1

CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO “LIC. JESÚS REYES HEROLES”

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS

CICLO ESCOLAR – TERCER SEMESTRE

G E O M É T R Í A

A N A L Í T I C A

G U Í A E X A M E N E X T R A O R D I A N R I O J U L I O 2 0 1 2

T U R N O M A T U T I N O

Elaboró: Arq. Daniel Constantino Sosa.

GUÍA

GE

OM

ET

RÍA

AN

ALÍ

TIC

A

2

Geometría analítica

CONTENIDO DE LA GUIA

Tema • Localización de parejas de coordenadas en el plano cartesiano • Distancia entre dos puntos

• Punto medio de un segmento determinado

Tema • Subtema •

• Triángulo: a) Demostrar si es un triángulo: ▪ rectángulo ▪ equilátero b) Calcular área del triángulo “ método determinantes “ c) Calcular perímetro de un triángulo d) Calcular ángulos internos del triángulo

• Recta: a) Ecuación de la recta conocidos dos puntos b) Ecuación de la recta conocido un punto y su pendiente c) Intersección de dos rectas - dadas las ecuaciones

Intersección de dos rectas - dados sus puntos de coordenadas d) Ecuación de la recta de la forma punto pendiente e) Ecuación general de la recta

f) Distancia de un punto a una recta g) Rectas perpendiculares

h) Pendiente y ángulo de Inclinación de una recta

• Circunferencia: a) Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen b) Ecuación general de la circunferencia c) Pasar de la ecuación general de la circunferencia a la ordinaria d) Hallar la ecuación gral. de la circunferencia que pasa por tres puntos e) Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro

es la intersección de las rectas f) Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( h, k ) y que es tangente a la recta

• Parábola: a) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de

simetría paralelo al eje de coordenadas “x “ b) Ecuación general con vértice en un punto ( h, k ),y eje de

simetría paralelo al eje de coordenadas “ y “ c) Hallar los elementos (vértice, foco, directriz y lado recto )

“dada la ecuación general “ , o dado el foco y la directriz

• Elipse:

a) Ecuación general con centro en el origen ,dado un foco y la longitud del eje menor

b) Ecuación general con centro en el origen ,dado un vértice y la distancia focal

c) Hallar los elementos (los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto) “dada la ecuación general “

Nota: los temas indicados en la guía que no se encuentren ejemplificados en la misma, el alumno tendrá que investigarlos.

3

• Investigar: a) Sistema de Ejes de Coordenadas Rectangulares Cartesianas

b) Teorema de Pitágoras c) Distancia entre dos puntos d) Método de Determinantes

• Demostrar que el triángulo cuyos vértices: son : A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ) y C ( 7, 9 ) representan un triángulo rectángulo • Localiza los puntos A ( 2, 3 ), B ( 7, 3 ) ,y C ( 7,9 ) en un sistema de ejes de coordenadas y calcula el perímetro del triángulo resultante. Formula:

2 2

2 1 2 1d (x x ) (y y )

• Localiza los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Calcular el área del triangulo formado por los vértices ABC. ( utiliza el método de Determinantes). Ejemplo.

DETERMINANTE:

4 -5 1

A =2

1 -3 -2 1

5 3 1

= 2

1[ ( - 8 - 9 - 25 ) – ( 15 + 12 - 10 ) ]

= 2

1[ (- 42 - 15 - 12 + 10 ) ]

=2

1 (- 59 )

= 2

59

= 5.29

A = 29.5 u2

Resuelve los siguientes ejercicios

• Localizar los puntos y calcular el área de cada triangulo de los siguientes ejercicios

1.- A (-6, -5 ), B ( 8, 2 ) y C ( 5, - 6 ).

2.- A ( 2, -3 ), B ( - 6, 3 ) y C ( - 4, -1).

( UTILIZA EL METODO DE DETERMINANTES PARA EL ÁREA – EN LOS EJERCICIOS PROPUESTOS )

4

• Localización de puntos en el plano cartesiano. ( ORDENADA Y ABCISA). EJERCICIOS

Localiza las siguientes parejas de coordenadas en el plano cartesiano, cada ejercicio en un plano Cartesiano. Únelos y forma el triángulo ABC

1.- A ( 3, 5 ), B ( - 7, -4 ), C ( - 5, 6 ). 2.- A ( -2, -3 ), B ( - 5, 8 ), C ( 7 ,- 2 ). EJEMPLO:

Localizar los puntos A (4, -5), B (-3,-2) y C (5,3), Únelos y obtiene el triangulo ABC

y

C (5,3)

x

A(4,-5)

B(-3,-2)

• Distancia entre dos puntos. “CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS” EJEMPLO:

Hallar la distancia entre los puntos A ( 2, -5 ), B ( -2,- 3 ).

Formula:

2 2

2 1 2 1d (x x ) (y y )

(x1, y1) = ( 2,- 5) y (x2, y2) = (- 2,- 3)

d =

d = , d = 4.472 unidades

5

EJEMPLO:

Hallar la distancia entre los puntos A ( 2, -5 ), B ( -2,- 3 ).

Formula:

2 2

2 1 2 1d (x x ) (y y )

(x1, y1) = ( 2,- 5) y (x2, y2) = (- 2,- 3)

d =

d = , d = 4.472 unidades • Distancia entre dos puntos. “CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”

EJERCICIOS

Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos:

1.- P ( - 5, 6 ) , Q ( 4, 0 ).

2.- R ( - 5, 6 ) , S ( 4, 0 ).

3.- T ( - 5, 6 ) , U ( 4, 0 ).

4.- V ( - 5, 6 ) , W( 4, 0 ).

• Punto medio de un segmento determinado. “CALCULAR PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS”.

EJEMPLO:

¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento A ( 5, 3 ), B ( 1,- 1 )?

Formula:

x =

, y =

x =

= 3 , y =

= 1

6

• Punto medio de un segmento determinado. “CALCULAR PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS”. EJERCICIOS.

Hallar las coordenadas del punto medio que divide al segmento:

1.- A ( - 3, - 2 ) , B ( -2 , 0 ). 2.- C ( 9, -10) , D ( -4 , 7 ).

3.- E ( -12,-10) , F ( 1 , 0 ).

4.- G ( -12, 14) , H ( -2, 3 ).

• Recta – Pendiente conocidos dos puntos. “APLICAR LA FORMULA DE PENDIENTE ”.

EJEMPLO:

¿Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 1 , -1 ) y ( -3, 2 )?

Formula:

m =

, m =

=

= - 0.75

EJERCICIOS

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

1.- A ( - 1, 1 ) , B ( 2 , 1 ).

2.- C ( - 3, 1 ) , D ( 4 , 2 ).

3.- E ( 5 , -1 ) , F ( 2 ,- 4 ).

4.- G ( 1 , 0 ) , H ( -1 , 2 ).

• Recta – Ecuación general conocidos dos puntos. “APLICAR ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS”.

EJEMPLO:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-2,1) y P2 (0,3).

Formula:

y - y1 = -

- (x - x1) ; y - y1 =

( x - ( -2))

y – 1 = 1 ( x + 2 ) ; y - 1 = x +2 , y = x +2+ 1 , x – y + 3 = 0

7

• Recta – Ecuación general conocidos dos puntos. “APLICAR ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS DOS PUNTOS”.

EJERCICIOS

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:

1.- P ( 0, -2 ) y Q ( -3,1 ).

2.- R ( 2, -1 ) y S ( 7, 6 ).

3.- T ( 2,- 5 ) y U ( - 2,-3).

4.- V ( - 6,-1) y W( -5,-2 ).

• Recta – Ecuación general conocidos un punto y la pendiente. “APLICAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO Y SU PENDIENTE”.

EJEMPLO :

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (-3,-1) y pendiente m = - 2

Formula: y - y1 = m (x - x1) y – ( -1 ) = - 2 ( x - (- 3)) y + 1 = - 2 ( x + 3 ) , y + 1 = - 2 x - 6 , 2x + y + 7 = 0

• Recta – Ecuación general conocidos un punto y la pendiente. “APLICAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDOS UN PUNTO Y SU PENDIENTE”.

EJERCICIOS

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente m,

1.- P ( -2, -1 ) y m = -3

2.- R ( 3, 4 ) y m =

3.- T ( 1,- 2 ) y m =

4.- V ( -

,-1) y m = -1

8

• Recta – Intersección de dos rectas. “APLICAR METODO - ECUACIÓNES SIMULTANEAS”.

EJEMPLO :

Hallar el punto de intersección de las rectas: x + 2y - 5 = 0 y 3x - 4y +5

x + 2y – 5 = 0 igualando en ec. 1 x = - 2y + 5 , sustituyendo “x” en ec. 2

3 (- 2y + 5 ) - 4y + 5 = 0 ; - 6y + 15 – 4y + 5 = 0

- 6y - 4y = - 15 – 5 ; - 10y = - 20 , y =

, y = 2

Sustituyendo en ecuación 1 el valor obtenido

x + 2( 2 ) - 5 = 0 x - 1 = 0 , x = 1 por lo tanto ( 1, 2 ). EJERCICIOS

Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas.

1.- 2x - 3y + 1 = 0 y 3x + 5y - 2 = 0

2.- 3x + y - 4 = 0 y x - 3y + 8 = 0

3.- 5x + 3y + 4 = 0 y 6x - 2y - 1 = 0 • Recta – Perpendicularidad. “APLICAR CONDICIÓN DE RECTAS PERPENDICULARES PUNTO MEDIO”.

EJEMPLO :

Encontrar la ecuación general de la recta l1 que pasa por el punto medio del

segmento A (2,-4), B (-3,6) y es perpendicular a la recta 5x - 5y – 5 = 0 FORMULA

x =

, y =

x = 2

32 =

2

1 = - 0.05 y =

2

64

=

2

2

= 1 , Pm ( -0.05 ,1 )

Para la pendiente Para la pendiente de ml1

5x - 5y - 5 = 0

Ax + By + C = 0 m =

, m =

= 1 , ┴ m l1 = -1

Para encontrar la ecuación de l1

FORMULA y- y1 = m ( x - x1 ) , sustituyendo y + 0.5 = - 1 ( x -1)

y + 0.5 = - x + 1 , x + y+ 0.5 -1 = 0 , 1x + y - 0.5 = 0

9

EJERCICIOS

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento indicado y es perpendicular a la recta :

1.- A ( 1, 4 ) , B ( -3 , -5 ). y recta 3x – 4y – 7 = 0

2.- C ( - 7,- 9 ) , D ( 1 , 0 ). y recta 8x + 7y – 10 = 0

3.- E ( 8, - 10) , F ( -2 , -4 ). y recta x + 9y + 2 = 0

4.- G ( - 6,11 ) , H ( -6 ,11 ). y recta 6x – 2y + 10 = 0

• Recta - Angulo entre dos rectas

“Aplicar Pendiente, ángulo de inclinación ”

EJEMPLO.

Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (- 2,1) y ( 0,5)

(x1, y1) = (-2,1 ) y (x2, y2) = (0, 5)

m =

; m =

= 2 ; m = 2

α = arc tan 2 ; α = 63° 26’ 05”

EJERCICIO

1.- Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4,7) y (-3,-7)

• Recta - Angulo entre dos rectas

“Aplicar Pendiente, ángulo de inclinación”

EJEMPLO.

Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m1 = - 3 y m2= - 5

Formula: tan θ =

, tan θ =

; tan θ =

=

θ = 7° 07’ 30”

EJERCICIO

1.- Hallar el ángulo entre las rectas cuyas pendientes son: m1 = 9 y m2 = -8

10

• Ecuación de la circunferencia “APLICAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN”

EJEMPLO :

Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( -5,3 ) y radio r = 4

Formula:

( x – h )2 + ( y - k )2 = r2

( x – (- 5))2 + ( y - 3 )2 = 42

( x + 5 )2 + ( y - 3 )2 = 16 x² +10x +25 + y² - 6y + 9 = 16 x² +y² + 10x - 6y + 25+ 9 – 16 = 0 x² +y² + 10x - 6y + 18 = 0

• Ecuación de la circunferencia “APLICAR LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN”

EJERCICIOS.

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y radio indicado:

1.- Centro ( 0, -2 ) y r = 2

2.- Centro ( -6, -4 ) y r = 3

3.- Centro ( 5, - 5 ) y r = 8

4.- Centro ( -9, 8 ) y r =

11

• Recta – Intersección con los ejes de coordenadas

“Aplicar Pendiente ”

EJEMPLO.

Cuál es la pendiente de la recta 2x + 5y - 1 = 0 ? ¿Cuáles son sus intersecciones con los ejes?

m = -

; A = 2 ; B = 5 y C = -1

m = -

; a = -

=

; b = -

La intersección con los ejes es:

EJERCICIO. 1.- ¿Cuál es la pendiente de la recta 7x + 12y - 10 = 0 ? ¿ Cuáles son sus intersecciones con los ejes?

• Angulo entre dos rectas EJEMPLO 1

Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo A (-3,2), B (5,4) y C (2,-5) Graficar.

Formula : m =

mAB = 35

24

=

8

2= 0.25

mBC = 52

45

=

3

9

= 3

mAC = 32

25

=

5

7 = - 1.4

Tan de β = )25.0(31

25.03

= 1.571 , β = 57° 31´18¨

Tan de α = )4.1)(25.0(1

4.125.0

= 2.538 , α = 68° 29´42¨

Continua en la pág 12

12

Tan de µ =)4.1(31

4.13

= - 1.375 µ = |- 53° 58´21¨| , µ = 53° 58´21¨

La suma de los ángulos α +β + µ = 179°59´ 21¨ EJEMPLO 2

Calcular el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son: A (1,1), B (6,4), y C (3,-7). Graficar.

mAB = 16

14

=

5

3 = 0.6

mBC = 63

47

=

3

11

= 3.666

mAC = 13

17

=

2

8 = - 4

Tan de β = )4)(6.0(1

46.0

=

4.1

6.4

= - 3.285 , β = - 73° 04´08”

Donde β = (180° - 73° 04´08” ), Por lo tanto β = 106° 55´ 52”

Tan de α = )6.0)(666.3(1

6.0666.3

=

199.3

066.3 = 0.958 , α = 43° 46´ 16”

Tan de µ = )4)(666.3(1

4666.3

=

669.13

666.7

= - 0.560 , µ = | - 29° 17´32¨ |

La suma de los ángulos α +β + µ = 179°59´44¨ • Angulo entre dos rectas EJEMPLO 3

Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3), B (-2,2) C (-4,4). Graficar

mAB = 52

32

=

7

1

= 0.142

mAC = 54

34

=

9

1

= - 0.111

continua en pag, 13

13

mBC = 24

24

=

2

2

= -1

Tan de β = )142.0)(111.0(1

111.0142.0

= 0.257 , β = 14°24´47¨

Tan de α = )142.0)(1(1

1142.0

= 1.331 , α = 126°55´05¨

Tan de µ = )1)(111.0(1

1111.0

= 0.800 , µ = 38°39´35¨

La suma de los ángulos α + β + µ = 179° 59´27¨ • Angulo entre dos rectas EJERCICIOS.

1.- Calcula los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son : A (-5,-3), B (9,-6), y C (1,-9). Graficar

2.- Calcula el valor de los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (5,3), B (-2,2) C (-4,4). Graficar

14

• Ecuación de la circunferencia “APLICAR – ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”

EJEMPLO :

Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( 0,1 ) y pasa por el punto P1 (- 1,- 2 ).

Formula:

2 2

2 1 2 1d (x x ) (y y ) ,

Ecuación de la circunferencia ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2

PARA ENCONTRAR EL RADIO

(x1, y1) = ( 0, 1) y (x2, y2) = ( -1,-2 )

r = , r = , r = 3.162 unidades

PARA ENCONTRAR LA EC. GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

( x – 0 )² + ( y – 1 )² = ( 3.162 )² x² +y² - 2y +1 = 10 , x² +y² - 2y +1 -10 = 0 , x² +y² - 2y - 9 = 0

• Ecuación de la circunferencia “APLICAR – ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”

EJERCICIOS.

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C ( h, k ) y pasa por el punto indicado.

1.- Centro ( 0, 2 ) y punto Q ( -3,-6 ).

2.- Centro ( -4, -6 ) y punto S ( 10, -1).

3.- Centro ( -5, 5 ) y punto U ( - 2,- 4).

4.- Centro ( 8, - 9 ) y punto W ( 1 , 7 )

15

• Ecuación de la circunferencia “APLICAR ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA - DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”

EJEMPLO.

Encontrar la ecuación general de la circunferencia que pasa por tres puntos. A (0,5), B (-3,-1) y C (6,- 2). Encontrar el centro y radio de la circunferencia

Para A ( 0,5 ) (0)2 + (5)2 - 0D + 5E + F = 0

0D + 5E+ F= - 25 Ec.1 Para B ( -3,-1 ) (-3)2 + (-1)2 - 3D - 1E + F = 0

- 3D - 1E + F = - 10 Ec.2 Para C ( 6,- 2 ) (6)2 + (-2)2 + 6D - 2E + F = 0

6D - 2E + F = - 40 Ec.3 Tomando Ec.1 y Ec.2

-1( 0D + 5E + F = - 25 ) - 0D - 5E – F =+ 25 -3D - 1E + F = - 10 - 3D - 1E + F = - 10

-3D - 6E = 15 Ec.4 Tomando Ec.2 y Ec.3

-1(-3D - 1E + F = -10 ) 3D + 1E - F = +10 6D - 2E + F = - 40 6D - 2E + F = - 40 9D - 1E = -30 Ec.5

Tomando Ec.4 y Ec.5

9(-3D - 6E = 15 ) - 27D - 54E = 135 3( 9D - 1E = -30 ) - 27D - 3E = - 90 - 57E = 45

E =57

45

= - 0.789 , E = - 0.789

Sustituyendo el valor de E en la Ec.4 -3D - 6E = 15 -3D – 6 (- 0.789 ) = 15 -3D + 4.734 = 15 -3D = 10.266

D= 3

266.10

= -3.422 D= -3.422

Sustituyendo E y D en la Ec.1 0D + 5E + F = - 25 5(- 0.789 ) + F= - 25 , -3.945 + F = - 25 , F = - 25 + 3.945 ; F= - 21.055

16

Sustituyendo valores D, E y F en la ecuación general de la circunferencia. x2 + y2 - 3.422 x - 0.789 y - 21.055 = 0 Ecuación general

Para encontrar el centro y el valor del radio

( x2 - 3.422 x ) + ( y2 - 0.789 y ) = 21.055 ( x2 - 3.422 x + 2.927 ) + ( y2 - 0.789 y + 0.155 ) = 21.055 + 2.927 + 0.155 ( x - 1.711 )2 + (y - 0.394 )2 = 24.137 ( x – h )2 + ( y + k )2 = r2 , C ( 1.711 , 0.394 ) , r = 4.912

• Parábola. “ECUACIÓN DE LA PARABOLA ”

EJEMPLO 1

Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo v (2,-1) y cuyo f (1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. h= 2 FORMULA. Si F ( h + p, k ), ( y – k )² = 4p ( x – h ) k= -1 p= -1 h + p = 1 ( y + 1)² = 4( -1 ) ( x – 2 ) 2 + p = 1 y² + 2y+ 1 = - 4( x - 2) p = 1 - 2 y² + 2y +1 = - 4x + 8 , y² = - 2y - 4x + 7 p= - 1 LR= | 4 ( - 1 )| LR= | -4 | LR= 4 DIRECTRIZ x = h – p LR = І 4p І

x = 2 - ( - 1) = 3 LR = 4 EJEMPLO 2

Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del vértice la directriz y del lado recto. y² = - 2y – 4x + 7 y² = - 2y – 4x +7 ( y² + 2y ) = - 4x + 7 ( y² + 2y + 1) = - 4x + 7 +1 ( y + 1)² = - 4x + 8

17

Continua de la pag. 16

( y + 1)² = - 4 ( x – 2 ) por lo tanto p = 4

4 = -1 , p = -1

( y – k )² = 4p ( x – h ) , v ( h, k ) f (h + p, k)

vértice v ( 2,-1) foco f ( 2 -1, -1), foco f (1, -1) h = 2 DIRECTRIZ x = h – p LR = І 4p І

k = - 1 p = - 1 x = 2 - ( - 1) = 3 LR = 4 • Parábola EJEMPLO 3

Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (-2,-2) y cuyo foco f (-1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto. FORMULA. Si F ( h + p, k ), ( y – k )² = 4p ( x - h) h = - 2 h + p = - 1 k = - 2 -2 + p = - 1 p = 1 p = - 1 + 2 , por lo tanto p = 1 ( y + 2)² = 4(1) ( x + 2 ) y² + 4y + 4 = 4 ( x+ 8), y² + 4y + 4 = 4x + 8 y² + 4y - 4x - 4 = 0 , y² = - 4y - 4x + 4 LR= | 4 (1) |, LR= 4 directriz x = - 2 - 1 = - 3 EJERCICIOS.

1.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice v (2,-1) y cuyo foco f (1,-1). Hallar la ecuación general de la directriz y la longitud del lado recto.

2.- Dada la ecuación general de la parábola encontrar las coordenadas del foco del vértice la directriz y del lado recto. y² = - 2y – 4x + 7

3.- Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo foco f (2,-1) y cuya directriz y = - 9

18

Elipse. EJEMPLO 1

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas f (2, 0) y longitud del eje menor igual a 6.

FORMULA.

= 1 , a2 = b2 + c2 , f ( c,0 )

c = 2 , La longitud del eje es 2b = 6 por lo tanto b = 3 de modo que a2 = 9 + 4

Por lo tanto la ecuación es:

= 1

EJEMPLO 2 Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice con coordenadas v (0, - 4) y distancia focal igual a 2.

FORMULA.

= 1 , a2 = b2 + c2 , v ( 0,- a ), La distancia focal es 2c

c = 1 ,De las ordenadas de los vértices a = 4 , de modo que b2 = a2 – c2

b2 = 16 – 1, b =

Por lo tanto la ecuación es:

= 1

EJERCICIOS.

1.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, un foco de coordenadas f (0,-6) y longitud del eje menor igual a 6.

2.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, longitud del eje mayor igual a 18 y foco f( 0,3) y longitud del eje menor igual a 12 Elipse.

EJEMPLO

Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 25x2 + 16y2 – 400 = 0

FORMULA.

= 1 , a2 = b2 + c2 , LR =

, ℮ =

= 1, a2 = 25 y b2 = 16 por lo tanto a = 5, b = 4 entonces c =

c = 3, foco f ( 0, 3 ) y f´ (0, -3 ), los vértices son v ( 0,5 ) y v´ (0,-5 ),

la excentricidad ℮ =

1 , El lado recto LR =

=

19

EJERCICIOS.

1.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 25x2 + 9y2 – 225 = 0 2.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. 9x2 + 5y2 – 45 = 0 3.- Hallar los focos, vértices, excentricidad y longitud del lado recto de la elipse. x2 + 3y2 – 3 = 0

Bibliográfia.

Geometría analítica Solís Rodolfo Tercera reimpresión Editorial: Lumaza México 1994 Num. Pág. 197 Geometría y Trigonometría Dr. J. A. Baldor Primera edición Publicación Cultural Num. Pág. 405 Algebra A. Baldor Publicación Cultural Edición 1983 Núm. Pág. 198 Consulta matemático Lic. L. Galdós Editorial: cultural Nap. 994 Matemáticas 3 Eduardo Basurto Hidalgo Editorial PEARSON Primera edición 2010 Núm. Pág. 195

20