Cálculodelímites:

1.­Límitedelasucesión

€

an( ) =1n

Estasucesiónconvergea0.

€

limn→∞

1n

= 0

2.­Límitesdesucesionesdetérminogeneral

€

an( ) =1nm

siendo m ∈ N*;

Ejemplos:

€

an =1n2: 11; 14;19; 116; 125;...

an =1n3: 11;18; 127; 164; 1125

;...

an =1n7: 11; 1128

; 12187

; 116384

; 178125

;...

Estassucesionesconvergentodasacero:

€

limn→∞

1nm

= 0

Ejemplos:

€

limn→∞

1n2

= 0

limn→∞

1n3

= 0

limn→∞

1n7

= 0

3.­Límitesdesucesionesdetérminogeneral

€

an( ) = nm( ) siendo m ∈ N*;

Ejemplos:

€

an = n2 :1;4;9;16;25;...an = n3 :1;8;27;64;125;...an = n7 :1;128;2187;16384;78125;...

Estassucesionessondivergentesysulímitees

€

+∞ :

€

limn→∞

nm( ) = +∞

Ejemplos:

€

an = limn→∞

n2( ) = +∞

an = limn→∞

n3( ) = +∞

an = limn→∞

n7( ) = +∞

4.­Límitesdesucesionesdetºgeneral

€

an( ) =Knm

siendo m ∈ N y k unnúmeroreal.

Ejemplos:

€

an =−3n2: −31;−34;−39;−316;...

an =1000n3

: 10001;10008;100027

;100064

;1000125

;... Estassucesionessonconvergentesysulímitees0,independientementedelvalordeK:

€

limn→∞

Knm

= 0

Ejemplos:

€

limn→∞

−3n2

= 0

limn→∞

1000n3

= 0

5.­Límitesdesucesionesdetºgeneral

€

an( ) = Knm( ) siendo m ∈ N y k unnúmeroreal(distintodecero).

Ejemplos:

€

an = −2n2 :− 2;−8;−18;−32;...an =100n3 :100;800;2700;6400;12500;...

EstassucesionessondivergentesysulímitedependedeKdelamanerasiguiente: SiK>0,lasucesiónesdivergenteamásinfinito. SiK<0,lasucesiónesdivergenteamenosinfinito.

€

limn→∞

K ⋅ nm( ) =+∞ si K > 0−∞ si K < 0

Ejemplos:

€

limn→∞

−2n2( ) = −∞

limn→∞

100n3( ) = +∞

6.­Límitesdesucesionesdetºgeneral

€

an( ) = P n( ) siendo P(n) un polinomio .

Ejemplos:

€

an = −2n2 + 30n : 28;52;72;88;...an = n3 − 3n + 5 : 3;7;23;57;115;...

Estassucesionessondivergentesysulímitedependedelcoeficienteprincipaldelpolinomio,K(coeficientedeltérminodemayorgrado): SiK>0,lasucesiónesdivergenteamásinfinito. SiK<0,lasucesiónesdivergenteamenosinfinito.

€

limn→∞

P(n)( ) =+∞ si K > 0−∞ si K < 0

,siendo P(n) = Knm + pm−1nn−1 + ...+ p1n + p0

Ejemplos:

€

limn→∞

−2n2 + 30n( ) = −∞ Porque K es − 2, negativo( )

limn→∞

n3 − 3n + 5( ) = +∞ Porque K es1, positivo( )

Observación,elprimerejemplo,divergeamenosinfinito,ysinembargo,siobservamoslosprimerostérminosnodaesasensación,parececreciente:

€

an = −2n2 + 30n : 28;52;72;88;...¿quépasa?Sidibujamoslasucesiónenunsistemadecoordenadas,poniendoenlasx’slas

posiciones(n)yenlasy’slostérminos(an),vemosqueaunqueenlosprimerostérminosescreciente,despuéscambialatendencia:

7.­Límitesdesucesionesdetºgeneral

€

an( ) =1

P n( )

siendo P(n) un polinomio .

Ejemplos:

€

an =1

−2n2 + 30n: 128; 152; 172; 188;...

an =1

n3 − 3n + 5: 13;17; 123; 157; 1115

;...

Estassucesionessonconvergentesysulímitees0:

€

limn→∞

1P(n)

= 0

Ejemplos:

€

limn→∞

1−2n2 + 30n

= 0

limn→∞

1n3 − 3n + 5

= 0

‐700

‐600

‐500

‐400

‐300

‐200

‐100

0

100

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425262728

8.­Límitesdesucesionesconstantes

€

an( ) = K siendo K un nº Real.

Ejemplos:

€

an = −23 :− 23;−23;−23;−23;...an =1274 :1274;1274;1274;1274;1274;...

EstassucesionessonconvergentesysulímiteesK:

€

limn→∞

K( ) = K

Ejemplos:

€

limn→∞

−23( ) = − 23

limn→∞

1274( ) =1274

9.­Límitesdesucesionescuyotérminogeneralesuncocientedepolinomios

€

an( ) =P(n)Q(n)

siendo P(n) y Q(n) polinomios.

Ejemplos:

€

an =3n2 − 2nn +1

:12;83;214;8;656;...

an =3n +12n2 + 4

:23; 712; 511;1336; 827;...

an =3n4 − 56n4 + 3n3

:−29; 43120

; 3481; 7631728

;...

EstecasorequieredesglosarlasdiferentesposibilidadesrespectoalosgradosdelospolinomiosP(n)yQ(n):

€

P(n) = bpnp + bp−1n

p−1 + ...+ b1n + b0 ,esdecir,esunpolinomiodegradopycoeficientesbp,bp­1,…,b1,b0(ejemplo:enP(n)=3n6+4n5‐2n3+n‐1;elgradopes6ylocoeficientessonb6=3,b5=4,b4=0,b3=‐2,b2=0,b1=1,b0=‐1)

€

Q(n) = cqnq + cq−1n

q−1 + ...+ c1n + c0 ,,esdecir,esunpolinomiodegradoqycoeficientescq,cq­1,…,c1,c0Entonces,Dependiendodelosgrados(pyq)loslímitesseránlossiguientes:Caso1:p>q.Sucesióndivergente.

€

limn→∞

P(n)Q(n)

=

+∞ Si bp > 0−∞ Si bp < 0

Caso2:p<q.Sucesiónconvergenteallímite0.

€

limn→∞

P(n)Q(n)

= 0

Caso3:p=q.Sucesiónconvergenteallímite

€

bpcp.

€

limn→∞

P(n)Q(n)

=

bpcp

Ejemplos:

€

limn→∞

3n2 − 2nn +1

= +∞;Porque 2 >1 y3 > 0

limn→∞

3n +12n2 + 4

= 0;Porque1< 2

limn→∞

3n4 − 56n4 + 3n3

:36

=12;Porque 4 = 4 y los coeficientes son 3 y 6

EJEMPLOS:Utilizandolos9tiposdelímiteanteriorescalculaloslímitessiguientes:

€

a) limn→∞

3n4n +1

€

b) limn→∞

34n +1

€

c) limn→∞

3n6

4n3 + n7 +1

€

d) limn→∞

3n8

€

d) limn→∞

5 − 1n6

€

e) limn→∞

4n3 − 2(n4 +1)( )

€

f ) limn→∞

−2π ⋅ n3( )

€

g) limn→∞

5n−4( )

€

h) limn→∞

6 n2 − 3( )2

4n3 +1

€

i) limn→∞

34n +1

− 2n

€

j) limn→∞

4n2

4n n − 2( )

€

k) limn→∞

3+ 5n − 6 + 5n( )( )

€

l) limn→∞

4 − n7

3n2 2n −1( ) n3 + 3n( )

€

m) limn→∞

2n − 6 n −1( )4n − 3

€

n) limn→∞

n −1( ) 3n − 2( )( )

€

ñ) limn→∞

−3( )

€

o) limn→∞

3n −1( ) 2n +1( ) 5n2 + 2( )3

4 n +1( )7

€

p) limn→∞

n7 + 6n5 +14 n + 3( ) 5n − 34( )3

€

q) limn→∞

5n2 − 55n

⋅3n

€

r) limn→∞

3n2: 5n

2

n + 2

€

s) limn→∞

2n − 1n

: 3n2 + 7( )

€

t) limn→∞

4 − 1n

+3n − 5n + 9

€

u) limn→∞

7n − 43n

+ 2

:

4n3

€

v) limn→∞

3− 2 n − 3( ) +2

n − 2

€

w) limn→∞

3n4n +15n2

2

€

x) limn→∞

4n( )