Capacitancia y materiales dieléctricos

Cuando preparamos una ratonera antigua de resorte o tensamos la cuerda de un arco, almacenamos energía mecánica en forma de energía potencial elástica. Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica y carga eléctrica. Para hacer un capacitor, basta aislar dos conductores uno del otro. Para almacenar energía en este dispositivo hay que transferir carga de un conductor al otro, de manera que uno tenga carga negativa y en el otro haya una cantidad igual de carga positiva. Debe realizarse trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de potencial resultante entre los conductores, y el trabajo efectuado se almacena como energía potencial eléctrica.

Los capacitores tienen un gran número de aplicaciones prácticas en dispositivos tales como unidades de flash electrónicas para fotografía, láseres de pulso, sensores de bolsas de aire para automóviles y receptores de radio y televisión. Para un capacitor en particular, la razón entre la carga de cada conductor y la diferencia de potencial entre los conductores es una constante llamada capacitancia. La capacitancia depende de las dimensiones y las formas de los conductores y del material aislante (si lo hay) entre ellos. En comparación con el caso en que sólo hay vacío entre los conductores, la capacitancia aumenta cuando está presente un material aislante (un dieléctrico). Esto sucede porque en el interior del material aislante ocurre una redistribución de la carga, llamada polarización. El estudio de la polarización ampliará nuestra perspectiva de las propiedades eléctricas de la materia.

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Los capacitores también ofrecen una forma nueva de pensar acerca de la energía potencial eléctrica. La energía almacenada en un capacitor con carga, guarda relación con el campo eléctrico en el espacio entre los conductores. Veremos que la energía potencial eléctrica puede considerarse almacenada en el mismo campo. La idea de que el campo eléctrico es en sí un almacén de energía está en el corazón de la teoría de las ondas electromagnéticas y de nuestra concepción moderna de la naturaleza de la luz

Capacitores y capacitancia

Dos conductores separados por un aislante (o vacío) constituyen un capacitor (figura 24.1). En la mayoría de las aplicaciones prácticas, cada conductor tiene inicialmente una carga neta cero, y los electrones son transferidos de un conductor al otro; a esta acción se le denomina cargar el capacitor. Entonces, los dos conductores tienen cargas de igual magnitud y signo contrario, y la carga neta en el capacitor en su conjunto permanece igual a cero. En este capítulo se supondrá que éste es el caso. Cuando se dice que un capacitor tiene carga Q, o que una carga Q está almacenada en el capacitor, significa que el conductor con el potencial más elevado tiene carga +Q y el conductor con el potencial más bajo tiene carga -Q (si se supone que Q es positiva). En los diagramas de circuito, un capacitor se representa con cualquiera de estos símbolos:

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El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es proporcional a la magnitud Q de carga en cada conductor. Por lo tanto, la diferencia de potencial Vab entre los conductores también es proporcional a Q. Si se duplica la magnitud de la carga en cada conductor, también se duplican la densidad de carga en cada conductor y el campo eléctrico en cada punto, al igual que la diferencia de potencial entre los conductores; sin embargo, la razón entre la carga y la diferencia de potencial no cambia. Esta razón se llama capacitancia C del capacitor:

La capacitancia C de un capacitor se define como la relación de la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores a la magnitud de la diferencia de potencial entre dichos conductores:

La unidad del SI para la capacitancia es el farad (1 F), en honor del físico inglés del siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo con la ecuación (24.1), un farad es igual a un coulomb por volt ( C/V):

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Cálculo de la capacitancia

1.Capacitor de placas paralelas con carga

Cuando la separación de las placas es pequeña en comparación con su tamaño , el campo eléctrico de los bordes es despreciable. Entonces

Es decir, la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de las placas.

El campo es uniforme y la distancia entre las placas es d, por lo que la diferencia de potencial (voltaje) entre las dos placas es

A partir de esto se observa que la capacitancia C de un capacitor de placas paralelas con vacío es

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Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas por vacío. La coraza interior tiene una carga total Q y exterior ra, y la coraza exterior tiene carga -Q y radio interior rb (figura 24.5). (La coraza interior está unida a la coraza mediante delgadas varillas aislantes que tienen un efecto despreciable sobre la capacitancia.) Determine la capacitancia del capacitor esférico.

2.Capacitor Esférico

Solución: Aplicando la ley de Gauss tenemos

La expresión anterior para E es la misma que la correspondiente a una carga puntual Q, por lo que la expresión para el potencial también puede tomarse como la misma que la correspondiente a una carga puntual. De ahí que el potencial del conductor interior (positivo) en r = ra con respecto al del conductor exterior (negativo) en r = rb es

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Otra forma(condensador esférico)

En este caso, como

si

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3.Capacitor cilíndrico

Un conductor cilíndrico sólido, de radio a y carga Q, es coaxial con una cubierta cilíndrica de grosor despreciable, radio b > a y carga –Q (figura 26.4a). Encuentre la capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es l .

SOLUCIÓN

Como

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Combinaciones de capacitores

Combinación en paralelo

Dos capacitores conectados como se muestra en la figura 26.7a (página 728) se conocen como combinación en paralelo de capacitores. La figura 26.7b muestra un diagrama de circuito para esta combinación de capacitores. Las placas izquierdas de los capacitores se conectan a la terminal positiva de la batería mediante un alambre conductor y debido a eso están con el mismo potencial eléctrico que la terminal positiva. Del mismo modo, las placas derechas se conectan a la terminal negativa y por tanto están con el mismo potencial que la terminal negativa. En consecuencia, las diferencias de potencial individuales a través de capacitores conectados en paralelo son las mismas e iguales a la diferencia de potencial aplicada a través de la combinación. Es decir,

donde es el voltaje de terminal de la batería. V

1 2V V V

Fig26.7 8

Después de que la batería se une al circuito, los capacitores rápidamente alcanzan su carga máxima. Sean las cargas máximas en los dos capacitores Q 1 y Q 2. La carga total Q tot almacenada por los dos capacitores es

Es decir, la carga total en capacitores conectados en paralelo es la suma de las cargas en los capacitores individuales. Suponga que quiere sustituir estos dos capacitores por un capacitor equivalente que tenga una capacitancia Ceq, como en la fi gura 26.7c. El efecto que este capacitor equivalente tiene sobre el circuito debe ser exactamente el mismo que el efecto de la combinación de los dos capacitores individuales. Es decir: el capacitor equivalente debe almacenar carga Q tot cuando se conecte a la batería. La fi gura 26.7c muestra que el voltaje a través del capacitor equivalente es ∆V porque el capacitor equivalente se conecta directamente a través de las terminales de la batería. Por lo tanto, para el capacitor equivalente,

Al sustituir para las cargas en la ecuación 26.7 se obtiene

En consecuencia, la capacitancia equivalente de una combinación de capacitores en paralelo es 1) la suma algebraica de las capacitancias individuales y 2) mayor que cualquiera de las capacitancias individuales.

1 2 (26.7)totQ Q Q

tot eqQ C V

1 1 2 2eqC V C V C V

1 2eqC C C

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Combinación en serie

Dos capacitores conectados como se muestra en la figura 26.8a, así como el diagrama de circuito equivalente de la figura 26.8b, se conocen como combinación en serie de capacitores. Al conectar la batería, se transfieren electrones que salen de la placa izquierda de C1 y entran en la placa derecha de C2. Conforme se acumula esta carga negativa en la placa derecha de C2, una cantidad equivalente de carga negativa es expulsada de la placa izquierda de C2 y esta placa izquierda resulta con un exceso de carga positiva. La carga negativa que sale de la placa izquierda de C2 hace que se acumulen cargas negativas en la placa derecha de C1. Como resultado, todas las placas derechas terminan con una carga Q y las izquierdas con una carga Q. Por lo tanto, las cargas de los capacitores conectados en serie son iguales.

donde Q es la carga que se movió entre un alambre y la placa exterior conectada de uno de los capacitores. La fi gura 26.8a muestra que el voltaje total ∆Vtot a través de la combinación se divide entre los dos capacitores:

1 2Q Q Q

1 2V V V Fig26.8

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donde ∆V1 y ∆V2 son las diferencias de potencial presentes en los capacitores C1 y C2, respectivamente. En general, la diferencia de potencial total aplicada a cualquier cantidad de capacitores conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial presentes entre cada uno de los capacitores individuales.

Suponga que el simple capacitor individual equivalente de la fi gura 26.8c ejerce un efecto idéntico sobre el circuito que la combinación en serie cuando está conectado a la batería. Una vez que está totalmente cargado, el capacitor equivalente deberá tener una carga igual a Q en su placa derecha y una carga de Q en su placa izquierda. Al aplicar la definición de capacitancia al circuito de la fi gura 26.8c, se tiene

Al sustituir por el voltaje en la ecuación 26.9 se tiene

tot

eq

QV

C

1 2eq

Q Q Q

C C C

1 2

1 1 1

eqC C C

Esto demuestra que 1) el inverso de la capacitancia equivalente es igual a la suma algebraica de los inversos de las capacitancias individuales y 2) la capacitancia equivalente de una combinación en serie siempre es menor que cualquiera de las capacitancias individuales incluidas en la combinación.

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Energía almacenada en un capacitor con carga

Ya que las cargas positiva y negativa están separadas en el sistema de dos conductores en un capacitor, en el sistema se almacena energía potencial eléctrica.

Suponga que q es la carga del capacitor en un determinado instante durante el proceso de carga. En ese mismo momento, la diferencia de potencial a través del capacitor es ∆V=q/C. Se sabe que el trabajo necesario para transferir un incremento de carga dq de la placa que tiene una carga -q a la placa que tiene una carga q (que está con el potencial eléctrico más elevado) es

Fig26.10

qdW Vdq dq

c

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Esto se ilustra en la fi gura 26.11. El trabajo total requerido para cargar el capacitor desde q = 0 hasta una carga final q = Q es

El trabajo invertido al cargar el capacitor se presenta como una energía potencial eléctrica U almacenada en el mismo. Es posible expresar la energía potencial almacenada en el capacitor con carga como:

Fig26.11

2

2

Q

q

C

o

QW dq

C

2

21 1

2 2 2

QU Q V C V

C

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Considere la energía almacenada en un capacitor como si estuviera almacenada en el campo eléctrico producido entre las placas al cargar el capacitor. Esta descripción es aceptable porque el campo eléctrico es proporcional a la carga del capacitor. En el caso de un capacitor de placas paralelas, la diferencia de potencial está relacionada con el campo eléctrico mediante la correspondencia ∆V =Ed. Además, su capacitancia es C = e0A/d . Si sustituye estas expresiones en la ecuación 26.11, obtiene

En vista de que el volumen ocupado por el campo eléctrico es Ad, la energía por cada unidad de volumen uE =U/Ad, conocida como densidad de energía, es

Es decir, la densidad de energía en cualquier campo eléctrico en un punto dado es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico.

2102Eu E

2 2 201 102 2

AU E d Ad E

d

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Dieléctricos

Un material no conductor como por ejemplo el vidrio, el papel o la madera, se denomina dieléctrico. Faraday descubrió que cuando el espacio entre los dos conductores de un condensador se ve ocupado por un dieléctrico, la capacidad aumenta en un factor k que es característico del dieléctrico y que se denomina constante dieléctrica. La razón de este incremento es que el campo eléctrico entre las placas de un conductor se debilita por causa del dieléctrico. Así, para una carga determinada sobre las placas, la diferencia de potencial se reduce y la relación Q/V se incrementa.

La figura 24.14a ilustra un electrómetro conectado a través de un capacitor con carga, con magnitud de carga Q en cada placa y diferencia de potencial V0. Cuando entre las placas se inserta una lámina sin carga de material dieléctrico, como vidrio, parafina o poliestireno, los experimentos muestran que la diferencia de potencial disminuye a un valor pequeño V (figura 24.14b). Al retirar el dieléctrico, la diferencia de potencial vuelve a su valor original V0, lo que demuestra que las cargas originales en las placas no han cambiado.

Fig24.14 Efecto de un dieléctrico entre las placas paralelas de un capacitor. a) Con una carga dada, la diferencia de potencial es V0. b) Con la misma carga pero con un dieléctrico entre las placas, la diferencia de potencial V es menor que V0. 15

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La capacitancia original C0 está dada por C0 = Q/V0, y la capacitancia C con el dieléctrico presente es C = Q/V. La carga Q es la misma en ambos casos, y V es menor que V0, de donde se concluye que la capacitancia C con el dieléctrico presente es mayor que C0. Cuando el espacio entre las placas está lleno por completo por el dieléctrico, la razón de C a C0 (igual a la razón de V0 a V) se denomina constante dieléctrica del material, K:

0

Ck

C

Cuando la carga es constante, Q = C0V0 = CV y C/C0 =V0/V. En este caso, la ecuación anterior se puede expresar de la forma

0VV Q cte

k

Con el dieléctrico presente, la diferencia de potencial para una carga Q dada se reduce en un factor de K. La constante dieléctrica K es un número puro. Como C siempre es mayor que C0, K siempre es mayor que la unidad. Entonces, un dieléctrico tiene las siguientes ventajas: • Incrementa la capacitancia. • Incrementa el voltaje máximo de operación. • Proporciona un posible soporte mecánico entre las placas, lo que permite que estén cerca una de la otra sin tocarse, así reduce d y aumenta C.

TABLA 26.1 Constantes dieléctricas y resistencias dieléctricas aproximadas de diversos materiales a temperatura ambiente Intensidad dieléctrica Material Constante dieléctrica k (106 V/m) Aceite de silicón 2.5 15 Agua 80 — Aire (seco) 1.000 59 3 Baquelita 4.9 24 Cloruro de polivinilo 3.4 40 Cuarzo fundido 3.7 8 8 Hule de neopreno 6.7 12 Mylar 3.2 7 Nylon 3.4 14 Papel 3.7 16 Papel impregnado en 3.5 11 parafina Poliestireno 2.56 24 Porcelana 6 12 Teflón 2.1 60 Titanato de estroncio 233 8 Vacío 1.000 00 — Vidrio pirex 5.6 14

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Carga inducida(o Ligada) y polarización Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo tiempo que la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas disminuye en un factor K. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse en el mismo factor. Si E0 es el valor con vacío y E es el valor con dieléctrico, entonces

0EE Q cte

k

Como la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico está presente, la densidad superficial de carga (que crea el campo) también debe ser menor. La carga superficial en las placas conductoras no cambia, pero en cada superficie del dieléctrico aparece una carga inducida de signo contrario (figura 24.15). Originalmente, el dieléctrico era neutro y todavía lo es; las cargas superficiales inducidas surgen como resultado de la redistribución de la carga positiva y negativa dentro del material dieléctrico. Este fenómeno se llama polarización.

Se supondrá que la carga superficial inducida es directamente proporcional a la magnitud del campo eléctrico E en el material; de hecho, éste es el caso de muchos dieléctricos comunes.

Fig24.15 Líneas de campo eléctrico cuando entre las placas hay a) vacío y b) un dieléctrico.

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Es posible obtener una relación entre esta carga superficial inducida y la carga en las placas. Se denotará como σi la magnitud de la carga inducida por unidad de área en las superficies del

dieléctrico (la densidad superficial de carga inducida).

El campo entre las placas se relaciona con la densidad superficial de carga de acuerdo con E = σneta/ɛ0. Sin el dieléctrico y con éste, respectivamente, se tiene

Al usar estas expresiones y reordenar el resultado, se encuentra que

0

0 0

iE y E

11i

k

El producto Kɛ0 se llama permitividad del dieléctrico, y se denota con ɛ : 0k

En términos de ɛ, el campo eléctrico dentro del dieléctrico se expresa como E

La capacitancia cuando hay un dieléctrico presente está dada por

0 0

A AC C k k

d d Capacitor de placas paralelas

con dieléctrico

Y la densidad de energía en presencia de dieléctrico es:

2 2

0

1 1

2 2u k E E

La energía almacenada en el capacitor con dieléctrico es

2

0 0

02

Q UU

kC k Disminuye

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Los Dieléctricos y la Ley de Gauss

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1. La integral de flujo ahora comprende , no sólo .( El vector se llama a

veces desplazamiento eléctrico , de modo que la Ec. 38 se puede escribir en la

forma .)

2. La carga q encerrada por la superficie de Gauss es ahora considerada sólo carga

libre . La carga superficial inducida se desprecia deliberadamente en el lado derecho

de la Ec. 38, habiendo sido tomada por completo en cuenta al introducir la constante

dieléctrica en el lado izquierdo.

3. La ec. 38 difiere de la original ley de Gauss, sólo en que en la última ecuación ha

sido sustituida por . Se mantiene dentro de la integral de la Ec 38 para

considerar los casos en los que no es constante sobre toda la superficie de Gauss.

k E

E

0k E

D

D d A q

0

0k k

k

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EJEMPLO 26.7 Efecto de una lámina metálica Un capacitor de placas paralelas tiene una separación de placas d y área de placa A. Una lámina metálica sin carga, de grosor a, se inserta a medio camino entre las placas. A) Encuentre la capacitancia del dispositivo. SOLUCIÓN

En este caso podemos considerar el sistema como dos condensadores conectados en serie, entonces

Si 0a

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EJEMPLO 26.8 Capacitor parcialmente lleno Un capacitor de placas paralelas, con una separación de placa d, tiene una capacitancia C0 en ausencia de un dieléctrico. ¿Cuál es la capacitancia cuando entre las placas se inserta una lámina de material dieléctrico con constante dieléctrica k y grosor fd (figura 26.25a), donde f es una fracción entre 0 y 1? SOLUCIÓN

En este caso también ,podemos considerar el sistema como dos capacitores conectados en series, entonces

Fig 26.25