¿Te has preguntado lo siguiente?

Cuando nos plantean un problema de aritmética ¿cómo podemos saber si hay que multiplicar o dividir?

Si lo que hay que hallar es cuánto habrá en total ¿hay que multiplicar o dividir?

Este libro digital te ayudará a conocer qué son la división y la multiplicación, cuándo las debes de utilizar, así como

var ios métodos para real izar las operaciones.

Además de que es importante poner atención a lo que se pide en un problema

para decidir que operaciones utilizar, es conveniente tener una estrategia como la siguiente:

Primeramente hay que hacer una estimación para obtener un resultado aproximado, luego se puede pasar a la operación y

finalmente al uso de la calculadora para la verificación.

Recuerda practicar mucho para hacerte todo un experto.

PREFACIO

IntroducciónDemuestra tus habilidades para multiplicar y dividir en

el siguiente widget.

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CAPÍTULO 1

Multiplicación

Usamos la multiplicación, por ejemplo, cuando tenemos que aumentar una misma cantidad un número

determinado de veces. Una situación de este tipo aparece con el problema de contar

un grupo formado de conjuntos que tienen la misma cantidad de cosas.

Por ejemplo, si al doble de bolsas le corresponde el doble de canicas, debo multiplicar para saber cuántas

canicas tengo. Si compré 5 bolsas

conteniendo 12 canicas cada una de ellas, sabré el número que compré multiplicando 5 x 12.

Este truco solo sirve para números cercanos y menores a 100.

PELÍCULA 1.1 Conoce algunos trucos de la multiplicación.

Video

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Para conocer más sobre la operación de la multiplicación pulsa en la imagen interactiva de la parte de abajo.

IMAGEN INTERACTIVA 1.1

1.1 La operación de la multiplicación

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Procedimiento:

1. Nos fijamos en el siguiente dígito a la derecha de aquél al cual se redondea:

• Si dicho dígito es mayor o igual que 5 entonces el dígito que se redondea aumenta en uno: caso1.

• Si dicho dígito es menor que 5 entonces el dígito que se redondea mantiene su valor: caso 2.

2. Los demás números a la derecha del cual se redondea se vuelven ceros.

Estimación es encontrar un número cercano a una cantidad dada.

Ejemplo:600 es una estimación de 584 cuando se redondea a la centena.

Redondeo: Es la determinación de un número por aproximación de manera que sea más fácil usarlo para cálculos con estimaciones.

Cuando se redondea un número se ajustan sus dígitos al número más cercano. Puede ser la decena más cercana, la centena más cercana, la unidad de millar más cercana, etc.

1.2 Estimación

Ejemplo 2 (corresponde al caso 2)Redondear 239 a la centena más cercana.El siguiente dígito a la derecha del de las centenas, aquél al cual se redondea, es el 3.Se compara al 3 con el 5.3<5 Entonces el dígito que se redondea, el de las centenas, permanece. El 2 mantiene su valor.A la derecha de él se hallan el 3 y el 9, los cuales se vuelven cero.239 redondeado a la centena más cercana es 200.

Ejemplo 3 (corresponde al caso 2)Redondear 3274 a la decena más cercana.El siguiente dígito a la derecha del de las decenas, aquél al cual se redondea, es el 4.Se compara al 4 con el 5.4<5 Entonces el dígito que se redondea, el de las decenas, mantiene su valor. El 7 permanece.A la derecha de él se halla el 4, el cual se vuelve cero.3274 redondeado a la decena más cercana es 3270.

Ejemplo 1 (corresponde al caso1)Redondear 239 a la decena más cercana.El siguiente dígito a la derecha del de las decenas, aquél al cual se redondea, es el 9.Se compara al 9 con el 5.9>5 Siendo 9 mayor que 5, entonces el dígito que se redondea, el de las decenas, aumenta en uno. El 3 aumenta a 4.A la derecha de él se halla el 9, el cual se vuelve cero.239 redondeado a la decena más cercana es 240.

Ejemplo 4 (corresponde al caso 1)Redondear 3274 a la centena más cercana.El siguiente dígito a la derecha del de las decenas, aquél al cual se redondea, es el 7.Se compara al 7 con el 5.7>5 Entonces el dígito que se redondea, el de las centenas, aumenta su valor. El 2 aumenta a 3.A la derecha de él se hallan el 7 y el 4, los cuales se vuelven cero.3274 redondeado a la centena más cercana es 3300.

Redondeo

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Ejemplo 5 (corresponde caso 1)

Redondear 2451 a la centena más cercana.

El siguiente dígito a la derecha del de las centenas, aquél al cual se redondea, es el 5.

Se compara al 5 con el 5.

5=5

Entonces el dígito que se redondea, el de las centenas, aumenta en uno.

El 4 aumenta a 5.

A la derecha de él se hallan el 5 y el 1, los cuales se vuelven cero.

2451 redondeado a la centena más cercana es 2500.

Es posible aproximar un producto usando el redondeo pero las aproximaciones pueden alejarse de manera notable del resultado real. Es importante tener en cuenta que si ambos factores al redondearse se incrementan entonces la aproximación estará sobre el valor del producto exacto. Si ambos factores disminuyen al redondearse entonces la aproximación será inferior al valor del producto exacto.

Ejemplo

Aproximar el resultado de la siguiente multiplicación usando redondeo a la decena: 39 x 18

39 redondeado a la decena más cercana es 40.18 redondeado a la decena más cercana es 20.

El resultado de 39 x 18 puede tener una aproximación con el producto 40 x 20 = 800.

39 x 18 ≈ 800

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IMAGEN INTERACTIVA 1.2

La operación 485 x 9 = ¿? se tiene que aproximar en el siguiente problema para encontrar una estimación. Es decir, podemos saber más o menos el resultado sin realizar la operación descrita lo cual nos ahorra tiempo.

Se vendieron 485 boletos para la Feria del Libro Infantil. El costo de cada boleto fue de 9 pesos. ¿Cuánto dinero pudo reunirse aproximadamente?

a) Aproximadamente 5000b) Aproximadamente 1750c) Aproximadamente 8500

Pulsa las flechitas para ir avanzando en la explicación de la solución del problema anterior.

Ejemplo de estimación Solución

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REPASO 1.1. Siguiendo el ejemplo anterior resuelve estos problemas.

Comprobar respuesta

Pregunta 1 de 2En un auditorio hay 18 hileras con 32 sillas cada una. ¿Aproximadamente cuántas

sillas hay en total?

A. Casi 500

B. Casi 600

C. Casi 700

Ejercicio

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Los algoritmos son métodos de cálculo que se siguen paso por paso.

El algoritmo más usado de la multiplicación, el convencional, es un procedimiento basado en la propiedad distributiva y la descomposición de los números de acuerdo al valor posicional de cada una de sus cifras. Es importante tener en mente los múltiplos de 10 para lograr el dominio del algoritmo. Se trabaja de derecha a izquierda, multiplicando los dígitos del multiplicador por el multiplicando obteniendo así productos parciales los cuales se suman para alcanzar el producto final.

REPASO 1.2

Comprobar respuesta

De las siguientes multiplicaciones sólo una es correcta y el resto son incorrectas. Señala cual está bien resuelta.

IMAGEN INTERACTIVA 1.3

Pulsa las flechas para ver un ejemplo del uso del

método.

1.3 Algoritmo convencional

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Multiplicación por columnas

Este método que puede usarse alternativamente se basa en la multiplicación de cada dígito del multiplicando por el multiplicador. Cada producto se escribe como sumando de la suma que nos da el resultado total.

Observa este video para ver como una alumna aplica este

método.

PELÍCULA 1.2 Aplicación del método por columnas

IMAGEN INTERACTIVA 1.4

Pulsa las flechas para ver el ejemplo.

1.4 Métodos alternativos

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Video

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REPASO 1.3 Usando el cálculo por columna encuentra el resultado de la siguiente situación:

Comprobar respuesta

Una fábrica de caramelos produce cajas especiales para los centros comerciales, las

cuales tienen 643 caramelos. Una tienda compró 8 cajas especiales de caramelos, ¿Cuántos

caramelos compró en total? Elige la operación y respuesta correctas.

Cuando conocemos varios métodos para

resolver un problema es más sencillo encontrar la

solución.

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Por descomposición

La descomposición en la multiplicación se lleva a cabo descomponiendo el multiplicando en unidades, decenas, centenas y otros valores de posicionales.

Cada parte de la descomposición se mult ipl ica separadamente y después se suma los productos.

Descomposición arbitraria.

Para multiplicar 320 x 70 podemos escribir 70 como:

70 = 50 + 20

320 x 70 = 320 x (50 + 20) = 16000 + 6400 = 22400

Descomposición formal o convencional.

Para multiplicar 247 x 50 podemos escribir 247 como:

247 = 200 + 40 + 7

247 x 50 = (200+40+7) x 50 = 200 x 50 + 40 x 50 + 7 x 50 = 10000 + 2000 + 350 = 12350

Observa que la descomposición convencional es parte del método de multiplicación por columnas.

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REPASO 1.4

Comprobar respuesta

Señala cual de las siguientes opciones representa una correcta descomposición de la multiplicación para el

cálculo de 325 x 8.

Uso de la calculadora

La descomposición en la multiplicación s e e f e c t ú a d e s c o m p o n i e n d o e l multiplicando en valores de posición: unidades, decenas, centenas, etc. o de otra forma que sea útil.

La calculadora, en su uso permitido por el profesor, favorece el desarrollo de habilidades.

Pulsa las flechas para ver otro

ejemplo del método de descomposición

para la multiplicación.

IMAGEN INTERACTIVA 1.5

Pulsa las flechas para ver el ejemplo.

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PELÍCULA 1.3. Método de líneas para multiplicar.¿Sabías que existen otros

métodos como el de líneas, una forma sencilla de multiplicar? Observa el

siguiente video.

Video

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Ejemplo de aplicación

En este ejercicio se utilizaron los siguientes procedimientos: se hizo una estimación, se halló el resultado con el método de cálculo por columnas y se comprobó con la calculadora.

Héctor sale con su papá de fin de semana de México a Tampico y recorren 485 km en auto. Si durante dos meses hicieron 8 viajes iguales ¿cuántos kilómetros su auto recorrió durante esos viajes en esos fines de semana?

Veamos cómo se resolvió

este problema.

Estimación

485 x 8 ≈ 500 x 8 = 4000

P a r a r e d o n d e a r 4 8 5 tomamos de los números redondos más cercano el más conveniente. En este caso el número 500.

Cálculo por columnas

Sabemos que el resultado es casi

4000.

Comprobación con calculadora

Actividad

REPASO 1.5

Comprobar respuesta

Don Matías tiene 236 estampillas y las vende a $4 pesos cada una. ¿Cuánto recibirá don Matías por

su venta?

A. $100 pesos

B. $944 pesos

C. $948 pesos

REPASO 1.6 Ejercicio de repaso

Comprobar respuesta

Arrastra y posiciona correctamente los nombres de los métodos o algoritmos que corresponden a

cada imagen.

Descomposición

Descomposición

Por columnas

Por columnas

Estimación

Estimación

Convencional

Convencional

Utiliza el algoritmo que desees para encontrar la solución del siguiente problema.

CAPÍTULO 2

La divisiónLa d iv is ión es la operación inversa a la multiplicación. En la división se tienen dos números inicialmente: el dividendo y en divisor. Se busca el número de veces el divisor “quepa” dentro el dividendo y a dicha cantidad se le llama el cociente.

Usamos la división, por ejemplo, cuando tenemos que repartir una cantidad entre varias partes iguales.

Una situación típica la tenemos con el problema de distribuir dulces entre un grupo de amigos haciéndolo de manera que les toque la misma cantidad a cada uno.

Por ejemplo, si tengo 75 dulces, para saber cuántos les tengo que dar a cada uno de mis 15 amigos se llega al resultado dividiendo 75 ÷ 15. En este caso, les tendría que dar 5 dulces a cada uno.

20 entre 4 es igual a

cinco.

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División entera

Si el divisor no “cabe” un número entero de veces en el dividendo se tiene una “división entera” y se tiene además un resto o residuo .

Dividendo ÷ divisor = cociente + resto

Ejemplo: 28 ÷ 9 = 3 sobra 1

Entonces el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto.

Dividendo = divisor x cociente + resto

En el ejemplo anterior: 28 = 9 x 3 + 1

División exacta:

Cuando el divisor “cabe” un número entero de veces en el d iv idendo se t iene una “división exacta”.

Ejemplo: 24 ÷ 6 = 4

Entonces el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente:

Dividendo = divisor x cociente En el ejemplo anterior: 6 x 4 = 24

IMAGEN INTERACTIVA 2.1

2.1 La operación de la división

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Útil para el cálculo mental.

Uno de los procedimientos que se usan en cálculo mental para la división es la descomposición: Primeramente se desarrolla la descomposición aditiva del dividendo. Posteriormente, cada uno de los sumandos se divide entre el divisor. Al final, los cocientes resultantes se suman.

Ejemplo de cómo hacer la división por descomposición:

REPASO 2.1

Comprobar respuesta

Identifica el uso correcto del algoritmo o método de descomposición.

IMAGEN INTERACTIVA 2.2

Pulsa las flechas para ver el ejemplo.

2.2 División por descomposición

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2.3 Algoritmo convencional

El método más común es el algoritmo convencional. Es una sucesión de operaciones que se repite en este orden:

divide, multiplica y resta.

REPASO 2.2

Comprobar respuesta

Entre las siguientes divisiones hay una sola que es correcta y el resto son incorrectas.

Señala cuál de ellas es la correcta.

IMAGEN INTERACTIVA 2.3. Ejemplo del uso del algoritmo convencional.

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Este método alternativo sirve para divisiones que tienen de dividiendo un número que finaliza en cero y el divisor es un múltiplo de 10.

Procedimiento: El divisor, que es un múltiplo de 10, se expresa como un producto de factores enteros: siendo uno de ellos la más alta potencia de 10 que es posible.

Ejemplo: dividir 8400 ÷ 400. Para dividir entre 400 expresamos 400 como 100 x 4. El resultado de la operación 8400 ÷ 400 lo hallamos del siguiente modo: A 8400 lo dividiremos entre 100 y luego entre 4.

REPASO 2.3

Comprobar respuesta

Elige el inciso que contiene la operación y respuesta correctas.

IMAGEN INTERACTIVA 2.4

Pulsa las flechas del widget para observar la operación.

Ejemplo de estimación

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Ejemplo de aplicación

Veamos un ejemplo de aplicación en un problema.

El maestro de 4.º grado de primaria compró 630 galletas para repartirlas entre sus 30

alumnos. ¿Cuántas galletas les dará a cada niño?

Veamos cómo se resuelve

este problema.

Primero resolvamos el problema con el algoritmo convencional.

Usemos el método alternativo en el cual se realiza la división de un número que termina en cero entre un

múltiplo de 10.

630 ÷ 30 = 630 ÷ (10 x 3) = (630 ÷ 10) ÷ 3 = 63 ÷ 3 = 21

Uso de la calculadora: Ahora haz la comprobación

630 ÷ 30 = 21

Ahora vamos a usar el algoritmo por descomposición.

630 ÷ 30 = (600+30) ÷ 30 = (600÷30) + (30÷30) = 20 + 1 = 21

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Actividad

Muy bien es tiempo de poner a prueba lo que has aprendido.

Es tu turno para resolver un problema como el que has visto

en el ejemplo.

Comprobar respuesta

Pregunta 1 de 2Identifica que método se ha utilizado en cada caso.

Algoritmo convencional

Algoritmo convencional

Descomposición

Descomposición

¡Felicidades! Pudiste aprender, por muchos métodos, cómo resolver problemas con la multiplicación y la división. ¿Reconoces en qué te puede ayudar el saber esto en tu vida cotidiana? ¿Viste lo sencillo que multiplicaron con el método por líneas? Investiga más acerca de las maneras en que puedes resolver algunos problemas. ¡Sigue practicando!

Actividad metacognitiva:

¿Qué método te pareció más sencillo? Después de responder a la anterior pregunta, contesta: ¿Por qué te pareció el más sencillo?¿Cuánto aprendí de todas las estrategias explicadas?¿De qué otra manera se podría haber hecho?¿Es lógico lo que afirmas?

Para repasar lo que aprendiste, contesta el examen en línea “Multiplico y divido para resolver problemas”.

Presiona aquí

Cierre

Título: Multiplico y divido para resolver problemas

Tema: Actividades de aplicación y resolución de problemas con operaciones  de multiplicación y división

Horas o sesiones asignadas: A evaluar

Asignatura: Matemáticas

Grado: 4.º de primaria

Unidad o Bloque: III y IV

Descripción:

Este material es para que los alumnos deduzcan, de la información de diferentes tipos de problemas, la correcta elección de las operaciones de multiplicación y división para que puedan resolver los ut i l izando procedimientos complementarios.

El propósito de este material es ayudar al estudiante a conocer cómo estimar una solución usando la multiplicación y la división hasta desarrollar una verificación formal.

Esto trasladado a un contexto de la vida cotidiana puede resultar de suma relevancia para las actividades del estudiante de compra-venta.

Habilidades a desarrollar en este libro digital:

El estudiante practicará la solución de algoritmos de división y multiplicación para que resuelva problemas matemáticos reales vinculados a su contexto mediante el uso de diversos procedimientos que incluyan el manejo de la calculadora y la práctica del cálculo mental.

Habilidades transversales:

-Tecnológicas: El estudiante conocerá y desarrollará habilidades de la web 2.0, del uso de tecnología móvil y recursos de una plataforma educativa para utilizarlas como recursos de apoyo al aprendizaje, mediante el uso de un ipad y de los recursos de la Web.

-Lectura: El estudiante desarrollará su habilidad de comprensión lectora y el hábito de la lectura con la finalidad de que esta habilidad sirva a su desarrollo cognitivo en otras disciplinas mediante la lectura de un ibook.

COMPETENCIAS QUE SE FAVORECEN: RESOLVER PROBLEMAS DE MANERA AUTÓNOMA • COMUNICAR INFORMACIÓN MATEMÁTICA • VALIDAR PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS MANEJAR TÉCNICAS

EFICIENTEMENTE.

COMPETENCIAS QUE SE FAVORECEN: RESOLVER PROBLEMAS DE MANERA AUTÓNOMA • COMUNICAR INFORMACIÓN MATEMÁTICA • VALIDAR PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS MANEJAR TÉCNICAS

EFICIENTEMENTE.

Aprendizajes esperados.

Comprenderá qué es un algoritmo.

Realizará un procedimiento de algoritmo de división y multiplicación.

Resolverá problemas matemáticos relacionados con su vida diaria.

Utilizará la calculadora para resolver problemas de división y multiplicación.

Practicará la resolución de operaciones de división y multiplicación mediante el cálculo mental.

Referencia de ejercicios.

Repaso 2.1

Repaso 2.2

Repaso 2.3

Repaso 2.4

Repaso 2.5

Repaso 2.6

Repaso 3.1

Repaso 3.2

Repaso 3.3

Imagen interactiva 3.3

Referencias bibliográficas(s.f). Número y operaciones. Buenos Aires: Ministerio de Educación. Recuperado de http://escritoriodomiciliaria.educ.ar/wp-content/uploads/numero.pdf.

Galván, S., et al. (s.f.). La estimación, una forma importante de pensar en matemáticas. Viedma: Consejo Provincial de Educación Recuperado de http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL000516.pdf.

(s.f.). Visual Mathematics Dictionary Online. Carson City: Edu2000 America Inc. Recuperado de http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/r/rounding.htm.

Isoda, M. y Olfos R. (s.f.). Enseñando a multiplicar números de varias cifras. Valparaíso: Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Recuperado de http://ima.ucv.cl/estudiodeclases/multiplicaci%C3%B3n_pdf_caps/Pags_149-191_Parte-3A-MULTIPLICACION-Copyright.pdf.

Moreno, M.L. (s.f.). La incorporación de las tecnologías de la información la comunicación en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Recuperado de http://www.setab.gob.mx/edu_basica/superacion_academica/pdf/cursos_generales/matematicas/mate_tic_prim.pdf.

Real Academia Española. (2001). Diccionario de la lengua española (22.a ed.). Madrid: Real Academia Española. Recuperado de http://www.rae.es/rae.html.

Actividades finales y apéndice

El contenido académico de este libro fue elaborado por el profesor:

Daniel W. Lechuga Ballesteros

© Aula24horas

Algoritmo

Conjunto ordenado de operaciones que permite hallar la solución de un problema.

Términos del glosario relacionados

Índice

Capítulo 1 - Multiplicación

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Alternativo

En Actividades de cualquier género, especialmente culturales, que se contraponen a los modelos oficiales comúnmente aceptados.

Términos del glosario relacionados

Índice

Capítulo 1 - MultiplicaciónCapítulo 2 - La división

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Aritmética

Parte de la matemática que estudia los números y las operaciones que se hacen con ellos.

Términos del glosario relacionados

Índice

Prefacio - Prefacio

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Convencional

Aceptado mayoritariamente.

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Índice

Capítulo 1 - Multiplicación

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Descomposición

1 Separar las diversas partes o elementos que forman un compuesto o un todo:

2 Desorganizar o desbaratar determinada cosa.

Términos del glosario relacionados

Índice

Capítulo 1 - MultiplicaciónCapítulo 2 - La división

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Dígitos

[número, cantidad] Que se representa mediante una sola cifra.

Términos del glosario relacionados

Índice

Capítulo 1 - Multiplicación

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Método

Modo ordenado y sistemático de proceder para llegar a un resultado o fin determinado.

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Índice

Capítulo 1 - Multiplicación

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