CLCULO DE LMITES

Dedicatoria

A dios creador y conservador del universo.

A mis padres y hermanos.

A mis profesores que me encaminan para lograr mis metas.

A los amigos que estn ah conmigo en las buenas y en las malas.

Introduccin

El concepto de lmite es el fundamento del clculo. En el siglo XIX, eminentes matemticos, Agustn-Louis Cauchy y Karl Weiertrass entre otros trataron de precisar el concepto de lmite. Ellos lograron dar una definicin rigurosa de lmite, la definicin, que aunque la incluimos en este captulo no es fundamental en un primer acercamiento intuitivo a dicho concepto.

Se incide en la aplicacin de los lmites para la representacin de formas determinadas como indeterminadas, sobre todo las racionales en el clculo de los limites utilizando cada teorema .ObjetivoObjetivo general

-Analizar los lmites de mediante los teoremas.

Objetivo especifico

-Identificar cada teorema y su respectivo desarrollo.

-Aplicar los lmites en la vida cotidiana.

CLCULO DE LMITES

Propiedades de los lmites

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Por otro lado es importante distinguir en el clculo de lmites, los casos indeterminados de los determinados:

Casos determinados:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Casos indeterminados (requieren el uso de mtodos algortmicos para ser resueltos):

; ; ; ;

Cada indeterminacin implica el aprendizaje de un mtodo para ser resuelta. Los distintos mtodos slo sirven para un tipo concreto de indeterminacin, por eso es bsico identificar primero el tipo de indeterminacin para aplicar el mtodo correcto.

Una puntualizacin interesante es resaltar que la existencia del lmite implica que dicho lmite debe ser finito. Si , la sucesin an no tendr lmite pues crecer o decrecer indefinidamente.Vamos a ir viendo ahora cada indeterminacin con su mtodo de clculo:Indeterminacin 1.- Buscamos el trmino de mayor grado, tanto del numerador como del denominador

2.- Dividimos todos los trminos de la fraccin algebraica por el trmino de mayor grado anterior

3.- Aplicamos las propiedades de los lmites y calculamos la solucin.

Veamos dos ejemplos:

I.- Observamos que el trmino de mayor grado es n4, por tanto dividimos todos los trminos por l, y simplificamos. Queda:

II.- Aplicamos las propiedades de los lmites:

En general cuando el lmite es de la forma podemos aplicar la regla de los grados:

a) Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador el lmite es

b) Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador el lmite es 0

c) Si los grados son iguales, el lmite es el cociente de los coeficientes de los trminos de mayor grado del numerador y del denominador.

La justificacin de los resultados anterior podis encontrarla en el mtodo para resolver el lmite siguiente.

1.- En este caso, la existencia de races condiciona los grados. Los exponentes de los monomios se ven afectados por los ndices de las races en las que estn. De esta forma el mayor grado de la expresin del numerador ser . En el numerador los grados a considerar sern . Por tanto escogemos como grado el mayor, 1. Como tanto el numerador como el denominador tienen grado 1, el grado mayor ser otra vez 1.

Ahora pasamos a dividir el numerador y el denominador por . Debemos tener en cuenta que el monomio debe pasar dentro de las races y para ello se debe elevar al ndice correspondiente a cada raz, en este caso 2 para el numerador y 3 para el denominador. Nos queda:

=

EMBED Equation.3 Indeterminacin :

1.- Comprobamos que el lmite que nos presentan corresponde a esta indeterminacin.

2.- Realizamos las operaciones y reducciones que correspondan

3.- Nos queda una indeterminacin del tipo que resolvemos aplicando los mtodos de la indeterminacin

Vamos a ver dos ejemplos:

Realizamos la operacin entre las dos fracciones algebraicas:

EMBED Equation.3 Como ahora entenders mejor, bsicamente convertimos la indeterminacin -, mediante operaciones algebraicas en la indeterminacin .Qu sucede cuando aparecen expresiones dentro de races? La idea fundamental ser otra vez, convertir la indeterminacin en una indeterminacin . Para ello multiplicaremos y dividiremos la expresin inicial por su conjugado. Vamos a ver cmo:

EMBED Equation.3 El numerador es de la forma , por tanto queda=

EMBED Equation.3 El lmite anterior vuelve a ser de la forma , con races, y como vimos en ese tipo de indeterminacin habr que dividir en este caso todos los trminos por , quedando:

=

Indeterminacin

La primera impresin, si no pensamos un poco, es que la indeterminacin no tiene sentido pues por muchas veces que multipliquemos 1 por s mismo siempre dar como resultado 1. Pero si hablamos de sucesiones y adems de lmites, la intuicin puede llevarnos a un mal resultado.

Hay que pensar que la indeterminacin 1 no es el nmero 1 elevado a una sucesin que tiende hacia infinito sino una sucesin que tiende hacia 1 elevada a otra sucesin que tiende hacia . Veamos un par de ejemplos:

Tiende hacia

Tiende hacia e.

Es fcil comprobar que ambas son sucesiones del tipo 1 y sus lmites no son 1, ni siquiera iguales.Cmo podemos resolver esta indeterminacin? El proceso es sencillo pero laborioso y se basa en las propiedades de los lmites y la definicin del nmero e: Esta definicin se puede ampliar y quedar de la forma: donde la sucesin an

Veamos qu procedimiento hay que seguir para resolver la indeterminacin 1. Para ello iremos realizando un ejemplo:

Calcular

En primer lugar comprobamos que en efecto es un lmite de la forma 1.

El siguiente paso es transformar la base en una expresin de la forma .Para ello hacemos la divisin y nos queda de cociente 1 y de resto -5, por tanto . Si introducimos esta igualdad en el cociente inicial queda:

=Separamos el numerador==

Como podis ver, casi tenemos la expresin buscada. Tan slo nos queda manipular un poco el segundo sumando y convertirlo a la forma =

Por tanto ya podemos poner que =

Ahora necesitamos modificar correctamente el exponente para ello, como necesitamos que aparezca la expresin hacemos lo siguiente:

=

EMBED Equation.3 Es importante que os deis cuenta que la ltima expresin anterior al resultado es de la forma donde ya hemos visto que

Las indeterminaciones y se pueden resolver realizando las operaciones y transformndolas en indeterminaciones de la forma

Conclusiones

-Se logr determinar cada teorema en los distintos ejercicios.

-Se pudo aplicar los lmites en la vida cotidiana.

Recomendaciones

Para el desarrollo de los limites uno debe de tener en cuenta que hay una infinidad de soluciones para un ejercicio pues en este caso, los limites se estaran desarrollando de forma algebraica (productos notables, conjugadas, etc.).Pues es la ms recomendable para algunas que estn empezando a indagar por el mundo de los limites.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones ms conocidas es en la determinacin de los mximos y mnimos de una funcin (variable dependiente de una ecuacin), en otras palabras sirve para determinar las coordenadas del punto ms alto y el punto ms bajo de una curva, es decir donde la pendiente es cero.

En la estadstica se usa para el clculo de probabilidades, existen funciones de distribucin de probabilidades y tambin funciones de densidad de probabilidad. Para obtener las segundas se debe de obtener la derivada de la distribucin.

Y estas funciones son tiles para calcular seguros de vida, daos, tasas de inters, etc. De esta manera cualquier tipo de riesgo que se comporte de forma contina en el tiempo.

En la administracin para maximizar o minimizar costos .se requiere reducir costos en una empresa que se dedica a empacar productos X, pero se descubre que se puede seguir empacando la misma cantidad de X con cajas pequeas.En la ingeniera se puede crear modelos de ecuaciones diferentes para proponer un modelo de crecimiento poblacional, crecimiento de activos de empresas, comportamiento de partes mecnicas de un automvil y muchas aplicaciones ms en la ingeniera y la fsica.

Bibliografa

NEUHAUSER, Claudia, Matemticas para Ciencias.2.ed.espaa, editorial: Pearson.ISBN: 9788483227053

GONZALES, Francisco, Matemticas 1 Bachillerato Ciencias.1.ed.editorial: matex.ESPINOZA, Eduardo, Anlisis Matemtico I.2.ed.peru, editorial: Eduper.

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CALCULO DE LMITES

EXPERIENCIA CURRICULAR DE

MATEMATICA

TTULO

CALCULO DE LMITES

AUTORES

JUAN CARLOS TITO APAZA

ASESOR(A)WILSON VASQUEZ CERDAN

AULA Y TURNO

508-B

LIMA PER

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