Cálculo Numérico - Páginas...

NOTAS DE AULA

Cálculo Numérico

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

- UTFPR -

Professores: Lauro César Galvão

Luiz Fernando Nunes

Cálculo Numérico – (Lauro / Nunes) ii

Índice 1 Noções básicas sobre Erros ........................................................................... 1-1

2 Zeros reais de funções reais .......................................................................... 2-9

3 Resolução de sistemas de equações lineares .............................................. 3-21

4 Interpolação .............................................................................................. 4-37

5 Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados ............................... 5-47

6 Integração Numérica ................................................................................. 6-53

7 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias ................................ 7-57

Cálculo Numérico Noções básicas sobre Erros

Lauro / Nunes

1-1

1 Noções básicas sobre Erros

1. Calcular a área da superfície terrestre usando a formulação A4 2r .

Resolução: Aproximações (ERROS):

MODELAGEM: a Terra é modelada como uma esfera, uma idealização de sua forma

verdadeira. O raio da Terra é obtido por medidas empíricas e cálculos prévios.

RESOLUÇÃO: o valor de requer o truncamento de um processo infinito; os dados de

entrada e os resultados de operações aritméticas são arredondados pelo computador.

OBS. 1: Características do planeta Terra.

Características Físicas:

Diâmetro Equatorial: 12756Km;

Diâmetro Polar: 12713Km;

Massa: 5,982410 Kg;

Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg;

Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o 27’.

Características Orbitais:

Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km;

Distância Máxima do Sol: 152100000Km;

Distância Mínima do Sol: 147100000Km;

Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg;

Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.

2. Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b).

a) x 1,5 e x 1,49; b) y 5,4 e y 5,39.

Resolução:

a) xEA 0,01210 b) yEA 0,01

210

xER 0,00666667 yER 0,00185185

3. Arredondar na quarta casa decimal, sendo que 3,1415926535

Resolução: id 5 e 1id 95 id 1516. Logo: 3,1416.

4. Aproximar truncando na quarta casa decimal, sendo que 3,1415926535

Resolução: id 5 3,1415.

5. Sabendo-se que xe pode ser escrito como

xe

0i

i

i

x

!, faça a aproximação de

2e através

de um truncamento após quatro termos da somatória.

Resolução: xe

0i

i

i

x

!1 x

!2

2x

!3

3x

!4

4x

!5

5x Truncando-se após quatro termos,

tem-se:

2e 12!2

22

!3

23

122

4

6

85

3

4

3

19.


Lauro / Nunes

1-2

6. Considerando no sistema de base 10, 10, represente os seguintes números, em

aritmética de ponto flutuante:

a) 0,34510; b) 31,41510.

Resolução: a) 0,34510

10

3

210

4

310

5

010 ;

b) 31,41510

10

3

210

1

310

4

410

1

510

5

210 .

7. Considerando no sistema binário, 2, represente o número 1012 em aritmética de ponto

flutuante.

Resolução: 1012 0,101 32

2

1

22

0

32

1 32 .

8. 10112 10x .

Resolução: 10112 0,1011 42

2

1

22

0

32

1

42

1 42 32 2111

10112 1110 x 11.

9. 11,012 10x .

Resolução: 11,012 0,1101 22

2

1

22

1

32

0

42

1 22 21

22

13,25

11,012 3,2510 x 3,25.

10. 403,125 10x .

Resolução: 403,125 0,4031235

5

4

25

0

35

3

45

1

55

2

35

425 03

5

1

25

210030,20,08103,28

403,125 103,2810 x 103,28.

11. Converta 5910 para a base 2.

Resolução: N 59 e 2 N

59 2

1 29 2

1 14 2

0 7 2

1 3 2

1 1 5910 1110112


Lauro / Nunes

1-3

12. Converta 5910 para a base 3.


59 3

2 19 3

1 6 3

0 2 5910 20123

b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ):

Multiplica-se F por e toma-se a parte inteira do produto como o primeiro dígito do

número na base . Repete-se o processo com a parte fracionária do produto tomando sua parte

inteira. Continua-se até que a parte fracionária seja igual a zero.

Nos exercícios a seguir, determinar o valor de x :

13. 0,187510 2x .

Resolução:

0,1875 0,375 0,75 0,5

2 2 2 2

0,3750 0,750 1,50 1,0

0,187510 0,00112.

14. 0,610 2x .

Resolução:

0,6 0,2 0,4 0,8 0,6

2 2 2 2 2

1,2 0,4 0,8 1,6 1,2

0,610 0,100110012.

15. 13,2510 2x .

Resolução:

a) 1310 ? N 13 e 2 N

13 2

1 6 2

0 3 2

1 1

1310 11012.

b) 0,2510 ?

0,25 0,5

2 2

0,50 1,0

0,2510 0,012.

Logo: 13,2510 1310 0,2510 11012 0,012 1101,012.


Lauro / Nunes

1-4

Transforme para a base que se pede (determine o valor de x ).

16. 100101,10012 10x .

Resolução: 100101,10012 0,1001011001 62

2

1

22

0

32

0

42

1

52

0

62

1

72

1

82

0

92

0

102

1 62

52 22 12

1

42

132410,50,062537,5625

100101,10012 37,562510 x 37,5625.

17. 19,3867187510 4x .

Resolução:

a) 1910 ? N 19 e 4 N

19 4

3 4 4

0 1

1910 1034.

b) 0,3867187510 ?

0,38671875 0,546875 0,1875 0,75

4 4 4 4

1,54687500 2,187500 0,7500 3,00

0,3867187510 0,12034.

Logo: 19,3867187510 1910 0,3867187510 1034 0,12034 103,12034.

18. Transforme a medida 35 h 48 min 18 seg para minutos.

DICA: 35:48,1860 10x min .

Resolução: 35:48,1860 0,35:48:18260

60

35

260

48

360

18

260 3560 48 60

18

2100 48 0,3 2148,3

35:48,1860 2148,310.

35 h 48 min 18 seg = 2148,3 min .


Lauro / Nunes

1-5

19. Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos.

DICA: 35,80510 60x .

Resolução:

a) 3510 ? N 35 e 60 N

3510 3560.

b) 0, 80510 ?

0,805 0,3

60 60

48,300 18,0

0, 80510 0,48:1860.

Logo: 35,80510 3510 0, 80510 3560 0,48:1860 35,48:1860.

35,805 h 35 h 48 min 18 seg .

20. Preencher a tabela a seguir, com base nos parâmetros: t3, 10, I 5, S 5 e −5 ≤exp ≤ 5.

Número Truncamento Arredondamento

6,48 0,64810 0,64810

0,0002175 0,217310 0,218

310

3498,3 0,349410 0,35

410

0,00000001452 0,145710 0,145

710 UNDERFLOW

2379441,5 0,237710 0,238

710 OVERFLOW

Nos exercícios seguintes, calcular o valor das expressões utilizando aritmética de

ponto flutuante com 3 algarismos significativos.

21. (4,26 9,24) 5,04

Resolução: 13,5 5,04 18,5.

22. 4,26 (9,24 5,04)

Resolução: 4,26 14,3 18,6.

23. (4210 4,99) 0,02

Resolução: 4210 0,02 4210.

24. 4210 (4,99 0,02)

Resolução: 4210 5,01 4200.

25. 7

2(4,0237 6,106)

Resolução: 0,286(4,02 6,11) 0,286(2,09) 0,598.


Lauro / Nunes

1-6

26. 7

1066023742 ),,(

Resolução: 7

0922 ),(

7

184, 0,597.

27. Sendo 10, t4 e exp[5,5], calcule:

a) 42450

10

1

3i

; b)

10

1

3i

42450.

Resolução:

a) 42450

10

1

3i

= 42450 0,4245510 ;

b)

10

1

3i

42450 30 42450 42480 0,4248510 .

Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o

valor da variável x :

28. 11000112 10x .

Resolução: 11000112 0, 1100011 72

2

1

22

1

32

0

42

0

52

0

62

1

72

1 72

62 52 21 99

11000112 9910 x 99.

29. 11111112 10x .

Resolução: 11111112 0, 1111111 72

2

1

22

1

32

1

42

1

52

1

62

1

72

1 72

62 52 42 32 22 21 127

11111112 12710 x 127.

30. 10101012 10x .

Resolução: 10101012 0, 1010101 72

2

1

22

0

32

1

42

0

52

1

62

0

72

1 72

62 42 22 1 85

10101012 8510 x 85.

31. 101,00112 10x .

Resolução: 101,00112 0, 1010011 32

2

1

22

0

32

1

42

0

52

0

62

1

72

1 32

22 132

1

42

1 5 0,125 0,0625 5 0,1875 5,1875

101,00112 5,187510 x 5,1875.


Lauro / Nunes

1-7

32. 0,01111112 10x .

Resolução: 0,01111112 0, 111111 12

2

1

22

1

32

1

42

1

52

1

62

1 12

22

1

32

1

42

1

52

1

62

1

72

1

0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125 0,4921875

0,01111112 0,492187510 x 0,4921875.

33. 1,0100112 10x .

Resolução: 1,0100112 0, 10100112

2

1

22

0

32

1

42

0

52

0

62

1

72

12

122

1

52

1

62

1 1 0,25 0,03125 0,015625 1,296875

1,0100112 1,29687510 x 1,296875.

Nos exercícios seguintes, converter os números para a base binária, determinando o

valor da variável x :

34. 3710 2x .


37 2

1 18 2

0 9 2

1 4 2

0 2 2

0 1 3710 1001012

35. 234510 2x .


2345 2

1 1172 2

0 586 2

0 293 2

1 146 2

0 73 2

1 36 2

0 18 2

0 9 2

1 4 2

0 2 2

0 1 234510 1001001010012


Lauro / Nunes

1-8

36. Determine x com 36 dígitos: 0,121710 2x .

Resolução:

0,1217 0,2434 0,4868 0,9736 0,9472 0,8944 0,7888 0,5776 0,1552

0,2434 0,4868 0,9736 1,9472 1,8944 1,7888 1,5776 1,1552 0,3104

0,3104 0,6208 0,2416 0,4832 0,9664 0,9328 0,8656 0,7312 0,4624

0,6208 1,2416 0,4832 0,9664 1,9328 1,8656 1,7312 1,4624 0,9248

0,9248 0,8496 0,6992 0,3984 0,7968 0,5936 0,1872 0,3744 0,7488

1,8496 1,6992 1,3984 0,7968 1,5936 1,1872 0,3744 0,7488 1,4976

0,4976 0,9952 0,9904 0,9808 0,9616 0,9232 0,8464 0,6928 0,3856

0,9952 1,9904 1,9808 1,9616 1,9232 1,8464 1,6928 1,3856 0,7712

0,121710 0,0001111100100111101110110010111111102.

37. Determine x com 8 dígitos: 2,4710 2x .

Resolução:

a) 210 ? N 2 e 2 N

2 2 210 102.

0 1

b) 0, 4710 ?

0,47

0,94

0,88

0,76

0,52

0,04

0,08

0,16

0,32

0,94 1,88 1,76 1,52 1,04 0,08 0,16 0,32 0,64

0, 4710 0,011110002.

Logo: 2,4710 210 0, 4710 102 0,011110002 10, 011110002.

Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais

Lauro / Nunes

2-9

2 Zeros reais de funções reais

38. Isolar os zeros da função f ( x )3x 9 x 3.

Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:

x 4 3 2 1 0 1 2 3

f ( x )

Como 034 )()( ff , 010 )()( ff e 032 )()( ff , conclui-se, de acordo com o

teorema 1, que existem zeros de )(xf nos intervalos [4,3], [0,1] e [2,3]. Como 𝑓(𝑥) =

0 tem exatamente 3 raízes, pode-se afirmar que existe exatamente um zero em cada um

destes intervalos.

Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação f ( x )3x 9 x 3=0,

obtendo-se a equação equivalente 3x 9 x 3. Neste caso, tem-se que

3xxg )( e

39 xxh )( . Traçando os gráficos de )(xg e )(xh , verifica-se que as abscissas dos

pontos de intersecção destas curvas estão nos intervalos [4,3], [0,1] e [2,3].

Outra forma de se verificar a unicidade de zeros nestes intervalos, é traçar o gráfico da

função derivada de )(xf , 93 2 xxf )(' e confirmar que a mesma preserva o sinal em

cada um dos intervalos ]4,3[, ]0,1[ e ]2,3[, conforme a Erro! Fonte de referência não

ncontrada..

y

x

y =f x( )

4321-1-2-3-4

1 2 3

y

x

4321-1-2-3-4

1

2 3

g x( ) h x( )


Lauro / Nunes

2-10

39. Isolar os zeros da função 23,ln)( xxxf .

Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para )(xf e analisar os sinais:

x 1 2 3 4

)(xf

Como 032 )()( ff , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de

)(xf no intervalo [2,3].

Pode-se ainda verificar graficamente que a função derivada da função )(xf ,

xxf ln)(' 1 preserva o sinal no intervalo ]2,3[, neste caso 0)(' xf x ]2,3[, o que

pela Obs. 1 garante que só existe um zero de )(xf neste intervalo.

y

x

y = f’ x( )

4321-1-2-3-4

33-

x

y =f x( )

0

-0,1

-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

-0,8

-0,9

-1,0

-0,8

2,6 2,8 3,0 3,2 3,40,1

0,2

0,3

y


Lauro / Nunes

2-11

40. Isolar os zeros da função xxxf 4025 ,log)( .


x 1 2 3

)(xf



Pode-se também chegar a esta mesma conclusão partindo da equação

xxxf 4025 ,log)( =0, obtendo-se a equação equivalente xx 4025 ,log . Neste

caso, tem-se que xxg log)( 5 e xxh 4,02)( . Traçando os gráficos de )(xg e )(xh ,

verifica-se que a abscissa do único ponto de intersecção destas curvas está no intervalo

[1,2].

41. Isolar os zeros da função xexxf 5)( .


x 0 1 2 3

)(xf



Pode-se também chegar a esta mesma conclusão partindo da equação xexxf 5)(

0, obtendo-se a equação equivalente xex 5 . Neste caso, tem-se que xxg )( e

xexh 5)( . Traçando os gráficos de )(xg e )(xh , verifica-se que a abscissa do único

ponto de intersecção destas curvas está no intervalo [1,2].

y

x1

1

x( )f’

y

x

x( )

21 3

2

1h

x( )g


Lauro / Nunes

2-12

42. Determinar um valor aproximado para 5 , com erro inferior a 210 .

Resolução: Determinar 5 é equivalente a obter o zero positivo da função )(xf =2x 5.

Sabe-se que o intervalo [2,3] contém este zero e a tolerância neste caso é = 210

. Assim,

a quantidade mínima de iterações para se obter a resposta com a precisão exigida é:

n2log

log)log( ab n

2

1023 2

log

log)log( n

2

1021

log

loglog n

2

120

log

n 6,643856. Como n deve ser intero, tem-se n 7.

n a x b f ( a ) f ( x ) f (b ) (b a )/2

1 2,0 2,5 3,0 0,5

2 2,0 2,25 2,5 0,25

3 2,0 2,125 2,25 0,125

4 2,125 2,1875 2,25 0,0625

5 2,1875 2,21875 2,25 0,03125

6 2,21875 2,234375 2,25 0,015625

7 2,234375 2,2421875 2,25 0,0078125

Portanto 5 2,24218750,0078125

43. Um tanque de comprimento L tem uma secção transversal no formato de um

semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do

topo, o volume V da água é: V

)(arcsen, 222250 hrh

r

hrrL . Supondo

que L10 ft , r1 ft e V12,4 3ft , encontre a profundidade da água no tanque com

precisão de 0,01 ft .

y

x

x( )

21 3

2

1

h

x( )g

h h

r


Lauro / Nunes

2-13

Resolução: Para calcular a profundidade rh da água, substitui-se os valores de r , L e V

na expressão anterior para obter a equação )(arcsenh h 21 h 1,240,50 cuja raiz

é h . Assim, deve-se calcular o zero da função )(hf )(arcsenh h 21 h 1,240,5,

com precisão de 210 . Para isto, primeiramente isola-se o zero desta função num

intervalo da seguinte forma.

Pode-se construir uma tabela de valores para )(hf e analisar os sinais:

h 1 0 1

)(hf


)(hf no intervalo [0,1].

Para se confirmar a unicidade deste zero neste intervalo, pode-se utilizar a OBS. 1, isto é,

calcula-se a derivada )(, hf de )(hf para verificar que a mesma preserva o sinal no

intervalo ]0,1[. Assim, obtém-se )(, hf 21

1

h 21 h 2121

2

/ h

h(2 h )

)(, hf 01

12

2

2

h

h )([,] 10h , o que significa que )(hf é estritamente crescente neste

intervalo, o que garante a unicidade do zero de )(hf em ]0,1[.

Agora determina-se o número de iterações necessárias para se obter a precisão exigida:

2log

log)log(

abn

2

101 2

log

loglog n n 6,643856

Logo são necessárias n = 7 iterações.

n a h b )(af )(hf )(bf (ba)/2

1 0 0,5 1 0,5

2 0 0,25 0,5 0,25

3 0 0,125 0,25 0,125

4 0,125 0,1875 0,25 0,0625

5 0,125 0,15625 0,1875 0,03125

6 0,15625 0,171875 0,1875 0,015625

7 0,15625 0,1640625 0,171875 0,0078125

Assim, h 0,16406250,0078125 e a profundidade r h da água solicitada é

aproximadamente 1(0,1640625) ft .


Lauro / Nunes

2-14

44. Obter algumas funções de ponto fixo para a função )(xf 62 xx .

Resolução: Efetuando diferentes manipulações algébricas sobre a equação )(xf 0 ou

62 xx 0, podem-se obter diferentes funções de ponto fixo, como por exemplo:

a) 62 xx 026 xx , logo

21 6)( xx . Como )3(1 3 e )2(1 2, tem-se

que 3 e 2 são pontos fixos de )(1 x .

b) 62 xx 0 xx 6 , logo se pode ter xx 6)(2 e neste caso tem-se que

2 é ponto fixo de )(2 x , pois 2)2(2 , ou xx 6)(2 e neste caso tem-se que 3

é ponto fixo de )(2 x , pois 3)3(2 .

c) 62 xx 0 06 xxx x

x

xx

6 1

6

xx , logo )(3 x 1

6

x. Como

)3(3 3 e )2(3 2, tem-se que 3 e 2 são pontos fixos de )(3 x .

d) 62 xx 0 06 xxx 06)1( xx 1

6

xx , logo

1

6)(4

xx .

Como )3(4 3 e )2(4 2, tem-se que 3 e 2 são pontos fixos de )(4 x .

No próximo passo algumas destas funções serão utilizadas na tentativa de gerar

seqüências aproximadoras dos zeros de )(xf .

45. Aproximar o maior zero da função )(xf 62 xx , utilizando a função

xx 6)(2 , e 0x 1,5.

Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência )(1 nn xx , n0, 1, 2, será:

nnn xxx 6)(21 , e pode-se construir a seguinte tabela:

n nx nnn xxx 6)(21

0 1,5 2,12132

1 2,12132 1,96944

2 1,96944 2,00763

3 2,00763 1,99809

4 1,99809 2,00048

Percebe-se que neste caso a seqüência }{ nx converge para a raiz 2 da equação

62 xx 0.

y

x

x( )

0 x 1x2 x3

y x=

x

6

62=

2


Lauro / Nunes

2-15

46. Aproximar o maior zero da função )(xf 62 xx , utilizando a função

21 6)( xx , e 0x 1,5.

Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência )(1 nn xx , n 0, 1, 2, será:

211 6 nnn xxx )( , e pode-se construir a seguinte tabela:

n nx 2

11 6)( xxx nn

0 1,5 3,75

1 3,75 8,0625

2 8,0625 59,003906

3 59,003906 3475,4609

Percebe-se que neste caso a seqüência }{ nx não converge para a raiz 2 da equação

62 xx 0.

47. Verificar as condições i) e ii) do teorema anterior quando do uso da função

xx 6)(2 no exercício número 45.

Resolução:

Verificação da condição i):

xx 6)(2 é contínua no conjunto S { x/x 6}.

x

x

62

12 )(' é contínua no conjunto T { x/x < 6}.

Verificação da condição ii):

)(' x2 < 1 x

62

1 < 1 x < 5,75

Logo, é possível obter um intervalo I , tal que 2 I , onde as condições i) e ii) estão

satisfeitas.

y

x

x( )

0 1

x2

x

y x=

x

6

2=

1


Lauro / Nunes

2-16

48. Verificar as condições i) e ii) do teorema anterior quando do uso da função 2

1 6)( xx .

Resolução:

Verificação da condição i):

2

1 6 xx )( e xx 21 )(' são contínuas em .

Verificação da condição ii):

)(' x1 < 1 x2 < 1 2

1 < x <

2

1.

Logo, não existe um intervalo I , com 2 I , e tal que )(' x1 < 1, x I .

49. Encontrar o zero de )(xf 42 xe x com precisão

610 , utilizando o método do

ponto fixo.

Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:

x 3 2 1

)(xf

Como 023 )()( ff , conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de


Fazendo xexh )( e 42 xxg )( , pode-se verificar que os gráficos das mesmas se

intersectam em apenas um ponto, o que garante que só existe um zero de )(xf neste

intervalo.

y

x

x( )

21 3

2

1

hx( )g

-2 -1-3

-2

-3

-4

-1

3

4

5= e

x

= x2- 4


Lauro / Nunes

2-17

Assim, o zero de )(xf está isolado em [3,2].

Procurando uma função de ponto fixo adequada pode-se fazer:

42 xe x0 442 xx exex 4 xex)(

Verificando as hipóteses i) e ii) do Erro! Fonte de referência não encontrada.:

i) 42

x

x

e

ex)('

)(')( xex são contínuas em [3,2], o que garante a primeira condição do Erro!

onte de referência não encontrada..

ii) k = )('max]2,3[

xx

42

x

x

e

ex

.)('

01237042

33

3

,.

)('

e

e

03328042

22

2

,.

)('

e

e

Como )(' x é decrescente no intervalo I =[3,2], k = 0,03328 < 1, o que garante a

segunda condição do Erro! Fonte de referência não encontrada..

Procura-se agora, o extremo do intervalo I =[3,2] mais próximo do zero de )(xf :

Para isto, segue-se o indicado na observação 5, isto é, calcula-se o ponto médio do

intervalo I =[3,2]: x̂ 2

23 ))(( 2,5 e )ˆ(x 452 52 ,),( e 2,02042.

Como x̂ < )ˆ(x , isto é x̂ 2,5 < )ˆ(x ),( 52 2,02042, então está entre x̂ 2,5 e

2, ou seja, 2 é o extremo de I mais próximo de . Desta forma, iniciando o processo

recursivo pelo ponto 0x 2, garante-se que todos os termos da seqüência aproximadora

pertencerão ao intervalo I =[3,2].

Logo, utilizando 4)( xex a partir de 0x 2, gera-se uma seqüência

convergente para o zero de )(xf .

n nx 1nx nn xx 1

0 2 2,0335524 0,0335524 > 10-6

1 2,0335524 2,0324541 0,0010983 > 10-6

2 2,0324541 2,0324895 0,0000354 > 10-6

3 2,0324895 2,0324884 0,0000011 > 10-6

4 2,0324884 2,0324884 0 < 10-6

Portanto, x = 2,0324884.


Lauro / Nunes

2-18

50. Encontrar a solução para a equação x = xcos com precisão 610 .

Resolução: xxxfxxxx cos)(0coscos

Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais:

x 0 2

)(xf

Como 02

0

)()( ff , conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de

)(xf no intervalo [0,2

].

Fazendo )(xg x e )(xh xcos , pode-se verificar que os gráficos das mesmas se

intersectam em apenas um ponto, o que garante que só existe um zero de )(xf neste

intervalo. Esta informação também pode ser verificada observando que a função )(' xf

sen x – 1, preserva o sinal x ]0,2

[, isto é, tem-se que neste caso 'f ( x )0, x ]0,

2

[ (e também em [0,

2

] ). Isto significa dizer que a função f ( x ) é estritamente

decrescente no intervalo ]0,2

[.

Como xxf cos)('' , também preserva o sinal em [0,2

], ( ''f ( x )0, x ]0,

2

[,

tem-se que as condições i), ii) e iii) do teorema 3 são satisfeitas.

Assim, a fórmula recursiva de Newton para este caso fica: 1nx nx 1

)(sen

)cos(

n

nn

x

xx

para 0n . Agora deve-se escolher 0x convenientemente: Pode-se verificar que o ponto

médio x̂ 4

ou x̂ 0,785398163398 e x̂ 0,739536133515. Pela observação 5

concluímos que 0x 0, pois x̂ < x̂ .

n nx 1nx nn xx 1

0 0 1 1 > 10-6

1 1 0,750363868 0,249636132 > 10-6

2 0,750363868 0,7391128909 0,011250978 > 10-6

3 0,7391128909 0,7390851333 0,000027757 > 10-6

4 0,7390851333 0, 7390851332 0,0000000001 <10-6

Portanto, x = 0,739085133.

y

x( )

h

2

2

2

3 =cos x

x( )g = x

-1

1

x


Lauro / Nunes

2-19

51. Considerando o mesmo exercício anterior, encontrar a solução para a equação x =

com precisão , usando o método da secante. Considere 𝑥0 = 0 e 𝑥1 = 1, como

aproximações iniciais.

Resolução: 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) − 𝑥 = 0 Assim, a fórmula recursiva do método da secante para este caso fica:

𝑥𝑛+1 =𝑥𝑛−1𝑓(𝑥𝑛) − 𝑥𝑛𝑓(𝑥𝑛−1)

𝑓(𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛−1)

n x(n-1) x(n) x(n+1) |x(n+1) - x(n)|

0 0 1 0,685073357 0,314926643

1 1 0,685073357 0,736298998 0,05122564

2 0,685073357 0,736298998 0,739119362 0,002820364

3 0,736298998 0,739119362 0,739085112 3,42498E-05

4 0,739119362 0,739085112 0,739085133 2,11E-08

Portanto, = 0,739085133.

Nos exercícios seguintes, considerando cada método especificado, determine uma

aproximação para o zero da função.

52. Pelo método da Bissecção, determine uma aproximação para x (1,2) da função

𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação 1

410 tal que (b a )/2 1 .

Resolução:

n a x b f ( a ) f ( x ) f (b ) (b a )/2

1 1 1,5 2 - + + 0,5

2 1 1,25 1,5 - - + 0,25

3 1,25 1,375 1,5 - - + 0,125

4 1,375 1,4375 1,5 - - + 0,0625

5 1,4375 1,46875 1,5 - + + 0,03125

6 1,4375 1,453125 1,46875 - + + 0,015625

7 1,4375 1,4453125 1,453125 - - + 0,0078125

8 1,4453125 1,44921875 1,453125 - + + 0,00390625

9 1,4453125 1,447265625 1,44921875 - - + 0,001953125

10 1,447265625 1,448242188 1,44921875 - + + 0,000976563

11 1,447265625 1,447753906 1,448242188 - + + 0,000488281

12 1,447265625 1,447509766 1,447753906 - + + 0,000244141

13 1,447265625 1,447387695 1,447509766 - - + 0,00012207

14 1,447387695 1,44744873 1,447509766 - + + 6,10352E-05

Logo, x 1,44744873

xcos610

x


Lauro / Nunes

2-20

53. Pelo método do Ponto Fixo ou Aproximações Sucessivas, determine uma aproximação

para �̅�(1,2) da função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação 𝜀1 = 𝜀1 = 10−4 tal que

|𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀1 ou |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥01,5.

Resolução:

f ( x )2xe xcos

f ( x )0 2xe xcos x x 0

1( x ) xcos 2xe x '1 ( x )1 em (1,2)

2( x ) xcos 2xe x '2 ( x )1 em (1,2)

𝜙(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑒−𝑥2+ 𝑥 𝑥𝑛+1 = 𝜙(𝑥𝑛)

n nx 1nx | 1nx nx | | f ( 1nx )| Parada

0 1,5 1,465337977 0,034662023 0,01154599

1 1,465337977 1,453791987 0,01154599 0,004075472

2 1,453791987 1,449716515 0,004075472 0,001466938

3 1,449716515 1,448249577 0,001466938 0,000531683

4 1,448249577 1,447717894 0,000531683 0,000193187

5 1,447717894 1,447524708 0,000193187 7,02578E-05 |𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀1

Logo, x 1,447524708.

54. Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para �̅�(1,2) da função

𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação 1 2

410 tal que | f ( 1nx )| 1 ou

|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥01,5.

Resolução:

f ( x )2xe xcos 'f ( x )2 x

2xe xsen

( x ) x )('

)(

xf

xf ( x ) x

xxe

xe

x

x

sen

cos

2

2

2 1nx ( nx )

n nx 1nx | 1nx nx | | f ( 1nx )| Parada

0 1,5 1,4491235 0,0508765 0,001088623

1 1,4491235 1,447416347 0,001707153 1,32044E-06 |𝑓(𝑥𝑛+1)| < 𝜀1

Logo, x 1,447416347.

55. Pelo método da secante, determine uma aproximação para �̅�(1,2) da função

𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação tal que | ( )| ou

|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥0 = 1,5 e 𝑥1 = 1,2, como aproximações iniciais.

Resolução:

𝑥𝑛+1 =𝑥𝑛−1𝑓(𝑥𝑛) − 𝑥𝑛𝑓(𝑥𝑛−1)

𝑓(𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛−1)

n x(n-1) x(n) x(n+1) |x(n+1) - x(n)|

0 1,5 1,2 1,435046063 0,235046063

1 1,2 1,435046063 1,450627163 0,0155811

2 1,435046063 1,450627163 1,447385539 0,003241624

3 1,450627163 1,447385539 1,447414206 2,86668E-05

Logo, 1,447414206.

1 2410 f 1nx 1

x

Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares

Lauro / Nunes

3-21

3 Resolução de sistemas de equações lineares

56. Resolver o sistema 3S , com 3S

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

Resolução: 3S

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

[ A b ] [U c ]

[ A b ]

1132

3344

5132

(Matriz aumentada).

Seja 0B [ A b ] e kB [U c ] após k conjuntos de operações elementares aplicadas

sobre 0B .

Etapa 1: em 0B , tome )(0iL , com i1,2,3, como as linhas de 0B e )(0

11a como pivô e

calculam-se os multiplicadores )(01im ( i2,3).

)(021m

)(

)(

011

021

a

a

2

4 2; )(0

31m )(

)(

011

031

a

a

2

2 1.

Operações elementares nas linhas )( 10iL ( i1,2,3).

)(11L )(0

1L ; )(12L )(0

21m )(01L )(0

2L ;

)(13L )(0

31m )(01L )(0

3L .

Sendo )(1iL ( i1,2,3) as linhas da matriz 1B .

Anulam-se todos os valores abaixo do pivô )(011a .

1B

6260

7120

5132

.

Etapa 2: Repete-se o processo para o próximo pivô, situado na diagonal da matriz 1B .

Em 1B , tome )(1iL , com i2,3 e )(1

22a como pivô.

)(132m

)(

)(

122

132

a

a

2

6

3.

)(21L )(1

1L ; )(22L )(1

2L ; )(23L )(1

32m )(12L )(1

3L .

2B

15500

7120

5132

2B [U c ].

Segue que:


Lauro / Nunes

3-22

Resolvendo U x c por substituição retroativa, tem-se: x T321

3

2

1

que é,

também, solução para o sistema A x b .

Método compacto para a TRIANGULAÇÃO U x c :

Linha Multiplicador m Matriz Aumentada Transformação

(1) 0B 2 3 -1 5

(2) )(021m = -( 4 )/( 2 )= -2 4 4 -3 3

(3) )(031m = -( 2 )/( 2 )= -1 2 -3 1 -1

(2) 1B 0 -2 -1 -7 -2 )(01L + )(0

2L

(3) )(132m = -( -6 )/( -2 )= -3 0 -6 2 -6 -1 )(0

1L + )(03L

(3) 2B 0 0 5 15 -3 )(12L + )(1

3L

As linhas contendo os pivôs formam o sistema U x c .

57. Resolver o sistema 4S com arredondamento em duas casas decimais, na matriz

aumentada.

4S A x b

3106521213081021

880411523084352

74914551188524

416011390378

4321

4321

4321

4321

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,,,,,

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Resolução:

Linha Multiplicador m Matriz Aumentada

(1) 0B 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40

(2) )(021m = -( 24,50 )/( 8,70 ) 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70

(3) )(031m = -( 52,30 )/( 8,70 ) 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80

(4) )(041m = -( 21,00 )/( 8,70 ) 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30

(2) 1B 0,00 -17,25 -14,69 -76,08 -95,88

(3) )(132m = -( -102,03 )/( -17,25 ) 0,00 -102,03 -79,41 -54,73 -179,39

(4) )(142m = -( -88,24 )/( -17,25 ) 0,00 -88,24 -35,65 -5,05 -145,89

(3) 2B 0,00 0,00 7,48 395,27 387,72

(4) )(243m = -( 39,49 )/( 7,48 ) 0,00 0,00 39,49 384,13 344,57

(4) 3B 0,00 0,00 0,00 -1702,66 -1702,36

Então A x b U x c [ A b ] [U c ].

U x c

361702661702000

723872739548700

88950876691425170

416011390378

4

43

432

4321

,,

,,,

,,,,

,,,,,

x

xx

xxx

xxxx

Logo: x T001011012011 ,,,, .


Lauro / Nunes

3-23

58. Com base no exercício anterior, calcular o resíduo r do sistema A x b .

Resolução: r b xA .

r

3106

880

749

416

,

,

,

,

521213081021

411523084352

14551188524

011390378

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

001

011

012

011

,

,

,

,

.

r T4680082004200240 ,,,, .

59. Resolva 4S com arredondamento em duas casas decimais, utilizando eliminação de

Gauss com pivoteamento completo.

4S A x b

3106521213081021

880411523084352

74914551188524

416011390378

4321

4321

4321

4321

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,,,,,

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

.

Resolução:


(1) )(012m = -( 3,00 )/( -84,00 ) 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40

(2) )(022m = -( -8,80 )/( -84,00 ) 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70

(3) 0B 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80

(4) )(042m = -( -81,00 )/( -84,00 ) 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30

(1) )(114m = -( 11,41 )/( -46,29 ) 10,57 0,00 8,46 11,41 13,51

(2) 1B 19,02 0,00 13,96 -46,29 -41,24

(4) )(144m = -( 10,51 )/( -46,29 ) -29,43 0,00 9,46 10,51 -28,39

(1) )(211m = -( 15,26 )/( -25,11 ) 15,26 0,00 11,90 0,00 3,34

(4) 2B -25,11 0,00 12,63 0,00 -37,75

(1) 3B 0,00 0,00 19,58 0,00 -19,60

Então A x b U x c [ A b ] [U c ].

U x c

3

2

1

0

B

B

B

B

60190581900

75370631201125

24412946961300219

880411523084352

3

31

431

4321

,,

,,,

,,,,

,,,,,

x

xx

xxx

xxxx

Com o cálculo retroativo de 3B para 0B , obtém-se: x T001001002001 ,,,, .

Considerando-se precisão em duas casas decimais, o processo levou ao x exato, em

conseqüência o resíduo é nulo.

r b xA r T000000000000 ,,,, .


Lauro / Nunes

3-24

60. Decompor a matriz A, usando a Decomposição LU.

A = (1 2 −12 3 −21 −2 1

)

Calculando o 𝑚𝑖𝑗 e 𝑢𝑖𝑗, usando o processo de Gauss (𝑚𝑖𝑗 sem troca de sinal), temos:

Resolução:

Para a Coluna 1 da matriz A(0):

A=A(0) = (

1 2 −12 3 −21 −2 1

)

Pivô = 𝑎11(0)

= 1

Multiplicadores: 𝑚21(0)

=𝑎21

(0)

𝑎11(0) =

2

1= 2 𝑚31

(0)=

𝑎31(0)

𝑎11(0) =

1

1= 1

Então:

𝐿1(1)

← 𝐿1(0)

; 𝐿2(1)

← −𝑚21(0)

∗ 𝐿1(0)

+ 𝐿2(0)

𝐿3(1)

← −𝑚31(0)

∗ 𝐿1(0)

+ 𝐿3(0)

A(1) = (

1 2 −10 −1 00 −4 2

)

Para a Coluna 2 da matriz A(1):

Pivô = 𝑎22 = −1


=𝑎32

(1)

𝑎22(1) =

−4

−1= 4

Então:

𝐿1(2)

← 𝐿1(1)

; 𝐿2(2)

← 𝐿2(1)

𝐿3(2)

← −𝑚32(1)

∗ 𝐿2(1)

+ 𝐿3(1)

A(2) = (1 2 −10 −1 00 0 2

)

Os fatores L e U são:

𝐿 = (1 0 0

𝑚21 1 0𝑚31 𝑚32 1

) = (1 0 02 1 01 4 1

) e 𝑈 = (1 2 −10 −1 00 0 2

)

Logo:

A = 𝐿 ∗ 𝑈 = (1 0 02 1 01 4 1

) ∗ (1 2 −10 −1 00 0 2

) = (1 2 −12 3 −21 −2 1

)

Vamos aproveitar o Exercício acima para resolver um sistema de equações lineares

através da Decomposição LU.

61. Resolva o sistema linear a seguir usando a Decomposição LU (Fatoração).

{

𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2 2𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 3𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0

Resolução:

Já temos que: A = (1 2 −12 3 −21 −2 1

) = (1 0 02 1 01 4 1

) ∗ (1 2 −10 −1 00 0 2

) = 𝐿𝑈

Para resolvermos o sistema Ax = b, onde b = (2 3 0)𝑡, resolvemos primeiramente Ly=b.

(1 0 02 1 01 4 1

) ∗ (

𝑦1

𝑦2

𝑦3

) = (230

) , ou seja, {

𝑦1 = 2 2𝑦1 + 𝑦2 = 3 𝑦1 + 4𝑦2 + 𝑦3 = 0


Lauro / Nunes

3-25

Então (

𝑦1

𝑦2

𝑦3

) = (2

−12

).

A seguir calculamos x através da equação Ux = y.

(1 2 −10 −1 00 0 2

) ∗ (

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (2

−12

), ou seja, {𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2−𝑥2 = −1 2𝑥3 = 2

Logo, 𝑥 = (

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (111

).

62. Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:

{

3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10 4𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5

Resolução:

A = (3 2 41 1 24 3 2

) e 𝑏 = (−1105

)

Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:

1ª coluna


=𝑎21

(0)

𝑎11(0) =

1

3 e 𝑚31

(0)=

𝑎31(0)

𝑎11(0) =

4

3

Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):

𝐴(1) = (3 2 40 1/3 2/30 1/3 −10/3

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2

𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3

2ª coluna

Multiplicador: 𝑚32(1)

=𝑎32

(1)

𝑎22(1) = 1

Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):

A(2) = (3 2 40 1/3 2/30 0 −4

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3


𝐿 = (1 0 0

1/3 1 04/3 1 1

) e 𝑈 = (3 2 40 1/3 2/30 0 −4

)

Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:

𝐿𝑦 = 𝑏 → {

𝑦1 = −1 𝑦1

3+ 𝑦2 = 10

4𝑦1

3+ 𝑦2 + 𝑦3 = 5

𝑦 = (−1

31/3−4

)

𝑈𝑥 = 𝑦 → {

3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1𝑥2

3+

2𝑥3

3=

31

3

−4𝑥3 = −4

𝑥 = (−21291

)


Lauro / Nunes

3-26

63. Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:

{

3𝑥 − 0,1𝑦 − 0,2𝑧 = −1,20,1𝑥 + 7𝑦 − 0,3𝑧 = 7,8 0,3𝑥 − 0,2𝑦 + 10𝑧 = 3,5

Resolução:

A = (3 −0,1 −0,2

0,1 7 −0,30,3 −0,2 10

) e 𝑏 = (−1,27,83,5

)


1ª coluna

Multiplicadores:

𝑚21 =𝑎21

(0)

𝑎11(0) = 0,0333 e 𝑚31 =

𝑎31(0)

𝑎11(0) = 0,1


A(1) = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 −0,19 10,02

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2

𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3

2ª coluna

Multiplicador:

𝑚32 =𝑎32

(1)

𝑎22(1) = −0,0271


A(2) = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 0 10,0120

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3


𝐿 = (1 0 0

0,0333 1 00,1 −0,0271 1

) e 𝑈 = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 0 10,0120

)

Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:

𝐿𝑦 = 𝑏 → {

𝑦1 = −1,2 0,0333𝑦1 + 𝑦2 = 7,8 0,1𝑦1 − 0,0271𝑦2 + 𝑦3 = 3,5

𝑦 = (−1,27,84

3,8327)

𝑈𝑥 = 𝑦 → {

3𝑥1 − 0,1𝑥2 − 0,2𝑥3 = −1,27,0033𝑥2 − 0,2933𝑥3 = 7,8410,0120𝑥3 = 3,8327

𝑥 = (−0,33661,13550,3828

)


Lauro / Nunes

3-27

64. Considere a matriz.

A = (1 1 12 1 −13 2 5

)

a) Calcule a fatoração LU de A.

b) Usando a fatoração LU, calcule o determinante de A.

Resolução:

a) Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:

1ª coluna

Multiplicadores:

𝑚21 =𝑎21

(0)

𝑎11(0) = 2 e 𝑚31 =

𝑎31(0)

𝑎11(0) = 3


A(1) = (1 1 10 −1 −30 −1 2

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2

𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3

2ª coluna

Multiplicador:

𝑚32 =𝑎32

(1)

𝑎22(1) = 1


A(2) = (1 1 10 −1 −30 0 5

)

𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3


𝐿 = (1 0 02 1 03 1 1

) e 𝑈 = (1 1 10 −1 −30 0 5

)

b) Sabe-se que A = LU então:

det(A) = det(𝐿𝑈)

det(A) = det(𝐿) ∗ det(𝑈)

det(A) = (1 ∙ 1 ∙ 1) ∗ (1 ∙ (−1) ∙ 5)

det(𝐴) = −5


Lauro / Nunes

3-28

65. Aplicando-se o método da decomposição LU a matriz:

A = (

?4

?−1

3 ?10 8

? −3 12 110 −2 −5 10

)

Obtiveram-se as matrizes:

𝐿 = (

?2

0?

??

??

30

0?

?1

0?

) e 𝑈 = (

??

−11

? 5? −2

? 0 3 −40 ? 0 10

)

Preencha os espaços pontilhados com valores adequados.

Resolução:

Iniciamos completando a matriz L com os elementos da diagonal principal, que são igual

a 1, e com os elementos acima da diagonal principal, que são nulos.

𝐿 = (

12

01

00

00

30

0?

11

01

)

Também podemos completar alguns elementos da matriz U, abaixo da diagonal principal,

que são nulos.

𝑈 = (

?0

−11

? 5? −2

0 0 3 −40 0 0 10

)

Com o multiplicador 𝑚21 =𝑎21

(0)

𝑎11(0), podemos calcular os elementos 𝑎11:

𝑚21 =𝑎21

(0)

𝑎11(0)

2 =4

𝑎11(0)

𝑎11(0)

= 2 Comparando a primeira linha das matrizes A e U, completamos a primeira linha dessas

matrizes:

A = (

24

−1−1

310

58

?0

−3−2

12−5

1110

)

𝑈 = (

20

−11

3 5? −2

0 0 3 −40 0 0 10

)


Lauro / Nunes

3-29

Com o multiplicador 𝑚31 =𝑎31

(0)

𝑎11(0), podemos calcular os elementos 𝑎31:

𝑚31 =𝑎31

(0)

𝑎11(0)

3 =𝑎31

(0)

2

𝑎31(0)

= 6 Assim, temos:

A = (

24

−1−1

310

58

60

−3−2

12−5

1110

)

Com os dados obtidos da matriz A podemos calcular o elemento 𝑎23(1)

:

𝑎23(1)

= 𝑎23(0)

− 𝑚21 ∗ 𝑎13(0)

𝑎23(1)

= 10 − 2 ∗ 3

𝑎23(1)

= 4

Assim, temos:

𝑈 = (

20

−11

3 54 −2

0 0 3 −40 0 0 10

)


A(1) = (

20

−11

34

5−2

00

0−2

3−5

−410

)

Com os dados dessa matriz podemos calcular o multiplicador 𝑚42:

𝑚42 =𝑎42

(1)

𝑎22(1)

= −2

Assim, temos:

𝐿 = (

1 2

01

00

00

30

0−2

11

01

)


Lauro / Nunes

3-30

66. Considerando a resposta x do exercício 2, faça o refinamento de x até que se obtenha

o resíduo )(kr =0, considerando precisão dupla (410 0,0001), quatro casas decimais.

A x b

3106521213081021

880411523084352

74914551188524

416011390378

4321

4321

4321

4321

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,,,,,

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

)(0x T001011012011 ,,,,

)(0r b A )(0x )(0r T4680082004200240 ,,,,

REFINAMENTO: )(kx

)( 1kx )( 1 k A

)( 1 k )( 1kr [ A )( 1kr ]

)( 1 k

Resolução:

k 1 [ A )(0r ] )(0

)(1x )(0x

)(0


(1) 0B 8,7000 3,0000 9,3000 11,0000 -0,0240

(2) )(021m = -( 24,5000 )/( 8,7000 ) 24,5000 -8,8000 11,5000 -45,1000 -0,0420

(3) )(031m = -( 52,3000 )/( 8,7000 ) 52,3000 -84,0000 -23,5000 11,4000 0,0820

(4) )(041m = -( 21,0000 )/( 8,7000 ) 21,0000 -81,0000 -13,2000 21,5000 0,4680

(2) 1B 0,0000 -17,2483 -14,6897 -76,0770 0,0256

(3) )(1

32m = -( -102,0345 )/( -17,2483 ) 0,0000 -102,0345 -79,4069 -54,7264 0,2263

(4) )(1

42m = -( -88,2414 )/( -17,2483 ) 0,0000 -88,2414 -35,6483 -5,0517 0,5259

(3) 2B 0,0000 0,0000 7,4919 395,3167 0,0749

(4) )(243m = -( 39,5034 )/( 7,4919 ) 0,0000 0,0000 39,5034 384,1543 0,3949

(4) 3B 0,0000 0,0000 0,0000 -1700,2774 0,0000

Considerando 4 casas decimais:

[ A )(0r ]

0000027741700000

0749031673954919700

025600770766897142483170

02400011390378

4

43

432

4321

,,

,,,

,,,,

,,,,,

Então:

[ A )(0r ] )(0

)(0 T00000010000100001000 ,,,,

Como: )(0x T001011012011 ,,,,

)(1x )(0x

)(0 )(1x T00001000010000200001 ,,,,

)(1r b A )(1x )(1r T00000000000000000000 ,,,, .

Logo, após 1 refinamento, foi obtido )(1r 0 considerando 4 dígitos significativos. Logo, o

processo iterativo )(kx

)( 1kx )( 1 k com k 1 levou a x T1121 .


Lauro / Nunes

3-31

67. Resolva o sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Jacobi, com 10 0 nx )( e

210 0,01.

xA b

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

x F x d

Resolução:

F

010

3

10

25

10

5

110

1

10

20

e d

10

65

810

7

Neste caso a fórmula de recorrência fica:

)( 1kx F )(kx d

10

3265

810

27

2113

3112

321

1

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

k )(kx1 )(kx2

)(kx3 )()(max 1

31

k

ik

ii

xx

0 0 0 0 -

1 0,7 -1,6 0,6 1,6

2 0,96 -1,86 0,94 0,34

3 0,978 -1,98 0,966 0,12

4 0,9994 -1,9888 0,9984 0,0324

5 0,99792 -1,99956 0,99676 0,01076

6 1,000236 -1,998936 1,000284 0,003524

Com )(0x T000 e 0,01, o processo convergiu com 6 iterações para:

x T000284199893610002361 ,,, .


Lauro / Nunes

3-32

68. Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações xA b , que segue:

xA b

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Resolução: A

1032

151

1210

333231

222321

111312

aaa

aaa

aaa

10 3 2

5 1 1

10 1 2

Logo, a matriz dos coeficientes A é estritamente diagonal dominante, o que garante a

convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este sistema com esta ordem de

equações e incógnitas.

69. Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações xA b , que segue:

xA b

686

3225

23

32

321

321

xx

xxx

xxx

Resolução: A

860

225

131

333231

222321

111312

aaa

aaa

aaa

8 6 0

2 2 5

1 1 3

Logo a matriz dos coeficientes A não é estritamente diagonal dominante. Isto

significa que não é garantida a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este

sistema com esta ordem de equações e incógnitas.

Mas permutando adequadamente as equações do sistema, obtém-se o sistema

equivalente:

686

23

3225

32

321

321

xx

xxx

xxx

onde A

860

131

225

333231

222321

111312

aaa

aaa

aaa

8 6 0

3 1 1

5 2 2

Logo, esta nova matriz dos coeficientes A é estritamente diagonal dominante, o que

garante a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este sistema com esta nova

ordem de equações e incógnitas.


Lauro / Nunes

3-33

70. Resolva o sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Seidel, com 10 0 nx )( e

210 0,01.

xA b

61032

85

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Resolução:


10

3265

810

27

12

111

3

31

112

3211

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

k )(kx1 )(kx2

)(kx3 )()(max 1

31

k

ik

ii

xx

0 0 0 0 -

1 0,7 -1,74 0,982 1,74

2 0,9498 -1,98636 1,005948 0,2498

3 0,9966772 -2,00052504 1,000822072 0,0468772

4 1,000022801 -2,000168975 1,000046132 0,003345601


x T000046100016920000231 ,,, .


Lauro / Nunes

3-34

71. Resolva o sistema xA b , utilizando o método de Gauss-Jacobi, com 10 0 nx )( e

0,05.

xA b

0633

643

55

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Resolução:

F

06

3

6

34

10

4

35

1

5

10

e d

6

04

65

5


)( 1kx F )(kx d

6

334

365

5

2113

3112

3211

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

k )(kx1 )(kx2

)(kx3 )()(max 1

31

k

ik

ii

xx

0 0 0 0 -

1 1 1,5 0 1,5

2 0,7 0,75 -1,25 1,25

3 1,1 1,2875 -0,725 0,5375

4 0,8875 0,85625 -1,19375 0,46875

5 1,0675 1,1328125 -0,871875 0,321875

6 0,9478125 0,91734375 -1,10015625 0,22828125

7 1,0365625 1,064179688 -0,932578125 0,167578125

8 0,973679688 0,955722656 -1,050371094 0,117792969

9 1,018929688 1,032333008 -0,964701172 0,085669922

10 0,986473633 0,976978027 -1,025631348 0,060930176

11 1,009730664 1,016552612 -0,98172583 0,043905518


x T9817260016553100097311 ,,, .


Lauro / Nunes

3-35

72. Resolva o sistema xA b , utilizando o método de Gauss-Seidel, com 10 0 nx )( e

0,05.

xA b

0633

643

55

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Resolução:


6

334

365

5

12

111

3

31

112

3211

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

k )(kx1 )(kx2

)(kx3 )()(max 1

31

k

ik

ii

xx

0 0 0 0 -

1 1 0,75 -0,875 1

2 1,025 0,95 -0,9875 0,2

3 1,0075 0,99125 -0,999375 0,04125


x T999375099125000075001 ,,, .

73. Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito no sistema de equações xA b , que

segue: xA b

52203010

01207010

62102020

20101050

4321

4321

4321

4321

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Resolução: A

1203010

2017010

1020120

1010501

,,,

,,,

,,,

,,,

1 ][ 14131211

1aaa

a 1·[ 0,50,10,1 ] 0,7

2 ][ 242312122

1aaa

a 1· [ 0,2·0,70,20,1 ] 0,44

3 ][ 3423213133

1aaa

a 1· [ 0,1·0,70,7·0,440,2 ] 0,578

4 ][ 34324214144

1 aaa

a1·[0,1·0,70,3·0,440,2·0,578] 0,3176


Lauro / Nunes

3-36

Então, ii

M 41

max max { 0,7 ; 0,44 ; 0,578 ; 0,3176 } 0,7 1. Logo o critério de

Sassenfeld está satisfeito, o que garante a convergência do método de Gauss-Seidel

aplicado a este sistema.

74. Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito no sistema de equações xA b , que

segue: xA b

33

1

932

31

32

321

xx

xx

xxx

Resolução: Com esta disposição de linhas e colunas, tem-se que:

1 ][ 131211

1aa

a

2

1 ·[13] 2 > 1, logo o critério de Sassenfeld não é satisfeito.

Permutando as equações 1 e 3 tem-se o sistema de equações equivalente:

932

1

33

321

32

31

xxx

xx

xx

, e para esta disposição verifica-se que:

1 ][ 131211

1aa

a

1

1 ·[03] 3 > 1, logo o critério de Sassenfeld novamente não

é satisfeito.

Permutando agora as colunas 1 e 3 tem-se o sistema de equações equivalente:

923

1

33

123

23

13

xxx

xx

xx

, e para esta disposição verifica-se que:

1 ][ 131211

1aa

a

3

1 ·[01]

3

1

2 ][ 2312122

1aa

a

1

1

· [ 1·3

10 ]

3

1

3 ][ 23213133

1 aa

a

2

1 · [ 3·

3

11·

3

1]

3

2

Então, ii

M 31

max max {3

1,

3

2}

3

2 1. Logo o critério de Sassenfeld está

satisfeito, o que garante a convergência do método de Gauss-Seidel aplicado a este

sistema com esta nova ordem de equações e incógnitas.

Cálculo Numérico Interpolação

Lauro / Nunes

4-37

4 Interpolação

75. Determine iL ( kx ) para i0,1,2, k 0,1,2 e n 2.

Resolução:

i0 0L ( x )))((

))((

2010

21

xxxx

xxxx

k 0 0L ( 0x )1

k 1 0L ( 1x )0

k 2 0L ( 2x )0

i1 1L ( x )))((

))((

2101

20

xxxx

xxxx

k 0 1L ( 0x )0

k 1 1L ( 1x )1

k 2 1L ( 2x )0

i2 2L ( x )))((

))((

1202

10

xxxx

xxxx

k 0 2L ( 0x )0

k 1 2L ( 1x )0

k 2 2L ( 2x )1

Para x kx , com k 0,1,2,, n , temos:

nP ( kx )

n

ikii xLy

0

)(

i k 0

)( kii xLy 0

i k 1

)( iii xLy iy


Lauro / Nunes

4-38

76. Interpolar o ponto x 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de

Lagrange.

i 0 1 2 3

ix 1 0 1 2

iy 1 3 1 1

Resolução: n3 é o grau máximo de 3P ( x ).

3P ( x )

3

0iii xLy )( 3P ( x )1 0L ( x )3 1L ( x )1 2L ( x )1 3L ( x )

iL ( x )

3

0ij

j ji

j

xx

xx

)(

)(

0L ( x )))()((

))()((

302010

321

xxxxxx

xxxxxx

))()((

))()((

211101

210

xxx

6

23 23

xxx

1L ( x )))()((

))()((

312101

320

xxxxxx

xxxxxx

))()((

))()((

201010

211

xxx

2

22 23 xxx

2L ( x )))()((

))()((

321202

310

xxxxxx

xxxxxx

))()((

))()((

210111

201

xxx

2

223

xxx

3L ( x )))()((

))()((

231303

210

xxxxxx

xxxxxx

))()((

))()((

120212

101

xxx

6

3 xx

Logo:

3P ( x )6

23 23

xxx3

2

22 23 xxx

2

223

xxx

6

3 xx

3P ( x )3x 2

2x x 3

3P (1,5) 3P (23 ) 3

23 )( 2 2

23 )(

23 3

3P (1,5)8

27 2

4

9

2

33

3P (1,5)8

3 3P (1,5)0,375

y

x

x( )P

1

3

-1 2

2

1

3

32

38

0


Lauro / Nunes

4-39

77. Interpolar o ponto x 1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton.

i 0 1 2 3

ix 1 0 1 2

iy 1 3 1 1

Resolução: n3 é o grau máximo de 3P ( x ). Tabela de diferenças divididas:

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3

1 1

)( 10

13

2

0 3 )( 11

22

2

01

31

2

)(

)(

12

21

1

1 1 02

20

)(1

12

11

0

2 1

3P ( x ) f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]( x 0x )( x 1x ) f [ 0x , 1x , 2x ]

( x 0x )( x 1x )( x 2x ) f [ 0x , 1x , 2x , 3x ]

3P ( x )1( x 1)2( x 1)( x )(2)( x 1)( x )( x 1)(1)

3P ( x )12 x 222x 2 x

3x x

3P ( x )3x 2

2x x 3


Lauro / Nunes

4-40

78. Seja f ( x ) dada em forma de tabela de valores, como segue:

x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72

f ( x ) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37

a) Obter f (0,47) usando um polinômio de grau 2;

b) Dar uma estimativa para o erro.

Resolução: Tabela de diferenças divididas:

x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3

0,2 0,16

0,4286

0,34 0,22 2,0235

0,8333 17,8963

0,4 0,27 3,7033

0,1667 18,2494

0,52 0,29 1,0415

0,375 2,6031

0,6 0,32 0,2085

0,4167

0,72 0,37

Deve-se escolher 3 pontos próximos de 0,47 para a obtenção de 2P ( x ).

2P ( x ) f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]( x 0x )( x 1x ) f [ 0x , 1x , 2x ]

2P ( x )0,27( x 0,4)0,1667( x 0,4)( x 0,52)1,0415

2P ( x )1,04152x 0,79148 x 0,419952

a) 2P (0,47)0,278 f (0,47)

b) | nE (0,47)||(0,470,4)(0,470,52)(0,470,6)||18,2494|

| nE (0,47)|8,303310

.


Lauro / Nunes

4-41

79. Prove a igualdade seguinte.

1P ( x ) f ( 0x )10

1

xx

xx

f ( 1x )

01

0

xx

xx

f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]

Resolução:

x ordem 0 ordem 1

0x f [ 0x ] 0y

f [ 0x , 1x ]01

01

xx

yy

1x f [ 1x ] 1y 1P ( x ) f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]

1P ( x ) f [ 0x ]( x 0x ) f [ 0x , 1x ]

1P ( x ) 0y ( x 0x )01

01

xx

yy

1P ( x ) 0y 1y 01

0

xx

xx

0y

01

0

xx

xx

1P ( x ) 0y 0y 01

0

xx

xx

1y

01

0

xx

xx

1P ( x ) 0y

1

01

0

xx

xx 1y

01

0

xx

xx

1P ( x ) 0y

01

001

xx

xxxx 1y

01

0

xx

xx

1P ( x ) 0y 01

1

xx

xx

1y

01

0

xx

xx

1P ( x ) f ( 0x )10

1

xx

xx

f ( 1x )

01

0

xx

xx

80. Encontre x tal que f ( x )2 pela tabela abaixo:

x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

f ( x ) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72

Resolução:

Fazendo interpolação linear por 0x 0,6 e 1x 0,7:

1P ( x ) f ( 0x )10

1

xx

xx

f ( 1x )

01

0

xx

xx

1P ( x )1,8210

70

,

,

x2,01

10

60

,

,x

1P ( x )18,2 x 12,7420,1 x 12,06 1P ( x )1,9 x 0,68.

1P ( x )2 1,9 x 0,682 x 91

6802

,

,

x 0,6947368.


Lauro / Nunes

4-42

81. Considere a tabela a seguir:

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

y xe 1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487

Obter x , tal que xe 1,3165, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a

forma de Newton para obter 2P ( y ). Construir a tabela de diferenças divididas.

Resolução:

y ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3

1 0

0,9506

1,1052 0,1 0,4065

0,8606 0,1994

1,2214 0,2 0,3367

0,7782 0,1679

1,3499 0,3 0,2718

0,7047 0,1081

1,4918 0,4 0,2256

0,6373

1,6487 0,5

2P ( y ) g [ 0y ]( y 0y ) g [ 0y , 1y ]( y 0y )( y 1y ) g [ 0y , 1y , 2y ]

2P ( y )0,2( y 1,2214)0,7782( y 1,2214)( y 1,3499)(0,2718)

2P (1,3165)0,27487.

Assim, 274870,e 1,3165 Na calculadora 1,316359.

Erro cometido:

| 2E ( y )| |( y 0y )( y 1y )( y 2y )|!33M

| 2E (1,3165)| |(1,31651,2214)(1,31651,3499)(1,31651,4918)|!33M

| 2E (1,3165)| 5,5681410

!33M

3M )('''max yg , y [ 0y , 2y ].

1o Caso: !33M

pode ser aproximado por 0,1994 (tabela de diferenças divididas de ordem 3).

| 2E (1,3165)| 5,5681410 0,1994 | 2E ( y )| 1,11028

410 .

2o Caso: f ( x )xe g ( y )

1f ( y ) yln

'g ( y )y

1 "g ( y )

2

1

y '"g ( y )

3

2

y

Logo: 3M 322141

2

),( 3M 1,0976, então

!33M

!

,

3

097610,18293.

| 2E (1,3165)| 5,5681410 0,18293 | 2E ( y )| 1,0186

410 (limite superior).


Lauro / Nunes

4-43

82. Achar a função spline linear que interpola a função f ( x ) tabelada a seguir.

0x 1x 2x 3x

x 1 2 5 7

y f ( x ) 1 2 3 2,5

Resolução: Pela definição, pode-se definir 3 splines lineares para os 4 pontos: 1s ( x ),

2s ( x ) e 3s ( x ).

1s ( x ) 0y01

1

xx

xx

1y

01

0

xx

xx

1s ( x )112

2

x2

12

1

x2 x 2 x 2 x 1s ( x ) x , x[1,2].

2s ( x ) 1y12

2

xx

xx

2y

12

1

xx

xx

2s ( x )225

5

x3

25

2

x

3

2(5 x ) x 2

3

1( x 4) 2s ( x )

3

1( x 4) , x[2,5].

3s ( x ) 2y23

3

xx

xx

3y

23

2

xx

xx

3s ( x )357

7

x2,5

57

5

x 3s ( x )

21 (0,5 x 8,5) , x[5,7].

Então, no intervalo [ a ,b ][1,7], a spline linear 1S ( x ) é dada por:

1S ( x )

.75se ,

;52se ,

;21se ,

3

2

1

],[)(

],[)(

],[)(

xxs

xxs

xxs

tal que

.58502

1 e

43

1 ,

3

21

),,()(

)()()(

xxs

xxsxxs

y

x

x( )s

1

1

1

0

x( )f

2 3 4 5 6 7

3

2

2,5x( )s

2

x( )s3


Lauro / Nunes

4-44

83. Encontrar uma aproximação para f (0,25) por spline cúbica natural, interpolando a

tabela:

0x 1x 2x 3x 4x

x 0 0,5 1,0 1,5 2,0

y f ( x ) 3 1,8616 0,5571 4,1987 9,0536

Resolução: n4, logo, procura-se 1s ( x ), 2s ( x ), 3s ( x ) e 4s ( x ).

Spline Natural k 1,2,,( n 1) k 1,2,3 Utilizando a (15), segue que:

1kk gh 2( kh 1kh ) kg 11 kk gh 6

1

1

k

kk

h

yy

k

kk

h

yy 1

kh kx 1kx kh 0,5 k . kh h 0,5 .

Equação (15) h 1kg 4 h kg h 1kg h

6( 11 2 kkk yyy ) , com k 1,2,3.

Desenvolvendo o sistema A g b :

234432

123321

012210

26

4

26

4

26

4

yyyh

hghghg

yyyh

hghghg

yyyh

hghghg

0g 4g 0 (Spline Natural).

Então,

A g b

hh

hhh

hh

40

4

04

3

2

1

g

g

g

h

6

234

123

012

2

2

2

yyy

yyy

yyy

.

Substituindo os valores:

2500

50250

0502

,

,,

,

3

2

1

g

g

g

559814

674814

363615

,

,

,

g

2526

1114

65416

,

,

,

.

Forma geral de is ( x ) is ( x ) ia ( x ix )3 ib ( x ix )2 ic ( x ix ) id , com i1,2,3,4.

f (0,25) 1s (0,25)

1a h

gg

601

3

65416, 1a 2,218

1b 21g3,327 1b 3,327

1c h

yy 01 6

2 01 hghg 3,3858 1c 3,3858

1d 1y 1,8616 1d 1,8616

Logo, 1s (0,25)2,218(0,25)33,327(0,25)23,3858(0,25)1,8616

1s (0,25)2,5348 f (0,25) .


Lauro / Nunes

4-45

Considerando os próximos 5 exercícios, encontrar uma aproximação para f ( x ) por

spline cúbica natural, interpolando a tabela:

0x 1x 2x 3x 4x

x 0 0,5 1,0 1,5 2,0

y f ( x ) 3 1,8616 0,5571 4,1987 9,0536

n4, logo, procura-se 1s ( x ), 2s ( x ), 3s ( x ) e 4s ( x ).

Do exercício anterior, a forma geral de is ( x ) é dada por:

is ( x ) ia ( x ix )3 ib ( x ix )2 ic ( x ix ) id , com i1,2,3,4.

84. f (0,8).

Resolução:

f (0,8) 2s (0,8)

2a h

gg

612 0,8477 2a 0,8477

2b 22g2,0555 2b 2,0555

2c h

yy 12 6

2 12 hghg 6,0771 2c 6,0771

2d 2y 0,5571 2d 0,5571

Logo, 2s (0,8)0,8477(0,2)32,0555(0,2)26,0771(0,2)0,5571

2s (0,8)0,5693 f (0,8) .

85. f (1,1).

Resolução:

f (1,1) 3s (1,1)

3a h

gg

623 0,7137 3a 0,7137

3b 23g3,1260 3b 3,1260

3c h

yy 23 6

2 23 hghg 8,6678 3c 8,6678

3d 3y 4,1987 3d 4,1987

Logo, 3s (1,1)0,7137(0,4)33,1260(0,4)28,6678(0,4)4,1987

3s (1,1)1,1861 f (1,1) .


Lauro / Nunes

4-46

86. f (1,2).

Resolução:

f (1,2) 3s (1,2)

3a h

gg

623 0,7137 3a 0,7137

3b 23g3,1260 3b 3,1260

3c h

yy 23 6

2 23 hghg 8,6678 3c 8,6678

3d 3y 4,1987 3d 4,1987

Logo, 3s (1,2)0,7137(0,3)33,1260(0,3)28,6678(0,3)4,1987

3s (1,2)1,8604 f (1,2) .

87. f (1,3).

Resolução:

f (1,3) 3s (1,3)

3a h

gg

623 0,7137 3a 0,7137

3b 23g3,1260 3b 3,1260

3c h

yy 23 6

2 23 hghg 8,6678 3c 8,6678

3d 3y 4,1987 3d 4,1987

Logo, 3s (1,3)0,7137(0,2)33,1260(0,2)28,6678(0,2)4,1987

3s (1,3)2,5845 f (1,3) .

88. f (1,7).

Resolução:

f (1,7) 4s (1,7)

4a h

gg

6

34 2,0840 4a 2,0840

4b 24g0 4b 0

4c h

yy 34 6

2 34 hghg 10,2308 4c 10,2308

4d 4y 9,0536 4d 9,0536

Logo, 4s (1,7)2,0840(0,3)30(0,3)210,2308(0,3)9,0536

4s (1,7)6,0406 f (1,7) .

Cálculo Numérico Integração Numérica

Lauro / Nunes

5-47

5 Ajuste de curvas pelo método dos mínimos

quadrados

89. (Regressão Linear) Ajustar os dados da tabela abaixo através de uma reta.

i 1 2 3 4 5

ix 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0

)( ixf 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8

Resolução: Fazendo )()()( xgxgxg 2211 e considerando

)(xg1 1 e )(xg2 x , tem-se: xxg 21)( .

Assim, a reta que melhor se ajusta aos valores da tabela terá coeficientes 1 e 2 , que

são solução do seguinte sistema na forma matricial:

fg

fg

gggg

gggg

,

,

,,

,,

2

1

2

1

2212

2111

Tg ][ 111111

Tg ],,,,,[ 08861543312

Tf ],,,,,[ 8516832502

11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 5

21 gg , (1)(1,3)+(1)(3,4)+(1)(5,1)+(1)(6,8)+(1)(8,0) = 24,6

12 gg , (1,3)(1)+(3,4)(1)+(5,1)(1)+(6,8)(1)+(8,0)(1) = 24,6

22 gg , (1,3)(1,3)+(3,4)(3,4)+(5,1)(5,1)+(6,8)(6,8)+(8,0)(8,0) = 149,50

fg ,1 (1)(2,0)+(1)(5,2)+(1)(3,8)+(1)(6,1)+(1)(5,8) = 22,9

fg ,2 (1,3)(2,0)+(3,4)(5,2)+(5,1)(3,8)+(6,8)(6,1)+(8,0)(5,8) = 127,54

Assim,

54127

922

50149624

6245

2

1

,

,

,,

, 1 2,01 e 2 0,522

Logo a equação da reta procurada é:

xxg 21)( )(xg 2,010,522 x


Lauro / Nunes

5-48

90. Ajustar os dados da tabela através da parábola )(1 xg 2x :

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ix 1 0,75 0,6 0,5 0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1

)( ixf 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

Resolução: Fazendo )()( xgxg 11 e considerando )(xg1 2x , obtém-se

21 xxg )( .

Assim, para se obter a parábola que melhor se ajusta aos pontos da tabela, será necessário

encontrar 1 do sistema:

1111 ,, gfgg

Tg ])1()7,0()6,0()75,0()1([ 222221

Tf ],,,,,[ 052214501531052

11 gg , (1) 2 (1) 2 +(0,75) 2 (0,75) 2 +(0,6) 2 (0,6) 2 + + (0,7) 2 (0,7) 2 +

(1) 2 (1) 2 = 2,8464

fg ,1 (1) 2 (2,05)+(0,75) 2 (1,153)+(0,6) 2 (0,45)+ + (0,7) 2 (1,2) +

(1) 2 (2,05) = 5,8756.

Assim, 84642

875651

,

,2,0642

Logo a equação da parábola procurada é: 2

1 xxg )( 206422 xxg ,)(

y

x

2

1-1

1


Lauro / Nunes

5-49

91. Ajustar os dados da tabela abaixo por um polinômio do segundo grau 2

321 xxxg )( .

i 1 2 3 4

ix 2 1 1 2

)( ixf 1 3 1 9

Resolução: Neste caso tem-se que: )(xg1 1, xxg )(2 e 23 xxg )(

fg

fg

fg

gggggg

gggggg

gggggg

,

,

,

,,,

,,,

,,,

3

2

1

3

2

1

332313

322212

312111

Tg ][ 11111

Tg ][ 21122

Tg ])()()()([ 22223 2112

Tf ][ 9131

11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 4

21 gg , (1)(2)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(2) = 0

12 gg , (2)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(2)(1) = 0

31 gg , (1)22)( +(1)

21)( +(1)21)( +(1)

22)( = 10

13 gg , 22)( (1)+ 21)( (1)+

21)( (1)+ 22)( (1) = 10

22 gg , (2)( 2)+(1)(1)+(1)(1)+(2)(2) = 10

32 gg , (2)22)( +(1)

21)( +(1)21)( +(2)

22)( = 0

23 gg , 22)( (2)+ 21)( (1)+

21)( (1)+ 22)( (2) = 0

33 gg , 22)( 22)( + 21)( 21)( +

21)( 21)( + 22)( 22)( = 34

fg ,1 (1)(1)+(1)(3)+(1)(1)+(1)(9) = 8

fg ,2 (2)(1)+(1)(3)+(1)(1)+(2)(9) = 20

fg ,322)( (1)+

21)( (3)+21)( (1)+

22)( (9)= 38 Assim,

38

20

8

34010

0100

1004

3

2

1

1 3, 2 2 e 3 2. Logo a equação da

parábola procurada é: 2321 xxxg )( )(xg

2223 xx


Lauro / Nunes

5-50

92. Aproximar a função f ( x )43x por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no

intervalo [0,1].

Resolução:

g ( x ) 1 1g ( x ) 2 2g ( x )= 1 2 x , isto é, 1g ( x )1 e 2g ( x ) x .

Ab

2221

1211

aa

aa

2

1

2

1

b

b

2212

2111

gggg

gggg

,,

,,

2

1

2

1

gf

gf

,

,

11a 11 gg , 1

0

21 dxxg )(

1

0dx

1

0x 1

12a 21 gg , 12 gg , 21a 1

0 21 dxxgxg )()( 1

0xdx

1

0

2

2

x

2

1

22a 22 gg , 1

0

22 dxxg )(

1

0

2dxx

1

0

3

3

x

3

1

1b 1gf , 1

0 1 dxxgxf )()( 1

0

34 dxx 1

0

4x 1

2b 2gf , 1

0 2 dxxgxf )()( 1

0

34 xdxx 1

0

44 dxx

1

0

5

5

4x

5

4

Ab

31

21

211

2

1

54

1 1

5

4 e 2

5

18.

Logo:

g ( x )5

18x

5

4 f ( x )4

3x em [0,1].


Lauro / Nunes

5-51

93. Aproximar a função f ( x )xe no intervalo [0,1] por uma reta.

Resolução:

g ( x ) 1 1g ( x ) 2 2g ( x )= 1 2 x ,

isto é, 1g ( x )1 e 2g ( x ) x .

Ab

2221

1211

aa

aa

2

1

2

1

b

b

2212

2111

gggg

gggg

,,

,,

2

1

2

1

gf

gf

,

,

11a 11 gg , 11, 1

011 dx 10x 1

12a 21 gg , x,1 1

01 xdx

1

0

2

2

x

2

1

21a 12 gg , 21 gg ,2

1

22a 22 gg , xx, 1

0

2dxx

1

0

3

3

x

3

1

1b 1gf , 1,xe 1

0dxex

10xe 1e

2b 2gf , xex , 1

0xdxex

Usando o método de integração por partes em 2b : dvu duvvu

dxex x?

Fazendo xu dxdu e dxedv x xev , obtém-se:

dxex x dxeex xx

xex xe

xex )( 1 C

Logo, 1

0dxex x

101 xex )( 0(10e ) 1.

Assim:

Ab

31

21

211

2

1

1

1e 1 4 e 10 e 2 186 e .

Logo:

g ( x )(186 e ) x 4 e 10 f ( x )xe em [0,1].


Lauro / Nunes

5-52

94. Ajustar os dados da tabela que segue por uma função da forma g ( x ) 1 x

e 2 .

x 0 1 2

f ( x ) 1 0,5 0,7

Resolução: Desta forma, “linearizando” a função g ( x ) 1 x

e 2 , como no primeiro

exemplo anterior, tem-se:

fln ( x ) ln 1 x

e 2 1ln 2 x G ( x ).

Fazendo 1ln 1a e 2 2a , tem-se: G ( x ) 1a 2a x .

Desta forma G ( x ) fln ( x ), sendo que G ( x ) é linear nos parâmetros 1a e 2a .

Fazendo agora 1g ( x ) 1 e 2g ( x ) x :

2212

2111

gggg

gggg

,,

,,

2

1

a

a

2

1

gf

gf

,ln

,ln

Tg 1111

Tg 2102

fln T],ln,lnln[ 70501

11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1) 3

21 gg , (1)(0)+(1)(1)+(1)(2) 3

12 gg , 21 gg , 3

22 gg , (0)(0)+(1)(1)+(2)(2) 5

1gf ,ln ( ln1)(1)+( ln0,5)(1)+( ln0,7)(1) 1,050

2gf ,ln ( ln1)(0)+( ln0,5)(1)+( ln0,7)(2) 1,406

53

33

2

1

a

a

4061

0501

,

, 1a 0,172 e 2a 0,178.

Assim, 22 a 0,178 e 17201

1 , eea 0,842.

Desta forma, tem-se que: g ( x ) 1 x

e 2

g ( x )0,842xe 1780,

f ( x ).

Os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do critério dos mínimos

quadrados, isto porque estamos ajustando o problema linearizado por mínimos quadrados e

não o problema original. Portanto, os parâmetros 1a e 2a do exemplo, são os que ajustam a

função G ( x ) à função ln f ( x ), no sentido dos mínimos quadrados. Não se pode afirmar

que os parâmetros 1 e 2 (obtidos de 1a e 2a ) são os que ajustam g ( x ) 1 x

e 2 à f ( x ),

dentro do critério dos mínimos quadrados.


Lauro / Nunes

6-53

6 Integração Numérica

95. Calcular 9

156x dx , usando a regra dos trapézios.

Resolução:

a1, b 9 e f ( x ) 56 x

h b a h 91 h 8.

b

adxxf )(

2

h[ f ( a ) f (b )] TI

f ( a ) f (1)1

f (b ) f (9)7

9

156x dx

2

8[17] TI 32.

O erro cometido será, no máximo:

| TE |12

3h

],[max

bax|

"f ( x )|

"f ( x )

23569 /)( x

| TE |12

83

],[max

91x|

23569 /)( x |

x 1 | TE | 384

x 9 | TE | 1,119

Logo, | TE | 384.

96. Calcular 9

156x dx empregando o método dos trapézios com 8 repetições.

Determine uma aproximação para o erro cometido.

Resolução:

9

1dxxf )(

9

156x dx

2

h[ f ( 0x ) f ( 8x )2

7

1iixf )( ]

h n

ab

8

19 h 1

x 0x 1 1x 2 2x 3 3x 4 4x 5 5x 6 6x 7 7x 8 8x 9

f ( x ) 1 2,65 3,61 4,36 5 5,57 6,08 6,56 7

9

156x dx

2

1[172(2,653,614,3655,576,086,56)] 37,83.

9

156x dx 37,83.

Erro cometido será, no máximo:

| TRE |2

3

12n

ab )(

],[max

bax|

"f ( x )| 2

3

812

8

],[max

91x|9(6 x 5)3/2| 6.

Neste caso em particular, f ( x ) pode ser integrada de forma exata:

9

156x dx

49

1u

6

du

49

1

23

9

/u

9

749

9

1

9

1343 38.


Lauro / Nunes

6-54

97. Seja I 1

0dxex

. Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra

dos trapézios repetida. Estimar o erro cometido.

Resolução:

h n

ab

10

1 h 0,1 ix

10

i, com i0,1,,10.

1

0dxxf )(

1

0dxex

2

10,[ f ( 0x ) f ( 10x )2

9

1iixf )( ]

1

0dxex

2

10,[

0e 1e 2(

10,e 20,e

30,e 40,e

50,e 60,e

70,e 80,e

90,e )] 1,7197.

1

0dxex

1,7197.

Erro cometido será, no máximo:

| TRE |2

3

12n

ab )(

],[max

bax|

"f ( x )| 2

3

1012

01

)(

],[max

10x|

xe | 0,00227.

98. Seja I 1

0dxex

. Qual o número mínimo de subdivisões, para a regra dos trapézios

repetida aplicada em I , de modo que o erro seja inferior a 103?

Resolução: | TRE |2

3

12n

ab )(

],[max

bax|

"f ( x )| ],[

max10x

|xe | e .

212

1

n e 103

2n 31012

e n 15,05

n16.

99. Seja I 1

0dxex

. Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com

m 10. Estime o erro cometido.

Resolução:

Sendo m 10, h 1/10 h 0,1.

1

0dxex

3

10,(

00,e 410,e 2

20,e 430,e 2

40,e 280,e 4

90,e 01,e )

1

0dxex

1,71828278.

Estimativa do erro:

SRE 4

5

52880

01

)(

],[max

10x|

xe |

SRE 452880

e SRE 1,51016106.

Observe que SRE 0,00000151 e TRE 0,00227.


Lauro / Nunes

6-55

100. Seja I 1

0dxex

. Para que valor de m teríamos erro inferior a 103?

Resolução:

SRE 4

5

2880n

ab )(

],[max

bax| )(xf 4

| Obs: m 2 n n 2

m

4

5

2880

01

n

)( e 103

4n 3102880

e

4n 0,943848 n 0,9856563.

m 2 n1,9713

m 2 Para um erro inferior a 103 seriam necessários 2 subintervalos.

Obs: na regra dos trapézios com repetição são necessários 16 intervalos.

101. Seja I 10

6xdxlog . Aproxime I com a regra dos trapézios com 8 repetições. Estime o

erro cometido.

Resolução:

h n

ab

8

610 h 0,5.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ix 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

)( ixf 0,7781513 0,8129134 0,8450980 0,8750613 0,9030900 0,9294189 0,9542425 0,9777236 1,0

Obs:dx

xd log

10

1

lnx

2

2

dx

xd log

10

10122 ln

ln

x

10

12 ln

x

2

2

dx

xd log

2x

elog.

10

6xdxlog

2

50,[0,778151251,02(0,812913360,97772361)]3,59331166.

10

6xdxlog 3,59331166.

Estimativa do erro:

TRE 2

3

812

610

)(

],[max

106x 2

2

dx

xd log TRE

2

3

812

4

26

elog

TRE 0,0010053113.


Lauro / Nunes

6-56

102. Seja I 10

6xdxlog . Aproxime I com a regra de Simpson com 8 subintervalos. Estime

o erro cometido.

Resolução:

h m

ab

8

610 h 0,5. m 8 e n 4.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ix 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

)( ixf 0,7781513 0,8129134 0,8450980 0,8750613 0,9030900 0,9294189 0,9542425 0,9777236 1,0

Obs:dx

xd log

10

1

lnx

2

2

dx

xd log

10

12 ln

x

2

2

dx

xd log

2x

elog.

3

3

dx

xd log

3

log2

x

e.

4

4

dx

xd log

4

6

x

elog.

10

6xdxlog

3

5,0[0,778151251,02(0,845098040,903089990,95424251)

4(0,812913360,875061260,929418930,97772361)]3,5939135.

10

6xdxlog 3,5939135.

Estimativa do erro:

SRE 4

5

2880

610

n

)(

],[max

106x| )(xf 4

| SRE 4

5

42880

4

46

6 elog

SRE 0,0000027925.

Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias

Lauro / Nunes

7-57

7 Solução numérica de equações diferenciais

ordinárias

103. Resolver a seguinte EDO: dx

dy xy .

Resolução:

dx

dy xy

y

1dy x dx y

1dy )( x dx

yln 2

2x c y

cx

e

2

2

y 2

2x

e

ce

y k 2

2x

e

, para k . Que representa uma família de curvas em 2.

104. Para a mesma EDO anterior, ,y xy , resolva considerando uma condição inicial

y ( 0x ) 0y , com 0x 0 e 0y 1.

Resolução: (PVI)

inicial

condição 10)(y

xydx

dy

y k 2

2x

e

1 k 20

e

k 1 y 2

2x

e

.

105. Achar aproximações para a solução do PVI

20

2

)(

,

y

yxy na malha de [0,1] com

h 0,1.

Resolução:

0x 0, 0y 2, a0, b 1, m 10

01

,

m 10.

Usar a Eq 06 para j 0,1,2,,9.

j 0:

1y 0y h f ( 0x , 0y ) 0y h ( 0x 0y 2)

1y 20,1 f (0,2)

1y 20,1 (022) 1y 2

1x 0x h

1x 00,1 1x 0,1

j 1:

2y 1y h f ( 1x , 1y ) 1y h ( 1x 1y 2)

2y 20,1 (0,122) 2y 2,01

2x 1x h


Lauro / Nunes

7-58

2x 0,10,1 2x 0,2

TABELA:

j jx jy y ( jx ) jy y ( jx ) je

0 0 2 2 0

1 0,1 2 2,004837 -0,004837

2 0,2 2,01 2,018731 -0,008731

3 0,3 2,029 2,040818 -0,011818

4 0,4 2,0561 2,07032 -0,01422

5 0,5 2,09049 2,106531 -0,016041

6 0,6 2,131441 2,148812 -0,017371

7 0,7 2,1782969 2,196585 -0,0182881

8 0,8 2,23046721 2,249329 -0,01886179

9 0,9 2,287420489 2,30657 -0,019149511

10 1 2,34867844 2,367879 -0,01920056

Na pratica, não se dispõe da solução exata y ( jx ) do PVI. Daí a necessidade de se

determinar uma expressão matemática para o erro. Usa-se a fórmula de Taylor para

desenvolver y ( x ), solução teórica do PVI, em torno de 0x :


20

2

)(

,

y

yxy na malha [0,1] com h =0,1

usando o método da equação (10).

Resolução:

0x 0, 0y 2, a0, b 1, m 10

01

,

m 10.

Usar equação (10) para j 0,1,,9.

j 0:

1y 0y h ,y ( 0x )!2

2h ,,y ( 0x ) ,y ( 0x ) f ( 0x , 0y )

,y ( 0x ) 0x 0y 2.

,,y ( 0x )

x

f

( 0x , 0y )

y

f

( 0x , 0y ) f ( 0x , 0y )

,,y ( 0x ) 0y 0x 1.

1y 0y h ( 0x 0y 2)2

2h( 0y 0x 1)

1y 20,1(022)2

10 2),((201)

1y 2,005 1x 0x h 1x 00,1 1x 0,1.

j 1:

2y 1y h ,y ( 1x )!2

2h ,,y ( 1x )


Lauro / Nunes

7-59

2y 1y h ( 1x 1y 2)2

2h( 1y 1x 1)

2y 2,0050,1(0,12,0052)2

10 2),((2,0050,11)

2y 2,019025 2x 0x 2 h 2x 020,1 2x 0,2.

TABELA:

j jx jy y ( jx ) jy y ( jx ) je

0 0 2 2 0

1 0,1 2,005 2,004837 0,000163

2 0,2 2,019025 2,018731 0,000294

3 0,3 2,041217625 2,040818 0,000399625

4 0,4 2,070801951 2,07032 0,000481951

5 0,5 2,107075765 2,106531 0,000544765

6 0,6 2,149403568 2,148812 0,000591568

7 0,7 2,197210229 2,196585 0,000625229

8 0,8 2,249975257 2,249329 0,000646257

9 0,9 2,307227608 2,30657 0,000657608

10 1 2,368540985 2,367879 0,000661985


10)(y

xydx

dy

na malha [0,1] com h =0,5

usando o método de Euler Aprimorado.

Resolução:

j jx jy 1k 2k y ( jx )22 /xe | jy y ( jx )|

0 0 1 0 -0,5 1 0

1 0,5 0,875 -0,4375 -0,65625 0,882496903 0,007496903

2 1 0,6015625 0,60653066 0,00496816


Lauro / Nunes

7-60

108. Calcular a solução do PVI

10)(y

xydx

dy

com h =0,1, no interior do intervalo [0,1], pelo

método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Resolução: 1jy jy 6

h( 1k 2 2k 2 3k 4k ), para j 0,1,2,,9.

1k jx jy

2k ( jx 0,05)( jy 0,05 1k )

3k ( jx 0,05)( jy 0,05 2k )

4k ( jx 0,1)( jy 0,1 3k )

j jx jy 1k 2k 3k 4k

0 0 1 0 -0,05 -0,049875 -0,09950125

1 0,1 0,995012479 -0,099501248 -0,148505613 -0,14813808 -0,196039734

2 0,2 0,980198673 -0,196039735 -0,242599172 -0,242017179 -0,286799087

3 0,3 0,955997481 -0,286799244 -0,329580132 -0,328831466 -0,369245734

4 0,4 0,923116345 -0,369246538 -0,407094308 -0,406242733 -0,441246036

5 0,5 0,882496901 -0,44124845 -0,473238963 -0,472359224 -0,501156587

6 0,6 0,83527021 -0,501162126 -0,526637868 -0,525809906 -0,547882454

7 0,7 0,782704542 -0,547893179 -0,566482412 -0,565785316 -0,580900808

8 0,8 0,726149051 -0,580919241 -0,592537626 -0,592043844 -0,6002502

9 0,9 0,666976845 -0,60027916 -0,605114742 -0,604885052 -0,606488339

10 1 0,606530726

109. Achar aproximação para a solução do PVI

20

2

)(

,

y

yxy na malha [0,1] com h =0,1

usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).

Resolução: 0x 0, 0y 2, a 0, b 1, m 10

01

,

m 10

1jy jy 2

10,( 1k 2k ), para j 0,1,2,,9 1k jx jy 2 e 2k jx 0,1 jy 0,1 1k 2

j jx jy 1k 2k

0 0 2 0 0,1

1 0,1 2,005 0,095 0,1855

2 0,2 2,019025 0,180975 0,2628775

3 0,3 2,041217625 0,258782375 0,332904138

4 0,4 2,070801951 0,329198049 0,396278244

5 0,5 2,107075765 0,392924235 0,453631811

6 0,6 2,149403568 0,450596432 0,505536789

7 0,7 2,197210229 0,502789771 0,552510794

8 0,8 2,249975257 0,550024743 0,595022269

9 0,9 2,307227608 0,592772392 0,633495153

10 1 2,368540985

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