3.3. El límite funcional. Discontinuidades AP93, p. 119

Hasta ahora sólo hemos clasificado los elementos del dominio de una función atendiendo a si verificano no la propiedad de continuidad. Vamos a completar esta clasificación introduciendo el concepto delímite de una función en un punto de la recta real. A diferencia de la continuidad, el límite de una funciónse puede estudiar en puntos que no pertenecen al dominio de la función, pero que si están suficientementecerca del dominio. Para poder precisar que entenderemos por estar suficientemente cerca a un conjuntode la recta real necesitamos dar la siguiente definición. Sean A ⊆ R y x0 ∈ R. Se dice que x0 es puntode acumulación de A si verifica algunas de las siguientes propiedades equivalentes:

ii) existe una (xn) ∈ S(A− {x0}) tal que (xn)→ x0

iii) para todo δ > 0 se verifica que (x0 − δ, x0 + δ) ∩A− {x0} 6= ∅.Notación: A′ = {puntos de acumulación de A}Diremos que a ∈ A es un punto aislado de A si a /∈ A′ o, equivalentemente:

- existe un δ > 0 tal que (x0 − δ, x0 + δ) ∩A = {x0}Demostracion. AP93 p. 120

Ejemplos. i) La acumulación de los intervalos no triviales de la recta real es fácil de determinar: bastaañadirle aquellos de sus extremos que no pertenecen al intervalo.

i) Si A =

{1

n: n ∈ N

}, entonces A′ = {0}.

ii) Si A = (0, 1) ∪ {2}, entonces A′ = [0, 1] y x0 = 2 es el único punto aislado de A.

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que para cualquier conjunto A ⊂ R no tiene por quedarse ninguna de las inclusiones: A′ ⊂ A ó A ⊂ A′.

Ya podemos dar el concepto de límite de una función en un punto. Sean f ∈ F(A), x0 ∈ A′ y L ∈ R.Se dice que f tiene límite L en x0 si:

- para toda (xn) ∈ S(A− {x0}) tal que xn → x0, se tiene f(xn)→ L

Por la definición dada, si existe el límite de una función en un punto, es único.

Si L =∞ ó L = −∞, diremos que f tiene límite infinito en x0.Notación: limx→x0 f(x) = L

Esta definición tiene sentido porque x0 ∈ A′. Recordemos que un punto de acumulación de A notiene porque pertenecer al conjunto A. Por tanto, a diferencia de lo que ocurría con la continuidad, puedetener sentido hablar de la exitencia de límite de una función en puntos donde la función no este definida.Por otra parte, si x0 es un punto aislado del conjunto no tiene sentido hablar de límite en el punto x0para funciones definidas en A. Finalmente, notemos también que si x0 ∈ A ∩A′, el valor que tome unafunción f ∈ F(A) en x0 no afecta para nada a la existencia del límite de f en x0, ni el valor de dicholímite en caso de que exista.

Vamos presentar una caracterización análoga a la de continuidad:

Caracterización ε− δ del límite funcional. Sea f ∈ F(A), x0 ∈ A′, L ∈ R. Equivalen:

i) limx→x0 f(x) = L

ii) para todo (xn) ∈ S(A− {x0}) monótona y convergente a x0, (f(xn)) converge a L

iii) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : x ∈ A, 0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

Demostración. Casi literalmente la demostración de la caracterización ε− δ para continuidad. 21

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El siguiente resultado expresa la relación existente entre la continuidad y el límite funcional.

Relación entre continuidad y limite funcional. Sean f ∈ F(A) y x0 ∈ A ∩A′. Son equivalentes:i) f es continua en x0ii) limx→x0 f(x) = f(x0)

Si x0 es un punto aislado de A, entonces f siempre es continua en x0.

Demostración. AP93; p.124

Será precisamente esta proposición la que nos motivará las definiciones que clasifican los puntos deno continuidad de A. Sean f ∈ F(A), x0 ∈ A∩A′, L ∈ R. Se dice que f presenta una discontinuidadevitable en x0 si f tiene límite L en x0, pero L 6= f(x0).

El nombre de discontinuidad evitable se justifica por el hecho de que si cambiamos el valor de lafunción f en el punto x0, dándole el valor L, obtenemos otra función que si es continua en x0 y quecoincide con f en A− {x0}.

Ejemplo. La funcion f ∈ F(R):

f(x) =

{0 x 6= 01 x = 0

tiene una discontinuidad evitable en x0 = 0, ya que:

limx→x0 f(x) = 0 6= 1 = f(0)

Para seguir estudiando las discontinuidades necesitaremos definir los límites laterales. Sabemos quepara comprobar la existencia del límite de una función en un punto, basta considerar sucesiones monó-tonas (ya sean sucesiones crecientes o sucesiones decrecientes). Cuando se consideran unas y otras porseparado se llega al concepto de límite lateral.

Sea f ∈ F(A) y L ∈ R se dice que:

i) f tiene límite por la derecha L si para toda (xn) ∈ S(A− {x0}) tal que (xn) ↓ x0 se verifica quef(xn)→ L

ii) f tiene límite por la izquierda L si para toda (xn) ∈ S(A − {x0}) tal que (xn) ↑ x0 se verificaque f(xn)→ L

En i) suponemos que el conjunto de (xn) ∈ S(A − {x0}) tales que (xn) ↓ x0 es no vacío. Análogocomentario para ii).

Notación: limx→x+0f(x) = L y limx→x−

0f(x) = L

En la siguiente proposición vamos a estudiar la relación existente entre los conceptos de límites late-rales y límite.

Proposición. Sean f ∈ F(A) y x0 ∈ A′. Sea L ∈ R:

i) si sólo existen (xn) ∈ S(A− {x0}) decrecientes tales que (xn)→ x0, entonces:

limx→x0 f(x) = L⇔ limx→x+0f(x) = L

ii) si sólo existen (xn) ∈ S(A− {x0}) crecientes tales que (xn)→ x0, entonces:

limx→x0 f(x) = L⇔ limx→x−0f(x) = L

iii) si existen (xn) ∈ S(A− {x0}) tales que (xn)→ x0 de los dos tipos de monotonía, entonces:

limx→x0 f(x) = L⇔ limx→x+0f(x) = limx→x−

0f(x) = L

Demostración. AP93 p.130

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Sean f ∈ F(A). Si x0 ∈ A, se dice que f tiene salto finito en x0 si f tiene límites laterales reales enx0, pero son distintos. Si x0 ∈ A′, se dice que f tiene salto infinito en x0 si f tiene algún límite lateralinfinito en x0.

Ejemplo. La función parte entera tiene una discontinuidad de salto finito en todo punto de Z.

El concepto de sucesión divergente nos permite estudiar el comportamiento de una función cuando lavariable crece (resp. decrece) indefinidamente, es decir, cuando nos alejamos en la recta real por la dere-cha (resp. izquierda) indefinidamente. Por tanto, si A es el dominio de la función a estudiar la condiciónx0 ∈ A′ que aparecía en la definición de límite se sustituye por la de A no acotado superiormente (resp.no acotado inferiormente).

Sea f ∈ F(A) y L ∈ R:

i) si A no acotado superiormente, se dice que f tiene límite L en +∞ si para cada (xn) ∈ S(A) talque (xn)→ +∞, se tiene que (f(xn))→ L

ii) si A no acotado inferiormente, se dice que f tiene límite L en −∞ si para cada (xn) ∈ S(A) talque (xn)→ −∞, se tiene que (f(xn))→ L

Cada uno de dichos límites, si existen, es único, en cuyo caso se expresan limx→+∞ f(x) = L (resp.limx→−∞ f(x) = L).

La condición de que A sea no acotado superiormente es equivalente a que la de la existencia deuna sucesión de elementos de A que diverge positivamente. Por tanto, la definición i) tendría sentido.Análogamente, se diría para la definición ii).

Ejemplo. i) Si f ∈ F(R+) tal que f(x) = 1/x, entonces:

limx→+∞ f(x) = 0

ya que para toda (xn) ∈ S(R+) tal que (xn)→ +∞, se tiene que ( 1xn

)→ 0

ii) limx→+∞ exp(x) = +∞ ya que exp(x) > 1 + x si x > 0

iii) limx→−∞ exp(x) = 0, usando ii) y la propiedad exp(−x) = 1

exp(x)para todo x ∈ R

iv) Para todo x ∈ R limx→+∞ x−n exp(x) = +∞ para todo n ∈ N ∪ {0}. Esto es cierto por ladefinición de la función exp, para x > 0:

x−n exp(x) > x−nxn+1

(n+ 1)!=

x

(n+ 1)!

Así dado β > 0:(n+ 1)! β < x⇒ β < x−n exp(x)