Planeacin y Diseo de Instalaciones 51 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes CAPTULO 3 3.LOCALIZACIN DE PLANTA: TCNICAS CUANTITATIVAS OBJETIVO GENERAL Aplicarloscriterios,modelosytcnicascuantitativosmsadecuadospara localizar una instalacin. OBJETIVOS ESPECFICOS Aplicarelmodelominisumparalocalizarunasolainstalacinutilizando distancias rectilneas. Aplicar un algoritmo para dibujar lneas de contorno. Aplicarelmodelominisumparadistanciaseuclidianasalcuadrado(centro de gravedad). Aplicar el modelo minisum para distancias euclidianas mediante el algoritmo de Kuhn y Kuenne. AplicarelalgoritmodeElzingayHearnpararesolverelproblemade minimax (cobertura del crculo). Aplicarelmtododecoberturadeldiamantecondistanciasrectilneasy distancias Tchebychev. Resolver problemas de instalaciones mltiples de diferentes tipos. Resolverproblemasdelocalizacindeinstalacionesmltiplesdelmismo tipo. Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 52 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo 3.1.INTRODUCCIN Enelcaptuloanteriorsevierondostcnicascualitativasquesirvenpara seleccionarelmejorsitioconsiderandofactorespreponderantementesubjetivos, sinembargo,enelcasodelmtodoBrownyGibsonseincluyenfactoresobjetivos (que permiten la asignacin de costos) y de factores crticos, a los cuales selesdauntratamientocuyoobjetivoesobtenerunamedidadelocalizacin adimensional,queaunquereflejaenciertomodolainfluenciadeloscostos asociados, tambin se ve influida por la subjetividad de otros. Enestecaptulosepresentanproblemasdelocalizacincuantitativosparauna solainstalacinyparainstalacionesmltiples.Primeramentesediscutirel problemaminisumcondistanciasrectilneasylaconstruccindelneasde contorno.Enseguidasetratarelmismomodelominisumcondistancias euclidianasalcuadrado(centrodegravedad)yeldedistanciaseuclidianas.Se haceunageneralizacinparaproblemasminisumdetresdimensionesyla distanciamedidacomopotenciap.Finalmente,paraelcasodeunasola instalacin,sediscuteelproblemadelocalizacinminimaxparainstalacionesde emergencia. La ltima parte del captulo se dedica a problemas de localizacin de instalaciones mltiples. 3.2. MODELO MINISUM Aunque los criterios cuantitativos no son por s solos suficientes para seleccionar unlugar,constituyenunmedioidneoparacoadyuvarenlatomadedecisiones sobre este asunto. Elcriterioqueconmayorfrecuenciaseusaenestetipodeproblemases minimizar alguna de las funciones que tienen que ver con la distancia o el viaje de recorrido de las materias primas y de los productos terminados. Este criterio est sustentadoenlasuposicindequesiseminimizanlosrecorridostambinse minimizarn los costos de manejo de materiales. Weber[Demelle,2003]fueprobablementeelprimerautorenpublicaruntrabajo significativosobrelalocalizacindeunasolainstalacin.Considercmo emplazar un solo almacn de forma que se minimizara la distancia total entre ste y los distintos clientes. Salvo que se especifique otra cosa, el modelo minisumest fundamentado en las siguientes suposiciones:1.Existendatossobrecostosyflujosdematerialesparacondiciones con definicin no totalmente especificada. 2.Los costos de manejo de materiales son lineales, sus incrementos en relacinconlascantidadessiguenleyesigualmentelinealesyse pueden asignar actividades especficas. 3.Loscostosdemanejodematerialesconstituyenelnicofactor significativo. 4.Los datos sobre flujos de materiales son deterministas. Planeacin y Diseo de Instalaciones 53 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes 5.Noexisteinteraccinentreelproblemadedeterminarel emplazamiento y otros problemas presentes en el sistema. Formulacin general del problema Sea m: El nmero de instalaciones existentes iP : La ubicacin de la instalacinm i ,... 2 , 1 i , =X : Punto donde se va a situar la nueva instalacin ( )iP X d , : Funcin de la distancia recorrida en un desplazamiento entre puntosXy iP . iw :Elproductodelcostoporunidaddedistanciarecorridayelnmerode desplazamientosefectuadosporunidad detiempoentrelainstalacinnuevayla instalacin existente i, al que se le denomina peso. ( )( ) tiempo de unidad viajes distancia tiempo de unidadesen expresa se lmente Dimensionaiw ( ) viaje distancia de s dimensione tiene , y iP X dEntonces,siladistanciaqueserecorreentreunanuevainstalacinyuna instalacinexistentei ,esviaje Km 30 ;elcostoesdeKm $ 10 yserealizan90 viajes por ao, el costo anual sera ( ) ( )( )( )ao $ 27,00090 $ 10 30 ,== ao viajes km viaje km Pi X d wi Pero como en un problema de este tipo se tienen m instalaciones existentes, nos interesara minimizar la suma del costo total: ( ) ( ) ( ) ( )m mP X d w P X d w P X d w X F , ... , , Minimizar 2 2 2 1 1+ + + =O introduciendo la notacin de suma ( ) ( ) (3.1) , Minimizar 1==mii iP X d w X F Cuandoelcostoporunidaddedistanciaesconstante,entonceselproblemade obtener el mnimo se reduce a determinar la localizacin que minimice la distancia. Este modelo se puede aplicar a muchas situaciones prcticas. Un ejemplo es que sedeseelocalizarunanuevaplantalacualdebesuministrarsusproductosa variosalmacenes(instalacionesexistentes)yrecibirsusmateriasprimasde diferentespuntos(quetambinseraninstalacionesexistentes);endondelos costosdetransportequeseoriginansonproporcionalesalasdistanciasentrela nueva planta y los almacenes; el trmino iwpodra ser el costo de transporte por unidad de distancia para un pedido dado, entre la planta y la instalacini . Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 54 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Pero tambin es posible utilizar este modelo dentro de una planta. En el contexto deladistribucindeplantadondesetengacomoobjetivoencontrarlamejor ubicacin de una mquina nueva considerando las instalaciones existentes (otras mquinasyainstaladas).Aquseconsideraraelrecorridoodesplazamientode laspiezasoproductosenprocesoentrelanuevamquinaylasexistentes. Nuevamente,loscostosgeneradossondirectamenteproporcionalesalas distancias recorridas. Otros ejemplos de aplicacin del modelos son: [Francis, McGinnis y White, 1992]: Localizar una caseta de herramientas en una instalacin de manufactura. Localizarunnuevoalmacnrelacionadoconlasinstalacionesde produccin y los consumidores. Localizar un hospital, una estacin de bomberos o una biblioteca en un rea metropolitana. Localizarunanuevabombaenunaoperacinqumicaparaminimizarel costo total de la tubera que va desde y hasta la bomba. Localizar un componente en una red elctrica para minimizar el costo total de alambre conectado al componente. Localizarunnuevocomponenteenunpaneldecontrolparaminimizarel movimiento total del ojo entre el nuevo componente y otros componentes ya ubicados en el panel. Localizar un muelle en un almacn para propsitos de carga y descarga de mercancas, etc. No se debe perder de vista de que un modelo es una abstraccin de la realidad y que puede explicar mejor la situacin fsica en unos contextos que en otros, pero que es una gua invaluable para el planeador de instalaciones quien deber utilizar otrosfactorespertinentesparallegaralamejorsolucin,msapegadaalavida real. Mtodos de distancia Regresando a la ecuacin (3.1) ( ) ( )==mii iP X d w X F1,Seobservaquesetieneunafuncindedistancia( )iP X d , quepuedeser observadadeacuerdoadiversostiposdedistancia,porejemploladistancia rectilnea y distancia euclidiana (ver figura 3.1) Esimportantedecidirculeslanormadedistanciaqueseusarencadacaso. Intuitivamente se piensa que debe ser una lnea recta entre dos puntos (distancia euclidiana), pero esta slo es vlida en ciertos casos, como podra ser el recorrido de un avin o una embarcacin. Pero en el caso de una fbrica, donde los pasillos Planeacin y Diseo de Instalaciones 55 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes siguen rutas ortogonales, el desplazamiento de los materiales en los montacargas se mide con distancias rectilneas. b y a x d + = a)( ) ( ) | |212 2b) b y a x d + =Figura 3.1 Dos tipos de distancia: rectilnea (a) y euclidiana (b) 3.2.1.El problema de localizacin con distancias rectilneas. Elcasomssencilloparaestetipodeproblemasesdelocalizacin unidimensional, el cual ser abordado a travs de un ejemplo. Ejemplo 3.1 Considreseelcasodelalocalizacindeunanuevaplantadeformaquese minimiceelcosto detransportedemateriales.Supongaquelaplanta proveer a dos clientes Ay B, situados a lo largo de una va de ferrocarril. Se considera que loscostossonproporcionalesaladistancia( ) Km $ 100 .Porrazonesde simplicidad,sesuponequelosclientesestnsituadosa100Km.unodelotro (vase la figura 3.2). Se tiene previsto que se realizarn 10 viajes anuales desde lanuevaplantahaciacadaunodeloslugaresdondeseencuentranlosclientes. Culdebeserlalocalizacindelaplantaqueminimizaelcostototalde transporte? Figura 3.2 Problema unidimensional para 2 1y2 w w m = = Solucin El valor deao km viaje km ao viajes w w = = = / $ 1000 $ 100 x102 1 AB 0 km100 km 10001 = w 10002 = w 2(a,b) 1 (x,y)1 2(a,b) (x,y) Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 56 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Siseusalaecuacin3.1paraevaluarelefectodeladistanciaentrelaplanta nueva y las dos instalaciones existentes, A, B, se tiene ( ) = =21 ii ia x w X FDondexes la ubicacin de la nueva planta y iaes la ubicacin de la instalacin existente. Porejemplo,silaplantaseubicaenelkilmetro10,apartirdelaubicacindel cliente A,10 = x , entonces estar90 Km. distante del cliente B y el costo total es ( ) ( ) ( )( ) ( )( )aoviaje km ao km viaje viaje km ao km viaje F X F$ 000 , 10090 $ 1000 10 $ 1000 10= + = =La tabla 3.1 muestra los costos de transporte para las distintas ubicaciones de la nuevaplanta.Obviamenteelcostoeselmismoparacualquierpuntodondese localicelaplanta.PeroquocurresielclienteA,porejemplo,decidecomprar 1500 unidades anuales? El costo ser el mismo para cualquier valor dex ? Localizacin de la nueva planta (Km.) 0102030405060708090100 Costototal ( ) ao $ x1000100100100100100100100100100100100 Tabla 3.1 Costo de transporte para el caso de 2 1y2 w w m = =Para este segundo caso el comportamiento del costo puede observarse en la tabla 3.2. Seobservaqueelmnimocostose obtienesila nuevaplantasesita enel mismositioqueelclienteA,yqueamedidaquesevaalejandodelclientecon mayor peso( ) 1500 =iwel costo se va incrementando. Localizacin de la nueva planta (Km.) 0102030405060708090100 Costototal ( ) ao $ x1000100105110115120125130135140145150 Tabla 3.2 Costos totales para el caso de 2 12 w w y m =Ahora examinemos qu ocurre si se tienen cuatro clientes, A, B, C Y D, ubicados en los kilmetros 0, 30, 70 y 100, y con pesos . 1000 y800 , 1000 , 1500 = = = =D C B Aw w w wEn este caso evaluaremos slo los valores dexdonde existe un cliente, as Planeacin y Diseo de Instalaciones 57 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes ( ) = =mii ia x w X F1usando( )aoX F$ 000 , 186100 0 1000 70 0 800 30 0 1000 0 0 1500 0= + + + = = ( )ao $ 000 , 147100 30 1000 70 30 800 30 30 1000 0 30 1500 30= + + + = = F ( )aoX F$ 000 , 175100 70 1000 70 70 800 30 70 1000 0 70 1500 70= + + + = = ( )aoX F$ 000 , 244100 100 1000 70 100 800 30 100 1000 0 100 1500 100= + + + = = De los clculos anteriores se observa que el costo mnimo se encuentra en30 = x , esahdondedebeubicarselanuevaplanta.Siseasocianestosresultadoscon los pesos iwy sus valores acumulados se observa que el ptimo es el punto que no tiene, ni a su derecha ni a su izquierda, ms de la mitad del peso total, en este caso == + + + =414300 1000 800 1000 1500iiw , la figura 3.3 muestra esta relacin. Figura 3.3 El costo mnimo se obtiene para30 = x . Obsrvese que esto ocurre cuando el punto no tiene ni a su izquierda ni a su derecha ms de la mitad del peso total. 250 200 150 100 50 iiww 1500 1000 8001000 1500250033004300 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Km 0 (> 4300/2) AP BP CP Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 58 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Algunas conclusiones que se pueden obtener de la discusinprecedente son las siguientes: 1.Elpuntoptimosiemprecaerendondeseencuentreunainstalacin existente y est asociada al 50-simo percentil o el valor mediano (de ah el nombre del mtodo de la mediana), del acumulativo de los pesos. 2.Siemprequelademandadeunclienteseaigualomayorquelasumade lasdemandasdelosotrosclientes,lalocalizacindelanuevaplanta (instalacin)coincideconladelclienteconmayordemanda.Aestosele conocecomoelTeoremadelamayora(Sule,2001),queesvlidopara los clculos del costo que estn basados en distancias lineales (l). Estosresultadospuedensertrasladadosaunproblemadelocalizacin bidimensional. Considere la ecuacin general ( ) ( )==mii iP X d w X F1, Sean: ( )( ) existente ninstalaci la de s coordenada las , Pn instalaci nueva la de s coordenada las ,i i ib ay x X== Entonces para la distancia rectilnea se tiene: ( ) | |= + =mii i ib y a x w y x F1,(3.2) Esta funcin puede reescribirse como ( ) ( ) y F x F y x F2 1) , ( + =Donde ( ) = =mii ia x w x F11 (3.2a) Y ( ) = =mii ib y w y F12 (3.2b)Lasecuaciones3.2ay3.2benrealidadrepresentandosproblemas unidimensionalesy,comohaquedadoasentado,enestetipodeproblemasla localizacinptimacoincideconladeunainstalacinexistente,esdecir,la coordenadadex paralanuevainstalacineslacoordenadadeunainstalacin existenteylacoordenaday delanuevaplantaeslacoordenadadeuna instalacin existente (no necesariamente la misma dex ). La solucin para ambos problemas es similar al caso unidimensional, en el que se usaelmtododelamediana(odel50-simopercentil),dondesedividenlos pesos acumulados entre 2 y se determina la coordenadax(despus la dey ) de Planeacin y Diseo de Instalaciones 59 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes manera que no ms de la mitad de los pesos acumulados est a la izquierda de la coordenada y la otra mitad a la derecha. Es decir 2y21 1=>=< miix aimiix aiwwwwi i Procedimiento. Un procedimiento sencillo para determinar el sitio ptimo usando el mtodo de la mediana es el siguiente: a)Identificar la mediana del peso acumulado total. b)Encontrarelvalordelacoordenadax delainstalacinexistenteque enva (o recibe) la mediana del peso. c)Encontrarelvalordelacoordenaday delainstalacinexistenteque enva (o recibe) la mediana del peso. Losvaloresdey x yencontradosenbyc,definenlaubicacindeseadadela instalacin nueva. d)Evaluar la funcin objetivo ( ) ( ) ( ) + = y F x F y x F2 1 Ejemplo 3.2 La compaa ABC desea ubicar una nueva planta. Los datos de las coordenadas y pesos de las instalaciones existentes estn dados en la tabla 3.3 Utilice el mtodo de la mediana para determinar la localizacin ptima para la nueva planta. Instalacin, iP1P2P3P4P5PCoordenadas ( )i ib a ,(2,4)(12,10)(6,9)(12,2)(8,2) Peso, iw 104385 TABLA 3.3 Datos del ejemplo 3.2, problema minisum bidimensional, con cinco instalaciones existentes. Solucin Lafigura3.4muestragrficamentelaubicacindelasinstalacionesexistentesy se tomar como referencia para el desarrollo del ejemplo. 1.Determinacin de la mediana de los pesos Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 60 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo 1525 8 3 4 10251=+ + + += = = iiwMediana 2.Determinar la coordenadax . Esto se obtiene acumulando los pesos de las instalaciones existentes. En este caso la primera que se encuentra desde el origenes 1P ,conunpesode10,porlotantonocontienelamediana; despus 3P ,con un peso de 3, que sumado a los 10 anteriores da un total de 13 que no contiene a la mediana y, finalmente, 5P , cuyo peso es 5 que sumadosalos13delasdosanterioresda18,porloqueestainstalacin contiene a la mediana y, por lo tanto es la ubicacin ptima para el eje de las abscisas. La Tabla 3.4 muestra estos clculos. Figura 3.4 Ubicacin y pesos de las plantas existentes. Se dibuja tambin la localizacin de la nueva planta 246 81012 12 10 8 6 4 2 0 P1(2,4) W1=10 P3(6,9) W1=3 P5(8,2) W1=5 P2 (12,10) W1=4 P1(12,2) W1=8 Nueva planta (8,4) y x Planeacin y Diseo de Instalaciones 61 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes iPiaiw iwContiene la mediana?OBSERVACIONES 1P 21010No (ptimo) 8 =x 3P 6313No 5P 8518S Tabla 3.4 Determinacin de la abscisa para el ejemplo 3.2 3.Determinarlacoordenaday .Sesigueunprocesosimilaraldelpunto anterior,sloqueahorasevanacumulandolospesosenfuncindela ordenada, la mnimo costo se obtendr en la ordenada y = 4. Vase la tabla 3.5.iPibiw iwContiene la mediana?OBSERVACIONES 5 4y P P 28 y 513NoTienen la misma ordenada (ptimo) 4 =y1P 41023S Tabla 3.5 Determinacin de la ordenada para el ejemplo 3.2 4.Evaluar la funcin objetivo ( ) ( ) | || | | | | || | | |( ) 179 4 , 82 4 8 8 5 2 4 12 8 89 4 6 8 3 10 4 12 8 4 4 4 2 18 104 8 4 , 8 ,51= = + + + = + + + + + = + = ==Fb a w F y x Fi iii Lneasdecontorno.Enalgunasocasioneslasolucinptimaencontrada medianteelmtododelamedianapuedesernofactible.Pudierahaber restricciones en la zona o en la comunidad para cierto tipo de industrias o el sitio podra coincidir con alguna instalacin, como sera el caso de la ubicacin de una nueva mquina que coincidiera con el de una mquina existente. Para solucionar estopodraexplorarselossitioscercanosalptimoparatomarunadecisinal respecto. Este anlisis se realiza a travs de las lneas de contorno. Una lnea de contornoesunalneadevalorconstanteparalafuncinobjetivo.Selellama tambin lnea de isocostos. Algoritmo para dibujar las lneas de contorno Para dibujar lneas de contorno se ha diseado un algoritmo que incluye los pasos siguientes: 1.Dibujelaslneasverticalesp paraintersectartodaslas ia ylaslneas horizontalesqpara intersectar ib . Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 62 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo 2.Etiquete las lneas verticales como jCy las lneas horizontales como jR , la suma de los pesos de las instalaciones intersectadas por las lneas. 3.Establezca = = = miiw10 0.Etiquetelascolumnasp j ,..., 1 = mediante j jC 21 j+ = y las filasq j ,..., 1 =mediante j j jR 21 + = 4.Paracadasegmentorectangular| | s r, calculelapendientedeisocosto mediante rssrS =5.Seleccionecualquierpunto( ) y x, ydibujeelcontornoqueinicieytermine en( ) y x, usandolapendiente srS encadasegmento.Elpaso5debe repetirse tantas veces como se desee para producir un mapa de contorno. Ejemplo 3.3 Supongaqueenelejemplo3.2elpuntoptimo( ) 4 , 8 esnofactibleporalguna raznyquesedeseaexplorarlosalrededoresdeste,apartirdelpunto( ) 2 , 8 . Dibuje las lneas de contorno siguiendo el algoritmo presentado arriba. Paso 1. La figura 3.5 muestra las lneas verticalespque intersectan todas las iay las lneas horizontalesqpara insertar las ib Figura 3.5 Pasos 1 y 2, se dibujan las lneas que pasan por cada instalacin existente y se anotan los valores de Cj y Rj. (Nueva planta) Rj 4 3 10 13 Cj 10 3 5 12 Planeacin y Diseo de Instalaciones 63 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Paso 2. En la figura 3.5 se muestran los valores de jCy jRPaso 3. Calcular 0 0y ( ) 30 5 8 3 4 1051 = + + + + = = = = ii o owLosvaloresde j j ysemuestranenlatabla3.6yenlafigura3.6seanotan stos.Losnmerosaparecenencerradosenuncrculosonlaspendientes obtenidas en el siguiente paso (4). j j jC 21 + = j j jR 21 + = ( ) 4 13 2 301 = + = ( ) 10 10 2 301 = + = ( ) 16 10 2 42= + = ( ) 4 3 2 102 = + = ( ) 22 3 2 163= + = ( ) 6 5 2 43= + = ( ) 30 4 2 224= + = ( ) 30 12 2 64= + = Tabla 3.6 Valores de j j y Paso 4. Clculo de las pendientes a partir de rssrS =Por ejemplo, para los valores de Cj =-30, se tienen las siguientes pendientes: 130301115203081516302154301303030 , 3022 , 3016 , 304 , 3030 , 30= = = = = = = = = = SSSSS Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 64 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Figura 3.6 Valores j j j jy R C , , para el ejemplo 3.3 Paso5.Sepideiniciarenelpunto( ) 2 , 8 ,queenestecasocorrespondealpunto dondeselocaliza 5P .Comosetratadeirexplorandolosalrededoresdela localizacinptima( ) 4 , 8 ,lorazonableesbuscarunpuntodex enla ordenada 4 = y , y con la pendiente23 y usando ( )( )3298234 21 11 1= => = = x xx x m y y Entonceselsegundopuntoes |.|

\|4 ,329ysedibujalaprimeralneadeisocosto (Figura 3.7). Ahorasetienecomoprimerpunto |.|

\|4 ,328,porloquesedibujarlalneade isocostosobreelsegmentoquetieneunapendientede8 3 .Porloquese deber buscar el valor de la ordenada sobre el valor de6 = x j30 22 16 -4 -30 (Nueva planta) Rj 4 3 10 13 Cj 10 3 5 12 j-303-4630 -1-1/3-2/151/51 -15/2-5/2-13/215/2 15/85/81/4 -3/8 -15/8 15/115/111/11-3/11-15/11 11/32/15-1/5-1 Planeacin y Diseo de Instalaciones 65 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes 29832883411=|.|

\|= yy Figura 3.7 Primera lnea de isocosto, para el problema del ejemplo 3.3 La figura 3.8 muestra las lneas de contorno que regresan al mismo punto de inicio ( ) 2 , 8 . Las coordenadas de los cuatro puntos que forman las lneas de contorno se muestranenlatabla3.7.Observequeelcostototaleselmismoentodoslos puntos. CoordenadasCosto Total ( ) 2 , 8 187 |.|

\|4 ,328 187 |.|

\|29, 8187 ( ) 4 , 6 187 Tabla 3.7 Las Coordenadas que definen las lneas de isocostos ($187) para el ejemplo 3.3 j30 22 16 -4 -30 (Nueva planta) Rj 4 3 10 13 Cj 10 3 5 12 j-303-4630 -1-1/3-2/151/51 -15/2-5/2-13/215/2 15/85/81/4 -3/8 -15/8 15/115/111/11-3/11-15/11 11/32/15-1/5-1 Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 66 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Figura 3.8 Lneas de contorno completas para el ejemplo 3.3 3.2.2.Elproblemadelocalizacincondistanciaseuclidianasal cuadrado (centro de gravedad) Paraelestudiodelosproblemasenlosqueeldesplazamientoentredospuntos se realiza a lo largo de una lnea recta que los une y los costos son proporcionales al cuadrado de la distancia, la ecuacin 2.1 se formula como sigue: ( ) ( ) ( ) | |2 21, Minimizar i imiib y a x w y x F + ==3.3 Cualquier punto( ) y x ,que haga mnima la ecuacin 3.3 debe satisfacer ( ) ( )( ) 0 , 0,,,=yy x Fxy x F 3.4 Alcalcularlasderivadasparcialesde3.4conrespectoay x yeigualndolasa cero, se obtiene la solucin ptima nica j30 22 16 -4 -30 (Nueva planta) Rj 4 3 10 13 Cj 10 3 5 12 j-303-4630 -1-1/3-2/151/51 -15/2-5/2-13/215/2 15/85/81/4 -3/8 -15/8 15/115/111/11-3/11-15/11 11/32/15-1/5-1 Planeacin y Diseo de Instalaciones 67 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes == =miimii iwa wx11 3.5(a) == =miimii iwb wy11 3.5(b) Puede demostrarse que la condicin 3.4 es necesaria y suficiente para satisfacer lacondicindemnimo.Estasolucinesconocidacomodelcentroideodel centro de gravedad. Ejemplo 3.4 ConsiderelosdatosdelacompaaABCdelejemplo3.2,con ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 8 ; 2 , 12 ; 9 , 6 ; 10 , 12 ; 4 , 25 4 3 2 1= = = = = P P P P P ,yponderaciones 5 , 8 , 3 , 4 , 105 4 3 2 1= = = = = w w w w w .Siseutilizandistanciaseuclidianasal cuadrado, cul ser la localizacin ptima de la planta? Solucin Aplicando las ecuaciones 3.5(a) y 3.5(b) 4 . 75 8 3 4 108 * 5 12 * 8 6 * 3 12 * 4 2 * 105151=+ + + ++ + + += === iiii iwa wx43 . 4302 * 5 2 * 8 9 * 3 10 * 4 4 * 105151=+ + + += === iiii iwb wyParacalcularel costocuadrticose utilizalaecuacin 3.3 y arroja un total de 3.2.3.El problema de localizacin de una sola instalacin con distancias euclidianas. El mtodo del centro de gravedad utiliza el mismo criterio de separar la ecuacin generalendosproblemasunidimensionales,perosisedeseautilizardistancias euclidianas, la formulacin es como sigue: ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | |57 . 8182 43 . 4 8 4 . 7 5 ... 4 43 . 4 2 4 . 7 102 2 2 2= + + + + = y x FMtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 68 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo ( ) ( ) ( ) | |212 21,i imiib y a x w y x F + ==3.6 Laecuacin3.6representaunafuncindedosvariablesnoseparables.Este problema tiene su historia, se denomina problema de Steiner-Weber o problema general de Fermat y ha sido difcil de resolver porque en los puntos iPno existe la derivada.Fermatplanteelproblemapara3 = m y1 =iw para3 , 2 , 1 = i que resolvi Torricelli con geometra pura. Despus lo estudiaron Steiner (siglo XIX) y Weber(sigloXX).Inclusoseusunmodeloanalgicopararesolverelesquema de Fermat generalizado que permite demostrar que el centro de gravedad no es la solucinptima.Permiteademsdemostrarelteoremadelamayoraquese enuncia de la siguiente manera: Si una instalacin preexistente tiene asociado un pesonoinferioralamitaddelpesototal,laposicindedichainstalacinesuna localizacin ptima para la nueva [Francis, McGinnins y White, 1992, p. 187]. El modelo analgico se presenta en la figura 3.9. Es un tablero colocado en forma horizontal con orificios en posiciones adecuadas que representan la ubicacin de las instalaciones existentes; conm trozos de hilo que estn unidos por un nudo en unextremo.Sehacepasarcadahiloporcadaunodelosorificiosyenelotro extremodecadahilosecuelgaunpeso iw .Cuandosesueltaestesistemade pesos y se logra el equilibrio, el lugar donde quede el nudo comn ser la solucin del problema. Figura 3.9 Modelo analgico para el problema de localizacin con distancias euclidianas Pararesolverelproblemase puede usarelmismoprocedimientodel mtododel centro de gravedad, calcular las derivadas parciales de la funcin 3.6 e igualarlas a cero. Suponiendo( ) ( )i ib a y x , , m x ,..., 2 , 1 =las derivadas parciales son W1 W2 W3 W4 W5 Planeacin y Diseo de Instalaciones 69 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes ( ) ( )( ) ( ) | |= + =mii ii ib y a xa x wxy x F12 221,3.7 ( ) ( )( ) ( ) | |= + =mii ii ib y a xb y wyy x F12 221,3.8 Paracualquiervalordei ,talque( ) ( )i ib a y x , , = lasecuaciones3.7y3.8toman valoresindefinidos.PararesolveresteinconvenienteKuhnyKuenne[Prawda, 1982] disearon un algoritmo iterativo para resolver estas ecuaciones

3.9 3.10

Observe que estas ecuaciones corresponden a la solucin del centro de gravedad, deben calcularse a partir de( ) ( )( )( )( )= = =mik kimik ki iky x gy x g ax11 111 1,, 3.11 ( ) ( )( )( )( )= = =mik kimik ki iky x gy x g by11 111 1,, 3.12 Donde ( )( ) ( ) | |212 2,i iiib y a xwy x g + =3.13 Esteprocesoiterativoterminacuando,parauna0 > arbitraria < k kx x1y < k ky y1 para alguna0 , > k k======miimii imiimii iwb wywa wx1111y Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 70 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Ejemplo 3.5 Tomandolosdatosyresultadosdelejemplodelcentrodegravedad,resuelvael problema utilizando el algoritmo de Kuhn y Kuenne. Solucin ( ) ( )43 . 4 y 4 . 70 0= = y x(Del problema ejemplo 3.4) Ahora se calculan los valores de( ) y x gi,( ) ( ) | |212 2i iiib y a xwg + =( ) ( ) | |846 . 14 43 . 4 2 4 . 710212 21= + = g( ) ( ) | |554 . 010 43 . 4 12 4 . 74212 22= + = g( ) ( ) | |628 . 09 43 . 4 6 4 . 73212 23= + = g( ) ( ) | |538 . 12 43 . 4 12 4 . 78212 24= + = g ( ) ( ) | |998 . 12 43 . 4 8 4 . 75212 25= + = gSe sustituyen los valores de igpara1 = k(primera iteracin) ( )( )396 . 7998 . 1 538 . 1 628 . 0 554 . 0 846 . 1998 . 1 * 8 53 . 1 * 12 628 . 0 * 6 554 . 0 * 12 84 . 1 * 2,,510510 01=+ + + ++ + + += ===ioiii ig x gy x g ax ( )( )907 . 3654 . 6998 . 1 * 2 538 . 1 * 2 628 . 0 * 9 554 . 0 * 10 846 . 1 * 4,,510510 01=+ + + += ===ioiii ig x gy x g by Sedejaallectorquecalculelasegundaiteracin,cuyoresultadoes ( ) ( ) 68 . 3 , 47 . 7 ,2 2= y x3.3. PROBLEMAS DE LOCALIZACIN MINIMAX Este tipo de problemas ocurren cuando se desea que la distancia mxima desde una nueva instalacin hasta cualquiera instalacin existente deba ser tan pequea como sea posible. Porejemplo,supongaquesedeseaencontrarellugarptimoparalocalizarun helicpterodestinadoaatenderaloslesionadosdelosdeportesinvernalesen Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 52 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo distintas regiones, de manera que se minimice el tiempo mximo para responder a unaemergenciasuscitadaencualquiersitio.Otroejemploesdndeubicaruna estacinderadioquetrasmitirsusealaciertaslocalidadesconocidasaun costomnimo,yaqueelcostodetransmisinesdirectamenteproporcionalala potencia de la estacin de radio, y sta determina la distancia que recorre la seal. Estetipodeproblemassonconocidoscomoproblemasdecoberturadel crculo, que utiliza distancias euclidianas.Cuando ocurren desplazamientos rectilneos, entonces el problema corresponde a unollamadoproblemadecoberturadeldiamante.Unejemploescuandose quiere ubicar una instalacin que sirva a un nmero dado de clientes, tal como los extintores en una planta, las estaciones de bomberos, en los que la suposicin es que el recorrido se hace en distancias rectilneas. 3.3.1.Problema de cobertura del crculo Paraentenderlanaturalezadeesteproblemasedesarrollanalgunosejemplos sencillos, para despus discutir el algoritmo Elzinga-Hearn que es ms general. Ejemplo 3.6 Supongaquesedeseaencontrarelsitiomsadecuadoparaestacionarun helicpteroqueatenderlasemergenciasquepuedanocurrirendos localizacionesexistentes,esdecir,2 = m ,quetienecomocoordenadas(1,2)y (5,2). En este caso, inmediatamente pensamos que la ubicacin del helicptero el punto medio del segmento entre 2 1y P Pes decir( ) 2 , 3 =x . Ver la figura 3.10 Figura 3.10 Localizacin ptima del helicptero de emergencia para m = 2, mediante la bisectriz perpendicular del lado y el centro de una distancia 123456 1 2 3 4 5 6 ( ) 2 , 3 * = X( ) 2 , 52P ( ) 2 , 11PPlaneacin y Diseo de Instalaciones 53 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ejemplo 3.7 Ahorasupongaqueexistentreslugaresdondepuedenocurriraccidentes,cuyas localizacionesson(2,-2),(2,6)y(8,0).Enestecaso,sebuscaunpuntode localizacindelhelicpteroqueestubicadoalamismadistanciadelas localizacionesexistentes 3 2 1y, P P P .Esteeselpuntodeinterseccindelas mediatrices.(Vaselafigura3.11).Observequesiseunenlospuntos 3 2 1y, P P Pformanuntringuloagudo.Paraencontrarlainterseccindelasmediatricesse sigue el siguiente procedimiento. 1.Dibjese las bisectrices perpendiculares para cada uno de los tres lados del tringulo. 2.Lasbisectricesperpendicularesseintersectanenelcentrodela circunferencia. Esta es la ubicacin ideal, en este caso ( ) 2 , 4 = x3.Dibujelacircunferencia,lacualtocarlostrespuntoscorrespondientesa las instalaciones existentes. Figura 3.8 Localizacin ptima para el helicptero que atender las emergencias de tres sitios posibles, con un tringulo agudo. 12345678 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 ( ) ptimo 2 , 4 * = X( ) 2 , 83P( ) 6 , 22P( ) 2 , 21 PMtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 54 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Ejemplo 3.8 Elejemploanteriormostrcmodeterminarelpuntoptimocuando3 = m yel tringuloformadoesagudo.Supongaahoraquelaslocalizacionesson ( ) ( ) ( ) 2 , 5 y9,9 , 1,13 2 1P P P ,loscualesformanuntringuloobtuso.Enestecasose determinaelcentrodelladomsgrandedeltringuloydespussedibujaun crculoalrededordeestepuntoconradioigualalamitaddelalongituddellado ms grande del tringulo. Losdosprimerosejemplos3.7y3.8muestranelmismoprincipio:elpuntode localizacinptimo( ) y x, seubicaequidistantedetodaslaslocalizacionesde rescate,loqueconstituyeunadistanciamnima.Sisesuscitaraunaccidenteal helicpteroletomaraelmismotiempodereaccin.Peroenelcasodelejemplo 3.9ladistanciaentrelospuntos(1,1)y(9,9)estangrandequeesnecesario escogerlamitaddelsegmentocomopuntodelamejorlocalizacin.Vasela figura 3.9. Qu se debe hacer cuando el nmero de instalaciones es mayor a 3? Figura 3.9 Localizacin ptima para el helicptero que atender las emergencias de tres sitios posibles, que forman un tringulo obtusngulo. Para ello primerose generalizar el problema. El objetivo es minimizar la funcin ( ) y x g , , de forma que12345678 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 ( ) 2 , 53P( ) 1 , 11P( ) 9 , 92PPlaneacin y Diseo de Instalaciones 55 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes ( ) ( ) ( ) | |)` + = m i b y a x mx y x gi i1 : ,212 23.14 Donde: ( )i ib a , : son las coordenadas de las instalaciones existentes;m i ,..., 1 =m: es el total de instalaciones existentes O, en forma equivalente Z Minimizar Sujeto a: ( ) ( ) | | m i Z b y a xi i + 1 ,212 2 Estaltimaformaindicaquecadalocalizacinexistentedebesituarseenun crculo con centro en( ) y x,y radioz , de tal manera que el problema geomtrico es encontrar el crculo ms pequeo que encierre a todas las localizaciones de las instalaciones existentes, de ah el nombre de problema de cobertura del crculo. Esteproblemapuederesolverseconayudadelageometra.ElzingayHearn propusieronunalgoritmoquesedescribeacontinuacinyqueseilustraenun ejemplo. Algoritmo Elzinga-Hearn Paso 1. Escoja dos puntos conocidos j iP P y Paso2.Estosdospuntosdefinaneldimetrodeuncrculodadopor ( ) ( ) | |212 2j i j ib b a a + Si este crculo contiene todos los puntos, se centro en la localizacin minimax, es lasolucindelproblema.Sinoesas,seseleccionaarbitrariamentecualquier puntoconocidofueradelcrculo,alquesedenotarcomo kP .Conlospuntos k j iP P P y,se va al paso 3. Paso 3. a)Si k j iP P P y, definenuntringulorectouobtusoregresealpaso2, identificando los puntos opuestos al ngulo igual o mayor a 90. b)Si k j iP P P y, definenuntringuloagudo,seconstruyeuncrculocon estostrespuntos.Siestecrculoenglobaatodoslospuntos m i Pi,... 2 , 1 ,= entonceselcentrodelcrculoeslalocalizacinminimax. En caso contrario vaya al paso 4. Paso 4. Se selecciona un punto D fuera del crculo definido por k j iP P P y,que est ms alejado de D. Se traza una lnea a travs del centro de dicho crculo que pase porA.estalneadivideelespacioendosplanos.SeaBaquelpuntoentre Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 56 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo k j iP P P y, diferentedeAqueestdelmismoladodeDyseaCelpuntono seleccionado, con A, C y D ya definidos se regresa al paso 3. Ejemplo 3.9 Supongaquesetienenochoinstalacionesexistentesconlascoordenadas mostradas en la tabla 3.8 INSTALACIN12345678 COORDENADAS(8,2)(5,7)(5,10)(10,11)(13,7)(10,6)(3,6)(2,9) Tabla 3.8 Coordenadas de las instalaciones existentes para el ejemplo 3.9 Use el algoritmo Elzinga-Hearn para encontrar la solucin minimax. Solucin Pasos1y2.Lafigura3.10muestralasubicacionesdelasochoinstalaciones existentes, de las cuales se seleccionan los puntos 4 1y P Pque definen el dimetro delcrculo.Observequelospuntos 8 7 3, , P P P quedanfueradelcrculo,por loque se selecciona 3Ppara que junto con 4 1y P Pse vaya al paso 3. Figura 3.10 Se escogen los puntos 4 1y P Pque definen el dimetro del crculo que no cubre todos los puntos. Paso3.Alunirlospuntos 4 3 1, , P P P seobservaquegeneranuntringuloagudo, por lo que aplica el inciso (b) del paso 3, por lo que se debe construir un crculo a 246810120 2 4 6 8 10 12 P1 P2 P3 P4 P5 P6P7 P8 Planeacin y Diseo de Instalaciones 57 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes partirdelcircuncentro.Elcrculotampococubrelatotalidaddelasinstalaciones existentes, quedan fuera los puntos 8 7y P P . (Figura 3.11) Se va al paso 4. Figura 3.11 Con 4 3 1, , P P Pse forma un tringulo agudo, se dibuja un crculo a partir del circuncentro que pasa a travs de estos puntos. Quedan fuera 8 7y P P . Paso 4. 1Pes A. Se traza una lnea a travs del centro del crculo que pasa por le punto 1P . Esto divide el espacio en dos planos. Como el punto 3Pest del lado del puntoD(enestecaso 8P )entoncesa 3P seledenotaBy 4P serelpuntoC, quedando entonces 8 4 1, , P P Pcomo los puntos con los que se va al paso 3. Paso 3. Con los puntos 8 4 1, , P P Pse forma un tringulo agudo, por lo que se trazan lasmediatricespara obtenerelcircuncentroysetrazaelcrculoapartirdeste. SeobservaannosealcanzalasolucinptimayaqueP5quedafueradel crculo.Vaselafigura3.13.Lafigura3.14muestralaconstruccindel circuncentro a partir de las mediatrices para obtener el centro del crculo que cubre todos los puntos de las instalaciones existentes, esta es la solucin mnimas. 26810120 2 4 6 8 10 12 P2P3P4 P6 P7P8P1P5 Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 58 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Figura 3.12 Paso 4, como el ngulo agudo es A, entonces se traza desde este punto hacia el centro del crculo. El punto ms alejado de A es P8 y como P3 est en el mismo lado que el punto D, se le denomina B, en consecuencia P4 es el punto C. El crculo tiene que pasar por A, B y C. Figura 3.13 Observe que aun falta por cubrir la instalacin P5 Para determinar los valores de las coordenadas de la nueva instalacin y el radio del crculo de deben calcular las pendientes de las mediatrices, los puntos medios de los lados y las ecuaciones de las mediatrices. Por ejemplo para el lado formado 2 4 6 8 10 12 26810120 P2 P3 P4 P6P7 P8 P1 P5 B C D A 2 4 6 8 10 12 246810120 P2P3P4 P6 P7P8P1P5Radio = 5.15 (x,y) = (6.75, 7) Planeacin y Diseo de Instalaciones 59 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes porlospuntos 8 4y P P .Lascoordenadasdeestospuntosson(10,11)y(2,9), respectivamente, entonces: 4110 211 9pendiente1 21 2=== =x xy ymPor lo tanto, la pendiente de la mediatriz (que es perpendicular al lado 8 4P Pes ( ) 4411 = = mediatriz mLospuntosmediosdellado 8 4P P formanlascoordenadasdelamediatriz, entonces 622 10=+=Mx1029 11=+=MyPor lo tanto, la ecuacin de la mediatriz para este lado es ( )( )0 34 4 entonces6 4 101 2 1 2= + = = y xx yx x m y y Figura 3.14 La solucin ptima para el problema ejemplo La tabla 3.9 muestra los clculos para las tres mediatices 2 4 6 8 10 12 246810120 P3 P4 P1 P2 P6P7 P8 P5 Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 60 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo LADOCOORDENADASPENDIENTEPENDIENTE DE LA MEDIATRIZ PUNTOS MEDIOSECUACIN DE LA MEDIATRIZ MxMy8 4P P(10,11)(2,9) 4110 211 9== m-4 622 10=+1029 11=+ 0 34 4 = + y x1 4P P(10,11)(8,2) 2910 811 2== m92928 10=+ 21322 11=+021539 2 = + y x1 8P P(2,9)(8,2) 67 = m76 5 211 02177 6 = + y x TABLA 3.9 Resumen de los clculos para las mediatrices del ejemplo 3.9 El circuncentro es el punto donde concurren las mediatrices, por lo que basta con resolverelsistemaformadopordosmediatrices,enestecasosetomanlas asociadas a los lados 1 4 8 4yP P P P0 34 4 = + y x021539 2 = + y xResolviendo( ) ( ) 7 , 75 . 6 , entonces7 y 75 . 6== = y xy x y el radio, tomando los puntos (6.75,7) y (10,11) ( ) ( ) | | 15 . 5 11 7 10 75 . 6212 2= + = zUsted puede haber elegido al principio dos puntos diferentes a los que se tomaron en este ejemplo, sin embargo, el algoritmo lo llevar a la misma solucin. Sule(2001)presentaunprocedimientoquecontienenuevepasosyque proporcionan un resultado rpido. Los pasos son los siguientes: 1.Dibuje los puntos dado en las coordenadasy x y 2.Tomelospuntosextremosycrearunrectngulo,deformaquetodoslos puntos caigan dentro del rea cubierta por el rectngulo. Para encontrar los puntos extremos, dibjense dos lneas verticales a travs de los puntos que tengan las abscisas mnimas y mximas, y dos lneas horizontales a travs de los puntos que tengan las ordenadas mnima y mxima. 3.Una todos los puntos que se siten en el permetro del rectngulo 4.Creetantostringuloscomoseaposible,uniendotodoslospuntosquese siten en el permetro del tringulo. En la mayora de los casos, se obtienen Planeacin y Diseo de Instalaciones 61 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes solamentedostringulos,yaqueslosetienencuatropuntosenel permetro. 5.Elija el tringulo con el rea ms grande. 6.Sieltringuloobtenidoesobtuso,excluyaelpuntodondeseformael ngulo recto o el ngulo obtuso. 7.Unalospuntosextremosdeestetringuloparadefinireldimetro.Dibuje un crculo usando este dimetro. 8.Si el tringulo es agudo dibuje las mediatrices sobre dos lados del tringulo; lainterseccindefineelpuntocentraldelcrculo.Dibujeuncrculodesde este centro que cubra los tres puntos esquina del tringulo. 9.Elcrculoasobtenidoeslalocalizacinptimaparalainstalacinquese instalar y que cubre los puntos. Ejemplo 3.10 Utilizando el procedimiento alternativo de Sule, determine la ecuacin ptima si las coordenadas de las instalaciones existentes son ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 , 2 y6 , 3 , 6 , 10 , 7 , 13 , 11 , 10 , 10 , 5 , 7 , 5 , 2 , 88 7 6 5 4 3 2 1P P P P P P P P . Solucin Lafigura3.15muestralaslneasverticalesyhorizontales.Lasabscisas2y13 mnimaymxima,respectivamente.Lasordenadas2y11mnimaymxima, respectivamente. Figura 3.15 Se dibujan lneas verticales y horizontales, sobre los puntos de abscisas y ordenadas mnimas y mximas. Lafigura3.15muestralaformaenqueseunenlospuntosquesesitanenel permetrodibujado.Enestecasoseobtienen2tringulos.Eldemayorrease 2 4 6 8 10 12 246810120 P2P3P4 P6 P7P8P1P5Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 62 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo muestraachurado,cuyospuntosextremosson 8 5 1, , P P P yformauntringulo agudo, por lo que se va al paso 8. 3.3.2.Problema de la cobertura del diamante. Cuandoseusandistanciasrectilneassepuedeusarelprocedimientode cobertura del diamante cuya funcin objetivo( ) y x g ,ser minimizada, es decir: ( ) | | { }i i i i iw m i b y a x w mx y x g = = + = 1 , ,..., 1 , Minimizar Figura 3.15 Se construyen tantos tringulos como sea posible y se identifica el de mayor rea (el achurado). Es un ngulo agudo. A este problema se le llama problema de cobertura del diamante ponderado ya quetodoslosclientessonigualmenteimportantesyelpesoasociadoparacada consumidor es 1. Se discutir el procedimiento a travs de un ejemplo. Ejemplo 3.11 Considerelascoordenadasdelasinstalacionesexistentesdelosejemplos anteriores:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 , 2 y6 , 3 , 6 , 10 , 7 , 13 , 11 , 10 , 10 , 5 , 7 , 5 , 2 , 88 7 6 5 4 3 2 1P P P P P P P P . El primer paso consiste en dibujar los puntos de las instalaciones existentes en el planocartesiano.Despussedibujanlneasde45gradosatravsdelas instalaciones existentes, de manera que se forme un diamante que incluya a todas lasinstalacionesexistentes.(Vaselafigura3.17).Observequehaydoslados ms grandes. El paso siguiente es igualar los lados al tamao de los ms grandes. (Ver la figura 3.18).Esteeseldiamantemspequeoquecontieneatodaslaslocalizaciones existentes.Lafiguraenreferenciamuestraconlneapunteadaelcuadradocuyo centro es (7,7.5). Esto representa el diamante de radio ms pequeo, cuyo centro es (7.5, 8). 2 4 6 8 10 12 246810120 P3P4P1P2P6 P7P8P5Planeacin y Diseo de Instalaciones 63 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Figura 3.17 Formacin del diamante que cubre todos los puntosde las instalaciones existentes. Perotambinsepudohaberagrandadocomosemuestraenlafigura3.19con lneaspunteadas.Enestecasolascoordenadasdelcentrodelcuadradoson (7,7.5).Ambassolucionessonvlidas,yaquetienenunradiomnimode13.En realidad cualquier diamante con un radio de 13 y cuyo centro est situado sobre el segmentoqueunolospuntos(7,7.5)y(7.5,8)tambincubretodaslas instalaciones existentes, por lo que tambin ser ptimo. Figura 3.18 Se igualan los lados al tamao de los ms grandes el centro del cuadrado es la solucin minimax con distancias rectilneas. 2 4 6 8 10 12 26810120 P2P3P4 P6 P7P8P1P52 4 6 8 10 12 26810120 P2P3P4 P6 P7P8P1P5Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 64 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Figura 3.19 Las lneas punteadas muestran otra extensin del diamante. El centro de ste se ubica en (7,7.5). Uniendo este punto con el de (7.5,8) se obtiene una recta de valor mnimo. 3.3.3.El problema de cobertura de diamante con distancias Tchebychev Para resolver el problema minimax usando la cobertura del diamante, pero de una maneramssencillayrpida,puederealizarseunatransformacinllamadade Tchebychev. Para ilustrar este procedimiento considere el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.12 Sedeseaencontrarlalocalizacinminimaxparaunanuevainstalacinque atender las instalaciones existentes ubicadas en ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 , 2 y6 , 3 , 6 , 10 , 7 , 13 , 11 , 10 , 10 , 5 , 7 , 5 , 2 , 88 7 6 5 4 3 2 1P P P P P P P P . Solucin Para realizar la transformacin Tchebychev de un punto( ) y x A , , las coordenadas Tchebychev son( ) x y x y A + ,1. En este caso, para( ) 2 , 81Pla transformacin da ( ) ( ) 6 10 8 2 , 8 21111 = + P PSe procede de manera similar para el resto de los puntos. La tabla 3.10 muestra estastransformaciones,paraencontrarlaubicacindelanuevainstalacinse deben encerrar estos puntos transformados en el cuadrado ms pequeo posible y encontrar el centro de ste como el punto minimax. La figura 3.20 muestra los puntos Tchebychev y el cuadrado mnimo de cobertura delasinstalacionesexistentes.Observequesehicierondosextensionesque producendospuntosminimaxcondistanciaTchebychev(14.5,.5)y(15.5.,.5). 2 4 6 8 10 12 26810120 P2P3P4 P6 P7P8P1P5Planeacin y Diseo de Instalaciones 65 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Pero,cmoregresaralaformaplana?Latransformacinalaformaplanase logra mediante ( ) ((

+2,2x yx y. INSTALACIN iPCOORDENADAS ( ) y x,COOREDENADAS TCHEBYCHEV ( ) x y x y + ,1P (8,2)( ) ( ) 6 , 10 8 2 , 8 2 = +2P (5,7)( ) ( ) 2 , 12 5 7 , 5 7 = +3P (5,10)( ) ( ) 5 , 15 5 10 , 5 10 = +4P (10,11)( ) ( ) 1 , 21 10 11 , 10 11 = +5P (13,7)( ) ( ) 6 , 20 13 7 , 13 7 = +6P (10,6)( ) ( ) 4 , 16 10 6 , 10 6 = +7P (3,6)( ) ( ) 3 , 9 3 6 , 3 6 = +8P (2,9)( ) ( ) 7 , 11 2 9 , 2 9 = + Tabla 3.10 Transformacin Tchebychev Entonces en el ejemplo las coordenadas del punto ptimo son ( ) ( ) 8 , 5 . 725 . 15 5 .,25 . 15 5 .y5 . 7 , 0 . 725 . 5 . 14,25 . 14 5 .=((

+=((

+ Estascoordenadascorrespondenalosvaloresobtenidosconelprocedimiento desarrollado de la cobertura de diamante. Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 66 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Figura 3.20 Solucin minimax con distancias Tchebychev. 3.3.4.Problema de transporte Esposibleutilizarelmtododetransporteparatomarladecisinsobrednde ubicarlaplanta,talcomoenloscasosenlosquesetienenvariasinstalaciones existentes que debern relacionarse con una nueva y seconocen las ofertas y las demandas de las instalaciones,as como los costos de transportar las mercancas desdeelorigen(planta)hastaeldestino(almacn).Muyprobablementeellector estfamiliarizadoconestemtodo,porloqueslosemostrarunejemplode aplicacin. Para aquellos lectores que no conozcan el mtodo, en el apndice B se muestra cmo resolverlo. Ejemplo 3.13 ElgrupoindustrialdelNoroeste,S.A.deC.V.,tieneplantasquemanufacturan ciertos componentes electrnicos localizadas en Tijuana, Matamoros y Hermosillo. Estoscomponentesseentreganaotrascompaasdelmismoramo.Estas compaasestnsituadasenMxico,D.F.,GuadalajarayMonterrey.Debidoal incrementoenlademanda,sehadecididoconstruirotraplantaencualquierade las dos ciudades consideradas como localizaciones idneas: Zacatecas y Torren. Latabla3.11muestralosdatosdeproduccinydemandaylatabla3.12los costos de transporte. Cul de las dos ciudades es la ms recomendable, desde el punto de vista econmico? DATOS DE PRODUCCINDemanda de las industrias electrnicas Miles de unidades por Costo por unidadMiles de unidades por 246810121416182022-2 -4 -6 -8 2 4 6 8 10 12 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 Planeacin y Diseo de Instalaciones 67 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes PLANTASmes(x 100)PLANTASmes Tijuana101.96Mxico20 Matamoros181.98Guadalajara18 Hermosillo121.93Monterrey12 Zacatecas101.93 (previsto) Torren1020.3 (previsto) Tabla 3.11 Datos de produccin, demanda y costos de produccin para el ejemplo 3.13 Desde\Hasta TijuanaMatamorosHermosilloZacatecasTorren Mxico15141268 Guadalajara815659 Monterrey1051285 Tabla 3.12 Costos de transporte (x $10) Solucin: Setienenquehacerdosclculos,enelprimeroseconsideranlasplantas existentesjuntoconZacatecasyenelsegundoseexcluyestayseincluyea Torren. La tabla 2.20 muestra el uso del MAV para Zacatecas y la tabla 3.13 para Torren. PLANTAALMACNOferta MxicoGuadalajaraMonterrey Tijuana1581010 10 Mata- 1415518 moros612 Hermo- 12 6 12 12 Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 68 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo sillo 48 Zacatecas 6 5 8 10 10 Demanda 20 18 12 50 50 Tabla 3.13 Resultado de la aplicacin de MAV al problema del ejemplo 3.13, en el que se incluyen las plantas existentes con Zacatecas. PLANTAALMACNOferta MxicoGuadalajaraMonterrey Tijuana1581010 10 Mata- 1415518 moros612 Hermo- 12 6 12 12 sillo 48 Zacatecas 6 5 8 10 10 Demanda 20 18 12 50 50 Tabla 3.14 Resultado de la aplicacin de MAV al problema del ejemplo 3.13, en el que se incluyen las plantas existentes con Torren. UtilizandoelmtodosteppingstoneparaelcasodeZacatecas,secomprueba quetodosloscostosnetossonpositivos,porloqueseconcluyequestaesla solucin ptima. xijx11x13x22x33x42x42 cij +1 +5 +7 +9 +5 +11 Entonces, la asignacin ptima para el caso de Zacatecas es x12 = 10, x21 = 6, x23 = 12, x31 = 4, x32 = 8, x41 = 10 Con un costo de transporte = 10,000(80) + 6,000(140) + 12,000(50) + 4,000(120) + 8,000(60) +10,000(60) = $3'800,000 A lo que se le aaden los costos de produccin Planeacin y Diseo de Instalaciones 69 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Costo de produccin = 10,000(196) + 18,000(198) + 12,000(193) + 10,000(193) = $9'770,000. Costo total para Zacatecas = costo de transporte + costo de produccin CT CTZacatecas = $3'800,000 + $9'770,000 = $13'570,000 Utilizando el mtodo stepping stonepara el caso de Torren, se comprueba que todosloscostosnetossonpositivos,porloqueseconcluyequestaesla solucin ptima. xijx11x13x22x33x42x42 cij +1 +5 +7 +9 +7 +6 En el caso de la inclusin de Torren, la asignacin ptima es x12 = 10, x21 = 6, x23 = 12, x31 = 4, x32 = 8, x41 = 10 Con un costo de transporte = 10,000(80) + 6,000(140) + 12,000(50) + 4,000(120) +8,000(60)+10,000(80)=$4'000,000aloqueseleaadenloscostosde produccin Costo de produccin = 10,000(196) + 18,000(198) + 12,000(193) + 10,000(203) = $9'570,000. Costo total para Torren = costo de transporte + costo de produccinCTZacatecas = $4'000,000 + $9'870,000 = $13'870,000 Porlotanto,seconcluyequeZacatecasserlaciudadseleccionada,yel programa de envos ser la mostrada en la tabla 3.15 DEHASTAMILES DE UNIDADES TijuanaGuadalajara10 MatamorosMxico6 MatamorosMonterrey12 HermosilloGuadalajara4 ZacatecasMxico10 Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 70 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo TOTAL50 Tabla 3.15 Programa de envos para el ejemplo 2.5 3.4. PROBLEMAS DE LOCALIZACIN PARA INSTALACIONES MLTIPLES Enlasseccionesanterioresnuestrointersestuvocentradoenelproblemade localizacinparauna solainstalacin,yafuerautilizandoelmodelominisumoel modelo minimax, con distancias rectilneas, euclidianas al cuadrado, euclidianas o Techebychev,sinembargo,esinteresanteabordarelproblemadeunamanera msgeneralyquedrespuestaapreguntasconcernientesacuntas instalacionesdebentenerse,dndedebenlocalizarseyquinstalacionesdeben relacionarse con qu clientes. Existen numerosos modelos de optimizacin para instalaciones mltiples, aqu se tratarn algunos de ellos, atendiendo a dos criterios generales: 1.Instalacionesmltiplesdediferentestipos,enlosquecadatipode instalacin es demandada independientemente de los clientes existentes y an podra existir una demanda entre las nuevas instalaciones. 2.Instalacionesmltiplesdelmismotipo,enlasquetodaslasinstalaciones sirvenalmismopropsito,esdecir,losclientessedividenentreellasde forma que un cliente sea servido por slo una de las nuevas instalaciones. 3.4.1.Problemas de localizacin para instalaciones mltiples de diferentes tipos: mtodo iterativo con costo rectilneo Existenvariosmtodospararesolveresteproblema,unodeellosesla formulacin de programacin lineal, el cual se formula de la siguiente forma: Sean m iP P P , , ,2lascoordenadasconocidasdeminstalacionesexistentesy sean nR R R , , ,2 1lasvariablesdedecisindennuevospuntos(instalaciones adicionales) cuya localizacin se desea encontrar.Sea ( )i jP R d ,ladistanciaentreelpuntodesconocido n j Rj, , 2 , 1 , =yel puntoconocido m i Pi, , 2 , 1 , =,entantoque ( )k jR R d ,esladistanciaentre los puntos desconocidos . , , , 2 , 1 , , , k j n k j R Rk j = Sea ijWelcostoanualporunidaddedistanciaentreunpuntodesconocido jy uno conocido i, y sea jkV el costo anual por unidad de distancia entre dos puntos desconocidos . , , k j k j Elproblemaconsisteenencontrarlascoordenadasdelospuntos ( ) ( ) ( ) 15 . 3 , , , , ,1 1 12 1, ,2 , 1 = = + =njmii j jin k jk j jk nR R RP R d W R R d V R R R fMnn Planeacin y Diseo de Instalaciones 71 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Se dice que las nuevas instalaciones k y j tienen un intercambio cuando 0 >jkV y no lo tienen, cuando 0 =jkV para cualquier . , , , 2 , 1 , k j n k j = Para distancias rectilneas, la expresin (3.15)se traduce en encontrar los puntos nR R R , , ,2 1, cada uno de coordenadas desconocidas ( )i iy x ,, n j , , 1 =tal que ( ) ( ) ( ) 16 . 3 , , , , , , , ,2 1, ,2 1, ,2 1, , ,1 1 2 1ny ynx xnR R Ry y y f Mn x x x f Mn R R R f Mnn n n + =Donde ( ) ( ) a a x W x x V x x x fnjmii j jin k jk j jk n17 . 3 , , ,1 1 12 1 = = + = Y ( ) ( ) b b y W y y V y y y fnjmii j jin k jk j jk n17 . 3 , , ,1 1 12 1 = = + = Siendo ( )i ib a ,lascoordenadasconocidasdelpunto . , 2 , 1 , m i Pi =Estos problemas pueden resolverse independientemente uno del otro,se convierten en programaslinealesequivalentes.Latransformacinselograexpresandoelvalor absolutodelasdiferenciasentrminosalgebraicosdesumasyrestas.Estose consigue al demostrar que cuatro nmeros a0 0 , 0 , 0 , , , = = + pq y q p q p b a si q y p b a

Entonces q p b a + = , por lo tanto( ) ( )18 . 3 , , 1 ; , , 1 01 0, , 1 ,, , 1 ; , , 1 , 0 ,1 , 0 ,, 1 ; , , 1 ,1 , 01 1 1n j m t s rn k j q pn j signo en a restringid no xn j m i s rn k j q pn j m i a s rn k j q p x xa sujetos r W q p V Mnjt jtjk jkjjt jtjk jki jt jtjk jk k jn k jnjmiji ji ji jk jk jk = = = < = == = < < = = = + < = + + + + < = = Estetipodeproblemarequieredeunaformulacinmuycuidadosaquese complicaanmscuandoelnmerodeinstalacionesesmuygrande.Un procedimientomuchomssencilloeselmtodoiterativoenelquesevan Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 72 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo ubicandolasinstalacionesunaporunayquepuedeseraplicadotantoacostos rectilneos como a cuadrticos y euclidianos. Mtodo iterativo con costo rectilneo Ejemplo 3.14 Supongaquesedeseaencontrarlaubicacinmsadecuadadedosestaciones deinspeccin(servidores),I1eI2,querealizarnciertotipodepruebasalas piezas provenientes de cuatro mquinas, M1, M2, M3y M4, La tabla 3.16 muestra las coordenadas de ubicacin de las mquinas y la cantidad de viajes entre stas ylasestacionesdeinspeccin.Comoalgunaspruebasrequierendelasdos estaciones de inspeccin, se producen 10 viajes entre stas. MquinaCoordenadas Nmero de viajes xyEstacin de inspeccin 1Estacin de inspeccin 2 M1 421020 M2 158185 M3 10102210 M4 86815 I1 a1 b1 10 I2 a2 b2 10 Tabla 3.16 Coordenadas y nmero de viajes de las mquinas y las estaciones de inspeccin del ejemplo 3.14 Solucin Primera iteracin, para encontrar los valores de la abscisa para las dos estaciones de inspeccin: Paso 1.Sintomar en consideracinlosviajesentrelas estacionesdeinspeccin (nuevasinstalaciones),sedeterminaelvalordelaabscisadelaestacinde inspeccin1(I1)conrespectoalasmquinas,ordenndolasenformacreciente con respecto a la abscisa. Para el ejemplo, se tienen2 3 4 115 10 , , 8 , 4 M para x y M para x M para x M para x = = = =Paso2.Seleccionarel50-simopercentilparadeterminarlaabscisa correspondiente.Latabla3.17muestralosdatosdelasabscisas,nmerode viajes y el acumulado de stos. El 50-simo percentil es2928 22 18 10= |.|

\| + + + Planeacin y Diseo de Instalaciones 73 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Entonceslaabscisadeestaprimeraiteracines10quecorrespondeala ubicacin inicial de la estacin de inspeccin 1 (I1).MquinaAbscisaNmero de viajesViajes acumuladosObservaciones M1 41010 M4 8818 M3 102240Abscisa preliminar M2 151858 Tabla 3.17 Determinacin de la abscisa de la primera iteracin para la estacin de inspeccin I1 del ejemplo 3.14 Paso3.Serepiteelprocesodelospasos1y2,peroparalaestacinde inspeccin2(I2).Comoyaconocemoslaubicacinprovisionaldelaestacinde inspeccin 1 (I1), tambin se tomarn en cuenta la cantidad de viajes entre las dos estacionesdeinspeccin.Latabla3.18muestraladeterminacindelaabscisa para la estacin de inspeccin 2 (I2). El 50-simo percentil es 30. MquinaAbscisaNmero de viajesViajes acumuladosObservaciones M1 42020 M4 8 1535Abscisa preliminar M3 10 1045I1 101055 M2 15560 Tabla 3.18 Determinacin de la abscisa de la primera iteracin para la estacin de inspeccin I2 del ejemplo 3.14 Laabscisapreliminarparalaestacindeinspeccin2es8,conestevalorse realiza la segunda iteracin para la estacin de inspeccin 1. Segunda iteracin: Paso4.Determinacindelaabscisaparalaestacindeinspeccin1(I1), sabiendo que la ubicacin de la estacin de inspeccin 2 (I2) es 8. Vase la tabla 3.19.Comocoincideconelvalordeabscisaencontradoenlaprimeraiteracin, entonces 10 es el valor de la abscisa definitiva para la estacin de inspeccin 1. MquinaAbscisaNmero de viajesViajes acumuladosObservaciones M1 41010 M4 8818 I2 81028 Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 74 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo M3 102250Abscisa definitiva M2 151868 Tabla 3.19 Determinacin de la abscisa de la segunda iteracin para la estacin de inspeccin I1 del ejemplo 3.14 Comolaabscisadelaestacindeinspeccin1nocambia(x=10),steesel valor definitivo para I1, y por lo tanto, la abscisa para I2 es 8. Primeraiteracin,paraencontrarlosvaloresdelaordenadaparalasdos estaciones de inspeccin: Paso 1.Sintomar en consideracinlosviajesentrelas estacionesdeinspeccin (nuevasinstalaciones),sedeterminaelvalordelaordenadadelaestacinde inspeccin1(I1)conrespectoalasmquinas,ordenndolasenformacreciente con respecto a la ordenada.Paso2.Seleccionarel50-simopercentilparadeterminarlaordenada correspondiente.Latabla3.20muestralosdatosdelasordenadas,nmerode viajesyelacumuladodestos.El50-simopercentiles29,porlotantola ordenadapreliminares8,Conestevalorsebuscalaordenadapreliminardela estacin de inspeccin 2. MquinaOrdenada Nmero de viajesViajes acumuladosObservaciones M1 21010 M4 6818 M2 81836y preliminar M3 102258 Tabla 3.20 Determinacin de la ordenada de la primera iteracin para la estacin de inspeccin I1 del ejemplo 3.14 La tabla 3.21 muestra la determinacin de la ordenada preliminar para la estacin deinspeccin2.El50-simopercentiles30quecorrespondealaordenada6, sta es la ordenada preliminar para la estacin de inspeccin 2 (I2). MquinaOrdenada Nmero de viajesViajes acumuladosObservaciones M1 22020 M4 61535y preliminar M2 8540 I1 81050 M3 101060 Tabla 3.21 Determinacin de la ordenada de la primera iteracin para la estacin de inspeccin I2 del ejemplo 3.14 Planeacin y Diseo de Instalaciones 75 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ya determinado el valor de la ordenada de I2, se va a la segunda iteracin para I1. Enlatabla3.22seobservaqueelvalordelaordenadaparaestaestacin2no cambiarespectoalencontradoenlaiteracin1,porlotantoesdefinitivo.Porlo tanto,lasnuevasestacionesdeinspeccindebenubicarseenlossiguientes puntos: ( )( ) 6 , 88 , 1021==II MquinaOrdenada Nmero de viajesViajes acumuladosObservaciones M1 21010 M4 6818 I2 61028 M2 81846y definitiva M3 102268 Tabla 3.22 Determinacin de la ordenada de la segunda para la estacin de inspeccin I1 del ejemplo 3.14 3.4.2.Problemas de localizacin para instalaciones mltiples del mismotipo Estetipodeproblemasconsisteendeterminarlospuntosdedemanda(clientes) que se deben asignar a cada instalacin, para despus decidir los lugares de las instalacionesqueminimizanelcostodeviajeparalosclientesasignados.(Sule, 2000). El siguiente ejemplo muestra el procedimiento de solucin. Ejemplo 3.15 Suponga que se tienen cuatro clientes, A, B, C yD cuyas demandas son 75, 50, 25 y 30 unidades, respectivamente. Estn ubicados en las siguientes coordenadas (30,10),(10,50),(5,10)y(15,30).Sisevanaubicardosnuevasinstalaciones Qugruposdeclientessedebenasignaraunasolainstalacin?Culesel lugar ptimo de cada instalacin? Solucin: Paso 1. Escalar la demanda. El primer paso es escalar la demanda, esto se hace seleccionando la mnima demanda como factor de escala. Demanda escalada = demanda del cliente/demanda mnima 3.18 Enestecasolademandamnimaes25,ylosvaloresdelademandaescalada son Cliente 1: 75/25 = 3.0 Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 76 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Cliente 2: 50/25 = 2.0 Cliente 3: 25/25 = 1.0 Cliente 4: 30/25 = 1.2 Paso 2. Elaborar la grfica y determinar los clientes ms prximos. En una grfica se trazan los puntos en los que se ubican los clientes y se identifican aquellos que estn ms prximos. Figura 3.21. Figura 3.21 Localizacin de los clientes. Las flechas indican los clientes ms cercanos. Paso 3. Clculo de las distancias mnimas entre los clientes ms cercanos. Esto se hace utilizando la distancia euclidiana, como sigue: ( ) ( ) | |( ) ( ) | |( ) ( ) | | 61 . 20 30 50 15 1036 . 22 30 10 15 525 10 10 5 30212 2212 2212 2= + == + == + =BDCDACddd Paso4.Clculodelaconstantedecostoparalosclientes.Estosehace multiplicando la distancia mnima entre los clientes ms cercanos por la demanda escalada. escalada demanda X cercano ms cliente al mnima distancia costo de Constante = 3.19 73 . 24 2 . 1 61 . 20(Mnimo) 36 . 22 1 36 . 2222 . 41 2 61 . 2075 3 25= == == == =X CCX CCX CCX CCDCBA 10203040500 10 20 30 40 50 D C B A Planeacin y Diseo de Instalaciones 77 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Paso5.Clculodelradio.Paracalcularlosradiosdecoberturaseutilizala siguiente ecuacin: escalada Demandamnima costo de Constanteradio3.20 Los valores de radio as calculados servirn para trazar los crculos con centro en cadaunodelospuntosenlosqueseubicanlosclientes.Sialgunodeestos crculos alcanza un punto donde se encuentre ubicado otro cliente, entonces esto indicarquedebencombinarse.Enlafigura3.22semuestraqueelcrculo trazadodesdeelclienteCalcanzaalpuntodondeselocalizaelclienteD,porlo que se combinan stos y, a esta instalacin equivalente se le denominar L1. 63 . 182 . 136 . 2236 . 22136 . 2218 . 11236 . 2245 . 7336 . 22= == == == =DCBArrrr 10203040500 10 20 30 40 50 DCBAMtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 78 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Figura 3.22 Crculos de cobertura. El trazado desde C alcanza al punto del cliente D, entonces se conforma una instalacin equivalente combinando estas dos instalaciones. Paso7.Clculodelascoordenadasdelainstalacinequivalente.Seutilizael centrodegravedadparacalcularlascoordenadasdelainstalacinequivalente formada por la combinacin de los clientes C y D. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )9 . 202 . 230 2 . 1 10 145 . 102 . 1 115 2 . 1 5 1=+==++=yx Figura 3.23 Relacin de los clientes. Observe que L1 representa la instalacin equivalente. Paso8.Clculodelasnuevasdistancias.Conlasnuevascoordenadasdela instalacin equivalente, se calculan los valores de las distancias. ( ) ( ) | |( ) ( ) | | 1 . 29 50 9 . 20 10 45 . 1038 . 22 10 9 . 20 30 45 . 10212 2212 211= + == + =B LA Ldd Paso 9. Clculo de las nuevas constantes de costo.2 . 58 2 1 . 29 Cmnimo 23 . 49 2 .. 2 38 . 2214 . 67 3 38 . 22B11= == == =XX CX CL Paso 10. Clculo de los nuevos radios 10203040500 10 20 30 40 50 L1 BA Planeacin y Diseo de Instalaciones 79 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes 61 . 24223 . 4937 . 222 . 223 . 4941 . 1633 . 4911= == == =BLrrr Paso 11. Dibujar los nuevos crculos de cobertura. (Vase la figura 3.24) Figura 3.24 Nuevos crculos de cobertura Enlafigura2.24semuestraqueelcrculotrazadoapartirdeL1conradiode 22.37 alcanza el punto que representa al cliente A, por lo tanto, se tiene una nueva instalacin equivalente que servir a los clientes 1, 3 y 4. Como slo se ubicarn dos instalaciones y slo queda el cliente B por cubrir, entonces la instalacin 2 lo servir. Las coordenadas para la instalacin 1 son entonces: ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )61 . 142 . 510 3 9 . 20 2 . 27 . 212 . 530 3 45 . 10 2 . 2=+==+=yx El resumen de la decisin se muestra en la tabla 3.23, observe que la instalacin 2 tiene las mismas coordenadas del cliente B. InstalacinCoordenadasClientes asignados 10203040500 10 20 30 40 50 L1 BAMtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 80 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo 1(21.7,14.61)A, C Y D 2(10,50)B Tabla 3.23 Resultado final para el ejemplo 3.15 3.5. USO DE PROGRAMAS DE COMPUTADORA EN LOCALIZACIN DE PLANTA Existenenelmercadomuchosprogramasqueresuelvenproblemasde localizacin de planta bajo los diferente enfoques vistos en este captulo. Aqu se mostrar solamente el WinQSB, es una versin realzada de QSB+,, QS y QSOM, publicadas por Prentice-Hall, Inc. [WinQSB, manual del usuario] cuyo autor es Yih-Long Chang. Es un software interactivo que cubre varias herramientas y mtodos delacienciaadministrativa.Provee19mdulosqueincluyenlaprogramacin lineal,laprogramacincuadrtica,laprogramacindinmica,etc.,peroelde intersenestecaptuloeslalocalizacindeplanta.Semostrarsuusoconel ejemplo 3.2 y que para mayor comodidad se reproducen los datos en la tabla 3.24. Instalacin, iP1P2P3P4P5PCoordenadas ( )i ib a(2,4)(12,10)(6,9)(12,2)(8,2) Peso, iw 104385 Tabla 3.24 Datos del ejemplo 3.2. Lafigura3.25muestraelmduloqueincluyelalocalizacindeplanta,la distribucindeplantayelbalancedelneas.Enestecasoseselecciona localizacin de planta, con el criterio objetivo en minimizacin, se anota el ttulo del problema, nmero de instalaciones existentes (para este ejemplo, 5)y el nmero deinstalacionesplaneadas,enestecaso1.Despusdeaceptarestosdatosel programa muestra la ventana de la figura 3.26 en la que se han anotado los pesos wi y las coordenadas de las instalaciones existentes. Planeacin y Diseo de Instalaciones 81 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Figura 3.25 Mdulo de Distribucin y Localizacin de Planta y Balanceo de Lnea Figura 3.26 Datos para el ejemplo 3.2 En la figura 3.27 se muestran las opciones que WinQSB proporciona para resolver elproblema;resolverlanuevasolucinptimaoevaluarlanuevalocalizacin asignada. Adems se puede elegir el tipo de distancia que se usar para resolver elproblema:distanciarectilnea,distanciaeuclidianaalcuadradoydistancia euclidiana.Despusdeseleccionaryaceptarelprogramaresuelveelproblema mostrandolasolucinenlaqueseindicanlascoordenadasdelanueva instalacinascomolosflujostotales(enestecaso30)yelcostodeflujototal (179), tal como lo muestra la figura 3.28. Tambin se puede observar el resultado grficamente,talcomosemuestraenlafigura3.29.Nosemuestranaqulas soluciones con los otros tipos de distancia. Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 82 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Figura 3.27 Opciones de solucin que muestra WinQSB. Figura 3.28 Solucin del ejemplo 3.2 mediante WinQSB con distancia rectilnea. Figura 3.29 Solucin grfica de WinQSB para el ejemplo 3.2 Planeacin y Diseo de Instalaciones 83 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes 3.6. RESUMEN En este captulo se describieron algunos mtodos de localizacin de instalaciones, tanto el caso de una sola instalacin como de instalaciones mltiples con criterios cuantitativos.Elmodelominisumcondistanciasrectilneas,euclidianasal cuadradoyeuclidianas.Sediscuticmoconstruirlaslneasdecontorno aplicables para explorar los alrededores de la solucin ptima, para decidir un sitio alternocuandoelsitioptimotienealgunarestriccin.Paralalocalizacinde unidadesdeemergenciaseutilizelcriteriominimax,condosmodelos fundamentales el de la cobertura del crculo y el de la cobertura del diamante, con distancias rectilneas y de Tchebychev. Finalmente se trataron dos algoritmos para resolver problemas de localizacin de instalaciones mltiples. 3.7. PROBLEMAS 1.LaoficinadecorreoscentralenlaciudadUtopa,debeserreemplazada con una instalacin mucho ms grande y ms moderna, que pueda manejar elgranflujodecorreoquehaseguidoelcrecimientodelaciudaddesde 1980. Actualmente todo el correo, de entrada o de salida, viaja desde siete oficinasdecorreoendistintospuntosdelaciudad,paraserdistribuidaa travsdelaoficinadecorreoscentral.Elegiradecuadamentesu localizacinpuedeincrementarlaeficienciaenlaentregaglobalylos movimientos. Utilizando los datos de la siguiente tabla, calcule: a.El mejor sitio, utilizando el mtodo de la mediana b.El mejor sitio, utilizando el mtodo del centro de gravedad c.Utilizando el resultado obtenido en (a), dibuje las lneas de contorno alrededor de algn punto cercano al ptimo d.UseelalgoritmodeKuhnyKuenne(distanciaeuclidiana)para determinar el mejor sitio, haga slo dos iteraciones. Sucursaldelaoficinade correos Coordenadas x,y del mapaViajes redondos del camin por da A(10,5)3 B(3,8)3 C(4,7)2 D(15,10)6 E(13,3)5 F(1,12)3 G(5,5)10 2.Lasiguientetablamuestralascoordenadasdelmapaylascargas embarcadas para un conjunto de ciudades que se desean conectar a travs Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 84 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo deunacentral.Cercadequcoordenadasdelmapasedebelocalizar dicha central? a.Use el mtodo de la mediana b.Use el mtodo del centro de gravedad c.Use el algoritmo de Kuhn y Kuenne. CiudadCoordenadas del mapa (x,y)Carga embarcada A(5,10)5 B(6,8)10 C(4,9)15 D(9,5)5 E(7,9)15 F(3,2)10 G(2,6)5 3.LaVaquita,S.A.,estplaneandolaubicacindeloscentrosde procesamiento de lcteos para la preparacin de estos productos en cierto pas.Lasubicacionesylosvolmenesdelecheseproporcionana continuacin.Loscostosdetransportesonde5$/kilmetro/100kg.,no varanentodaelrea.Emplearelmtododelamedianasimplepara encontrar la mejor ubicacin mostrndolo grficamente. UbicacinCoordenadasdelaubicacin (en kilmetros) Procesamientodeleche (unidadesde100,000 kilogramos) AN/S/E/O = 0200 BO =20, N = 400300 CE = 120, N = 20800 DE = 340,N = 80200 N = Norte, E = Este, S = Sur, O = Oeste 4.Elijaunpuntocercanoalptimoobtenidoenelproblema3ydibujelas lneas de contorno. 5.Unacompaaesttratandodeencontrarlamejorubicacinparauna estacincentralparaeltratamientodedesechosslidos.Enlaactualidad secuentaconcincosubestaciones,cuyascoordenadas(x,y)sonlas siguientes:estacin1(40,120),estacin2(65,40),estacin3(110,90)y estacin4(10,130),estacin5(20,50).Losvaloresdewisonlos Planeacin y Diseo de Instalaciones 85 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes siguientes:20,10,7,12y16,respectivamenteUtilizarelmtododela mediana simple para encontrar el mejor punto de ubicacin. 6.Utilicelosdatosdelproblema5pararesolverlomedianteelmtododel centro de gravedad. 7.Utilice los datos del problema 5 para resolverlo con distancias euclidianas. (Dos iteraciones). 8.Utilice el resultado del problema 5 para dibujar lneas de contorno, iniciando en un punto cercano al ptimo. 9.LacompaaTran,S.A.,deseaubicarunanuevaplantaquetiene3 proveedoresA,BYCyquesurteatresmercadosX,YyZ.Losdatos pertinentes se dan a continuacin. InstalacinPonderacinCoordenadas(i)(wi)XiYi A2000 B3022 C4044 X5066 Y6088 Z701010 a.Cul deber ser el mejor sitio para ubicar la planta si se usan distancias rectangulares?b.Evale la funcin objetivoc.Cambia la decisin si se utilizan distancias euclidianas al cuadrado?d.Use el algoritmo de Huhn y Kuenne para determinar un sitio ms preciso, haga slo una iteracin.e.Cul es el valor de la funcin objetivo si se usan los resultados del inciso d?10. Una empresa cuenta con tres almacenes a los que enviar muebles desde unanuevafbricacuyaubicacinannosedecide.Lafbricarecibir materias primas de sus proveedores de madera y de telas. El nmero anual deembarques,loscostosdelosembarquesylasubicacionesdelos proveedoresyalmacenessemuestranacontinuacin.Dndehayque ubicar la fbrica para minimizar los costos anualesde transporte? Instalacin existenteNmero de embarques/ao hacia o desde la planta Costo /embarque/milla Coordenadas de la ubicacin (millas) XY Proveedor madera120$8100400 Proveedor de tela2006800700 Almacn 1605300600 Almacn 2405200100 Almacn 3705600200 Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 86 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo 11. LacompaaTran,S.A.,deseaubicarunanuevaplantaquecubrala demandanosatisfechaensustresmercados.Sehanrealizadodiversos estudiosparaencontrarlaubicacinmsconveniente.Lossitios potenciales son Durangoy Monclova, uno de ellos se integrar a las otras dosplantasexistentesqueestnubicadasenOaxaca,SanLuisPotosy Pachuca.Elmercadoestdistribuidoentresgrandeszonasquetienen como sede las ciudades de Mxico, Guadalajara y Monterrey. La estructura de costos, produccin y demanda se muestran en la siguiente tabla. PLANTA PRODUCCIN (Milesdeunidades anuales) COSTOS DE TRANSPORTE ($10/unidad) MxicoGuadalajaraMonterrey Oaxaca50559 SanLuis Potos 75454 Pachuca506910 Durango259710 Monclova251085 Demanda(milesdeunidades anuales) 80 7050 12. UnInstitutoTecnolgicotienecincodepartamentosacadmicosque compartirnunnuevocentrodecopiadoendondeserealizarel fotocopiadodeapuntes,programas,etc.Sehizounestudioparaver cuntosviajesporda,enpromedio,fueronhechosdesdecada departamento.Losdatosrecolectadossemuestranenlasiguientetabla juntoconlalocalizacindeloscincodepartamentos.Determinela localizacin del nuevo centro de copiado. Departamento AcadmicoCoordenadas Viajes por da 115,154 220,206 380,603 475,302 535,354 Planeacin y Diseo de Instalaciones 87 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes 13.Se tienen siete instalaciones existentes con las coordenadas mostradas en la siguiente tabla. INSTALACIN1234567 COORDENADAS(4,1)(3,7)(3,5)(5,11)(8,10)(8,4)(5,12) .Use el algoritmo Elzinga-Hearn para encontrar la solucin minimax. 14. Considerelascoordenadasdelproblema13pararesolverlomediantela cobertura del diamante ponderado.15. Considere las coordenadas del problema 13 y resulvalo como un problema de cobertura de diamante con distancias Tchebychev. 16. Supongaquesedeseaencontrarlaubicacinmsadecuadadedos estacionesdepintura,P1yP2,quepintarnlaspiezasprovenientesde cuatromquinas,M1,M2,M3yM4,Lasiguientetablamuestralas coordenadasdeubicacindelasmquinasylacantidaddeviajesentre stasylasestacionesdepintura.Comoalgunaspiezasrequierendelas dos estaciones de pintura, se producen 25 viajes entre stas. MquinaCoordenadas Nmero de viajes xyEstacin de pintura 1Estacin de pintura 2 M1 641530 M2 1020328 M3 14164025 M4 18251220 I1 a1 b1 25 I2 a2 b2 25

17. Setienencuatroclientes,P,Q,R,yS.Las demandasprevistas son100, 300,450y600unidades,respectivamente.Estnubicadosenlas siguientes coordenadas (15,10), (30,40), (10,30) y (5,25). Si se van a ubicar dos nuevas instalaciones Qu grupos de clientes se deben asignar a una sola instalacin? Cul es el lugar ptimo de cada instalacin? BIBLIOGRAFA AskinR.YStandridgeC.,ModelingAnalysisofManufacturingSystem,John Wiley & Sons, Singapore, 1993. BrandeauYChiu,AnOverviewOfRepresentativeProblemsInLocation,Research, Managament Science, Vol. ,15. No. 6, Junio 1989 Buffa, E. S., Administracin de Operaciones, Limusa, Mxico, 1981. Mtodos Cuantitativos de Localizacin de Planta 88 M. C. Sergio Humberto Romo Picazo Chang, Yih-Long,Manual del usuario de WinQSB, versin 2.00. Chase,AquilanoyJacobs,AdministracindeOperaciones,IrwinMcGrawHill, Bogot, 2001. Chiyoshia,GalvaoyMorabitob,Anoteonsolutionstothemaximalexpected covering location problem, Computers & Operations Research 30 (2002) 8796 De Heredia, R., Arquitectura y urbanismo industrial, Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales, Universidad Politcnica, Madrid, 1981. Delmelle,OnFacilityLocationDesign,DepartmentofGeography,SUNYat Buffalo, 2003. Diguez,UncapacitatedFacilityLocationProblems:Contributions,Pesquisa Operacional, v.24, n.1, p.7-38, enero a abril de 2004. Francis,McGinnisyWhite,FacilitiesLayoutandLocation:ananalytical approach, Prentice Hall, USA, 1992. Gaither, N. y Frazier, G., Administracin de Produccin y Operaciones, 8 edicin, International Thompson Editores, Mxico, 2000. Hamacher, Where is the ideal location?, Management Mathematics for European Schools Libin Mou, Optimal Location Problems: Theories and Applications, Department of Mathematics, College of Liberal Arts, Agosto, 1997. Monks, J. G., Administracin de operaciones, Mc Graw Hill, Mxico, 1985. Mou,OptimalLocationProblems:TheoriesandApplications,Departmentof Mathematics College of Liberal Arts, August, 1997. Shmovs,D.B.,Tardosy,K.,yAardalz,ApproximationalgorithmsforFacility Location Problems. Shmoys, Tardos y Aardal, Approximation algorithms for facility location problems, ResearchpartiallysupportedbyNSFgrantCCR-9307391,andbyESPRITLong Term Research Project No. 20244 (Project ALCOM-IT: Algorithms and Complexity in Information Technology). Shmoys, Tardos y Aardal, Approximation algorithms for facility location problems, SchoolofOperationsResearch&IndustrialEngineeringandDept.ofComputer Science, Cornell University Sinha,Location,Location,LocationandLocation,TepperSchoolofBusiness, Carnegie Mellon University, 2004. Snyder,FacilityLocationUnderUncertainty:AReviewDept.ofIndustrialand Systems Engineering, Lehigh University, Technical Report #04T-015, 2005. Sule, D. R., Logistics Facility Location and Allocation, Marcel Dekker Incorporated, New York, 2001. Sule, D.R., Instalaciones de Manufactura, Thompson Learning, Mxico, 2001 Planeacin y Diseo de Instalaciones 89 Instituto Tecnolgico de Aguascalientes TawfikyChauvel,AdministracindelaProduccin,EditorialHispanoeuropea, 1993. VallnonratyKorominas,Localizacin,distribucinenplantaymanutencin, Prodctica, Marcombo, Boixareu Editores, Espaa, 1991.