Balance Macroscopico de Energia

5/13/2018 Balance Macroscopico de Energia - slidepdf.com

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Fenómenos de Transporte. Licenciatura en Ciencia y Tecnología de Alimentos

Licenciatura en Ciencia y Tecnología Ambiental

Licenciatura en Biotecnología y Biología Molecular

BALANCE MACROSCOPICO DE ENERGIA MECANICA

-Existen numerosas aplicaciones de interés práctico donde resulta másimportante evaluar magnitudes vinculadas con la energía del sistema(por ejemplo la potencia W de una bomba necesaria para bombear undeterminado caudal de fluido) que magnitudes dinámicas (comocaudales, pérdidas de carga, etc).

-Por esta razón es necesario realizar un estudio de las diferentesformas de energía y de interconversión de las mismas que puedenexistir en un sistema.

EnergíaMecánica

EnergíaInterna

Ev

Ep

Entrada demasa

Salida demasa

QW

-Así, la energía puede acumularse como potencial, cinética e interna ypuede transferirse como calor o trabajo.

-La energía potencial es aquella asociada con la posición de la materia.

-La energía cinética es aquella asociada con el movimiento de lamateria.

112






-La energía interna incluye todas las formas de energía de un sistema,excepto las debidas a la posición (energía potencial) y al movimiento(energía cinética).

-Cuando existe una transferencia de energía entre el sistema y losalrededores debido a la existencia de una diferencia de temperaturas,se dice que la energía se transfiere por medio de un flujo calórico ocalor Q.

-Todos las demás formas de transferir energía entre el sistema y losalrededores que no sean flujo calórico o por transferencia de masa sedenominan trabajo W.

-Por convención se adopta al trabajo como positivo cuando el sistemalo realiza sobre los alrededores y negativo cuando los alrededoresrealizan un trabajo sobre el sistema.

-Cuando al sistema ingresa o egresa masa se genera una transferenciaconvectiva de energía cinética, potencial y/o interna.

-Resulta útil agrupar las energías cinética y potencial bajo la

denominación de energía mecánica diferenciándola de la energíainterna.

-La energía mecánica puede alterarse por la realización de trabajo opor el ingreso/egreso de masa.

-La energía interna puede alterarse por la existencia de un flujocalórico o por el ingreso/egreso de masa.

-Cuando se realiza esta "separación" de formas de energía es necesarioconsiderar que parte de la energía mecánica puede transformarse demanera irreversible en energía interna por fricción, Ev. Y que ambasformas de energía pueden interconvertirse por efectos decompresión/expansión, Ep.

-Con el próposito de poder evaluar magnitudes como la potencia deuna bomba es que se realiza un balance parcial de energía, tomando

únicamente en cuenta la energía mecánica del sistema.

113






-Objetivo: obtener una expresión matemática para la variación deenergía mecánica de un volumen de control arbitrario.

-Suposiciones:1)Se considera que la posibilidad de interconversión de energíamecánica e interna es despreciable frente a la conversión irreversiblede energía mecánica en interna (Ev >> Ep). Esta es una buenasuposición para fluidos incompresibles.2)Las secciones de entrada y salida se adoptan normales al vectorvelocidad-Aplicando el principio de conservación:

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

⋅

potencial y

cinéticaenergía

de salida

deVelocidad

potencial y

cinéticaenergía

deentrada

deVelocidad

potencial y

cinéticaenergía

de n acumulació

deVelocidad

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅

⋅−

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅

⋅

⋅

−

ernaenergíaen mecánicaenergía

deleirreversib

Conversión

s alrededorelos sobre trabajo

de n realizació

deVelocidad

int

-Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica a unvolumen de control arbitrario:

Volumen de control: Va

S1

S2

W

ZY

X

h1

h2

114






-Se obtiene :

( )+

∫2121

ˆ ˆ

2

1

2

1 22

SSSS

tot tot vdAvdAvdAvvdAv dt

K d ρ

v

SS

EW pvdA pvdA −∫21

-Donde:

∫ aV

tot dV v K 2

2

1ρ ∫ Φ

aV

tot dV ˆ

( ) z g y g x g z y x + ˆ Energía potencial por unidad de masa.

-El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores se hadesdoblado en dos contribuciones: W representa el trabajo realizadopor el sistema sobre partes móviles de los alrededores (por ejemplomover una turbina) y luego está el trabajo necesario para introducir alfluido en el volumen de control a través de S1 y para sacarlo a través deS2.

-Este trabajo se denomina "trabajo de circulación" y está dado por lostérminos:

∫−21 SS

pvdA pvdA

-Recordando la definición de valor medio de una función, podemosdefinir:

115






S

dAv

v

S

∫=

3

3

-Si además, suponemos que ρ, Φ y p son constantes sobre S1 y S2 laexpresión del balance queda:

( )+

∫2

3

221

3

11

21

2

1

2

1

S

dAv

SS

dAv

S dt

K d SS tot totρ

2222

1111

21 ˆ ˆS

vdA

SS

vdA

SSS

∫Φ ρ +

vSS

EW S

vdA

S pS

vdA

S p −∫

222

111

21

-Utilizando las definiciones de valores medios:

( )+

22221111

3

222

3

111

ˆ ˆ

2

1

2

1vSvSvSvS

dt

K d tot totρ

v EW vS pvS p −222111

-Esta ecuación es el balance macroscópico de energía mecánica y poseelas siguientes restricciones:

1)La interconversión de energía mecánica e interna es despreciablefrente a la conversión irreversible de energía mecánica en interna (Ev

>> Ep).

116






2)Las secciones de entrada y salida se adoptan normales al vectorvelocidad3)En las secciones de entrada y salida ρ, Φ y p son constantes.

-Para régimen turbulento se deberá cumplir que:

33 vv ≅

-Para régimen laminar o perfiles de velocidad muy distorsionados estano es una buena aproximación y se utiliza un factor de correccióndefinido como:

3

3

v

v=

-El valor de α tiende a 0.5 para régimen laminar (perfil de velocidadparabólico) y a 1 para régimen turbulento (perfil de velocidad casiplano).

-Si el sistema de ejes se toma como en la figura con el eje "z" vertical yapuntando hacia arriba entonces: gx = gy = 0 y gz = -g, por lo tanto:

gz ˆ

-Con estas consideraciones el balance macroscópico de energíamecánica queda:

( ) +222211112

3222

1

3111

22 gZvS gZvS

vSvS

dt

K d tot totρ

α

ρ

α

ρ

v EW vS pvS p −222111

-Utilizando el operador Δ:

117






( )v

tot tot EW Sv pSZv gSv

dt

K d −

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+ρ

α

ρ

2

3

-Donde el primer término del miembro de la derecha representa laentrada neta de energía cinética al volumen de control, el segundo laentrada neta de energía potencial, el tercero el trabajo neto decirculación del fluido, el cuarto el trabajo que el sistema realiza sobrelos alrededores y el quinto la conversión irreversible de energíamecánica en interna.

-Para el caso particular en que el sistema opera en estado estacionario

el balance macroscópico de materia conduce a:

222111 SvSv ρ=

-Además, en estado estacionario:

( )0

dt

K d tot tot

-Por lo tanto, es posible dividir todos los términos por Sv y el

balance se reduce a:

0 ˆ ˆ2

2

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+ v EW

p gZ

v

ρ

-Donde:

Sv

W W

ρ

= ˆ Sv

E E v

vρ

= ˆ

COEFICIENTES DE FRICCION

-De manera análoga a lo que sucede con el balance macroscópico decantidad de movimiento, el balance macroscópico de energía mecánica

118






puede utilizarse de manera directa para calcular Ev o para calcularmagnitudes de mayor interés aplicado, por ejemplo la potencianecesaria para bombear un determinado fluido.

-Cuando se desea calcular alguna magnitud diferente a Ev, también demanera análoga a lo que ocurre con F en cantidad de movimiento, esnecesario utilizar una vía independiente para evaluar Ev.

-La metodología utilizada consiste, nuevamente, en definir uncoeficiente de fricción adimensional "ev" que deberá ser evaluadoexperimentalmente.

-Para ello se define la siguiente ecuación:

2

2

1 ˆ ve E vv = , donde v es una velocidad característica del sistema.

-Por lo tanto, la siguiente etapa consiste en realizar las evaluacionesexperimentales de "ev" para diferentes sistemas de flujo: conductosrectos, accesorios de tuberías, flujo en orificios, sistemas de agitación,etc.

COEFICIENTE DE FRICCION EN CONDUCTOS RECTOS

-Puesto que el fenómeno que origina a los coeficientes "f" y "ev" es elmismo y que existe una total analogía en el tratamiento de los balancesmacroscópicos de cantidad de movimiento y de energía mecánica, sepuede pensar que debe existir alguna relación entre "f" y "ev".

-Así, por ejemplo, en conductos rectos F incluye arrastre de forma yfricción de piel, mientras que Ev corresponde a las pérdidas

irreversibles de energía mecánica en interna debidas al roce provocadopor estos dos mismos fenómenos.

-Con el objetivo de encontrar la vinculación existente entre "f" y "ev"para conductos circulares y rectos plantearemos simultáneamente losbalances macroscópicos de materia, cantidad de movimiento y energía,aplicándolos a un mismo volumen de control: un tramo del conductocircular y recto.

119






-Suponiendo que por el conducto circula un fluido newtoniano de ρ y μ constantes en estado estacionario y con flujo desarrollado, los balancessimplificados resultan:

Plano "1"

Plano "2" z

L

Plano de referencia

-Balance macroscópico de materia:

21 vv =

-Balance macroscópico de cantidad de movimiento:

( ) SLg p pS F ρ21

-Balance macroscópico de energía mecánica:

-En estado estacionario:

0 ˆ ˆ2

2

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+ v EW

p gZ

v

ρ

-Como el flujo es desarrollado α1 = α2 y el sistema no realiza trabajosobre los alrededores, por lo tanto W=0, se obtiene:

120






( )( )

( ) gL

p p L g

p p Z g

p Ev +==−

ρ

2121 0 ˆ

-Reemplazando:

S

F Ev

ρ

= ˆ

-Si se reemplaza por las definiciones de F y Ev en función de "f" y "ev"se obtiene:

f D

Le

v

4=

-Esta ecuación puede generalizarse para conductos de sección nocircular en régimen turbulento utilizando el radio hidráulico 4Rh=D

f R

Le

hv =

-Nótese que para conductos no es necesario realizar una nuevaevaluación experimental para obtener "ev" ya que es posible utilizar laevaluación de "f" y luego calcular "ev" con cualquiera de las dosecuaciones anteriores.

COEFICIENTES DE FRICCION EN ACCESORIOS DE TUBERIAS

-En las conducciones para fluidos no sólo existen partes rectas sino queademás hay diferentes tipos de accesorios: codos, válvulas,

contracciones, expansiones, bifurcaciones, etc que contribuyen demanera significativa a las pérdidas irreversibles de energía mecánica.

-Para estos accesorios no es posible utilizar la ecuación deducida antesque vincula a "f" y "ev" ya que ésta sólo es válida para conductosrectos. Por esta razón se han realizado evaluaciones experimentalespara cada tipo de accesorio.

-Por lo tanto, las pérdidas totales de energía mecánica por fricción

pueden evaluarse sumando las pérdidas producidas en los tramosrectos y en cada uno de los accesorios existentes en la conducción:

121






∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛=

accesorios

v

rectos tramos

hv ev f

R

Lv E

22

2

1

2

1 ˆ

-Para las pérdidas en cada tramo recto se utiliza la velocidad mediacorrespondiente a ese tramo, mientras que en el caso de los accesoriossi se producen cambios de sección es necesario saber si en la evaluaciónexperimental de "ev" se utilizó como velocidad característica lavelocidad aguas arriba o aguas abajo del accesorio.

-En expansiones bruscas la mayor parte de las pérdidas por fricción se

deben a los torbellinos que se producen por desprendimiento de lacapa límite al pasar de una zona de baja presión (alta velocidad en elconducto mas estrecho) a una de alta presión (debido a la disminuciónde velocidad al producirse la expansión).

-Por este motivo cuando se desean disminuir las pérdidas de energía enuna conducción se utilizan difusores en los lugares donde es necesariorealizar cambios de diámetro en la conducción. En ellos el cambio esgradual, con lo que se evita el desprendimiento de la capa límite y se

reducen sustancialmente las pérdidas de energía. Un fenómeno similarexiste en las contracciones.

LONGITUD EQUIVALENTE DE CAÑERIA

-Una forma alternativa de evaluar "ev" en accesorios consiste enutilizar la denominada "longitud equivalente".

-La longitud equivalente se define como: "la longitud de tubería recta y

lisa de igual diámetro que el accesorio que produce igual pérdida de

energía que éste".

122






-Cuando existen contracciones o expansiones la longitud equivalente seexpresa adoptando el diámetro de la conducción de menor sección.

-Existen tablas y nomogramas en los cuales están evaluadas laslongitudes equivalentes de distintos tipos de accesorios.

-Llamando Le a la longitud equivalente, las pérdidas totales de energíamecánica por fricción pueden evaluarse de acuerdo con la siguienteecuación:

∑ ⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛+

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛=

accesorios h

e

rectos tramos

hv

f R

Lv f

R

Lv E

22

2

1

2

1 ˆ

-El cálculo de Ev utilizando "ev" o "Le" es equivalente.

123

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