Reglas para el Cálculo de Límites

Propiedades de los límitesLa regla del SandwichEjemplos

Límites de Funciones

Definición

Una función f tiene el límite finito L en el punto x0 si los valores f(x) se aproximan al número finito L cuando x se acerca a x0.

Esta definición se aplica con modificaciones al caso de límites infinitos en puntos finitos y en el caso de límites en el infinito (positivo y negativo).

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

Propiedades de los límites

Supongamos que y sea c R.

limx x0

f x a limx x0

g x b

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

44

0

flim suponiendo que 0.

gx x

x ab

x b

33 limx x0

f x g x ab

22 limx x0

c f x ca

11 limx x0

f x g x a b

Propiedades de los límites

La regla del SandwichLa regla del Sandwich

Si , entonces

existe y

limx x

0

g x a. limx x

0

g x

Supongamos que en números “próximos” a x0, no necesariamente el x0, se verifica f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

limx x

0

f x limx x

0

h x a

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

h

f

g

La Regla de Sandwich gráficamenteLa Regla de SandwichLa Regla de Sandwich

, entonces existe,

y limx x

0

g x a. limx x

0

g x Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) cerca de x0, y

limx x

0

f x limx x

0

h x a

Los valores de la función g cerca del punto x0 están acotados entre los valores de las funciones f y h. Por tanto g tiene el mismo límite que h y que f.

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

Cómo Calcular Límites (1)

Métodos para calcular límites:

1. Si la función f está definida por una expresión algebraica que tiene un valor finito en el punto, entonces este valor finito es el límite.

2. Si la función f está definida por una expresión cuyo valor es una indeterminación en el punto, entonces o se reescribe la expresión o se usa la regla del sandwich .

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

Cómo Calcular Límites(2)

EjemplosEjemplos

11 limx1

x 1

1 x2

1 1

1 120

22

21

1s n

lim1 cosx

ex

x

2

s n 1

1 cos 1

e

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

Cómo Calcular Límites (3)Ejemplo que requiere reescribir la funciónEjemplo que requiere reescribir la función

11

limx 0

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para librarse de las raíces cuadradas del denominador.

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

limx 0

x

1 x 1 x

Cómo Calcular Límites (4)Ejemplo que requiere reescribir la funciónEjemplo que requiere reescribir la función

11

limx 0

x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2

limx 0

x 1 x 1 x 1 x 1 x

limx 0

x 1 x 1 x 2x

lim

x 0

1 x 1 x 2

1

limx 0

x

1 x 1 x

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

Cómo Calcular Límites (5)Aplicación de la Regla de Sandwich Aplicación de la Regla de Sandwich

11

0

1lim s nx

x ex Para todo α, -1 ≤ sen(α) ≤ 1.

Por tanto para todo x ≠ 0.

1s nx x e x

x

Como , podemos usar la

Regla de Sandwich para afirmar que

limx 0

x limx 0

x 0

0

1lim s n 0.x

x ex

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

Sin Límite

EjemploEjemplo

La función f no tiene límite en x=0 ya que cerca de x=0 la función f toma cualquier valor entre -1 y 1.

Sea

1s n , 0

f

0, 0

e xx x

x

Funciones/Límites de Funciones/Reglas de cálculo.

Cálculo en una variableAutor: Mika Seppälä

Traducción al español:Félix AlonsoGerardo RodríguezAgustín de la Villa