Cálculo Numérico - Apuntes de Clases

CLCULO NUMRICO

DIEGO RAL KRUJODSKI

2012

Clculo Numrico Diego Ral Krujodski 2012 - Pgina 1-

Unidad 1

Clculo Numrico (14/08/2012)Es una disciplina que se ocupa de describir, analizar y crear algoritmos numricos que nos permitan

resolver problemas matemticos, en lo que estn involucrados cantidades numricas, con una precisin determinada.

En el clculo numrico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solucin aproximada de un problema mediante un nmero de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lgica.

Estos mtodos se aplican cuando se necesita un valor numrico como solucin a un problema matemtico y los procedimientos exactos o analticos son incapaces de dar una respuesta. Son procedimientos muy usados por fsicos e ingenieros y cuyo desarrollo sea favorecido por la necesidad de estas de obtener soluciones aunque la precisin no sea completa. Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en 2 campos:

Problemas de dimensin finita: son aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de nmeros como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, etc.

Problemas de dimensin infinita: son problemas cuya solucin o planteamiento intervienen elementos descriptos por una cantidad infinita de nmeros, como integracin y derivacin numrica, clculo de ecuaciones diferenciales, interpolacin, etc.

Aproximaciones y erroresLos errores son parte intrnseca en el entendimiento y uso efectivo de los mtodos numricos, debido a

que los mtodos numricos son solo una aproximacin.La pregunta es qu error puede considerarse tolerable?. Antes de discutir los errores asociados con los

mtodos numricos es til repasar algunos conceptos bsicos referentes a la representacin aproximada de los nmeros mismos.

Cifras significativasEste concepto de cifras o dgitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la

confiabilidad de un valor numrico. El nmero de cifras significativas es el nmero de dgitos ms un dgito estimado que se puede usar con confianza

Identificacin de cifras significativas Todas las cifras escritas comprendidas entre 1 y 9, son significativas. Ej.: 1234,56. Los ceros a la izquierda nunca son significativos, independientemente de que estn en la parte

entera o decimal del nmero. Ej.: 0,082058. Los ceros intermedios son significativos. Ej.: 0,082058. Los ceros finales de un dato real son significativos. Ej.: 14,00. Los ceros finales de un dato entero no son significativos, si se desean expresar que son

significativos se convierte en real o se expresa en mantisa. Ej.: 300,00 (si), 300 (no), 3,00 x 10 (si).Dato N de cifras significativas

0,082058 50,037207 5

58,00 427 2

2,4 x 10 22,400 x 10 4

1002,5 50,00456 3

7489,13 60,01020 4

683,000 6


RedondeoLa ltima cifra retenida se incrementa en 1 si el 1er dgito descartado es mayor que 5.

1,86 a 2 cifras a 1,91,92 a 2 cifras a 2,0 9,96 a 2 cifras a 10,0

Si el dgito descartado es un nmero menor a 5, entonces el retenido no se altera.1,84 a 2 cifras 1,81,849 a 2 cifras 1,8

Cuando el 1er dgito descartado es justamente 5 y no existen otros dgitos a su derecha (ej.: redondear a 3 cifras 41,75 o 3,865) o si hay solamente ceros (ej.: redondear a 3 cifras 41,7500 o 9,7250) entonces el nmero retenido aumenta en 1 solo si al hacerlo se convierte en par.

1,35 1,41,350 1,41,55 1,6

Si el nmero descartado es justamente 5 y hay a su derecha dgitos diferentes de 0, entonces el ltimo retenido se aumenta en 1.

1,9451 1,951,94510 1,95

Mtodos iterativos (15/08/2012)En estos mtodos la idea es hacer una aproximacin en base a la aproximacin anterior, repitiendo en el

proceso en forma iterativa hasta conseguir mejores aproximaciones.

Error relativo aproximado: E ra=aproximacin nuevaaproximacin anterior

aproximacinnueva

Error relativo aproximado porcentual: E ra=aproximacin nuevaaproximacin anterior

aproximacin nueva100

Cundo debemos parar la iteracin?Los clculos se deben repetir hasta que ra%


Unidad 2

InterpolacinSe trata de estimar valores intermedios entre 2 datos precisos. El mtodo ms comn que se usa para

este propsito es la interpolacin del polinomio f (x )=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3+...+an xn .

Para n+1 hay uno y solo un polinomio de orden n que pasa a travs de todos los puntos.Ej.: Hay una lnea recta que conecta 2 puntos.

Hay una nica parbola que conecta un conjunto de 3 puntos.

Interpolacin polinomialConsiste en determinar el nico polinomio de ensimo orden que ajuste n+1 puntos. Este polinomio

entonces proporciona una frmula para calcular valores intermedios.Dos alternativas muy adecuadas para la interpolacin son:

Polinomio de Newton. Polinomio de Lagrange.

Interpolacin polinomial de:

1er orden (2 puntos), 2do orden (3 puntos) y 3er orden (4 puntos)

Diferencia dividida de Newton para la interpolacin de polinomios

Interpolacin lineal: es el mtodo ms simple de interpolacin y conecta 2 puntos con una lnea recta.

Aproximacin por divisin finita de la 1ra derivada

f 1(x) es una interpolacin de polinomios de 1er orden.

En general, cuanto ms pequeo sea el intervalo de datos, mejor ser su aproximacin.

f ( x1) f ( x0)x1 x0

=f 1( x) f (x0)

x x0

f 1(x)=f ( x1) f ( x0)

x1 x0( xx0)+ f (x0)

f 1(x)= f (x0)+f (x1) f (x0)

x1x0(xx0)


Interpolacin cuadrtica: una estrategia para mejorar la estimacin es introducir alguna curvatura en la lnea que conecta los puntos. Si 3 puntos de los datos estn disponibles, entonces la estimacin puede realizarse con un polinomio de 2do orden.

Procedimiento para determinar los valores de los coeficientes b0= f (x0)

Interpolacin cbica (4 puntos):

(21/08/2012)Observacin:

No es necesario que los datos estn igualmente espaciados o que los valores de la abscisa estn en orden ascendente.

Las ecuaciones para hallar los coeficientes b0,b1,... ,bn son recursivas, es decir, las diferencias de rdenes mayores se calculan con diferencias de orden menor.

Interpolacin de polinomios de LagrangeEs una re-formulacin del polinomio de Newton que evita el clculo por diferencia dividida. Se expresa

como:

donde L: operador de Langrage(1)

Ejemplo:Versin lineal (n=1):

Versin de 2do orden(n=2):

f 2(x )=b0+b1(x x0)+b2(xx0)( xx1)

b1=f (x1) f (x0)

x1x0

b2=

f (x2) f ( x1)x2 x1

f ( x1) f ( x0)

x1 x0x2x0

f 3(x)=b0+b1(x x0)+b2(x x0)( xx1)+b3(x x0)( xx1)( xx2)

b3=

f ( x3) f ( x2)x3 x2

f (x2) f (x1)

x2x1x3x1

b2

x3 x0

f n(x )=i=0

n

Li(x ) f ( xi) Li( x)= j=0,i j

xx jx i x j

f 1(x)=x x1x0x1

f (x0)+x x0x1x0

f ( x1)

L0( x)=x x1x0x1

f 2(x )=xx1x0 x1

x x2x0x2

f ( x0)+xx0x1 x0

xx2x1x2

f (x1)+xx0x2 x0

xx1x2 x1

f (x2)

L1( x)=xx0x1 x0

L0( x)=x x1x0x1

x x2x0x2

L1( x)=xx0x1 x0

xx2x1 x2

L2( x)=x x0x1x0

xx2x1 x2


Versin de 3er orden(n=3):

Advirtase que cada trmino Li( x) sera 1 en x= x i y/o en todos los otros puntos. De manera que cada producto Li( x) f i(X ) toma el valor de f en x i en el punto de muestra x i .

En consecuencia, la sumatoria de todos los productos designados para (1) es el nico polinomio de ensimo orden que pasa de manera exacta a travs de todos los nu n+1 puntos.

Interpolacin segmentara (Spline) (29/08/2012)Hasta ahora se usaron polinomios de ensimo orden para interpolar entre n+1 datos. Esta curva podra

capturar todas las curvaturas sugeridas por los puntos, sin embargo, hay casos en los que estas funciones pueden llevar a resultados errneos debido a errores de redondeo y puntos lejanos.

La alternativa es aplicar polinomios de orden inferior al subconjunto de datos. Tales polinomios conectores son llamados funciones segmentaras.

Por ej.: si se emplean curvas de 3er orden para conectar cada par de datos las mismas se llamaran segmentaras. cbicas.

Se pueden construir de tal forma que las conexiones entre las ecuaciones cbicas adyacentes resultan visualmente suaves.

La interpolacin segmentara usualmente proporciona una aproximacin superior del comportamiento de las funciones que tienen cambios locales y abruptos. Es decir, donde una funcin es por lo general suave pero conlleva un cambio abrupto general en algn lugar a lo largo de la regin de inters.

Segmentaras linealesLa conexin entre 2 puntos es una linea recta. La segmentara de 1er orden para un grupo de datos

ordenados pueden definirse como un conjunto de funciones lineales.

f (x )= f (x0)+m0( xx0) x0 xx1

f (x )= f (x1)+m0(xx1) x1xx2

f (x )= f (x n1)+mn1(xxn1) xn1 xxn

Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la funcin en cualquier punto entre x0 y x1 para localizar 1ro el intervalo dentro del cual est el punto. Despus se usa la ecuacin adecuada para determinar el valor de la funcin dentro del intervalo.

La principal desventaja de las segmentaras. de 1er orden es que no son suaves en los puntos donde 2

f 3(x)=x x1x0x1

x x2x0x2

xx3x0 x3

f ( x0)+xx0x1x0

xx2x1x2

xx3x1 x3

f (x1)+xx0x2 x0

xx1x2x1

xx3x2x3

f (x2)

+x x0x3x0

x x1x3x1

x x2x3x2

f (x3)


segmentaras. se encuentran (nodo), la pendiente cambia de forma abrupta. Por lo que la 1ra derivada de la funcin es discontinua en esos puntos.

Segmentaras cuadrticas

Para asegurar que las derivadas ensimas son continuas en los nodos, se debe usar una segmentara de al menos n+1 orden. A menudo se usa en la prctica los polinomios de 3er orden para asegurar derivadas continuas de 1ro y 2do orden.

La segmentaras. cuadrticas tienen 1ras derivadas continuas en los nodos, pero no asegura 2das derivadas iguales en los nodos, igualmente sirven para demostrar el procedimiento general en el desarrollo de segmentaras. de orden superior.

El objetivo de la misma es derivar un polinomio de 2do orden para cada intervalo de datos.De manera general el polinomio es : f (x )=a i x

2+b i x+ciHay n intervalos y n+1 datos en dnde i=0, 1, 2, , nHay tres n constantes desconocidas (a, b, c). Por lo tanto se requieren tres n ecuaciones o condiciones

para evaluar las incgnitas. Estas son:

Condiciones:

1) Los valores de la funcin de polinomios adyacentes deben ser iguales a los nodos interiores.En nuestro ejemplo:

a1 x12+b1 x1+c1= f ( x1)

a2 x12+b2 x1+c2= f ( x1) 1er nodo

a2 x22+b2 x2+c2= f (x 2)

a3 x22+b3 x2+c3= f ( x2) 4 ecuaciones

2) La 1 y ltima funciones deben pasar a travs de los puntos extremos aqu se generan 2 ecuaciones ms:a1 x0

2+b1 x0+c1= f (x0)a3 x3

2+b3 x3+c3= f (x3)

3) Las 1ras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales:2a1 x1+b1=2 a2 x1+b22a2 x2+b2=2 a3 x2+b3 2 ecuaciones ms


Pero necesitamos 3n incgnitas, entonces debemos tomar una seleccin arbitraria para calcular con xito las constantes.

4) Suponga que en el 1 punto la 2da derivada es cero f II( x0)=0 como (a1 x

2+b1 x+c1)II=(2a1 x+b1)

I=2a1=05)2a1=0a1=0

La interpretacin de esta condicin es que los dos 1ros puntos se conectan con una lnea recta porque a1=0

Las desventajas

1) Los 2 puntos se unen con una lnea recta.2) Para el ltimo intervalo la segmentara de 2do orden parece oscilar demasiado.

EjemplosTP1, punto 4)

Ajustar los puntos de la tabla por medio de segmentaras. cuadrticas y calcular el valor de x=5

x f(x)3,0 2,54,5 1,0

7,0 2,59,0 0,5

(estos puntos siempre se deben ordenar de menor a mayor)

1)a1(4,5)

2+b1(4,5)+c2=1,0

a2(4,5)2+b2(4,5)+c2=1,0

a2(7,0)2+b2(7,0)+c2=2,5

a3(7,0)2+b3(7,0)+c3=2,5

20,25a1+4,5b1+c1=1,0

20,25a2+4,5b2+c2=1,0

49a2+7,0 b2+c2=2,5

49a3+7,0b3+c3=2,5

2)a1(3,0)

2+b1(3,0)+c1=2,5

a3(9,0)2+b3(9,0)+c3=0,5

a19+b13+c1=2,5

a381+b39+c3=0,5

x0x1x2x3


3)2a14,5+b1=2a14,5+b2

2a27+b2=2 a37+b3

9a1+b19a2b2=0

14a2+b214a3+b3=0

4)a1=0

Llegamos a:

(a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c34,5 1 0 0 0 0 0 00 0 20,25 4,5 1 0 0 00 0 4,9 7,0 1 0 0 00 0 0 0 0 49 7,0 13 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 81 9 11 0 9 1 0 0 0 00 0 14 1 0 14 1 0

)(b1c1a2b2c2a3b3c3

)=1,01,02,52,52,50,500

a1=0 b1=1 c1=5,5

a2=0,64 b2=6,76 c2=18,46

a3=1,6 b3=24,6 c3=91,3

f 2(5)=0,64 x26,76 x+18,46=0,64(5)26,76(5)+18,46=0,66


Unidad 3(11/09/2012)

Frmulas de Integracin de Newton-CotesSe basa en la estrategia de reemplazar una funcin complicada o datos por una funcin que sea fcil de

integrar.

Donde f n(x ) tiene la forma de un polinomio de orden n:

Tambin se puede aproximar mediante una serie de polinomios aplicadas por pedazos sobre segmentos de longitud constante (ver figura 3)

Aproximacin con una lnea recta Aproximacin con una parbola

f n(x )=a0+a1 x+a2 x2+...+an1 x

n1+an xn

I=a

b

f (x )dxa

b

f n(x )dx


Se dispone de formas cerradas y abiertas. Las cerradas son aquellas donde los datos al inicio y final de los lmites de integracin son conocidos. Las abiertas tienen lmites de integracin que se extienden ms all del rango de los datos.

Las formas abiertas no se usan por lo general para integracin definida, pero se utilizan para evaluar integrales impropias y la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Cerradas Abiertas

La regla trapezoidalLa regla trapezoidal es equivalente a aproximar el rea del trapezoide bajo la lnea recta que conecta f (a ) y f (b) .Es la 1ra de las frmulas de integracin cerrada de Newton-Cotes. Es el caso donde f n(x )= f 1(x ) ,

entonces la integral sera:

Donde f 1(x) es una estimacin de f (x )

Integrando nos queda: I[ f (b)+ f (a)2

(ba)] que es la Regla Trapezoidal.

Para mejorar la regla trapezoidal se puede subdividir en intervalos de integracin y aplicar el mtodo a cada uno de ellos. Entramos en la integracin mltiple de la regla trapezoidal.

I=a

b

f (x )dxa

b

f 1(x )dx

f 1(x)= f (a)+f (b) f (a)

ba(xa)

I=a

b

[ f (a)+ f (b) f (a)ba

( xa)]dx


(n+1) puntos para n intervalos n ban=h (medida de cada intervalo).

Reemplazo: a x0 y b xn

I=x0

x1

f (x )dx+x1

x2

f ( x)dx+...+xn1

xn

f ( x)dx

Ih2[ f ( x0)+ f ( x1)]+

h2[ f (x1)+ f ( x2)]+...+

h2[ f ( xn1)+ f (xn)]


Integracin mltiple de la Regla Trapezoidal

Regla de SimpsonSe trata de otra forma de obtener una estimacin ms exacta de una integral, con el uso de polinomios

de orden superior para conectar los puntos.Por ejemplo: si hay un punto extra en la mitad del camino entre f (a ) y f (b) , los 3 puntos se

pueden conectar con una parbola. Si hay 2 puntos igualmente espaciados entre f (a ) y f (b) , los 4 puntos se pueden conectar con un polinomio de 3er orden.

Las frmulas resultantes al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidas como reglas de Simpson.

Regla de Simpson del 1/3: Resulta cuando un polinomio de 2do orden es sustituido en la integral:

Si a=x0 y b=x2 y f 2(x ) representamos por un polinomio de Lagrange de 2do orden:

Despus de la integracin y manejo algebraico resulta la siguiente frmula:

Regla de Simpson del 1/3 donde h=ba2

(12-09-2012)

Observacin: la regla de Simpson de 1/3 es ms exacta que la regla trapezoidal y es ms exacta de lo esperado porque en lugar de hacer proporcional a la 3er derivada, el error es proporcional a la 4ta. En consecuencia, la regla de Simpson del 1/3 tiene una precisin de 3er orden an cuando se base solo en 3 puntos. En resumen: para aplicar la regla de Simpson del !/3 necesitamos 3 puntos igualmente espaciados y la aproximacin la hacemos con un polinomio de 2do orden.

Por ejemplo: Integrar la siguiente funcin:f (x )=0,2+25x200x2+675x3900x4+400x5

desde a = 0 hasta b = 0,8v.v. = 1,6405

h = intervalo entre los puntos

Ih2[ f ( x0)+2

i=1

n1

f (x i)+ f (xn)]

i=a

b

f ( x)dxa

b

f 2(x)dx

I=x0

x2

[xx1x0x1

x x2x0x2

f ( x0)+x x0x1x0

x x2x1x2

f (x1)+xx0x2x0

x x1x2x1

f (x2)]

Ih3[ f ( x0)+4f (x1)+ f ( x2)]

Ih3[ f ( x0)+4f (x1)+ f ( x2)]


C.A.:f (0)=0,2f (0,4)=2,456f (0,8)=0,232

Regla de Simpson de 1/3 de aplicacin mltipleLa regla de Simpson se puede mejorar al dividir el intervalo de integracin en un nmero de segmentos

de igual anchura donde h=ban

La integral se total se puede representar como:

Al sustituir la regla de Simpson de 1/3 en cada trmino tenemos:

Ih3[ f ( xo)+4 f (x1)+ f ( x2)]+

h3+[ f (x2)+4 f (x3)+ f (x4)]+...+

h3[ f ( xn2)+4 f (x n1)+ f (xn)]

Regla de Simpson de 1/3 mltiple (se necesita que el nmero de segmentos sea par)

Como se muestra en la imagen de arriba se debe utilizar un nmero par de segmentos para utilizar el mtodo. Adems los coeficientes 4 y 2 siguen en forma natural la regla de Simpson del 1/3.

Los puntos pares son comunes en las aplicaciones adyacentes y por lo tanto se cuentan 2 veces.

Ejemplo: usar Simpson de 1/3 de aplicacin mltiple con n=4 para estimar la integral de:

I0,43[0,2+4(2,456)+0,232]=1,3674 E%=16,64%

I=x0

x2

f (x )dx+x2

x4

f ( x)dx+x4

x6

f (x )dx+ ...+ x (n2)

xn

f ( x)dx

Ih3[ f (x0)+4

i=1,3 ,5(impar )

n1

f (x i)+2 i=2,4 ,6( par )

n2

f (x i)+ f (xn)]

f (x )=0,2+25x200x2+675x3900x4+400x5


de a = 0 y b = 0,8

Conclusin: la versin de la regla de Simpson del 1/3 de aplicacin mltiple da resultados precisos. Por esa razn se consideran superior a la regla trapezoidal para la mayora de las aplicaciones. Pero sin embargo est limitada a casos en los que los valores son igualmente espaciados. Adems, est limitada a situaciones donde hay un nmero par de segmentos y un nmero impar de punto.

En consecuencia, como se analiza en la siguiente seccin la frmula de segmentos impares y puntos pares conocida como la regla de Simpson del 3/8. Se usa en conjunto con la regla del 1/3 para permitir la evaluacin de ambos nmeros de segmentos pares e impares.

Regla de Simpson de 3/8

Utilizando un polinomio de Lagrange de 3er orden teniendo 4 puntos y luego integrar:

Para obtener:

Regla de Simpson del 3/8

Donde h=ba3

h=0,804

=0,2 x0, f (0)=0,2 x1 f (0,2)=1,288 x2, f (0,4)=2,456

x3, f (0,6)=3,464 x4 f (0,8)=0,232

I0,23[0,2+4(1,288+3,464)+2(2,456)+0,232]=1,6234

E%=1,04%

I=a

b

f (x )dxa

b

f 3( x)dx

I38h [ f ( x0)+3f ( x1)+3f (x2)+ f (x3)]


Los 4 puntos deben estar igualmente espaciados. Esta ecuacin se llama regla de Simpson del 3/8 debido a que h se multiplica por 3/8. Esta regla tambin tiene aplicacin mltiple pero no se mejora mucho el error. El mtodo de Simpson del 1/3 es ms eficiente.

Los polinomios interpolados de mayor orden pueden hallarse pero no es conveniente porque genera muchos zigzagueos. La regla del 1/3 es frecuentemente el mtodo de preferencia, ya que alcanza exactitud de 3er orden con 3 puntos.

Sin embargo, la regla del 3/8 tiene utilidad cuando el nmero de segmentos es impar.Suponga que se desea una estimacin para 5 segmentos. Una opcin podra ser usar una versin de

aplicacin mltiple de la regla trapezoidal, pero sta puede no ser recomendable debido al gran error de truncamiento asociado con ste mtodo. Una alternativa podra ser aplicar la regla de Simpson del 1/3 a los 1ros segmentos y la regla del 3/8 a los ltimos 3.

As podramos obtener un estimado con una precisin de 3er orden a travs de todo el intervalo.

Integracin con segmentos desigualesLos datos derivados experimentalmente son a menudo de este tipo. Un mtodo es aplicar la regla

trapezoidal a cada segmento y sumar los resultados.

Donde h = ancho del segmento

Ejemplo:

Para algunos datos de x desigualmente espaciados:

Mtodo Diferencia x f(x)0,0 0,2

Trapezoidal (1) 0,12

0,12 1,3097

Simpson 1/3 (2)

0,10

0,22 1,30520,10

0,32 1,7433

Simpson 3/8 (3)

0,04

0,36 2,07490,04

0,40 2,45600,04

0,44 2,8429

Simpson 1/3 (4)

0,10

0,54 3,50720,10

0,64 3,1819Trapezoidal (5) 0,06

0,70 2,3630Trapezoidal (6) 0,10

0,80 0,2320

ih1f (xo)+ f (x1)

2+h2

f (x1)+ f ( x2)2

+...+hnf (xn1)+ f ( xn)

2

f (x )=0,2+25x200x2+675x3900x4+400x5


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

II 1+ I 2+ I 3+ I 4+ I 5+ I 6=1,6032

E%=2,27%

I 10,120,2+1,3097

20,0905

I 20,103

[1,3097+41,3052+1,7433]0,2757

I 30,015[1,7433+32,0749+32,4560+2,8429]0,2726

I 40,103

[2,8429+43,5072+3,1819]0,6684

I 50,063,1819+2,3630

2=0,1663

I 60,102,3630+0,2320

2=0,1297


(05-10-2012)

Races de ecuaciones

Existen mtodos: Abiertos

Iteracin de punto fijo Newton-Raphson

Cerrados Biseccin o bolzano Falsa posicin

Mtodo de biseccin o bolzano

Se basa en el teorema del valor medio:

Si un k[a ,b]c[ f (a) , f (b)] /c= f (k )

En general, si f (x ) es real y continua en el intrvalo cerrado [a ,b] y f (a ) y f (b) tienen signos opuestos esto es: f (a ) , f (b)


Donde xr (nuevo)= raz de la iteracin actualy xr (anterior )= raz de la iteracin anterior

Se usa el valor absoluto ya que solo importa la magnitud de E ra sin considerar su signo.Cuando E ra es menor que un valor previamente fijado E t el clculo termina: Ea


Con los tringulos semejantes se obtiene la frmula de n de la lnea recta, con el eje x puede ser

estimada por: f (a)xra

=f (b)xrb

(n = interseccin).

f (a)xra

=f (b)xrb

f (a )( xrb)= f (b)( xra )xrf (a )b f (a)=xr f (b)a f (b)xrf (a ) f (b)x r= f (b)a+b f (a )xr [ f (a) f (b)]= f (a)b f (b)a

xr=f (a)b f (b)af (a) f (b)

Frmula de la falsa posicin

El proceso se repite hasta que la aproximacin de la raz sea adecuada. Se usan los mismos criterios de pasos para terminar los clculos.

Ejemplo: Calcular la raz de f (x )=e xx entre [0, 1]

f (0)=1 f (1)=0,6

a b f(a) f(b) x r E r%0+ 1- 1+ -0,6 0,625- -0+ 0,625- 1+ -0,089 0,573- 9,07 %

0+ 0,573- 1+ -0,009 0,567 1,05 %0,567 0,573 1+ 0,0002

xr=11(0,6)0

1+0,6=0,625

xr=1(0,625)(0,089)0

1+0,089=0,573

xr=1(0,573)(0,009)0

1+0,009=0,567

E r%=xr (nuevo)xr(anterior )

xr (nuevo)100

El mtodo de la falsa posicin es ms eficiente que la biseccin. Uno de los valores iniciales puede permanecer fijo a lo largo de los clculos, mientras el otro converge hacia la raz. En tales casos el intervalo no se acorta sino que se aproxima a un valor constante.

En los casos que la regla de la falsa posicin converge lentamente, en tales casos la ecuacin no es confiable y se debe desarrollar un criterio diferente de terminacin.


Mtodo de iteracin de punto fijo

Los mtodos abiertos utilizan una frmula para predecir la raz. Esta frmula puede desarrollarse como una iteracin simple de punto fijo, al reordenar la ecuacin f (x )=0 de tal modo que x est del lado izquierdo de la ecuacin: x=g (x )

Ejemplo: x22x+3=0 se reordena para obtener x= x2+32

De esta manera, dado un valor inicial para la raz x i , la ecuacin anterior puede usarse para obtener una aproximacin x i+1 , expresada por la frmula iterativa x i+1=g ( xi) .

El error aproximado se calcula usando el error normalizado: Ea=x i+1x ix i+1 100Ejemplo: Use una iteracin simple de punto fijo para localizar la raz de f (x )=e xx

Solucin: x i+1=exi

El valor x que reemplazamos en la funcin al principio es 1 o el punto dado, luego vamos reemplazando por los resultados que nos vaya dando la funcin.

i x i Ea% E t%1 1 100 76,3

2 0,367879 171,8 35,13 0,692201 46,9 22,1

4 0,500473 38,3 11,85 0,606244 17,4 6,89

6 0,545396 11,2 3,837 0,579612 5,90 2,20

8 0,560115 3,48 1,249 0,571143 1,93 0,705

10 0,564479 1,11 0,399

El error relativo porcentual verdadero en cada iteracin del ejemplo anterior, es proporcional (por un factor de 0,5 a 0,6) al error de la iteracin anterior. Esta propiedad se conoce como convergencia lineal.


Mtodo de Newton-Raphson

Es la ms usada, si el valor inicial de la raz es x i entonces se puede extender un tangente desde el punto (x i : f (x i)) y el punto donde es h la tangente cruza el eje x representa una aproximacin mejorada de la raz.

f ' ( x i)=f ( xi)0x ix i+1

f ' ( x i)( xix i+1)= f ( x i)f ' ( x i) x i f ' (x i) x i+1= f ( x i) f ' (x i) x i+1= f ( x i) f ' ( xi) x i

x i+1=f ( x i) f ' ( xi) x i

f ' (x i)

x i+1=x if ( xi)f ' ( x i)

Ejemplo: Usar el mtodo de Newton-Raphson para calcular la raz de f (x )=e xx con un valor inicial de 0 E t=0,1%

Derivamos la funcin y hacemos iteraciones de:

Siendo x el resultado que nos va dando x i+1 .

x r f ( xr) f ' (xr) E t%0 1 -2 -

0,5 0,1065 -1,6065 100 %

0,5662 0,0014 -1,1338 11,69 %0,5674 -0,0004 0,2 %

0,567 0,07 %

x i+1=012

=12=0,5

x i+1=x if ( xi)f ' ( x i)


x i+1=0,50,10651,6065

=0,5662

x i+1=0,56620,00141,1338

=0,5674

x i+1=0,56740,00041

=0,567

Cálculo Numérico - Apuntes de Clases

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