DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA DIFUSIVIDAD

EFECTIVA PARA LA DESHIDRATACIÓN OSMÓTICA DE PIÑA

UTILIZANDO PELLETS EN FORMA DE CUBOS MEDIANTE

MÉTODOS NÚMERICOS

Ruiz R. Y. a, Torres J. E., Caicedo L. A.a, Durán H. A.a, Jiménez S.A.a

(Universidad Nacional de Colombia – Sede Bogotá)

Cll 45 Cra 30- Ciudad Universitaria - Bogotá D.C.- Colombia

E-mail: rruizp@unal.edu.co, lacaicedom@unal.edu.co

Resumen. El propósito de este trabajo es estudiar la cinética de

deshidratación osmótica de cubos de piña. Para los ensayos se adecuó piña

variedad perolera (Ananas Comosus), en cubos de dos centímetros de arista,

que se deshidrataron por vía osmótica a 18oC, en una solución de sacarosa

con concentración inicial de 60°Brix y con relación fruta-solución de

sacarosa de 1:3. El sistema se agitó a 90 rpm. Durante la experimentación se

midió la concentración de sólidos solubles de la solución osmótica hasta que

el sistema llegó al equilibrio. La difusividad efectiva del agua se determinó

asumiendo que la transferencia de masa en la fruta está bien representada

por el modelo de difusión (segunda ley de Fick). El modelo se solucionó

mediante métodos numéricos, teniendo como condición de frontera la

variación de la concentración en la superficie de la piña respecto al tiempo

de acuerdo con una función conocida, la cual fue obtenida de datos

experimentales. Como condición inicial se consideró que en cualquier punto

de la piña la concentración de agua es conocida. Para calcular el coeficiente

de difusividad de la piña, se planteó un problema de optimización en el que

se comparan los resultados obtenidos del modelo matemático con los datos

experimentales; la función objetivo es la expresión de minimización de

errores cuadrados sujeta al modelo de difusión. Cuando la difusividad

efectiva se considera como una función exponencial de la concentración

promedio de agua en la piña, se encuentra buen ajuste del modelo

matemático respecto a los datos experimentales.

Palabras Clave: Difusividad efectiva de piña, Deshidratación osmótica y

método de líneas.

1. Introducción

La técnica de osmodeshidratación, se puede clasificar como una operación de

extracción líquido-sólido; consiste en poner en contacto un sólido hidratado, como

partículas de frutas, en un jarabe de alta concentración en sólidos solubles. La diferencia

de concentraciones entre la solución intrapartícula y la del medio líquido que la rodea

produce la transferencia preferencial de agua y otros componentes desde la partícula

hasta el medio circundante y transferencia de sólidos solubles del medio al sólido. Este

método ha sido recientemente empleado para la deshidratación de frutas como manzana

(Barrera Et al., 2004; Cornillon, 2000; Hough et al., 1993; Kaymak-Ertekin y Sultanolu,

2000; Lewicki y Porzecka-Pawlak, 2005; Mandala et al., 2005; Mavroudis et al., 1998;

Nieto et al., 2004; Prothon et al., 2001; Sacchetti et al., 2001; Salvatori et al, 1999;

Taiwo et al., 2002), piña (Expedito et al., 1996; Parjoko et al., 1996; Rastogi y

Raghavarao, 2004), kiwi (Gerschenson Et al., 2001; Gianotti et al., 2001; Talens et al.,

2003; Talens et al., 2002), fresas (Erle y Schubert, 2001; Piotrowski et al., 2004; Evans

et al., 2002). Como parte del proceso se produce un jarabe diluido enriquecido con

sustancias propias de la fruta y un sólido parcialmente seco.

La osmodeshidratación presenta ventajas frente a otros métodos de deshidratación,

ya que la fruta obtenida mantiene en una alto porcentaje las propiedades nutricionales y

sensoriales (color, aroma, sabor) de la fruta fresca (Torregianni, 1993), aspectos que

hacen parte de las exigencias del consumidor y por ende de la industria alimenticia.

La operación de osmodeshidratación se ha trabajado principalmente a nivel de

laboratorio con buenos resultados (Torreggiani, 1993, Expedito et al., 1996, Rastogi et

al., 2002), pero es necesario desarrollar equipos que logren llevar a cabo operaciones a

grandes escalas por ello se requiere entender los fenómenos de transporte que suceden

en la operación, determinar parámetros adecuados de diseño y generar modelos

matemáticos que permitan predecir el comportamiento de la operación. Con estos

propósitos algunos investigadores han formulado varios modelos matemáticos (Barat et

al., 2001, Fito, 1994, Salvatori et al., 1999, Toupin et al., 1989, Yao y Le Maguer, 1996,

Yao y Le Moguer, 1997a, Yao y Le Moguer, 1997b, Agnelli et al., 2005) y han

determinado valores de difusividad efectiva en diferentes frutas y geometrías haciendo

uso de la segunda ley de Fick (Rastogi et al., 2002, Rastogi y Raghavarao, 2004 y

Azuara et al., 1992). Hay pocos trabajos disponibles para hallar experimentalmente

difusividades efectivas con geometría de cubos en la fruta (Rastogi y Raghavarao, 2004)

y con baja relación fruta jarabe. El propósito de este trabajo fue determinar un valor

experimental de difusividad efectiva para la deshidratación osmótica de piña en forma

de cubos partiendo de la segunda ley de Fick, resolviendo la ecuación por métodos

numéricos y teniendo como una de las condiciones de frontera concentración variable

con el tiempo, debido a la baja relación fruta: jarabe utilizada en los ensayos. Se pudo

determinar la difusividad efectiva para la piña y a la determinación de perfiles de

humedad al interior de la fruta.

2. Materiales y métodos

2.1 Materia Prima

Piña. Se empleó piña (ananas comosus) variedad perolera, en geometría de cubos.

Los cubos tenían una arista de 2 cm en promedio.

Solución osmótica. Se empleó un jarabe de sacarosa, preparado mediante una

mezcla de azúcar en grado comercial y agua potable hasta alcanzar una concentración

de 60 °B.

2.2. Proceso de Deshidratación Osmótica

La deshidratación osmótica se realizó colocando la fruta y el jarabe en un recipiente

Erlenmeyer de 500 mL con una relación en peso fruta jarabe de 1:3, temperatura 18 ± 1

°C, y manteniendo el sistema en un agitador a 90 RPM durante 5 horas, esto es hasta

alcanzar un valor de aparente estabilidad de la deshidratación.

2.3. Métodos analíticos

Los sólidos solubles se determinaron empleando un refractómetro a temperatura de

18± 1°C.

2.4. Consideraciones Teóricas

Los resultados se presentan como el porcentaje de pérdida de peso respecto a la piña

fresca, estos datos fueron calculados a partir de un balance de masa aplicado al jarabe.

Los cálculos se realizaron teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:

• El volumen de control empleado para realizar los balances de masa fue el

volumen limitado por la solución osmótica.

• Se considera que no hay flujo de sólidos solubles desde el jarabe a la piña, ni

desde la piña al jarabe.

Balance de materia total:

Masa de agua transferida + Masa de jarabe inicial = Masa total acumulada

A + MiJ = MJt (1)

donde:

A = masa de agua ganada por el jarabe (pérdida por la piña)

MiJ = masa inicial de jarabe

MJt = masa de jarabe en un instante de tiempo

Balance para el agua:

agua inicial + agua entra = agua acumulada

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ °

−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ °

−×100Bx1MJA

100Bx1JM t

ti (2)

Por consiguiente:

t

tii

Bx)BxBxJ(M

A°

°−°= (3)

Porcentaje de pérdida de peso:

% Pérdida de peso = A/ Mip x 100 (4)

donde

Mip = Masa inicial de la piña

2.5. Modelo para determinar difusividades efectivas

Descripción fenomenológica

En la deshidratación osmótica de alimentos pueden existir varios mecanismos

responsables del transporte de masa, esto debido a la complejidad de la microestructura

de los alimentos (Chiralt y Talens, 2005). En la literatura hay tres mecanismos

principales de transferencia de masa aceptados a nivel celular, el apoplastico, que es la

difusión que ocurre en el exterior de la célula, en los espacios extracelualres, el

simplástico que es el transporte entre células vecinas, el cual se da a través de canales

llamados plasmodesmatas, y el extracelular que ocurre entre el interior de la célula y el

exterior de la misma (espacios intercelulares y pared celular) a través de la membrana y

la pared celular. (Shi y Le Maguer, 2002). Adicional a estos mecanismos, una vez que

los fluidos se encuentran en los poros de la fruta, estos pueden salir al medio

circundante mediante varios fenómenos de transferencia de masa.

Algunos autores han recalcado la importancia de otros mecanismos, como los

hidrodinámicos, que son debidos a la presión capilar que se genera en la estructura

porosa del alimento (Fito et al., 1995, Barat et al., 2001, Chiralt y Talens, 2005); estos

mecanismos son los responsables de la impregnación de los alimentos de los solutos

ganados por los alimentos en los procesos osmóticos (Chiralt y Talens, 2005)

Rastogi et al. (2002), describe de una manera más simple el transporte de agua en la

deshidratación osmótica: asume que éste se realiza en tres etapas en el interior del

alimento; la primera caracterizada por una velocidad alta de transferencia, que

corresponde a la salida de agua desde las células superficiales que se encuentran en

contacto con la solución osmótica. Una segunda etapa donde las células siguientes a las

superficiales empiezan a transferir agua, y debido a la deshidratación y por consiguiente

la contracción que han sufrido las células cercanas a la superficie, la velocidad de

transferencia de masa podría ser mayor que en la primera etapa y una ultima en la que la

transferencia se genera en las células internas del alimento, en esta etapa la velocidad de

transferencia es menor respecto a la etapa uno y dos.

Modelo matemático

Según la ley de Fick, se puede demostrar (Crank, 1975) que el transporte de una

sustancia en un sólido es representada por la siguiente ecuación en coordenadas

rectangulares:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅=∂∂

2

2

2

2

2

2

zC

yC

xC

tC

efD (5)

donde:

“Def” es la difusión efectiva de la sustancia a través del sólido, que representa en si

el promedio de las variaciones de la difusividad en las tres direcciones coordenadas.

Para el caso de la deshidratación osmótica, C es la concentración de agua en el

sólido, x,y,z son las coordenadas rectangulares espaciales, t es el tiempo del proceso.

La ecuación también se puede representar con el operador Laplaciano:

CtC 2∇⋅=

∂∂

efD (6)

El cual al aplicarle diferencias centrales (con igual incremento de las variables

espaciales) como una forma de poder manipular la ecuación diferencial parcial

numéricamente es:

( )zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxx

CCCCCCCh

C ,,1,,1,,,1,,1,,,1,,122 61

⋅−+++++⋅≈∇ −+−+−+ (7)

la ecuación 7 se puede representar gráficamente a través de moléculas de

computación (Constantinides, 1987):

-6

+1

+1

+1+1

+1

+1

⋅ ∇ ≈ 2 2 1

xh

Fig. 1. Representación de la ecuación diferencial mediante molécula computacional

donde hx es el paso o incremento en una dimensión espacial.

Al remplazar la ecuación 7 en la 6, la ecuación diferencial parcial (EDP) se convierte

en un conjunto de ecuaciones diferencial ordinarias (EDO):

( )zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxx

zyx CCCCCCChdt

dC,,1,,1,,,1,,1,,,1,,12

,, 6 ⋅−+++++⋅= −+−+−+efD

(8)

El presente sistema de EDO se puede resolver dependiendo si sus condiciones son

iniciales o de frontera en el tiempo, en el primer caso se pueden usar los métodos

numéricos clásicos (métodos de Runge-Kutta, Euler, y sus métodos implícitos) y en el

segundo caso se pueden utilizar métodos de elementos finitos o de bombardeo, entre

otros (Davis, 1990), en este caso se tiene un problema de condición inicial en el tiempo,

aplicando el método de Euler, la ecuación 8 queda de la forma:

( ) tzyxttzyxtzyxtzyxtzyxtzyxtzyxtzyxx

tzyx ChCCCCCCCh

C ,,,,,,,1,,,1,,,,1,,,1,,,,1,,,121,,, 6 +⋅⋅−+++++⋅= −+−+−++efD

(9)

Donde ht es el paso o incremento del tiempo y hx es el paso en las variables

espaciales como anteriormente se indicó, si hx toma el valor de un tercio el volumen

sería partido en 27 partes. En este trabajo la aproximación del volumen es un cubo que

tiene un lado con longitud 2L, aprovechando la simetría, ese cubo se parte en 8 cubos y

a uno de ellos se le aplica la partición hx, que será utilizada para resolver la EDP, esto se

puede apreciar en la siguiente figura:

L

2L

L*hx

8 veces

2L

Fig. 2. Partición del volumen de control

Condiciones de frontera de EDP

Si se supone que el cubo está inmerso en una solución con concentración = Csup(t),

si se toma el cubo inferior derecho ubicado en la cara frontal del cubo (de longitud de

lado 2L) de la Fig. 1, resultan las condiciones siguientes: 3 tapas se encuentran

sumergidas en la solución y las otras 3 caras no tienen gradiente de concentración por

simetría, lo anterior se puede representar como se muestra en la Fig. 3:

δC/dz=0

δC/dx=0 Csu

p(t)

Csup

(t)

Csup

(t)

δC/dy=0

Fig. 3. Condiciones de frontera para un cubo de longitud de lado L

Por lo tanto las condiciones de frontera en la superficie son dinámicas y dependen de

cómo cambia la concentración de la solución; se utilizaron dos expresiones de Csup(t),

en la primera se asume que no hay una resistencia apreciable a la transferencia de masa

en la solución osmótica, luego la concentración medida en el seno del fluido sería la

misma de la superficie, y en la segunda se tiene en cuenta que puede haber resistencia a

la transferencia de masa en la solución osmótica, la cual se constituye en controlante del

proceso; lo que obliga a introducir un coeficiente de transferencia de masa, y origina la

Ec. 10.

)(dt

dma1)sup( senot CCKa

A−= (10)

Difusividad efectiva

Basados en los datos experimentales y aplicando la herramienta Excel, se desarrollo

el programa FRUTDIFU que permite mediante técnicas de optimización, encontrar el

valor de la difusividad efectiva para varias condiciones de frontera.

La función objetivo es la presenta en la ecuación 11, donde la concentración

calculada es la promedio determina a partir de la Ec. 12

2

t,exp,

1 min ∑ ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅= dVC

V-Ce tcalct

efD (11)

( )sup),,(,1

≠≈⋅= ∫∫∫ zyxV

tcalc CpromediodVCV

C (12)

Para encontrar el efecto de la concentración sobre la difusividad efectiva, se

empleará una expresión de tipo exponencial, como la presentada en la Ec. 13

bC

ef a(exp)D = (13)

3. Resultados y análisis

Concentración en el medio en función del tiempo.

Las ecuaciones obtenidas para representar la concentración en el medio en función

del tiempo son las siguientes:

(14) 474,0074,0)( 6931,0sup +⋅= ⋅− tetC

(15) 474,0380,0)( 01842,1sup +⋅= ⋅− tetC

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo(horas)

Csu

p (o

BExperimental

Ajustado

a)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo (horas)

Csu

p (o

B

Experimental

Ajustado

b)

Fig. 4. Concentración de la superficie de la piña respecto al tiempo. a) cuando no hay resistencia apreciable a la resistencia de masa en la solución osmótica. b) cuando hay

resistencia apreciable a la resistencia de masa en la solución osmótica.

Determinación de la difusividad efectiva constante sin resistencia externa.

Al resolver el problema de optimización representado por la Eq. (11) en una hoja de

cálculo, con “De” constante, y asumiendo que no hay resistencia representativa en la

transferencia de masa en la solución osmótica, se obtiene el siguiente resultado:

Con una difusividad de 9,23E-10 m2/s, que es del mismo orden de magnitud al

reportado en la literatura (Rastogi y Raghavarao, 2004). Al comparar el valor promedio

de la humedad en la fruta experimental y calculada a partir del modelo, se obtiene la

Fig. 5.

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0 1 2 3 4 5 6 7 8Tiempo (Horas)

Hum

edad

pro

med

io (%

Experimental

Segunda ley de Fick

Fig. 5. Variación de la humedad promedio en el cubo de piña respecto al tiempo con “Def” constante

La Fig. 5 muestra la humedad promedio experimental y la calculada de la piña

respecto al tiempo. Puede verse que aunque las dos curvas tienen una tendencia similar

y presentan un desfase apreciable en los valores de humedad que predice el modelo.

-1

-0,7

5

-0,5

-0,2

5

0,25 0,

5

0,75 1

-1

-0,75

-0,5

-0,25

0,25

0,5

0,75

1

Longitud z del cubo de piña (cm)

Longitud y del cubo de piña

(cm)

0,5-0,6

0,4-0,5

Fracción en peso - base húmeda (w/w)

z

x

y

Cómo varía la humedad sobre la superficieYZ, con

X = 0

Distancia z (cm)

“Zonas de humedad”

en t = 7,9hr

y (cm)

z

x

y

Cómo varía la humedad sobre la superficieYZ, con

X = 0

Distancia z (cm)

“Zonas de humedad”

en t = 7,9hr

y (cm)

Fig. 6. Perfil de humedad en un cubo de piña de longitud 2 cm después de 7,9 horas

de operación

El perfil de humedad dentro de la fruta se presenta en la Fig. 6. Allí se indica que en

una superficie x = 0 después de 7,9 horas de osmodeshidratación, la superficie tiene un

alto grado de deshidratación, y que prácticamente en todas las direcciones del cubo (y y

z) se ha alcanzado el máximo estado de deshidratación.

Sin embargo, teniendo en cuenta el desfase que se presenta entre la humedad

promedio calculada y la experimental, puede decirse que este perfil no representa

adecuadamente lo que sucede al interior del cubo de piña.

Efecto de la resistencia externa a la transferencia de masa sobre la difusividad

efectiva.

Cuando se asume que “Def” puede ser una función exponencial de la humedad

promedio se obtiene un mejor ajuste entre la curva experimental y la curva calculada

con el modelo matemático, este resultado está en la Fig. 7.

0,70

0,74

0,78

0,82

0,86

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo(Horas)

Hum

edad

pro

med

io (%

Humedad promedioexperimentalHumedad promediocalculada

a)

0,76

0,78

0,80

0,82

0,84

0,86

0,88

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo (Horas)

Hum

edad

pro

med

io (%

Humedad promedioexperimentalHumedad promediocalculada

b)

Fig. 7. Variación de la humedad promedio en el cubo de piña respecto al tiempo. a) asumiendo que no hay resistencia significativa a la transferencia de masa en la solución osmótica. b) asumiendo que hay una resistencia significativa a la transferencia de masa

en la solución osmótica.

A pesar del mejor ajuste logrado en estos dos casos, se ve que los datos

experimentales tienen una tendencia diferente a la que predice el modelo, esto podría

deberse a los mecanismos de transferencia de masa, diferentes a la difusión.

También puede verse de la Fig. 7 que no hay variación apreciable en la

representación que se tiene del fenómeno, l oque indicaría que la resistencia externa a la

transferencia de masa no es controlante en la operación.

Efecto de la humedad promedio de la piña en la difusividad efectiva

El comportamiento de “Def” respecto a la humedad promedio puede verse en la

Fig.8.

0,00E+00

1,00E-10

2,00E-10

3,00E-10

4,00E-10

5,00E-10

6,00E-10

0,72 0,74 0,76 0,78 0,8 0,82 0,84 0,86 0,88Humedad promedio de la piña

(%w/w)

De

(m2/

s

No hay resistencia a T.M.apreciableHay resistencia a T.M.apreciable

Fig.8. Comportamiento de “Def” respecto a la humedad promedio de un cubo de piña

Las ecuaciones 16 y 17 representan el comportamiento de la difusividad efectiva

respecto a la humedad promedio en la piña cuando no hay resistencia significativa a la

transferencia de masa en la solución osmótica y cuando si existe resistencia significativa

a la transferencia de masa en la solución osmótica respectivamente.

0517,01009,9C

eEDe −= (16)

0507,01011,7C

eEDe −= (17)

De la Fig 8 puede observarse que la difusividad efectiva disminuye con la humedad

promedio de la piña, y que puede tener un efecto significativo sobre la misma.

Igualmente puede verse que la resistencia externa no hay un efecto significativo sobre la

difusividad efectiva. En el caso de los perfiles de humedad al interior del cubo, se

observa que no hay diferencia apreciable cuando se considera que no hay resistencia a la

transferencia de masa en la solución osmótica y cuando se considera que ésta es

apreciable. En las dos casos el modelo predice que al interior del cubo habrá cambios en

la humedad en las direcciones y y z. Por la simetría que se presenta en el cubo

igualmente se presentarán cambios en la humedad en la dirección x.

Debe resaltarse que la zona interior del cubo, de acuerdo con el resultado del modelo

matemático, no se deshidratará apreciablemente, por lo que resultaría atractivo evaluar

cual sería el tiempo necesario para llegara un nivel adecuado de deshidratación interna o

cual debería ser el tamaño adecuado del cubo para alcanzar un alto grado de

deshidratación.

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1-1

-0,75

-0,5

-0,25

0,25

0,5

0,75

1

Longitud z del cubo de piña(cm)

Longitud y del cubo de piña

(cm)

0,8-0,90,7-0,80,6-0,70,5-0,60,4-0,5

a)

Fracción en peso - base húmeda (w/w)

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0,25 0,5 0,75 1-1

-0,75

-0,5

-0,25

0,25

0,5

0,75

1

Longitud z del cubo de piña (cm)

Longitud y del cubo de piña

(cm)

0,8-0,9

0,7-0,8

0,6-0,7

0,5-0,6

0,4-0,5

b)

Fracción en peso - base húmeda (w/w)

Fig. 9. Perfiles de humedad en un cubo de piña con L 2 cm, en una superficie YZ y

X = 0, después de 7,9 horas de deshidratación osmótica. a) asumiendo que no hay resistencia significativa a la transferencia de masa en la solución osmótica. b)

asumiendo que hay resistencia significativa a la transferencia de masa en la solución osmótica.

El comportamiento mostrado en la Fig. 9. concuerda con lo descrito en la literatura

cuando se realiza la deshidratación osmótica en tiempos cortos de tratamiento. (Chiralt

y Talens, 2005)

Conclusiones

El modelo matemático de difusión de transferencia de masa en la deshidratación

osmótica de piña, variedad perolera, en forma de cubos permitió determinar

experimentalmente valores de la difusividad efectiva de la fruta.

El modelo planteado permitió establecer perfiles internos de humedad de la fruta, lo

cual indica que las zonas internas de la piña no se deshidratan a altos niveles en

tratamientos de tiempo corto. Referencias

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Agradecimientos

Los autores expresan su agradecimiento a COLCIENCIAS- Instituto Colombiano

para el Desarrollo de la Ciencia y la Tecnología "Francisco José de Caldas”- por el

soporte financiero. Al Instituto de Ciencia y Tecnología de los Alimentos (ICTA) y al

Laboratorio de Ingeniería Química (LIQ) de la Universidad Nacional de Colombia –

Sede Bogotá.