Apuntes de Dinamica

DINAMICA DE ESTRUCTURAS

ABRIL-2011

Patricio Cendoya Hernndez [email protected]

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PRESENTACION

El presente texto de apoyo a la docencia constituye un complemento a las clases tericas y practicas del curso de Dinmica de Estructuras que semestre a semestre se dicta en el Departamento de Ingeniera Civil de la Universidad de Concepcin. Consta de 7 Captulos, partiendo con un Capitulo inicial que sirve de introduccin para definir los conceptos bsicos y la nomenclatura involucrada en el anlisis dinmico de estructuras. El Capitulo 2 desarrolla la ecuacin que define el equilibrio dinmico de sistemas de un grado de libertad con masa concentrada y analiza la respuesta dinmica para distintos tipos de excitaciones que tienen una representacin analtica y para las cuales es posible obtener una solucin cerrada a la ecuacin de movimiento. En el Capitulo 3, se introduce el anlisis para cargas del tipo arbitrario como ser las asociadas a los fenmenos del tipo ssmico, colocando nfasis en el clculo de la respuesta mediante la utilizacin de la integral de Duhamel y la utilizacin mtodos de integracin temporal del tipo paso a paso. En el Capitulo 4, se presentan una serie de problemas en donde se aplican y mezclan los conceptos bsicos de la dinmica de estructuras asociados a sistemas de un grado de libertad. En el Capitulo 5, se entregan los conceptos asociados a sistema de n grados de libertad y como abordar el anlisis de este tipo de estructuras. En el Capitulo 6, se presentan ejemplos resueltos de sistemas de n grados de libertad sometidos a diversos tipos de cargas dinmicas. Finalmente en el Capitulo 7 se desarrolla el anlisis de sistemas con masa distribuida utilizando el concepto de coordenada generalizada, dicho capitulo se complementa con ejercicios sobre el tema. La publicacin de este texto complementa el estudio de los libros clsicos y fundamentales en el aprendizaje de la Dinmica de estructuras (CHOPRA (1995) ( 3 ) , CLOUGH y PENZIEN (1982) ( 4 ) , PAZ (1992) ( 6 ) ).

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ndice

Captulo 1: Conceptos bsicos ..............................................................................................1 1.1 Introduccin ................................................................................................................2 1.2 Grados de libertad ......................................................................................................3 1.3 Modelo mecnico ........................................................................................................4 1.3.1 Rigidez equivalente .............................................................................................5 1.3.2 Mtodo de la rigidez basal ..................................................................................8 1.4 Comportamiento general de un sistema mecnico ..................................................11 Captulo 2: Ecuacin de movimiento en sistema de 1 GDL ..............................................14 2.1 Introduccin ................................................................................................................14 2.2 Oscilacin libre no amortiguada ................................................................................16 2.3 Oscilacin forzada no amortiguada...........................................................................20 2.4 Oscilacin libre amortiguada .....................................................................................22 2.4.1 Amortiguamiento critico .....................................................................................24 2.4.2 Amortiguamiento supercrtico.............................................................................25 2.4.2 Amortiguamiento subcritico ................................................................................26 2.5 Conceptos de disipacin de energa ..........................................................................29 2.6 Oscilacin forzada no amortiguada con carga constante.........................................32 2.7 Oscilacin forzada amortiguada ................................................................................36 2.8 Aislamiento de vibraciones: respuesta al movimiento de la base ...........................40 Captulo 3: Excitacin arbitraria ...........................................................................................43 3.1 Respuesta a movimientos ssmicos............................................................................43 3.2 Oscilacin forzada bajo carga no armnica...............................................................45 3.3 Espectro de respuesta ssmico....................................................................................47 3.4 Integracin de ecuacin de movimiento ...................................................................50 3.4.1 Solucin explicita ..................................................................................................51 3.4.2 Solucin implcita..................................................................................................53


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Captulo 4: Ejemplos sistemas de 1 GDL ............................................................................59 4.1 Aplicaciones ................................................................................................................59 4.1.1 Marco sometido a carga impulsiva rectangular .................................................59 4.1.2 Marco sometido desplazamiento de su base.......................................................63 4.1.3 Marco sometido a carga impulsiva triangular ...................................................67 Captulo 5: Sistemas de n GDL.............................................................................................71 5.1 Introduccin ................................................................................................................71 5.2 Propiedad de ortogonalidad de los modos ..............................................................76 5.3 Ecuaciones desacopladas ...........................................................................................78 5.4 Normalizacin de la matriz modal ...........................................................................81 5.5 Masa equivalente.........................................................................................................82 5.6 Mtodo de superposicin modal Anlisis de sensibilidad ......................................84 5.7 Ventajas y desventajas del anales modal ..................................................................85 5.8 Efecto del amortiguamiento .......................................................................................86 Captulo 6: Aplicaciones a sistemas de n GDL ..................................................................90 6.1 Ejemplos.......................................................................................................................90 6.1.1 Marco de tres niveles sometido a un espectro de velocidades .........................90 6.1.2 Marco de dos niveles sometido a espectro de aceleraciones .............................100 6.1.3 Marco de tres niveles anlisis de piso blando.....................................................106 6.1.4 Marco de dos niveles con aceleracin basal ........................................................111 Captulo 7: Sistemas generalizados .....................................................................................115 7.1 Sistemas con masa y elasticidad distribuida.............................................................115 7.1.1 Chimenea con masa distribuida...........................................................................119 Captulo 8: Referencias .........................................................................................................122

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CAPITULO 1 CONCEPTOS BASICOS

1. 1 INTRODUCCION La dinmica de estructuras es aquella parte de la mecnica aplicada que desarrolla mtodos para el estudio del comportamiento de estructuras sujetas a la accin de vibraciones, BARBAT (1983) (1) . El estudio de la dinmica de los cuerpos deformables, puede realizarse desde dos enfoques: uno denominado determinista en el cual a travs de las ecuaciones de la mecnica clsica, aplicada sobre un modelo estructural continuo o discreto se obtiene la solucin analtica o numrica a las ecuaciones que gobiernan el problema. Otro enfoque es el denominado no-determinista (estocsticoaleatorio) que toma en cuenta la aleatoriedad de las cargas y del comportamiento mecnico de los materiales, dicho enfoque no se aborda en estos apuntes, siendo este ultimo el ms prximo a la realidad en el caso ssmico.


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Una carga esttica es aquella cuyo valor no cambia con el tiempo. Un ejemplo de carga esttica lo representan las cargas muertas (peso propio de la estructura) ya que estas permanecen constantes con el paso del tiempo. Una carga o excitacin dinmica es aquella cuya intensidad es funcin del tiempo, un sismo por ejemplo se puede representar como fuerza del tipo dinmico que acta sobre la estructura. Cualquier estructura elstica sujeta a la accin de una carga dinmica se comporta como un sistema oscilante. Una de las diferencias entre un problema esttico y uno dinmico es la variacin en el tiempo de la respuesta, lo que hace que el problema dinmico no tenga solamente una solucin. Al contrario, el anlisis entrega una solucin en cada instante de tiempo t 0 , t 1 ,K , t n , para obtener de esta forma la historia de la respuesta OLLER (1995) ( 5 ) . BARBAT (1983) (1) seala que las principales fuentes de fenmenos vibratorios que pueden afectar a las estructuras son entre otros: Las maquinarias y las instalaciones cuyo funcionamiento implica la presencia de masas en desequilibrio. Las vibraciones causadas por las maquinarias en funcionamiento afectan principalmente a las estructuras soportantes, a sus fundaciones y a estructuras y equipos ubicados en las cercanas. Vehculos en movimiento Sismos, explosiones La accin del viento

1.2 GRADOS DE LIBERTAD Para poder estimar la respuesta dinmica de una estructura real es necesario aplicar simplificaciones conceptuales para reducirla a una estructura ideal (modelo mecnico) a partir del cual se construye un modelo matemtico que describe cuantitativamente la respuesta de la estructura idealizada.

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Calcular la respuesta dinmica implica establecer dicha respuesta en cada uno de los puntos de la estructura, es decir, en una infinidad de puntos si se considera el hecho real que esta es un medio continuo. Dicho de esta forma el problema se transforma en insoluble, para facilitar l clculo numrico se define un nmero finito de puntos representativos de la estructura en donde se plantea y formula el problema. Esto se realiza mediante un procedimiento denominado discretizacin BARBAT (1983) (1) . Entre los mtodos ms utilizados para realizar esta operacin, se tienen: El mtodo de las masas concentradas El mtodo de los desplazamientos generalizados El mtodo de los elementos finitos

Cada uno de estos mtodos se aplica en funcin del tipo de estructura que se utiliza. Uno de los mtodos ms empleados para estimar la respuesta dinmica es el de las masas concentradas, el cual supone que la masa se concentra en una serie de puntos previamente seleccionados, de tal forma que el modelo mecnico resultante sea capaz de proporcionar una descripcin aproximada del movimiento de la estructura real. Cada una de las masas concentradas describe el moviendo generado por el efecto de las fuerzas de inercia que aparecen en el modelo mecnico durante su vibracin. El nmero total de componentes de los desplazamientos en los cuales las masas concentradas vibran con respecto a sus posiciones originales, se denomina nmero de grados de libertad dinmica del modelo. El nmero de grados de libertad dinmica de una estructura se puede tambin definir como l nmero mnimo de desplazamientos que se tienen que conocer para definir por completo la deformada de la estructura en cada instante durante su vibracin.


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Una vez obtenida la deformada de la estructura en cada instante del movimiento, es decir, la descripcin de los desplazamientos es posible conocer las deformaciones, tensiones y esfuerzos que se desarrollan en la estructura en el tiempo. La identificacin de los grados de libertad dinmica de una estructura necesita mucha rigurosidad, ya que tiene gran influencia sobre el resultado del clculo dinmico. El mtodo de las masas concentradas, resulta eficaz en aquellas estructuras en las cuales una gran parte de su masa est realmente concentrada en puntos discretos. 1.3 MODELO MECANICO

El modelo mecnico ms sencillo que permite idealizar el comportamiento de una estructura de un grado de libertad, est constituido por una masa soportada por un elemento de rigidez K . Por ejemplo en el marco plano de nudos rgidos de figura 1.1, se considera que es despreciable la deformacin axial de las columnas y que el elemento horizontal que las une es indeformable (es decir, dicho elemento se comporta como un diafragma rgido). En este caso la posicin del sistema en cualquier instante del tiempo puede ser definida por una nica coordenada que corresponde al desplazamiento horizontal del diafragma rgido, que en el modelo mecnico corresponde al centro de masas de la masa concentrada. Alternativamente la estructura de la figura 1.1, se puede idealizar como un carro con ruedas sin roce con el suelo, de masa m y con un resorte sin masa de rigidez horizontal K , tal como se indica en figura 1.2. En ambos casos, las caractersticas mecnicas asociadas a la disipacin de energa del sistema se pueden caracterizar a travs de la inclusin de un amortiguador del tipo viscoso con constante de amortiguamiento c .

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Figura 1.1. Marco plano con nudos rgidos y modelo mecnico asociado. Ambos modelos suponen que la masa de la estructura se concentra a nivel del diafragma horizontal el cual ha efectos del anlisis dinmico se considera rgido (indeformable) y que se desplaza paralelamente con respecto a la direccin horizontal, imponiendo igualdad de desplazamiento en todos los elementos verticales que se conectan a ella.

Figura 1.2. Modelo mecnico de un sistema de un grado de libertad.


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1.3.1 RIGIDEZ EQUIVALENTE En una columna de seccin constante que sufre un desplazamiento horizontal i sin giro de nudos y que se deforma solo por flexin con base empotrada la rigidez vale:

ki = 12

EI h3

(1.1)

Fsicamente k i representa la fuerza horizontal necesaria que hay que aplicar a nivel de diafragma horizontal en la direccin horizontal para producir un desplazamiento unitario sin giro en el nudo que conecta la columna con el diafragma. En el caso que la no existiera empotramiento, si no que la base de la columna estuviera con un apoyo fijo la rigidez lateral k i de la columna i se reduce a:

ki = 3

EI h3

(1.2)

Se debe sealar que los diafragmas horizontales aparte de resistir solicitaciones verticales de peso propio y sobrecargas transmiten fuerzas horizontales de inercia, imponiendo igualdad de deformaciones a nivel del diafragma horizontal y produciendo fuerzas de corte proporcionales a la rigidez horizontal de cada una de las subestructuras verticales conectadas a ella. Por ejemplo, el marco plano de la figura 1.3 consta de n columnas empotradas en su base y conectadas rgidamente a nivel del diafragma superior. Bajo la hiptesis de diafragma horizontal rgido el desplazamiento horizontal de cada una de las columnas es el mismo, es decir:

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1 = 2 = K = n = Para dicho marco plano se cumple que:

(1.3)

F = F1 + F2 + L + Fn = Fi Fi = k i i

(1.4) (1.5)

De la ecuacin Constitutiva (1.5) y de la ecuacin de compatibilidad de desplazamiento laterales (1.3), reemplazando en la ecuacin de equilibrio de fuerzas horizontales (1.4), se tiene:

F = [k1 + k 2 + L k n ] = k i = K Luego:

(1.6)

K = kii =1

n

(1.7)


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Figura 1.3. Marco plano. Sistema equivalente de resortes elsticos en paralelo. Siendo K la rigidez lateral equivalente del sistema, es decir, la estructura se puede modelar como si se tratase de un sistema elctrico en paralelo.

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Cuando los resortes se disponen en serie, la constante del resorte equivalente vale:1 n 1 = K i =1 k i

(1.8)

Por ejemplo, la estructura de la figura 1.4 puede modelarse como un sistema mecnico de un grado de libertad con una rigidez equivalente de piso igual a:

K = 3

EI EI 1 EI + 12 32 + 3 33 3 3 4 3

(1.9)

Figura 1.4. Estructura de un grado de libertad Veamos la siguiente situacin, considrense tres marcos planos rgidos todos de igual masa y con columnas de igual rigidez flexional ( EI = cte ) pero con distintas condiciones de vinculacin de las columnas en la base. La rigidez equivalente para cada marco vale:

Marco con ambas columnas empotradas: K 1 = 24

EI H3

Marco con una columna empotrada y la otra con apoyo fijo:Patricio Cendoya Hernndez [email protected]

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K 2 = 15

EI H3 EI H3

Marco con ambas columnas con apoyos fijos: K 3 = 6

Graficando las relaciones F vs. u (fuerza vs. desplazamiento lateral) tal como se indica en figura 1.5. Se concluye que para una carga horizontal aplicada a nivel del diafragma horizontal rgido, el marco con columnas empotradas se desplaza una cantidad u1 , mientras que el marco con una columna empotrada se desplaza una cantidad u 2 y el marco con ambas columnas con apoyos fijos se desplaza una cantidad u 3 . Es decir:

u1 < u 2 < u 3 Puesto que K 1 > K 2 > K 3(1.10) Luego el marco ms rgido se desplaza menos para la misma carga horizontal. Se verifica que el desplazamiento horizontal es inversamente proporcional a la rigidez lateral del marco.

Figura 1.5. Influencia de la rigidez lateral en el nivel de desplazamientos laterales.

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1.3.2 METODO DE LA RIGIDEZ BASAL Afectos del diseo estructural no solo es necesario conocer el desplazamiento que experimenta el diafragma horizontal, si no que interesa saber cuanta fuerza de corte toma cada una de las columnas del marco. Para poder definir el valor de dichas fuerzas de corte, analicemos las ecuaciones de equilibrio, constitutivas y de compatibilidad de desplazamientos respectivamente:

F = F1 + F2F1 = k1 u1 F2 = k 2 u 2 u1 = u 2 = Reemplazando (1.13), (1.14) y (1.15) en (1.12) se tiene:

(1.12) (1.13) (1.14) (1.15)

F = F1 + F2 = k1 u1 + k 2 u 2 = [k1 + k 2 ] =

F [k1 + k 2 ]

(1.16)

Reemplazando el desplazamiento horizontal de (1.16), en (1.13) y (1.14) se llega a la fuerza de corte que toma cada columna:

k1 F [k1 + k 2 ] k2 F2 = k 2 u 2 = k 2 = F [k1 + k 2 ] F1 = k1 u1 = k1 =

(1.17) (1.18)


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Luego cada columna toma una fuerza de cortante proporcional a su rigidez, es decir, la columna con mayor rigidez toma ms carga.Fi = kii =1

ki

n

F

(1.19)

En la figura 1.6, se presenta un marco plano con columnas de diferente altura pero igual rigidez flexional, para este marco se busca conocer como se distribuye la fuerza de corte basal en cada una de las columnas. Para ello consideremos una fuerza horizontal de valor F aplicada a nivel del diafragma horizontal, dicha fuerza se transmite a la base de la estructura y se denomina Qb , es decir:

F = F1 + F2 = Qb k1 = 12 EI H3 EI EI k 2 = 12 = 96 3 = 8 k1 3 H H 2

(1.20) (1.21) (1.22)

De ecuacin (1.19), se tiene:

F1 =

Q k1 Qb = b k1 + k 2 9k2 8 Qb = Qb k1 + k 2 9

(1.23)

F2 =

(1.24)

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En este caso la columna ms rgida ( k 2 > k 1 ) toma 8 veces la fuerza de corte que toma la columna mas flexible. Lo anterior nos debe hacer reflexionar que teniendo ambas columnas igual inercia flexional el hecho que una sea mas corta que la otra la transforma en ms rgida y hace que se lleve el 88.9% del cortante basal. Luego un buen diseo sismorresistente debe considerar comportamiento y considerar esta condicin en el diseo estructural. este

Figura 1.6. Marco plano con columnas de diferente rigidez al corte.


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1.4

COMPORTAMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA MECANICO

Figura 1.7. (a) Modelo conservativo; (b) Modelo amortiguado; (c) Modelo ssmico Inicialmente se estudia el modelo dinmico de pndulo invertido de la figura 1.7. Si dicho modelo se desplaza de su posicin vertical inicial y se lleva a una nueva posicin de equilibrio alejada en una unidad u( t = 0 ) = 1 con respecto a la posicin inicial y luego se suelta con una & velocidad inicial u( t = 0 ) 0 , el pndulo oscilara con respecto a su posicin de equilibrio inicial en un movimiento que se le conoce como vibracin libre no amortiguada, (ver figura 1.8). Evidentemente, este es un caso terico que sirve solamente para definir las caractersticas dinmicas del sistema. Este tipo de respuesta, no es realista ya que, intuitivamente se espera que la amplitud de las oscilaciones disminuya poco a poco hasta detenerse por completo. Con el objeto de introducir este fenmeno (disminucin paulatina de la amplitud del movimiento) al pndulo invertido se le agrega un elemento que disipe energa. Normalmente se utiliza un amortiguador del tipo viscoso, es decir, se asume que la disipacin de energa se produce mediante fuerzas de amortiguamiento proporcionales con la velocidad, en conformidad con la hiptesis de Voight BARBAT (1983) (1 ) .

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El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibracin libre disminuye en amplitud; en este proceso la energa del sistema en vibracin es disipada por varios mecanismos los cuales pueden estar presentes simultneamente. Finalmente el modelo de la figura 1.7 (c) corresponde al caso de anlisis ssmico, en donde la excitacin se caracteriza por su registro de aceleraciones a( t ) , o por el registro de velocidades v( t ) o por el registro de desplazamientos d( t ) del suelo.

Figura 1.8. Vibracin libre no amortiguada. En la figura 1.8, se define: A: amplitud del movimiento, que depende de las caractersticas mecnicas del pndulo y de las condiciones iniciales. T: periodo (s), que depende de las caractersticas de masa y rigidez del pndulo.


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CAPITULO 2 ECUACION DE MOVIMIENTO EN SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

2.1 INTRODUCCION El movimiento de la estructura idealizada como un sistema de un grado de libertad sometida a cargas dinmicas se rige por una ecuacin diferencial, la cual se obtiene utilizando el principio de DAlembert BARBAT (1983) (1) : El equilibrio dinmico del sistema queda garantizado, si en cada instante todas las fuerzas que actan sobre el sistema, incluso las fuerzas de inercia (ficticia), estn en equilibrio esttico. Cuando al sistema de un grado de libertad se le aplica una carga externa dinmica F (t ) , la masa sufre un desplazamiento lateral u (t ) el cual representa la deformacin que sufre la estructura. Puesto que la fuerza externa vara con el tiempo, el desplazamiento tambin cambiar en el tiempo.

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Las fuerzas involucradas en el equilibrio del sistema son: la fuerza dinmica externa F (t ) , la fuerza elstica resistente FE (t ) que es la fuerza que las columnas ejercen sobre la masa cuando sta se mueve, la fuerza de amortiguamiento F A(t ) que es la fuerza que ejerce el amortiguador sobre la masa y la fuerza de inercia FI (t ) . Las fuerzas de inercia, de amortiguamiento y elsticas son funcin del movimiento de la masa, o sea son funcin de la aceleracin, de la velocidad y del desplazamiento de la masa, respectivamente. De acuerdo a la segunda ley de Newton, la fuerza de inercia que se desarrolla en la masa m es directamente proporcional a la aceleracin total de la misma, es decir:

&& FI = m u (t )

(2.1)

La fuerza de amortiguamiento, suponiendo un amortiguamiento del tipo viscoso est dada por:

& FA = c u (t )

(2.2)

& Donde c es el coeficiente de amortiguamiento y u (t ) es la velocidad relativa de la masa con respecto al suelo. Para un sistema lineal la fuerza elstica resistente est dada por: FE = k u (t )(2.3)

Donde k es la rigidez lateral del sistema y u (t ) es el desplazamiento relativo entre la masa y el suelo. Substituyendo las fuerzas FI , FA , FE en la ecuacin de equilibrio dinmico, se obtiene:


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&& & m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = F (t )

(2.4)

Ecuacin diferencial ordinaria, lineal de coeficientes constantes m, c y k , de segundo orden y no homognea. Para que la solucin numrica o analtica de la ecuacin quede definida en el dominio del tiempo, es necesario definir dos condiciones iniciales, una asociada a los desplazamientos y otra asociada a las velocidades iniciales. En el caso de una excitacin ssmica, no existe una fuerza externa que esta aplicada a la masa del sistema en forma directa, sino que la nica solicitacin al sistema es la debida a la aceleracin del suelo sobre el cual se encuentra la estructura. Como resultado de esta excitacin la base de la estructura tiene una aceleracin a g (t ) y a su vez la estructura se deforma en una cantidad u (t ) . El equilibrio dinmico impone que:

&& & m u (t ) + a g (t ) + c u (t ) + k u (t ) = 0Luego:

[

]

(2.5)

&& & m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = F (t ) = m a g (t )

(2.6)

Siendo esta la ecuacin del movimiento que gobierna la respuesta de un sistema de un grado de libertad amortiguado sometido a un movimiento ssmico. 2.2 OSCILACION LIBRE NO AMORTIGUADA

Las caractersticas dinmicas de un sistema estructural de un solo grado de libertad se definen analizando la vibracin libre no amortiguada. La ecuacin de movimiento correspondiente a este caso (sistema conservativo) se obtiene directamente despreciando los trminos asociados a la excitacin externa F (t ) y la fuerza de amortiguamiento viscoso en (2.4), resultando:

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&& m u (t ) + k u (t ) = 0Dividiendo por la masa de la estructura, resulta:

(2.7)

k = 2 mDonde se define como la frecuencia fundamental del sistema:

(2.8)

=

k = m

kg W

(2.9)

La solucin general de esta ecuacin corresponde a una vibracin sinusoidal del tipo:

u (t ) = C1 cos( t ) + C 2 sen( t ) o u (t ) = C sen( t + )

(2.10) (2.11)


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Figura 2.1. Oscilador libre no amortiguado.

Donde C corresponde a la amplitud del movimiento, es el ngulo de desfase y C1 , C 2 son constantes de integracin. Considerando condiciones iniciales asociadas al desplazamiento u (t = 0) = u 0 y velocidad & & u (t = 0) = u 0 que origina el movimiento, es posible definir los valores de dichas constantes.

u (t ) = u 0 cos( t ) +

& u0

sen( t )2 2 0

(2.12) (2.13) (2.14)

& u u (t ) = C sen[ t + ] = u + 0 sen[ t + ] u0 Con tan = & u0

Matemticamente el periodo natural de vibracin de un sistema no amortiguado se define por:

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=

2

1 f = T

=

1 m = 2 f k

(2.15) (2.16)

Para tener una idea intuitiva del significado del periodo de vibracin, sea la deformacin esttica de una estructura de un grado de libertad asociada a una fuerza lateral igual a su peso, en la direccin en que puede deformarse (grado de libertad), ver figura 2.2.:

Figura 2.2. Calculo del periodo. Por equilibrio de fuerzas horizontales:k = M g T = 2 = 2 M = 2 0.2 k g

(2.17)

Esto permite concluir que las estructuras ms deformables (> < k ) tendrn un periodo de vibracin mas largo que las estructuras menos deformables (rgidas). Volviendo al problema de vibraciones libres no amortiguadas, sigamos un ciclo de vibracin de la estructura, ver figura 2.3. En la posicin 1 el desplazamiento de la masa es nulo luego se mueve hacia la derecha hasta que llega al mximo desplazamiento en la posicin 2.


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A partir de este punto el desplazamiento disminuye y regresa a su posicin de equilibrio en la posicin 3, contina movindose hacia la izquierda hasta alcanzar el mximo desplazamiento de ese lado en la posicin 4. Despus de este punto la masa comienza de nuevo a desplazarse hacia la derecha hasta alcanzar nuevamente la posicin de equilibrio en la posicin 5. As pues un ciclo completo de movimiento (periodo) est dado por las posiciones 1-2-3-4-5. En la posicin 5 el estado del sistema (desplazamiento y velocidad) son los mismos a la posicin 1, en la cual la estructura est lista para iniciar un nuevo ciclo.

Figura 2.3. Periodo de vibracin de un sistema de un grado de libertad.

2.3

OSCILACION FORZADA NO AMORTIGUADA

Consideremos que no existe amortiguamiento estructural en el sistema y que aplicamos una fuerza del tipo armnica de duraron indefinida sobre el mismo. La ecuacin que describe el movimiento del sistema, se puede expresar por:

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&& m u( t ) + k u( t ) = F ( t ) = F0 sen( t )

(2.18)

Siendo la frecuencia de excitacin asociada a la fuerza aplicada. La solucin al problema tiene dos trminos una solucin homognea u g ( t ) y otra particular u p ( t ) :u (t ) = u g (t ) + u p (t )

(2.19)

La naturaleza de la fuerza externa, sugiere la siguiente solucin particular:

u p (t ) = A sen( t )

(2.20)

Figura 2.4. Oscilador no amortiguado con fuerza externa armnica.

Sustituyendo en la ecuacin de movimiento, se tiene:

m 2 A sen( t ) + k [ A sen( t )] = F0 sen( t )

[

]

(2.21)


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A=

F0 m + k2

=

F0 2 k 1 2

=

F0 k (1 2 )

(2.22)

Donde = particular:

se denomina razn de frecuencias, luego la solucin

F0 F0 k u p (t ) = sen( t ) = sen( t ) = 2 k (1 ) (1 2 ) uE sen( t ) (1 2 )

(2.23)

En donde u E = pndulo.

F0 , representa al desplazamiento horizontal esttico del k

Finalmente la respuesta total del sistema puede evaluarse como la suma de la respuesta homognea ms la solucin particular: uE u (t ) = sen( t ) + [C sen( t + )] 2 (1 ) uE u (t ) = sen( t ) + [C1 sen( t ) + C 2 cos( t )] 2 (1 )

(2.24)

(2.25)

Imponiendo las condiciones iniciales, resulta:

uE u (t ) = (sen( t ) sen( t ) ) + 2 (1 ) &0 u sen( t ) + u 0 cos( t )

(2.26)

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& Considerando condiciones iniciales nulas ( u0 = u0 = 0 ): uE u (t ) = (sen( t ) sen( t ) ) 2 (1 )

(2.27)

En donde la variacin del desplazamiento dinmico u (t ) lo podemos expresar en funcin del desplazamiento esttico del sistema como:u (t ) = FAD u E

(2.28) (2.29)

FAD =

1 (sen( t ) sen( t ) ) (1 2 )

En donde se define el factor de amplificacin dinmica (FAD): Cuando 1 FAD ocurre resonancia

Cuando 0 0 FAD 0 se obtiene la respuesta esttica Cuando FAD 1 el oscilador no responde Lo anterior permite reafirma el echo que la estructura se comporta como un filtro de frecuencias, dependiendo su respuesta de la razn de frecuencias OLLER (1995) ( 5 ) , BARBAT (1983) (1 ) . En la figura 2.5 se presenta la grafica del factor de amplificacin dinmica FAD , en donde se han dibujado por separado las curvas asociadas a la frecuencia de excitacin , a la frecuencia natural y la suma de ambas ecuacin (2.29).


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Para obtener el valor mximo del factor de amplificacin dinmica, se debe derivar la expresin (2.29) e igualarla a cero para despejar el tiempo al cual este valor se hace mximo, sin embargo, esto resulta en una operacin engorrosa, siendo mas fcil graficar la respuesta y leer en forma directa desde el grafico el valor mximo.

Por ejemplo, en el caso de la figura 2.5, se presenta la grfica del factor de amplificacin dinmica, cuando la razn de frecuencias es igual a = 2 . En este caso el FAD resulta ser del orden de 1.8 , esto se traduce en que la respuesta dinmica mxima del oscilador es aproximadamente igual a u max = 1.8 u E .

Figura 2.5. Factor de amplificacin dinmica, considerando = 2 .

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2.4 OSCILACION LIBRE AMORTIGUADA En este caso la ecuacin de movimiento que representa al sistema, se puede escribir como:

& m &&& + c u + k u = 0 uEn donde c es el coeficiente de amortiguamiento.

(2.30)

&& u+Sea:

c k & u + u = 0 m m

(2.31)

c = 2 m

y

=

c (factor de amortiguamiento), c cr

0 1 El sistema no oscila pero retorna a su posicin de equilibrio lentamente y es denominado amortiguamiento supercrtico.2

2.4.1 AMORTIGUAMIENTO CRTICO: ( = 1 ) En este caso las dos races de la ecuacin caracterstica son iguales:

1 = 2 = = Para que la solucin sea independiente debe tener la siguiente forma:

(2.39)

u (t ) = C1 e 1t + C 2 t e 2 t = [C1 + C 2 t ] e tImponiendo condiciones iniciales, se tiene:

(2.40)

32


& u (t ) = u 0 e t [1 t ] + u 0 t e t

(2.41)

Que es la respuesta de un oscilador con amortiguamiento crtico, siendo un movimiento no oscilatorio. En figura 2.6, se presenta el mv. no oscilatorio ( = 1 ) asociado a las

& siguientes condiciones iniciales, u 0 = 1 cm. y u 0 = 3

cm . s

Figura 2.6. Movimiento no oscilatorio, factor de amortiguamiento unitario ( = 1 ).


33

2.4.2 AMORTIGUAMIENTO SUPERCRITICO: ( > 1 ) En este caso, las dos races de la ecuacin caracterstica son diferentes, obtenindose:

u (t ) = C1 e 1t + C 2 e 2 tAplicando las condiciones iniciales, se llega a:

(2.42)

C1 =

& (u 0 2 + u 0 ) 2 1 & (u 0 1 + u 0 ) 1 2

(2.43)

C2 =

(2.44)

Sustituyendo las constantes, se tiene la ecuacin de movimiento del sistema sin oscilaciones. 2.4.3 AMORTIGUAMIENTO SUBCRITICO: ( < 1 ) Este corresponde al caso tpico de las construcciones civiles ( 0 < < 1 ). Las races de la ecuacin caracterstica son:

1,2 = i 1 2 = i

(2.45)

La solucin general al problema es:

u (t ) = C1 e 1t + C 2 e 2 t = C1 e ( +i )t + C 2 e ( i )tUtilizando las ecuaciones de Euler (OLLER (1995) ( 5 ) ):

(2.46)

e ix = cos( x) + i sen( x)34Patricio Cendoya Hernndez [email protected]

e ix = cos( x) i sen( x)Se llega a la siguiente expresin:

(2.47)

u( t ) = C1 e t [cos( t ) + i sen( t )] + C 2 e t [cos( t ) i sen( t )]La cual se puede reescribir como:

(2.48)

u (t ) = e t [B1 cos( t ) + B2 sen( t )] B1 = C1 + C 2 B 2 = i (C1 + C 2 ) = i B1Sustituyendo = y = 1 2 se llega a:u (t ) = e t B1 cos[( 1 2 ) t ] + B2 sen[( 1 2 )t ]

(2.49) (2.50) (2.51)

(2.52)

Definiendo la frecuencia amortiguada como:

a = 1 2 Ta =

2

a

=

T1 1 2

(2.53)

Considerando las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad, se llega a:

& u + u o u (t ) = e t u o cos 1 2 t + o sin 1 2 2 1

(

)

(

)t

(2.54)

En la figura 2.7 se presenta la respuesta de un sistema de un grado de


35

libertad con amortiguamiento subcritico. La vibracin amortiguada es la de mayor inters en la dinmica estructural, pues las estructuras reales poseen esta caracterstica.

Los valores de la fraccin de amortiguamiento determinados para distintos tipos de estructuras son muy variados y exhiben una gran dispersin:

Figura 2.7. Sistema con amortiguamiento subcritico, con fracciones de amortiguamiento del 10% y del 20%.

Tabla 2.1: Fracciones del amortiguamiento critico para diferentes tipos de

36


construcciones Tipo de Estructura Edificios de Acero Edificios de Hormign Armado Construcciones de Albailera Construcciones de Madera

% de amortiguamiento2%-5% 5%-10% 8%-15% 10%-15%

Se concluye que estructuras con amortiguamientos menores al crtico tienen un desplazamiento decreciente en el tiempo. En la figura 2.8, se aprecia que el amortiguamiento estructural tiende a disminuir a frecuencia circular de vibracin, y por lo tanto de alargar el periodo de vibracin. Adems el aumento del amortiguamiento estructural reduce la amplitud de las vibraciones, lo cual es beneficioso para la estructura, pues disminuye el nivel de daos esperado en ella. En la mayora de las estructuras el amortiguamiento crtico vara entre el 2 y 10%, por lo que el periodo amortiguado es entre 0.002 y 1.0050 del periodo natural o no amortiguado. As pues para la mayora de las estructuras el periodo amortiguado es prcticamente igual al periodo no amortiguado ( T Ta ).


37

Figura 2.8 Influencia del amortiguamiento estructural en la respuesta

2.5 CONCEPTOS BASICOS DE DISIPACION DE ENERGIA Consideremos inicialmente un sistema conservativo, en dicho sistema la energa total en todo instante se mantiene constante, es decir, no existe disipacin de energa:

E (t ) = E K (t ) + E P (t ) = Cte.E (t ) = 1 1 & m u 2 + k u 2 = Cte. 2 2

(2.55)

(2.56)

Cuando:

& u max u = 0 E (t ) = E P (t ) = & u max

1 2 k u mx 2 1 &2 u = 0 E (t ) = E K (t ) = m u mx 2

(2.57) (2.58)

& u max = u mx E (t ) = Cte. 1 1 k 2 2 k u mx = m [ u mx ] 2 = 2 2 m

(2.59) (2.60)

Veamos a continuacin el problema de un sistema general (ya no necesariamente elstico) que disipa energa (por amortiguamiento viscoso y por histresis). Consideremos que acta una accin ssmica en la base del pndulo. La ecuacin energtica puede obtenerse integrando la ecuacin de movimiento de un sistema inelstico de un grado de libertad, el hecho que & el sistema sea inelstico hace que las fuerzas internas f s (u, u ) sean una funcin de los desplazamientos y las velocidades:

38


&& & & && m u (t ) + c u (t ) + f S (u , u ) = m u g (t )u

(2.61)u

&& & & && m u (t ) du + c u (t ) du + f s (u , u ) du = m u g (t ) du0 0 0

u

u

(2.62)

0

El lado derecho de esta ecuacin es la energa de entrada al sistema definida por excitacin ssmica:

&& E I (t ) = m u g (t ) du0

u

(2.63)

El primer termino del lado izquierdo, es la energa cintica de la masa asociada con su movimiento relativo al suelo:

&& & & E K (t ) = m u (t ) du = m u (t ) du =0 0

u

& u

& m u2 2

(2.64)

El segundo trmino del lado izquierdo es la energa disipada por amortiguamiento viscoso:

& E D (t ) = f D (t ) du = c u du0 0

u

u

(2.65)

El tercer trmino del lado izquierdo es la suma de la energa disipada por histresis (fluencia de los materiales que componen la estructura) y la energa de deformacin del sistema:

ES

[ f S (t )]2 (t ) =2k

(2.66)

Donde k es la rigidez inicial del sistema inelstico. Luego la energa disipada por histresis (fluencia) es:


39

& EY (t ) = f S (u , u ) du E S (t )0

u

(2.67)

El balance de energa para el sistema es:

E I (t ) = E K (t ) + E D (t ) + [E S (t ) + EY (t )]

(2.68)

Figura 2.8. Analoga del estanque. Concepto de disipacin de energa. El balance de energa se puede interpretar fsicamente a travs de la siguiente analoga: Para que el estanque de la figura 2.8, (en nuestro caso la estructura) opere eficientemente su capacidad (resistente y de deformacin) total dada por la suma de su volumen y las salidas de agua, debe ser mayor que las entradas de agua (energa ssmica). Es decir, la capacidad de admitir energa E I depende del volumen del tanque E K + E S y del tamao del orificio por donde escapa E D + EY . Un principio bsico del diseo estructural es que las capacidades estructurales deben ser mayores a las demandas ssmicas. En este contexto, debe buscarse que la capacidad de disipacin de energa de la estructura debe ser mayor que la demanda de energa histeretica (o de fluencia), es decir, incrementar el lado derecho o disminuir el lado izquierdo de la ecuacin (2.68) de balance energtico. Incrementar el lado

40


derecho puede lograrse aumentando la resistencia lateral de la estructura con lo que se incrementa la importancia de los dos primeros trminos con respecto al tercero y cuarto, sin embargo, ello implica un aumento de costo en la estructura. La filosofa actual del diseo sismorresistente acepta la existencia de deformaciones inelsticas en la estructura, permitiendo de este modo que gran parte de la energa de entrada se disipe por medio de energa histeretica. En una estructura convencional que no tiene dispositivos de disipacin de energa, se acepta que existan importantes demandas de deformacin inelstica en elementos estructurales (rotulacin de vigas, falla de arriostramientos concntricos, base de muros, etc.) lo cual se traduce en diferentes niveles de dao.

2.6 OSCILACIN FORZADA NO AMORTIGUADA CON CARGA CONSTANTE Si a un sistema de un grado de libertad se le aplica una fuerza de magnitud constante (es decir, una fuerza cuya amplitud no vara en el tiempo), entonces la respuesta particular del sistema a dicha carga tendra un valor de:

u p (t ) = u E =

F k

(2.69)

La respuesta total del sistema estar compuesta por la solucin homognea ms la solucin particular:

u (t ) = B1 cos( t ) + B2 sen( t ) +

F k

(2.70)

& Considerando condiciones iniciales nulas ( u 0 = u 0 = 0 ), se tiene:


41

u (t ) =

F [1 cos( t )] = u E [1 cos( t )] k

(2.71)

De (2.71) se observa que el desplazamiento dinmico u (t ) es funcin del desplazamiento esttico u E multiplicado por FAD = 1 cos( t ) . Graficando el factor de amplificacin dinmica se encuentra que el desplazamiento dinmico mximo del sistema es igual a 2 veces el desplazamiento esttico del sistema y ocurre cuando cos( t ) = 1 , ver figura 2.9. En este caso, el hecho de aplicar la carga horizontal en forma dinmica es equivalente a multiplicar el desplazamiento esttico de dicha estructura por 2. Lo anterior, se puede reinterpretar de la siguiente forma:

u (t ) =

F [1 cos( t )] = k t u (t ) t u E 1 cos(2 ) = FAD = 1 cos(2 ) T uE T

(2.72)

La ecuacin (2.72) puede expresarse en funcin de fuerzas: como la razn entre la fuerza dinmica que se desarrolla en el sistema y la fuerza esttica (dicha razn se denomina, factor de amplificacin dinmica FAD .

u (t ) u (t ) k F t = = = 1 cos(2 ) = FAD uE u E k FE T

(2.73)

Para efectos del diseo interesa conocer el valor mximo de la fuerza horizontal independientemente del tiempo en donde dicho mximo ocurre. Consideremos ahora que la fuerza constante tiene una duracin definida igual a t d , es decir corresponde a un pulso rectangular de duracin t d . Si el sistema parte del reposo y no existe amortiguamiento, entonces la respuesta al tiempo final t d vale:

42


u (t d ) =

F [1 cos( t d )] = u E k

t 1 cos(2 d ) T

(2.74)

& u (t d ) =

t F [sen( t d )] = u E sen(2 d ) k T

(2.75)

Figura 2.9. Variacin del factor de amplificacin dinmica FAD .

Para evaluar la repuesta despus del tiempo t d se deben considerar que los valores entregados por (2.74) y (2.75) corresponden a las condiciones iniciales para esta nueva fase de carga. Es decir, podemos separar el comportamiento del sistema en dos fases de carga, una fase inicial en donde la carga se aplica hasta el tiempo t d y una fase final en donde la carga se retira en t d y el sistema de ah en adelante responde como si estuviese en vibracin libre. Para t > t d la respuesta del sistema ser:


43

u (t t d ) = B1 cos( (t t d )) + B2 sen( (t t d ))

(2.76)

En donde las constantes de integracin, se obtienen a partir de las condiciones iniciales (2.74) y (2.75):

u (t t d ) = u (t d ) cos( (t t d )) +

& u (t d )

sen( (t t d ))

(2.77)

u( t t d ) =

F [1 cos( t d )] cos( ( t t d )) + k

F sen( t d ) sen( ( t t d )) k u (t t d ) =Luego:FAD = 1 cos(2 t ) para t t d T

(2.78)

F [cos( (t t d )) cos( t )] k

(2.79)

(2.80)

FAD = cos 2 (

t td t para t > t d ) cos 2 T T T

(2.81)

2.7 OSCILACIN FORZADA AMORTIGUADA En el caso de cargas dinmicas la respuesta (el desplazamiento producido por la fuerza dinmica) no slo ser funcin de la rigidez lateral del sistema, sino que adems depende de: (1) El periodo de vibracin del sistema, es decir, del cuociente entre la rigidez lateral y la masa. (2) El coeficiente de amortiguamiento del sistema c.

44


(3) El contenido de frecuencias de la fuerza dinmica, o sea que tan rpido o lenta es la variacin de la amplitud de la fuerza externa en el tiempo.

Una de las fuerzas dinmicas ms simples es la carga armnica, que aparece en problemas en problemas tpicos de vibracin de maquinarias. En este caso, la excitacin externa, es de la forma:

F (t ) = F0 sen( t )

(2.82)

Donde F0 es la amplitud de la fuerza y es la frecuencia de la excitacin. La respuesta a una excitacin armnica tiene dos componentes: 1. Una componente debida a la vibracin libre, propia del sistema, que se denomina solucin transitoria del movimiento por cuanto decae y tiende a desaparecer por efecto del amortiguamiento (solucin asociada a la parte homognea de la ecuacin de movimiento). 2. Una componente debida a la energa entregada al sistema por la excitacin externa al sistema por la excitacin externa que se denomina componente o estado de rgimen del movimiento por cuanto es la componente de la respuesta que prevalece una vez atenuada la vibracin libre (solucin asociada a la parte derecha de la ecuacin de movimiento, denominada solucin particular). La respuesta de rgimen a una excitacin armnica tambin es armnica y de la misma frecuencia aunque no necesariamente en fase con la excitacin. Una vez pasada una fase inicial de transicin (al poco tiempo de aplicada la fuerza), este desplazamiento ser tambin de tipo armnico con una amplitud u(t) que vara con el tiempo, con una amplitud mxima y un ngulo de desfase o de atraso de la respuesta, con respecto a la excitacin:


45

u p (t ) =

F0 k (1 2 ) 2 + (2 ) 2

sen( t + )

(2.83)

Siendo =

la razn de frecuencias.

La solucin general es dada por:u (t ) = C e t sen( a t + ) + F0 k (1 2 ) 2 + ( 2 ) 2 sen( t + )

(2.84)

Luego la respuesta mxima del sistema al ser sometido a una fuerza armnica de amplitud F0 puede ser mayor, menor o semejante a la producida por la carga esttica de igual amplitud, dependiendo bsicamente de dos aspectos: (1) La razn entre la frecuencia de excitacin y la frecuencia natural del sistema (2) Del grado de amortiguamiento del sistema Se define como factor de amplificacin dinmico de la respuesta esttica al cuociente entre el desplazamiento mximo bajo cargas dinmicas y el desplazamiento esttico u E . Matemticamente el factor de amplificacin dinmica de la respuesta esttica u E , se puede expresar como:F0 FAD = u max p uE2 2

k = 1 (1 2 ) 2 + (2 ) 2

=

(1 ) + (2 ) 2 uE

2.85)

Cuando FAD es mayor a uno, se tiene que existe amplificacin dinmica,

46


esto es, el desplazamiento mximo dinmico es mayor al desplazamiento esttico. As mismo cuando es menor a uno existe una reduccin, esto es la respuesta dinmica es menor a la respuesta esttica. Finalmente cuando es igual a uno, el desplazamiento dinmico es igual al esttico. En la figura 2.10 se presenta la variacin del factor de amplificacin dinmica para diferentes valores de la razn de frecuencias y del grado de amortiguamiento.

Puede observarse, que para frecuencias de excitacin muy bajas (sea excitaciones con periodos grandes):

0 0 FAD =

u max p uE

=

1 (1 ) + (2 ) 22 2

1

(2.86)

En este caso la respuesta dinmica es igual a la respuesta esttica, es decir, estamos en presencia de una carga esttica. Para fuerzas con frecuencias de excitacin natural del sistema: u max 1 p = = 1 FAD = u0 2 cercanas a la frecuencia

(2.87) (2.88) (2.89)

u0 0 u max Resonancia p 2 u 1 u max = 0 Amortiguamiento critico p 2 u max = p


47

Figura 2.10. Factor de amplificacin dinmica. Para una fuerza externa con una frecuencia de excitacin alta:

>> FAD 0 u max 0 pEl oscilador no responde y se queda en reposo.

(2.90)

Se concluye que cuando la frecuencia de la excitacin es mucho menor a la frecuencia natural, o sea que la fuerza es mucho ms "lenta" en comparacin con la velocidad con la que se mueve la estructura en vibracin libre, el desplazamiento dinmico es igual al desplazamiento esttico. Por lo contrario, cuando la frecuencia de la excitacin es mucho mayor a la frecuencia natural del sistema, o sea cuando la variacin de la fuerza es mucho ms rpida que la velocidad con la que completa un ciclo la estructura en vibracin libre, el desplazamiento dinmico es menor al esttico, y se tiene una reduccin de la respuesta dinmica.

48


Como ya se mencion, los edificios por lo general tienen amortiguamientos menores al 0.05, por lo que es importante el evitar frecuencias de excitacin semejantes a las frecuencias naturales, para poder evitar de esta forma amplificaciones dinmicas importantes. En resumen:

> No hay respuesta

2.8 AISLAMIENTO DE VIBRACIONES: MOVIMIENTO DE LA BASE

RESPUESTA

AL

Caso de estructuras sometidas a movimientos en su fundacin: sismos, maquinas, explosiones. Considerando un movimiento en la base del tipo armnico:

u s (t ) = u 0 sen( t )Ecuacin de equilibrio, en trminos de desplazamientos relativos:

(2.91)

&& & & m u + c [u u s ] + k [u u s ] = 0 && & & m u + c u + k u = c us + k us && & m u + c u + k u = c [u 0 cos( t )] + k [u 0 sen( t )]Expresin, que se puede reescribir como:

(2.92) (2.93) (2.94)


49

&& & m u + c u + k u = u0 ( c )2 + k 2 sen( t + ) = F0 sen( t + )Donde:

(2.95)

F0 = u 0 (c ) 2 + k 2 = u 0 k (2 ) 2 + 1

(2.96)

tg =

c u 0 = 2 k u0

(2.97)

La solucin particular (o en rgimen) tiene la forma:

u p (t ) =

FO k (1 2 ) 2 + (2 ) 2

sen[( t + ) + ]

(2.98)

Se define la transmisibilidad como el grado de aislamiento relativo entre la estructura y el suelo:u max p uE (2 ) 2 + 1 (1 2 ) 2 + (2 ) 2

TR =

=

(2.99)

De figura 2.11, se concluye que:TR 0 Sistema aislado TR 1 Sistema no aislado (2.100) T R Sistema no aislado (amplificacin del movimiento del suelo)

El amortiguamiento disminuye la transmisin del movimiento del suelo para 2 , para valores mayores de la razn de frecuencias el efecto del

50


amortiguamiento acta negativamente. La transmisibilidad tambin puede interpretarse como un aislamiento de fuerzas.

Figura 2.11. Transmisibilidad Utilizando (2.96) en la relacin de transmisibilidad de (2.99) se tiene:

TR =

u max p u0

=

u max p F0 k (2) +12

=

k u max p F0

( 2 )2 + 1 =(2.101)

Fmax ( 2 )2 + 1 F0Del factor de amplificacin dinmica de la respuesta esttica de (2.85), se tiene:u max p u0 k u max p k uE Fmax F0

FAD =

=

=

(2.102)


51

TR = FAD ( 2 ) 2 + 1

(2.103)

CAPITULO 3 EXITACION ARBITRARIA

3.1 RESPUESTA A MOVIMIENTOS SSMICOS Con fines de la ingeniera sismo-resistente, los movimientos del suelo durante un terremoto se miden instrumentalmente por medio de un acelergrafo, el cual registra la historia de aceleraciones del terreno, ver figura 3.1 Como la aceleracin es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, el posible obtener la historia de velocidades del terreno a partir de las aceleraciones de terreno por medio de una integracin en el tiempo.

52


Anlogamente, como las velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, el posible obtener la historia de desplazamientos del terreno a partir de una integracin en el tiempo de la historia de velocidades o una doble integracin de la historia de aceleraciones.

Figura 3.1. Registro de desplazamientos, velocidades y aceleraciones durante el sismo de Iquique del 13 de Junio de 2005. La respuesta de un sistema de un grado de libertad a un movimiento del suelo se puede obtener a partir de la solucin de la ecuacin diferencial de movimiento de una estructura, utilizando diferentes mtodos: (1) En el dominio del tiempo por medio de la solucin de la integral de Duhamel.


53

(2) En el dominio del tiempo por medio de una integracin numrica de la ecuacin del movimiento. (3) En el dominio de la frecuencia obteniendo la transformada de Fourier de la historia de aceleraciones, multiplicndola por la funcin de transferencia del sistema y obteniendo la transformada inversa de Fourier de dicho producto. 3.2 OSCILACION FORZADA BAJO CARGAS NO ARMONICAS En este caso la dificultad del clculo de la respuesta ssmica se debe al carcter de la excitacin a(t ) que no puede ser expresada en forma analtica, por lo que su clculo implica la utilizacin de mtodos numricos. Si se aborda el problema en el dominio del tiempo, la ecuacin de movimiento del sistema de un grado de libertad se expresa por:

&& & m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = m a g (t )

(3.1)

La solucin a (3.1) se obtendr a travs de la superposicin de las respuestas a impulsos rectangulares, para ello, consideremos que la excitacin ssmica m a g (t ) puede ser modelada como una serie de impulsos. De acuerdo a BARBAT (1983) (1) considrese la respuesta a un impulso de duracin d y de intensidad a 0 que se aplica en la base de la estructura, tal como el indicado en figura 3.2. Este impulso le imprime una & & velocidad inicial al sistema u (t = 0) = u 0 y un desplazamiento inicial nulo.

54


Figura 3.2. Impulso inicial como accin ssmica Aplicando el principio de la conservacin del movimiento, segn el cual el & momento o cantidad de movimiento m u 0 es igual al impulso correspondiente m a 0 d , se tiene que:

& u 0 = a 0 d

(3.2)

La respuesta del sistema al impulso, es equivalente a la de un sistema en vibracin libre (por simplicidad consideremos un sistema no amortiguado) con una velocidad inicial dada por (3.2) y un desplazamiento inicial nulo, es decir:

u (t ) = B1 sen( t ) + B2 cos( t ) u (t = 0) = B2 1 = 0 B2 = 0& u (t = 0) = B1 = a 0 d B1 = u (t ) = a0

(3.3) (3.4)

a0

d

(3.5) (3.6)

d sen( t )

Si el impulso no se aplica al tiempo cero sino al tiempo , entonces la respuesta al tiempo t > ser:


55

u (t ) =

a0

d sen( (t ))

(3.7)

Si la excitacin ssmica no es un impulso, sino que esta descrita por una curva arbitraria, entonces dicha excitacin se puede descomponer en un nmero finito de impulsos, puesto que el sistema es elstico, su respuesta en cualquier instante de tiempo debida a la aceleracin arbitraria puede obtenerse sumando las respuestas elementales producidas por cada uno de los "n" impulsos:n a d u n (t ) = 0 sen( (t )) i =1

(3.8)

Para obtener la respuesta exacta, se pasa al lmite cuando n , resultando:

u (t ) =

1

0

a( ) sen( (t )) d

t

(3.9)

La integral (3.9) se conoce con el nombre de integral de convolucin o integral de Duhamel BARBAT (1983) (1 ) , OLLER (1995) ( 5 ) . Cuando se considera el amortiguamiento estructural, dicha integral se transforma en:

u(t) =

1 t (t ) sen(a (t )))d a( ) (e a 0

(3.10)

En donde a = 1 2 es la frecuencia amortiguada del sistema.

Las expresiones (3.9) y (3.10) se restringen a problemas lineales en donde

56


es posible utilizar el principio de superpocin. Su solucin analtica solo es posible para algunas expresiones analticas de la excitacin a ( ) siendo recurrente el uso de mtodos numricos para su solucin. Para una aceleracin en la base a ( ) resulta una fuerza F ( ) = m a( ) , luego la integral de Duhamel, se puede reescribir como:

u (t ) =

F ( ) ( t ) e sen( a (t )) d u ( , , F ( )) a 0 m

1

t

(3.11)

3.3 ESPECTRO DE RESPUESTA SSMICA Para fines del diseo sismorresistente interesa conocer nicamente la respuesta mxima del oscilador (desplazamiento lateral, el corte basal y momento de volcamiento) para una excitacin conocida. Una de las herramientas ms tiles para evaluar esta interrogante, es la construccin de un espectro de respuesta BARBAT y MIQUEL (1994) ( 2 ) , el cual se define como la representacin grfica de la respuesta mxima (ya sea de desplazamientos, velocidades o aceleraciones) en funcin del periodo natural de vibracin del sistema para un sismo determinado y un amortiguamiento definido. Es decir, el espectro de respuesta nos da informacin de la respuesta mxima para toda una familia de sistemas de un grado de libertad (por lo general basta considerar estructuras con periodos comprendidos entre T = 0 3 (s ) ) para un sismo definido. Derivando (3.10), se obtiene la solucin de la historia de la respuesta de velocidades:

& u (t ) = a ( ) e ( t ) cos( a (t )) d + u (t )0

t


57

(3.12) Derivando nuevamente, se obtiene la respuesta de aceleraciones totales del sistema:

&& u( t ) + a( t ) = & a a( ) e ( t ) sen( a ( t )) d 2 u( t ) ( ) 2 u( t )0 t

(3.13) Luego, se definen:

S d ( , ) = u (t ) max & S v ( , ) = u (t ) max

(3.14) (3.15) (3.16)

&& S a ( , ) = u (t ) + a (t ) max

Con el fin de obtener expresiones mas simples y considerando que en aplicaciones de la Ingeniera Civil el factor de amortiguamiento por lo general es pequeo ( 2% < < 20% ) OLLER (1995) ( 5 ) , es posible aproximar a y despreciar los trminos que estn fuera de las integrales de (3.12) y (3.13). Adicionalmente se demuestra que la funcin coseno que aparece en el espectro de velocidades de (3.12) se puede sustituir a efectos de clculo por la funcin seno, sin que ello implique cambios importantes en los valores mximos de la velocidad del sistema. Luego se tiene:

S d ( , ) =

1

0

a( ) e

t

( t )

sen( a (t ) )max

58


(3.17)

S v ( , ) = a( ) e (t ) sen( a (t ) )0 maxt

t

(3.18)

S a ( , ) = a a( ) e (t ) sen( a (t ) )0 max

(3.19)

Estas aproximaciones permiten escribir:

S v ( , ) = S d ( , )S a ( , ) = 2 S d ( , )

(3.20) (3.21)

Luego los espectros de respuesta S d , S v , S a permiten la estimacin inmediata del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin mxima de toda una familia de estructuras sometidas al mismo movimiento del suelo. A partir del espectro de aceleraciones es posible obtener al mximo corte basal de la estructura a partir de la siguiente expresin:

Q0 = m S a =

W S a = Cs W g

(3.22)

Donde W es el peso total de la estructura sobre el nivel basal y g es la aceleracin debida a la gravedad. Cuando el mximo cortante se representa como en la ultima de las ecuaciones, la razn S a g se denomina coeficiente ssmico C s , el cual forma la base de las cargas ssmicas en el diseo sismorresistente de edificios.

La norma Chilena NCH433.OF96, en su punto 6.2.3 considera que el


59

esfuerzo de corte basal de ecuacin (3.22) esta dado por:

Q0 = C I PDonde:

(3.23)

C = Coeficiente ssmico, funcin de parmetros relativos al tipo de suelo de fundacin, del tipo de estructuracin y material utilizado, del periodo del modo con mayor masa traslacional equivalente y de la zonificacin ssmica del pas.

I = Coeficiente relativo al destino (uso) del edificio.

P = Peso total del edificio sobre el nivel basal.Es importante aclarar que la aceleracin espectral S a representa la aceleracin en la estructura, la cual puede ser mayor o menor a la mxima aceleracin del suelo. En un espectro de respuesta de aceleraciones, la mxima aceleracin del suelo est representada como la ordenada del espectro para un periodo igual a 0. Dicho periodo corresponde a un sistema infinitamente rgido, de modo que el movimiento que se tiene en la parte superior de la estructura es exactamente igual al de su base, o sea al del suelo. El espectro de respuesta se construye calculando la respuesta mxima (aceleracin mxima, velocidad mxima o desplazamiento mximo) para una familia de sistemas de un grado de libertad que tienen el mismo amortiguamiento.

3.4 INTEGRACION DIRECTA DE ECUACION DE MOVIMIENTO

60


Dada la ecuacin de movimiento definida en el dominio del tiempo:&& & m u (t ) + c u (t ) + k u (t ) = F (t )

(3.24)

Se puede obtener la respuesta directa sin pasar por la integral de Duhamel, utilizando mtodos de integracin paso a paso. Dichos mtodos se dividen en mtodos del tipo explicito o del tipo implcito OLLER (1995) ( 5 ) . El desplazamiento y la velocidad, se pueden aproximar por:u (t + t ) = u (t ) + t u (t + t ) & & & u (t + t ) = (1 ) u (t ) + u (t + t )

(3.25) (3.26)

En donde dependiendo del valor del coeficiente , se tiene uno u otro mtodo. Tabla 3.1 Solucin Explicito-Implcito Mtodo Diferencia hacia adelant Regla punto medio Galerkn Diferencia hacia atrs

01 2 2 3 1

Tipo Explicito

Implcito

Lo que se busca en resolver es la ecuacin de movimiento (3.24) en pasos discretos de tiempo t1 , t 2 , L , t n distanciados un incremento de tiempo t , con t = t j +1 t j .

3.4.1 SOLUCION EXPLICITAPatricio Cendoya Hernndez [email protected]

61

Conocidos el desplazamiento y la velocidad en el tiempo t , se busca definir la respuesta en el tiempo t + t a partir de la ecuacin de movimiento (3.24) planteada en el tiempo t . Utilizando las aproximaciones del mtodo de las diferencias finitas centradas para la para la velocidad y aceleracin, se tiene:& u (t ) = u (t + t ) u (t t ) 2 tu (t + t ) 2 u (t ) + u (t t ) t 2

(3.27)

&& u (t ) =

(3.28)

Sustituyendo en la ecuacin diferencial de movimiento (3.24):

[u( t + t ) 2 u( t ) + u( t t )] + t 2 c [u( t + t ) u( t t )] + k u( t ) = F ( t ) 2 tDe (3.29) despejando u (t + t ) :

m

(3.29)

c 2 m c m m u (t + t ) 2 + + u (t ) k t 2 + u (t t ) t 2 2 t = F (t ) 2 t t (3.30) m 2 m c R(t ) = F (t ) + 2 k u (t ) + 2 u (t t ) t 2 t t c m k= 2 + 2 t t

(3.31)

(3.32)

R (t ) k u (t + t ) = R(t ) u (t + t ) = k

(3.33)

Para comenzar el proceso de avance paso a paso en el tiempo, se parte de

62


& & las condiciones iniciales u (t = 0) = u 0 y u (t = 0) = u 0 :

m 2 m c u 1 t1 = t 0 + t k u1 = F0 + 2 k u o + 2 t t 2 t

(3.34)

En donde u 1 , se obtiene a partir de (3.27) y (3.28) particularizadas para el tiempo inicial:& u (t ) = u u 1 u (t + t ) u (t t ) & u0 = 1 2 t 2 t u 2 u 0 + u 1 u (t + t ) 2 u (t ) + u (t t ) && u0 = 1 2 t t 2

(3.35)

&& u (t ) =

(3.36)

Despejando u 1 , se tiene:u 1 =&& u 0 t 2 & + u 0 u 0 t 2

(3.37)

Conocido u 1 , se puede comenzar el proceso de avance paso a paso para resolver la ecuacin de movimiento en pasos discretos de tiempo, con la condicin que el paso de tiempo elegido t sea menor que el paso de tiempo critico t crit . De acuerdo con BARBAT Y MIQUEL (1994) ( 2 ) , el paso de tiempo crtico se puede estimar por:t cri = 2

max

(3.38)

En donde max es la frecuencia mxima del sistema y es un factor de seguridad que se puede elegir entre (0.75 0.90) .

3.4.2 SOLUCION IMPLICITAPatricio Cendoya Hernndez [email protected]

63

De acuerdo con BARBAT y MIQUEL (1994) ( 2 ) Newmark en 1959 desarroll una familia de mtodos del tipo implcito para resolver la ecuacin de movimiento. Dichos mtodos se basan en encontrar la respuesta para el tiempo t + t a partir del planteamiento de la ecuacin de movimiento (3.24) en el tiempo t + t , requirindose la solucin de un sistema de ecuaciones lineales para encontrar la respuesta, estos mtodos son incondicionalmente estables, eso se traduce en que no existe limitacin para el tamao del paso del tiempo t , salvo el echo que dicho paso de tiempo debe permitir que la respuesta quede bien definida para ello se recomienda valores del orden de T .

10

Para definir el algoritmo de Newmark, se parte definiendo una variacin lineal de la aceleracin:& && && && u ( ) = u (t ) + f ( ) &(t + t ) u (t )

[

]

(3.39)

Con:f ( ) = 0 Para = t f ( ) = 1 Para = t + t

(3.40) (3.41)

Integrando (3.39), se obtiene la variacin de la velocidad:& & && & && && && u (t + t ) = u (t ) + u ( ) d = u (t ) + u (t ) t + [u (t + t ) u (t )] f ( )d0 0 t t

(3.42)

Integrando (3.42) se obtiene la variacin del desplazamiento:t & && u (t + t ) = u (t ) + u (t ) t + u ( )d d 0 0

(3.43)

t & && && && u (t + t ) = u (t ) + u (t ) t + [u (t ) + f ( ) (u (t + t ) u (t ))]d d 0 0

(3.44)

& && && && u (t + t ) = u (t ) + u (t ) t + (u (t ) + (u (t + t ) u (t )) f ( )d )d0 0

t

64


(3.45)& && && && u (t + t ) = u (t ) + u (t ) t + (u (t ) + (u (t + t ) u (t )) f ( )d )d0 0 t 1 && && && u (t ) t 2 + [u (t + t ) u (t )] f ( )d 2 00 t

(3.46)

& u (t + t ) = u (t ) + u (t ) t +

(3.47)

Sea:t 0

f ( )d = t

(3.48)

t

0 0

&& u ( ) d = t

2

(3.49)

u (t + t ) u (t ) = u

(3.50)

Reemplazando en (3.42) y (3.47) se tiene:& & && && && u (t + t ) = u (t ) + u (t ) t + [u (t + t ) u (t )] t 1 & && && && u (t + t ) = u (t ) + u (t ) t + u (t ) t 2 + [u (t + t ) u (t )] t 2 2

(3.51) (3.52)

Reordenando trminos en (3.51) y (3.52):& & && && u (t + t ) = u (t ) + (1 ) u (t ) t + u (t + t ) t 1 & && && u (t + t ) = u (t ) + u (t ) t + ( ) u (t ) t 2 + u (t + t ) t 2 2 && Reemplazando (3.50) en (3.54), se obtiene u (t + t ) :&& u (t + t ) = 1 1 & && ( u u (t ) t ) ( 1) u (t ) 2 2 t

(3.53) (3.54)

(3.55)

Reemplazando (3.55) en (3.53):Patricio Cendoya Hernndez [email protected]

65

1 1 & & && & && u (t + t ) = u (t ) + (1 ) u (t ) t + (u u (t ) t ) ( 1) u (t ) t 2 2 t (3.56)

& u (t + t ) = (

t

) u + (1

& && ) u (t ) + (1 ) t u (t ) 2

(3.57)

En donde y determinan la estabilidad del mtodo. Planteando la ecuacin de equilibrio (3.24) en el tiempo t + t y sustituyendo (3.55) y (3.57):&& & m u (t + t ) + c u (t + t ) + k u (t + t ) = F (t + t )

(3.58)

Resulta: k u (t + t ) = R(t + t ) k= m c + + k 2 t t

u (t + t ) =

R(t + t ) k

(3.59) (3.60)

1 1 1 & && R(t + t ) = F (t + t ) + m u (t ) + u (t ) + ( 1) u (t ) + 2 t 2 t & && (3.61) c u (t ) + ( 1) u (t ) + ( 1) t u (t ) 2 t

Se demuestra que el algoritmo de Newmark es incondicionalmente estable cuando:

1 1 1 y ( + )2 2 4 2

(3.62)

A continuacin se presenta un programa en MATLAB

que utiliza el

66


algoritmo de Newmark para integrar temporalmente la ecuacin de movimiento en una estructura de un grado de libertad sometida a la accin del sismo del 3 de Marzo de 1985, el acelerograma corresponde a la estacin Llolleo componente N10E, ver figura 3.4. %Datos de la estructura Vec=Vec*9.8; m=10000; %kg k=98.7e3; %N/m chi=0.02; % = 2% % wn=sqrt(k/m); Tn=2*pi/wn; c=2*m*wn*chi; n=length(Vec); d=zeros(1,n); v=zeros(1,n); ac=zeros(1,n); p=-m*Vec; %Mtodo de Newmark lineal de aceleracin promedio %gama = 0.5 y beta = 0.25 %Clculos iniciales d(1)=0; v(1)=0; ac(1)=(p(1)-c*v(1)-k*d(1))/m; delta=0.005; kk=k + 2*c/delta + 4*m/delta^2; a=4*m/delta + 2*c; b=2*m; %Clculos para pasos posteriores for i=1:n-1 deltap(i)=p(i+1)-p(i); deltapp(i)=deltap(i) + a*v(i) + b*ac(i); deltad(i)=deltapp(i)/kk; deltav(i)=2*deltad(i)/delta - 2*v(i); deltaac(i)=4*(deltad(i)-delta*v(i))/delta^2 - 2*ac(i); d(i+1)=d(i)+deltad(i); v(i+1)=v(i)+deltav(i);


67

ac(i+1)=ac(i)+deltaac(i); end %Resultados figure t=0:0.005:43.795; plot(t,Vec) title('Acelerograma terremoto Chile 1985, Estacion LLolleo'); xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('ug (m/seg^2) '); figure plot(t,d) title('Desplazamiento del centro de masa'); xlabel('Tiempo (seg)'); ylabel('desplazamientos (m) '); grid %Determinacin del valor de desplazamiento mximo uo=max(abs(d)); fo=k*uo;

Figura 3.4. Registro de aceleraciones terremoto del 3 de Marzo de 1985, estacin Llolleo.

68


Figura 3.5. Respuesta oscilador al terremoto del 3 de Marzo de 1985, estacin Llolleo.


69

CAPITULO 4 EJEMPLOS: SISTEMAS 1 GRADO DE LIBERTAD

4. 1 EJEMPLOS A continuacin se presentan una serie de ejercicios de carcter acadmico que permiten comprender las bases del comportamiento dinmico de sistemas de un grado de libertad. La gran mayora de estos problemas corresponden a problemas de evaluaciones realizadas a los alumnos del curso de Dinmica de Estructuras.

70


4.1.1. El marco de la figura 4.1, tiene una masa total concentrada a nivel del diafragma horizontal de 50 T, la rigidez flexional de las columnas es constante y vale EI=6000 KN-m2. Dicha estructura se somete a una carga impulsiva de duracin 0.5 (s) aplicada a nivel del diafragma rgido horizontal. Se pide, despreciando el amortiguamiento estructural: Encontrar la rigidez equivalente y el periodo fundamental. Encontrar la respuesta del desplazamiento horizontal en forma analtica tanto para la fase de aplicacin de la carga como una vez que dicha carga se retira al tiempo de 0.5 seg. El sistema se encuentra inicialmente en reposo. Determinar el factor de amplificacin dinmica de la carga impulsiva. Determinar el valor numrico de cada una de las reacciones horizontales de diseo que se generaran en las columnas del marco en los apoyos A, B y C debido a la accin de la carga impulsiva. Determinar cual es la columna ms crtica desde el punto de vista de los esfuerzos internos que se desarrollan debido a la accin de la carga.

Figura 4.1. Marco rgido sometido a carga lateral impulsiva.


71

Inicialmente es necesario calcular la rigidez lateral considerando la rigidez lateral de cada columna:

del

sistema

kA =

3EI 3 6000 10 3 N = = 666666.67 3 3 L 3 m 3 12EI 12 6000 10 N kB = 3 = = 2666666.67 3 L 3 m 3 12EI 12 6000 10 N kC = 3 = = 21333333.33 3 L 1.5 m

La rigidez lateral equivalente del sistema vale:

kN k = k A + k B + k B = 24666.67 ; m La frecuencia fundamental y el periodo valen:

=

k = m2

24666666.67 rad = 22.21 ; 3 50 10 s

T=

= 0.283 (s )

Utilizando la integral de Duhamel para estimar la respuesta en la fase inicial de carga que va entre 0 t 0.5 ( s ) (con F0 = 1000 kN ), se tiene:

u p (t ) =

F 1 t F0 sin( (t ))d = 0 (1 cos( t ) ) m 0 k

Luego, la solucin general en la fase inicial de carga:

72


u (t ) = Acos( t ) + Bsin( t ) +

F0 (1 cos( t ) ) k

Dadas las condiciones iniciales nulas del sistema, se tiene que: A = B = 0

u (t ) = 0.041(1 cos(t ) ) (m) ; para:

0 t 0.5 ( s )

Cuando se retira la carga al tiempo t = 0.5 (s ) , el desplazamiento y la velocidad valen:

u( 0.5 ) = 0.041(1 cos( 22.21 0.5 )) = 0.0365 ( m ) u' ( t d ) = F0 sin( t d ) K

u ' (0.5) = 0.911sin( 22.21 0.5) = 0.905 (m / s )Tanto el desplazamiento como la velocidad en t = 0.5 (s) se deben determinar pues corresponden a las condiciones iniciales para la siguiente fase de carga. En la fase subsiguiente y final en este caso, luego de retirar la carga la estructura queda en oscilacin libre no amortiguada con las condiciones iniciales correspondientes a las finales de la fase inicial, en este caso la respuesta vale:

u (t ) = 0.0365cos((t 0.5)) 0.04075sin( (t 0.5)) (m) ; para: t > 0.5 ( s )En figura 4.2 se observa que el desplazamiento dinmico mximo del sistema es u mx = 0.082 (dos veces el desplazamiento esttico del sistema) y ocurre en la fase inicial de carga del sistema. Las fuerzas que toma cada columna, de acuerdo con el mtodo de la rigidez basal son proporcionales a su rigidez:


73

FA max = u max k1 = 0.082 666666.67 = 54.67 (kN ) FB max = u max k 2 = 0.082 2666666.67 = 218.67 (kN ) FC max = u max k 3 = 0.082 21333333.33 = 1749.3 (kN )Finalmente, la columna ms rgida es la que toma mas esfuerzo de corte.

Figura 4.2. Respuesta de la estructura para la carga impulsiva dada. 4.1.2. La estructura de la figura 4.3 esta compuesta por tres columnas verticales de igual rigidez flexional EI= 5000 kN-m2, la masa del sistema vale M= 20 T y puede ser concentrada al nivel del diafragma horizontal rgido, si el amortiguamiento estructural se puede despreciar, responda a las siguientes preguntas:

74


Figura 4.3. Marco plano sometido a un desplazamiento del tipo armnico. Considerando que las condiciones iniciales del problema son m & y que el sistema oscila u (t = 0) = 0.05 m, u (t = 0) = 1 s libremente sin amortiguacin, se pide estimar la altura de las columnas para que el desplazamiento horizontal mximo sea menor que u max = 0.081 m. Si la base del edificio experimenta una excitacin del tipo armnico como la indicada en la figura 4.3 con u 0 = 0.04 m y = 20 rad/s, determine la forma analtica de la respuesta permanente del sistema. Calcule el factor de transmisibilidad entre la estructura y el suelo y comente su respuesta.

Solucin: La rigidez equivalente del sistema corresponde a:

k=

12 EI 3EI 12 EI 27 EI + 3 + 3 = 3 h3 h h h

Considerando que el sistema oscila libremente sin amortiguacin, laPatricio Cendoya Hernndez [email protected]

75

solucin del problema ser del tipo:

u (t ) = C sen(t + )& u0 2

Donde C = u 0 +

2

el desplazamiento mximo de la estructura

estar determinado por la amplitud de la respuesta. Por lo tanto:

u max = u 0

2

& u + 0

2

Reemplazando, se tiene:

& u 0 = 0.05 [m] y u 0 = 1 [m / s ]2

u max = 0.081 [m]

1 u max = 0.05 2 + = 0.081 = 15.69 [rad / s ] Puesto que se conocen la masa del sistema m = 20000 Kg , la frecuencia fundamental tiene:

= 15.69 [rad / s ] y la rigidez equivalente k =

27 EI , se h3

2 =

k 27 EI k = m 2 = m h31/ 3

27 EI h= 2 m

= 3.01 h = 3 m

Veamos la segunda de las preguntas, puesto que la ecuacin movimiento

76


del sistema debido al movimiento de la base es:

&& && mu + ku = mus (t )Con la excitacin definida en forma armnica:

u s (t ) = u 0 sen( t ) & u s (t ) = u 0 cos( t )&& u s (t ) = u 0 2 sen( t )Reemplazando en la ecuacin de movimiento:

&& && mu + ku = mu 0 2 sen( t ) mu + ku = F0 sen( t ) 1 24 4 3F0

Cuya solucin se conoce y corresponde:

u p (t ) =

u0 sen( t + ) 1 2 2 1 2

tan( ) =

Como no hay amortiguamiento = 0 , la solucin permanente se define por:

up(t ) =

0.04 20 1 15.69 2

sen( 20 t ) = 0.065 sen( 20 t )

En la figura 4.4 se presenta la grafica del movimiento del suelo vs. el movimiento del centro de masas del diafragma horizontal. Se observa quePatricio Cendoya Hernndez [email protected]

77

se produce una amplificacin del movimiento del suelo, es decir un observador a nivel del diafragma rgido sentir un movimiento mayor que si el se ubicara en la base de la estructura, es decir, se produce sobre la estructura una amplificacin del movimiento basal, dicha amplificacin se puede estimar:

TR

max up 1 = = = 1.6 1.6 0.04 = 0.064 = u max 2 uo (1 )

Figura 4.4.Movimiento del suelo vs. el de la estructura. 4.1.3 La estructura de la figura esta compuesta por dos columnas verticales de igual rigidez flexional EI= 5000 kN-m2, la masa del sistema vale M= 20 T y puede ser concentrada al nivel del diafragma horizontal rgido. La estructura, se conecta a un muro rgido indeformable a travs de un sistema mecnico de rigidez axial K= 50 kN/m. Se sabe que la razn de amortiguamiento es nula (es decir, c = 0, = 0 ).

78


Figura 4.5. Marco plano sometido a carga lateral impulsiva. Bajo estas condiciones se pide: Definir analtica y grficamente la ley de variacin que describe el desplazamiento horizontal del diafragma rgido para la fase de carga ascendente (fase I):

Definir el valor numrico del desplazamiento horizontal mximo que se desarrolla en la fase ascendente de carga. Evaluar el valor de los esfuerzos de corte tanto en la base de las columnas, como en la seccin A-A que se desarrollan para el desplazamiento mximo en la fase ascendente.


79

Solucin:

kH =

12 EI h13

+

12 EI h23

+ k = 2752.2 [kN / m]

=

k = m

2752.210 3 = 11.73 [rad / s ] 2010 30 0.25 ( s ) 0.25 0.55 ( s ) 0.55 ( s)

2400 P(t ) = 1100 2000 0

La solucin particular se obtiene mediante la integral de Duhamel:

up(t ) =

1 t 1 t P( t )sen( ( t ))d = 2400 sen( ( t ))d m 0 m 0

u p (t ) =

2400 sen( (t ))d m 0

t

Integrando por partes:

u = dv = sen( (t ))

du = d v= cos( (t ))

t

u p (t ) =

t 2400 cos( (t )) cos( (t )) d m 0 0

u p (t ) =

2400 t sen( t ) m 2

80


Reemplazando valores, se llega:

u p (t ) = 10.23 0.085t 7.2610 3 sen(11.73t ) u p (t ) = 0.87t 0.074sen(11.73t ) [m]La solucin homognea ser de la forma:

[

]

u H (t ) = A sen( t ) + B cos( t ) [m]As solucin total para la fase ascendente ser:

uT (t ) = A sen( t ) + B cos( t ) + 0.87t 0.074sen(11.73t ) [m]Considerando condiciones iniciales nulas, A=B=0, por lo tanto:

uT (t ) = 0.87t 0.074sen(11.73t ) [m]De figura 4.6, se aprecia que el desplazamiento mximo se produce en t = 0.25 ( s ) y vale aproximadamente uT (t = 0.25) = 0.20 (m) . El corte en la base de las columnas y en la seccin A-A, se obtiene utilizando el desplazamiento mximo y la rigidez de cada elemento.

F1 = k1 u max =

12 EI 125000 u max = 0.202 = 96.96 3 53 h1 12 EI 125000 u max = 0.202 = 448.89 3 33 h2

[kN ] [kN ]

F2 = k 2 u max =

Seccin A-A: F3 = k u max = 500.202 = 10.1

[kN ]


81

Figura 4.6. Respuesta en fase I.

4.1.4. El marco de la figura tiene una masa total de 30.000 kg y la rigidez flexional de cada columna es constante de valor EI=8000 KN-m2. Si a nivel del diafragma horizontal rgido se aplica una fuerza armnica definida por la ley F ( t ) = F0 sen( 10 t ) , se pide despreciando el amortiguamiento estructural:

82


Determinar la altura de las columnas para que la frecuencia fundamental del sistema no sea superior a 12 rad

seg

.

2 1 =

K 2 K = M 1 = 30.000 12 2 = 4.320.000 N = 4.320 ,0 KN M EI EI EI K e = k i = 12 +6 = 60 3 3 H H3 H 2 8.000 H 3 = 60 = 111,11 H = 4.81 m 4320

Encontrar la amplitud de la fuerza forzante F0 , para que la amplitud del desplazamiento dinmico mximo no supere los 6 cm , considerando que la frecuencia fundamental no varia de los 12 rad .

seg

F 1 6 10 A= 0 = F0 = 0.06 4.320.000 ( 1 ( ) 2 ) = 79.200 ,0 K e ( 1 2 ) 100 12 F0 = 79.2 KNDeterminar las fuerzas de corte que toman cada una de las columnas paraPatricio Cendoya Hernndez [email protected]

83

el valor de la amplitud del forzante F0 , definido en el punto anterior.

KN m 4.813 8000 KN KB = 3 = 1.725 ,3 m 2.413 8000 KN KC = 3 = 1.725 ,3 3 m 2.41 KN K e = 4.313 ,3 m 862 ,7 FA = 79 ,2 = 15 ,8 KN 4.313 ,3 1.725 ,3 FB = FC = 79 ,2 = 31,7 KN 4.313 ,3 K A = 12

8000

= 862 ,7

Definir el valor de la amplitud del desplazamiento horizontal esttico asociado a F0 .

F 79 ,2 u0 = 0 = = 0.018 m K e 4.320 ,04.1.5. Un maquina tiene una masa de 330 kg e inicialmente se encuentra en reposo. Dicho elemento se encuentra ligado a una pared fija, a travs de un sistema de resortes elsticos lineales. Si dicha maquina estar sometida a la accin continua de una fuerza horizontal (tal como se indica en la figura) del tipo armnico de amplitud mxima de 20 KN y de frecuencia 1 Hz (50 puntos). Se pide:

84


Determinar el valor de la constante elstica K 1 , para el desplazamiento horizontal mximo en operacin (servicio) de dicha maquina no exceda los 6.0 cm.

7 2 k1 Ke = + k1 = 5 k1 5 2 1 330 = K e

y

1 = 2 = 6.28

rad seg

6 = 100

20.000 ,0 2 1 330 4 2 330 = 333.333,33 4 2 2 1 330 1 2 1


85

1 =

( 333.333,33 + 13.027.9 ) rad = 32.4 330 seg

K e = 32.4 2 330 = 346.420 ,8

N m

k1 =

5 KN 346.420 ,8 = 247.443,4 = 247 ,4 7 m

Estime la fuerza mxima que se transmite a la pared rgida, cuando el sistema esta funcionando.

FT = 20.000 ,0

1 6.28 2 1 32.4

= 20.780 ,1 N

Estime el valor de la constante de amortiguamiento c necesaria de adicionar al sistema mediante un dispositivo mecnico del tipo amortiguador viscoso para que el sistema no vibre.

c = ccr = 2 K e m = 2 346.420 ,8 330 = 21.384 ,0 N

seg m

4.1.7. Utilizando la integral de Duhamel, determine la respuesta analtica en desplazamientos de la torre de agua representada en la figura, cuando es sometida a una fuerza impulsiva definida por una funcin del tipo triangular, asumiendo que las condiciones iniciales son nulas.

86


F ( ) = F0 f ( )

td

F0 t 2 sen1 ( t ) d m 1 0 t d t F 2 sen( 1t ) 2 F0 1 = u est DLF u( t ) = sen( 1t ) = 0 t 2 m 1 t d 1 1 1 K td u( t ) =

t Para d t t d 2 t t 2 u( d ) = 1 sen( 1 d 2 1 t d 2 ) u est

Para 0

t

td 2


td 0

f ( ) = 2 (1

)

td 2 td

2

0

td 2 td

87

2 t t 2 & u( d ) = cos( 1 d t 2 2 d td

) u est

t & u( d ) t t t F0 2 sen( ( t t d )) + u( t ) = u( d ) cos( 1 ( t d )) + 2( 1 ) sen( 1 ( t )) d 1 2 2 1 2 td t d m 12

F0 F0 2( 1 ) sen( 1 ( t )) d = 2 sen( 1 ( t )) d 2 sen( 1 ( t )) d td m 1 td t d m 1 t

2

F0 m 1

t t t t 1 d cos( 1 ( t d )) sen( 1 ( t d )) = 2 1 21 2 2 1 F0 td t t 2 sen( 1 ( t d )) 2( 1 ) cos( 1 ( t )) + K td 2 1 t d 2

2 t 2 ( 1 cos( 1 ( t d ))) 2 td 1

td td td t 2 4 t sen( 1 ( t 2 )) + 2 ( 1 t ) t sen( 1 2 ) cos( 1 ( t 2 )) 1 d d 1 d u( u ) = u est 2 td td cos( 1 )sen( 1 ( t )) 2 2 1 t d = u est DLFPara t d t

t t 4 1 cos( 1 d ) sen( 1 d ) u est 1 t d 2 2 4 t t 4 4 & u( t d ) = cos( 1 d ) + sen 2 ( 1 d ) u est t 2 td td 2 d u( t d ) = 4 t t 1 u( u ) = u est sen( 1 d ) ( 1 cos( 1 d ) cos( 1 ( t t d )) + 2 2 1 t d 1 t d

t 4 cos( 1 d ) 4 2 sen( t t d td + 4 sen 2 ( 1 ) 2

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CAPITULO 5 SISTEMAS DE N GDL

5.1 INTRODUCCIN Si bien el sistema de un grado de libertad conduce a aproximaciones razonables para obtener una estimacin del comportamiento global de edificios, existen ocasiones en las que es necesario el recurrir a modelos ms sofisticados en los que la masa de la estructura ya no se concentra en un slo punto, si no que se distribuye en varios puntos a lo alto del edificio. Tpicamente, en este tipo de modelos se supone que la masa est concentrada en los niveles de piso y sujeta a desplazamientos laterales nicamente de dichos diafragmas.


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En la figura 5.1, se muestra el modelo dinmico de un edificio de tres pisos, en donde cada piso se puede representar por una masa concentrada que tiene la posibilidad de desplazarse en forma horizontal nicamente dado que se asume la hiptesis que las columnas son inextensibles.

Figura 5.1. Modelo de estructura de n grados de libertad. En este caso las ecuaciones del movimiento para el edificio de tres pisos de la figura anterior, se obtiene aplicando el principio de DAlambert en cada una de las masas en forma aislada, considerando los desplazamientos relativos de una masa con respecto a la otra:m1 0 0 0 m2 0 0 &&1 c1 + c 2 y && + c 0 y2 2 &&3 m3 y k2 k 2 + k3 k3 c2

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