Clase III

El error máximo de la suma es igual a la suma de los errores

máximos de los sumandos.

Error de la suma

El error máximo de una diferencia es igual a la suma de los

errores máximos del minuendo y del sustraendo.

Error de una diferencia

Si las cantidades están multiplicadas o divididas, los errores

de las mismas deben ser convertidos en relativos y luego

sumados. Entonces por ejemplo: el error relativo de un

producto es igual a la suma de los errores relativos de los

factores.

Error de un producto o de una división

El error relativo de expresión está dada por:

Error de un producto o de una división

Ejemplo

Error de un producto o de una división

Cualquier otro valor del área estará comprendido entre el

máximo y el mínimo valor.

Los correspondientes errores residuales o desvíos del área son:

Redondeando estas cantidades a dos decimales, obtenemos el

error máximo del área es:

De manera que el valor del área será:

A parte de los errores considerados, existen dos tipos más de

errores de carácter estrictamente matemático, que aparecen en

los procesos de cálculo aritmético.

Estos errores se los conoce como errores por truncamiento y

errores por redondeo.

Error por truncamiento

El error por truncamiento cosiste en representar de manera

aproximada un procedimiento matemático exacto.

Los errores de truncamiento o discretización provienen, por

ejemplo, de la sustitución de una expresión continua por otra

discreta (por ejemplo al aproximar la derivada de f por una

expresión en diferencias).

Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al

aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo,

truncando los términos de una serie).

Error por truncamiento

Error por redondeoLos errores por redondeo son mucho más frecuentes que los

errores por truncamiento y se producen cuando por distintas

razones, como por ejemplo: número limitado de dígitos de la

computadora o de la calculadora, datos de entrada

aproximados, uso de tablas, etc. la maquina toma solamente un

numero finito de dígitos en el proceso de cálculo. Una

computadora típica trabaja con una cantidad reducida de

dígitos, en consecuencia la operación de redondeo ocurre con

frecuencia. El redondeo consiste en representar de manera

aproximada un número exacto.

El redondeo para aproximar un número a su verdadero valor se

puede hacer de dos maneras:

Error por redondeoSuprimiendo directamente la fracción decimal a partir de “k”

dígitos significativos. Este procedimiento se llama redondeo

por cortadura.

Sumando uno al último digito retenido si el primer número

que se pierde es mayor que 5. Dicho de otra manera, el último

digito retenido se aumenta en 1 si el primer digito descartado

es mayor que 5, de otra manera se deja igual. Si el primer

digito descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces el

último digito retenido se aumenta en 1, solamente si es impar.

Este segundo procedimiento se conoce como redondeo

simplemente.

Error por redondeo

Si bien es cierto que el costo computacional es mayor cuando

se utiliza el redondeo simple, ya que el tiempo de

procesamiento y la memoria utilizada es mayor, la mayoría de

las computadoras utilizan este sistema para salvar la escasa

extensión de palabra o capacidad de dígitos que tienen.

Error por redondeo

Error por redondeo

Error por redondeo

Observaciones:

En general, el redondeo en las operaciones con una

cantidad de dígitos finitos conduce a resultados con

aproximaciones muy aceptables, pero hay dos

situaciones que pueden resultar críticas en la

aplicación de algunos métodos numéricos y producir

error de importancia.

Error por redondeo Hay algunos métodos numéricos que requieren de un gran

número de iteraciones para obtener un resultado

satisfactorio, y a menudo los sucesivos cálculos dependen

de los anteriores. En consecuencia aunque un error de

redondeo individual resulte pequeño, su acumulación en las

sucesivas iteraciones puede hacer que dicho error se

transforme en un error significativo.

El error de redondeo puede resultar de mucha importancia

cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que

emplean números muy pequeños y muy agrandes

simultáneamente.

Reglas de RedondeoSi bien es cierto que estas reglas no se aplican cuando se

realizan cálculos extensos con computadoras, es importante

tenerlas presente para cuando se tenga que realizar cálculos

manualmente.

1. En el redondeo se conservan las “k” cifras significativas

con que se va a trabajar. El último digito que se conserva

se aumenta en uno si el primer digito descartado es mayor

que 5. De lo contrario se deja igual. Si el primer digito

descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces el último

digito retenido se aumenta en 1, solamente si el dígito es

impar.

Reglas de Redondeo1. 1.- El último digito que se conserva se aumenta en uno si

el primer digito descartado es mayor que 5.

Ejemplo: tomamos k=4;

dígitos

retenid

os

dígitos

descartad

os

Último

dígito

retenido

Primer

dígito

descartado

Reglas de Redondeo1. 2.- El último digito que se conserva se deja igual si el

primer digito descartado es menor que 5.

Ejemplo: tomamos k=4;

dígitos

retenid

os

dígitos

descartad

os

Último

dígito

retenido

Primer

dígito

descartado

Reglas de Redondeo1. 3. a.- Si el primer digito descartado es 5 ó es 5 seguido de

ceros, entonces el último dígito retenido se aumenta en 1,

solamente si el dígito es impar.

Ejemplo: tomamos k=4;

dígitos

retenid

os

dígitos

descartad

os

Último

dígito

retenido

Primer

dígito

descartado

Reglas de Redondeo1. 3. b.- Si el primer digito descartado es 5 ó es 5 seguido de

ceros, entonces el último dígito retenido queda igual, si el

dígito es par.

Ejemplo: tomamos k=4;

dígitos

retenid

os

dígitos

descartad

os

Último

dígito

retenido

Primer

dígito

descartado

Reglas de RedondeoEjemplos:

3 cifras significativas

4 cifras significativas

2 cifras significativas

5 cifras significativas

2 cifras significativas

Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera

que el último dígito retenido en el resultado corresponda

al último dígito más significativo de los números que se

están sumando o restando. Un dígito de la columna de las

centésimas es más significativo que un dígito de la

columna de las milésimas.

Por ejemplo:

Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera

que el último dígito retenido en el resultado corresponda

al último dígito más significativo de los números que se

están sumando o restando. Un dígito de la columna de las

centésimas es más significativo que un dígito de la

columna de las milésimas.

Por ejemplo:

el último dígito del

primer número es 4

el último dígito del

segundo número es 8

Reglas de Redondeo2. En la suma y en la resta el redondeo se hace de manera

que el último dígito retenido en el resultado corresponda

al último dígito más significativo de los números que se

están sumando o restando. Un dígito de la columna de las

centésimas es más significativo que un dígito de la

columna de las milésimas.

Por ejemplo:

el último dígito del

primer número es 4

el último dígito del

segundo número es 8

el número de cifras

significativas que

se debe conservar

es 3

Reglas de Redondeo3. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal

que la cantidad de cifras significativas del resultado es

igual al número más pequeño de cifras significativas que

contiene la cantidad en la operación.

Por ejemplo:

Reglas de Redondeo4. Para combinación de operaciones aritméticas, existen dos

casos generales.