Cálculo Numérico Para Oficiais Da Marinha Mercante

8/17/2019 Cálculo Numérico Para Oficiais Da Marinha Mercante

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Cálculo Numérico para Oficiais da Marinha Mercante

Paulo Vitor de Matos Zigmantas

MSC UFPA 2006

Chefe da Divisão de Ensino de Máquinas



2

1 ERROS

1.1

I ntrodução

1.1.1 Modelagem e Resolução

A utilização de simuladores numéricos para determinação da solução de um problema

requer a execução da seguinte seqüência de etapas:

Etapa 1: Definir o problema real a ser resolvido

Etapa 2: Observar fenômenos, levantar efeitos dominantes e fazer referência a

conhecimentos prévios físicos e matemáticos.

Etapa 3: Criar modelo matemático

Etapa 4: Resolver o problema matemático

Modelagem: Fase de obtenção de um modelo matemático que descreve um problema

físico em questão.

Resolução: Fase de obtenção da solução do modelo matemático através da obtenção da

solução analítica ou numérica.

1.1.2 Cálculo Numérico



3

O cálculo numérico compreende a análise dos processos que resolvem

problemas matemáticos por meio de operações aritméticas;

O desenvolvimento de uma seqüência de operações aritméticas que levem às

respostas numéricas desejadas (Desenvolvimento de algoritmos);

O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica

em escrever o método numérico como um programa de computador.

Espera-se, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos. No

entanto, não é raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se

esperaria obter.

1.1.3 Fontes de erros

Suponha que você está diante do seguinte problema: Determinara a distância

percorrida por um navio sabendo que o modelo matemático segue a equação cinemática

do movimento variável do corpo sólido com velocidade constante.

Conhecemos também os seguintes parâmetros:

• s é a posição final;

• s0 é a posição inicial;

• v é a velocidade;

• t é o tempo percorrido;

A equação a ser utilizada é então: (1.1)

Se o navio possuir velocidade constante de 12 nós(6,168 m/s) e navegara durante

2horas, a distância percorrida será de 44,4 km.

Essa resposta é confiável? Onde estão os erros?

Erros de modelagem:

− Resistência do ar,

− Velocidade do vento,

− Forma do objeto, etc.

Estes erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático.

Erros de resolução:

− Precisão dos dados de entrada

(Ex. Precisão na leitura do cronômetro que marca o tempo navegado);

− Forma como os dados são armazenados;



4

− Operações numéricas efetuadas com o equipamento computacional do navio;

− Erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita).

Assim, quanto mais o modelo teórico se aproximar do real, mais precisa será a

modelagem matemática que estuda o fenômeno em questão.

1.2 Representação numérica

O seguinte exemplo ilustra como a representação numérica influencia no

resultado de uma determinada operação matemática.

Exemplo 1.1:

Calcular a área de uma circunferência de raio 100 metros. Considere os seguintes

valores de : 3,14; 3,1416; 3,141592654.

Solução:Á

a) 31140 m2

b) 31416 m2

c) 31415,92654 m2

Exemplo 1.2:

Calcular ∑ utilizando uma calculadora e um computador para 0,5 e 0,11

Solução:

Equipamento S para Xi=0,5 S para Xi=0,11

Calculadora 15000 3300

Computador 15000 3299,99691

Por que das diferenças?

No caso do Exemplo 1 foram admitidos três valores diferentes para o número π:

a) π =3,14

b) π =3,1416

c) π =3,141592654

Dependência da aproximação escolhida para π. Aumentando-se o número de

dígitos aumentamos a precisão. Nunca conseguiremos um valor exato, já que π não é

um número exato.



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No caso do Exemplo 2 as diferenças podem ter ocorrido em função da base

utilizada, da forma como os números são armazenados, ou em virtude dos erros

cometidos nas operações aritméticas.

O conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e,

portanto, discreto, ou seja, não é possível representar em uma máquina todos os

números de um dado intervalo [a, b]. A representação de um número depende da BASE

escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação.

Qual a base utilizada no nosso dia-a-dia?

Base decimal (Utilizam-se os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).

Existem outras bases: 8 (base octal), 12, 60, porém, a base utilizada pela maioria

dos computadores é a base binária, onde se utiliza os algarismos 0 e 1.

Os computadores recebem a informação numérica na base decimal, fazem a

conversão para sua base (a base binária) e fazem nova conversão para exibir os

resultados na base decimal para o usuário.

Exemplos:

(100110)2 = (38)10

(11001)2 = (25)10

1.2.1 Representação de um número inteiroA princípio, representação de um número inteiro no computador não apresenta

qualquer dificuldade. Todo computador trabalha internamente com uma base fixa β,

onde β é um inteiro ≥ 2; e é escolhido como uma potência de 2.

Dado um número inteiro x ≠ 0, ele possui uma única representação genérica

expressa pela equação: ∓− ∓β −β− β β β (1.2)

onde é um dígito da base em questão, e no caso de uma base binária todos

os são iguais a 1 ou 0 que são os dígitos da base binária.

Exemplos:

a) Como seria a representação do número 1100 numa base β=2? 1100 1100 . Só dígitos 1 e 2.

b) Como seria a representação do número 1997 em uma base β = 10?

1997 1.10 9. 10 9.10 7.10



6

1.2.2 Representação de um número real

Se o número real x tem parte inteira xi , sua parte fracionária xf = x - xi pode ser

escrita como uma soma de frações binárias:

∓− ∓(− − ⋯ −−− −) (1.3)

Assim o número real será representado juntando as partes inteiras e fracionárias, ou

seja, ∓− . . , − … ······, onde, x possui n+1 algarismos na

parte inteira e m+1 algarismos na parte fracionária.

Exemplo:

Representar o número 39,28 na base 10.

39,28 3.10

9. 10

2.10−

8.10−

1.3 Conversão entre as bases

Conforme dito anteriormente, a maioria dos computadores trabalha na base β ,

ondeβ é um inteiro ≥ 2 ; normalmente escolhido como uma potência de 2.

1.3.1 Binária para Decimal

1101 1. 2 1. 2 0. 2 1. 2 13

11001 1. 2 1. 2 0. 2 0. 2 1. 2 25

1.3.2 Decimal para Binária

Na conversão de um número escrito em base decimal para uma base binária são

utilizados: o método das divisões sucessivas para a parte inteira e o método das

multiplicações sucessivas para conversão da parte fracionária do número em questão.

- Método das divisões sucessivas (parte inteira do número)

a) Divide-se o número (inteiro) por 2;

b) Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior;

c) Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1.

O número binário é então formado pela concatenação do último quociente com os restos das

divisões, lidos em sentido inverso.

- Método das multiplicações sucessivas (parte fracionária do número)

a) Multiplica-se o número (fracionário) por 2; b) Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base binária e a parte



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fracionária é novamente multiplicada por 2;

c) O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual à zero

Exemplos

13 1101

Quociente Resto

13/2 6 1↑

6/2 3 0↑

3/2 1→ 1↑

Acompanhando o sentido das setas: (1101)2

25 11001

Quociente resto

25/2 12 1↑

12/2 6 0↑

6/2 3 0↑

3/2 1

→ 1

↑

0,375 0,011

d) (13,25)10=(1101,01)2

13 1101



8

Quociente Resto

13/2 6 1↑

6/2 3 0

↑

3/2 1→ 1↑

(0,25)10= (0,01)2

e) (0,1)10=(0,00011001100110011.........00110011.......). Este número não tem um número

finito de dígitos na base decimal.

1.3.3 Exercícios Propostos

a) (10010)2= (?)10

b) (1100101)2=(?)10

c) (40,28)10= (?)2

d) (110,01)2=(?)10 e) (3,8)10=(?)10

f) (12,20)4=(?)3

1.4 Arredondamento e aritmética de ponto flutuante

Um número é representado, internamente, num computador ou máquina de

calcular através de uma sequência de impulsos elétricos que indicam dois estados: 0 ou

1, ou seja, os números são representados na base binária.

De uma maneira geral, um número x é representado na baseβ por: ∓ … … . ] (1.4)

Onde: são números inteiros contidos no intervalo 0 ≤ ≤β−1; i=1, 2,........ t ;

e representa o expoente de β e assume valores entre m ≤ e ≤ M; m e M são,

respectivamente, limite inferior e superior para a variação do expoente.



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… … . ] é a chamada mantissa e é a parte do número que representa seus

dígitos significativos e t éo número de dígitos signi ficativos do sistema de representação,

comumente chamado de precisão da máquina.

Um número escrito na aritmética de ponto flutuante ∓ … … … pode

também ser representado por ,,,, com ≠ 0, pois é o primeiro algarismo

significativo de x e ≤ ≤ .

Exemplo1:

a) Escrever os números reais 0,35, 5,172, 0,0123, 0,0003, 5391,3 ã todos na baseβ=10 em notação de um sistema de aritmética de ponto

flutuante.

Solução:a) 0,35 3.10− 5.10−. 10 0,35. 10

b)5,172 5.10− 1.10− 7.10− 2.10−. 10 0,5172.10

c) 0,0123 1.10− 2.10− 3.10−. 10− 0,123.10−

d) 5391.3 5.10− 3. 10− 9. 10− 1. 10− 3. 10−. 10 0,53913.10

e) 0,0003 3.10−. 10− 0,3.10−

Exemplo2:

Um computador escreve números no sistema F (10; 3; 2; 2). Represente neste sistema os

números do exemplo 1.

Solução: 10; 3; 2; 2, 2 ≤ ≤ 2 0,35 3.10− 5.10−. 10 0,35. 10 5,172 5.10− 1.10− 7.10−. 10 0,517.10 ( somente três dígitos

significativos)0,0123 1.10− 2.10− 3.10−. 10− 0,123.10−

Os números 0,53913.10 e 0,3.10− não podem ser representados neste sistema, pois o expoente é maior que 2 causando overflow e menor que -2, causando underflow.

Um erro de overflow ocorre quando o número é muito grande para ser representado,

já um erro de underflow ocorre na condição contrária, ou seja, quando um número é

pequeno demais para ser representado.



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1.5 Erros

O formato de um número em aritmética de ponto flutuante limita a mantissa em

k dígitos decimais. Existem duas maneiras de obter essa limitação. Um método

chamado de truncamento, consiste em simplesmente cortar os dígitos

+, + … ..

O outro método, chamado de arredondamento trunca a mantissa em k dígitos

(como no caso acima), porem duas situações podem ocorrer:

1 + ≥ 5, 1 ( aumenta-se uma unidade o dígito significativo)

2 + ≤ 5, ( manter o dígito significativo)

Exemplo:

O número

pode ser escrito na aritmética de ponto flutuante com cinco dígitos:

1-no método do truncamento, 3,1415.10

2-no método do arredondamento, 3,141.10. ( como o último algarismo significativo

é maior ou igual a 5, ele foi arredondado para 6 ( 1).

Estes dois processos geram erros nos cálculos numéricos e são conhecidos como

erros de truncamento e erros de arredondamento, respectivamente.

1.5.1 – Erro absoluto e relativo.

Sejam Xabs o valor absoluto de um número e Xmed o valor aproximado do

número. O erro absoluto e o relativo são determinados pelas equações: | | (1.5)% |−| .100 (1.6)

Em geral apenas x é conhecido, e o que se faz é assumir um limitante superior ou

uma estimativa para o módulo do erro absoluto.

Exemplo.

a) Se o número pertence ao intervalo (3,14; 3,15) determine o erro absoluto para a

avaliação de . ≤ | | ≤ |3,15 3,14| ≤ 0,01

b) Seja x representado por xmed= 2112,9 de forma que || < 0,1. Qual o intervalo

que compreende o número x? Qual o erro relativo

(2112,9-0,01;2112,9+0.01)=(2112,8;2113,0)



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% | −| . ,, .=0,0047%

O erro absoluto não é suficiente para descrever a precisão de um cálculo. Daí a maior

utilização do conceito de erro relativo.

1.5.2 Exercícios Propostos

1. Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0.00004 para um valor exato de

0.00005. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.

2. Suponha que tenhamos um valor aproximado de 100000 para um valor exato de

101000. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.

3. Considerando os dois casos acima, onde se obteve uma aproximação com maior

precisão? Justifique sua resposta.

1.5.3 Erro de arredondamento e truncamento

Dar a representação dos números a seguir num sistema de aritmética de ponto

flutuante de três dígitos (t=3), para β = 10, m=-4 e M=4.

x Arredondamento Truncamento

1,25 0,125.10 0,125.10

10,053 0,101.102

0,100.102

-238,15 -238.103 -238.103

2,71828 2,72.10 2,71.10

0,000007 Exp<-4, underflow Exp<-4, underflow

718235,82 Exp>4, over flow Exp>4, over flow

1.5.4 Propagação de erros

Será mostrado um exemplo que ilustra como os erros descritos anteriormente podem

influenciar no desenvolvimento de um cálculo. Considere uma máquina qualquer e uma

série de operações aritmética .pelo fato do arredondamento ser feito após cada operação,

temos que ao contrário do que é válido para números reais, as operações aritméticas não são

associativas e nem distribuitivas.

Exemplos

Efetue as operações indicadas.



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a)(11,4 +3,18) +5,05=14,6 +5,05=19,7

b) 11,4 +(3,18 +5,05) = 11,4 +8,23=19,6

c),.,, ,, 7,18

d) ,, . 11,4 3,18.16,5 7,19

1.6- Fórmulas para os erros nas operações aritméticas

1.6.1- Soma dos números

Sejam os números x e y com erros absolutos Eax, Eay, e erros relativos Erx e Ery.

(1.7)

+ (1.8)+ + + + (1.9)

1.6.2- Subtração dos números ( ) (1.10)− (1.11)

− − − − (1.12)

1.6.3- Produto dos númerosxy ( ) 1.13) ≅ 0 xy ( ) (1.14)

(1.15)

+

(1.16)

1.6.4-Divisão dos números

xy 11



13

11 1 ⋯

⋯ ≅ 011 1

+ 1 (1.17)

(1.18)

(1.19)

Exemplo.

Os números 460 e 24 são escritos como 460∓0,25 e 24 ∓ 0,005. Determine:

a) o erro absoluto e relativo da soma dos números.+ 0,25 0,005 0,255 , 5,5.10−

, 2,1.10− + + + +

+ + ,+ 5,3. 10−

+ 5,5.10− 460460 24 2,1.10− 2446024 5,3. 10−

b) o erro absoluto e relativo da subtração

− 0,25 0,005 0,245

− − ,− 5,61. 10−

−

− 5,5.10− 460460 24 2,1.10− 2446024 5,68. 10−

c) o erro absoluto e relativo do produto

460.0,005 21.0,25 7,48



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7,48460.21 7,74. 10−

5,5.10− 2,1.10− 7,6.10−

d) O erro absoluto e relativo da divisão dos números

ymed xmedymed 0,2521 460.0,00521 0,006689

/ 0,006689460/21 3,1.10−

5,5. 10− 2,1. 10− 3,1.10−

Quando os números estão representados exatamente, teremos:

∓ 0 e aparece nas equações o termo RA devido ao

arredondamento.

O erro de arredondamento segue a equação:+ || < 0,5.10−+ (1.20)

Exemplo:

Sejam x=0,937.104; y=0,1272.102; z=0,231.10. Se x,y,z estão exatamente representados,

calcular x+y+z

Solução:

Alinhando as vírgulas decimais: 0,937.10 0,001272.10 0,000231.10

A soma é feita por partes: 0,9383. 10

0,9383.10 0,000231.10 0,938531. 10

Após o arredondamento: 0,9385.10

++ + ++ 0, 0, 0á 0

+

+

+ +



15

++ + ++

++ +

++ Fazendo + ++= RA(≤ 0,5. 10−+ ++ < 1 .0,5.10−+

++ 0,9383.100,9385.10 1 < 0,5. 10−+

++ < 0,9998.10−

Resumo:

1. Erro relativo da soma: Soma dos erros relativos de cada parcela,ponderados ela participação de cada parcela no total da soma.

2. Erro relativo da subtração : Diferença dos erros relativos do minuendo e do

subtraendo, ponderados pela participação de cada parcela no resultado da subtração.

1. Erro relativo do produto: Soma dos erros relativos dos fatores.

2. Erro relativo da divisão: Diferença dos erros relativos do dividendo e do divisor.

1.7- Propagação do erro de funções

Seja Fuma função das variáveis x1,x2,x3,............xn..F fx, x, x … … . x

Cada variável é medida na forma experimental, na forma ∓ ∆.O erro ∆ em F devido aos erros ∆ das medidas de é obtido através da equação:∆ ≤ ∆x ∆x ∆x ⋯ ∆x (1.21)

O erro relativo será expresso por:

≤ ∆ ≤ ∑

∆

(1.22)

Em termos da diferencial logarítma: ≤ ∑ [fx, x, x … … . x . ∆= (1.23)

1.7.1-Relação entre precisão relativa e número de algarismos exatos de um número

aproximado.

1-Se o primeiro algarismo significativo de um número aproximado

é k, contendo o

referido número N algarismos significativos exatos, o erro relativo associado a

aproximação será dado pela equação:



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≤ . 10− (1.24)

2- Se o erro relativo cometido na aproximação de um número x, for menor que+ . 10

−, então o número contém N algarismos significativos exatos.

Exemplos

a) Seja o número 3,1415 com cinco algarismos significativos. Determine uma cota

superior para o erro relativo.

3,1415

3 (primeiro digito significativo)

N=5

≤ 1 . 10−; ≤ 13 . 10− ≤ 0,333 … . 10−

10−. A cota superior do erro relativo é de 10− .

b) A precisão relativa de um número aproximado 24253 é de 1%. Quantos

algarismos exatos possui?

2

0,011% ≤ 12 . 10− 0,02 ≤ 10− log0,02 ≤ log10− 10,02 2,6989

N=2 algarismos exatos

c) determine o número de algarismos significativos exatos contidos em

3,241

sendo < 0,001. 3

< ; < 0,0013,241 < 3,086.10−

< 1 1 . 10−

3,086.10−

< 13 1 . 10

−

0,0012344 < 1



17

N=3,9085

N=3

Este número deverá ser representado por 3,24∓0,01

d) Entre que valores está o valor real de

, 2 0,3 para x=3,14 e

y=2,17 , com ∆ ∆ inferiores a 0,01.

∆ ≤ x ∆x x ∆x x ∆x ⋯ x ∆x 2 2

∆ ≤ ∆ ∆ ≤ |2∆| | 2∆| , 3,14. 2,17 2.2,17 0,3 26,035332 ∆ ≤ |2.3,14.2,71.0,01| |3,14 2.0,01| ∆ ≤ 0,25487

≤ ∆ ; < 0,2548726,035332 < 0,978.10−

2 í

< 1 1 . 10−

0,978.10− < 13 . 10−

0,02934 < 1

N=2 algarismos significativos exatos.

z= 26∓1 25;27

e) calcule um limite superior do erro absoluto e relativo no cálculo da expressão

, , sin , sabendo que são usados os seguintes valores

aproximados : 1,1; 2,04; 0.5; 0,05; 0,005; 0,05

Como se pede o limite superior do erro absoluto, usaremos para x, y, z os maiores

valores do intervalo de incerteza: 1,10,05;1,10,05 1,05;, 2,04 0,005; 2,04 0,005 2,035; ,

0,50,05;0,50,05 0,45;,



18

∆ ≤ x ∆x x ∆x x ∆x ⋯ x ∆x 1

2 2.2,045 4,09

cos() cos0,55 0,8525245

∆ ≤

∆

∆

∆ ≤ |1.0,05| |4,09.0,005| |0,8525245.0,05|

∆ ≤0,113076225 , , 1,15 2,045 sin0,55 3,5547122289

≤ ∆ ; < 0,1130762253,5547122289 < 0,318102332.10−

3

< 1 1 . 10−

0,318102332.10− < 13 1 . 10−

0,1272409328 < 1

N=1,89

Somente um algarismo é significativo para f, o dígito 3. 2; 4

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