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Tema : Matrices Página 1

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2º Bachillerato

Matrices* Definición y tipos

* Operaciones con matrices

* Matriz inversa

* Rango de una matriz

* Propiedades

* EJERCICIOS RESUELTOS

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MATRICES

MATRIZ

A lo largo del tema tomaremos como cuerpo (K, +, A), el cuerpo de los números reales (ú , +, A),

a los números que forman la matriz les llamaremos "entradas" o simplemente "elementos de la

matriz", en nuestro caso serán números reales.

NOTACIÓN NOTACIÓN NOTACIÓN NOTACIÓN

Al conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, con elementos reales le

llamamos Mmxn (ú) o simplemente Mmxn. Cuando m=n, decimos que la matriz es

CUADRADA, notamos Mn.

Las matrices vienen representadas habitualmente por letras mayúsculas A, B, C, etc. y

cuando hacemos mención a sus elementos, notaremos A = ( aij ) i = 1,2,..m ; j = 1,2,..,n.

Donde "i" indica el número de la fila y "j" número de la columna que ocupa el elemento..

Al producto indicado ("x") del número de filas por el número de columnas le llamamos

DIMENSIÓN o TAMAÑO de la matriz, y al elemento de la misma que ocupa la posición: fila

"i" columna "j" lo representamos por aij.

Definición:

Llamamos matriz, a una tabla rectangular de m A n elementos de un cuerpo (K, +, A),

dispuestos en filas y columnas, de la siguiente forma:

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A es una matriz: 4x3 ( Se lee cuatro por tres ) y alguno de sus elementos son:

a11=2

a23= 6

a42= 0

* Los elementos de una matriz de la forma aii se dice que forman la DIAGONAL

PRINCIPAL de la matriz. En el ejemplo anterior, la diagonal principal sería la formada por

los números, 2, 4 y 2.

* Dos matrices de las mismas dimensiones se llaman EQUIDIMENSIONALES.

* Dos matrices EQUIDIMENSIONALES, A y B, son IGUALES si tienen los mismos

elementos y dispuestos en la misma posición en ambas matrices.

* Asociado a toda matriz cuadrada tenemos su DETERMINANTE obtenido mediante reglas y

propiedades que veremos más adelante, notaremos, det(A) ó * A * (No se debe confundir esta

notación con el valor absoluto, sobre todo en matrices cuadradas de orden 1).

TIPOS DE MATRICES

* Veamos a continuación algunos de los tipos más usuales de matrices*.

1.-MATRIZ FILA

También se le llama VECTOR FILA, y es una matriz 1 x n.

* Las siguientes definiciones contienen conceptos que se verán más adelante (suma de matrices,

producto, determinante, etc), pero se han puesto aquí para un mejor agrupamiento en la clasificación.

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2.-MATRIZ COLUMNA

También se le llama VECTOR COLUMNA, y es una matriz m x 1.

3.-MATRIZ NULA

Llamamos matriz nula mxn, a una matriz cuyos elementos son todos ceros, la

representamos por Omxn.

4.- MATRIZ OPUESTA

Llamamos matriz opuesta de una matriz A y notamos - A, a la matriz que obtenemos

cambiando de signo todos los elementos de A. Si A = ( aij ) Y

- A = ( -aij )

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5.- MATRIZ TRASPUESTA

Llamamos matriz traspuesta de una matriz A y notamos At , a la matriz que

obtenemos cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A = ( aij ) Y

At = ( aji )

5.1.- Propiedades de la trasposición de matrices:

i) (At)t = A

ii) ( A + B)t = At + Bt

iii) ( A AAAA B )t = Bt AAAA At ( Si el producto AAAAAB está definido )

iv) (a AAAA A)t = a AAAA At, a0ú0ú0ú0ú

Observa que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal quedan invariables

6.- MATRIZ CUADRADA

Llamamos matriz cuadrada, a una matriz que tiene el mismo número

de filas que columnas. Al número de filas o columnas de una matriz

cuadrada se le llama ORDEN de la matriz.

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Dentro del conjunto de las matrices cuadradas, vamos a citar alguno de los tipos más

importantes:

6.1 MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz cuadrada A 0 Mn es una matriz simétrica si es igual

que su matriz traspuesta, es decir:

A 0 Mn es SIMÉTRICA ] At = A

6.2 MATRIZ ANTISIMÉTRICA

Una matriz cuadrada A 0 Mn es antisimétrica si es igual que su matriz

opuesta, es decir:

A 0 Mn es ANTISIMÉTRICA ] At = - A

Recordemos que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal permanecen

invariables, así, la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica deberá estar formada por

ceros. Propiedad: Toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz

SIMÉTRICA y otra matriz ANTISIMÉTRICA de forma única ( A = ½( A+At ) + ½( A - At ))

6.3 MATRIZ TRIANGULAR

Una matriz cuadrada A 0 Mn es triangular inferior/superior si todos los

elementos de la misma situados por encima/debajo de la diagonal principal

son ceros.

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6.4 MATRIZ DIAGONAL

Una matriz cuadrada A 0 Mn es diagonal, si todos sus elementos son

nulos excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal.

6.5 MATRIZ UNIDAD

Llamamos matriz unidad de orden n y notamos In, a la matriz diagonal,

cuya diagonal está formada por unos, y el resto de elementos son ceros

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6.6 MATRIZ REGULAR

Una matriz cuadrada A 0 Mn, es regular, si su determinante es distinto de

cero.

A 0 Mn es regular si det(A) … 0.

[Las matrices regulares tienen gran importancia en el estudio matricial y sus

aplicaciones, al ser las únicas que admiten matriz inversa ]

6.7 MATRIZ SINGULAR

Una matriz cuadrada A 0 Mn, es singular, si su determinante es cero.

A 0 Mn es singular si det(A) = 0.

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6.8 MATRIZ INVERSA

Dada una matriz regular A 0 Mn ( det(A) … 0 ), llamamos matriz inversa de

A y notamos A-1 a la única matriz de Mn, que cumple:

A AAAA A-1 = A-1 AAAA A = In

Propiedades de la inversión de matrices:

i) ( A-1)-1 = A

ii) ( A AAAA B )-1 = B-1 AAAA A-1

iii) ( I )-1 = I

iv) ( At)-1 = ( A-1)-t

v) ( 8888A)-1 = 8888A-1

6.9 MATRIZ ORTOGONAL

Una matriz cuadrada A, es ortogonal, si su inversa coincide con su traspuesta

A-1 = At

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6.10 MATRICES SEMEJANTES

Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A,B, decimos que A y B son

SEMEJANTES, si existe una matriz regular P /

B = P-1 AAAA A AAAA P.

Propiedades: Si A y B son matrices SEMEJANTES YYYY

i) Tienen el mismo determinante.

ii) Tienen el mismo rango.

iii) Tienen el mismo polinomio característico.

6.11 MATRIZ ADJUNTA

Dada una matriz A, llamamos matriz adjunta de A, y notamos adj(A), a la matriz que se

obtiene reemplazando cada elemento de la matriz A, por el determinante que resulta de

suprimir la fila y la columna en la que se encuentra el elemento aij , multiplicado por (-1)i+j.

Notamos Aij al adjunto de aij en la matriz A.

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En particular, empleando esta matriz, podemos definir la matriz inversa A-1 = adj(At)/det(A), como

veremos más adelante.

OPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICES

A lo largo de este punto, vamos a DEFINIR las operaciones en el conjunto de las matrices

de "m" filas y "n" columnas, Mmxn, con elementos en el cuerpo (ú, +, A).

1. SUMA DE MATRICES

Sean A = ( aij ) 0 Mmxn y B = ( b i j ) 0 Mmxn, definimos la SUMA DE

MATRICES A + B, a la matriz

A+B = ( aij + bij ) 0000 Mmxn.

Es decir, la suma de dos matrices se efectúa sumando los elementos de ambas

matrices situados en la misma posición. Obviamente, solo podemos sumar entre sí

matrices EQUIDIMENSIONALES.

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PROPIEDADES:

1. ASOCIATIVA ( A + B ) + C = A + ( B + C ). œœœœ A, B, C 0000 Mmxn

2. CONMUTATIVA A + B = B + A œœœœ A, B 0000 Mmxn

3. ELEMENTO NEUTRO œœœœ A 0000 Mmxn ›››› O 0000 Mmxn / A + O = O + A = A.

( Pues claro !! la matriz nula de Mmxn.)

4. ELEMENTO SIMÉTRICO œœœœ A 0000 Mmxn ››››(-A) 0000 Mmxn / A + (-A) = (-A) + A = O

( Sí, sí, la matriz opuesta )

Cumpliendo estas cuatro propiedades de la ley de composición interna (Suma de matrices),

el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de GRUPO ABELIANO.

( Mmxn, + ) GRUPO ABELIANO ( o Grupo Conmutativo )

PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ

Sea A = ( aij ) 0000 Mmxn y k 0 ú

Definimos el PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ kAA

kAA = ( kA aij) 0000 Mmxn

Es decir, el producto de un número real por una matriz (en este orden), se efectúa

multiplicando por dicho número todos los elementos de la matriz.

( Nota: Observa que hemos definido kA A y no A Ak, con lo cual, un producto tipo

AA ( kA v ) debemos expresarlo como kA (A A v) )

PROPIEDADES

1. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO POR UN NÚMERO RESPECTO DE LA SUMA DE

MATRICES a A ( A + B ) = a A A + a A B œ A, B 0 Mmxn y œ a 0 ú

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2. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA EN úúúú RESPECTO DEL PRODUCTO DE UN NUMERO POR

UNA MATRIZ

( a + b ) A A = a A A + b A A œ A 0 Mmxn y œ a , b 0 ú

3. ASOCIATIVIDAD MIXTA .. a A ( b A A ) = ( a A b ) A A œ A 0 Mmxn y œ a , b 0 ú

4. NEUTRALIDAD.. 1 A A = A œ A 0 Mmxn y 1 0 ú

Por consiguiente, si consideramos las propiedades de la ley de composición interna (SUMA DE

MATRICES) junto con las de la ley de composición externa ( PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL

POR UNA MATRIZ ) obtenemos que el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura

de ESPACIO VECTORIAL REAL.

( Mmxn(úúúú) , + , AAAA ) tiene estructura de Espacio Vectorial Real

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El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, aunque se puedan multiplicar AAB y BAA, el

resultado no siempre es el mismo.

En particular, cuando tomamos el producto de matrices sobre Mn, es decir, matrices

CUADRADAS, todas las matrices se pueden multiplicar entre sí, cumpliéndose las

propiedades:

I. PROPIEDAD ASOCIATIVA (A AAAA B) AAAA C = A AAAA (B AAAA C) œœœœ A, B, C 0000 Mn

3. PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices cualesquiera A, B no siempre se pueden multiplicar, debemos imponer unas

condiciones dimensionales para que el producto de las mismas sea factible.

Dos matrices: A 0 Mmxn , A = ( aij ) y B 0 Mnxp , B = ( bjk ) , se pueden multiplicar en este

orden ,si la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B

En este caso definimos el producto de matrices: AAB (En este orden ), de la siguiente

forma:

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II. ELEMENTO NEUTRO œœœœ A 0000 Mn, ›››› I 0000 Mn / A AAAA I = I AAAA A = A

Y junto con la suma de matrices definida anteriormente:

I. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA RESPECTO DEL PRODUCTO

(A+B)AC = AAC+BAC œ A, B, C 0 Mn

II. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA

AA(B + C) = AAB + AAC œ A, B, C 0 Mn

Que junto con las propiedades que ya conocemos de la SUMA DE MATRICES:

( Mn, + , AAAA ) tiene estructura de ANILLO UNITARIO y no CONMUTATIVO.

[ No debes confundir el producto (A) de Matrices con el producto por un número real (A), a

pesar de que empleemos el mismo símbolo].

POTENCIA n.SIMA DE UNA MATRIZ

Como aplicación del producto de matrices, dada una matriz cuadrada, A, podemos hallar

potencias sucesivas de la misma multiplicando por sí misma esta matriz tantas veces como

indique el exponente, así:

A2 = A A A, A3 = A A A A A = A2 A A, etc.

En ocasiones, podemos encontrar una relación entre An y sus elementos mediante una fórmula,

lo cual nos da lugar a la potencia n.sima de una matriz.

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MATRIZ INVERSA

Dada una matriz regular ( det(A) … 0 ), A 0000 Mn, decimos que A es una matriz

INVERTIBLE ( o que tiene matriz inversa), si existe una matriz A-1 0000 Mn, :

/ A AAAA A-1 = A-1 AAAA A = In.

Para obtener la matriz A-1, hay varios procedimientos ( Método de Gauss, Lange-

Gale, etc. ), en este apartado , vamos a obtener la matriz inversa tal como

definimos en la introducción.

Inversa = Adjunta de la traspuesta dividida por el determinante.

En la práctica consideraremos invertibles aquellas matrices cuyo

determinante sea distinto de cero (Matrices regulares).

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Podemos establecer, pues, el proceso de cálculo de la matriz inversa

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Aplicaciones: Resolviendo una ecuación matricial con la matriz inversa

Ejemplo : Dadas las matrices A, B, C 0 Mn ,todas ellas regulares, hallar la matriz X 0 Mn / A A X A

B A C-1 = BAA

Paso a paso : A A X A B A C-1 = B A A

( Multiplicamos por A-1 (izquierda) ) A-1 A A A X A B A C-1 = A-1 A B A A

( Ordenamos ) X A B A C-1 = A-1 A B A A

( Multiplicamos por C (derecha) ) X A B A C-1 A C = A-1 A B A A A C

( Ordenamos ) X A B = A-1 A B A A A C

( Multiplicamos por B-1 (derecha) ) X A B A B-1 = A-1 A B A A A C A B-1

( Ordenamos ) X = A-1 A B A A A C A B-1

SOLUCIÓN : X = A-1 A B A A A C A B-1

A primera vista, da la impresión de poderse simplificar aún más el resultado, pero, al no poder

colocar las matrices en el orden deseado para multiplicarlas, debido a la no conmutatividad

del producto de matrices, hemos de dejarlo así.

Fundamental: El lado por el cual multiplicamos la matriz correspondiente en la ecuación

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RANGO DE UNA MATRIZ

Llamamos rango de una matriz dada A 0000 Mmxn, al número de vectores fila/columna

linealmente independientes que forman parte de la matriz. Notaremos el RANGO

de una matriz A:

Rang(A), Rg(A), R(A). En lo sucesivo emplearemos Rang(A).

Propiedades:

i. El RANGO de una matriz no varía si a una fila/columna le sumamos otra u

otras filas/columnas multiplicadas por constantes.

ii. El RANGO de una matriz no varía si cambiamos sus filas por sus columnas

( Rango (A) = Rango (At) )

iii. El RANGO de una matriz es el ORDEN DEL MAYOR MENOR no nulo de

la matriz A.

iv. El RANGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna de ceros.

v. El RANGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna que sea

combinación lineal de otras filas/columnas.

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MÉTODOS DE CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

1) Método del PIVOTE

2) Método de MENORES ORLADOS

1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE

Utilizando las propiedades mencionadas más arriba, el método del pivote consiste en ir

efectuando transformaciones elementales en las filas de la matriz mediante combinaciones

lineales entre ellas para conseguir una matriz más sencilla del mismo rango.

De forma práctica, haremos ceros los elementos de la matriz situados por debajo de la

diagonal principal, pivotando sobre los elementos a11 , a22, así sucesivamente.

El Rango de la matriz será el número de filas con algún elemento no nulo una vez

finalizado e interpretado el proceso.

No hay prácticamente limitaciones al establecimiento de combinaciones lineales entre

filas/columnas, salvo multiplicar o dividir por cero, aunque tomaremos el mismo consejo del

cálculo de determinantes :

Efectuar una transformación muy ordenada de la matriz por filas y empezando por la primera.

Eso sí, tantas veces como haga falta, podemos permutar la posición de las filas, sin alterar el

valor del RANGO de la matriz.

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Observa con detalle los siguientes ejemplos

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2) MÉTODO DE MENORES ORLADOS

Se apoya este método en ir buscando progresivamente el número de filas linealmente

independientes que forman parte de la matriz de una forma ordenada y a la vez eficaz.

Recordemos que un MENOR de una matriz cuadrada A 0 Mn, es un determinante que se

construye a partir de los elementos de la matriz, suprimiendo filas y columnas en ésta. El

ORDEN de un MENOR, es el número de filas/columnas que tiene. Si un MENOR es distinto

de cero, entonces las filas que forman parte del mismo son Linealmente Independientes.

Dado un MENOR de orden "n", entenderemos por MENOR ORLADO de dicho MENOR, a

un MENOR de orden "n+1" obtenido a partir de éste añadiendo elementos de una fila y una

columna de la matriz.

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Puesto que hemos definido el rango de A como el ORDEN del mayor MENOR NO

NULO de la matriz A, vamos a organizar la búsqueda de uno MENOR que marque el

RANGO de la matriz. Claro !!!, sin indicar un camino de búsqueda, localizar el mayor

MENOR distinto de cero, nos puede llevar a un interminable "paseo" entre los menores de la

matriz, hasta conseguir el mayor de ellos no nulo. Pensemos en una matriz 3x6, por ejemplo,

en la que habría que analizar 20 MENORES de orden 3.

MENORES ORLADOS (M.M.O.)

1. Si la MATRIZ es CUADRADA

Hallar su DETERMINANTE y :

1.1 Si el determinante es distinto de cero Y El orden de la matriz es el RANGO de la

misma.

1.2 Si el determinante vale cero Y Empezar el proceso de orlación.

2. Si la matriz no es cuadrada ( Proceso de ORLACIÓN )

2.1 Seleccionar un MENOR de ORDEN 2, no nulo ( Si no es posible, el rango será

1 ó 0 )

2.2 Efectuar mediante ORLACIÓN, todos los MENORES de orden 3.

2.2.1 Si todos son NULOS Y El RANGO será 2

2.2.2 Si alguno es NO NULO Y El RANGO será mayor o igual que tres.

2.3 Efectuar mediante ORLACIÓN del MENOR de orden 3,no nulo, todos los

MENORES de orden 4.

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2.3.1 Si todos son nulos Y El RANGO es 3

2.3.2 Si alguno es NO NULO Y El Rango es mayor o igual que 4

Y así sucesivamente.

Para matrices de grandes dimensiones ésta técnica puede resultar un poco engorrosa y tal vez

sea conveniente emplear el método del PIVOTE, aunque en cualquier discusión del rango de

una matriz en la que intervengan parámetros, es, con mucho, más rigurosa y eficaz, al hacer

depender el RANGO de la matriz de los MENORES ORLADOS exclusivamente.

Como la matriz es cuadrada, tal como sugerimos, hallamos su determinante:

det(A) = a3 - 3a + 2. Veamos qué valores lo anulan.

a3 - 3a + 2 = 0, aplicando la regla de Ruffini nos da : a = 1 ( raíz doble )

a = -2 ( raíz simple )

Obviamente si a … 1, -2 Y det(A) … 0 y, por tanto Rang(A) = 3

Si a = 1.

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Sustituyendo en la matriz nos queda:

Si a = -2.

Sustituyendo en la matriz:

[ No habiendo necesidad de calcular el determinante de orden 3 ]

Y ordenando la solución, tenemos:

Si a = 1 Y Rang(A) = 1

Si a = -2 Y Rang(A) = 2

Si a … 1, -2 Y Rang(A) = 3

CONEXIÓN MATRICES/ESPACIO VECTORIAL

1.1 Análisis de la dependencia lineal de un Sistema de Vectores.

Sea ( Rn(R), +, A ) , y un Sistema de vectores, sean

las matrices columna formadas con las componentes de cada vector. Si

llamamos A = (v1 v2 ... vp ) a la matriz cuyas columnas/filas son las matrices anteriores, el

rango de la matriz nos indica el número máximo de vectores del Sistema linealmente

independientes, y el MENOR que determina el rango, nos indica cuales de ellos, por ejemplo,

son. Puesto que según tomemos un MENOR u otro tendremos unos vectores u otros.

Obviamente, la matriz con las componentes se puede considerar por filas o columnas, pues el

rango es el mismo.

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Tema : Qüestións Resoltes de Matrius Pàgina 26

EJERCICIOS RESUELTOS1.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, A 0 Mn, idempotente (A2 = A), demostrar que la

matriz B = 2A - I, siendo I la matriz unidad de orden n, I 0 Mn es inversa de sí misma.

Si A es una matriz IDEMPOTENTE Y A 0 Mn y A2 = A.

Para probar que la matriz B es INVERSA de sí misma, recordemos que la matriz inversa de

una matriz dada es la única matriz que multiplicada por derecha ó izda. por la matriz nos da la

matriz unidad.

Hallemos B A B.

BAB = ( 2A - I )A ( 2A - I ) = 4 A2 - 2 AAI - 2 AI + I2 = 4 A - 4 A + I = I

Y B es la matriz Inversa de sí misma.

[ Observa que : B A B = I Y det (BAB) = det I Y det B A det B = 1 Y det B = ±1 y, por tanto, B es

Regular ]

X.B.

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Ximo Beneyto


2.- Se llama Traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de la diagonal

principal. Sean A, B M3, probar que : traza ( A+B ) = traza (A) + traza (B)

traza ( AAAAAB) = traza ( BAAAAA )

[ Nota : Es un ejercicio particularizado a n = 3 pues la propiedad se cumple en Mn ]

Sean A, B 0 M3, recordemos que la traza de una matriz es la SUMA de los elementos situados en la

DIAGONAL PRINCIPAL.

y

traza de A = a11 + a22 + a33 ; traza de B = b11 + b22 + b33

A+B = => traza de A+B = a11 + b11 + a22 + b22 + a33 + b33

Y traza ( A+B ) = traza(A) + traza (B).

YYYY traza ( AAAAAB) = a11b11+a12b21+a13b31+a21b12+a22b22+a23b32+a31b13+a32b23+a33b33

YYYY

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Ximo Beneyto


traza ( BAAAAA ) = b11a11+b12a21+b13a31+b21a12+b22a22+b23a32+b31a13+b32a23+b33a33

traza ( B A A ) = traza ( A A B )

3.- Probar que si A y B Mn son matrices invertibles Y A A B también lo es y (AAB)-1 = A-1AB-1

Si A 0 Mn es INVERTIBLE A-1 / A-1A A = A A A-1 = In (I)

Si B 0 Mn es INVERTIBLE B-1 / B-1A B = B A B-1 = In (II)

Sea la matriz B-1 A A-1 cuya existencia garantizan (I) y (II)

<<<< (AAB) A (B-1AA-1) = ( Propiedad Asociativa) = AA( B A B-1) A A-1 = A A I A A-1

= A A A-1 = I.

<<<< (B-1AA-1)A (AAB) = ( Propiedad Asociativa) = B-1 A( A-1 A A ) A B = B-1 A I A B

= B-1 A B = I.

Por consiguiente, B-1AA-1 es la matriz inversa de AAB Y ( AA B )-1 = B-1 A A-1

4.-Probar que si A Mn , es regular, y AAB = AAC Y B = C.

Recordemos que A 0 Mn es regular si › A-1 ( ó det(A) … 0 )

Si A A B = A A C

[ Multiplicando por A-1 por izda.] A-1 A (A A B) = A-1 A(A A C)

[ Propiedad asociativa y definición de A-1 ] I A B = I A C

[ Definición de I ] B = C c.q.d.

XB

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Ximo Beneyto


5.- Hallar el conjunto de matrices CUADRADAS que conmutan con

Sabemos que, en general, el producto de dos matrices NO es CONMUTATIVO. Veamos

que condiciones hemos de exigir a una matriz A 0 M2 para que conmute con la matriz

anteriormente dada.

Sea pues :

<<<<

<<<<

Si las matrices conmutan entonces ambos resultados deben ser iguales :

<<<<

<<<<

Por tanto, el conjunto de matrices solicitado es :

Ximo.

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