Ejercicios de límites

37
��� � ��! ! " � #��!$��#���% �!�!�&�'�! �(#�! �'�) �)) �))) �)))) ! !����! !���! !��! !�! *�+!*�)+*�))+ *�)))+ ,� �% "����" "���" "��" "�"! �" &� �� -��� ! .��#�" ��!��" ! &� ��� � /�� �0�� �( �%�0�%�- �%�0���#

description

matematica, limites

Transcript of Ejercicios de límites

Page 1: Ejercicios de límites

����������

������������������������ � ������������ �� �������� �������������������������������������

��������� ���� �������������������� � ����������������������� �� �����������������������������������

��������������������������������������������

���!

!��

"

��� �� � ��#������������������������������������������������� � �������������!�

$�������#��������������������%�����������!�� ������������������������������������������������

�����������!��&����������������������'�����������������������������������������

����������������������!���������(#����������� � �������������!������������'�

� ��) ��)) ��))) ��)))) ! !����! !���! !��! !�!

���� *�+!� *�)+� *�))+ *�)))+,�����%

������ "����" "���" "��" "�"!

������������� ���� ���������"��

&�������������������� �����

����� �-���������������

!

.���� � #�� � ��� � ������� � � � � �� � ������� � ���

����������"������������������������!�

����������������������

"�����!

���

&� � ��������� � �� � ��� � ��������� � �������� � �

��������� ���� �

���������������������/������������ � ������������������0�������������������� ���� �����������������(�

�%������0����������������������������%��-���%��������0�������������������������������������#�����

��������

Page 2: Ejercicios de límites

����������� ���� ���������������������������

������������������������ ��� �� ������� �� ��-���������������������� ���� ��������� � �

������ � ��������� � �

������������ �� � �����������#��� �� ������������1 ��������������� ��� �,��'����������#������1����������� ��� ��� � ���� � �� � ����� �� � �� � ������� ��� ��� �� � ������� ����� ����� � ������ ����� ��� � ������� �&�

��������������������������������������������������������������������������$�����������������������

!

!��

"

��� �������%�����������!

���������������������������

������� � ������� ��������������� � ��� ���������� �� � ��� � �������� ������ ���������%� ��������� �-

�������������������������������������������������&�������������������������������������������

���������������������������������

!2� ����

���

"!2� ����

��� �

������������������3���������������%����������������������������������������������������%�����������

�������������������������������������������������������

�������� !# ������� ���� �-� ���� ��������������������#��� ����� ����

�-� ����� ����

�������������������

$!# ������������������������������#���� ����� �����

4 ����� �����

%!2� ��������� ������

4 ����� ����

5 ����� ����

&!2 ��������� ������

4 ����� ����

����� ����

'!#� ��������� ������

4 ����� ����

����� ����

(!2� ���

������

��

��

��4

�����

�����

��

��

��

������� ������ ��

���

)�2��������������������������������

���� ������� 4

���� �����

*�2�� �

���� ����� 4 �

���� ����� ��

����������+� !#�&�������������������3���������������������������������������������������#�������������������������������(#������������������������������������-������������������������#��������������������������

����'���������������������������������������#��� � ����� ���� � - � ����� ��

�� � �����������������������

���������#��������������� ���� ��� �����������������������-�����������������'�����6�

"�2���������������������������������������������������������������������� �����������������������

����� �������� � ������ ���������"�7 �� � ����� ��������������� � � ��������� �� � ������ � ����� ��� � �

������������������������������6�7���������������������������������������������������������������

������������������������������7���������������������������������������������������#�������������

������(�����������������������(�������������������������������������������-���#��������

*

���,��-�-�-�.����������+�����

���,��-�-�-��.��+���

���,��-�-�-�.�,��-����!

���,��-�-�-��.����/0

���,��-�-�-�.����������

���,��-�-�-��.��,�������

���,��-�-�-��.��-��������

���,��-�-�-��.������������+�����

���,��-�-�-���.���-����-�-

����%���������������������������

������-��������������������

�������(�������� ������ ����

Page 3: Ejercicios de límites

�������������������������������������������%�����������������������������������������������������

�������#�����������������������������%���������������������������������������������������������

����������������#���������%����������������������������������������������

�1��,.�� !#�8���������������������������������������������#�������������������%�������

�2�6

*"��� �

�3�������������42� !9��� *"

"��

��3��������2� 6

! !9

!���

���3�������-2� *� �*�

"���

��.������

�2�6

*"��� �

�6:�*�"���"���" 66

*

6

*

��� ���������

��������

������������

�� �

42�&��������������������-����������������������������������������������������'�-��%��������1������� ������(���������������������������������������� �;����������������������� ����������

�������

!9���������!9���"

*

"

"

"

*"

" ���

����������

���������

��������������������� !9������*

"

"

"���

��

��������

�����������������<'������������������������������������

�� ""!9)*+!9"�"� *"

�2���������

����

� ��6

!

6

! !9

!���

!9

!���

���������������

����

�6

!

!

�!9����

!���

���������

�����

��� �

6

!!!9������

!

*

!

*

!

!9!

!

6 6

6

6

-2�����������

��������

���������

� �

�*

*� �*����

�"����

�*�

"���

������������������������������4������������

����������

��

� �

*

��

��*�����

"������

���

���������

�����

��� �*

���*�������

"�

6

"

*�

"*

"

��� �����������������#���� �!9���!�

������������

�������������������������������������

��� �����������������#���� �*���*

��

������������

�������������������������������������

Page 4: Ejercicios de límites

����������+��

2��$�������#��������������������������������������������� �!9

!���

! �����������������������������

���������������������������(����������������������������������� ������������������������������

��������#�����������������������������������������������������������������������������������

"2�8�����������%������������������������������������������������'���������������������������-������� � ������� �'�- �#�� � ��� ���- �������� � �� � ���� � ��� � ������� � ��� �������� �������� �� � ���� � ������

;���������������������������������������������������������������������������������������3������

������������%������������������������������������'��������������������

6

Page 5: Ejercicios de límites

5!#���,��-�-�-�.�./�����-��������������,�.����������������"�� ��� ���� ���������������������������������

������� ������

����+��������� ��� �!!

!�� ��������� ��

�� � ����������

���������

����������

��

��

��

������

��

��

����������������

����!

!!�!

!! ��������������� ��

�������� �!!�!!

!!������������������� �������������� ��

���

���

��������

�����������

���

��� ��

���!!

! ��������� ��

��

���������� �

;�������3�������-���������������������������������������������%���������������������

�������

!#���,��-�-�-�.�./�����-��������������������.�����.����!#�� ��������������������������������������������������

������� ������

$�������������������������������������������������������������������������������%��������

�������������#��������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������-�����������������

�1��,.��"!#��8��������� "*9

"*

* "*

"6

*

!"���

��

���

��

��.������

"*9

"*

* "*

"6

*

!"���

��

���

�"

*9

"

*

*

* "*

"6

*

!���"���

��

���

��

����

"*9

"

*

*

"*

"6���

*

!*"

��

��

��������

����������

"*9

"

* "*

"6���

*

!!*

��

��

����

��������������������&����������������������%���������������������������������

"*9

"�

"***

"*6*

*

!!*

��������

����������������=

"!*

*+

"

*

!!*

"

" �

������������������������������������������������������������%�����������������������������������������

�1��������-��-�+����..�!#��8�����������������������������������������#�������������������%������

!"

"6*�!"����

*

""

! ��

���

��� ���+,��+����2)

9

Page 6: Ejercicios de límites

����6��������������6�����������6�����������7�8������!

����������������������������������������������������������������������������������

���%���������������������������-�'���%�#����������������������������������#�����������������������

�������������������%����'���������������-����������

�1��,.�� !#�8��������� ** �*�

!���

��.�������$�������#�������������������'����������������������*9 �����#���������������������������������������������� �������������������%�#������������������������*��������������������������!

-�����������������������������(���%�����#��>��-��������������������������������������������'���

������(��%����������������������������������������������������*��;����������������#������������

�� � ������ � - � ������� � � � ������� � ������ � ������������ � ������ � #�� � ���� � � � � ����� � ���������

�����������������������������

�1��,.��"!#�8��������6

*���

** �

��.�������;�����������������������������*�������������������������������������1���#���������

�������������� ��

���8�������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������%��������(���-�������������������

6

*���

** �

�4

�*��*�

*���

* ��

���

<������������������#����%������������*

!

��������%������������������������������������4*����

�����������������%���������������������������������������������������������������*������#���

�*��*�

*���

* ��

�4

�*�

!���

* �� 6

!

�**�

!�������

�4+��������!#�/�����������������������������������?�������������������������������������������������

.�����������������������������������������������������������

���

�2��

*

���� �

!���

����������

42��

��

� ���� �

����������

!���

�2��"�

����

�*�

!���

��

����������

=

� ���/������������������� ���

��

����� ���������#����������������������������������?������������� �

���� �� ������� � � � � � ����� �� ������ � � ��� � ���� � �������� � ��'� � ������ � � '�- � � #�� � �����(���

��������������� ���������������������������0�� ����������#�����������������������������������

����������������������������-������������������������#�������������������

Page 7: Ejercicios de límites

-2�*�

����

� ��

���������� !���

��������0�������������������%���������������������������������������'��������%�

�����������������������������������(#��������������������������

�� � ��������� � �� � ���� � ������� � ��� � ����� � ����������� � � �?� � � ��� � �� � �������� � - � ��

��������������������������;������������������%���������(���-�������������

�1��,.��$!#��8��������*+

"*���

"

*

" �

��

��.�����!#

�)"��"�

�!��"����

*+

"*���

*"

"

*

" ���

��

��

������������

���������

�)"�

�!����

*" ��

�����������

*+

6

)))

!"���������

������

��������������������������������������(���������������������� �?� ����������������������

������%�������������������������������������������#���������������������(���-�������������������

��(�

�1��,.��%!#�8��������!

*"���

! �

��.�������;���������������������������������������

��������������(����������������(����������������

�����1��������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������1�������������������������������������(�������������������������

���������� � �� � ��������� � ���� � !� � � &� � ����� �� ���������� � �� � ��������� � �� � ��������� ���������

������������� !� �#���

*"

*"

!

*"!

!

*"

!

*"

������ ������������!�����������������������������������

�*"��!�

6"

�*"��!�

*" **

��

��

*"

!

�*"��!�

!

���

����<�������������#���*"

!

!

*"

��

�������������4!���������������������������������%�

�����������������������������������������������%����������������������� !� �

6

!

*�"����

!

*"���

!

*"

!���

!

*"���

!!

!! ����

��

��

+

���� �������(���������������5����2���#��������-���%���

���������������(������������������������������������

��������������������������

��������������

Page 8: Ejercicios de límites

.�������������������#�����������������������������������������<���������������������������

������������������������

�1��,.��&!#�8��������*"

!**���

** ��

��

��.������ ��������������������������������(��������������������?�� ��������������������'�-�����1������� � ����� � ������ � ��������� � �������� � �� � ��������� � �� � �������� � ������������ � �������� � -

�������������������������

!*"

!**���

*"

!**���

**

** ��

��

��

��

��

���������

!**

!**

*"

!**���

** ��

��

��

��

������� ���������������������������������

�!**��*"�

!**���

*

**

*� ����

�������

���!**��*"�

�!�6*���

** ����

��

�!**��*"�

6*���

** ����

������ �

4��!**��*��!�

�*�*���

* ����

�����*

!

�***�!

*

�!**��!�

*���

* �����

�1��,.��'!#�8��������" "

"

* :

*���

��.����������������������������������������������?��������������0�������������'��'����'�������������� � ������ � ������� � �� � ������� � � � �� � ��������� � �������������� � ���#�� � ��� � ����������� � ���

���������-������������������������1��������������1������������������������������������'���

#����������������������������������������������������#������������������������������(��������������

-�����������������������������������������(�

" "

"

* :

*���

�4� "

"*

""* :

*���

:

*���

�����

:

���������(�����������-��������������

��� � �������� � #�� � � �� � �������

�����������������������������������

����<��������������������������������������������������

��

����� ������������������������?����

�������������������������������������������������������-���������#����

� ��� � ��� �������������������������1����������������������������������������������

�����������������#���-������������������������������������������������������0����������

������������������������������������������������&��������������������������������������

�����������������������������������������

&���� �� � ������� � �� � ������� ��� � ������ �� � �� � ���(�

��������#����������������������� �:

*���

"* �

����������

�� � �� � ���� � ���������?��������� � ��� � ������

�������������?����@������(�����-���������������

$�������#�������������������������������#������

����������*

Page 9: Ejercicios de límites

4� " ** 6**

*���

���

�� �������������-����������������������������

"** 6*

!���

������������������� ������0�����������������������������������

""* !*

!

6***

!

�1��������-��-�+����..�!#�8�����������������������������������2�!

!"*���

*

*

! �

��

�3�����42�

��

� *!

!���

!

�������������������������!����&�������� �?� ����������0������������������������3������������1�����������! ��

;������ �#�� ��� � ������ ��� � ���� ���

���� ����� � � ����� � �� � ����� � ����������� �! � �� � � !�� � � -

�� ������� ��

��� ��������� � � �

��

!

��!���� � ������������������������������ �������������-�����������������������1���

���������������������������������������

����������������������#������������������������0���������������������������1����1���������������

��������������������������������������������������-��������������������������.������������������

��������

�1��,.��(!#�<�����#���� �

��

!

��!���� 4���8�����������2��

�� ?*

��!���� ��42

�� ?!

��"!����

�� ���

!

�!�����

2!�2! ���)�2!� 4*�:=+)

2!�2* ���))�2!�� 4*�+*+) ��

2!�2" ���)))�2!��� 4*�+!)=

2!�26 ���))))�2!���� 4*�+!:6

� ��A

!�26 �!����!�!���� 4*�+!:!

!�2" �!���!�!��� 4*�+!=) ��

!�2* �!��!�!�� 4*�+�6:

)

/���%�������%������(��������������������#���

�������������������0���� ��������������#����������0�����

�������������-�����������������������*�+!:*:�-������������

���������������������������

� � � �&��������������1�����������������������������������

����1��������������������.������������1�������������#���

���� � ������ ����������������� �������(��%� � ��� ��0���� ���

����������������������

�� � ��������� � �� � ����� � #�� � ���� � ������ � ���� � ���

�0���� �� ����� ��������� � � � ����1� �� �1� ������ � ������� ����

������ � ����������� � � ��� � ���� � � � �������������� � -�

������������������������

Page 10: Ejercicios de límites

��.������ �&�������������������������������������� � �

��

!

��!���� � ������������������������������-

������������

�2*?!

?*

��!�����!���� �

���

***?!

�!���� ��� �

���������

42� �

��� *

!

?!

��"!�����"!���� ��� �

�"�*

"

���"�!���� �

��

����������

����������������������������

�� *

"

��!����

�����*

"!

��!���� �

�� ������� �����������������������������������������������������������

��������������������������������

*?"!

��!���� �

��

*?"!

�!���� �

���������

� ����"

*?" !

��

�1��������-��-�+����..���<�����#���� �

��

!

��!���� 4����8����������� �

�� *

"

��9!�6��� ��

���������������������������������:��6���������������������������������������������#���������������������%�����������������

�1��,.��)!#�������������

�����

�������

�������� *�� *��� �

��.�������

���

�����

��

�*�*�����

�������

**

��

�����4�

�����

***���

***

���������������� ��

���

���

��*

�*����

*���

�*

�1��������-��-�+����..�!#��8���������

�����

�������

����� *!�� ���

!�

� � '��� � �� � ����������� � � �� " � � ���� � ��� � ����������� � ���

������������2"���������������������%������������������#��

���� �� ����������� �"� �-������������������ �� �

$�������#�������������������#����������������������������

�1�����������������������������

�4+��������� � �� � ���� � ���� � �� � ������������������#���������%�������������������� �

�����������������������������

������������-������������������������������������������2"������

�������������������������������

Page 11: Ejercicios de límites

�;��������

��B�������������������������������������#������������������������������������#������%�������

! 2�"

6

!�*!���� �

�3�� !"2� !"��� *

���

�3�� !$2�

!9*

!6���

*9

"

� ���

��

�3��� !%2�

"���

*

! ��

"2����������������������������������

"! 26

=9���

*

*

* �

��

�3 "!"2�

*"

*

* *

*9*���

��

��

�3 "!$2�

6"*

!6���

*

"

� ��

��

"!%2���

��

� *

"

!

"6��� 3 "!&2�

*

**���

* �

�3 "!'2�

��

� *"

!���

*

!

"!(2�!*

!!���

*� ��

��

�3 "!)2�

��

��

� *

!!���

*�3 "!*2�

�� ?*

��"!�*���

"! 52� �

� �

�� ?!*

������ 3 "! 2� �

��

6"

��"!�*��� 3 "! "2�

*?!*

��*!���� �

�� �

"! $2���

���

� *

*"

!

**��� 3���� "! %2�

��

�*�6���

*

3��� "! &2��

�� ?!

��*!�6���

"! '2�6*

!=���

*

6 �

�3 "! (2�

!=

:���

6

"

* �

�3 "! )2� "

*

"

! *"

!���

��

�3

"! *2�!

���� �

�3 "!"52�

9

* *

6���

$2�������������

�����

�������

������������������������������������������

$! 2� ���� *�� * 3 $!"2� *�� *��� 3 $!$2� ��� 9"�� 3

$!%2��

��!

!�� 3 $!&2� !�� ��� 3 $!'2� ��� *��

%2�8�����������������%! 2��

!!���

"

�3�� %!"2�

!!���

"

�3���� %!$2�

!!

!!���

6

"

� �

��+,��+��+�� ! 2�6

*7�� !"2� !7��� !$2�!7�� !%2� !7�"! 2� 7

6

!"!"2�"?62!7��"!$2� 7

6

!�"!%22!7��"!&2 7

*

!�"!'2�

7+

:��"!(2��7��"!)2� 7

*

!�"!*2*�=7��"! 52��2!7�"! 2*�!*7��"! "2��*7�"! $2�=7�"! %2�2!7�"! &2�*�7��"! '2�2!=7�

"! (2�:

"7�"! )2�2"7�"! *2�� 3"!"52�*6"7�$! 2�*�2*��$!"2*���$!$2#97��$!%2� *

!

!

���$!&2�

!*

!

�7�$!'2�

!

!!

Page 12: Ejercicios de límites

!!

!!

!�!

��* ����

���

����

��

�����

���

����

��

�!*

!!

*

!�!

��

��������<6������=�����

���������������������������������-��#������������������������� ���� �����������������

���0���������������� � � � ���������� � �� ��������������������������������������������������������

����������#������ ������������� �������������&����������#������������������������������-�����������

�����������

�1��,.�� !#�;��������� ������

���

�����������%�����������

8������0�������������

� !?* !?" +?*6 !?6 !?9 !!?=� !?= !?+ C !?!�� !?!�! �

���� ! 2! � ! 2! � ! 2! ! 2! �

��'����������������������������������������������#��������������+��.��������������������

-�� �� !

�1��,.��"!#��;�������� �����!

���

9�����������������������

!*

�!�*��!�!�*

*�"

*

!�*

!

!�!

!

�����������������!?!�!�-�!?!�*

��������������'�����������������%��������������������-��������������������������������������

�� � ������� � ���� ��� ��� � ��( � �%� � �������� � � � �� � �������� � ������1��������� � ���� � ��'���� � ���

�������������������������������������������������������������������%����������D!���!�������������

����������0������������������������������������������E�����������������#������������������������

������0�����&�����#���������������#������ ������

���

�����������

Page 13: Ejercicios de límites

8���� � �� � ��%���� � � � � �� � ������� � � � �� � ����� � �� � �� � ������ � �� � ������ � ���� � �� � ��������

��������������� �����>�+����.�./�����-���?�2����.��+���������@��� �.�������������-��������A�����������-����+����������� �� �,���.���0@����-��-�+������������-����+��������� �� ,���.��-����B�!

�1��,.��$!#��;��������*�

!���

��!

��.���������������������������������#���������������������������������� ��<'��������� �������

����0��������������������������������#������������������������������������+���./����9�����-����+��

��������� �� !���������������������������#������������������������������

�������������������������������*�����������������������������#���������������

!!

!!

!�!

��* ����

���

����

��

B�������������������#�����������������������������������������!���������������������������������!

�����������'������������������������������������*�-��������������������������(#����������������������

������������������������'��'���������������������������1���������������������������

�������������������������'������������� �� ��

����������?���������2!#�� �����������������������0��������������������������������������������������������'���������#����������������������������������������������������'�������-������������

�����

����� �

��;�����������%������������������� ����� ����

�4+��������!# �&������������� ��� ���� ������� �������������������������������������� �������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������(��������������������������������

!"

��.������� � � �$�������#����������������������-�����������

!���������������#���!�����������������������������

��� ���- � �������� � � ��� ���� � �� � ���� � ���� � �� � ����

���������������%����������!���������-�����#���!��

����������������������������������������������������

��*��8������������%��������'�-����������0�����

��� � #�� � ��� � ������� � � � �� � ������� � �� � ����#����

����������������������!��;���#��������������#���

�����!

���

�����������

Page 14: Ejercicios de límites

���������������������������������������������������������1���������������3�������

�������!#� ������-�������0�������������-����������������������������������������������������

����������������3����������������#��� ����� ����

C���-� ����� ����

4�����-��������� ����� ����

C��

�����3���������������������������������

!#� �������������������������������������������������������������#�� ����� ����

�����������

"!2������������#������������������������������������-����������������������������������#��� ����� ����

�������-��������

�1��,.�� !#�8���������2 �����!

���

-�42� �����*

���

�������

!!"

!"

!�!

��

*

����

���

����

��

��.��������2�8�������������������%��������������������������������!�-����������1����!��'�-�#�������������������������-���������������������������������������������������������������������#����������������

��

�8�������������������������������������������*�������������#���

�����!

���

4*

42��������������� �����*

���

�������������������#����������#������������%����������*������������

��-�����#���!������������ !"�� ��� �

<���

9!"��������**

�����

�4+��������!#�����������������������������#����� �����!

���

��������-������*��$�������#�����������������

��������������������������������������������������������������4!��������������� !�����!

����

!6

���;�����������%����������� !� ��������������

��-�����#���!�������#��� !"�� ��� ������

���<���

*!!�"�!"���������!!

�����

��$�������#������� !� ����������������������#���

!�������#��� !�� *��� ������

������������

*!!�!��������� **

!!���

���

Page 15: Ejercicios de límites

�1��,.��"!#�8��������� �����*

���

������

*!

*�*

6

��

*

����

����

��

��.�������8�������������������%��������������������������������2*�-����������1����2*��'�-�#����������������

����������-���������������������������������������������������������������������#����������������

��$�������#������� *� ����������������������#���2*���

����#���*

6��

*

��� ������������������

�� 6�*����*

�*��*����

*

6��������

**

�*

**�

��

���

����

���;�����������%����������� *� ����������������-�����#���2*���

����#��� !�� ��� ����������;���#���

"!*�!���������**

�����

���8������������������������������������������������������#��� �����*

���

�����������

�1��,.��$!#�8���������

� ���� �

��.������� �������#����������������������������������������#��������������������������������������������� �������%�������������������������������������������������

����������������������

!�!������������� ��� �

��<�������������

!�!������������� ��� �

��

��8��������������������������������������������������#���

� ���� �����������

�1��������-��-�+����..�#�8�������� �����"

���

� �����*

���

�� �����*

���

�-� �����*

���

����

**"

*�!*

��*

*

�������

����

�� ��+,��+���� �����"

���

4)7� �����*

���

����������-������6�

!9

� � � � � � �� � � ����� ��� ��� ���-���� �#����� � �����

������������������ ����������������-����#���F�F4�

F2���!F4���!

� � � � � � �� � � ����� ��� ��� �������� � #�� � �� � � ����

������������������ ����������������-����#���F�F42�

Page 16: Ejercicios de límites

�1��,.��$!#�8����������������������������������� �����"

���

��������������

"!

"�*

��* ����

�����

��

��.�������&�������������%�������������������-����������"�������������������������������������������

�����#�������������� �����"

���

������������������������������������������������<���#���������������������

�����������������������������������(#�������#���������%������-����������������������'�����������������

������������#�������������������������������������������������������������������������%��������������

������������������(#������

�����"

���

*"*���"

����

���������������������'�

�����"

���

:!)!��� *

"�

����������������������

�����"

���

�����"

���

���

:*"�

&������������������������������ *� ������#����������������������������������������������������������-

���������������������������� �����"

���

�����������-���������� *� �

�4+��������!#�;�������������������#�������������������������������������������������������������������%������������������������������������������������������������������������������������������

����������!#�&����������������������������������������������������������#������������������������'������������������3����1����������������������������#������������������������������������������

������������������������������������ !�� ��� ����������������G2!� ��� � ��#�������

������#�������������������������������������������������������������D!����������������������������

���������������� �����������D!� ������������'�����������������������%��������������������,�������

����������������������������� !���!

��

����� !���!

��

�1��������-��-�+����..�!��8��������������������������������� �����!

���

�������������

!"

!!

!�*"

��

�����

���

����

�� ���+,��+������4:�

!=

Page 17: Ejercicios de límites

�����������������

��� H� � '������� � ����� � #�� � *�

!���

��� �� � �������� � ���� � ��� � ������� � � � �� � ������� � �� � '����

��������������������������������������������������������������������*�

!���

��4 �

.�����������������������������������

��!

�� �����9����-����%����������������

��.���������������������������������������������������*����������������������������������������#���������-������*��<������������������������������

!

**

* *

!���

*���

���

��

!

**

* *

!���

*���

���

��

���;���#��������������#����** *

�����

������������

� � � � �B�-�#������������#�����������#��������������������������������������������������������������%�

�%��� � �� � ��%����� � ��� � ��( � ����������� � �� � ���������� � ���� � �� � ������� � �� � ����� � &�� � �����������

�������(���������1���-������������%�������������������������

�1��,.��"�2�;����������"6

!���

*! ��

��

��.�������8���������������(��������������(���������������������������

�*��

*

!*

! �"��!�

!���

"6

!���

��

��

��

�1��������-��-�+����..�!#��8�����������������������������*

"

* 6

6���

�������E���������� �

!+

�� !� ����������� *!� �

*"�! ��� �

������$�������#�������������������������������

����0���������������� ������������������������

������������-����������������

�� � *� ����������������� �� �������-�����

#���*��������������� �* � �

$������ � � � �� � ��%���� � #�� � �� ��� �� � ������ � � � � � ��� � ���

����'�����������������������������������������������������������

��

!���

��

�� ��� � �� � ���� � ���� � � �� � ������� � ��� ��� � � ���� � ��������

�������������������������������������������������������������

��������������������������(#���������������������������������

#�� � � �� � � � �������� ��� �� � � 2 � � ����������� ���������� ����� �����

��

!���

��

�1��,.�� !#��;����������** *

�����

�!

Page 18: Ejercicios de límites

��������������������/��������� �������� � ����

����� ��������#�������������������������� � � +���������

������������� ����������������������&��������������������������������������������������I��������������

������ ���� �#������ ������ ������� ���������(��������� �����#���� ������ ���� �������� ��� �� �����%�

�%��������������������#��������������������#��������������������%������������������������������������

�����������������������������#���������������������/������������������������������������������

��������������������������������������1�����������������������-��������������������������������������

�����������������������������

�1��,.��$�2�;�������������2� *! �!�

!

!

!���

���3��42� *! �!�

!

!

!���

���

��.�������

��2� *! �!�

!

!

!���

����C�� ��$�������#����#������'���������������������;����������

������#���

42��������������������������������������������������������������������������������������������������'�����#��������������������������� �����������������������������������������������������

*! �!�

!

!

!���

���*

! �!�

!�!����

�*

! �!����

�������������������������������������������������� ����������#���

*! �!�

!

!

!���

���

�1��,.��%!#�;������������2��!�

!

!���

! ���

�3���42�

�!�

!

!���

! ���

��.��������2�<��������������������������1�������#������������� �����������#����������������������������

������������� �����������������������������������������%���%��������������������������������

�!�

!

!���

! ���

�?�*

! �!�

!���

��

������8����#�����?���������(�����-��������������

�!�

�!��!����

! ��

��

C *!

���! �

�!

42��������������������������������������������#���������������������������������'������������������������������#�������������������������������������������������'����������������#������������������-��

*�!�

!

!���

! ���

��������� ����������������������������������������������������������#���

*�!�

!

!���

! ���

�1��������-��-�+����..�!#��8����������2���

� *

!

6���

**

7���42��

� *

!

6���

**

����� ����� �

!:

Page 19: Ejercicios de límites

������������

�1��,.� � !#� �� � ����� � � � �������� � �� ��� ��� � ������ � � � ������������� � �� � �� � ���� � ���% � �� � ���

��!

!��

!9���� ���2�J8�%����������������������������9�K���������������������������A�42����������

�����!��

�!�

���2�J �������������������!��K�������������������A

��.�������2� ��������#������������ ���! ���� 9�� ���������

!9��9�!��

9�!9���9��! /L

42�$�������#��������

� !��

!9�����!��

�����������������������������������������������-��������������

!9����������������

� !��

!9�����!��

��

�2��������������������������������������������������������������������#������#���������������������������!��K������#����������������������������������������������

�;�������� 2�8������������������������������� ���������������������������#��

! 2�"

*���

" ��3 !"2�

� *

!���

*3 !$2

66���

** ��

�3

!%2*"

*���

** ��

�3 !&2 "���

!�3 !'2�

� *���

*3

!(2�!

!�!���� �

�3 !)2�

!

!���

! ��3 !*2�

� *

*9���

*

9

3

! 52���

� !�!�

*���

!3� ! 2

"6

!���

*! ��

�3 ! "2�� ��

�!���

!

! $2�*

!!��� �

�3 ! %2�

!

*!���

*! ��

�3 ! &2*

!���

*! ��

! '2�6"

6*

� 9*

*���

��

��

�3 ! (2 ��

�!���

!3 ! )2�

��

�� 6

!

6

!���

*6

! *2"6

!*���

*! ���

3 !"52�!

!���

*

"

! �

�3 !" 2�

��� !

!

!

!���

*!

!""2� "�

!*���

��3 !"$2�

� 9

*9���

*

9

3 !"%2�*

*

9 9

*9���

��

"2�������������������������������������������������������������� ���������������������������#����

"! 2

�!"

��

��!

��

"

����

���

����

�� �� "!"2

*!

*�!

��*

*

����

����

��

�2� �����!

���

3���42� ������

���

3���2� ������

���

3� �2� ������

���

�3��42� �����*

���

3��

-2� ������

���

3����2� ����� ���

�2� �����*

���

3��-2� �����*

���

!)

Page 20: Ejercicios de límites

"!$2�

�"!

��6

6?"

����

����

���

"!%2�

�!

�!

��!

��

����

���

���

��

�2� �����!

���

�3��42� ������

���

3��� �2� �����*

���

�3���42� ������

���

�3���

�2� ������

���

3����-2� ������

���

�2� ������

���

3��-2� ������

���

3����2� ����� ���

"!&2��

*=

*

*:*

*

��*

*

*"

��

���

��

�� "!'2�!�

!�"6

!

��*

*

����

�����

��

�2� �����*

���

3��42� �����*

���

! �2� �����!

���

�3��42� �����!

���

"!(2�

*:6

!=

*"

��6

*

��

���

�� "!)2�

�!

��"

!�

��"

?!

��

��

�"

�2� �����*

���

�3��42� �����*

���

3��2� �����*

���

������

�"�

$2�8���������������������������������������������� �����!

���

��������������

!

!�!

��

*

�����

����

��

%2�8��������������������������������������������������������

%! 2�

!

!!

!�*"

��

�����

���

����

�� ��� �����!

���

7����%!"2�

*)

*�!

��" �����

�����

�� ������� �����*

���

��+,��+��+�� ! 2� !"2� �� !$2� 7� !%2�� ��� !&2� " 7�� !'2,��������7�� !(2 ��� !)2� 7�� !*2�5��

! 52� 7 ! 2� �� � ! "2�7� ! $2�7� � � ! %2� �7� � ! &22!?"� � ! '2� � ! (2��7� ! )2� � � ! *2� �

!"52�$D"3� !" 2� �� !""2� � !"$2� 3 !"%2� * 3���"! ��2�*7��422!7����2!7���-2�������������2� ���"!"2�

�22!7��42"7���2�2 " ��-2���������7��"!$2��2�!=

!3��42� "?6� 3���2�� 6?"� 3��,��������7

"!%2��2!��422!7���22!7��-22!7���22!7�"!&2��2!?*7��42���������7�"!'2��2���������3�42!3

"!(2��2�2"*�42�#$"3��2���������!�"!)2� " � ��$2� 3�%! 2�!7�%!"2�6

*�

Page 21: Ejercicios de límites

����������E���������

I������������� ������+/������ ������������� ��+����������� ����#��������%����������������������������������(��%���������������������������� ��'�����������������������������������������������������

�����������

�������������#�����������������������*���������(#������������������������������������������������������

����������-�����������������������������������������������������������%������<���#���'�-�����

������������������������������������������-�������������������

��������������������������������������������%����������������������������������������������

� � ��� �������� �#�� � ���� � �� � �������� ��� � �� � ���� �#�� � �� � ������� � ����� � ���0� � �1����� � ������������

�����������������������������#���������#��������������������������������������'������

�1��,.�� !#�����������������������������������������������%�������������������

�"��!�

*��

���� !

M��#�����������%�������������������������(����������������������������������

��.�������&�������������������#����#��������������������������������������������������������������������

�������7����������������������������������"��!� ��

��-������������������!�-�D"�

<��������������������������������������#��������������������������������������������

*!

��������������������������������������������%��������������������

���

*

!�� ��������������������������������� ���������������

*��&����%����������������������������������(��%�������������

�4*� �&������� ��4*������������������������������������������

��%�����������

������������������������������������������

������������������������

���������������� *

!���

*�

���� *

!���

*�

���������!#��&���������#����������������������������������%�����������������������������#������������

�����������

�2 ����� ����

3���42 ����� ����

3����2 ����� ����

��������-2 ����� ����

!

Page 22: Ejercicios de límites

"�

*

! �"��!�

*���

���

��������������"�

*

! �"��!�

*���

���

;���#��������������#����4!��������������������������

�6

*

" �"��!�

*���

���

����������������6

*

" �"��!�

*���

���

3����������������#����#2"������1����������������������������������������������������������

���������������'�������������������������������������%��������%��������������������'�����#���������

����(������������������������������

������������/��������������������������������������0����������������������������������������������

�1��,.��"!#���������������������������������������������%�������������������!�

!*��

*

���� !

��.�������$�������#�������������������'����������4!��<�������������

!

�!����

�!�

!*���

*

!

�?�*

! �

��

������������

��� ��!����!

��

����������

� ����I�������������������������������������������!���������(#�������8����������#������������������

���������������������������

������-��#�������������������������������������N����������������������'��������������������������������������������

�1��������-��-�+����..�!#���������������������������������������������%��������������������

*"��

"

*

��

����

?��+,��+���� �� �4��- !� ��������������������������

**

Page 23: Ejercicios de límites

�����������1��,.� � !#� �� � ����� � � � �������� � �� ��� ��� � ������ � � � ������������� � �� � �� � ���� � ���% � �� � ���

��!

!��

!9���� ����2�;�������������������������������������%������� ���! �42�;�����������������������

��������������������������������������

��.������

�2�8������

� !��

!9�����!��

������������ !��� ��������

��������������������������������� ���!

42�<������������������������������ ���! ������������������#!��

�;�������� 2�;�������������������������������������������������������������;�����������%����������������������������������'����������#��>�����(���������������������������������%����������������������������

���#���������������������

! 2!

*��

*��� �3 � !"2

!��

*�

��� 3 !$2

**��

*" ���

���

!%2*�*��� ��� 3 !&2

:

*��

"

"

��� 3 !'2

��

���

6��

"

6

!(2�*

*

6

66��

���� 3� !)2�

!

*��

���� 3 !*2�

!

!*��

��� 3

! 52�!

"!��

���� 3 ! 2� **

6��

��

���

��+,��+��+�� ! 2��,�������7��� !"2� !7! ��7�� !$2 *7!7! ���

7���� !%2�� *� 7�� !&2�

*� 7� !'2� *7* ��7� !)2�,��������7� !*2� 7!� � ! 52� !� 3� ! 2� �7* ��

*"

Page 24: Ejercicios de límites

*6

Page 25: Ejercicios de límites

������6����

I�������������� ������������� �� � �� ����������������������� ��� ���������%������ ��� �����������������

��'���������������������'����������%�����������������������%��(��������������� ��� �� ��� �������������

#�������������������������������������������#������������������������������<����������������������

������������������������������������������������������������������������������

������������������

��������������������������������������������������

������������ $������ � #�� � �� � ��� � ��%����� � � � ��� � ��������� � ��� � ������ � �� ������ � ��� � � � ������������������������������

*9

� � �������(���������%�������������������

�� � �� � ����������� � �� � ���� ���#�� � ���

��������������%�������������

&� � ��%���� � � � ���� � ������� � �� � ��

��������������� ���� ���#����� ������

���� �

�����������

&��������������������������������%�����������

��������������������������������������

���� �����������

�����������%�����������������������������������������

���������#��� ������

���� ���������������� �� ��� �

���������!#��;�������#������������������������������������������������������������������������������������

!#� �� ��� ����%��������

"!#���� ������

���� ��������-

$!#� ������

���� 4 �� ��� �

Page 26: Ejercicios de límites

&������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������

�1��,.�� !#�;��������������������������������������������������!

��!

��

����

���

�� �

��.�������������������������������������������'�#�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�#�������������������

���������������������������������

�2������%��������������������������������#!��

"�2� ������

���

����������������� !������

���

�-� !������

���

��;���#��������������#������������������

����������������

E����������#������������#���������������������������������������'�-�#����'�#�����#������

���������������������������

�1��,.��"!#�;�������������������������������������������������!�

!!*

!�

��

*

����

����

�� ��

��.�������8'�#����������������������������������������������������������������� !#������%�����������!�������� !!!*!� ��

"!#�������������������������������������������������������!!*��������

!!���

���-

!�������� *

!!���

���

���������� �����!

���

��������-������!

$!#�@��������������������������������"��������#�����!�# �����!

���

��;���#��������������#������

�����������������������!�

�1��,.��$!#�;����������������������������������

���

!�� ������������������������

��.�������&����������������%����������������������%���������������������������������������������������������������������

�1��������-��-�+����..�!#�;��������������������������������������������������������2!�

�2�

!�!�*

!"

*

!�!

!

��

"

"

"

*

����

��

���

����

�� �� 42�!

!��

"

*

���

*=

Page 27: Ejercicios de límites

���+,��+����������������������� !� ����,������������������ !� ���#���������%����������������

������

��

�����<������������������������-������������#����������������������������������� ������� ��

������ ��

;����������������-����'��'��#�������#������������������%���������������#�������������������#���

��������������������������������������#��� ������� ��

������ ���������������� �� ����������%���������<���

����������������������#�����������������������������������

�������������3�����������%�����������������-������������

&���������������������������������������������������������������������������1��������������������

����������������

�����������#���� ��� �� ����������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

�1��,.��%!#���������������������������2��� ���� **�� 7��42� !�� *��� ���������#�����������

�� �������������������������

��.�������

�2 �&�������������������������������������������� � ��� ��! �-������������ � ** *�� ��� ��B�����

������ �#�� � � ��� ��! � �� � �������� ��� ���� ������ �� � �� �������� �&� � ������� � *� � �����1� ���

�����������������#����������������������������������������#��������������������������������������������

���G �-������������������������������������������������ � !� ������ *� � ������������������������������

�����������������

*+

�������� !#��$����������������������������������%����������&�������������'�������������������� �

�����(����)������������������������%��$�� ��� ��� ������������

���������������������

���,�+������ !#�&�����������������������������������������������%�

���,�+������"!#� ���������������������������������������1����������������������������

��

�*

������ �� �� �

���%�������������������������������������������� �� �

��������"!#��$������������+���������������%������������+�������������� �� ��� �'��������� �

�����+�� �� � �����������������%�

Page 28: Ejercicios de límites

42�&��������������������������������������������������� � ��� �� �-������������ � !�� *��� �

B������������#��� � ��� �� ���������������������������������������&�����������������1�����

�����������������#������������������������������

8��� �� �- ��� ������������� ����� ���� ��������� �� ������� ��������� � � ���� ����� � � ���

����������������#����������� �� �������������

���3�������������������������������������������

<�������������������������������������������������������������������������������

����������+!# !# &�������������������������-�����������������������������������������������������������������

�������

"!#� I����������������������������������������������������������������������%���������������������������������������������������������������0��������

$!#�8�����������������������#������������������������������%��������������������������������������#��(%����������������������������������

<�����1����������%��������������������#������������������� � ��� �� � ���� � ��� ��

���������������������������

;�������������"�-����3�������"���������������������������������������#����������

2 ��������

������ ������� ���� ����

"2� ������ ��

������� �

8���������������������������������������������������

�1��,.��&!#�8����������������������������� �>��������������������������������������������������#��

���%��������������

� *

*

!

!��� !

*:

��������$!#��$�����������*��� �����

�������

������������+�����������������'��������

����������������

����������

���������!#�;�������#�� ��� ������������������������������������ ��� ��� �������������������������������'������������

Page 29: Ejercicios de límites

��.������� ����������������������������?��� ��������#��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��

� *

*

!

!���

��

� *

*

!

!��� ��8������������������������������������������������������������������������

� ���

� *

*

!

!��� ��������

!

!!���

! ��

��

����

!���

!�����������������;������������������������������ ������0�����������

**

�������������3���������-������������������������������������������������������������#���

�����������������%���������#�����������������

���������3�����������������������#���������������������� !*���� ����������������

����������������������������������������������������������������������3�������������� �����

������������������������������������������������%�����������#������E���������������������������

;�����,�������'�-�����������������#�������������%��������

L������������3�����������������������#��������������� !*��� �������������������������������

������������������������������������������������������������������� ������ ���-�� !*��� ���

� ����������(�������������������������������������������������������������-���������

����1��������3�����������������������������������������������������������

�1��,.��(!#�;������������������������������������������������

���

*

!*��

*���������������

��.���������������������������������������������������������������������������������*���;����#� ��*�*��

.������#���������������������������������������� ��� *��! ��������������������������������

������������� �&�������������������� � �* � ������������������������������� ������������������

*)

��������%!#� ������� �� � �� ��� �� ������������������������������������������� �-� � - ��� ����0�����

��������� ���������������������� � ������ �� � -� � �� � ���������������� �-��&��������� ��

�� ���

�������������-�������������������������0����������-�

��������&!#�� ��������-����������������������������������������������#������E������,����%������������

���;�� �������������������������� �� � ��������������������#��������������������������������������

�����������

�������2��������������0�����������������������������������������

�����������

O�������������������������������������������������������������

�?��������������������������������������������(�����-���������������

Page 30: Ejercicios de límites

�������������������� ��� ��* ���������������� ��� *��! ���;���#��������������#����� �* 5!��������

�����������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������

@��������� � �� � ������� ���

���

*

!*��

*� �� � �������� ��� � � ��*��*��� � ��� � ��� � �������� ��

�����������������������������������������������������������

������������ ��#�������������(���������������������������������������������������������������������������� ������ � � �� � ������ ��� �������� �&�� ������� ���� � �� � ������� ������� �� � �������� � #��

���������������������������-��������������������������������������������������3��������-�8��������

����-�����������������������������������������������������������������������

�1��,.��(!#�;��������������������������������������������������������������������

�*

�!

��

*

��

��

��

��.�����!������������(��������������������������������������������������������������������������������������

������� ��4�7� ������������������ � �� ����������������� � � �2 ��� � �- ������������������ � ���������

�������������������������������������� �

��������J8�������������2 ����A�

&������������������������������2 ��������������������������������������#���������������������������

����������������

���������J8���������������� �A�

������� ��������������������������������������������������

����������J8������������������������4��A������-�������������������������������������������������������������������������

8�������� ����������%��������-����� **����� ��

8��������"� **����������

�����

���������������

���

��

!��������

*

��

������������ ������

���

����������-���������(�������������#���������������������������������

8����������#������������������������������2 ��� ��� ��

�1��,.��)!#�;��������������������������������������������������������������������

!!

!

!*

!

��

*

"

��

��

��

��.�������8������������������������������������������(���������������������������������&�����������������-����������

��������� �!�� �� ��������-������3����������&�������������%���������������������������

*

!�� ��� �������������������-��������������������

"�

Page 31: Ejercicios de límites

����� � ��� � ��!� � � � � ������-� � ��� � 3�������� � �&� � ������� � �� � ���� � ����� � � ���% � ������ � ����

*

"

!

!��

��� �����������������������������#�����������������������������������������������-�����������

�����������������������

�������������������� !� � ������������������������

!� �����%�����������!�-������*

"�!�� �

*�*

"

*

!��������

!!���

��

���������?�

*

"

!! !

!��������

���

�� *

"

�!��!�

�!��!����

*

! ��

���

;���#���������������������-�*

"�����

!��

��

"�2�*

"�!�� �����

!��

���������������������������������������!�

���������������������#�����������������������������������

�1������� � -� � -�+����..�!#� ;��������� � �� � �������� � � � ������ � ��� � ��� � ���������� � ��������� � �������������

�26:*

!��

��� 7� 4��

�*

*

�*

*

��

*

��

��

��

�1��������-��-�+����..�!#� 8��������� ������ �� ��� �����#��� ������������ ����������������������������������

"*

"!

��

�����

�����

�� ��

"!

������������E���������������!�F���� � �� � �� � 8�������� � �������������������������6�����6�����

� � ����3����������.�����I��������� �����������������������������

����������������������������������������-������������������������

���������(�������������������������������������������������������

��������������-�����������������������������1��������1������#���

������������������������������������������#�������������������

������������

Page 32: Ejercicios de límites

����

���&�����������������������������������������������������%���������������������������3����������.�����

����������

��&�����������������������������������3����������.�����I�����������������������������������(������

���������������������������������������������������������������� ����� ���������������

����������������%��������������������������������#��������4��������������������#��� �� �-

�� ���������������������������-�����������������������������������������������

"*

<�����������������������������3�������

��������-�.�E�.����������-��!#� ���������������������������������������������G���P�� ���.����������������� ���� �

-�� ���� ������������������������������ ��� �� �����#���

�� ���.

Page 33: Ejercicios de límites

� � � ����3����������.�������������������������-�������������������������������������������������

�������������������������������������������������

�������#������������������������������������

Q���������������%���������������������R � ��

����������������� �!9�� � ������������������������������������������1�������������������������

� ��������� � � �� � ������� � � � !9���� � � � �������� ����� ��������� � �� ������� ��������� � ����

���

<���������������������������������������������������������������������������� ��� ����������

����1�������������������������������-�����������������������3����������.�����I����������

�������������������������������������������������������������������������������1���

�1��,.�� !#��2�;���������#����������������� �!9�� � ������������������������������������

42�/����������1����������������������������������������������������������(���.��������2��������������������������������������������(#���������������������

!9���� � �������������������������������E�-�������������������������������������

<'����'�-�#��������������0����������#���������������������������������������������������������������

3��������������������������

������� ����� � �*!�9� ��� � � � � - � � � � �!!9! !�� � ���� ��� �3������ ��� ������

������������������������(���#������������'�-��������(��������������� �!9�� � ����������������

G��!P���

42��������������G��!P����������������������� ������0��������������������������������������S��������0��� �� �� -�������������������� �� � ���������������������������������������������������������������

��������� �����������������������������������������#���'�-����������#������������������������������

�������������(��

!6��!*

9

*

! *?!�� ��� ����������������������������� P!�*

!G ���E�������#��� �!� �

""

��+�.���������G�����-�� .� ���������� � ��� � ,����. ��G��-��-�� .� �4�+������������������� .�����-�-����+�.������������@��� ��-��-�����+���������������������������������-�-�-��������/0�� !#� �������(��� ���������������������G���P�����#��� � �� � -� � �� � ��������������������������������

������������� ����� ��� �������������������������������������������������1����� �����������

��������������������������#����������������������������������������������������3.I���������������������

���(�����������������G���P

"!#� ��������������������������G���P�����������#�� * ������������������������������������������

�������������������������

� � �� � ������ �������������������G���P� ����������������������3���������������������� ����������������

������������������������������������������������������-��������������������������������������������

Page 34: Ejercicios de límites

� ���,���� ������������������� �+�H��-����0 ��'��������������������� P!�*

!G ������������������������

����������� P!�*

!G ����

6

"���B�-����������������������������'������ P

6

"�

*

!G ���-���� P!�

6

"G ��/��������������#���

���������� ������0�����6

"

="��!6

!9

6

" 6?"�� ��������������������������������� P6

"�

*

!G ������� �

*

!

6

"��

�&���������������������������������������������������������������������������������

E����(����������������������%�� ������������������+�.��������������������� ���������0�������������#����������������'������������������������������������(������������������������,���������������

�����������'������������������������1����������������������������������������������������������

#������������������������(�

<'�������������������������������������������������������������0�������� � �-���

�������������������������0��������-�������%��������*

���

<������������������������������� P6

"�

*

!G �������������

:

9

*

6

"

*

!

��

���������������������0����

*=��!:

*9

:

9 :?9�� ��������������������������(���#��������������������������������%������

��������� � P:

9�

*

!G � ��������� � ����� ��� ������ ��� ����� ����� ��� ��������������� �� � �� � ���( �������

������������������������������%�������� 9=*9��!=

)�� ��

����������+�� 2�����������������1����������������������������������������������������#����������������������������������������������������966::�

"2� �$�������#��������������������������� � P:

9�

*

!G � ��� �!?:�-� ���������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������!?!=4

���=*9�����������������������������(������%�������������������������=*9����

�������2�������������������������������������������������������������������������������������(����*?! ���

$2�� ������������������������������������� P�G �� ��������������������������������������������������21����

�������� ��� *?��

�;�������� 2�;�������������������������������������������������������!��T������#���

! 2 !�� ��� 3 !"2��

��*

!�� 3 !$2

��

���

*

!�� 3

!%2 !�� ��� 3 !&2 *��/� 3 !'2���

��*

!�� 3

"6

Page 35: Ejercicios de límites

!(2�

���

!�� 3 !)2

!*!

!��!*�

��

*

����

����

�� 3

!*2!*

!�!

!

��

*

���

����

�� 3 ! 52!!

!�*

!

��

*

����

����

�� 3

! 2

!!

!

!�!

!

��

����

����

��

"2�;���������������������������������������������������������������������������T������#���

"! 2 !�� * ���� 3 "!"2"*

!��

* ��

��� 3 "!$2

6

*��

*�

��� 3

"!%26

!��

��� 3 "!&2��

!

!��

"��� 3 "!'2 //� *�� 3

"!(2*�*

*�6

������

���

�� �3 "!)2�"�!

"�*

������

���

�� 3

"!*2�*�6

*�*

6

��

*

���

����

�� 3 "! 52�*"

*!*!

!!

��

*

���

����

����

�� 3

"! 2�"�!:

"�"

*+"

��

*

���

����

�� "! "2�

!!

*"

!�

!!

��*

*

����

���

����

��

$2��8�������������������������������������������#������������������������������������

$! 2�"

" *

! !���

��

�3��� ��$!"2���

!6

*!���

**?! �

���������� �

%2�E����������������!�T������#��%! 2������ �������������������������������������������������������������������������� �� �����

������������������%!"������� ���(�������������������������������������������������

%!$2������ �������������������������F�F�������������%!%2������ �����������������������������������������������'���������0���������������������������������������

%!&2������&������������������������

������������

���!

��

�� ���������������0��������������������

"9

Page 36: Ejercicios de límites

%!'2�� ���������������

�����

! ��

��

�����������������������������������

�!�

�!�

�!

%!(2� �� ����� ������������-�� �����!

���

������������������ ������!

���

!

%!)2� ����������������������������������������!

����

���� ���������������������������������4!����

����<�����������������

%!*2����������������!

�!����

*

*

! �

�������?��

%! 52� �����������������������������������������

��

����� �����#������������������-���������������������

����������������#��������������������������������������?��

%! 2� �� � ���������������������� ����� �����

����� �����

&2�����������������������������������������������������#����������������������������������������

&! 2�!"

!!

��

*

�����

�����

�� �� � &!"2�!**

!:

!

��

*

�����

���

�����

��

&!$2�**=

*

��

*

�����

�����

�� 3 &!%2��!:=

!

��

*

�����

�����

��

'2�;���������#��������-���������������������������������������������������������������������������

(2��/�������1����������������������������������������������������������������������� !) " ��

������������ 2�&�������������1������������������������������%����������������������������������������������������������U�?'��

�=�!�

�=�!�)�!9")=�=6�*�=!�+*=�:�!

)�6��)�=��!*=��*")*��6+96+9"6����""�""

6��)�=

��

���0

�����0

���0

�1

;����0����������������������V8�

�����������������������������U�?'��J��������������������������=�6��)�-����)���=�!A�J����#�1����

�������������������������������������1�����������������A

"2�<���������������������'���������������������������������������������������

6��6

6��!���!���9�"*���

!��*

��

����

����

����

��

�������������0�������W���X�����2'�����������������������J�����������������!��A�J���������������

6��A�JO�1�������������������#�����������������������������������A

"=

Page 37: Ejercicios de límites

��+,��+��+��� ! 2�8�������� !"2�;����������7� !$2�;��������������!�� !%��8�������7� !&2�8��������� !'2�8�������7� !(2�������������!7� !)��;����������7� !*2�8�����������!�� ! 52�8�������7� ! ��;��������������!

"! ��8������������3�"!"2�8������������2Y2!�"Z7�"!$!#�8������������3�"!%2�8������������"!&2�8������������2Y!Z�"!'2�8��������������������� P*�� 7�"!(��8������������3�"!)2�8������������2Y"Z7�"!*2�8��������������"! 5��8�������������2Y!Z"! 2�8������������3�"! "2�8������������2Y!Z����������������������'�����!?*�-���������(#����������$! 2�!7���$!"2��!?*�

%! 2�@������;���������!�!

!��

�����

���

�� ���������������������������������!��;������ ���� �� �

��������� ���� ��������������������������!��

%!"���@�������������� �����������6�!�-� � ���� �� �3�������#���� ��(�� ����������������������������

��������������������������������������!�

%!$2��.������������������%������������������(����������������������(�����������������������������������������������������(�����������

%!%2��.������������������������������������#������������������������������*

!

��������

���������-�����������

������������������������������������������������������'�����������������������������������

�������%���������������������������������������������

%!&2��.�����������������������������'�-�������������������#�������������������������������������������#������������������������I��������������������������������'�-��������������������������������'�����

���������������������������

%!'2��@�������������������������������!

!���

! �

��������!���������������� !�� ����� �����������������

�������������!�

�!�

��������%����������?��

%!(2�?@��������������!!

!!��

*

���

������ ����������#��� ����� �����������������������������

-�� ������!

���

%!)2�?@������ ,�������������������������������������� !�� ��� �������������4!������������������������

%!*2�?@���������?������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������'�-�#�����������������������������������������������������(��-����

������������ ��������������������������������

%! 52��@���������������������������������������-���������������������������������������������������

!�

!��

���

������ ��-���

!�

!*��

���

������ �������������������!������������� �����������������

����������������������

��

� !��� �����������4!�����������������<����

��

��

� !���

� *���

!�-�����������������

������������������������

%! 2�?��2� ������������������������������������������������������������������&! 2� *� 3��&!"2� "� 3��&!$2���#!�*7��&!%2�*�67�(2���99+*6

"+