Apunte Sobre Clasificacion de Funciones

5/11/2018 Apunte Sobre Clasificacion de Funciones - slidepdf.com

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1

Análisis Matemático I Profesora: Betina Williner

Clasificación de funciones

Clasificaremos los distintos tipos de funciones teniendo en cuenta la operación que

realizamos sobre la variable independiente.

EnterasRacionales

ALGEBRAICASFraccionarias

Irracionales

FUNCIONES

Exponenciales

Logarítmicas

TRASCENDENTES Trigonométricas (directas e inversas)

Hiperbólicas

Módulo

Parte entera/mantisa

Signo

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Una función es algebraica si se puede formar mediante las operaciones algebraicas(suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces).

FUNCIONES RACIONALES ENTERAS

A las funciones racionales enteras también las llamamos polinomios. Estas funcionestienen la siguiente forma:

02

210 ...)( Ν∈∧∈++++= n Ra xa xa xaa x P i

n

n

Los ai son los llamados coeficientes del polinomio, n es entero no negativo y si an ≠ 0decimos que P es un polinomio de grado n. Las funciones polinómicas tienen dominioel conjunto de los números reales R. Son ejemplos las siguientes:



2

73

2124

3

53)(

78.514

32)(

x x xQ

x x x x P

−+=

−+−=

π

P es un polinomio de grado 12 y Q es un polinomio de grado 7. Nosotros ya trabajamos con funciones polinómicas de grado 0 (las funcionesconstantes), polinomios de grado 1 (y = m x +b) cuya gráfica es una recta y polinomiosde grado 2 (y = a x2 +b x + c), cuya gráfica es una parábola.

Las funciones de la forma n x x f y == )( , donde n es natural, se suelen llamar funciones potenciales o de potencias (son un caso particular de polinomios). Graficamos acontinuación alguna de ellas:

n impar (en este caso R I D f f == , son funciones biyectivas e impares)

-1.0 -0.5 0.5 1.0x

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

y

y= x5

y= x3

y=x

n par (en este caso [ )+∞== ,0, f f I R D , son funciones pares)



3

-2 -1 0 1 2

x

1

2

3

4

5y

y= x6

y= x4

y= x2

Observación: algunos autores consideran que el exponente n puede tomar cualquier valor real, nosotros lo consideraremos natural.

FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS

Estas funciones son cociente de polinomios, es decir tienen la forma:

)(

)()(

xQ

x P x f = donde P y Q son polinomios

El dominio de toda función racional es el conjunto de todos los números reales para loscuales 0)( ≠ xQ . En símbolos: }0)(/{ ≠∈= xQ R x D f

Por ejemplo: la función4

12)(

2

24

−

+−=

x x x f es una función racional fraccionaria con

dominio }2,2{}22/{ −−=−≠∧≠∈= R x x R x D f .

La función racional fraccionaria1

2)(

2+

=x

x g tiene dominio R ya que su denominador

no se anula en el conjunto de números reales.

Dentro de esta clase de funciones tenemos las homográficas, que tienen la forma:

0,0 ≠−≠+

+= bcad c

d cx

bax y



4

con dominio }/{},/{ ca R I cd R D f f −=−−= . Por ejemplo: y = 1/x con gráfica:

-2 -1 1 2x

-4

-2

2

4

y

FUNCIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES

Son aquellas funciones en las que la variable independiente está afectada por una raíz oexponente fraccionario. Entre ellas:

x y = con dominio [ )+∞= ,0 f D y cuyo gráfico es:

-1 1 2 3 4x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

y

3

x y = cuyo dominio es Df = R y cuyo gráfico es:



5

-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Así tenemos las funciones del tipo n x y = donde n es natural:

n impar (distinto de 1) (en este caso R I D f f == , son funciones biyectivas e impares)

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

y= x7

y= x5

y= x3

n par (en este caso [ )),0 +∞== f f I D



6

-1 1 2 3 4x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0y

y= x6

y= x4

y= x

FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIONES EXPONENCIALES

Son aquellas funciones que tienen la forma xa x f y == )( donde 1≠∧∈+ a Ra .

Todas las funciones exponenciales xa x f y == )( tienen dominio Df = R e imagen),0( +∞= f I

Estas funciones tienen distintas características dependiendo del valor de a.Consideramos los casos a > 1 y 0 < a < 1.

a > 1

Graficamos las funciones x x y y 3,2 == , x y 4=



7

-3 -2 -1 1 2 3

x

2

4

6

8

10

12

14

y=4 x

y=3 x

y=2 x

Observamos que:- Son funciones crecientes- Son funciones inyectivas- Todas cortan al eje y en (0,1)- No tienen intersección con el eje x.

0<a<1

Graficamos las funciones x x

y y

=

=

3

1,

2

1,

x

y

=

4

1



8

-3 -2 -1 1 2 3

x

5

10

15

y=H1ê4L x

y=H1ê3L x

y=H1ê2L x

Observamos que:- Son funciones decrecientes- Son funciones inyectivas- Todas cortan al eje y en (0,1)- No tienen intersección con el eje x

- No tienen paridad definida.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Las funciones del tipo x x f y alog)( == donde 1≠∧∈+ a Ra , se llaman funciones

logarítmicas. Recordemos que: xa x y y

a =⇔= log (son inversas de las funciones

exponenciales)Todas las funciones logarítmicas x x f y alog)( == tienen dominio ),0( +∞= f D e

imagen If = R Al igual que las funciones exponenciales, tienen distintas características dependiendodel valor de a. Consideramos los casos a > 1 y 0 < a < 1.

a>1

Graficamos las funciones x y x y x y 432 log,log,log ===



9

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-4

-3

-2

-1

1

2y

y=log4x

y=log3x

y=log2

x

Observamos que:- Son funciones crecientes- Son funciones inyectivas- Todas cortan al eje x en (1,0)- No tienen intersección con el eje y

0<a<1

Graficamos las funciones x y x y x y 4/13/12/1 log,log,log ===



10

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-2

-1

1

2

3

4

5y

y=log1ê4x

y=log1ê3x

y=log1ê2x

Observamos que:- Son funciones decrecientes- Son funciones inyectivas- Todas cortan al eje x en (1,0)- No tienen intersección con el eje y

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función seno

La función senx= tiene el siguiente gráfico:



11

-2 p -3 p

2-p -

p

2

p

2p

3 p

22 p

x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

Características:

- [ ]1,1Im, −== R Dom - Es impar: senx x sen −=− )(- No es inyectiva- }/{ Ζ ∈=ℜ∈= k k x xCeros π - Periódica de período π 2 . Es decir: Ζ ∈=+ k senxk x sen )2( π

Función coseno

La función xcos= tiene el siguiente gráfico:

-2 p -3 p

2-p -

p

2

p

2p

3 p

22 p

x

-

1.0

-0.5

0.5

1.0

y



12

Características:

- [ ]1,1Im, −== R Dom - Es par: x x cos)cos( =− - No es inyectiva

- }2

)12(/{ Ζ ∈+=ℜ∈= k k x xCerosπ

- Periódica de período π 2 . Es decir: Ζ ∈=+ k xk x cos)2cos( π

Identidades importantes para recordar

x

senxtgx

cos=

senx

x gx

coscot =

x x

cos

1sec =

senxecx

1cos =

1cos22=+ x x sen

Función tangente

La función y = tg x tiene el gráfico:

-2 p -3 p

2-p -

p

2

p

2p

3 p

22 p

x

-6

-

4

-2

2

4

6

y



13

Sus características principales son:

- Rk k x x R Dom =Ζ ∈+=ℜ∈−= Im}2

)12(/{π

- Es impar: tgx xtg −=− )(

- No es inyectiva- }/{ Ζ ∈=ℜ∈= k k x xCeros π - Periódica de período π . Es decir: Ζ ∈=+ k tgxk xtg )( π

Función cotangente

La función y = cotg x tiene el gráfico:

-2 p -3 p

2-p -

p

2

p

2p

3 p

22 p

x

-6

-4

-2

2

4

6

y


- Rk k x x R Dom =Ζ ∈=ℜ∈−= Im}/{ π - Es impar: gx x g cot)(cot −=−

- No es inyectiva

- }2

)12(/{ Ζ ∈+=ℜ∈= k k x xCerosπ

- Periódica de período π . Es decir: Ζ ∈=+ k gxk x g cot)(cot π

Función secante

La función y = sec x tiene el gráfico:



14

-2 p -3 p

2-p -

p

2

p

2p

3 p

22 p

x

-6

-4

-2

2

4

6

y


- ( ] [ )+∞∪−∞−=Ζ ∈+=ℜ∈−= ,11,Im}2

)12(/{ k k x x R Domπ

- Es par, es decir: x x sec)sec( =− - No es inyectiva- No tiene ceros- Periódica de período π 2 : Ζ ∈=+ k xk x sec)2sec( π

Función cosecante

La función y = cosec x tiene el gráfico:

-2 p -3 p

2-p -

p

2

p

2p

3 p

22 p

x

-5

5

y



15


- ( ] [ )+∞∪−∞−=Ζ ∈=ℜ∈−= ,11,Im}/{ k k x x R Dom π - Es impar, es decir: ecx xec cos)(cos −=− - No es inyectiva- No tiene ceros- Periódica de período π 2 . Es decir: Ζ ∈=+ k ecxk xec cos)2(cos π

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Función seno hiperbólico

La función seno hiperbólico se define:2

x xee

Shx y−

−== Su gráfico es:

-4 -2 2 4x

-40

-20

20

40y

Sus características principales:

- ℜ=ℜ= Im Dom

- Es biyectiva e impar - }0{=Cero

Función coseno hiperbólico

La función seno hiperbólico se define:2

x xee

Chx y−

+== Su gráfico es:



16

-4 -2 2 4x

-5

5

10

15

20

25

30y


- [ )+∞=ℜ= ,1Im Dom - No es inyectiva y es par - No tiene ceros

Identidades importantes para recordar

Chx

ShxThx = Shx

ChxCothx = 122=− xSh xCh

Función tangente hiperbólica

La función tangente hiperbólica se define: x x

x x

ee

ee

Chx

ShxThx y

−

−

+

−=== Su gráfico es:



17

-4 -2 2 4x

-

1.0

-0.5

0.5

1.0

y


- ( )1,1Im −=ℜ= Dom - Es biyectiva e impar - }0{=Cero

FUNCIÓN MÓDULO

La función módulo o valor absoluto se define:

<−

≥==

0

0

x x

x x x y

Su gráfico es:

-4 -2 2 4 x

1

2

3

4

5

y



18

Y sus principales características:

- [ )+∞=ℜ= ,0Im Dom - Es par

- No es inyectiva

FUNCIÓN SIGNO

La función signo se define:

<−

>==

01

01

x

x

x

x y

Su gráfico es:

-4 -2 2 4x

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

y

Sus principales características:

- }1,1{Im}0{ −=−ℜ= Dom - No es inyectiva

- Es impar

FUNCIÓN PARTE ENTERA

Definimos como parte entera de un número real x al mayor número entero que es menor o igual que él. Lo denotamos con [ ] x Así se cumple la siguiente desigualdad:

[ ] [ ] 1+<≤ x x x



19

Por ejemplo:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] 3569,35363669,35

34444

92,910102,9

1467,1451451457,145

4897,333897,3

−<−≤−−=−

−<−≤−−=−

−<−≤−−=−

<≤=

<≤=

porque

porque

porque

porque

porque

La función parte entera es f(x) = [ ] x y su gráfico:

Características:

- Z R Dom == Im

- No es inyectiva- No tiene paridad definida

FUNCIÓN MANTISA

La mantisa de un número real x, que se indica mant(x), se define como la diferencia dedicho número y su parte entera, es decir [ ] x x xmant −=)( . En los ejemplos anteriores:

31,0)36(69,35)69,35(

0)4(4)4(8,0)10(2,9)2,9(

7,01457,145)7,145(

897,03897,3)897,3(

=−−−=−

=−−−=−

=−−−=−

=−=

=−=

mant

mant

mant

mant

mant

La función y = f(x) = mant(x) tiene el siguiente gráfico:



20

[ )1,0Im == R Dom , no es inyectiva y no tiene paridad definida.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Función arcoseno

Ya hemos visto que la función f(x) = sen(x) no es inyectiva en su dominio. Para poder calcular la función inversa debemos restringir el dominio, es decir, definirla en unintervalo donde sí sea inyectiva. Por convención, tomamos

[ ] senx x f f =−→

− )(/1,1

2,

2:

π π , cuyo gráfico es:

Esta función es biyectiva, por lo tanto tiene función inversa. Para hallarla debemosdespejar x en la igualdad y = sen(x). La forma de hacerlo es la siguiente

arcseny x senx =⇔= , es decir x es el ángulo cuyo seno vale y. Ésta es la funcióninversa, que expresándola en las variables correspondientes queda:

[ ] arcsenx x f f =

−→−

−− )(/2

,2

1,1: 11 π π

Por ejemplo:



21

2

1

662

1 2

2

442

2

122

1

−=

−−=

−

==

==

π π

π π

π π

sen porquearcsen

sen porquearcsen

sen porquearcsen

El gráfico de esta función es:

-1.0 -0.5 0.5 1.0x

-p

2

-p

4

p

4

p

2

y

Graficando las dos funciones:

-1.0 -0.5 0.5 1.0x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

y=

x

y=senx

y=arcsenH



22

Función arcocoseno

Las mismas consideraciones que hicimos para definir la función arcoseno, debemoshacerlas para definir la función arcocoseno. Tenemos que encontrar un intervalo dondela función y = cos x sea inyectiva. En este caso por convención se toma [ ]π ,0

Entonces [ ] [ ] [ ] [ ] x x f f x x f f arccos)(/,01,1:cos)(/1,1,0: 11 =→−=−→ −− π π

La gráfica de f(x) = cos x en ese intervalo es:

p

2p

x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

La gráfica de f -1(x) = arccos (x) :

-1.0 -0.5 0.5 1.0 x

p

2

p

y



23

Los dos gráficos juntos:

-1 1 2 3x

-1

1

2

3

y

Función arco tangente

En este caso, por convención tomamos:

arctgx x f R f tgx x f R f =

−→⇔=→

−

−− )(/2

,2

:)(/2

,2

: 11 π π π π

El gráfico de f -1(x) = arctg x es:

-5 5x

-2

-1

1

2y



24

Transformaciones de funciones

Podemos graficar muchas funciones conociendo éstas últimas (racionales, irracionales,trascendentes) y diferentes transformaciones que se pueden realizar sobre ellas.Tenemos distintos tipos de movimientos:

- Desplazamientos o traslaciones verticales y horizontales- Reflexiones respecto al eje x y al eje y.- Contracciones y dilataciones verticales y horizontales

Desplazamientos o traslaciones verticales y horizontales

Si a una función le sumamos un número “c” obtenemos un desplazamiento vertical: si ces positivo, la curva se traslada hacia arriba, si c es negativo, hacia abajo. Veamos un

ejemplo con la función x y = . Graficaremos en el mismo par de ejes

2,3, −=+== x y x y x y . La primera es la función original, la segunda es unatraslación de la misma 3 unidades hacia arriba y la tercera dos unidades hacia abajo:

Si queremos realizar un desplazamiento horizontal hacemos: )( c x f y −= Si c es positivo se traslada c unidades hacia la derecha y si c es negativo, -c unidades a la

izquierda. Con esta misma función graficamos 1,1 +=−= x y x y . La primera es la

traslación de x y = una unidad hacia la derecha y la segunda una unidad hacia laizquierda:



25

Entonces, para recordar:

Desplazamientos horizontales y verticales sea y = f(x)

c x f y += )( es el desplazamiento de )( x f y = c unidades hacia arriba si c >0 y –cunidades hacia abajo si c<0

)( c x f y −= es el desplazamiento de )( x f y = c unidades hacia la derecha si c >0 y –cunidades hacia la izquierda si c<0

Reflexiones

Si queremos reflejar la curva )( x f y = respecto al eje x, hacemos: )( x f y −= Si queremos reflejar la curva )( x f y = respecto al eje y, hacemos: )( x f y −=

Realicemos estos movimientos en la función y = lnx. Primero la reflexión respecto aleje x:



26

Ahora respecto al eje y:

Contracciones y dilataciones verticales y horizontales

Supongamos que queremos “alargar” o “comprimir” una función en forma vertical. Por ejemplo, grafiquemos la función y = sen x. Para “alargarla” o dilatarla en forma verticaldebemos multiplicarla por un factor c, con c>1. Para comprimirla o contraerlaverticalmente, debemos multiplicarla por un factor c, con 0<c<1. Veámoslográficamente:

Por último, si queremos contraer o dilatar una función genérica y = f(x) en formahorizontal, debemos hacer y = f(cx), con c>1 y 0<c<1, respectivamente. Continuemoscon el ejemplo de la función y = senx:



27

Para recordar:

Sea y = f(x) una función cualquiera, c>0 un número real positivo:

- y = c f(x) es una dilatación vertical (o alargamiento vertical) de la función f enun factor c, si c>1

- y = c f(x) es una contracción vertical (o comprensión vertical) de la función f enun factor c, si c<1.

- y = f(c x) es una contracción horizontal (o compresión horizontal) de la funciónf en un factor c, si c>1.

- y = f(c x) es una dilatación horizontal (o alargamiento horizontal) de la funciónf en un factor c, si c<1.

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