo

topográfico y como se clasifican los errores.



FUENTES DE ERROR

FUENTES DE ERROR.- Son de tres tipos:

• Instrumentales: se deben a imperfecciones o desajustes de

los instrumentos empleados.• Personales: se deben a la falta de habilidad del operador o a

sus limitaciones físicas.• Naturales: se deben a los fenómenos naturales que influyen en

las mediciones (viento, lluvia, temperatura).



CLASES DE ERROR

• La equivocación.- debido a la falta de atención del operador,

se evita comprobando todas las mediciones que se efectúen.• Error sistemático.- obedece a leyes fijas, a condiciones

constantes mantienen su signo y magnitud. Son acumulativos y

deben corregirse.• Errores aleatorios.- ocasionados por factores que quedan

fuera del control del observador. Siempre están presentes y su

magnitud y signo dependen del azar. Son positivos y negativos, y

tienden a cancelarse.



ERRORES

A pesar de que se obtenga la precisión requerida, es necesario

elaborar un plano que no presente errores de cierre, para lo cual se

realiza un ajuste.

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖ó𝑛 =1

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟



TEORÍA DE PROBABILIDADES

• Si se eliminan las equivocaciones y se corrigen los errores

sistemáticos, entonces las discrepancias serán únicamente debido a los errores aleatorios

• Observaciones de igual precisión.- son las realizadas en

exactas condiciones generales (mismo personal, mismo equipo,

condiciones climatológicas similares)




• El valor más probable.- se puede calcular si se realizan

mediciones redundantes. El valor más probable de una magnitud

medida varias veces con el mismo equipo y procedimiento, es la

media aritmética

𝑋 =𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + …+ 𝑋𝑛

𝑛

• Residuo.- es la diferencia entre cualquier valor medido de una

magnitud y su valor más probable

𝑣𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥




Leyes Generales de la Probabilidad:

• Los residuos pequeños ocurren con mayor frecuencia que los

grandes, es decir su probabilidad es mayor.

• Los errores grandes ocurren con poca frecuencia y los

excepcionalmente grandes son por lo general equivocaciones.

• Los errores positivos y negativos de la misma magnitud ocurren

con igual frecuencia.

• El valor verdadero de una cantidad es la media de un número

infinito de observaciones análogas.




Medidas de Precisión.- La magnitud de la dispersión es una

indicación acerca de la precisión de las medidas.

La desviación estándar y la varianza son términos estadísticos

usados comúnmente para expresar la precisión de una serie de

medidas

La varianza es igual a σ2, el cuadrado de la desviación estándar.

𝑣𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥



𝜎 = ± 𝑣𝑖

2

𝑛 − 1


Los errores 50, 90 y 95%

El error de 50% o sea E50, es el llamado error probable.

Los errores 90% y 95% se usan comúnmente para especificar

precisiones necesarias en trabajos topográficos.

𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖ó𝑛 =1

𝑋𝐸95




En algunos casos es necesario que el error 2σ sea menor o igual a

cierto valor para que el trabajo sea aceptable.

El error 3σ se usa como criterio para rechazar mediciones

individuales. De esta manera un valor cuyo residuo sea mayor a 3σ

se considera una equivocación.



EJEMPLO



N° medición Longitud (m) Residuo (v) v2

1 538.57 0.12 0.0144

2 538.39 -0.06 0.0036

3 538.37 -0.08 0.0064

4 538.39 -0.06 0.0036

5 538.48 0.03 0.0009

6 538.49 0.04 0.0016

7 538.33 -0.12 0.0144

8 538.46 0.01 0.0001

9 538.47 0.02 0.0004

10 538.55 0.10 0.0100

Suma 5384.50 0.00 0.0554

Promedio =

Desviación estándar =

E50 =

E90 =

E95 =

538.45 m

0.08 m

0.05 m

0.13 m

0.15 m

COMENTARIOS

La longitud más probable es de 538.45 m

La desviación estándar de una sola medida es 0.08 m, se espera

que el 68% de los casos se encuentren entre 538.37 y 538.53 m

(aproximadamente 7 valores)

El error probable E50 es 0.05, se espera que la mitad de los valores

estén dentro de 538.40 a 538.50 m.

El error de 95%es 0.15 m, se espera que los valores estén en el

intervalo 538.30 y 538.60 m. en 95% de las veces



PROPAGACIÓN DE ERRORES

Como todas las mediciones tienen errores, las cantidades

calculadas con dichos valores contendrán errores.

El proceso de evaluar estos errores se conoce como “Propagación

de Errores”.

Si tenemos una función M=f(x,y,z) con errores Ex, Ey, Ez, el error

EM se calcula:

Ejemplo:

Se tiene un tanque cilíndrico de radio R y altura H, las dimensiones

obtenidas con un 95% de error fueron: R=12±0.005 m, H=15±0.007

m. Calcule el error esperado al determinar el volumen.




Solución:

Para calcular el volumen: M=V=πR2H

Derivadas parciales:

Reemplazando en EM




Error de suma:

Si se requiere calcular la propagación de errores en la suma de

cantidades que contiene, cada una, diferentes errores:

Error de una serie:

Si cada cantidad medida tiene un error de igual magnitud, en ese

caso la fórmula anterior se simplifica:



EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Es la técnica a utilizar para ajustar o corregir los errores aleatorios.

También se emplea para realizar las curvas de ajuste cuando se

realizan varias observaciones.

El método de los mínimos cuadrados consiste en que la suma de

cuadrados de los residuos sea mínima.

Cuando se utilizan varias técnicas, con diferentes pesos se puede

emplear:

Donde:



Pasos para aplicar

el método de los mínimos Cuadrados:

1. Expresar cada medida como el valor medido más un residuo (Vi)

2. Expresar cada residuo como una función de las mediciones

3. Escribir la sumatoria ΣVi 2

4. Hallar las derivadas parciales de la función mínimos cuadrados

con respecto a las mediciones halladas e igualar a cero

5. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido

Ejemplo:

Para hallar la distancia entre los puntos A y B se tomaron las

siguientes medidas. Determine el valor más probable de AB.



EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Solución:



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