Apunte de Sistemas de ecuaciones lineales - Algebra Lineal

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INFO 1144 -ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEALAPUNTE DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Una colección de ecuaciones simultáneas, cada una con incógnitas se7 8 B ß B ß ÞÞÞÞß B" # 8

llama sistema de ecuaciones con variables. Así un sistema de ecuaciones es de la7 8forma:

+ B + B ÞÞÞÞÞÞ + B œ ,

+ B + B ÞÞÞÞÞÞ + B œ ,

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ

"" " "# # "8 8 "

#" " ## # #8 8 #

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ


+ B + B ÞÞÞÞÞÞ + B œ ,7" " 7# # 78 8 7

Ð‡Ñ

El sistema anterior se dice homogéneo si las ecuaciones lineales son homogéneas, es7decir:

+ B + B ÞÞÞÞÞÞ + B œ

+ B + B ÞÞÞÞÞÞ + B œ


ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ

"" " "# # "8 8

#" " ## # #8 8

00

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ


+ B + B ÞÞÞÞ + B œ !7" " 7# # 78 8

sea se dirá que es solución del sistema si es solución del? œ Ð5 ß 5 ß ÞÞÞÞÞÞÞ5 Ñß ? Ð‡Ñ ?" # 8

sistema ( si es solución de cada una de las ecuaciones del sistema.‡Ñ ?

Se define la matriz de los coeficientes como E œ

+ + + ÞÞÞ ++ + + ÞÞÞ +À À À ÞÞÞÞ ÀÀ À À ÞÞÞÞÞ À

+ + + ÞÞÞÞÞ +

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"" "# "$ "8

#" ## #$ #8

7" 7# 7$ 78

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y la matriz ampliada es E , œ À À À ÞÞÞÞ À À À

+ + + ÞÞÞ + ,"

+ + + ÞÞÞ + ,

À À À ÞÞÞÞÞ À À À

+ + +

¸

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

ºººº

"" "# "$ "8

#" ## #$ #8 #

7" 7# 7$ 78 7ÞÞ + ,º

, que tinen orden

7‚ 8 7‚ 8 " y respectivamente.

El sistema se puede escribir siendo ,Ð‡Ñ E\ œ , E œ

+ + + ÞÞÞ ++ + + ÞÞÞ +À À À ÞÞÞÞ ÀÀ À À ÞÞÞÞÞ À

+ + + ÞÞÞÞÞ +

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"" "# "$ "8

#" ## #$ #8

7" 7# 7$ 78

\ œ à , œ Þ

B ,B ,À ÀB ,

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

" "

# #

8 8

y el sistema homogéneo como E\ œ !Þ

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales se usa la eliminación de Gauss o deGauss- Jordan.Para resolver un sistema no homogéneo se trabaja con la matriz ampliada y se llevaE ,¸ésta a una matriz equivalente llamada matriz escalón reducida por filas Esta matrizV , Þ¸ ß

tiene las siguientes características: la primera entrada no nula de cada fila es un 1, llamado pivote."Ñ en la columna donde está el pivote todas las otras entradas son cero.#Ñ las filas nulas estan debajo de las filas no nulas.$Ñ si representa la columna donde está el pivote de la fila entonces %Ñ O 3 O O ÞÞÞÞ

3 " #

Algoritmo:Para converitr cualquier matriz a la forma de escalón reducida por filas o escalonada,proceda con los pasos siguientes:Paso1: Vaya a la columna no cero del extremo izquierdo.Paso2. Si el primer renglón o fila tiene un cero en la columna del paso 1, intercámbielocon uno que tenga un elemento no cero en la misma columna. Esto se hace permutandofilas.Paso 3: Transforme en 1 esta primera entrada no nula de la fila . Ésta recibe el nombre"de pivote.Paso 4: Obtenga ceros abajo o arriba y abajo del pivote.

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Paso 5: Repita el proceso en la fila Nº 2, a partir del paso 1. Haciendo ceros las restantesentradas en la siguiente columna.Paso 6: Los pivotes deben ir distribuidos hacia la derecha y hacia abajo, como escalones.Paso 7: Si hubiera filas nulas recuerde que éstas se ubican al final.

Ejemplo: Las siguientes son matrices escalon reducidas por filas:

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Œ " ! ! " #

! " ! ! !! ! " ! !

ß à" $ !! ! "

Teorema: Toda matriz es equivalente a una, y sólo una matriz escalón reducida por filas.

Veamos ahora cómo emplear la eliminación de Gauss-Jordan para resolver cualquiersistema lineal . El proceso se aplica a la matriz aumentada del sistema. Produce unamatriz escalón reducida por filas, cuyo sistema correspondiente es equivalente al sistemadado y además fácil de resolver primero se separan las variables en delanteras y libres.Las variables delanteras son las que corresponden a las posiciones pivote. Las variablesrestantes, si las hay, son libres. A continuación se escriben las variables delanteras enfunción de las variables libres, de las constantes o de ambas. Se acostumbra asignarnuevos nombres a las variables libres, y llamarlas parámetros. Los parámetros puedenasumir cuelquier valor escalar.

Ejemplo: (Única solución) Resuelva el sistema B D œ #

#B C D œ "

$B #C #D œ "

B #C $D œ #

&B #C 'D œ "Solución: y B œ "ß C œ ! D œ "Þ

Ejemplo: (Una solución) Resolver los siguientes sistemas:

#B %B 'B œ ")

%B &B 'B œ #%

$B B #B œ %

" # $

" # $

" $#

Ejemplo : (Infinitas soluciones) Resolver el siguiente sistema:

$B 'B %B $B œ &

B $B "!B %B %B œ #

#B 'B #!B #B )B œ )

# $ % &

" # $ % &

" # $ % &

4

Ejemplo : (Infinitas soluciones) Resolver el siguiente sistema:

#B %B 'B œ ")

%B &B 'B œ #%

#B (B "#B œ $!

" # $

" # $

" $#

Ejemplo: (Sin solución) Resolver el siguiente sistema, si admite solución:

#B $B œ %

#B 'B (B œ "&

B #B &B œ "!

# $

" # $

" $#

Ejemplo: (Sin solución) Resolver el sistema si admite solución:

B #B #B œ "

B B B œ #

B #B B œ "

" $ %

" # %

# $ %

Definición: ( Rango de una matriz) Sea una matriz. Diremos que el rango de es elE Emayor orden de las submatrices no singulares de invertibles o que verifican queEÐ./>E Á ! EÑ E). Será denotado como ( . Si es equivalente con la matriz escalonada el3rango de será igual al número de pivotes de la matriz escalonada.E

Proposición: Sea Si es la matriz aumentada del sistema ,E − El, E\ œ ,Š7ß8.entonces:

a) ( | ( tiene solución, es compatible o es consistente. Es decir, un3 3E ,Ñ œ EÑ Í E\ œ ,sistema de ecuaciones lineales es consistente si y sólo si la última columna de su matrizaumentada no es columna pivote, o bien si cualquier forma de la matriz escalonadaobtenida a partir de la matriz aumentada, no tiene una fila de la forma enÒ ! ! ! ÞÞÞÞ! À - Óla que .- Á !

b) ( | ( tiene solución única.3 3E ,Ñ œ EÑ œ 8 Í E\ œ ,

c) ( | ( tiene infinitas soluciones.3 3E ,Ñ œ EÑ 8 Í E\ œ ,En este caso, no todas las columnas en la matriz escalonada tienen pivote. Se llamanvariables libres las variables asociadas a cualquier columna que carece de pivote.Éstaspueden tomar cualquier valor real y en términos de éstas variables se expresan las demásvariables, obteniéndose así las infinitas soluciones.

d) Si ( | ( entonces el sistema es inconsistente o incompatible. Esto ocurre3 3E ,Ñ Á EÑcuando en la matriz escalonada se obtiene al menos una fila de la forma Ò ! ! ! ÞÞÞÞ! À - Óen la que .- Á !

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Ahora nos concentraremos en el caso de un sistema lineal homogéneo.

Soluciones de Sistemas Lineales Homogéneos1. Un sistema lineal homogéneo tiene sólo la solución trivial, o bien un número infinitode soluciones.2. Una sistema lineal homogéneo tiene una gran cantidad de soluciones, siempre ycuando posea variables libres.3. Si un sistema lineal homogéneo tiene más incógnitas que ecuaciones, entoncesmostrará una infinidad de soluciones.

Ejemplo: Resuelva el sistema B B B œ !

B B B œ !" # $

" # $

Problemas de Aplicación de los Sistemas de Ecuaciones LinealesProblema: Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación decuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán enoperación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la produciónde cada uno de los cuatro productos está dado en la tabla. Encuentreel número deunidades que se deben producir de cada uno de los cuatro productos un día de 8 horascompletas.

Producto1 Producto 2 Producto 3 Producto 4Máquina 1 1 2 1 2Máquina 2 2 0 1 1Máquina 3 1 2 3 0

Problema: Un biólogo ha colocado tres cepas bacterianas (denotadas como I, II y III) enun tubo de ensayo donde serán alimentados con tres distintas fuentes alimenticias ( A, By C). Cada día se colocan en el tubo de ensayo 400 unidades de alimento de A, 500 de By 600 de C, y los datos del consumo diario de alimento por las bacterias ( en unidad pordía) son los que se presentan en la tabla. ¡Cuántas bacterias de cada cepa pueden coexistiren el tubo de ensayo y consumir todo el alimento?

Cepa bacteriana I Cepa bacteriana II Cepa bacteriana IIIAlimento A 1 2 0Alimento B 2 1 3Alimento C 1 1 1

Problema: Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productosquímicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades delquímico B y 8 unidades del químico C. Las marcas X,Y y Z son atomizadorescomerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicosA, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Ycontiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón dela marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidadde cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de losquímicos requeridas para el control de la enfermedad?

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Problemas de Familias de Sistemas

Definición: Una familia de sistemas son infinitos sistemas que son construidos de unamisma manera.

Ejercicio: Dada la familia de sistemas, estudie lo valores del parámetro , de tal forma+que el sistema tenga: única solución, infinitas soluciones y no tenga solución.

+B C D œ "

B +C D œ "

B C +D œ "

Ejercicio: Encuentre condiciones sobre para que el sistema tenga única solución,+infinitas soluciones y no tenga solución. Cuando correponda calcule las soluciones.

Ð& +ÑB #C D œ "

#B Ð# +ÑC #D œ #

B #C Ð& +ÑD œ "

Ejercicio: En los siguientes ejercicios encuentre condiciones sobre para que el sistema-tenga única solución, infinitas soluciones y no tenga solución. Cuando existan calcule lao las soluciones.

a) b) œ œ$B #B œ % B %B œ ' 'B %B œ B B œ $

" # " #

" # " #- --

c) d) Ú ÚÛ ÛÜ Ü

$B #B B $B œ # B $B #B œ "

$B &B %B 'B œ

B B B œ "B B B œ

B B B œ

" # $ %

" # $

" # $ %

" # $

" # $

" # $#-

-- -

- -

Ejercicio: En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, obtenga los valores de -para que el sistema tenga solución única, infinitas soluciones, o no tenga solución.

a) b) Ú ÚÛ ÛÜ Ü

B $C D œ # B C D œ #B #C &D œ % B $C D œ )

#B &C D œ % #B $C Ð (ÑD œ %- - - -# #

c) ÚÛÜ

B C D œ ##B $C #D œ &

#B $C Ð "ÑD œ "- -#

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