Apuntes Matrices P2

=1

2

0 1 5−1 0 −3−5 3 0

=

01

2

5

2

−12

0 −32

−52

3

20

• Luego

15

2−12

5

28

1

2

−12

1

22

+

01

2

5

2

−12

0 −32

−52

3

20

=

1 3 22 8 −1−3 2 2

= A

Definition 28 Sea A ∈ Mn(K)Diremos que A es Ortogonal.Si y solo si A ·At= In y At ·A = In• Ejemplos• Como (In)t = In y In · In = In entonces In es ortogonal

• Sea A = 0 0 11 0 00 1 1

luego A ·At =

0 0 11 0 00 1 0

0 1 00 0 11 0 0

=

1 0 00 1 00 0 1

y At·A =

0 1 00 0 11 0 0

0 0 11 0 00 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

Por lo tanto A es una matriz Ortogonal

2.1.12 Matrices Invertibles

• Por la propiedadM− 5 de la multiplicacion, sabemos que enMn(K) existen matricesno nulas que no son invertibles, es por ello que podemos definir ( o recordar ) losiguiente.

Definition 29 Sea A ∈ Mn(K)Diremos que A es Invertible.Si y solo si ∃A ∈ Mn(K), A ·A= In y A ·A = In• Ejemplos

44

• EnMn(R)

Sea A =

1 4 12 4 13 5 1

entonces A es invertible

porque Existe A=

−1 1 01 −2 1−2 7 −4

y compruebe que :

1 4 12 4 13 5 1

−1 1 01 −2 1−2 7 −4

=

1 0 00 1 00 0 1

=

−1 1 01 −2 1−2 7 −4

1 4 12 4 13 5 1

• Observacion:Si A ∈ Mn(K) es Invertible, entonces la matriz A que garantiza la definicion deinvertible es unica, en efecto :

Proposicion:

Si A,A ,B ∈ Mn(K) tal que :1) AA = In2) AA = In

3) AB = In4) BA = In

entonces A= B

Demostracion:

Sabemos que la multiplicacion es asociativa luego :

A = A In3)= A (AB)

M−1= (AA)B

2)= InB = B

luego A= B

Luego A ∈ Mn(K) es Invertible, entonces a esta unica matriz A tal que:

1) AA = In2) AA = In

se le llama la matriz inversa de A y se denota por A = A−1

Es decir A ∈ Mn(K) es Invertible ⇔ Existe A−1 tal que1) AA−1 = In2) A−1A = In

Proposicion

Si A,B ∈ Mn(K) son Invertibles

entonces AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1

Demostracion:

Como A,B son Invertibles, entonces existen A−1 y B−1

Buscamos matriz X tal que :1) (AB)X = In2) X (AB) = In

45

En 1) (AB)X = In / ·A−1Izq ⇒ (A−1A)BX = A−1

luego BX = A−1 / ·B−1Izq ⇒ (B−1B)X = B−1A−1

Conclusion X = B−1A−1

Comprobemos en 1) y 2)

1) (AB) (B−1A−1) = A (BB−1)A−1 = AA−1 = In y

2) (B−1A−1) (AB) = B−1 (AA−1)B = BB−1 = In

Luego: AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1

2.1.13 ¿Como determinar si una matriz A ∈ Mn(K) es invertible ?

• Un camino seria usar la definicion de matriz Invertible ,

analizando si existe una matriz X ∈ Mn(K) tal que :1) AX = In2) XA = In

(∗)

Cada ecuacion matricial de (∗) nos conduce a un sistema de n2 ecuaciones con n2incognitas, luego tal matriz X existiria Si solo si estos sistemas poseen soluciones.

• Por ejemploSea A =

a bc d

∈ M2(K)

Luego A es invertible ⇔ Existe X =x yz u

tal que1) AX = I22) XA = I2

De 1) obtenemos :a bc d

x yz u

=1 00 1

es decirax+ bz ay + bucx+ dz cy + du

=1 00 1

luegoax+ bz = 1cx+ dz = 0

ay + bu = 0cy+ du = 1

a) Deax+ bz = 1cx+ dz = 0

obtenemos

ax+ bz = 1 / · dcx+ dz = 0 / ·−b

+) adx− bcx = d

⇒ + ) (ad− bc)x = d⇒ x =d

(ad− bc)Luego x existe si y solo si ad− bc = 0

ax+ bz = 1 / ·−ccx+ dz = 0 / · a

+) − bcx+ adx = −c

⇒+ ) (ad− bc) z = −c⇒ z =

−c(ad− bc)

Luego z existe si y solo si ad− bc = 0

46

b) Deay + bu = 0cy+ du = 1

obtenemos

ay + bu = 0 / · dcy + du = 1 / ·−b

+) ady− bcy = −b

⇒ + ) (ad− bc)y = −b⇒ y =−b

(ad− bc)Luego y existe si y solo si ad− bc = 0

ay + bu = 0 / ·−ccy + du = 1 / · a

+) − bcu+ adu = a

⇒+ ) (ad− bc)u = a⇒ u =

a

(ad− bc)Luego u existe si y solo si ad− bc = 0

• Conclusion :

La matriz X =

d

(ad− bc)−b

(ad− bc)−c(ad− bc)

a

(ad− bc)

=1

(ad− bc)d −b−c a

tal que 1) AX = I2 existe si y solo si ad− bc = 0Veamos si la matriz X, encontrada satisface la ecuacion 2) XA = I2

XA =1


a bc d

=1

(ad− bc)da− bc 00 da− bc = I2

• Por lo tanto A = a bc d

∈ M2(K) es invertible si ysolo si ad− bc = 0

y A−1 =1


• Ejemplo:La matriz M =

8 92 3

es invertible puesto que 8 · 5− 9 · 2 = 22 = 0 y

M−1=1

22

3 −9−2 8

,

La matriz P =5 103 6

no es invertible puesto que 5 · 6− 10 · 3 = 0

• Ejercicio :

Analizar si A =

1 −2 03 −1 00 2 1

es invertible ,

si lo fuera hallar la inversa de A ( es decir hallar A−1 )

47

• De acuerdo a lo expresado anteriormente tenemos que, para determinar si una matrizA ∈ Mn(K) es invertible, debemos analizar Sistemas de n

2 ecuaciones con n2

incognitas. Esto hace que este procedimiento no sea recomendable para aplicarlo amatrices de orden n ≥ 4.Es por ello que vamos a estudiar otros procedimientos para determinar la invertibilidadde una matriz dada. Para ello vamos a definir el concepto de Operaciones Elementalespor Filas ( de la misma manera podemos ampliar este concepto a las columnas).

Definition 30 Sea F :Mmxn(K)→Mmxn(K)Diremos que F es una Operacion Elemental sobre las Filas (O.E.F.) de una MatrizSi y solo si F es una Funcion matricial del tipo:Tipo I ( F Intercambia o permuta entre si dos filas ):Para 1 ≤ i, j ≤m ; i = jFnot= Fij : Mmxn(K)→Mmxn(K)

A −→ Fij(A)donde Fij(A) es la matriz que se obtiene de la matriz A,al intercambiar entre si la Fila-i con la Fila-j, dejando invariante las demas filas de A.Tipo II ( F Multiplica una fila por un escalar no nulo ):Para 1 ≤ i ≤m ; α ∈ K, α = 0

Fnot= Fi(α) : Mmxn(K)→Mmxn(K)

A −→ Fi(α)(A)donde Fi(α)(A) es la matriz que se obtiene de la matriz A,al multiplicar por α la Fila-i, dejando invariante las demas filas de A.Tipo III ( F Suma a una fila otra fila multiplicada por un escalar ):Para 1 ≤ i, j ≤ n ; i = j α ∈ K,Fnot= Fij(α) : Mmxn(K)→Mmxn(K)

A −→ Fij(α)(A)donde Fij(α)(A) es la matriz que se obtiene de la matriz A,al sumar a la Fila-i la Fila-j multiplicada por α, dejando invariante las demas filas

• Ejemplos

SiA =

3 −1 2 a2 1 1 b1 −3 0 c

entonces F23(A) = 3 −1 2 a1 −3 0 c2 1 1 b

; F2(12)(A) = 3 −1 2 a1 1

212

1b

1 −3 0 c

;Si B = F13(−3)(A) =

0 8 2 a− 3c2 1 1 b1 −3 0 c

entonces F23(−2)(B) = 0 8 2 a− 3c0 7 1 b− 2c1 −3 0 c

Notemos que F23(−2)(B) = (F23(−2) ◦ F13(−3)) (A) ( ◦ composicion de funciones )

• Como las Operaciones Elementales por Filas (O.E.F.) son funciones entonces podemoshacer composiciones con ellas , es decir :

Si F1,F2,F3, .....Fs son O.E.F. y A ∈ Mn(K)

entonces podemos hallar (Fs ◦ Fs−1 ◦ · · · ◦ F3 ◦F2 ◦ F1) (A).Ejemplo :

48

Sea P =

1 5 32 1 04 1 8

, hallar (F23 ◦ F21(−2) ◦ F31(−4)) (P)(F23 ◦ F21(−2) ◦ F31(−4)) (A) = (F23 ◦ F21(−2)) (F31(−4)(P))

= (F23 ◦ F21(−2)) ( 1 5 32 1 00 −19 −4

) = F23(F21(−2) 1 5 32 1 00 −19 −4

)= F23(

1 5 30 −9 −60 −19 −4

) = 1 5 30 −19 −40 −9 −6

= Q

Es decir (F23 ◦ F21(−2) ◦ F31(−4)) (P) = 1 5 30 −19 −40 −9 −6

= Q

Notacion :

Si F1,F2,F3, .....Fs son O.E.F. y A ∈ Mn(K)

entonces la composicion funcional (Fs ◦ Fs−1 ◦ · · · ◦ F3 ◦ F2 ◦F1) (A)se representara por la notacion secuencial siguiente

AF1

.F2

.F3 · · · · · · .

Fs. = (Fs ◦ Fs−1 ◦ · · · ◦F3 ◦ F2 ◦ F1) (A)

En nuestros ejemplos tenemos :

• A = 3 −1 2 a2 1 1 b1 −3 0 c

F23

3 −1 2 a1 −3 0 c2 1 1 b

= F23(A)

A =

3 −1 2 a2 1 1 b1 −3 0 c

F13(−3) 0 8 2 a− 3c2 1 1 b1 −3 0 c

= F13(−3)(A)

A =

3 −1 2 a2 1 1 b1 −3 0 c

F13(−3)B =

0 8 2 a− 3c2 1 1 b1 −3 0 c

F12(−2) 0 8 2 a− 3c2 1 1 b1 −3 0 c

• P = 1 5 32 1 04 1 8

F31(−4) 1 5 32 1 00 −19 −4

F21(−2) 1 5 32 1 00 −19 −4

F23

1 5 30 −19 −40 −9 −6

= (F23 ◦ F21(−2) ◦ F31(−4)) (P)

Anteriormente planteamos el siguiente ejercicio ( que suponemos que ya lo realizo)

49

• Analizar si A = 1 −2 03 −1 00 2 1

es invertible

A =

1 −2 03 −1 00 2 1

F21(−3)F1

1 −2 00 5 00 2 1

F2(15)

F2

1 −2 00 1 00 2 1

F12(2)

F3

1 0 00 1 00 2 1

F32(−2)F4

1 0 00 1 00 0 1

= I3

Afirmamos que :A =

1 −2 03 −1 00 2 1

es invertible !!

Si lo fuera ¿Como hallamos la inversa ?

• Respuesta : I3F1

.F2

.F3

.F4

. = A−1

Busqueda de A−1

I3=

1 0 00 1 00 0 1

F21(−3) 1 0 0−3 1 00 0 1

F2(15)

1 0 0−35

150

0 0 1

F12(2)

−15

250

−35

150

0 0 1

F32(−2)

−15

250

−35

150

65−251

= A−1

Comprobacion:

A ·A−1 = 1 −2 03 −1 00 2 1

−

15

250

−35

150

65−251

=

1 0 00 1 00 0 1

Ejercicio Probar que A−1·A = I3

Conclusion : A =

1 −2 03 −1 00 2 1

es invertible y A−1 =

−15

250

−35

150

65−251

Definition 31 Sean A,B ∈Mmxn(K)Diremos que A y B son Equivalentes por FilasSi y solo si ∃F1,F2,F3,F4, ...,Fs, O.E.F.tal que A

F1.

F2.

F3.

F4 · · · · · · Fs B

• Es decir dos matrices son equivalentes.por filas si y solo si una se obtiene de la otra alrealizar un numero finito de Operaciones Elementales Filas

50

Notacion :

• Si A y B son Equivalentes por Filas entonces denotaremos A ∼FB

De acuerdo a lo que hemos visto tenemos que :

Si P =

1 5 32 1 04 1 8

entonces

1 5 32 1 04 1 8

∼F

1 5 30 −19 −40 −9 −6

= Q

en efecto existen F1 = F31(−4),F2 = F21(−2),F3 = F23

tal que PF31(−4)

.F21(−2)

.F23

1 5 30 −19 −40 −9 −6

= Q

• Nota:En general dada dos matrices P,Q ∈Mmxn(K), no es trivial deteminar si P ∼

FQ ,

pues no es facil hallar las O.E.F.que me permiten obtener Q a partir de P.

Sin embargo es claro que si F1,F2,F3,F4, ...,Fs, son O.E.F

entonces A ∼F(Fs ◦ Fs−1 ◦ · · · ◦ F3 ◦ F2 ◦ F1) (A) ∀A ∈Mmxn(K)

Formalizacion de la Afirmacion dada anteriormente en el ejercicio de O.E.F.

• Proposicion: Sea A ∈Mn(K)

Si A ∼FIn entonces A es invertible

Habiamos afirmado que: Si existian F1,F2,F3,F4, ...,Fs, O.E.F.

tal que AF1

.F2

.F3

.F4 · · · · · · Fs In ( es decir A ∼

FIn )

entonces A es invertible y que la inversa se obtenia de:

InF1

.F2

.F3

.F4 · · · · · · Fs A−1

De lo anterior podemos obtener un procedimiento para el analisis y determinacion dela inversa de una matriz dada (cuando ella exista)

• Sea A ∈Mn(K)

Consideremos la matriz ampliada (A |In ) ∈Mnx2n(K)

• Si (A |In ) ∼F(In |P) entonces A ∼

FIn y P = A

−1

En adelante por conveniencia de ahorro de tiempo y espacio usaremos una notacionsecuencial vertical

y denotaremos :()F1F2F3

() en lugar de .F1

.F2

.F3

.

51

• Ejercicio.

Sea A =

2 1 3 01 0 0 1−1 1 6 −1−2 −1 1 3

Solo usando O.E.F. analice si A es invertible, si lo es encuentre A−1

Sea

2 1 3 01 0 0 1−1 1 6 −1−2 −1 1 3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

F41(1)F32(1)

2 1 3 01 0 0 10 1 6 00 0 4 3

1 0 0 00 1 0 00 1 1 01 0 0 1

F12

F21(−2)

1 0 0 10 1 3 −20 1 6 00 0 4 3

0 1 0 01 −2 0 00 1 1 01 0 0 1

F32(−1)1 0 0 10 1 3 −20 0 3 20 0 4 3

0 1 0 01 −2 0 0−1 3 1 01 0 0 1

F23(−1)F43(−1)

1 0 0 10 1 0 −40 0 3 20 0 1 1

0 1 0 02 −5 −1 0−1 3 1 02 −3 −1 1

F34(−3)F23(−4)

1 0 0 10 1 0 00 0 0 −10 0 1 1

0 1 0 01 −2 0 00 1 1 01 0 0 1

F43(1)F43

1 0 0 10 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

0 1 0 030 −53 −17 12−5 9 3 −2−7 12 4 −3

F14(1)F4(−1)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−7 13 4 −330 −53 −17 12−5 9 3 −27 −12 −4 3

Luego

2 1 3 01 0 0 1−1 1 6 −1−2 −1 1 3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

∼F1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−7 13 4 −330 −53 −17 12−5 9 3 −27 −12 −4 3

Por lo tanto A =

2 1 3 01 0 0 1−1 1 6 −1−2 −1 1 3

∼F1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

⇒ A es invertible

Ademas A−1 =

−7 13 4 −330 −53 −17 12−5 9 3 −27 −12 −4 3

52

Recordemos que las O.E.F. son funciones matriciales de la forma:

F :Mmxn(K)→Mmxn(K)

luego podemos estudiar algunas propiedades de ellas, desde el punto de vista de fun-ciones por ejemplo las O.E.F. son funciones invertibles .

Proposicion:

Si F es una O.E.F. entonces F es invertible

Demostracion:

Recordemos que una funcion f : X→ X es invertible

si y solo si Existe una funcion g : X→ X

tal que f ◦ g = Id y g ◦ f = Iddonde Id : X→ X tal que Id(x) = x,∀x ∈ XLa funcion g es unica y se llama la inversa de f y se denota por f−1= g

Si F es una O.E.F entonces F es del Tipo I o Tipo II o del Tipo III

1) Si F es del Tipo I entonces F = Fij con i = i

como AFij

.Fij

. = A =(Fij ◦ Fij) (A), ∀Aentonces (Fij ◦ Fij) (A) = A = Id(A), ∀Aluego Fij ◦ Fij= Id y Fij ◦ Fij= IdConclusion Fij es invertible y (Fij)

−1 = Fij

2) Si F es del Tipo II entonces F = Fi(α), con α = 0

como AFi(α)

.Fi(

1α). = A = Fi(

1α) ◦ Fi(α) (A), ∀A

entonces Fi(1α) ◦ Fi(α) (A) = A = Id(A), ∀A

luego Fi(1α) ◦Fi(α)= Id

Ademas como AFi(

1α).

Fi(α). = A = Fi(α) ◦ Fi( 1α ) (A), ∀A

entonces Fi(α) ◦Fi( 1α ) (A) = A = Id(A), ∀Aluego Fi(α) ◦ Fi( 1α )= IdConclusion : Fi(

1α) ◦ Fi(α)= Id y Fi(α) ◦ Fi( 1α )= Id

luego Fi(α) es invertible y (Fi(α))−1 = Fi( 1α )

3) Si F es del Tipo III entonces F = Fij(α)

como AFij(α)

.Fij(−α)

. = A =(Fij(−α) ◦ Fij(α)) (A), ∀Aentonces (Fij(−α) ◦ Fij(α)) (A) = A = Id(A), ∀A

53

luego Fij(−α) ◦ Fij(α)= IdAdemas como A

Fij(−α).

Fij(α). = A =(Fij(α) ◦ Fij(−α)) (A), ∀A

entonces (Fij(α) ◦ Fij(−α)) (A) = A = Id(A), ∀Aluego Fij(α) ◦ Fij(−α)= IdConclusion : Fij(−α) ◦Fij(α)= Id y Fij(α) ◦ Fij(−α)= Id = Idluego Fij(α) es invertible y (Fij(α))

−1 = Fij(−α)De acuerdo a lo probado en : 1), 2) y en 3) podemos concluir que F es invertible

En resumen :

Si F es una O.E.F. entonces F es invertible y :

a) (Fij)−1 = Fij

b) (Fi(α))−1 = Fi( 1α ) ; α = 0

c) (Fij(α))−1 = Fij(−α)

Ademas observemos que la inversa de una O.E.F es tambien una O.E.F y ambas sondel mismo tipo

Por ejemplo

(F32(−5))−1 = F32(−5); F52(−12)−1= F52(

12); F3(−12)

−1= F3(−2)

(F32)−1 = F32; (F3(−6))−1 = F3(−16)

2.1.14 Matrices Elementales ( M.E.)

Definition 32 Sea E ∈Mn(K)Diremos que E es una Matriz Elemental ( M.E.)Si y solo si ∃!,F O.E.F.tal que F(In) = E

es decir si y solo si existe una unica O.E.F, F tal que InFE

• Ejemplos

Si P =

1 0 0−1 1 00 0 1

; Q =1 0 0 00 0 1 00 0 0 30 1 0 0

; R = 1 00 −5 entonces

• La matriz P es una matriz elemental puesto que :

I3=

1 0 00 1 00 0 1

F21(−1) 1 0 0−1 1 00 0 1

= P ⇔ P =(F21(−1)) (I3)

• La matriz Q no es matriz elemental puesto que:

I3=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

F24

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

F2(3)

1 0 0 00 0 0 30 0 1 00 1 0 0

F23

1 0 0 00 0 1 00 0 0 30 1 0 0

=

Q

54

• La matriz R es una matriz elemental puesto que :

I2=1 00 1

F2(−5) 1 00 −5 = R ⇔ R =(F2(−5)) (I2)

De acuerdo a la definicion anterior tenemos que :

Si F es una O.E.F. entonces F(In) es una matriz elemental.

Como las matrices elementales provienen de la matriz identidad In al aplicarle una ysolo una O.E.F. entonces podemos distiguir tres tipos deM.E. de acuerdo al tipo deO.E.F. que la define

• NotacionSea E = F(In) una M.E.

i) Si F es del Tipo I , es decir F = Fij i = j entonces Fij(In)not= Eij

ii) Si F es del Tipo II , es decir F = Fi(α), α = 0 entonces Fi(α)(In)not= Ei(α)

iii) Si F es del Tipo III , es decir F = Fij(α), entonces Fij(α)(In)not= Eij(α)

En nuestros ejemplos tenemos que:

P =

1 0 0−1 1 00 0 1

not= E21(−1) = F21(−1)(I3);

R =1 00 −5 = E2(−5) = F2(−5)(I2)

• Si H =

1 0 00 −5 00 0 1

= E2(−5) = F2(−5)(I3)

Observemos que G y H se denotan por E2(−5), pero ellas no son iguales ¿Por que?• Las M.E. del Tipo I son las matrices Eij∈Mn(K) con i = j donde :

Eij =

1 0... 0 · · · 0

... 1 · · · · · · ...0 · · · 0 0 1 · · · 0...

...... 1

... · · · ...0 · · · 1 0 0 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

i

j

i · · · j

Esquema=

· · · ↑ ↑ · · ·← 0 1 →

... · · · ...← 1 0 →· · · ↓ ↓ · · ·

i...j

i j

55

• Las M.E. del Tipo II son las matrices Ei(α)∈Mn(K) con α = 0 ∈ K donde :

Ei(α) =

1 0... 0 · · · 0

... 1 · · · · · · ...0 · · · 1 0 0 · · · 0...

...... α

... · · · ...0 · · · 0 0 1 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

i

i

Esquema=

· · · ↑ · · ·

1 · · · 0← ... α

... →0 · · · 1

· · · ↓ · · ·

i

i

• Las M.E. del Tipo III son las matrices Eij∈Mn(K) con α ∈ K donde :

Eij =

1 0... 0 · · · 0

... 1 · · · · · · ...0 · · · 1 0 α · · · 0...

...... 1

... · · · ...0 · · · 0 0 1 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

i

j

i · · · j

Esquema=

· · · ↑ ↑ · · ·← 1 α →

... · · · ...← 0 1 →· · · ↓ ↓ · · ·

i...j

i j

• Ejercicio:1) Sean A ∈Mmxn(R) y Eij∈Mm(K) hallar Eij ·A

i→Eij·A =j→

1 0... 0 · · · 0

... 1 · · · · · · ...0 · · · 0 0 1 · · · 0...

...... 1

... · · · ...0 · · · 1 0 0 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

a11 a12 a13 · · · a1k · · · a1n... · · · · · · · · · · · · · · · ...ai1 ai2 ai3 · · · aik · · · ain

. . .

aj1 aj2 aj3 · · · ajk · · · ajn...

......

.... . .

...am1 am2 am3 · · · amk · · · amn

=

a11 a12 a13 · · · a1k · · · a1n... · · · · · · · · · · · · · · · ...aj1 aj2 ai3 · · · ajk · · · ajn

. . .

ai1 ai2 ai3 · · · aik · · · ain...

......

.... . .

...am1 am2 am3 · · · amk · · · amn

= Fij(A). Es decir Eij ·A = Fij(A)

• Ejemplo:

56

Sea A =

1 3 8 4 11 2 1 1 −1−1 3 2 1 08 1 −1 5 1

∈M4x5(R) luego sea E32∈M4(K) ¿Por que?

Luego

E32 ·A =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

1 3 8 4 11 2 1 1 −1−1 3 2 1 08 1 −1 5 1

=

1 3 8 4 1−1 3 2 1 01 2 1 1 −18 1 −1 5 1

= F32(A)

Es decir E32 ·A = F32(A) o bien AF32

. = E32 ·A

• Ejercicio:2) Sean A ∈Mmxn(R) y Ei(α)∈Mm(K) hallar Ei(α) ·A

Ei(α) ·A =i→

1 0... 0 · · · 0

... 1 · · · · · · ...0 · · · 1 0 0 · · · 0...

...... α

... · · · ...0 · · · 0 0 1 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

a11 a12 a13 · · · a1k · · · a1n... · · · · · · · · · · · · · · · ...

· · · · · ·ai1 ai2 ai3 aik ain

· · · · · ·...

......

.... . .

...am1 am2 am3 · · · amk · · · amn

=

a11 a12 a13 · · · a1k · · · a1n... · · · · · · · · · · · · · · · ...

· · · · · ·αai1 αai2 αai3 αaik αain

· · · · · ·...

......

.... . .

...am1 am2 am3 · · · amk · · · amn

= Fij(α)(A). Es decir Ei(α) ·A = Fij(α)(A)

• Ejemplo:

Sea A =

1 3 8 4 11 2 1 1 −1−1 3 2 1 08 1 −1 5 1

∈M4x5(R) luego sea E3(5) ∈M4(K)

Luego

E3(5) ·A =

1 0 0 00 1 0 00 0 5 00 0 0 1

1 3 8 4 11 2 1 1 −1−1 3 2 1 08 1 −1 5 1

57

=

1 3 8 4 11 2 1 1 −1−5 15 10 5 08 1 −1 5 1

= F3(5)(A)

Es decir E3(5) ·A = F3(5)(A) o bien AF3(5)

. = E3(5) ·A

• Ejercicio:3) Sean A ∈Mmxn(R) y Eij(α)∈Mm(K) Probar que Eij(α) ·A = Fij(α)(A)

• Ejemplo:

Sea A =

1 3 8 4 11 2 1 1 −1−1 3 2 1 08 1 −1 5 1

∈M4x5(R), luego sea E31(1) ∈M4(K)

Luego

E31(1) ·A =

1 0 0 00 1 0 01 0 1 00 0 0 1

1 3 8 4 11 2 1 1 −1−1 3 2 1 08 1 −1 5 1

=

1 3 8 4 11 2 1 1 −10 6 10 5 18 1 −1 5 1

= F31(1)(A)

Es decir E31(1) ·A = F31(1)(A) o bien AF31(1)

. = E31(1) ·A

• Conclusion:Hemos probado queM.E.-1 Proposicion: Si F es una O.E.F. y A ∈Mmxn(K).

entonces F(A) = E ·Adonde E es la M.E. asociada a F es decir E = F(Im)∈Mm(K)

Es decir : Si F una O.E.F. entonces

AF

. = F(A) = E ·A , E es la M.E. asociada F

En otras palabras aplicar una Operacion Elemental por Filas sobre una Matriz A

equivale a multiplicar por la izquierda con una M.E. a la matriz A

Demostracion:

En efecto como F es una O.E.F entonces

F es del Tipo I o Tipo II o del Tipo III

58

luego de los ejercicios 1), 2) y 3) podemos concluir que F(A) = E ·ALema: Si F1y F2 son O.E.F. y A ∈Mmxn(K)

entonces (F2◦F1) (A) = E2·E1·Adonde Ei es la M.E. asociada a la O.E.F. Fi para i = 1,2

Demostracion:

En efecto como F1 es una O.E.F y A ∈Mmxn(K).

entonces por la proposicion tenemos que F1(A) = E1·Aanalogamente como F2 es una O.E.F y E1·A ∈Mmxn(R)entonces por la poposicion F2(E1 ·A) = E2·(E1 ·A)Luego F2(F1(A)) = E2·(E1 ·A)⇒ (F2 ◦ F1) (A) = (E2·E1) ·A = E2·E1 ·A

M.E.-2 Generalizacion ( en notacion secuencial )

Si F1,F2,F3, ...,Fs, son O.E.F. y A ∈Mmxn(K) entonces

AF1

.F2

.F3 · · · · · · Fs . = Es ·Es−1 · · · ·E4 ·E3 ·E2 ·E1 ·A (∗)

Caso particular de (∗)

• Si F1,F2,F3, ...,Fs, son O.E.F. y In ∈Mn(K) entonces

InF1

.F2

.F3 · · · · · · Fs . = Es ·Es−1 · · · ·E 4 ·E3 ·E2 ·E1 · In

como Es ·Es−1 · · ·E3 ·E2 ·E1 · In = Es ·Es−1 · · ·E3 ·E2 ·E1Ejercicio

Sean E1,E2,E3, ...,Es ∈Mn(K) matrices elementales

Hallar P = Es ·Es−1 · · ·E3 ·E2 ·E1Respuesta: Como P es un producto deM.E. entonces P puede calcularse aplicandoa la matriz In O.E.F de la manera siguiente:

M.E.-3 InF1

.F2

.F3 · · · · · · Fs . = Es ·Es−1 · · · ·E4 ·E3 ·E2 ·E1 · In = P

donde Fi es la O.E.F. asociada a laM.E. Ei para i = 1,2, ..., s

Observe el orden de como se van aplicando O.E.F.

Ejemplo:

Calcular

P =

1 0 0−1 1 00 0 1

0 0 10 1 01 0 0

1 0 00 5 00 0 1

3 0 00 1 00 0 1

(∗∗)

Notemos que P = E21(−1) ·E13·E2(5) ·E1(3)luego

59

I3=

1 0 00 1 00 0 1

F1(3)

3 0 00 1 00 0 1

F2(5)

3 0 00 5 00 0 1

F13

0 0 10 5 03 0 0

F21(−1) 0 0 10 5 −13 0 0

= P

Ejercicio: Calcule P efectuando las multiplicaciones correspondientes

Recordemos que:

1) InFij

.Fij

. = In ⇒ In = EijEij

luego Eij es invertible y (Eij)−1 = Eij

2) si α = 0, InFi(α)

.Fi(

1α). = In ⇒ In = Ei(

1α)Ei(α)

InFi(

1α).

Fi(α). = In ⇒ In = Ei(α)Ei(

1α)

luego Ei(α) es invertible y (Ei(α))−1 = Ei( 1α )

3) InFij(α)

.Fij(−α)

. = In ⇒ In = Eij(−α)Eij(α)

InFij(−α)

.Fij(α)

. = In ⇒ In = Eij(α)Eij(−α)

luego Eij(α) es invertible y (Eij(α))−1 = Eij(−α)

Conclusion:

Las M.E. son invertibles

es decir

M.E.-4 Si E es unaM.E. entonces E es invertible y :

a) (Eij)−1 = Eij

b) (Ei(α))−1 = Ei( 1α ) ; α = 0

c) (Eij(α))−1 = Eij(−α)

Ademas observemos que la inversa de una M.E. es tambien una M.E. y ambas sondel mismo tipo

Por ejemplo

(E32(−5))−1 = E32(−5); E52(−12)−1= E52(

12); E3(−12)

−1= E3(−2)

(E32)−1 = E32; (E3(−6))−1 = E3(−16)

60

Vamos a Probar la proposicion:

Proposicion: Sea A ∈Mn(K)

Si A ∼FIn entonces A es invertible

Demostracion:

Como A ∼FIn entonces existen M.E. E1,E2,E3, ...,Es,tal que:

AF1

.F2

.F3 · · · · · · Fs . = In =Es · Es−1 · · ·E3 ·E2 · E1 ·A

P

Sea P = Es ·Es−1 · · ·E3 ·E2 ·E1 donde Ei = Fi(In), i = 1,2,3, ..., sComo P es un producto de M.E. ( por M.E.-4 son invertibles ), entonces P es unproducto de invertibles , luego Pes invertible

Luego si A ∼FIn , entonces existe P ∈Mn(K) invertible

tal que P ·A = InComo P ·A = In / ·P−1 izq⇒ A = P−1 / ·P der⇒ A ·P = In

es decir A ·P = In y P ·A = InConclusion: A es invertible y A−1 = P = Es ·Es−1 · · ·E3 ·E2 ·E1Por M.E.-3 tenemos que para hallar A−1 = P, debemos realizar la siguiente com-posicion:

InF1

.F2

.F3 · · · · · · Fs . = P

2.1.15 Algo sobre Operaciones Elementales por Columnas ( O.E.C:

Existen tres Tipos de O.E.C.Tipo I : Intercambia o permuta entre si dos Columnas de una matriz

Para 1 ≤ i, j ≤ n ; i = jCij : Mmxn(K)→Mmxn(K)

A −→ Cij(A)donde Cij(A) es la matriz que se obtiene de la matriz A,al intercambiar entre si la Columna-i con la colimna-j,dejando invariante las demas columnas de A.

Tipo II : Multiplica una Columna por un escalar no nuloPara 1 ≤ i ≤ n ; α ∈ K, α = 0Ci(α) : Mmxn(K)→Mmxn(K)

A −→ Ci(α)(A)donde Ci(α)(A) es la matriz que se obtiene de la matriz A,al multiplicar por α la Columna -i, dejando invariantelas demas filas de A.

61

Tipo III : Suma a una columna otra columna multiplicada por un escalarPara 1 ≤ i, j ≤ n ; i = j α ∈ K,Cij(α) : Mmxn(K)→Mmxn(K)

A −→ Cij(α)(A)donde Cij(α)(A) es la matriz que se obtiene de la matriz A,al sumar a la Columna-i la Columna-j multiplicada por α,dejando invariante las demas filas

Al igual que en el caso de las O.E.FToda O.E.C tiene asociada una y solo unaMatriz Elemental.Notemos que las O.E.C no aportan nuevasM.E. en efecto:

1)In =

1 ↑ ↑ · · ·← 1 0 →

... 1...

← 0 1 →· · · ↓ ↓ 1

i j

Cij

i

j

· · · ↑ ↑ · · ·← 0 1 →

... · · · ...← 1 0 →· · · ↓ ↓ · · ·

= Eij

i j

• Las M.E. asociadas a Cij son las mismas que Fij (In) y son las matrices Eijen resumen Cij(In) = Eij

2)In =

1 ↑ ↑ · · ·← 1 0 →

... 1...

← 0 1 →· · · ↓ ↓ 1

i

Ci(α) i

· · · ↑ · · ·

1 · · · 0← ... α

... →0 · · · 1

· · · ↓ · · ·

= Ei(α)

i

• Las M.E. asociadas a Ci(α) son las mismas que Fi(α) y son las matrices Ei(α)en resumen Ci(α)(In) = Ei(α)

3)In =

1 ↑ ↑ · · ·← 1 0 →

... 1...

← 0 1 →· · · ↓ ↓ 1

i j

Cij(α)

i

j

· · · ↑ ↑ · · ·← 1 0 →

... · · · ...← α 1 →· · · ↓ ↓ · · ·

= Eji(α)

i j

• LasM.E. asociadas a Cij(α) no son las mismas que Fij(α) sino que son las asociadasa las O.E.F Fji(α) y son las matrices Eji(α) es decir son las matrices (Eij(α))

t

en resumen Cij(α)(In) = Eji(α) = (Eij(α))t

asi por ejemplo la M.E. asociada a C23(−5) es la matriz E32(−5)• Es importante hacer notar que aplicar una Operacion Elemental por Columnas sobreuna Matriz A equivale a multiplicar por la derecha con una M.E. a la matriz A

En efecto multiplicando por la derecha la M.E. asociada a cada tipo O.E.C. sobreuna matriz A ∈Mmxn(K) obtenemos el siguiente resultado:

62

Proposicion: Si C es una O.E.C. y A ∈Mmxn(K).

entonces C(A) = A ·Edonde E es la M.E. asociada a C es decir E = C(Im)∈Mn(K)

Es decir : Si C una O.E.C. entonces

AC

. = C(A) = A ·E , E es la M.E. asociada C

Por ejemplo :

AC31(4)

. = A ·E13(4); AC3(7)

. = A ·E3(7)Al igual que para las O.E.F. el resultado anterior se puede generalizar:

• Proposicion: Si C1,C2,C3, ...,Cs, son O.E.C. y A ∈Mmxn(K) entonces

AC1

.C2

.C3 · · · · · · Cs . = A ·E1 ·E2 ·E3 · · · ·Es−1 ·Es

Definition 33 Sean A,B ∈Mmxn(K)Diremos que A y B son Equivalentes por ColumnasSi y solo si ∃C1,C2,C3, , ...,Fs, O.E.C.tal que A

C1.

C2.

C3 · · · · · · Fs B

• Notacion :Si A y B son Equivalentes por Columnas entonces denotaremos A ∼

CB

• Nota:En general dada dos matrices P,Q ∈Mmxn(K), no es trivial deteminar si P ∼

CQ ,

pues no es facil hallar las O.E.C. que me permiten obtener Q a partir de P.

Sin embargo es claro que si C1,C2,C3,C4, ...,Cs, son O.E.C

entonces A ∼C(Cs ◦Cs−1 ◦ · · · ◦C3 ◦C2 ◦C1) (A) ∀A ∈Mmxn(K)

Proposicion: Sea A ∈Mn(K)

Si A ∼CIn entonces A es invertible

Demostracion ejercicio

• Si A ∼CIn entonces existen C1,C2,C3, ...,Cs, O.E.C.

tal que AC1

.C2

.C3 · · · · · · Fs In

Luego podemos hallar A−1 usando

InC1

.C2

.C3 · · · · · · Fs A−1

De lo anterior podemos obtener un procedimiento para el analisis y determinacion dela inversa de una matriz dada (cuando ella exista)

63

• Sea A ∈Mn(K)

Consideremos la matriz ampliadaAIn

∈M2nxn(K)

• Si AIn

∼C

InQ

entonces A ∼CIn y Q = A−1

Definition 34 Sean A,B ∈Mmxn(K)Diremos que A y B son EquivalentesSi y solo si ∃G1,G2,C3, , ...,Gk, O.E.F. u O.E.C.

tal que AG1

.G2

.G3 · · · · · · Gk

B

• Notacion :Si A y B son Equivalentes por Columnas entonces denotaremos A ∼ B

• Nota:En general dada dos matrices P,Q ∈Mmxn(K), no es trivial deteminar si P ∼ Q ,

pues no es facil hallar las O.E.F. u O.E.C. que me permiten obtener Q a partir deP.

Sin embargo es claro que si G1,G2,G3, , ...,Gs, son O.E.F. u O.E.C

entonces A ∼ (Gs ◦Gs−1 ◦ · · · ◦G3 ◦G2 ◦G1) (A) ∀A ∈Mmxn(K)

Considerando las proposiciones obtenidas anteriormente y las M.E. asociadas a lasO.E.F. y/u O.E.C que permiten obtener una matriz a partir de la otra podemosconcluir que :

Si A,B ∈Mmxn(K) tal que :

A ∼ B entonces existen F1,F2,F3, , ...,Fs,O.E.F. yexisten C1,C2,C3, , ...,Ck, O.E.C

luego :

AF1. O.E.F. y/o O.E.C.· · · · · · Fs...Ck

B = Es ·Es−1 · · ·E2 ·E1·A ·E1 ·E2 · · ·Ek−1 ·Ekdonde las Ei son lasM.E. asociadas a las Fi y las Ei son lasM.E. asociadas a las Ci

Si hacemos P = Es · Es−1 · · · E2 · E1 y Q = E1 · E2 · · · Ek−1 · Ek como ambas sonproductos de invertibles entonces P y Q son invertibles

• Conclusion :Si A ∼ B entonces existen P ∈Mm(K) y Q ∈Mn(K), invertibles

tales que: B = P ·A ·QEjemplo:

64

• Sea A =

2 −1 3 11 0 1 0−1 3 1 42 1 0 1

2 −1 3 11 0 1 0−1 3 1 42 1 0 1

F41(−1)

F1

2 −1 3 11 0 1 0−1 3 1 40 2 −3 0

C24(1)

C1

2 0 3 11 0 1 0−1 7 1 40 2 −3 0

C14(−2)

C2

0 0 3 11 0 1 0−9 7 1 40 2 −3 0

F41(1)

F2

0 0 3 11 0 1 0−9 7 1 40 2 0 1

= B

luego A ∼ B y B =

P

F41(1) ·E41(−1) ·A·Q

E42(1) ·E41(−2)

P =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= I4 Q =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0−2 1 0 1

Caso particular

Si A ∈Mn(K) tal que A ∼ In entonces existen P, Q ∈Mn(K) invertibles

tales que: In = P ·A ·QComo In = P ·A ·Q / ·P der⇒ P = P ·A ·Q ·P / ·P−1 izq⇒ In= A ·Q ·P es decir In= A · (Q ·P)Analogamente como In = P ·A ·Q / ·Q izq⇒ Q = Q ·P ·A ·Q / ·Q−1 der⇒ In= Q ·P ·A es decir In= (Q ·P) ·Aes decir A · (Q ·P) = In y (Q ·P) ·A = InConclusion: A es invertible y A−1 = Q ·PProposicion: Sea A ∈Mn(K)

Si A ∼ In entonces A es invertible

2.1.16 Matriz Escalonada

Definition 35 Sea A ∈Mmxn(K), A = 0Sea Ai∗ una fila no nula de ADiremos que aiλi es el ”elemento principal” de la fila no -nula Ai∗Si y solo si aiλi es el ”primer elemento” no-nulo de la fila Ai∗es decir aik= 0, ∀k < λi y aiλi = 0

65

• En otras palabras aiλi es el ”elemento principal” de la fila no -nula Ai∗Si y solo si Ai∗ = (00..0aiλi .....ain) con aiλi = 0

• Ejemplo:

Si A =

0 0 0 57 0 1 00 0 0 00 2 0 9

entonces

a1λ1 = 5a2λ2 = 7a3λ3 no existe ¿Por que?a4λ4 = 2

Definition 36 Sea A ∈Mmxn(K), A = 0Diremos A es una Matriz EscalonadaSi y solo si i) Si Ak∗= 0 entonces Ap∗= 0, ∀p ≥ k

(Las filas Nulas de A estan al final de la matriz)ii) Si a1λ1, a2λ2 ,a3λ3 .....arλr son los elementos principalesde las r filas no-nulas de A

entonces λ1< λ2< λ3< ... < λr

• Es decir A es de la Forma:

0 · · · 0 a1λ1 · · ·0 0 · · · 0 0 a2λ2 · · ·0 · · · 0 a3λ3 · · ·0

......

... · · ·0 0 0 ar−1λr−10 0 0 0 arλr0 0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0

0...

...... · · · ...

... 00 0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0

• Ejemplos:

Si A =

0 1 3 1 5 1 00 0 0 2 2 −1 00 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0

; B =0 0 0 1 3 20 0 0 0 4 −10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1

entonces A es una matriz escalonada y

B no es una matriz Escalonada porque B3∗= 0 y B4∗ = 0

Si C =

4 1 3 1 5 0 10 0 5 2 2 −1 00 0 8 0 0 5 10 0 0 0 0 0 0

; D =

0 1 3 1 5 1 83 0 5 2 5 0 06 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

entonces

C no es escalonada porque :c1λ1 = 4⇒ λ1 = 1, c2λ2 = 5⇒ λ2 = 3, c3λ3= 8⇒ λ3= 3por lo tanto no se cumple λ1< λ2< λ3D no es escalonada porque :c1λ1 = 1⇒ λ1 = 2, c2λ2 = 3⇒ λ1 = 3, c3λ3= 6⇒ λ3= 1por lo tanto no se cumple λ1< λ2< λ3

66

Definition 37 Sea R ∈Mmxn(K), R = 0 una Matriz EscalonadaDiremos R es es una Matriz Escalonada Reducida ( o Reducida )Si y solo si i) [R]iλi= 1 para toda fila-i no-nula

(Los elementos principales filas no-Nulas son 1)ii) Si [R]iλi es el elemento principal de la fila-i

entonces [R]kλi = 0, ∀k = λiEs decir si una Columna contiene el elementoprincipal de alguna f ila , entonces dicho elementoes el unico elemento no-nulo de la columna

• Es decir R es de la Forma:

0 · · · 0 1 0 · · ·0 0 · · · 0 0 1 · · ·0 0 · · · 0 1 · · ·0

... 0...

... · · ·0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0

0...

... 0... · · · ...

... 00 0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0

• Ejemplos:

Si A =

0 1 3 0 5 1 00 0 0 1 2 −1 00 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0

; B =0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1

entonces A es una matriz Reducida y

B no es una matriz Reducida porque B3∗= 0 y B4∗ = 0

Si C =

1 1 3 1 5 0 00 0 1 2 2 0 00 0 0 0 0 1 50 0 0 0 0 0 0

; D =

0 1 0 1 0 1 03 0 0 2 1 0 06 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

entonces

C no es Reducida porque :c2λ2 = 1⇒ λ2 = 3,[R]13 = 3 = 0por lo tanto no se cumple que [R]k3 = 0, ∀k = 3D no es Reducida porque D no es escalonada

Proposicion :

Si A ∈Mmxn(K), A = 0

entonces existe E ∈Mmxn(K) Escalonada tal que A ∼FE

Demostracion : Ejercicio

67

A =

0 −1 3 −4 5 41 0 1 0 2 30 −1 3 4 0 02 0 0 1 1 4

0 −1 3 4 5 41 0 1 0 2 30 −1 3 4 0 02 0 0 1 1 4

F12

F41(−2)

1 0 1 0 2 30 −1 3 4 5 40 −1 3 4 0 00 0 −2 1 −3 −2

F32(−1)

F34

1 0 1 0 2 30 −1 3 1 5 40 0 −2 1 −3 −20 0 0 0 −5 −4

= E escalonada

A =

0 −1 3 −4 5 41 0 1 0 2 30 −1 3 4 0 02 0 0 1 1 4

∼F1 0 1 0 2 30 −1 3 1 5 40 0 −2 1 −3 −20 0 0 0 −5 −4

= E

Proposicion :

Si A ∈Mmxn(K), A = 0

entonces existe R ∈Mmxn(K) Reducida tal que A ∼FR

Demostracion :

Por la proposicion anterior

existe E ∈Mmxn(K) Escalonada tal que A ∼FE

Para cada Fila-i no-nula de E, multiplicar la Fila por 1[E]iλ i

( O.E.F. del Tipo II),

luego cada elemento principal de las filas no-nulas quedan igual a 1, luego aplicamosO.E.F. del Tipo III en cada columna que contenga un elemento principal, paraeliminar todos los otros elementos no-nulos de dicha columna.

es decir

AF1

.F2 · · · . = E

Fi(1

[E]iλ i)

· · · Fij(α) · · · R

Por lo tanto A ∼FR

Lo anterior en nuestro ejemplo:

teniamos que :

A =

0 −1 3 −4 5 41 0 1 0 2 30 −1 3 4 0 02 0 0 1 1 4

∼F1 0 1 0 2 30 −1 3 1 5 40 0 −2 1 −3 −20 0 0 0 −5 −4

= E

luego

68

E =

1 0 1 0 2 30 −1 3 1 5 40 0 −2 1 −3 −20 0 0 0 −5 −4

F2(−1)

F3(−12)

F4(−15)

1 0 1 0 2 30 1 −3 −1 −5 −40 0 1 −1

232

10 0 0 0 1 4

5

F13(−1)

F23(3)

1 0 0 1

212

20 1 0 −5

2−12−1

0 0 1 −12

32

10 0 0 0 1 4

5

F14(−1

2)

F24(12)

F34(−32)

1 0 0 1

20 16

10

0 1 0 −520 − 6

10

0 0 1 −120 − 2

10

0 0 0 0 1 45

= R

Luego A =

0 −1 3 −4 5 41 0 1 0 2 30 −1 3 4 0 02 0 0 1 1 4

∼F1 0 0 1

20 8

5

0 1 0 −520 −3

5

0 0 1 −120 −1

5

0 0 0 0 1 45

= RDefinition 38 Sea A ∈Mmxn(K), A = 0 y sea r ∈ N, 1 ≤ r ≤mDiremos que A es es una Matriz de Rango r

Si y solo Existe E ∈Mmxn(K) Escalonada tal que :i) A ∼

FE y

ii) E posee r filas no-nulas.

• Notacion :Si A es es una Matriz de Rango r entonces denotaremos ρ(A) = r

asi ρ(A) = r se lee ” El rango de matriz A es r ”

Ejemplos

a) Sea B =

1 2 3 4−1 2 1 30 4 4 72 −5 3 1

hallar ρ(B)

1 2 3 4−1 2 1 30 4 4 72 −5 3 1

F21(1)

F41(−2)

1 2 3 40 4 4 70 4 4 70 −9 −3 −7

F32(−1)

F34(2)

1 2 3 40 4 4 70 0 0 00 −1 5 7

F24(4)

F34

1 2 3 40 0 24 350 −1 5 70 0 0 0

F32

1 2 3 40 −1 5 70 0 24 350 0 0 0

= E escalonada

Luego ρ(B) = 3

b) Sea A =

1 −1 2 3−1 a 2 34 1 2 1

hallar ρ(A)

69

1 −1 2 3−1 a 2 34 1 2 1

F21(1)

F31(−4)

1 −1 2 30 a− 1 4 60 5 −6 −11

F23

F31(1−a5)

1 −1 2 30 5 −6 −110 0 4− 6−6a

56−11−11a

5

=

1 −1 2 30 5 −6 −110 0 14

5+ 6

5a 19

5+ 11

5a

F3(5)

1 −1 2 30 5 −6 −110 0 14+ 6a 19+ 11a

escalonada ⇒ ρ(A) ≥ 2

Notemos que la Tercera fila de la Matriz escalonada sera una Fila Nula

Si y solo si Existe a tal que:14+ 6a = 0 ⇒ a = −14

6

19+ 11a = 0 ⇒ a = −1911

⇒⇐

Luego no existe a ∈R tal que 14+ 6a = 0 y 19+ 11a = 0,Por lo tanto la Fila-3 de la escalonada es no-nula, ∀a ∈RConclusion ρ(A) = 3

Definition 39 Sea E ∈Mn(K)Diremos que E es una matriz del tipo Ei(0), 1 ≤ i ≤ nSi y solo si E se obtiene de la matriz In al multiplicar a la fila-i de In por cero

• Es decir E es una matriz del tipo Ei(0) si es de la forma

Ei(0) =

1 0... 0 · · · 0

... 1 · · · · · · · · · ...0 · · · 1 0 0 0...

...... 1

... · · · ...0 · · · 0 0 0 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

i

i

• Notemos que:1.- Una matriz del tipo Ei(0) no es una Matriz Elemental

2.- Como una matriz del tipo Ei(0), posee una fila nula ( la fila-i ), entonces Ei(0) noes invertible

Sea A ∈Mmxn(K); Ei(0) ∈Mm(K) hallar Ei(0) ·A

70

Ei(0) ·A =i→

1 0 0 0 · · · 0... 1 · · · · · · ...0 · · · 1 0 0 · · · 00 0

... 0... 0 0

0 · · · 0 0 1 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

a11 a12 a13 · · · a1k · · · a1n... · · · · · · · · · · · · · · · ...

· · · · · ·ai1 ai2 ai3 aik ain

· · · · · ·...

......

.... . .

...am1 am2 am3 · · · amk · · · amn

=

a11 a12 a13 · · · a1k · · · a1n... · · · · · · · · · · · · · · · ...

· · · · · ·0 0 0 0 0 0

· · · · · ·...

......

.... . .

...am1 am2 am3 · · · amk · · · amn

Si A ∈Mmxn(K); Ei(0) ∈Mn(K) hallar A· Ei(0)

A · Ei(0) =i→

a11 a12 a13 · · · a1k · · · a1n... · · · · · · · · · · · · · · · ...

· · · · · ·ai1 ai2 ai3 · · · aik · · · ain

· · · · · ·...

......

.... . .

...am1 am2 am3 · · · amk · · · amn

1 0 0 0 · · · 0... 1 · · · · · · ...0 · · · 1 0 0 · · · 00 0

... 0... 0 0

0 · · · 0 0 1 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

i

=

a11 a12 a13 · · · 0 · · · a1n... · · · · · · · · · 0 · · · ...

· · · · · ·ai1 ai2 ai3 · · · 0 · · · ain

· · · · · ·...

...... 0

. . ....

am1 am2 am3 · · · 0 · · · amn

Observe que:

Si A,B son matrices tales que exista A ·B entonces

1) Ai∗·B = (A ·B)i∗Es decir la fila-i de A ·B, se obtiene al multiplicar la Fila-i de A por B y

2) A ·B∗j= (A ·B)∗jEs decir la columna-j de A ·B, se obtiene al multiplicar B por la Columna-j de AConsecuencia

71

En(0) ·En−1(0) · · ·Er+2 ·Er+1(0) · In =

r+ 1→

1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 · · · 0 · · · 0

0... 1 0

... 0 · · · 0 0

0... 0

. . . 0 0 0 0

0 0.. . 0 0 · · · 0

0 0 0 0 0 1 0 0 · · · 00 0 0 0 0 0 0 0 · · · 00 0 0 0 0 0 0 0 · · ·

......

......

......

......

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

En(0) ·En−1(0) · · ·Er+2 ·Er+1(0) Notacion=Ir 00 0

• EnM7(K) hallar E7(0) ·E6(0) ·E5(0) ·E4(0)

E7(0) · E6(0) · E5(0) · E4(0) Respuesta=

1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

=

I3 00 0

∈

M7(K)

•

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

= E6(0) ·E5(0) = I4 00 0

∈M6(K)

Proposicion : Sea A ∈Mn(K) entonces ∃r ∈ N,1 ≤ r ≤ n

tal que A ∼ Ir 00 0

donde r = ρ(A)

• Demostracion : (Idea)Sabemos que A ∼

FRr donde Rr es una mariz Escalonada Reducida y r = ρ(A)

Es decir entonces existen O.E.F. F1,F2,F3, ...,Fs,tal que:

AF1

.F2

.F3 · · · · · · Fs . = Rr

72

donde Rr=

0 · · · 0 1 0 · · ·0 0 · · · 0 0 1 · · ·0 0 · · · 0 1 · · ·0

... 0...

... · · ·0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0

0...

... 0... · · · ...

... 00 0 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0

,

luego aplicando a O.E.C. del tipo Cij obtenemos una matriz del tipoIr B0 0

es decir RrC1

.C2

.O.E.C · · · Cij · · · Ct Ir B

0 0luego

• Ir B0 0

C1.

C2.

O.E.C · · · Cij(α) · · · Ct Ir 00 0

Conclusion : A ∼ Ir 00 0

• Ejemplos:1.- Sea A ∈M6(R) tal que

AF1

.O.E.F · · · Fs

0 0 1 0 0 30 0 0 1 0 00 0 0 0 1 30 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

= R

Hallar r ∈N tal que R ∼ Ir 00 0

0 0 1 0 0 30 0 0 1 0 00 0 0 0 1 30 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

C13

C24

C35

1 0 0 0 0 30 1 0 0 0 00 0 1 0 0 30 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

C61(−3)

C63(−3)

C35

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

=I3 00 0

= E6(0) ·E5(0) ·E4(0) ∈M6(R)

73

2.- Sea

1 2 3 4−1 2 1 13 1 1 12 −1 −2 −3

Hallar r ∈N tal que A ∼ Ir 00 0

1 2 3 4−1 2 1 13 1 1 12 −1 −2 −3

F1

F21(1)

F2F31(−3)

F3F41(−2)

1 2 3 40 4 4 50 −5 −8 −110 −5 −8 −11

F4

F43(−1)

F5F23(1)

1 2 3 40 −1 −4 −60 −5 −8 −110 0 0 0

F6F32(−5)

1 2 3 40 −1 −4 −60 0 12 190 0 0 0

Escalonada

C1C21(−2)

C2C31(−3)

C3C41(−4)

1 0 0 00 −1 −4 −60 0 12 190 0 0 0

C4

C32(−4)

C5C42(−6)

F7F3(−1)

1 0 0 00 1 0 00 0 12 190 0 0 0

C6

C32(112)

C7C43(−19)

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

=I3 00 0

= E4(0) ∈M4(R)

• Luego A ∼ Ir 00 0

, aplicando los resultados anteriores obtenemos

I3 00 0

= E7 ·E6 ·E5 ·E4 ·E3 ·E2 ·E1 ·A ·E1 ·E2 ·E3 ·E4 ·E5 ·E6 ·E7donde las Ei son lasM.E. asociadas a las Fi y las Ei son lasM.E. asociadas a las Ci

como lasM.E. son invertibles podemos despejar A

A = E−11 E−12 E

−13 E

−14 E

−15 E

−16 E

−17

I3 00 0

(E7)−1 (E6)

−1 (E5)−1 (E4)

−1 (E3)−1 (E2)

−1 (E1)−1

ComoI3 00 0

= E4(0), luego

A =E−11 E−12 E

−13 E

−14 E

−15 E

−16 E

−17

Inversas de M.E. asoc. a O.E.F.

E4(0)

Tipos Ei(0)

(E7)−1(E6)

−1(E5)

−1(E4)

−1(E3)

−1(E2)

−1(E1)

−1

Inversas de M.E. asoc. a O.E.C.

En nuestro ejemplo considerando lasO.E.F yO.E.C. encontradas y teniendo presenteque Cij(α)(In) = Eji(α) obtenemos :

A =E21(−1) ·E31(3) ·E41(2) ·E43(1) ·E23(−1) ·E32(5) ·E3(1)Inversas de M.E. asoc. a O.E.F.

· E4(0)

Tipos Ei(0)

·

· E34(19) ·E23(−1

12) ·E24(6) ·E23(4) ·E14(4) ·E13(3) ·E12(2)Inversas de M.E. asoc. a O.E.C.

Generalizando este ejemplo podemos concluir que:

74

• Proposicion: Si A ∈Mn(K) entonces

existen matrices E1,E2,E3,E4E, ..,Et−1,Et; M.E. y /o del Tipo Ei(0) tal que

A =E1 ·E2 ·E3 · ... ·Es−1 ·EkInversas de M.E. asoc. a O.E.F.

·Ek+1 ·Ek+2 · ... ·Ep−1 ·EpTipos Ei(0)

·Ep+1 ·Ep+2 · ... ·Et−1 ·EtInversas de M.E. asoc. a O.E.C.

• ¿Como hallar lasM.E. ?Hallando las O.E.F y O.E.C, G1,G2,G3, ...,Gt,tal que:

AG1

.G2

. · · · O.E.Fy O.E.C · · · · · · Gt Ir B0 0

LuegoIr 00 0

=Ep ·Ep−1 · · ·E2 ·E1M.E. asoc. a O.E.F.

·A· E1 ·E2 · · · ·Ek−1 ·EkM.E. asoc. a O.E.C.

despejando A (pues las M.E. son invertibles)

A = E−11 E−12 · · ·E−1p−1E−1p · I3 0

0 0(Ek)

−1 Ek−1−1 · · · (E2)−1 (E1)−1

ComoIr 00 0

= En(0) ·En−1(0) ·En−2(0) · · ·Er+1(0), luego

A = E−11 E−12 · · ·E−1p−1E−1p

Inversas de M.E. asoc. a O.E.F.

· En(0) ·En−1(0) · · ·Er+1(0)Tipos Ei(0)

· (Ek)−1 Ek−1 −1 · · · (E2)−1 (E1)−1Inversas de M.E. asoc. a O.E.C.

• Expresar A como un producto de M.E. y/o del tipo Ei(0).1 0 0 −12 1 −1 0−1 1 0 11 2 −1 1

F1

F21(−2)

F2F31(1)

F3F41(−1)

1 0 0 −10 1 −1 20 1 0 00 2 −1 2

C1

C41(−1)

C2C43(2)

1 0 0 00 1 −1 00 1 0 00 2 −1 0

F4

F23(−1)

F5F43(−2)

F6F42(−1)

1 0 0 00 0 −1 00 1 0 00 0 0 0

C3

C3(−1)

C4C23

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

=I3 00 0

= E4(0) ∈M4(R).

Luego

A =(E21(−2))−1 (E31(1))−1 (E41(−1))−1 (E23(−1))−1 (E43(−2))−1 (E42(−1))−1Inversas de M.E. asoc. a O.E.F.

· E4(0)

Tipos Ei(0)

· (E23)−1 (E3(−1))−1 (E34(2))−1 (E14(−1))−1Inversas de M.E. asoc. a O.E.C.

A =E21(2)E31(−1)E41(1)E23(1)E43(2)E42(1)Inversas de M.E. asoc. a O.E.F.

· E4(0)

Tipos Ei(0)

· E23E3(−1)E34(−2)E14(1)Inversas de M.E. asoc. a O.E.C.

75

3 Determinante de una matriz

La determinanate es un numero o un escalar que esta asociado a una matriz cuadrada.

Definition 40 Llamaremos funcion determinante a la funcion quedenotaremos por det o Det tal que :det : Mn(K)→K

A −→ det(A) tal quei) det(E1(α))= α , ∀α ∈ Kii) det(AB) = det(A)det(B)

• La condicion i) de la definicion nos dice que :

det(

α 0 0 0 · · · 0... 1 · · · · · · ...0 · · · 1 0 0 · · · 00 0

... 0... 0 0

0 · · · 0 0 1 0...

......

... 1...

0 0 0 0 1

) = α ; det(

6 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

) = 6

• La condicion ii) nos dice que la funcion det es multiplicativaNotemos que si A ∈Mn(K) entonces det(A) ∈ K

• Notacion .Mn(K)

A ∈Mn(K) entonces la determinante de la matriz A (det(A)), tambien la denotare-mos por |A|

Si A =

a11 a12 · · · a1n... · · · · · · ...ai1 ai2 · · · ain...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

entonces det(A)notacion=

a11 a12 · · · a1n... · · · · · · ...ai1 ai2 · · · ain...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

Es decir

Si P =

6 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

∈M4(R) entonces |P| =6 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= 6 ∈ R

• 6 1 −30 1 02 5 1

representa una matriz ;

76

6 1 −30 1 02 5 1

representa un numero real, a la determinante de la matriz

6 1 −30 1 02 5 1

Consecuencias de la definicion:

D-1 det(In) = 1

En efecto como E1(1) = In luego det(In) = det(E1(1))i)= 1

Por lo tanto det(In) = 1

D-2 Sea A ∈Mn(K) tal que A invertible entonces det(A) = 0

En efecto comoA es invertible entonces existeA−1tal que A ·A−1 = In y A−1 ·A =In

Luego det(A ·A−1) = det(In) D−1= 1

por ii) det(A)det(A−1) = 1 en K ⇒ det(A) = 0 y det(A−1) = 0

Por lo tanto det(A) = 0

D-3 Si A ∈Mn(K) tal que A invertible

entonces det(A−1) = (det(A))−1 =1

det(A)

En efecto por D− 2 sabemos que :det(A) = 0 y det(A)det(A−1) = 1 ⇒ det(A−1) =

1

det(A)

D-4 Sean A,B ∈Mn(K) entonces det(AB) = det(BA)

En efecto:

det(AB)ii)= det(A)det(B)en K= det(B)det(A)ii)= det(BA)

det(AB) = det(BA)

D-5 Sabemos que Si A ∈Mn(K),

entonces existen E1,E2,E3,E4, ..,Et−1,Et;M.E. y /o del Tipo Ei(0) tal que

A = E1 ·E2 ·E3 · ... ·Et−1 ·EtPor lo tanto por ii) tenemos que :

det(A) = det(E1)det(E2)det(E3) · ... · det(Et−1)det(Et)Es decir para hallar el valor de la determinante de la matriz A es necesario y suficienteconocer los valores de las determinantes de las matrices Ei, i = 1,2,3, ..., t

D-6 Proposicion:

1) det(Ei(α)) = α, ∀α ∈ K, ∀i = 1,2,3, ..,n2) det(Eij(α)) = 1, ∀α ∈ K,∀i, j3) det(Eij) = −1, ∀i, j

77

• Es decir1) |Ei(α)|= α, ∀α ∈ K, ∀i = 1,2,3, ..,n2) |Eij(α)|= 1, ∀α ∈ K,∀i, j3) |Eij| = −1 = −1, ∀i, j

• Demostracion de 1)Por demostrar que : |Ei(α)|= α, ∀α ∈ K, ∀i

a) Caso α = 0

Por i) de la definicion tenemos que E1(0) = 0

Para i = 1 tenemos que E1i·E1(0) ·E1i = Ei(0),luego |E1i| · |E1(0)| · |E1i| = |Ei(0)| ⇔ |E1i| ·0· |E1i| = |Ei(0)|Por lo tanto |Ei(0)| = 0

b) Caso α = 0

InF1i

0 0 1 →0 1 0 · · ·

......

1 0 0 →· · · 0 ↓ 1

F1(α)

0 0 α →← 1 0 · · ·

......

1 0 0 →· · · 0 ↓ 1

F1i

1 0 0 →← 1 0 · · ·

......

0 0 α →· · · ↓ ↓ 1

=

Ei(α)

es decir Ei(α) = E1i ·E1(α) ·E1i · InLuego

|Ei(α)| = |E1i| · |E1(α)| · |E1i|= |E1i| ·α · |E1i| = α · |E1i| · |E1i|= α · |E1i ·E1i| = α· |In|= α

Por lo tanto |Ei(α)|= α, ∀α = 0de a) y b) obtenemos que : |Ei(α)|= α, ∀α = 0, ∀i

• Demostracion de 2)Por demostrar que : |Eij(α)|= 1, ∀α ∈ K, ∀i, jRecordemos que

Eij(α) =

· · · ↑ ↑ · · ·← 1 α →

... · · · ...← 0 1 →· · · ↓ ↓ · · ·

• Como Eij(0) = In ⇒ |Eij(0)|= 1, ∀i, jSupongamos que α = 0

78

InFj(α)

· · · ↑ ↑ · · ·← 1 0 →

... · · · ...← 0 α →· · · ↓ ↓ · · ·

Fij(1)

· · · ↑ ↑ · · ·← 1 α →

... · · · ...← 0 α →· · · ↓ ↓ · · ·

Fj(1α)

· · · ↑ ↑ · · ·← 1 α →

... · · · ...← 0 1 →· · · ↓ ↓ · · ·

= Eij(α)

es decir Eij(α) = Ej(1α) ·Eij(1) ·Ej(α) · In

Luego

|Eij(α)| = Ej(1α) · |Eij(1)| · |Ej(α)|= |Eij(1)| · Ej( 1α ) · |Ej(α)|

= |Eij(1)| · Ej( 1α ) ·Ej(α) = |Eij(1)| · |In| = |Eij(1)|Por lo tanto |Eij(α)|= |Eij(1)| ∀α = 0Luego para α = 2 tenemos |Eij(2)|= |Eij(1)| (∗)Pero como In

Fij(1).

Fij(1). = Eij(2) = Eij(1) ·Eij(1) · In

Luego |Eij(2)|= |Eij(1)| · |Eij(1)| (∗∗)de (∗) y (∗∗) obtenemos que :|Eij(1)| · |Eij(1)| = |Eij(1)|⇔ |Eij(1)| · [|Eij(1)|− 1] = 0 (∗ ∗ ∗)Como Eij(1) es invertible entonces |Eij(1)| = 0Luego en (∗ ∗ ∗) obtenemos que |Eij(1)|− 1 = 0 ⇔ |Eij(1)| = 1Por lo tanto |Eij(α)|= |Eij(1)| = 1 ∀α = 0 , ∀i, jConclusion |Eij(α)|= |Eij(1)| = 1 ∀α , ∀i, jNotemos que hemos probado que las determinantes de las M.E. del Tipo III soniguales a 1

• Demostracion de 3)Por demostrar que : |Eij|= −1, , ∀i, j Ejercicio

• Ejemplo

Sea

1 0 0 −12 1 −1 0−1 1 0 11 2 −1 1

hallar det(A)

Hemos visto que :

79

• A =E21(2)E31(−1)E41(1)E23(1)E43(2)E42(1)Inversas de M.E. asoc. a O.E.F.

· E4(0)

Tipos Ei(0)

· E23E3(−1)E34(−2)E14(1)Inversas de M.E. asoc. a O.E.C.

luego considerando la proposicion de D− 5 obtenemos :det(A) = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 0 · (−1) · (−1) · 1 · 1 = 0

D-7 Sea A = E1 ·E2 ·E3 · ... ·Et−1 ·Et con Ei M.E. y /o del Tipo Ei(0). Ejercicio• Si para algun j, Ej es del tipo Ei(0) entonces det(A) = 0

D-8 Si A ∈Mn(K), posee una fila (o columna) nula entonces det(A) = 0

por ejemplo si Ak∗= 0 (fila-k de A nula )

como A = Ek(0) ·A ⇒ |A|= |Ek(0)| · |A|= 0D-9 Si E es una matriz Elemental o Tipo Ei(0) entonces det(E

t) = det(E)

En efecto notemos que:

• (Eij)t = Eij, ∀i, j ⇒ (Eij(α))t = |Eij(α)|= −1

• (Ek(α))t = Ek(α), ∀α, ∀k ⇒ (Ek(α))t = |Ek(α)| = α

• (Eij(α))t = Eji(α), ∀α, ∀i, j ⇒ (Eij(α))t = |Eji(α)| = 1= |Eij(α)|

Ejercicio

Si A ∈Mn(K) demuestre que det(At) = det(A)

D-10 Si G es una Operacion Elemental ( Fila o Columna) y A ∈Mn(K), entonces

|A| = 1

|E| · |G(A)| , donde E = G(In), es decir E es la M.E. asociada a G

En efecto si G es una Operacion Elemental Fila, entonces sabemos que

G(A) = E ·A, donde E es la M.E. asociada a G,

luego |G(A)| = |E| · |A|como E es una M.E. entonces E es invertible ( ¿Por que? ) entonces |E| = 0luego |A| = 1

|E| · |G(A)|Ejercicio analogamente concluya que :

Si G es una Operacion Elemental Columna, entonces |A| = 1

|E| · |G(A)|En notacion secuencial hemos obtenido que:

Si G es una Operacion Elemental y A ∈Mn(K), entonces

AG

. = G(A) ⇒ |A|G

=1

|E| · |G(A)| donde E = G(In)

80

o bien:A

G. = G(A)

⇒ |A|G

=1

|E| · |G(A)|

• Notemos que si G es una Operacion del Tipo III

es decir G = Fij(α) o G = Cij(α) entonces

AG tipo III

. = G(A) ⇒ |A|G

= |G(A)| ¿Por que ?

Ejemplo

Hallar1 3 21 2 12 1 1

F21(−1)=

1

|E21(−1)|1

·1 3 20 −1 −12 1 1

=1 3 20 −1 −12 1 1

F31(−2)=

1 3 20 −1 −10 −5 −3

F21(−5)=

1 3 20 −1 −10 0 2

F12(3)

=1 0 −10 −1 −10 0 2

C31(1)

=1 0 00 −1 −10 0 2

C32(−1)=

1 0 00 −1 00 0 2

C3(12)

=(∗∗)

1

E3(12)·1 0 00 −1 00 0 1

=112

1 0 00 −1 00 0 1

= 21 0 00 −1 00 0 1

C2(−1)= 2· 1−1 ·

1 0 00 1 00 0 1

= −2

• Notemos que si G es una Operacion del Tipo II

es decir G = Fi(α) o G = Ci(α) con α = 0 entonces

AG tipo II

. = G(A) ⇒ |A|G

=1

|α| · |G(A)| ¿Por que ?

En nuestro ejemplo ( en (∗∗) ) vimos que1 0 00 −1 00 0 2

C3(12)

=1

E3(12)·1 0 00 −1 00 0 1

=112

1 0 00 −1 00 0 1

= 21 0 00 −1 00 0 1

Notemos que :

a11 a12 · · · · · · a1n... · · · · · · · · · ...

αai1 αai2 αai3 · · · αain· · · · · ·

......

. . ....

an1 an2 · · · · · · ann

F3(1α)

=11

α

a11 a12 · · · · · · a1n... · · · · · · · · · ...ai1 ai2 ai3 · · · ain

· · · · · ·...

.... . .

...an1 an2 · · · · · · ann

81

= α

a11 a12 · · · · · · a1n... · · · · · · · · · ...ai1 ai2 ai3 · · · ain

· · · · · ·...

.... . .

...an1 an2 · · · · · · ann

En resumen:

D-11

a11 a12 · · · · · · a1n... · · · · · · · · · ...

αai1 αai2 αai3 · · · αain· · · · · ·

......

. . ....

an1 an2 · · · · · · ann

= α

a11 a12 · · · · · · a1n... · · · · · · · · · ...ai1 ai2 ai3 · · · ain

· · · · · ·...

.... . .

...an1 an2 · · · · · · ann

Ejemplos

1 0 0 −52 6 −4 10−1 3 0 151 12 −1 0

= 2·1 0 0 −51 3 −2 5−1 3 0 151 12 −1 0

= 2 · 51 0 0 −11 3 −2 1−1 3 0 31 12 −1 0

= 10 · 31 0 0 −11 1 −2 1−1 1 0 31 4 −1 0

= 30

1 0 0 −11 1 −2 1−1 1 0 31 4 −1 0

F21(−1)=

F41(−1)F31(1)

30

1 0 0 −10 1 −2 20 1 0 20 4 −1 1

F32(−1)=

F42(−4)30

1 0 0 −10 1 −2 20 0 2 00 0 7 −7

= 30 · 2 · 71 0 0 −10 1 −2 20 0 1 00 0 1 −1

F23(2)=

F43(−1)420

1 0 0 −10 1 0 20 0 1 00 0 0 −1

=F14(−1)=

F43(2)

420

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

= 420 · (−1)1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= (−420) · 1 = −420

Luego

1 0 0 −52 6 −4 10−1 3 0 151 12 −1 0

= −420

Consecuencia de D− 11 :D 12 Si α ∈ K y A ∈Mn(K), entonces

|αA|= αn |A|Demostracion: ejercicio

82

• Notemos que si G es una Operacion del Tipo I

es decir G = Fij o G = Cij entonces

AG tipo I

. = G(A) ⇒ |A|G

= − |G(A)| ¿Por que ?

D-13 SeaA ∈Mn(K), una matriz triangular ( Superior o Infererior ) entonces det(A) =n

i=1

aii

Es decir la determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementosde su diagonal.

O bien

a11 a12 · · · · · · a1n0 a22 · · · · · · ...0 · · · · · ·0 0 0 aii ain... 0 · · · 0 · · · ...

0... 0 0 0 ann

= a11 · a22 · a33 · a44 · · · ann

Vamos a desarrollar dos ejemplos para ilustrar una forma de como demostar estaafirmacion

• Caso: Todos los elementos de la diagonal son no-nulos

Por ejemplo Tipo

a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44

Sea

4 3 4 50 6 −4 100 0 5 150 0 0 7

= 4

1 3 4 50 6 −4 100 0 5 150 0 0 7

C21(−3)=

C31(−4)C41(−5)

1 0 0 00 6 −4 100 0 5 150 0 0 7

C1(16)=

C32(4)C42(−10)

4 · 61 0 0 00 1 0 00 0 5 150 0 0 7

C1(15)=

C43(−15)C4(

17)

4 · 6 · 5 · 71 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= 4 · 6 · 5 · 7 = 840

Por lo tanto

4 3 4 50 6 −4 100 0 5 150 0 0 7

= 4 · 6 · 5 · 7 = 840

• Caso: Algun elemento de la diagonal es nulo

Por ejemplo Tipo

a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 0 0a41 a42 a43 a44

con a33 = 0

83

8 0 0 08 6 0 05 3 0 00 0 4 7

= 8

1 0 0 08 6 0 05 3 0 00 0 4 7

F21(−8)=

F31(−5)8

1 0 0 00 6 0 00 3 0 00 0 4 7

F2(16)

=F32(−3)

8 · 61 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 4 7

= 0 = 8 · 6 · 0 · 7 = 0

Por lo tanto

8 0 0 08 6 0 05 3 0 00 0 4 7

= 0 = 8 · 6 · 0 · 7

• Ejercicio :

Hallar

1 2 −5 12 3 4 12 1 1 04 2 1 1

F14(−1)=

F24(−1)

−3 0 −6 0−2 1 3 02 1 1 04 2 1 1

F13(6)=

F23(−1)

9 6 0 0−8 −2 0 02 1 1 04 2 1 1

F12(3)=

−15 0 0 0−8 −2 0 02 1 1 04 2 1 1

= (−15) · (−2) · 1 · 1 = 30

• Por definicion tenemos que la funcion determinante es multiplicativa es decir :det(A ·B) = det(A) · det(B)Sin embargo la funcion determinante no es aditiva es decir

Existen matrices A,B ∈Mn(K), det(A+B) = det(A) + det(B)

Sean A =0 80 4

, B =5 03 0

luego A+B =5 83 4

, luego

det(A) = 0 y det(B) = 0 ¿Por que?

det(A+B) =5 83 4

F12(−2)=

−1 03 4

= (−1) · (4) = −4

luego det(A+B) = −4 = 0+ 0 = det(A) + det(B)Sin embargo la determiante de una matriz puede expresarse como la suma de lasdeterminantes de dos ”matrices especiales ”

Ejemplo:

8 0 48 6 45 3 2

=8 0 4

5+ 3 3+ 3 2+ 25 3 2

Afirmacion=

8 0 45 3 25 3 2

+8 0 43 3 25 3 2

84

8 0 48 6 45 3 2

C13(−2)=

0 0 40 6 41 3 2

C13=

(−1)1 3 20 6 40 0 4

= (−1) · 1 · 6 · 4 = −24

8 0 45 3 25 3 2

= 0 y8 0 43 3 25 3 2

F12(−2)=

F23(−1)

2 −6 0−2 0 05 3 2

F12=

(−1)−2 0 02 −6 05 3 2

=

(−1) · (−2) · (−6) · 2 = −24

luego8 0 48 6 45 3 2

= −24 =8 0 45 3 25 3 2

+8 0 43 3 25 3 2

= 0+ (−24) = −24

Proposicion:

SeaA ∈Mn(K) tal queAi∗ = α+ β, α,β ∈M1xn(K) ( oA∗j = α+ β, α,β ∈Mnx1(K)), es decir la fila-i de la matriz A es la suma de dos matrices filas α,β (o columna-jde la matriz A es la suma de dos matrices columnas α,β )

Entonces det(A) =i→

A1∗...α...An∗

+

A1∗...β...An∗

← i

( odet(A) =j

A∗1 · · · α · · · A∗n +j

A∗1 · · · β · · · A∗n )

Ejemplo

1 0 0 −52 6 −4 10−1 3 0 151 12 −1 0

=

1 0 0 −3− 22 6 −4 7+ 3−1 3 0 10+ 51 12 −1 6− 6

Afirmacion=

1 0 0 −32 6 −4 7−1 3 0 101 12 −1 6

+

1 0 0 −22 6 −4 3−1 3 0 51 12 −1 −6

Hemos visto que

1 0 0 −52 6 −4 10−1 3 0 151 12 −1 0

= −420

Ejercicio compruebe que :

1 0 0 −32 6 −4 7−1 3 0 101 12 −1 6

= −225 y

1 0 0 −22 6 −4 3−1 3 0 51 12 −1 −6

= −195

85

Luego

1 0 0 −3− 22 6 −4 7+ 3−1 3 0 10+ 51 12 −1 6− 6

Afirmacion=

1 0 0 −32 6 −4 7−1 3 0 101 12 −1 6

+

1 0 0 −22 6 −4 3−1 3 0 51 12 −1 −6

Consecuencia :

• a bc d

=a+ 0 0+ b

c d=

a 0c d

+0 bc d

= ad+ (−1) c d0 b

= ad− bc

Es decir:a bc d

= ad− bc

Definition 41 Sea A ∈Mn(K)Llamaremos ”La menor de la matriz A, asociada al elemento aij ”, a la matriz

cuadrada de orden n− 1, que se obtiene de A , al eliminar su fila-i y su columna-j

Notacion: La menor de la matriz A, asociada al elemento aij ” la denotaremospor Mij(A) ∈Mn−1(K)Ejemplo

Si A =

1 0 0 −52 6 −4 10−1 3 0 151 12 −1 0

∈M4(R)

entonces M21(A) =

0 0 −53 0 1512 −1 0

∈M3(R); M22(A) =

1 0 −5−1 0 151 −1 0

M23(A) =

1 0 −5−1 3 151 12 0

M24(A) =

1 0 0−1 3 01 12 −1

Es claro que si A ∈Mn(K) entonces podemos encontrar n

2 matrices menores asociadasa la matriz A

Definition 42 Sea A ∈Mn(K)Llamaremos ”El cofactor asociado al elemento aij de la matriz A ”, al escalar (

elemento de K ), denotado por Cof(aij) y definido por :

Cof(aij) = (−1)i+j det(Mij(A))

Ejemplo

SiA =

1 0 0 −52 6 −4 10−1 3 0 151 12 −1 0

entoncesCof(a21) = (−1)2+1 0 0 −53 0 1512 −1 0

= (−1) (15) = −15

Cof(a22) = (−1)2+21 0 −5−1 0 151 −1 0

= 10;

86

Cof(a23) = (−1)2+31 0 −5−1 3 151 12 0

= (−1)(−105) = 105

Cof(a24) = (−1)2+41 0 0−1 3 01 12 −1

= (−3)

Es claro que si A ∈Mn(K) entonces podemos encontrar n2 cofactores asociados a la

matriz A

Definition 43 Sea A ∈Mn(K)Llamaremos ”La matriz Cofactor de A”, a la matriz cuadrada de orden n. que deno-

taremos por Cof(A), tal que sus entradas satisfacen la relacion :

[Cof(A)]ijdefinicion= Cof([Aij]) = Cof(aij) = (−1)i+j det(Mij(A))

Ejemplo:

Si B =

2 6 −4−1 3 01 12 −1

entonces Cof(b11) = (−1)1+13 012 −1 = −3;

Cof(b12) = (−1)1+2−1 01 −1 = (−1)(1) = −1;

Cof(b13) = (−1)1+3−1 31 12

= (−12− 3) = −15;

Cof(b21) = (−1)2+16 −412 −1 = (−1)(−6+ 48) = −42;

Cof(b22) = (−1)2+22 −41 −1 = (−2+ 4) = 2;

Cof(b23) = (−1)2+32 61 12

= (−1)(24− 6) = −18;

Cof(b31) = (−1)3+16 −43 0

= (0+ 12) = 12;

Cof(b32) = (−1)3+22 −4−1 0

= (−1)(0− 4) = 4;

Cof(b33) = (−1)3+32 6−1 3

= (6+ 6) = 12;

Luego Cof(B) =

−3 −1 −15−42 2 −1812 4 12

Definition 44 Sea A ∈Mn(K)”A la matriz Traspuesta de Cof(A)”, le llamaremos la ”Matriz Adjunta de A ”

que se denotara por Adj(A).

87

es decir Adj(A)def= (Cof(A))t .

Notemos que :

[Adj(A)]ijdef= (Cof(A))t

ij= [Cof(A)]ji = Cof(aji) = (−1)j+i det(Mji(A))

Ejercicio:

Sea A =a bc d

hallar Cof(A) y Adj(A)

Cof(a11) = (−1)1+1det(d) = d, Cof(a12) = (−1)1+2det(c) = −cCof(a21) = (−1)2+1det(b) = −b, Cof(a22) = (−1)2+2det(a) = aLuego Cof(A) =

d −c−b a

⇒ (Cof(A))t . =d −b−c a

= Adj(A)

Por lo tanto Adj(A) =d −b−c a

Recordemos que :

SiA =a bc d

es invertible (⇔ ad− bc = 0 ) entoncesA−1= 1

ad− bcd −b−c a

,

considerando los resultados obtenidos podemos reescribir la inversa deA ∈M2(K) como:

A−1=1

det(A)Adj(A) / · det(A) ·A (izq)

entonces A ·Adj(A) = det(A) · I2Conclusion : Si A ∈M2(K) entonces A ·Adj(A) = det(A)I2 ( )¿ Es valido el resultado anterior para matrices de orden n ≥ 2 ?Ejercicio:

Sea B =

2 6 −4−1 3 01 12 −1

hallar B ·Adj(B)

Hemos visto que Cof(B) =

−3 −1 −15−42 2 −1812 4 12

⇒ Adj(B) =

−3 −42 12−1 2 4−15 −18 12

Luego

2 6 −4−1 3 01 12 −1

−3 −42 12−1 2 4−15 −18 12

=

48 0 00 48 00 0 48

= 48

1 0 00 1 00 0 1

Pero

2 6 −4−1 3 01 12 −1

F13(−4)F12(14)=

−16 0 0−1 3 01 12 −1

= (−16)3(−1) = 48

Luego B ·Adj(B) = det(B)I3¿ Casualidad ? NO!!!

3.0.17 Desarrollo de Laplace para hallar la determinante de una matriz

Proposicion :Sea A ∈Mn(K) entonces

88

i) det(A) =n

k=1

[A]ikCof([[A]ik]) desarrollo por la fila-i, ∀i = 1, 2, ..., n

ii) det(A) =n

k=1

[A]kjCof( [A]kj ) desarrollo por la columna-j, ∀j = 1, 2, ..., nSi A ∈M3(K) entonces el desarrollo de Laplace para hallar det(A) por la fila-2 sera:

det(A)d. L. fila−2=

3

k=1

a2kCof(a2k) = a21Cof(a21) + a22Cof(a22) + a23Cof(a23)

det(A) = a21(1)2+1det(M21(A)) + a22(1)

2+2det(M22(A)) + a23(1)2+3det(M23(A))

Si A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

entonces

|A|=a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

d. L. Fila−2= −a21 a12 a13

a32 a33+ a22

a11 a13a31 a33

− a22 a11 a12a31 a32

Ejemplo

Si A =

1 2 −5 12 3 4 12 1 1 04 2 1 1

entonces

1 2 −5 12 3 4 12 1 1 04 2 1 1

d. L. Col.−4= 1·(−1)

2 3 42 1 14 2 1

+1·(1)1 2 −52 1 14 2 1

+0·(−1)1 2 −52 3 44 2 1

+

1 · (1)1 2 −52 3 42 1 1

=−2 3 42 1 14 2 1

+1 2 −52 1 14 2 1

+1 2 −52 3 42 1 1

ejercicio= − (4)+ (3)+ (31)= 30

Notemos que:1 2 −5 12 3 4 12 1 1 04 2 1 1

C13(−2)=

C23(−1)

11 7 −5 1−6 −1 4 10 0 1 02 1 1 1

d. L. Fila−3= 0+ 0+ 1(−1)3+3

11 7 1−6 −1 12 1 1

+

0

=11 7 1−6 −1 12 1 1

F13(−7)=

F23(1)

−3 0 −6−4 0 22 1 1

d. L. Col.−2= (−1) −3 −6−4 2

= −(−6− 24) = 30

89

Recomendaciones para aplicar el desarrollo de Laplace1) Aplicar el desarrollo de Laplace a una fila o una columna que tenga la mayor cantidad

de ceros2) Si la fila o columna elegida posee mas de un elemento no nulo, aplicar Operaciones

Elementales del tipo III, para generar mas ceros en la fila o columna de tal manera de dejaren ella un unico elemento no nulo y3) Aplicar el desarrollo de Laplace en dicha fila o columna, quedando el problema reducido

al calculo de una sola determinante de una matriz de orden (n− 1) .

Sea A =

3 1 0 1 21 −1 2 1 05 1 2 1 03 1 0 1 4−1 2 0 1 0

, luego3 1 0 1 21 −1 2 1 05 1 2 1 03 1 0 1 4−1 2 0 1 0

F41(−2)=

3 1 0 1 21 −1 2 1 05 1 2 1 0−3 −1 0 −1 0−1 2 0 1 0

d. L. Col.−5= 2(−1)6

1 −1 2 15 1 2 1−3 −1 0 −1−1 2 0 1

F21(−1)=2

1 −1 2 14 2 0 0−3 −1 0 −1−1 2 0 1

d. L. Colum.−3= 2 · 2(−1)4

4 2 0−3 −1 −1−1 2 1

F32(1)=4

4 2 0−4 1 0−1 2 1

d. L. Col.−3= 4(−1)6 4 2

−4 1= 4 · 12 = 48

Proposicion :Sea A ∈Mn(K) entonces A ·Adj(A) = det(A)InDemostracion

Vamos a calcular el valor de las entradas [A ·Adj(A)]ii , ∀i[A ·Adj(A)]ii

def=

n

k=1

[A]ik [Adj(A)]ki =n

k=1

[A]ikCof([[A]ik])d. L. fila−i= det(A), ∀i

Es decir [A ·Adj(A)]ii = det(A), ∀iVamos a calcular el valor de las entradas [A ·Adj(A)]ij , ∀i = j

[A ·Adj(A)]ijdef=

n

k=1

[A]ik [Adj(A)]kj =n

k=1

[A]ikCof([A]jk)

Pero

...i→.j→...

a11 a12 · · · · · · a1n... · · · · · · · · · ...ai1 ai2 ai3 · · · ain· · · · · · · · · · · · · · ·ai1 ai2 ai3 ain...

.... . .

...an1 an2 · · · · · · ann

= 0d. L. fila−j=

n

k=1

[A]ikCof(ajk)

90

Es decirn

k=1

[A]ikCof([A]jk) es el desarrollo de Laplace por la fila-j, de la determinante

de una matriz cuya fila-j es igual a su fila-i, luego esta determinante es igual a 0.

Luego [A ·Adj(A)]ij = 0, ∀i = j

Conclusion : A ·Adj(A) =

det(A) 0 · · · 0 0

0 · · · · · · · · · ...0 0 det(A) 0 0

· · · · · ·0

.... . . 0

0 0 · · · 0 det(A)

= det(A)In

Sea A =

1 2 −5 12 3 4 12 1 1 04 2 1 1

, hallar A ·Adj(A)Es calro que en este ejercicio no es conveniente hallar laAdj(A) puesto que deberiamoscalcular 16 cofactores ( es decir habria que hallar 16 determinantes de matrices de orden3 ), es mejor hallar det(A).

Como det(A) = 30 ejercicio ( o revisar los apuntes ya que fue calculada anterior-mente )

Por lo tanto A ·Adj(A) =

30 0 0 00 30 0 00 0 30 00 0 0 30

Como ejercicio Hallar Adj(A) y verifique que :

A ·Adj(A) = Adj(A) ·A = det(A)InDemuestre que tambien se tiene que:

A ∈Mn(K) entonces Adj(A) ·A = det(A)InEs importante de recordar esta relacion que existe entre :una matriz , su detrminante y su Adjunta

A ·Adj(A) = Adj(A) ·A = det(A)In ( )

Recuerde que A ·Adj(A) ∈Mn(K) por lo tanto A ·Adj(A) = det(A)Algunas consecuencias de la relacion obtenida en ( )

( )− 1 Si det(A) = 0 entonces ∃A−1 y A−1=1

det(A)Adj(A)

En efecto como det(A) = 0 entonces ∃(det(A))−1 = 1

det(A)∈ K

Luego en A ·Adj(A) = det(A)In / · 1

det(A)y

91

obtenemos A· 1

det(A)Adj(A) = In (recuerde que α (AB) = (αA)B = A (αB))

Analogamente de Adj(A) ·A = det(A)Inobtenemos que

1

det(A)Adj(A) ·A = In, luego

Conclusion : A es invertible y A−1=1

det(A)Adj(A).

( )− 2 Si det(A) = 0 entonces Adj(A) = det(A)A−1

En efecto como det(A) = 0 entonces ∃A−1 y A−1=1

det(A)Adj(A)

luego en A−1=1

det(A)Adj(A) / · det(A) y

obtenemos Adj(A) = det(A)A−1

( )− 3 Si det(A) = 0 entonces |Adj(A)|= det(A)n−1En efecto como det(A) = 0, sea det(A) = α = 0

Luego de A ·Adj(A) = det(A)In obtenemos

|A ·Adj(A)|= |αIn| ⇒ |A| |Adj(A)|= αn |In|Por lo tanto α |Adj(A)|= αn ⇔ |Adj(A)|= αn−1

Conclusion : |Adj(A)|= det(A)n−1Ejercicios

1.- Demuestre que:

Si A,B ∈Mn(K) invertibles entonces Adj(AB) = Adj(B) ·Adj(A)Respuesta:

Como A,B ∈Mn(K) invertibles entonces AB es invertible, luego por ( )− 2tenemos que Adj(AB) = det(AB) (AB)−1

⇔ Adj(A ·B) = det(A)det(B)B−1 ·A−1 =det(B)B−1Adj(B)

·det(A)A−1Adj(A)

Conclusion : Adj(AB) = Adj(B) ·Adj(A)2.- Sea A ∈M2(R) y B = Adj(A), Demuestre que Adj(B) = A

Respuesta:

Como A ∈M2(R) entonces A =a bc d

⇒ B = Adj(A) =d −b−c a

luego si B =d −b−c a

⇒ Adj(B) =a −(−b)

−(−c) d=

a bc d

Conclusion : Adj(B) =a bc d

= A //

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Apuntes Matrices P2

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