Apuntes de

DINÁMICA DE SISTEMAS

Daniel Olivares Caballero

Contenido

Unidad 1 Introducción a la Modelación de Sistemas .................................................................. 5

1.1 Conceptos preliminares ...................................................................................................... 5

1.1.1 Sistemas ....................................................................................................................... 5

1.1.2 Señales ......................................................................................................................... 5

1.1.3 Modelos ........................................................................................................................ 5

1.1.4 Construcción de los Modelos Matemáticos ................................................................. 5

1.1.5 Clasificación de los Modelos Matemáticos .................................................................. 6

1.1.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo ........................... 6

1.2 Modelado de Sistemas Físicos............................................................................................. 6

1.2.1 Circuitos Eléctricos ....................................................................................................... 6

1.2.2 Sistemas traslacionales ................................................................................................ 6

1.2.3 Sistemas rotacionales ................................................................................................... 6

1.2.4 Sistemas fluídicos o hidráulicos.................................................................................... 6

1.2.5 Sistemas térmicos ........................................................................................................ 6

1.2.6 Sistemas híbridos ......................................................................................................... 6

1.3 Linealización de modelos matemáticos no lineales ........................................................ 6

1.4 Analogías ......................................................................................................................... 6

Unidad 2 Marco Matemático ...................................................................................................... 7

2.1 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia ............................................................................ 7

2.1.1 Ecuaciones Diferenciales .............................................................................................. 7

2.1.2 Ecuaciones Diferenciales con Diferencias .................................................................... 7

2.1.3 Definición de ecuación de diferencias (primera diferencia progresiva de la función) 7

2.1.4 Ecuaciones de Diferencias Finitas ................................................................................ 7

2.1.5 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencias Lineales ..................................................... 7

2.2 Transformada Laplace y Transformada Z ............................................................................ 7

2.2.1 Definiciones .................................................................................................................. 7

2.2.2 Propiedades .................................................................................................................. 8

2.2.3 Parejas de Transformadas ............................................................................................ 9

2.2.4 Utilización de la tabla de parejas de transformadas .................................................. 10

2.2.5 Transformadas Inversas por Expansión de Fracciones Parciales en dominio Z ......... 10

2.2.6 Transformadas Inversas por Desarrollo de una serie infinita de Potencias en dominio

Z ........................................................................................................................................... 10

2.3 Solución de E.D. Lineales mediante transformadas Z ....................................................... 10

Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales ..................................................................................... 11

3.1 Sistemas Dinámicos y E.D. ................................................................................................. 11

3.2 Funciones de Transferencia .............................................................................................. 11

3.3 Diagramas de Bloques ....................................................................................................... 11

Diagramas de blocks ................................................................................................................ 11

3.4 Diagramas de Flujo de Señal ............................................................................................. 17

4.1.1 Regla de Mason .............................................................................................................. 17

Fórmula de Mason .................................................................................................................. 17

3.5 Teorema de muestreo ....................................................................................................... 25

3.6 Retenedores y Sujetadores ............................................................................................... 25

3.7 Ecuación característica ...................................................................................................... 25

3.8 Filtros Digitales .................................................................................................................. 25

Respuesta de Sistemas de primer y segundo orden ................................................................... 26

4.1 Señales de prueba: impulso, escalón, rampa, parábola y senoidal ...................................... 26

4.1.1 Caso Discreto .............................................................................................................. 26

4.1.2 Caso Continuo ............................................................................................................ 26

4.2 Respuesta de Sistemas de Primer Orden (continuos y discretos) .................................... 26

4.3 Respuesta de Sistemas de Segundo Orden (Continuos y discretos) ................................. 26

4.3.1 Región de Estabilidad ................................................................................................. 26

4.3.2 Región de Tiempo máximo de asentamiento ............................................................ 26

4.3.3 Región de Frecuencia máxima de Oscilación ............................................................. 26

4.3.4 Región de sobrepico máximo ..................................................................................... 26

4.4 Localización de polos y ceros, polos dominantes. ............................................................ 26

4.4.1 Caso continuo ............................................................................................................. 26

4.4.2 Caso discreto .............................................................................................................. 26

Análisis y simulación en la frecuencia de sistemas lineales invariantes en tiempo .................... 27

5.1 Análisis de Bode ................................................................................................................ 27

5.1.1 Graficas de magnitud y de fase .................................................................................. 27

5.1.1.1 Polos y ceros en el origen ........................................................................................ 27

5.1.1.2 Polos y ceros de primer orden ................................................................................ 27

5.1.1.3 Polos y ceros de segundo orden ............................................................................. 27

5.1.1.4 De cualquier función de transferencia .................................................................... 27

Práctica 1 ..................................................................................................................................... 28

Práctica 2 ..................................................................................................................................... 29

Example: DC Motor Speed Modeling ...................................................................................... 29

1. Transfer Function ............................................................................................................ 30

Physical Setup.......................................................................................................................... 30

System Equations .................................................................................................................... 31

1. Transfer Function ............................................................................................................ 32

Simulación de un Tanque ............................................................................................................ 33

Unidad 1 Introducción a la Modelación de Sistemas

1.1 Conceptos preliminares

1.1.1 Sistemas

Sistema: Es un conjunto de elementos que interactúan entre sí para conseguir un objetivo común.

Ejemplos de Diferentes tipos de sistemas:

Eléctricos, Mecánicos, Hidráulicos, Neumáticos, Computacionales, Poblacionales, Biológicos, Financieros, etc.

Clasificación de sistemas

Por el tipo de variables: continuos, discretos, híbridos.

Por las ecuaciones que lo describen: lineales y no lineales.

Por su relación entrada-salida: Estáticos, dinámicos

Por la su comportamiento en el tiempo: variantes en el tiempo, invariantes en el tiempo.

Por su control: no retroalimentados (lazo abierto) y retrolimentados (lazo cerrado).

1.1.2 Señales

Definición de señal

Tipos de señales

1.1.3 Modelos

Definición de modelo:

Aplicaciones de los modelos matemáticos:

Investigación y desarrollo: Determinar los mecanismos y parámetros que afectan al proceso a partir de datos provenientes de plantas de laboratorio, determinar las condiciones óptimas de operación y control, apoyar en el proceso de determinación de las especificaciones de los componentes de la planta.

Diseño: Explorar el tamaño y disposición de los equipos del proceso, estudiar las interacciones de varios elementos del proceso, evaluar estructuras y estrategias alternativas del proceso y del control, simular situaciones de arranque, paro y emergencia, así como las estrategias para estos eventos.

Operación de la planta: Resolución de problemas de control y de procesamiento, ayudar en el entrenamiento del operador,

1.1.4 Construcción de los Modelos Matemáticos

Pasos:

1. Bases: Conocimiento de las leyes físicas que intervienen en el sistema a modelar, por ejemplo leyes de Kirchhoff para circuitos eléctricos, termodinámica para sistemas térmicos, conservación de movimiento para sistemas mecánicos, etc.

2. Suposiciones 3. Congruencia matemática de las ecuaciones 4. Solución de las ecuaciones 5. Validación

Leyes físicas:

1.1.5 Clasificación de los Modelos Matemáticos

Clasificaciones de modelos: Lineales, no lineales diferenciales, función de transferencia, variables de estado experimentales, teóricos, mixtos continuos, discretos, híbridos.

1.1.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo

Definición de linealidad, consecuencias de la linealidad Definición de no lineal Definición de variancia e invariancia en el tiempo.

1.2 Modelado de Sistemas Físicos

1.2.1 Circuitos Eléctricos

1.2.2 Sistemas traslacionales

1.2.3 Sistemas rotacionales

1.2.4 Sistemas fluídicos o hidráulicos

1.2.5 Sistemas térmicos

1.2.6 Sistemas híbridos

1.3 Linealización de modelos matemáticos no lineales

1.4 Analogías

Unidad 2 Marco Matemático

2.1 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia

2.1.1 Ecuaciones Diferenciales

2.1.2 Ecuaciones Diferenciales con Diferencias

2.1.3 Definición de ecuación de diferencias (primera diferencia progresiva de la

función)

2.1.4 Ecuaciones de Diferencias Finitas

2.1.5 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencias Lineales

2.1.5.1 Linealidad

2.1.5.2 E.D. Lineales

2.1.5.3 Métodos de solución de E.D. Lineales

2.2 Transformada Laplace y Transformada Z

2.2.1 Definiciones

2.2.1.1 Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Considere f(t) definida para t0, se define

0

)()]([)( dtetftfLsF st

Donde s es una variable compleja, s = +j.

Ejemplo: f t e at( )

F ss a

( )

1 , si Re(s) >Re(-a) (Región de convergencia)

Ejemplo: L[ ( )] t 1

Antitransformada de Laplace

f tj

F s e dsst

c j

c j

( ) ( )

1

2

Fracciones Parciales

F sN s

D s

N s

s a s b D s( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

2

Método de Residuos

F s kk

s a

k

s b

k

s bterminos debidos a las raices de D s

a b b( )

( )( ( )

0

1 2

2

k F0 ( )

k F s s aa s a

( )( )

k F s s bb s b2

2

( )( )

kd

dsF s s bb

s b

1

2

( )( )

2.2.1.2 Transformada Z

2.2.2 Propiedades

Propiedades:

1. Linealidad: L L L[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )a f t b g t a f t b g t a F s bG s

2. Traslación. L[ ( )] ( )f t T e F sT s

3. Teorema del valor final lim f t lim sF s

t s ( ) ( )

0

4. Teorema del valor inicial lim f t lim sF s

t s

0

( ) ( )

5. Diferenciación Ld

dtf t sF s f( ) ( ) ( )

0

Ld

dtf t s F s sf f

2

2

2 10 0( ) ( ) ( ) ( )( )

6. Integración L f t dts

F st

( ) ( )0

1

2.2.3 Parejas de Transformadas

Tabla de Transformadas de Laplace

𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔)

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝑢 𝑡 1

𝑠

𝑅𝑎𝑚𝑝𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 = 𝑡 𝑢 𝑡 1

𝑠2

𝑡𝑛−1

𝑛 − 1 ! , (𝑛 = 1,2,3… )

1

𝑠𝑛

𝑒−𝑎𝑡 1

𝑠 + 𝑎

𝑡 𝑒−𝑎𝑡 1

(𝑠 + 𝑎)2

𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑡) 𝜔

𝑠2 + 𝜔2

𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑡) 𝑠

𝑠2 + 𝜔2

𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑡 + 𝜃) 𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠2 + 𝜔2

𝑐𝑜𝑠 (𝜔 𝑡 + 𝜃) 𝑠 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠2 + 𝜔2

𝑒−𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ∙ 𝑡) 𝜔

(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2

𝑒−𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔 ∙ 𝑡) 𝑠 + 𝑎

(𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2

2.2.4 Utilización de la tabla de parejas de transformadas

2.2.5 Transformadas Inversas por Expansión de Fracciones Parciales en dominio

Z

2.2.6 Transformadas Inversas por Desarrollo de una serie infinita de Potencias

en dominio Z

2.3 Solución de E.D. Lineales mediante transformadas Z

Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales

3.1 Sistemas Dinámicos y E.D.

3.2 Funciones de Transferencia

3.3 Diagramas de Bloques

Diagramas de blocks

Los diagramas de blocks son una representación gráfica de las ecuaciones que describen el

comportamiento de un sistema. Esta representación puede ser simplificada mediante el

siguiente álgebra de blocks.

Transformación Ecuación Diagrama original Diagrama equivalente

Blocks en cascada

w G z 1

z G y 2

y G x 3

G3 G2 G1

x y z w

G G G3 2 1

x w

Blocks en paralelo

y G x G x 1 2 G2

G1

x y+

G G1 2x y

Blocks en retroalimentación

y G x G y 1 2( )

G2

G1

x y+

G

G G

1

1 21

x y

Desplazamiento de un punto de

suma después de un block

z G x y 1( )

G1

x

y

+

z

G1

x

y

+

z

G1

Desplazamiento de un punto de

suma antes de un block

z G x y 1

G1

x

y

+

z

G1

x

y

+

z

1

1G

Desplazamiento de un punto de

toma después de un block

y G x 1

G1

x y

x

G1

x y

1

1G

x

Desplazamiento de un punto de

toma antes de un block

y G x 1

G1

x y

y

G1

x y

yG1

Cambio de puntos de suma

w x y z

x

y

+

z

w+ +

x

z

+

y

w+ +

Separación de un punto de suma

w x y z x

y

+

z

w+

x

y

+

z

w+

+

Ejemplo: Simplificar el diagrama de blocks

G1 G2

H1

G3

G4

H2

+ + +

+ - -

C(s) R(s)

G G1 2

H1

G G3 4

H2

+ +

- -

C(s) R(s)

G G

G G H

1 2

1 2 11 G G3 4

H2

+

-

C(s) R(s)

G G G G

G G H

1 2 3 4

1 2 11

( )

H2

+

-

C(s)R(s)

G G G G

G G H

G G G G

G G HH

1 2 3 4

1 2 1

1 2 3 4

1 2 1

2

1

11

( )

( )

C(s)R(s)

G G G G

G G H G G G G H

1 2 3 4

1 2 1 1 2 3 4 21

( )

( )

C(s)R(s)

Ejemplo:

G1 G2

H1

G3

H2

+ + + -

- -

C(s) R(s)

H3

G1 G2

H1

G3

H2

+ + + -

- -

C(s) R(s)

H3

1

3G

G1 G G2 3

H1

H2

+ + + -

- -

C(s) R(s)

H3

1

3G

G1

G1

G G

G G H

2 3

2 3 31

H2

+

+

-

+

C(s) R(s)

1

3G

G H1 1

G1

G G

G G H

2 3

2 3 31

+

-

C(s) R(s)

1

3G H G H2 1 1

G1

G G

G G H

2 3

2 3 31

+

-

C(s)R(s)

H G H

G

2 1 1

3

G1

G G

G G H

G G

G G H

H G H

G

2 3

2 3 3

2 3

2 3 3

2 1 1

3

1

11

C(s)R(s)

G G G

G G H G H G H

1 2 3

2 3 3 2 2 1 11 ( )

C(s)R(s)

Ejemplo

G1 G2

H1

G3

H2

+ + + -

- -

C(s) R(s)

H3

G4

G1

G2

H1

G3

H2

+ + + -

- -

C(s) R(s)

H3

G4

1

4G

1

1G

G G1 2

H1

G G

G G H

3 4

3 4 21

+ +

-

- C(s) R(s)

H

G G

3

1 4

G G

G G H

3 4

3 4 21

+ -

C(s) R(s)

H

G G

3

1 4

G G

G G H

1 2

1 2 11

+ -

C(s) R(s)

H

G G

3

1 4

G G G G

G G H G G H

1 2 3 4

1 2 1 3 4 21 1( )( )

C(s) R(s)

G G G G

G G H G G H

G G G G

G G H G G H

H

G G

1 2 3 4

1 2 1 3 4 2

1 2 3 4

1 2 1 3 4 2

3

1 4

1 1

11 1

( )( )

( )( )

G G G G

G G H G G H G G H

1 2 3 4

1 2 1 3 4 2 2 3 31 1( )( )

R(s) C(s)

3.4 Diagramas de Flujo de Señal

4.1.1 Regla de Mason

Fórmula de Mason

X

X

SAL

ENT

K K

K

N

1

XSAL : Vértice de salida.

XENT : Vértice de entrada.

K : Ganancia del k-ésimo camino directo.

: 1 - [Suma de las ganancias de todos los lazos] + [Suma de los productos de las

ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos] - [Suma de los

productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos]

+ ...

K : Se obtiene aplicando la ecuación para a la parte del diagrama que sea disjunto al k-

ésimo camino directo.

Lazos disjuntos: Lazos que no tienen vértices en común.

Diagrama disjunto: Parte del diagrama que no tiene vértices en común con el camino directo

que se está analizando.

Ejemplo: Hallar la función de transferencia x x5 1

x1

2x 12G

24G

x3

4x 5x 23G 34G

44G

32G G43

45G

25G

n = 3 caminos directos

x

x

k k

k

5

1 1

31 1 2 2 3 3

Camino directo #1:

x1

x2

G12

G24

x3

x4 x5

G45

1 12 24 45 G G G 1 1 Porque no existe parte del diagrama que sea disjunto a

este camino

Camino directo #2:

x1

x2

G12

x3

x5 G45

G25

G34

G43

G44

2 12 25 G G 2 34 43 441 0 [( ) ( )] ...G G G 1 34 43 44G G G

Camino directo #3

x1

x2

G12

x3

x4 x5

G23 G34

G45

3 12 23 34 45 G G G G 3 1 Porque no existe parte del diagrama que sea

disjunto a este camino

Lazos:

x2

x3

x4

G23 G34

G44

G32

G43

x2

G24

x3

x4

G32 G43

1 32 23 34 43 44 32 24 43 32 23 44[( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )] [( )( )( )]G G G G G G G G G G G

x

x

G G G G G G G G G G G G

G G G G G G G G G G G

5

1

12 24 45 12 25 34 43 44 12 23 34 45

32 23 34 43 44 32 24 43 32 23 44

1

1

( )( )

[( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )] [( )( )( )]

x

x

G G G G G G G G G G G G G G G G

G G G G G G G G G G G

5

1

12 24 45 12 25 12 25 34 43 12 25 44 12 23 34 45

32 23 34 43 44 32 24 43 32 23 441

Ejemplo: Simplificar el siguiente diagrama de flujo

x1

x2

G1

G6

x4 x5

G2

G3

H1

H3

G4 G5

H2

x3 x6

x6

1

n = 2 caminos directos

x

x

k k

k

6

1 1

21 1 2 2

Camino directo #1

x1

x2

G1

G6

x6 x6

1

G4

H2

1 1 6 G G 1 4 2 4 21 1 [ ]G H G H

Camino directo #2

x1x2

G1

x4 x5

G2 G3 G4G5

x3 x6 x6

1

2 1 2 3 4 5 G G G G G 2 1

Lazos:

x2

x4 x5

G2

G4

x3

H1

H2

x4 x5

G2

G3

H3

G4

x3 x2

1 2 1 4 2 2 3 4 3 2 1 4 2[( ) ( ) ( )] [( )( )]G H G H G G G H G H G H

1 2 1 4 2 2 3 4 3 2 4 1 2G H G H G G G H G G H H

Simplificar el siguiente diagrama de flujo:

x

x

G G G H G G G G G

G H G H G G G H G G H H

6

1

1 6 4 2 1 2 3 4 5

2 1 4 2 2 3 4 3 2 4 1 2

1

1

( )( ) ( )

x

x

G G G G G H G G G G G

G H G H G G G H G G H H

6

1

1 6 1 6 4 2 1 2 3 4 5

2 1 4 2 2 3 4 3 2 4 1 21

x1

x2

x7

x6

x3

x5

x4

x7

G2

G1

G4

G3 G5

G6

G7

G8

H1

H2

H3

H4

n = 4 caminos directos

x

x

k k

k

7

1 1

41 1 2 2 3 3 4 4

Camino directo #1

x1

x2

x7

x6

x5

x7

G1

G5 G6

G7

1 1 7 5 6 G G G G 1 1

Camino directo #2

x1

x2

x7

x5

x7

G1

G7

G8

2 1 7 8 G G G 2 1

Camino directo #3

x1

x2

x7

x6

x3

x5

x4

x7

G2

G1

G4

G3 G5

G6

3 1 2 3 4 5 6 G G G G G G 3 1

Camino directo #4

x1

x2

x7

x3

x5

x4

x7

G2

G1

G4

G3

G8

4 1 2 3 4 8 G G G G G 4 1

Lazos:

x2

x7

x6

x3

x5

x4

G2

G4

G3 G5

G6

H1 H4

1

2

x7

x6

x3

x5

x4

G4

G3 G5

G8

H2

H3

H4

3

4

5

x2

x3

x5

x4

G3

G7

H1

H2

6

x2

x7

x6

x5

x4

G5 G6

G7

H1 H4

7

x2

x7

x5

x4

G7

G8

H1 H4

8

Lazos disjuntos: 1 y 5

x

x

G G G G G G G G G G G G G G G G G G

G G H G G G H G G H G G H G H G G H H G G G H H G G H H G G H G H

7

1

1 7 5 61)

1 7 81)

1 2 3 4 5 61)

1 2 3 4 81)

12 3 1 4 5 6 4 3 4 2 4 8 4 5 3 7 3 1 2 7 5 6 1 4 7 8 1 4 2 3 1 5 3

( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) (

[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [( )( )]

x

x

G G G G G G G G G G G G G G G G G G

G G H G G G H G G H G G H G H G G H H G G G H H G G H H G G G H H

7

1

1 7 5 6 1 7 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 8

12 3 1 4 5 6 4 3 4 2 4 8 4 5 3 7 3 1 2 7 5 6 1 4 7 8 1 4 2 3 5 1 3

3.5 Teorema de muestreo

3.6 Retenedores y Sujetadores

3.7 Ecuación característica

3.8 Filtros Digitales

Respuesta de Sistemas de primer y segundo orden

4.1 Señales de prueba: impulso, escalón, rampa, parábola y

senoidal

4.1.1 Caso Discreto

4.1.2 Caso Continuo

4.2 Respuesta de Sistemas de Primer Orden (continuos y discretos)

4.3 Respuesta de Sistemas de Segundo Orden (Continuos y

discretos)

4.3.1 Región de Estabilidad

4.3.2 Región de Tiempo máximo de asentamiento

4.3.3 Región de Frecuencia máxima de Oscilación

4.3.4 Región de sobrepico máximo

4.4 Localización de polos y ceros, polos dominantes.

4.4.1 Caso continuo

4.4.2 Caso discreto

Análisis y simulación en la frecuencia de sistemas lineales

invariantes en tiempo

5.1 Análisis de Bode

5.1.1 Graficas de magnitud y de fase

5.1.1.1 Polos y ceros en el origen

5.1.1.2 Polos y ceros de primer orden

5.1.1.3 Polos y ceros de segundo orden

5.1.1.4 De cualquier función de transferencia

Práctica 1

Circuito RC

Circuito RLC

Práctica 2

Example: DC Motor Speed Modeling

Physical setup and system equations

Un actuador común en los sistemas de control es el

motor de DC. Este proporciona directamente

movimiento rotatorio y, junto con ruedas o poleas y

cables, puede proporcionar un movimiento de

traslación. El circuito eléctrico de la armadura y el

diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran en la

siguiente figura:

Para este ejemplo, vamos a asumir los siguientes valores para los parámetros

físicos:

* moment of inertia of the rotor (J) = 0.01 kg.m^2/s^2

* damping ratio of the mechanical system (b) = 0.1 Nms

* electromotive force constant (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp

* electric resistance (R) = 1 ohm

* electric inductance (L) = 0.5 H

* input (V): Source Voltage

* output (theta): position of shaft

* The rotor and shaft are assumed to be rigid

The motor torque, T, is related to the armature current, i, by a constant

factor Kt. The back emf, e, is related to the rotational velocity by the

following equations:

In SI units (which we will use), Kt (armature constant) is equal to Ke (motor

constant).

From the figure above we can write the following equations based on

Newton's law combined with Kirchhoff's law:

1. Transfer Function

Using Laplace Transforms, the above modeling equations can be expressed in

terms of s.

By eliminating I(s) we can get the following open-loop transfer function,

where the rotational speed is the output and the voltage is the input.

Example: Modeling DC Motor Position

Physical Setup

System Equations

Design Requirements

Matlab Representation and Open-Loop Response

Physical Setup

A common actuator in control systems is

the DC motor. It directly provides rotary

motion and, coupled with wheels or

drums and cables, can provide

transitional motion. The electric circuit of

the armature and the free body diagram

of the rotor are shown in the following figure:

For this example, we will assume the following values for the physical

parameters. These values were derived by experiment from an actual motor in

Carnegie Mellon's undergraduate controls lab.

* moment of inertia of the rotor (J) = 3.2284E-6 kg.m^2/s^2

* damping ratio of the mechanical system (b) = 3.5077E-6 Nms

* electromotive force constant (K=Ke=Kt) = 0.0274 Nm/Amp

* electric resistance (R) = 4 ohm

* electric inductance (L) = 2.75E-6 H

* input (V): Source Voltage

* output (theta): position of shaft

* The rotor and shaft are assumed to be rigid

System Equations

The motor torque, T, is related to the armature current, i, by a constant

factor Kt. The back emf, e, is related to the rotational velocity by the

following equations:

In SI units (which we will use), Kt (armature constant) is equal to Ke (motor

constant).

From the figure above we can write the following equations based on

Newton's law combined with Kirchhoff's law:

1. Transfer Function

Using Laplace Transforms the above equations can be expressed in terms of

s.

By eliminating I(s) we can get the following transfer function, where the

rotating speed is the output and the voltage is an input.

However during this example we will be looking at the position, as being the

output. We can obtain the position by integrating Theta Dot, therefore we just

need to divide the transfer function by s.

Simulación de un Tanque

El contenido de agua de un tanque cilíndrico abierto se ve afectado por una

demanda variable q2(t) controlada por la apertura de una válvula, un flujo de llenado

q1(t) también variable, así como por una demanda q3(t) producida por una bomba. El

radio de la base es de 5 ft. En condiciones normales de operación el tanque se

mantiene lleno hasta 7 ft. de altura estando la válvula abierta un 50%. Se considera

que la bomba produce un flujo constante de 30 gpm.

El comportamiento de la válvula está dado por

Gg

tghCtvptq

c

v144

)()()(

Nótese que el término P(t) en la ecuación de flujo se reduce a g h(t) / 144 gc

debido a que, por estar abierto el tanque, la presión que ejerce el medio sobre el

líquido es la misma que hay en la salida de la válvula, que está abierta al aire

(Cv.=57.404 gpm/psi1/2). Además se hace la suposición de que la presión que ejerce la

columna de agua sobre la bomba no afecta el flujo que ésta produce.

)(3 tq )(2 tq

)(th

)(1 tq

a) Analice el efecto que producen variaciones en el flujo de entrada y en la apertura de la válvula sobre la altura del agua en el tanque, obteniendo el modelo del sistema en variables absolutas.

b) Obtenga el modelo del sistema en variables de desviación. c) Compare en una gráfica la función original de respuesta de la válvula, flujo vs

altura, con la función linealizada. Basado en esta gráfica, determine un intervalo de valores de h(t) para los cuales la aproximación lineal es válida.

d) Simule el comportamiento del sistema original para cambios escalón en las variables de entrada, de una magnitud adecuada para que h(t) permanezca dentro del intervalo elegido en c).

e) Repita la simulación utilizando ahora el sistema linealizado y grafique junto con los resultados de d).

f) Grafique el error de aproximación, es decir, la diferencia entre los dos resultados anteriores. Cuál es el máximo valor del error (expresado en porciento de la salida del sistema original).

g) Obtenga aproximadamente los rangos de variación en las variables de entrada para mantenerse en un rango de error de aproximación del 5%.

h) Haga los comentarios que considere pertinentes en cada punto.