201 2012

Apuntes de Simple Economa Economa Matemtica[Escriba el subttuloEconoma Apuntes de Simple del documento]UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE HONDURAS Facultad de Ciencias Econmicas Departamento de Economa UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE HONDURAS Facultad de Ciencias Econmicas Departamento de Economa

Wilfredo Alejandro Diaz Cruz Wilfredo Alejandro Diaz Cruz economiamatematica@gmail.com economiamatematica@gmail.com 201

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE HONDURASFacultad de Ciencias Econmicas Departamento de Economa

Apuntes de Economa Matemtica1 CE 186Requisitos:DET390MtodosCuantitativos CE084MicroeconomaII

Wilfredo A. Daz Cruzeconomiamatematicacurso@gmail.com

1

Este documento es exclusivo para uso acadmico, no ha sido sujeto a revisin y en su mayor parte es una adaptacin en espaol de los textos citados en la bibliografa.

1

ContenidoIntroduccin ..................................................................................................................................... 4 Parte I: Clculo y Optimizacin Esttica ........................................................................................... 5 1. Fundamentos de Clculo ...................................................................................................... 5 Tipos de funciones y derivacin ................................................................................................ 5 El nmero e ............................................................................................................................ 11 Propiedades de las exponenciales ......................................................................................... 13 Propiedades de los logaritmos ............................................................................................... 14 Aplicaciones de exp y log ...................................................................................................... 14 Calculando derivadas: reglas .................................................................................................. 16 2. Algebra Lineal (Matrices). .................................................................................................. 19 Operaciones con matrices. ..................................................................................................... 20 Reglas del algebra de matrices............................................................................................... 21 Determinante de una matriz .................................................................................................. 22 Inversa de una Matriz............................................................................................................. 25 Solucin de Sistemas Lineales ................................................................................................ 25 3. Clculo con mltiples variables .......................................................................................... 27 Interpretacin econmica de la derivada parcial.................................................................. 27 Gradientes (vectores) ............................................................................................................. 29 Definicin de una Matriz ........................................................................................................ 31 4. Optimizacin ...................................................................................................................... 33 Aplicaciones Econmicas ....................................................................................................... 34 Optimizacin con restricciones de igualdad: La aplicacin del lagrangeano ......................... 35 Optimizacin con restricciones de desigualdad ..................................................................... 37 El significado del multiplicador de lagrange........................................................................... 39 Teoremas de la envolvente .................................................................................................... 39 Funciones Homogneas y Homotticas. ................................................................................ 40 Parte II: Anlisis de sistemas Dinmicos y Optimizacin Dinmica ............................................... 45 1. Introduccin........................................................................................................................ 45 2

2. 3.

Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Diferencias ....................................................... 45 Ecuaciones Diferenciales .................................................................................................... 46 Orden de la ecuacin ............................................................................................................. 47 Comportamiento del sistema dinmico uniecuacional.......................................................... 49 Sistemas dinmicos uniecuacionales Homogneos y no homogneos ................................. 50 Solucin general de ecuaciones diferenciales no homogneas............................................. 51 Algunas Particularidades de las ecuaciones diferenciales .................................................... 53

4.

Ecuaciones en Diferencias .................................................................................................. 56 Orden de la ecuacin ............................................................................................................. 57 Comportamiento del sistema dinmico uniecuacional.......................................................... 58 Sistemas dinmicos uniecuacionales Homogneos y no homogneos ................................. 59 Solucin general de ecuaciones en diferencias no homogneas........................................... 60 Algunas Particularidades de las ecuaciones en diferencias .................................................. 62 Solucin particular de ecuaciones en diferencias y diferenciales ......................................... 65

5.

Oscilaciones ........................................................................................................................ 67 Oscilaciones en ecuaciones diferenciales. ............................................................................. 67 Oscilaciones en ecuaciones en diferencias. ........................................................................... 68

6.

Sistemas lineales dinmicos multiecuacionales ................................................................ 70 Anlisis de Sistemas Dinmicos diferenciales y en diferencias Multiecuacionales. ............. 71 Clculo de la matriz de transicin. ......................................................................................... 73

7.

Optimizacin Dinmica ...................................................................................................... 78 Calculo de Variaciones ........................................................................................................... 79 La ecuacin de Euler............................................................................................................... 79

3

Introduccin

Despus de haber pasado gran parte de mi vida como estudiante y un menor tiempo como docente, es normal que la perspectiva que uno puede formarse sobre el proceso de enseanza cambie; en la medida que la experiencia adquirida en las trincheras de ambos francos se combinen, con la esperanza de mejorar el proceso mismo, enriquecindose con las crticas del alumnado, as como las manifestadas por el cuerpo docente. Al final del da no creo que exista ningn proceso o sistema educativo perfecto, sin embargo, la experiencia alumno-docente puede servir para mejorar los resultados en tiempo y forma, respecto a la transmisin y construccin de conocimiento; tomando esta idea en cuenta, he intentado aplicarla de la forma ms sencilla y simple a la hora de impartir el curso de economa matemtica, aunque como era predecible, en el proceso de implementacin surgen obstculos. Creo que el mayor impedimento que he enfrentado en el aula de clases ha sido el lenguaje, porque en el afn de mantener una ctedra universitaria con el mejor nivel tcnico, las formalidades de la gramtica de las matemticas generan que el entendimiento entre el alumno y docente no sea el ms adecuado, por lo tanto decid, como docente facilitador de conocimiento, que una opcin que podra ser factible era elaborar un apunte personalizado para el curso, que permitiera mediante un lenguaje bsico, esclarecer al alumno los maravillosos e interesantes temas que se tratan en la aplicacin de la matemtica y de la economa en conjunto. Presento a los alumnos, y a los dems interesados, el apunte de economa matemtica, el cual es una recopilacin de los libros citados como mnimos en la bibliografa de un curso de economa matemtica, desplegados de una forma ms amigable, conteniendo 7 captulos que van desde la introduccin al clculo hasta la optimizacin dinmica, cada uno complementado con ejemplos aplicados en programacin para el software MATLAB , con el objetivo primordial de auxiliar a los alumnos o aquellos lectores que tengan la misma dedicacin por el estudio de la economa, como por la demostracin matemtica de la misma.

4

Parte I: Clculo y Optimizacin EstticaEn los ltimos 40 aos la matemtica ha emergido como el lenguaje de la economa, hoy en da los economistas ven a las matemticas como una herramienta invaluable.

1.

Fundamentos de Clculo

Esta primera parte del curso consiste en un breve repaso de conceptos elementales de clculo.

Tipos de funciones y derivacin En economa haremos uso de gran parte de las funciones que se estudian en los cursos medios y avanzados de matemticas. Una funcin no es ms que un mapeo o una transformacin de variables, por lo tanto estas variables tienen relaciones de dependencia o independencia entre s. Las funciones pueden en primer lugar clasificarse por el nmero de variables explicativas que la conforman, pueden ser univariables o multivariables, por ejemplo: Una funcin univariable es una relacin del siguiente tipo Y=f(X), donde la variable Y depende nicamente de la variable X. Una funcin multivariable es una relacin del siguiente tipo Y=f(X,Z,R..N), donde la variable Y depende de mltiples variables. La segunda clasificacin de las funciones es de acuerdo a su forma funcional, a continuacin si listan las principales: i. Polinomios

Como se observa un polinomio es un arreglo de parmetros (en este caso constantes) as y de una variable X, que puede tener n exponentes. A partir de esta forma general de polinomio se pueden obtener muchas funciones ya estudiadas en cursos anteriores de matemticas. 1) 2) 3) 4) Funcin constante Funcin Lineal Funcin Cuadrtica Funcin Cbica

A continuacin se presentan ejemplos grficos de las funciones anteriores:

5

Funcin lineal y=a+bx300

Funcin cuadrtica y=bx 2

30250

25200

20

Y

150

15100

1050

50

0 0 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9 10

Y

-10

-8

-6

-4

-2

0 X

2

4

6

8

10

Funcin cbica y=bx 2+ cx 3 2500 2000 1500 1000 500

Y

0 -500 -1000 -1500 -10 -8 -6 -4 -2 0 X 2 4 6 8 10

Racionales Se definen como el ratio entre dos polinomios, por ejemplo:ii.

6

Funcin racional y=a/x 1 0.8 0.6 0.4 0.2

Y

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10 -8 -6 -4 -2 0 X 2 4 6 8 10

iii. Trigonomtricas Sirven para la resolucin de problemas de ngulos o frecuencias. (Usadas para casos especiales en economa, como ser la modelacin de ciclos). Ejemplo

Funcin trigonometrica y=sen(X)

1

0.5

0

Y

-0.5

-1 -10 -8 -6 -4 -2 0 X 2 4 6 8 10

iv. Exponenciales y Logartmicas Funcin Exponencial: En muchos modelos econmicos, la funcin que intuitivamente modela el crecimiento de una variable econmica o financiera a travs del tiempo es una funcin exponencial, que tiene generalmente como variable independiente t (tiempo), por ejemplo Y=2t. Estas funciones aparecen de forma natural, por ejemplo, en modelos de dinero ahorrado con intereses en un perodo determinado. En el caso de Y=2t El nmero 2 se le llama base. Veamos grficamente algunas funciones exponenciales con bases mayores a 1.

7

Funcin exponencial y=bx 8

7

6

5Y

4

3

2

1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 X 3 3.5 4 4.5 5

Qu sucede si la base es menor a uno? Grficamente sucede:Funcin exponencial y=bx 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9 10

En otras palabras la base determina si la funcin exponencial ser creciente o decreciente, y que tan rpido o lento ser su crecimiento. Qu sucede con bases negativas? Las bases negativas no estn permitidas en las funciones exponenciales. Funciones: Programacin en MATLAB%%Funciones y grficos en matlab %Funciones simblicas %% Funcin lineal syms X % el comando syms permite trabajar con variables simblicas Y= sym(2 +3*X)

Y

8

ezplot(Y,[0 10])%ezplot permite graficar funciones que contienen trminos simblicos title('Funcin lineal y=a+bx') % title permite colocar ttulos a los grficos xlabel('X')% xlabel permite describir el eje de las X ylabel('Y')% ylabel permite describir el eje de las Y %% Funcin cuadrtica syms X

Y= sym(3*X^2) ezplot(Y,[-10 10]) title('Funcin cuadrtica y=bx^2') xlabel('X') ylabel('Y')

%% Funcin cbica syms X

Y= sym(3*X^2+2*X^3) ezplot(Y,[-10 10]) title('Funcin cbica y=bx^2+ cx^3') xlabel('X') ylabel('Y') %% Funcin racional syms X

Y= sym(1/X) ezplot(Y,[-10 10]) title('Funcin racional y=a/x') xlabel('X') ylabel('Y') %% Funcin trigonomtrica syms X

Y= sym(sin(X)) ezplot(Y,[-10 10]) title('Funcin trigonometrica y=sen(X)')

9

xlabel('X') ylabel('Y') %% funcin exponencial syms X

Y1= sym(3^X) Y2= sym(6^X) Y3= sym(1.5^X) ezplot(Y1,[0 5]) hold on ezplot(Y2,[0 5]) hold on ezplot(Y3,[0 5]) title('Funcin exponencial y=b^x') xlabel('X') ylabel('Y') %% Y= sym(0.5^X) ezplot(Y,[0 10]) title('Funcin exponencial y=b^x') xlabel('X') ylabel('Y')

10

El nmero e Es un nmero irracional muy utilizado en economa y finanzas, juega un papel fundamental en el estudio econmico, como el nmero en geometra. Cmo nace el nmero e? nace de una simple observacin; suponga el crecimiento de un depsito de dinero en una cuenta de ahorro, la cual brinda un inters determinado, este ejemplo tan simple puede servir para obtener el nmero e de manera sencilla. Supongamos que usted desea realizar una inversin a futuro, depositando un monto de dinero A durante un plazo determinado, ganando intereses capitalizables en sub periodos determinados. Digamos que la tasa de inters es r, capitalizable anualmente. Entonces el monto que usted esperara tener en un ao, sera igual A + rA = A(1+r). En dos aos usted estara ganando A(1+r)(1+r)=A(1+r)2 Digamos que usted tuviese el monto A invertido durante t aos, entonces al final del ao t usted tendra A(1+r)t de dinero ahorrado. Ahora suponga que el banco capitaliza los intereses trimestralmente, es decir 4 veces por ao. Esto cambiara la forma en que se calculan los montos anuales. Digamos en un ao usted ganara . En t aos usted ganara .

De forma general usted podra escribir este proceso como: ( )

Donde n indica el perodo de capitalizacin, y t el nmero de aos. Ahora, supongamos que tenemos r=1, A=1 y t=1, es decir:

11

Probemos distintos periodos de capitalizacin n

N 1 2 4 10 100 1000 10,000 100,000 2.00 2.25 2.4414 2.59374 2.704814 2.7169239 2.7181459 2.71826854

Cmo podemos interpretar la tabla anterior? Que al hacer tender n al infinito, converge a 2.7182 este es el nmero e

Escrito formalmente:

Las funciones que utilizan el nmero e, se llaman comnmente exponenciales, expresadas como exp(x)

Cmo expresar un inters r de forma exponencial? es decir utilizando e. Usamos un pequeo truco, hacemos uso de una variable auxiliar m, luego suponemos que r/n =1/m y que n= mr.

12

Esto se interpretara como un inters que es capitalizado infinitamente durante un ao, generalmente a este tipo de interpretacin se le llama tiempo continuo, Si quisiramos tener el inters capitalizable de forma continua durante t aos, tendramos

Funcin Logartmica: No es ms que la funcin inversa de la exponencial. Es decir si tenemos se podra escribir como logaritmo de la siguiente manera

Grficamente comparamos una funcin exponencial, una lineal y una logartmica.funciones y=10x | y=x | log(x) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9 10 y=log(x) y=x y=10x

Tambin funciona para los logaritmos de base e (o naturales):

Propiedades de las exponenciales

y

13

Propiedades de los logaritmos

0 Aplicaciones2 de exp y log

Resolucin de ecuaciones Solucione para x aplicando logaritmos

Solucione para r aplicando logaritmo

Funcin de produccin e identificacin de elasticidades Una funcin Cobb-Douglas Y=AkL1-, identifique las elasticidades con logaritmos. Elasticidad del producto (Y) respecto al capital (K):

En este caso es la elasticidad del producto respecto al capital.

2

Solucione las aplicaciones.

14

Valor presente Comparar cantidad de dinero en diferentes puntos de tiempo B=Aert Derivadas y reglas de derivacin Cmo se podra definir una derivada? Se podra conceptualizar como una simple razn de cambio; para comprender mejor este concepto, analicemos una funcin lineal:

Si pendiente,

, siendo

la pendiente de la funcin; revisando el concepto de la , esta definicin determina a la pendiente como una razn de

cambio. Por lo tanto indica el cambio de Y cuando cambia X, tambin se podra interpretar como el cambio marginal de Y cuando cambia X. Qu sucede en funciones no lineales? Cmo se interpreta una derivada? En el caso no lineal la derivada tambin representa la pendiente de una lnea tangente en un punto de una funcin no lineal, es decir representa una razn de cambio en un punto dado ( ) , Grficamente

Otras funciones y sus grficos: Programacin en MATLAB%% Graficando otras funciones syms x y1=sym(10^x) y2=sym(x) y3=sym(log10(x)) ezplot(y1,[0 ,10]) hold on ezplot(y3,[0 ,10]) hold on ezplot(y2,[0, 10]) title('funciones y=10^x | y=x xlabel('x') ylabel('y')

| log(x)')

15

str1 = {'y=10^x'}; str2= {'y=x '}; str3 = {'y=log(x)'}; text(7,2,str3) %sirve para agregar texto a los grficos. text(7,8,str2) text(2,10,str1) %% Graficando una funcin cuadrtica y su punto mximo. syms x y1= sym(1+2*x-2*x^2) a=diff(y1,x) solve(diff(y1,x)) ezplot(y1,[0,4]) hold on str1 = {'mximo=0.5,1.5'}; text(0.5,2,str1)

Calculando derivadas: reglas Suponga que k es una constante arbitraria y que f y g son funciones diferenciables 1) 2)

3) 4) 5) 6) Ejercicios: a) b) c) d) e) ( )

16

f) g) Ms ejercicios en: http://www.derivadas.es/2009/12/12/ejercicios-de-derivadas-2/http://www.vitutor.com/fun/4/b_a.html

Dependiendo si una funcin es diferenciable o no, y de su forma grfica se pueden clasificar en: Diferenciables: se dice que una funcin es diferenciable, si es posible obtener en todos los puntos de su dominio una derivada. De forma ms intuitiva, podemos decir que las derivadas pueden obtenerse de aquellas funciones que tienen curvas suaves. Una funcin no diferenciable, por ejemplo, seran aquellas que tienen curvas con puntas, | |, no existe para esta funcin una lnea como la funcin de valor absoluto tangente para el punto (0,0). Para interpretarlo mejor observemos el siguiente grfico.abs(x) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 4

Continuas: Desde un punto de vista geomtrico, una funcin continua tiene un grfico que no tiene quiebres, es decir, se puede dibujar sin separar el lpiz. En todo caso la caracterstica de continuidad es ms general que la de diferenciabilidad, porque toda funcin diferenciable es continua, pero no toda funcin continua es diferenciable. | | es una funcin continua por que se Retomemos la funcin de valor absoluto, puede dibujar sin ningn tipo de interrupcin o corte, pero no es diferenciable. Funcin continua pero no diferenciable. | |17

y

abs(x) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -4 -3 -2 -1 no se puede diferenciar en 0,0!!! 0 x 1 2 3 4

Funcin no continua y no diferenciable.

Derivacin en MATLAB%% Se utiliza el comando diff syms x

y=sym(x^2) d1=diff(y) pretty(d1) %este comando sirve para mejorar el formato de presentacin

18

2.

Algebra Lineal (Matrices).

Los sistemas lineales estn compuestos por ecuaciones univariables o multivariables. Hay varios motivos para iniciar con modelos de ecuaciones lineales. Primero porque son las ecuaciones ms elementales, y por lo tanto el lgebra lineal es una de las ms simples ramas de la matemtica. Se aplicarn en muchos casos tcnicas que se aprenden en educacin secundaria. Segundo, Los sistemas lineales tienen otra gran ventaja, es que usualmente ofrecen soluciones exactas. Una de las aplicaciones ms didcticas de modelos lineales en economa, es el modelo IS-LM. A modo de ejemplo pensemos en un sistema de ecuaciones lineales como:

Podramos resolverlo por distintos mtodos, pero para este curso nos interesa resolverlo mediante el uso de matrices. Qu es una matriz? Es un arreglo ordenado de objetos, elementos etc.. Se conforma de filas y columnas, por ejemplo

[

]

Esta es una matriz de j columnas e i filas, otra forma de llamarla es matriz i x j. Las matrices que tienen mismo nmero de filas que de columnas se llaman matrices cuadradas3, por ejemplo: ( )

3

Este tipo de matrices son las ms usadas en economa.

19

(

)

La primera matriz es una 2X2, es decir dos filas y dos columnas. La segunda matriz es una 3x3, es decir tres filas y tres columnas. Operaciones con matrices.

Adicin: [ ] [ ]

[

]

Ejemplo:

(

)

(

)

(

)

La adicin de matrices nicamente se puede llevar acabo entre matrices que tienen el mismo tamao.

Multiplicacin matriz por escalar: [ ] [ ]

Se multiplica el escalar K por cada uno de los elementos de la matriz.

20

Multiplicacin matriz por matriz: Dos o ms matrices se pueden multiplicar si y solo si el nmero de columnas de la primera es igual al nmero de filas de la segunda. Ejemplo: [ ] [ ] [ ]

Para este caso se multiplica una matriz 1 x m por una matriz m x 1, el resultado ser un escalar (1x1). Otro ejemplo: [ ]* + [ ]

Para este caso se multiplica una matriz 3x2 por una 2x2. El resultado es una matriz 3x2 En resumen:

Reglas del algebra de matrices. Supongamos tres matrices A, B y C: Ley asociativa Ley conmutativa Ley distributiva21

Trasponer una matriz No es ms que cambiar las filas por las columnas de una misma matriz. Supongamos una matriz A: ( La matriz traspuesta AT es igual a: )

(

)

Propiedades de la traspuesta:

Determinante de una matriz El determinante no es ms que un nmero nico que se obtiene de operar los elementos que conforman una matriz. El determinante de una matriz es posible cuando se trabaja con matrices cuadradas, es decir, tienen el mismo nmero de filas que de columnas, y estas matrices son no singulares. Las matrices cuadradas singulares son aquellas cuyo determinante es igual a cero. Vale decir que el determinante se obtiene inductivamente, esto significa que la definicin del determinante para una matriz 1x1 se utiliza para obtener el determinante de una matriz 2x2, la definicin del determinante de una matriz 2x2 se utiliza para obtener el determinante de una matriz 3x3 y as sucesivamente.22

La definicin de este proceso inductivo se podra plantear de la siguiente manera: Supongamos un escalar a, el determinante de este escalar es igual a:

El determinante de un escalar es el mismo escalar. Para una matriz A 2x2 =( (( )) ) el determinante se define como: para que sea una matriz cuadrada no singular el resultado

debe ser distinto de cero. Por qu es un proceso inductivo? Porque en la definicin del determinante de una matriz 2x2, se utiliza la definicin de un determinante de un escalar. Como se muestra a continuacin: (( ))

Esto significa que implcitamente trabajamos con submatrices al calcular un determinante, en el caso de una matriz 2x2, si nosotros eliminamos una fila y una columna, la submatriz resultante es un escalar. Al quitar una fila y una columna de una matriz 3x3, la submatriz resultante es una 2X2, y as sucesivamente. En otras palabras el proceso inductivo implica siempre calcular el determinante de un escalar, no importando el tamao. Para representar este proceso inductivo se utilizarn 2 conceptos, el menor y el cofactor. Supongamos una matriz A que es de tamao nxn, supongamos que al quitar la fila i y la columna j resulta una matriz A(i,j). El menor ser igual a det(A(ij)), esto significa que el menor es igual al determinante de la submatriz resultante de quitar la fila i y la columna j Menor = Mij= det(A(ij))

23

El cofactor se define como (-1)i+jdet(A(i,j)), esto significa que el cofactor es igual al menor multiplicado por -1 elevado a un exponente conformado por la suma de la i fila y la j columna eliminados. Cofactor=Cij=(-1)i+jdet(A(i,j)) Siguiendo con esta explicacin,a continuacin se presenta la obtencin del determinante de una matriz 3x3. Ejemplo 1 (forma general): [ ]

[

]

[

]

[

]

Ejemplo 2 (aplicacin forma general)

Como se observa el determinante se obtuvo utilizando la primera fila; por lo tanto los nmeros 1, 3 y 5 son muy importantes para el resultado final; estos nmeros sern multiplicados por los cofactores obtenidos C(1,1), C(1,2) y C(1,3) respectivamente.

24

Inversa de una Matriz La inversa de una matriz es una aplicacin del determinante. La inversa de una matriz A es igual a inv(A) = A-1. Cuando se multiplica la matriz por su inversa se obtiene la matriz identidad, es decir A*A-1 = I, donde I es igual a la matriz identidad4. Cmo se calcula una matriz inversa? se aplica la siguiente frmula:

La matriz adjunta no es ms que la matriz de cofactores aplicndole una traspuesta. [ ]

[

]

Respecto a esta explicacin, resulta obvio que la inversa de una matriz existe si y slo si, la matriz posee determinante. Es decir, nicamente las matrices no singulares poseen inversa. Solucin de Sistemas Lineales Retomando el tema de los modelos lineales, ahora es posible resolverlos aplicando las reglas y operaciones de algebra matricial. Supongamos:

Resolucin del modelo: Primer paso, ordenar el modelo en forma matricial

[ c

]

[ A

]* + b

4

Es una matriz cuya diagonal principal est conformada de unos, el resto de elementos son ceros.

25

Segundo paso, resolver el modelo para las variables x, y, z Para resolver el modelo es necesario calcular la matriz inversa de A5. Matrices: Programacin en MATLAB%% matrices A=[ 1 2; 3 4] % planteamiento de una matriz det(A) % determinante de una matriz inv(A)% inversa de una matriz A*inv(A)% mutiplicacin de una matriz

%% solucin de un sistema de ecuaciones %tenemos el siguiente sistema de ecuaciones %x-0.6y-5z=100 %-0.3x-0.5y+2z=37 %0.25x-2y-4z=40 %escrito matricialmente syms x y z a=[100;37;40] A=[1 -0.6 -5; -0.3 -0.5 2; 0.25 -2 -4] b=[x,y,z] %deseamos resolver para b, es decir encontrar los valores de x, y , z %necesitamos la inversa de A multiplicada por a b=inv(A)*a %para verificar x=262.33 y=-68.605 z=40.698

5

En algebra matricial generalmente se utilizan para notacin letras minsculas para representar vectores y letras maysculas para representar matrices.

26

x-0.6*y-5*z -0.3*x-0.5*y+2*z 0.25*x-2*y-4*z

3.

Clculo con mltiples variables

Cuando se trabaja con funciones multivariables, se aplican las mismas reglas que se han planteado bajo el marco de clculo diferencial, sin embargo existe una pequea discrepancia en terminologa, y es que cuando se aplican derivadas a funciones multivariables se le llama derivacin parcial. Lo anterior se aplica cuando en el estudio de funciones tomamos el acercamiento ms simple, el cual consiste en mantener una variable constante mientras la otra se le permite cambiar, de aqu proviene el nombre de derivada parcial. La nomenclatura cambia un poco, supongamos una funcin f=f(x,y), entonces la derivada parcial se puede expresar como:

Tambin se puede expresar como:

Ms all del simple clculo de derivadas parciales, lo ms importante es su interpretacin. Interpretacin econmica de la derivada parcial Producto Marginal La derivada parcial tiene varias interpretaciones econmicas, una de las principales es producto marginal. En una ecuacin de mltiples variables, digamos una funcin de produccin, Q=F(K,L), donde Q representa el producto y K como L representan los factores de produccin.

27

La derivada parcial

Indica el cambio que tiene el producto respecto a un cambio en la cantidad de K (capital), manteniendo L (trabajo) fijo o constante. Por lo tanto, .

Esta derivada parcial recibe el nombre de producto marginal del capital (para este caso en particular). Supongamos una funcin Cobb-Douglas Q Suponga que K=1000 y L= 300, Cunto es el producto? Si aumenta K a 1800, cunto cambia el producto?, Cunto es el producto marginal? Cmo es este producto marginal a medida aumenta K? Elasticidad Supongamos ahora una funcin de demanda de un producto,

Esta demanda depende del precio del mismo bien ( , as como del precio del otro bien (complementario o sustituto ) y del ingreso de las personas. Si el precio del bien aumenta (P1) la demanda del bien cambiara por:

En general se esperara que esta derivada parcial tuviese signo negativo, debido a la ley de la demanda. Sin embargo esta medida no es ptima para medir la sensibilidad que tiene este bien respecto a su precio, para ello se utiliza la elasticidad. La elasticidad no es ms que un ratio de cambios porcentuales, de la cantidad y del precio, como se presenta a continuacin:

28

Dnde:

Este tipo de la elasticidad es llamada la elasticidad precio de la demanda. Cmo se obtendra la elasticidad cruzada y la del ingreso utilizando derivadas parciales? Gradientes (vectores) Podramos representar la derivada de la funcin Y= F(X1..Xn) como una matriz fila, o mejor dicho un vector fila:

(

)

Varias veces este vector se escribe como columna, y es llamado gradiente. A partir de la definicin de gradiente es posible encontrar dos conceptos importantes que se utilizan en matemticas y en economa. Primero definiremos el Jacobiano, determinado como la matriz de primeras derivadas (primeras derivadas parciales). Ejemplo Supongamos un mundo que posee dos bienes, que tienen las siguientes funciones de demanda:

Manejando cada funcin de manera independiente podramos construir un Jacobiano de la siguiente forma29

Primero obteniendo la derivada total de cada funcin:

Segundo, reescribir en notacin matricial:

(

) ( )

(

)

La interpretacin de este Jacobiano es: el cambio en la demanda de ambos bienes depender del cambio de alguna o todas las variables de su funcin de demanda, que en este caso seran precios e ingreso. El segundo concepto es la Matriz Hessiana, que se determina como una matriz formada por las segundas derivadas (parciales). Veamos un ejemplo, tomemos la siguiente funcin de produccin: Las primeras derivadas

Las segundas derivadas:

30

Debe notarse que para esta funcin que posee dos variables (K,L), se obtienen cuatro segundas derivadas, esto nos puede dar la pauta que para una funcin de n variables, se pueden obtener

n2

segundas derivadas.

Al rearreglar estas segundas derivadas en un matriz, se obtiene el Hessiano o Matriz Hessiana.

(

)

Una observacin muy importante es que las segundas derivadas cruzadas, sern siempre iguales, por ejemplo llama el teorema de Young. Definicin de una MatrizEn esta seccin se describir de una forma simple la definicin de una matriz cuadrada.

son iguales en este ejercicio, a esto se le

Para la definicin de una matriz utilizaremos los conceptos aprendidos en algebra matricial, especficamente sobre los determinantes de una matriz. Supongamos que tenemos una matriz A de tamao n x n, esta matriz posee una sub matriz A(i,j) de k x k, formada de eliminar, i filas y j columnas. Esta submatriz resultante se le llama Principal. El determinante de esta sub matriz se le llama menor principal.

Por ejemplo, una matriz 3x3:

(

)

Tenemos el menor principal de tercer orden, que es el det(A).

31

Luego quitemos la 3ra fila y columna, nos queda una submatriz igual a: ( El menor principal de segundo orden es el det(A33) Luego si eliminamos la 2da fila y columna, nos queda : )

Este representa el menor principal de primer orden. De forma general una matriz n x n, tendr n menores principales, y estos se obtendrn a partir de las submatrices que se obtengan de eliminar siempre las ltimas filas y columnas. Respecto a lo anterior, la definicin de una matriz consiste nicamente en seguir las siguientes reglas simples: a) Una matriz A, ser definida positiva si y slo si todos sus menores principales son positivos. b) Una matriz A, ser definida negativa, si y slo si sus menores principales alternan signos es decir: |A1|0 |A3|158

Para =1

Sistemas dinmicos uniecuacionales Homogneos y no homogneos

Una ecuacin en diferencias puede plantearse como una relacin de dependencia de una misma variable como ser: X(k+2) = X(k+1) + X(k), en este caso la ecuacin en diferencias de segundo orden depende nicamente de s misma. Cuando encontramos este tipo de especificacin la llamamos sistema dinmico o ecuacin en diferencias homognea. La segunda forma para plantear una ecuacin en diferencias es cuando esta depende de una variable y de algn elemento exgeno, que puede ser una constante en el caso ms simple o ser una funcin que dependa del tiempo en los casos ms complejos. X(k+2) = X(k+1) + X(k)+ b, en este caso la ecuacin en diferencias de segundo orden depende adems de la variable X, tambin de un trmino b, que es independiente de X, por lo tanto es no homognea. El trmino b puede tener alguna de las siguientes formas: b= una constante (no depende del tiempo), por ejemplo: X(k+2) = X(k+1) + X(k)+ 2 b(k)= una tasa, por ejemplo: b(k)= puede ser una tendencia temporal, por ejemplo:

b(k)= puede ser una tendencia temporal y una tasa, por ejemplo:

59

Solucin general de ecuaciones en diferencias no homogneas

A continuacin se presenta una tabla8 con las soluciones de la parte no homognea de una ecuacin en diferencias. Diferentes especificaciones de b b(k) =bak b(k)= sen(bk) cos(bk) b(k)= bKn b(k)= bKnak Solucin no homognea Aak Asen(bk) +Bcos(bk) Ao +A1K + A2K2+.+AnKn ak(Ao +A1K + A2K2+.+AnKn)

Ejemplo 1 Ecuacin diferencial de primer orden no homognea Solucin General X(K) = Solucin parte homognea + Solucin parte no homognea Solucin parte homognea

Polinomio caracterstico

Solucin

Solucin parte no homognea

8

Tabla obtenida del libro de Introduccin al anlisis de sistemas de dinmicos de Edwards G. 2da edicin Ediciones Universidad Catlica de Chile.

60

Agrupamos los trminos que son similares

Simplificamos

Los trminos en parntesis deben ser cero por lo tanto solo se debe despejar para A 0, A1 y A2 Resultados

Solucin General

Como se observa, el proceso de resolucin para una ecuacin no homognea es ms complejo y es distinto al de una ecuacin diferencial. Ejemplo 2 , Ecuacin en diferencias de primer orden no homognea Solucin General X(t) = Solucin parte homognea + Solucin parte no homognea

61

Solucin parte homognea

Polinomio caracterstico

Solucin

Solucin parte no homognea

Despejamos para A0

Solucin General

Algunas Particularidades de las ecuaciones en diferencias

Despus de estudiar el comportamiento y solucin de las ecuaciones en diferencias es importante denotar ciertas particularidades que enfrentaremos al trabajar con este tipo de ecuaciones. Races caractersticas iguales Similar que en el caso de las ecuaciones diferenciales, existe la posibilidad de encontrar races caractersticas iguales al solucionar ecuaciones en diferencias, lo que genera inconsistencia con el teorema de existencia y unicidad, el cual indica que cada raz caracterstica debe ser nica. Paras solucionar esta situacin se aplica una transformacin a la solucin general.62

Ejemplo 1 X(k+2)=-4X(k+1) - 4X(k), ecuacin diferencial de segundo orden homognea. Por deduccin sabemos que esta ecuacin tendr dos races caractersticas 2 +4 + 4=0 1=2=2 Respuesta general

Esta respuesta debe ser transformada para cumplir con el teorema de existencialidad y unicidad. La transformacin ser incluir una tendencia Kn, donde n indica el exponente al que deber ser elevada la tendencia para que las races caractersticas sean nicas (distintas entre si); en relacin al caso anterior la solucin general final sera:

Que sucede si tenemos mltiples races caractersticas iguales

La solucin general final sera:

Es importante mencionar que esta situacin se puede dar en ecuaciones homogneas como en no homogneas. Solucione y deduzca la solucin general de: X(k+2)=4X(k+1) - 4X(k) + (2)k, ecuacin diferencial de segundo orden no homognea. Existencia de equilibrio Las ecuaciones en diferencias pueden presentar un equilibrio o ninguno, esto depender de las caractersticas de la ecuacin que se est analizando. La Existencia de equilibrio de pender de dos condiciones:

63

1. La ecuacin debe presentar una trayectoria convergente, eso significa que todos las races caractersticas deben ser menores a uno (||0 a) Plantee las condiciones de primer orden y de holgura complementaria b) Defina con el mtodo de KKT (Karush-Kunh-Tucker) el nmero de casos (elabore la caja de casos). c) Maximice nicamente para el caso que usted considera que es correcto. b) En un aula de una escuela primaria, hay tres nios, Floridalma, Ciriaco y Benito. Cada uno de los tres tiene 50 lempiras, con este dinero deben comprar lpiz y papel, el precio del lpiz es L. 5.00 y l del papel es L. 0.50. A Floridalma, lo nico que le importa es tener ambos bienes y maximizar su utilidad respecto a su presupuesto. A Ciriaco le da lo mismo tener un bien u otro, ya que los utilizar para tirrselos a sus compaeros, por lo tanto el solo deseara obtener la mxima utilidad posible con su presupuesto independientemente del bien que tenga. Por otra parte, Benito le interesa tener una proporcin fija de lpiz y papel, solo as maximiza su utilidad, Benito por cada lpiz necesita 3 hojas de papel. Intuitivamente establezca como seran las funciones de utilidad para cada uno de los nios. Escoja un nio para maximizar su utilidad, tiene que plantear el problema y encontrar la cantidad de lpices y papel que maximizan su utilidad. Trabaje con restricciones de desigualdad.

75

c) Encuentre la ecuacin original que tiene como respuesta lo siguiente:

*pista: recuerde el tipo de ecuacin, el orden y si es homognea o no homognea. d) Usted es recin graduado de economa, y por haber terminado con excelencia acadmica logra obtener una buena oportunidad de trabajo. Usted como buen economista, ha planificado un plan para comprarse un automvil. Debido a que usted recuerda sus clases de teora microeconmica y macroeconmica, recuerda que el ahorro es muy importante y que a medida usted tenga ms ingreso, tendr que ahorrar ms. Usted decidi ahorrar en una cuenta bancaria que le brinda un inters de 8% anual capitalizable mensualmente. El contrato de trabajo con que inicio, establece un sueldo inicial de L. 20 mil al mes, y que ira creciendo 5% cada ao. Usted ha decidido ahorrar un 30% de su sueldo de forma mensual. Su ahorro inicial es de L. 2 mil lempiras. Plantee la ecuacin en diferencias que le permita calcular su ahorro y encuentre su ahorro en 5 aos.

e) Un amigo suyo le dice que tiene los primeros 4 nmeros de un total de 6, de una combinacin de una caja de seguridad que contiene US$ 4 millones, sabe que la combinacin es 1, 5, 13, 41 . Sin embargo no sabe cules son los otros 2 dgitos. Usted decide ayudarlo por un 10% de lo que l logre sacar de la bveda. cules son los dos nmeros que le faltan?, usted considero que sera ms fcil utilizar una ecuacin en diferencias. f) Demuestre que la solucin de la ecuacin diferencial X(t)=0, es X(t) =At +B, donde A y B son constantes.

g) Demuestre que la tasa de crecimiento de largo plazo de la siguiente ecuacin en diferencias es 2.

h) La ley de newton de enfriamiento dice que el cambio de temperatura de un cuerpo por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo que se enfra (o calienta) y al temperatura del medio ambiente. Suponga en primer lugar que un cuerpo (agua) se enfra en diez minutos, desde una temperatura de 80 grados a una de 29.43 grados en un medio ambiente de 0 grados. 76

Determine la funcin de temperatura del agua en funcin del tiempo Cunto ser la temperatura del agua en X(8), es decir en 8 minutos. i) Suponga que hay una ecuacin diferencial homognea que genera oscilaciones con ciclos de 8, y estos ciclos no divergen ni convergen, podran definirse como marginalmente estables. a) Encuentre la respuesta general en trminos de senos y cosenos. b) Encuentre la ecuacin original. j) Usted tiene el siguiente modelo de oferta y demanda de dos bienes, el bien 1 y el bien dos, donde Qd es la cantidad demanda y Qs es la cantidad ofrecida:

a. Plantee el modelo matricial en diferencias. b. Encuentre la matriz Ak c. Existe equilibrio en este mercado? Se llega a l? k) Suponga la siguiente ecuacin diferencial X(t) +aX(t) + 4X(t)=0 Determine para que valores de a se dan los casos en que oscile y diverja, oscile y converja, no oscile y diverja y no oscile y converja.

l) constante); si m)

Funcin de produccin tipo CES (Elasticidad de sustitucin como sera el grado de homogeneidad.

, es una funcin Cobb-Douglas, determine el grado de homogeneidad, en este caso de que dependera que esta funcin tuviese rendimientos constantes, crecientes y decrecientes.

n) Encuentre la ecuacin diferencial que tiene como solucin:

Identifique como se comporta esta ecuacin (diverge, converge, marginalmente estable) Determine el orden de la ecuacin y el tipo de ecuacin 77

Cul sera el punto de equilibrio de esta ecuacin, se logra este equilibrio? Encuentre la ecuacin original de este sistema.

Nota: Si no puede obtener nmeros, puede dejar expresado el resultado con variables.

o) Suponga una ecuacin en diferencias lineal de coeficientes constantes, de segundo orden no homognea, cuya entrada es igual a una constante que genera la secuencia de nmeros: 2,3,11,28,70,171 Encuentre la ecuacin de diferencias. Encuentre la solucin de dicha ecuacin.

7. Optimizacin DinmicaLa optimizacin dinmica se basa en el mismo principio que la optimizacin esttica, la bsqueda de situaciones eficientes desde el punto de vista matemtico y econmico; la diferencia principal es que si bien es cierto la optimizacin esttica reside en encontrar un punto eficiente en un momento dado, la optimizacin dinmica pretende encontrar una nica trayectoria eficiente en el tiempo; por ejemplo, En la explotacin de madera, cuantos rboles se deben talar para mantener un nivel de ganancia deseado, y al mismo tiempo mantener una cantidad de rboles que sea sostenible en el tiempo?. Las tcnicas ms utilizadas en optimizacin dinmica son: clculo de variaciones, control ptimo y la programacin dinmica. La optimizacin dinmica inicia con el planteamiento de un problema, donde se tienen una funcin objetivo que se desea maximizar o minimizar, sujeta a restricciones o limitaciones. Este problema de optimizacin generalmente constar de dos tipos de variables; una variable de control, la que los agentes pueden elegir con fin optimizar su funcin objetivo y la variable de estado, la cual responde a las decisin que tomen los agentes respecto a la variable de control, por lo tanto los agentes no la controlan directamente. Cuando el agente se encuentra con problemas de optimizacin dinmica, escoger a travs de la variable de control, el mejor camino o senda, que le otorgue mayores beneficios o minimice sus costos; en este documento se discutirn tres tcnicas que se utilizan para determinar la mejor senda.78

Calculo de Variaciones

John Bernoulli fue uno de los pioneros en la aplicacin y desarrollo de la tcnica del clculo de variacin que datan desde los aos 1600. La aplicacin econmica de esta tcnica se da mucho tiempo despus, a principios del siglo XX. El planteamiento del problema de optimizacin en la tcnica de clculo de variaciones consiste en: [ ] ( )

Es necesario que la funcin X, sea diferenciable de primer y segundo orden, y deben existir las derivadas de primer y segundo orden de la funcin X(t), que depende del tiempo. Se busca en este problema la trayectoria de la variable X que maximiza a la funcin V[X]. La solucin de este problema necesitar el planteamiento de las condiciones de primer orden y segundo orden.La ecuacin de Euler

Para solucionar este problema, primero se plantearn las condiciones de primer orden, para ello se desarrollar la ecuacin de Euler. La ecuacin de Euler se basa en el mismo principio que se utilizaba en la optimizacin esttica, en la cual se deba encontrar una punto crtico X*, a travs de la utilizacin de la primera derivada igualada a cero. Para la aplicacin del clculo de variaciones, la condicin de primer orden deber satisfacer:

A esta condicin se le conoce como la ecuacin de Euler. Si se desarrolla esta ecuacin se podra obtener:

79

O expresado tambin como:

Con esta segunda expresin es fcil de observar que obtenemos una ecuacin diferencial de segundo orden, no homognea, la cual puede ser resuelta si conocemos dos condiciones, en este caso la inicial X(0) = X0 y X(T) =XT . Ejemplo [ ]

Condicin de primer orden (ecuacin de Euler):

80

El resultado es una ecuacin diferencial de segundo orden, no homognea. La forma ms sencilla de encontrar la solucin general es integrar esta funcin respecto al tiempo. Primer paso

Tenemos ahora la respuesta general:

Para encontrar la respuesta particular sustituimos las condiciones iniciales y finales:

La respuesta particular ser:

Al enfrentar problemas de clculo de variaciones existen infinitas posibilidades de ejercicios que podramos enfrentar; sin embargo se han identificado 4 casos especiales que pueden ser tiles para ahorrar tiempo y simplificar los procesos de solucin.

81

Caso especial 1: si la funcin objetivo f, est planteada como f(t,X) En este caso sabemos que la ecuacin de Euler se desarrollara como:

Por lo tanto podramos simplificar la aplicacin de la ecuacin de Euler, nicamente planteando:

Caso especial 2: si la funcin objetivo f, est planteada como f(X), en este caso debemos recordar que la ecuacin de Euler se puede plantear tambin como:

Entonces, al resolver:

Por lo tanto existen dos posibilidades: 1. Que X sea igual a cero, 2. Que cero. Si X=0, la solucin ser una ecuacin lineal. Si =0 la solucin depender de cmo este especificada X en la funcin f.

sea igual a

82

Caso especial 3: si la funcin objetivo f, est planteada como f(X), en este caso el problema no puede solucionarse debido a que:

No es una ecuacin diferencial. Caso 4: si la , donde representa una tasa. especial funcin objetivo f, est planteada como representa un factor de descuento, por lo que

Si resolvemos este caso, la ecuacin de Euler resultara:

Esto es igual a:

El clculo de variaciones tiene mltiples aplicaciones que van desde maximizacin de ganancias, explotacin de recursos, crecimiento poblacional etc. Condicin de transversalidad Pueden existir casos en los cuales no existen valores iniciales ni finales para determinar la senda ptima de una variable; para abordar ese tipo de casos es importante utilizar una condicin de transversalidad. La condicin de transversalidad se puede expresar como: [83

]

Donde y del tiempo.

, indican variaciones en la variable de estado en el tiempo y variaciones

Diferentes casos de la condicin de transversalidad Cuando el tiempo es fijo, es decir que condicin de transversalidad quedando: , desaparece el segundo trmino de la

Para este caso se debe determinar la senda ptima y valor terminal de Xt. Por ejemplo:

[ ]

Recordando la condicin de transversalidad: [ ]

Se podra simplificar quedando:

La ecuacin de Euler queda:

Que simplificando es:

84

En este caso especial trabajamos con una constante arbitraria

Integrando, se obtiene la siguiente ecuacin diferencial:

Para obtener b y c se evala lo siguiente:

Por lo tanto c=4 Para obtener b, evaluamos la condicin de transversalidad:

Por lo que b=0 Cuando valor terminal de la variable de estado es fijo, es decir que el primer trmino de la condicin de transversalidad quedando: [ ] , desaparece

Para este caso se debe determinar valor final del tiempo T. Por ejemplo: [ ]

Recordando la condicin de transversalidad:

85

[

]

Se podra simplificar quedando: [ ]

La ecuacin de Euler queda:

Que simplificando es:

Se obtiene la misma ecuacin diferencial que en el caso anterior:

Para obtener b y c se evala lo siguiente:

Por lo tanto c=4 Para obtener b, evaluamos la condicin de transversalidad: [ [ [ ] ] ]

86

[ Se evala * + en T, y se obtiene:

]

Finalmente para obtener el valor de T, se evala en:

Por lo que T=1 (T pudo ser 1 o -1, pero no tiene sentido trabajar con tiempo negativo)Para encontrar b, se evala nuevamente la expresin en el tiempo terminal t=1:

Por lo que b=0

Control ptimo

El clculo de variaciones tiene mltiples aplicaciones que van desde maximizacin de ganancias, explotacin de recursos, crecimiento poblacional

87

Bibliografa: Matemticas para Economistas: T. Dowling, Serie Shaumn, Introduccin al Algebra Lineal; Howard Antn, EditLimusa. Matemticas para economistas Simon-Blume, primera edicin 1994 Mtodos Fundamentales de Economa Matemtica: AlphaChiang, Editorial McGraw Hill, Edicin No. 4. Introduccin al anlisis de sistemas de dinmicos de Edwards G. 2da edicin Ediciones Universidad Catlica de Chile. Optimizacin dinmica y teora econmica, apuntes de estudio, Bonifaz. F. y Lama C. Universidad del Pacfico, Centro de Investigacin.

9

88