Apunte Calculo I

CÁLCULO I

D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

VIRG

INIO

GO

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Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

1

Indice

Contenido Página

Unidad Nº1: Números Reales

Números reales $Intervalos reales %Inecuaciones

a) simples *b) con paréntesis *c) con denominador numérico "!d) Inecuaciones con denominador algebraico "$Valor absoluto #!Inecuaciones con valor absoluto ##

Unidad Nº2: Geometría Analítica

Sistema de Coordenadas en el plano #)Distancia entre dos puntos del plano ‘2 #*División de un trazo en una razón dada $"Pendiente entre dos puntos $$Línea recta $'Formas de la ecuación de la recta %!Tipos de rectas %'Distancia de un punto a una recta &!Cónicas &(Circunferencia &*Parábola '%Elipse (&Hipérbola )(

Unidad Nº3: Límites y Continuidad

Concepto de límites de una función 95

Teorema sobre límites 97

Resolución algebraica de límites 98

Límites laterales 05"Límites infinitos 12"Límites al infinito 117

Asíntotas 2" !Continuidad de funciones reales 26"

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Unidad Nº4: Derivadas

Derivada 3" (Interpretación de la derivada 39"Reglas de derivación 40"Regla de la cadena 56"52rivación implícita 52"Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas 56"Derivación logarítmica 58"Derivada de funciones trigonométricas 163

Derivada de funciones trigonométricas inversas 167

Derivada de orden superior 171

Aplicación de la derivada:

a) Gráficos de funciones continuas 176

b) Gráficos de funciones discontinuas 186

- Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos 197

- Problemas de variaciones relacionadas 03#- Formas indeterminadas 10#Autoevaluación por unidad 1# (

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UNIDAD NUNIDAD N0 0 11

Números RealesNúmeros Reales

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Números Reales

Es el conjunto formado por todos los números cuya naturaleza sea natural , entera ,a b a b ™racional e irracional .a b a b ˆ El conjunto de los números reales está provisto de dos operaciones directas: adición y

multiplicación y dos operciones inversas: sustracción y división.

Propiedades de la adición en ‘

a +ß ,ß - − se cumple:‘

1) Clausura: a +ß , − ß + , −‘ ‘

2) Conmutativa: , a +ß , − + , œ , +‘

3) Asociativa: a +ß ,ß - − ß + , - œ + , -‘ a b a b 4) Elemento Neutro: 0 tal que :bx − a + − + ! œ ! + œ +‘ ‘

5) Elemento Inverso Aditivo: tal que bx + − + + œ + + œ !a b a b a b‘

Propiedades de la multiplicación en ‘

a +ß ,ß - − se cumple‘

1) Clausura: a +ß , − ß + † , −‘ ‘

2) Conmutativa: , a +ß , − + † , œ , † +‘

3) Asociativa: a +ß ,ß - − ß + † , † - œ + † , † -‘ a b a b 4) Elemento Neutro: tal que :bx " − a + − + † " œ " † + œ +‘ ‘

5) Elemento Inverso Aditivo: tal que a + − ß + Á ! bx + œ −"

+‘ ‘"

+ † + œ + † + œ "" "

Existe otra propiedad que integra a ambas operaciones: la propiedad distributiva

a +ß ,ß - − ‘

a b a b a b+ , † - œ + † - , † -

+ † , - œ + † , + † -a b a b a b Las operaciones inversa de los números reales se definen de la siguiente forma:

Sustracción: + , œ + ,a b División:

+

,œ + † ,"

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El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, pues existe la relación de orden

mayor que que cumple con los siguientes axiomas denominados Axiomas de Orden.a b

1) Tricotomía: se cumple una, y sólo una de las siguientes relaciones:a +ß ,ß - − ‘

+ , ß + œ , ß , +

2) Transitividad: ; a +ß ,ß - − + , • , - Ê + -‘

3) Adición: ; a +ß ,ß - − + , Ê + - , -‘

4) Multiplicación: ; a +ß ,ß - − + , • - ! Ê + † - , † -‘

Otras relaciones de orden son:

Mayor o igual que : + , Í + , ” + œ ,

Menor que : + , Í , +

Menor o igual que : + Ÿ , Í , +

Los símbolos denotan la existencia de desigualdades ß ß ß Ÿ

Propiedades de las desigualdades

1) Transitiva: Si entonces+ , • , -ß + -

2) Aditiva: Si , entonces + , • - . + - , .

3) Si , entonces + , • - − + - , -‘

4) Si , entonces + , • - − + - , -‘

5) Si , entonces + , • - ! + † - , † -

6) Si , entonces + , • - ! + † - , † -

7) Si y está entre y , entonces , es decir, + , - + , + - • - , + - ,

8) Si , entonces + , + ," "

Intervalos Reales

Es un conjunto infinito de números reales

Tipos de intervalos

1) Intervalo abierto: a b+ß , œ Ó+ß ,Ò œ ÖB − Î + B ,×‘

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2) Intervalo semiabierto:

Ò+ß ,Ñ œ Ò+ß ,Ò œ ÖB − Î + Ÿ B ,×‘

Ð+ß ,Ó œ Ó+ß ,Ó œ ÖB − Î + B Ÿ ,×‘

3) Intervalo cerrado

Ò+ß ,Ó œ ÖB − Î + Ÿ B Ÿ ,×‘

4) Otros intervalos reales infinitos

Ð _ß +Ó œ Ó _ß +Ó œ ÖB − Î B Ÿ +×‘

Ð _ß +Ñ œ Ó _ß +Ò œ ÖB − Î B +×‘

Ò,ß _Ñ œ Ò,ß _Ò œ ÖB − Î B ,×‘

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Ð,ß _Ñ œ Ó,ß _Ò œ ÖB − Î B ,×‘

es un número real}a b _ß _ œ Ó _ß _Ò œ ÖBÎB

Así,

‘ ‘ œ Ó!ß _Ò œ ÖB − Î B !×

‘ ‘ Ö!× œ Ò!ß _Ò œ ÖB − Î B !×

‘ ‘ œ Ó _ß !Ò œ ÖB − Î B !×

‘ ‘ Ö!× œ Ó _ß !Ó œ ÖB − Î B Ÿ !×

Ò+ß +Ó œ Ö+×

a b+ß + œ g

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Ejemplos

1) Dibuje el intervalo que representa la expresión dada

+Ñ B &

,Ñ $ Ÿ B (

-Ñ B Ÿ %

.Ñ B $ ” B #

2) Escriba la desigualdad que representa el intervalo dado

+Ñ

' Ÿ B Ÿ "%

,Ñ

B "$Î&

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-Ñ

B Ÿ "'Î*

.Ñ

B Ÿ "# ” B #

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Inecuaciones

Son desigualdades con una incógnita que se verifican para ciertos números reales. La solución de

una inecuación corresponde a un intervalo.

Para resolver una inecuación se procede en forma similar a los procedimientos usados en la

resolución de ecuaciones, pero considerando las propiedades de las desigualdades.

a) Inecuaciones simples

"Ñ $B % & "#B Î "#B "&B % & Î % "&B * Î À "&

B *

"&

B $

&

Sol: Sol: œ • ”B − ÎB ß _$ $

& &‘

#Ñ #, * " $, Î $, &, * " Î * &, "! Î À & , #

Sol: Sol: Ö, − Î, #× Ó _ß #Ò‘

b) Inecuaciones con paréntesis

se elimina paréntesis$Ñ $B Ð%B &Ñ Ÿ %B ( Ð# &BÑ Î se reducen términos semejantes$B %B & Ÿ %B ( # &B Î B & Ÿ *B & Î *B )B & Ÿ & Î & )B Ÿ "! Î À )

B Ÿ "!

)

B Ÿ &

%

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Sol: Sol: œ • •B − ÎB Ÿ _ß & &

% %‘

se resuelven los%Ñ 'C & % &C "! 'C "! 'C "! & Îa b a b a ba b#

productos

se reducen términos $'C '!C #& #!C %! $'C "!! & Î# #

semejantes

%!C '& *& Î '& %!C "'! Î À %! C %

Sol: Sol:ÖC − ÎC %× Ó _ß %Ò‘

c) Inecuaciones con denominador numérico

MCM&Ñ + " + # + # + " Î œ $!# " $ "

$ & # "&a b a b a b a b

se resuelven los productos#! + " ' + # %& + # # + " Îa b a b a b a b se reducen términos#!+ #! '+ "# %&+ *! #+ # Î semejantes

#'+ ) %(+ *# Î %(+ #"+ ) *# Î ) #"+ "!! Î † "a b #"+ Ÿ "!! Î À #"

+ Ÿ"!!

#"

Sol: Sol: œ • •+ − Î+ Ÿ _ß"!! "!!

#" #"‘

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MCM'Ñ ' B Î œ %!#B ( $B & ) (B " *B

% ) & "!

se resuelven"! #B ( & $B & ) ) (B % " *B #%! %!B Îa b a b a b a b los productos

se reducen términos #!B (! "&B #& '% &'B % $'B #%! %!B Î semejantes

#&B #(& %!B Î %!B "&B #(& Î † "a b "&B #(& Î À "&

B #(&

"&

B &&

$

Sol: Sol: œ • ”B − ÎB ß _&& &&

$ $‘

Ejercicios Propuestos

"Ñ *B ' ) #B #Ñ B $ & (B

& "! % #

$Ñ Ð&B 'Ñ Ð$ BÑ Ÿ ( Ð# %BÑ &B %Ñ Ð% $BÑ Ð% $BÑ Ð#B "Ñ Ð*B "Ñ Ð# BÑ #

&Ñ Ð& %BÑ Ð( 'BÑ Ÿ "'B $ Ð# BÑ # #

'Ñ ÐB &Ñ Ð#B $Ñ ÐB "Ñ Ð$ BÑ 'B # # #

(Ñ Ð&B $Ñ Ð&B $Ñ Ð" #BÑ &B Ð' #BÑ $B Ð" &BÑ

)Ñ D $ $Ð" DÑ &ÐD %Ñ

# ( "%

*Ñ ÐC "Ñ Ð& CÑ Ð#C $Ñ Ð" $CÑ" # & (

% $ ) "#

"!Ñ ÐD &Ñ &ÐD #Ñ D " "$ÐD "Ñ

% ' ) "#

# # #

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Solución À

"Ñ B ß _# #

"" "" Sol = ” ”

#Ñ B œ _ß"* "*

(% (% Sol • ”

$Ñ B Ÿ _ß % %

$( $( Sol =• •

%Ñ B Ÿ œ _ß"$ "$

"* "* Sol • •

&Ñ B ß _#% #%

$( $( Sol = ” ”

'Ñ B œ _ß$" $"

% % Sol • ”

(Ñ B Ÿ _ß "! "!

#* #* Sol = • •

)Ñ D œ ß _& &

) ) Sol ” ”

*Ñ C ß _""( ""(

&! &! Sol = • ”

"!Ñ D œ _ß'( '(

#& #& Sol • ”

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d) Inecuaciones con denominador algebraico

Para resolver este tipo de inecuaciones se empleará el método denominado .EsteTabla Francesa

método consiste en confeccionar una tabla que resume la información de la inecuación a resolver. Para ello

se deben realizar los siguientes pasos:

1) Dejar todas las expresiones algebraicas de la inecuación al lado izquierdo del símbolo de la

desigualdad, de modo que al lado derecho sólo quede cero.

2) Reducir a una sola fracción las expresiones del lado izquierdo de la desigualdad

3) Por separado, igualar a cero la expresión resultante del numerador y la del denominador.

4) Con los valores encontrados en (3) se construye una tabla de la siguiente forma

valor1 valor1 valor1,valor2 valor2 valor2,

expresión del numerador

expresión del denominador

fracción

_ß _

5) Llenar la tabla sólo con signos más o menos o ceros . El proceso consiste enÐ Ñ Ð Ñ !a bcolocar cero en el casillero del valor que anula la expresión del numerador como también colocar cero en el

casillero del valor que anula la expresión del denominador, el resto de los casilleros se rellenarán con

signos más o signos menos. Para la línea correspondiente a la expresión del numerador se elige un número

a la izquierda o a la derecha del valor que anula la expresión del numerador y se reemplaza en esta

expresión. Si el número elegido da una evaluación positiva y está a la derecha(izquierda) del valor que

anula al numerador, entonces en la tabla todos los casilleros a la derecha(izquierda) del valor que anula al

numerador se rellenarán con signo más y los que están a la izquierda(derecha) se rellenarán con signo

menos. Se repite el mismo proceso para la línea que corresponde a la expresión del denominador. Luego

para la línea que corresponde a la fracción se usa la ley de los signos referente al signo del numerador con

el signo del denominador, en esta línea está la solución de la inecuación.

Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores que cero, entonces habrá que

considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo más.(intervalos abiertos)

Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores que cero, entonces habrá que

considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo menos.(intervalos abiertos)

Si el problema consiste en encontrar todos los valores mayores o iguales a cero, entonces habrá

que considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo más.(intervalos cerrados)

Si el problema consiste en encontrar todos los valores menores o iguales a cero, entonces habrá

que considerar como solución los casilleros que en la última línea lleven signo menos.(intervalos cerrados)

En el caso de los intervalos cerrados habrá que considerar si los extremos de cada intervalo no

indeterminan la inecuación.

Ejemplos À

"Ñ $ ( Î (% # #

B B B

#

B % !

# %B

B !

# %B œ ! Ê B œ "

# B œ !

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_ß ß ! ! !ß _" " "

# # ## %B ! B ! # %B

B! 38.

Sol:Œ ˆ ‰_ß !ß _"

#

#Ñ ' Ÿ " Î "&B (

B $

&B (

B $ ( Ÿ !

&B ( (B #"

B $Ÿ !

#B #)

B $Ÿ !

#B #) œ ! Ê B œ "%

B $ œ ! Ê B œ $

_ß "% "% "%ß $ $ $ß _ #B #) ! B $ ! #B #)

B $! 38.

Sol: ˆ ˆ ‰_ß "%Ó $ß _

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$Ñ $ Î $$ B

B (

$ B

B ( $ !

$ B $B #"

B ( !

%B #%

B ( !

%B #% œ ! Ê B œ ' B ( œ ! Ê B œ (

4

_ß ' ' 'ß ( ( (ß _ %B #% ! B ( ! B #%

B (! 38.

Sol œ Ò 'ß ( Ò

%Ñ ŸB $ #

B " $

B $ #

B " $ Ÿ !

$B * #B #

$B $Ÿ !

B ""

$B $Ÿ !

B "" œ ! Ê B œ ""

$B $ œ ! Ê B œ "

_ß " " "ß "" "" ""ß _B "" ! $B $ ! B ""

$B $ 38. !

Sol: Ó "ß ""Ó

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Otros casos donde es posible aplicar la tabla francesa

"Ñ B #B Ÿ '$ Î '$#

factorizandoB #B '$ Ÿ ! Î#

a ba bB ( B * Ÿ !

B ( œ ! Ê B œ ( B * œ ! Ê B œ *

(

_ß ( ( (ß * * *ß _B ( ! B * ! B (Ñ ÐB *Ñ ! !

Sol: Ò (ß * Ó

#Ñ B # % B B ' !a ba ba b B # œ ! Ê B œ # % B œ ! Ê B œ % B ' œ ! Ê B œ '

_ß ' ' 'ß # # #ß % % %ß _B # ! % B ! B ' ! B # % B B ' ! ! ! a ba ba b

Sol: ] _ß ' Ò Ó #ß % Ò

$Ñ Ÿ !B " #B $

$B " # B

a ba ba ba b B " œ ! Ê B œ "

#B $ œ ! Ê B œ $

#

$B " œ ! Ê B œ"

$

# B œ ! Ê B œ #

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_ß ß ß " " "ß # # #ß _$ $ $ " " "

# # # $ $ $B " ! #B $ ! $B " ! # B ! B " #B $

$B " # B! 38. ! 38.

a ba ba ba b

Sol:• • • •_ß ß " Ó#ß _Ò$ "

# $


"Ñ & Ÿ %$ "

B B

#Ñ % (&B "

$ B

3 Ñ #B $ "

% &B &

%Ñ B "$B %# #

&Ñ ÐB #Ñ Ÿ "' #

'Ñ Ð#B "Ñ " #

(Ñ B $B "!B $ #

)Ñ ÐB "Ñ ÐB "Ñ ÐB #Ñ ÐB $Ñ !

*Ñ Ÿ !ÐB "Ñ Ð$ BÑ

ÐB #Ñ

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"!Ñ !Ð#B "Ñ Ð% BÑ

ÐB $Ñ Ð" $BÑ

11) En un experimento químico, una solución de ácido clorhídrico se va a mantener entre ºC y$!$& $! Ÿ Ÿ $&ºC; es decir, C . ¿Cuál es el rango de temperatura en grados Fahrenheit si la fórmula de

conversión Celsius/Fahrenheit es C F ?œ Ð $#Ñ&*

12) Un rollo fotográfico se va a mantener entre ºF y ºF; es decir, F . ¿Cuál es el') (( ') ((rango de temperatura en grados Celsius si la fórmula de conversión Celsius/Fahrenheit es

F C+ ?œ $#*&

13) En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que la

temperatura a " " kilómetros de profundidad de la Tierra estaba dada porB X œ $! #&ÐB $Ñ $ Ÿ B Ÿ "&

donde es la temperatura en grados Celsius. ¿A qué profundidad la temperatura estará entre X #!!y ºC en total?$!!

14) Una compañía electrónica está planeando comercializar una nueva calculadora gráfica. Los

costos fijos son de $ y los variables de $ por calculadora. El precio de la calculadora al'&!Þ!!! %(mayoreo será de $ . Es evidente que para que la compañía obtenga utilidades los ingresos deben'$ser superiores a los costos.

a) ¿Cuántas calculadoras se deben vender para que la compañía obtenga utilidades?

b) ¿Cuántas calculadoras tendría que vender para llegar al punto de equilibrio?

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Solución À

"Ñ ß !#

* Sol = ” ”

#Ñ _ß $ ß _&

% Sol =• ” • ”

$Ñ ß% "*

& "& Sol = • ”

%Ñ _ß ( 'ß _ Sol = • • ” ”

&Ñ #ß ' Sol = • ”

'Ñ _ß " ! ß _ Sol =• ” • ”

(Ñ &ß ! # ß _ Sol =• ” • ”

)Ñ _ß $ " ß " # ß _ Sol =• ” • ” • ”

*Ñ "ß # $ ß _ Sol =” ” ” ”

"!Ñ ß $ ß %" "

# $ Sol = • ” • ”

11) El rango de la temperatura es de º a º en total.)' J *& J

12) El rango de la temperatura es de º a º en total.#! G #& G

13) A una profundidad entre Km y Km.*Þ) "$Þ)

14) a) La compañía debe vender más de calculadoras para tener utilidades.%!Þ'#&

b) Para llegar al punto de equilibrio, la compañía debe vender calculadoras.%!Þ'#&

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Valor Absoluto

Es una función que determina de cada número sólo su valor como cantidad. Su Símbolo es . Se¸ ¸define de la siguiente forma:

si

si0 B œ

B ß B ! B ß B !

a b œ Geométricamente, el valor absoluto mide distancias. El valor absoluto de un número cualquiera

mide la cantidad de unidades de este número con respecto a cero. El valor absoluto entre dos números mide

la cantidad de unidades entre estos dos números.

Propiedades del valor absoluto

Sean , entoncesBß C − ‘

"Ñ B † C œ B † Ç ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ con #Ñ œ C Á !

B

C

B

Cº º ¸ ¸¸ ¸

$Ñ B C Ÿ B Ç ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ %Ñ B C Ÿ B Ç ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ &Ñ B + Í B + ” B +¸ ¸

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'Ñ B + Í B + • B +¸ ¸

(Ñ B + Í B Ÿ + ” B +¸ ¸

)Ñ B Ÿ + Í B + • B Ÿ +¸ ¸

*Ñ B œ + Í B œ + ” B œ +¸ ¸

Ejemplos de ecuaciones

"Ñ #B " œ % Í #B " œ % ” #B " œ %¸ ¸ Í B œ ” B œ

& $

# #

Sol:œ ß& $

# #

#Ñ œ ' Í œ ' ” œ '$B " $B " $B "

B # B # B #º º

Í $B " œ 'B "# ” $B " œ 'B "#

Í *B œ "$ ” $B œ ""

Í B œ ” B œ"$ ""

* $

Sol: œ "$ ""

* $ß

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Ejemplos de inecuaciones

"Ñ #B $ % Í #B $ % • #B $ %¸ ¸ Í #B " • #B (

Í B • B " (

# #

En este caso la solución de la inecuación es la intersección de los dos intervalos.

Así, Sol œ ß" (

# #• ”

#Ñ $B ( $ Í $B ( Ÿ $ ” $B ( $¸ ¸ Í $B Ÿ "! ” $B %

Í B Ÿ ” B "! %

$ $

En este caso la solución de la inecuación es la unión de los dos intervalos.

Así, Sol: , que también se puede escribir como:• • ” ”_ß ß _"! %

$ $

‘ ß "! %

$ $• ”

$Ñ Ÿ # Í # • Ÿ ## $B # $B # $B

&B $ &B $ &B $º º

Í # ! • # Ÿ !# $B # $B

&B $ &B $

Í ! • Ÿ !# $B "!B ' # $B "!B '

&B $ &B $

Í ! • Ÿ !(B % ) "$B

&B $ &B $

Í (B % œ !à &B $ œ ! • ) "$B œ !à &B $ œ !

Í B œ à B œ • B œ à B œ% $ ) $

( & "$ &

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Tabla para (B %

&B $ !

_ß ß ß _% % % $ $ $

( ( ( & & &(B % ! &B $ ! (B %

&B $! _

Sol:• • • ”_ß ß _% $

( &

Tabla para ) "$B

&B $Ÿ !

_ß ß ß _$ $ $ ) ) )

& & & "$ "$ "$) "$B ! &B $ ! ) "$B

&B $_ !

Sol:• ” ” ”_ß ß _$ )

& "$


Así, Sol: • • ” ”_ß ß _% )

( "$

%Ñ Í ” %B " # %B " # %B " #

#B $ & #B $ & #B $ &º º

Í ! ” !%B " # %B " #

#B $ & #B $ &

Í ! ” !#!B & %B ' #!B & %B '

"!B "& "!B "&

Í ! ” !#%B " "'B ""

"!B "& "!B "&

Í #%B " œ !à "!B "& œ ! ” "'B "" œ !à "!B "& œ !

Í B œ àB œ ” B œ à B œ" $ "" $

#% # "' &

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Tabla para #%B "

"!B "& !

_ß ß ß _" " " $ $ $

#% #% #% # # ##%B " ! "!B "& ! #%B "

"!B "& ! _

Sol:• ”" $

#% #ß

Tabla para "'B ""

"!B "& !

_ß ß ß _"" "" "" $ $ $

"' "' "' # # #"'B "" ! "!B "& ! "'B ""

"!B "&! _

Sol:• ” • ”_ß ß _"' $

"" #

En este caso la solución de la inecuación es la unión de los dos intervalos.

Así, Sol: , que también se puede• ” • ” • ”_ß ß ß _"' " $ $

"" #% # #

escribir como: • ” • ” œ _ß ß _ "' " $

"" #% #

&Ñ #B " $B & Î $B &¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸

¸ ¸¸ ¸#B "

$B & " Í " • "

#B " #B "

$B & $B &

Í " ! • " !#B " #B "

$B & $B &

Í ! • !#B " $B & #B " $B &

$B & $B &

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Í ! • !&B ' B %

$B & $B &

Í &B ' œ !à $B & œ ! • B % œ !à $B & œ !

Í B œ à B œ • B œ %à B œ ' & &

& $ $

Tabla para &B '

$B & !

_ß ß ß _& & & ' ' '

$ $ $ & & &&B ' ! $B & ! &B '

$B &_ !

Sol:• ” • ”_ß ß _& '

$ &

Tabla para B %

$B & !

_ß % % %ß ß _& & &

$ $ $ B % ! $B & ! B %

$B &! _

Sol:• ” • ”_ß % ß _&

$


Así, Sol: • ” • ”_ß % ß _'

&

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"Ñ $B % œ #B " ¹ ¹ ¹ ¹

#Ñ &B # $ ¹ ¹

$Ñ Ÿ &%B "

$ (B » »

%Ñ # Ÿ %$

B » »

&Ñ # %"

B » »

'Ñ $%

B » »

(Ñ ##B "

B » »

)Ñ $B % # &B ¹ ¹ ¹ ¹

*Ñ T #! La producción diaria en una planta ensambladora de automóviles está dentro de unidades de

&!! unidades. Exprese la producción diaria como una desigualdad de valores absolutos.

"!Ñ X "! #!! En un proceso químico, la temperatura se conserva entre los ºC y los ºC. Exprese esta

restricción como una desigualdad de valores absolutos.

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Solución À

"Ñ œ ß &$

& Sol š ›

#Ñ ""

& Sol = , • ”

$Ñ _ß ß _"% "'

$* $" Sol =• • ” ”

%Ñ _ß ß _$ "

# # Sol = • • ” ”

&Ñ _ß " ß ! ! ß _"

$ Sol = • ” • ” • ”

'Ñ _ß ß _% %

$ $ Sol = • ” • ”

(Ñ _ß ! ! ß"

% Sol = • ” • ”

)Ñ ß ß $% & &

# # Sol =

1” ” • •

9) ¸ ¸T &!! Ÿ #!

10) ¸ ¸X "!& Ÿ *&

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Geometría AnalíticaGeometría Analítica

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Sistema de coordenadas en el planoa b‘ ‘‚

Está formado por dos ejes perpendiculares, con origenes comunes y graduados con la misma

unidad de longitud. Estos ejes perpendiculares vividen al plano en cuatro regiones iguales denominadas‘2

cuadrantes. El eje horizontal se denomina y el eje vertical recibe el nombre de eje de las abscisas X ejea bde las ordenadas Ya b

Los elementos de este sistema se denominan pares ordenados. Cada par ordenado tiene un orden

establecido, la primera componente del par es una abscisa y la segunda componente del par es una

ordenada, es decir, .a bBß C

Propiedades

1) Todos los puntos del eje X tienen ordenada nula, es decir,

Eje X œ Ö Bß C − ÎC œ !×a b ‘#

2) Todos los puntos del eje Y tienen abscisa nula, es decir,

Eje Y œ Ö Bß C − ÎB œ !×a b ‘#

3) En el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas existen cuatro cuadrantes À

VIRG

INIO

GO

MEZ


31

C1 œ Ö Bß C − Î B ! / C !×a b ‘#

C##œ Ö Bß C − Î B ! / C !×a b ‘

C$#œ Ö Bß C − Î B ! / C !×a b ‘

C%#œ Ö Bß C − Î B ! / C !×a b ‘

Distancia entre dos puntos del plano ‘2

Sean A y B dos puntos del plano.a b a bB ß C B ß C" " # #

AC BC ABœ B B œ C C œ .# " # "

AB AC BCPor Teorema de Pitágoras À a b a b a b# # #œ

. œ B B C Ca b a b# " # "# #

. œ B B C CÉa b a b# " # "# #

Así, si A y B son dos puntos del plano, entonces la distancia entre A y B, denotadaa b a bB ß C B ß C" " # #

por A B es. ß Àa b . œ B B C Ca b a b a bÉA,B # " # "

# #

VIRG

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32

Ejemplos À

"Ñ #ß & %ß $Calcular la distancia entre el punto A y Ba b a b. œ % # $ &a b a b a bÉA,B

# #

œ $' '%È œ "!!È œ "!

#Ñ %ß & ß #ß % ß $ß # #ß $ ÞLos vértices de un cuadrilátero son A B C y D Calcular sua b a b a b a bperímetro.

P A,B B,C C,D D,Aœ . . . .a b a b a b a b. œ # % % & œ $' " œ $(a b a b a bÉ È ÈA,B

# #

. œ $ # # % œ " $' œ $(a b a b a bÉ È ÈB,C# #

. œ # $ $ # œ #& " œ #'a b a b a bÉ È ÈC,D# #

. œ % # & $ œ % '% œ ')a b a b a bÉ È ÈD,A# #

P A,B B,C C,D D,Aœ . . . . œ $( $( #' ')a b a b a b a b È È È È œ # $( #' # "(È ÈÈ

$Ñ B Bß $ . œ & $ß # Determine el valor de en A de modo que A,B con Ba b a b a b

. œ B B C Ca b a b a bÉA,B # " # "# #

& œ $ B # $Éa b a b# #

& œ $ B #& ÎÉa b ab# #

#& œ $ B #&a b# ! œ $ B Ê B œ $a b#

VIRG

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MEZ


33

División de un trazo en una razón dada

Sea P un punto del plano que divide al trazo P P en una cierta razón k, es decir,a bBß C 1 2

P P

PPk1

2

œ

Se obtendrán las coordenadas del punto P en función de los puntos dados P y P .a bBß C 1 2

˜ µ ˜P SP PRP1 2

P S P P

PR PP

1 1

2

œ Ê œ 5B B

B B"

#

Ê B B œ 5B 5B" #

Ê B 5B œ 5B B# "

Ê B " 5 œ B 5Ba b " #

conÊ B œ 5 Á "B 5B

" 5" #

De igual forma À

SP P P

RP PP# #

"œ Ê œ 5

C C

C C1

2

Ê C C œ 5C 5C" #

Ê C 5C œ 5C C# "

Ê C " 5 œ C 5Ca b " #

conÊ C œ 5 Á "C 5C

" 5" #

Por lo tanto, las coordenadas del punto P son: P ,Œ B 5B C 5C

" 5 " 5" # " #

Si P es el punto medio del trazo P P , entonces 1, así k P P

PP1 2

1

2

œ œ "

Luego, P ,2 2

Œ B B C C" # " #

Si P es un punto que queda fuera del trazo P P , entonces k es negativo.1 2

VIRG

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34

Ejemplos À

1) El punto medio de un trazo es y uno de los extremos es Determinar el otro extremoa b a b$ß ( "!ß % Þ

Œ a bB B C Cœ $ß (

" # " #

2 2,

Œ a b"! B % C "! B % C

# # # #ß œ $ß ( Ê œ $ • œ (

# # # #

Ê "! B œ ' • % C œ "%# #

Ê B œ % • C œ "!# #

El otro punto es a b %ß "!

2) Los extremos de un trazo son los puntos A y B . Hallar la razón k en que el puntoa b a b(ß % "ß #C divide al trazo.a b"ß #

Œ a bB 5B C 5C

" 5 " 5œ "ß #

" # " #,

Œ a b( 5 % #5 ( 5 % #5

" 5 " 5 " 5 " 5ß œ "ß # Ê œ " • œ #

Ê ( 5 œ " 5 • % #5 œ " 5

Ê ' œ #5 • $ œ $5

Ê 5 œ $ • " œ 5

Luego, no existe el valor de , por lo tanto el punto C no divide al trazo.5

VIRG

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35

Pendiente entre dos puntos

Sean A y B dos puntos del planoa b a bB ß C B ß C" " # #

La razón se denomina , se simboliza por y representa el grado deCB

ACœ 7C C

B B# "

# "pendiente

inclinación del trazo AB con el eje X. El ángulo se mide desde el eje X al trazoa b!

Así, si A y B son dos puntos del plano, entonces la pendiente entre A y B esa b a bB ß C B ß C À" " # #

7œC C

B B# "

# "

La pendiente es el valor de la tangente trigonométrica del ángulo , es decir, ! !7 œ >1

Propiedades de la pendiente

1) Si , entonces es un ángulo agudo.7 ! !

VIRG

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36

) Si , entonces es un ángulo obtuso# 7 ! !

) Si , entonces es un ángulo nulo$ 7 œ ! !

Y

X

VIRG

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37

) Si no está definida, entonces es un ángulo recto% 7 !

Ejemplo À

"ÑDetermine la pendiente entre los puntos A y B, B y C, C y D, D y E si

A ; B ; C ; D y Ea b a b a b a b a b $ß ' $ß # "ß " #ß " &ß &

7 œ œ œ _# ' %

$ $ !AB es un ángulo recto!

7 œ œ " # "

" $ #BC es un ángulo obtuso!

7 œ œ œ !" " !

# " $CD es un ángulo nulo!

7 œ œ& " %

& # $DE es un ángulo agudo!

VIRG

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38

Línea recta

Una recta en es un conjunto de pares ordenados que tienen la característica que cualquier‘2

pareja de puntos distintos tienen la misma pendiente.

Para determinar la ecuación de una recta existen dos formas À

a) Se conocen dos puntos de ella

Sean A y B dos puntos conocidos de una recta y sea P un punto cualquieraa b a b a bB ß C B ß C Bß C" " # #

de ella

A(x1,y1)

B(x2,y2)

P(x,y)

Y

X

P œ Ö Bß C − Î7 œ 7 ×a b ‘# AP AB

7 œ 7 œC C C C

B B B BAP AB

" # "

" # "

7 œ 7 Ê œ Ê C C œ B BC C C C C C

B B B B B BAP AB

" # " # "

" # " # "" "Œ a b

Luego, si A y B dos puntos conocidos de una recta , entonces su ecuación esa b a bB ß C B ß C À" " # #

C C œ BBC C

B B" "

# "

# "Œ a b

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39

b) Si se conoce un punto y su pendiente

Sea A un punto conocido de la recta, P un punto cualquiera y su pendientea b a bB ß C Bß C 7" "

7 œ 7Ê œ 7Ê C C œ 7 B BC C

B BAP

"

"" "a b

Luego, si A es un punto conocido de una recta y su pendiente, entonces su ecuacióna bB ß C 7" "

es À C C œ 7 BB" "a bEjemplos À

1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y Ba b a b"ß # $ß %

C # œ B " Ê C # œ B " % # "

$ " #Œ a b a b

2) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene pendiente a b #ß ( #Î$

C ( œ B ##

$a b


En cada uno de los ejercicios propuestos grafíque cada caso:

1) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos :

a) b) EÐ $ß &Ñ C FÐ %ß "Ñ GÐ "ß $Ñ C HÐ &ß #Ñ

c) IÐ&ß (Ñ C JÐ!ß %Ñ

2) Determine la ecuación de la recta que pasa por:

a) El punto y tiene pendiente b) El punto y pendiente 2

5EÐ #ß (Ñ EÐ&ß "Ñ

%

(

c) El punto y tiene pendiente EÐ%ß (Ñ &

$

VIRG

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40

Solución:

1)

a) b) c)C & œ %ÐB $Ñ C $ œ ÐB "Ñ C ( œ ÐB &Ñ" ""

% &

2)

a) b) c)C ( œ ÐB #Ñ C " œ ÐB &Ñ C ( œ ÐB %Ñ# % &

& ( $

VIRG

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41

Propiedades

a) Toda recta paralela al eje X tiene por ecuación . C œ + 7 œ !a b

Y

X

y = aa

b) Toda recta paralela al eje Y tiene por ecuación . B œ + 7 œ _a b

Y

X

x = a

a

VIRG

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42

Formas de la ecuación de la recta À

a) Forma general

De se tieneC C œ B BC C

B B" "

# "

# "Œ a b

a ba b a ba bC C B B œ C C B B" # " # " "

C B B C B B œ C C B C C Ba b a b a b a b# " " # " # " # " "

B C C C B B ÒB C C C B B Ó œ !a b a b a b a b" # # " " # " " # "

Si A B y C , entoncesœ C C à œ B B œ B C C C B B" # # " " # " " # "a b a b

es la Ecuación General de la recta con A 0 B 0A B C B C œ ! Á ” Á

b) Forma principal À

De se tieneC C œ 7 B B" "a b C C œ 7B 7B" "

C œ 7B 7B C" "

Si , entonces, œ 7B C À" "

es la Ecuación Principal de la recta.C œ 7B ,

b se denomina y equivale a la ordenada del punto de intersección de laww ww coeficiente de posición

recta con el eje Y

Y

X

b

VIRG

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43

c) Ecuación de segmento

Sea A y B 0 los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados, entoncesa b a b+ß ! ß , À

C ! œ B +, !

! +a b

C œ B +,

+a b

+C œ ,B +,

,B +C œ +, Î À +,

es la Ecuación de Segmento de la rectaB C

+ , œ "

Ejemplos À

Determinar en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si À

a) pasa por A y Ba b a b$ß " (ß %

Ecuación general: Ecuación principal:

C " œ B $ C " œ B $% " $

( $ "!Œ a b a b

C " œ B $ C œ B "$ $ *

"! "! "!a b

"!C "! œ $B * C œ B $ "*

"! "!

$B "!C "* œ !

Ecuación de segmento:

$B "!C "* œ !

$B "!C œ "* Î À "*

$ "!

"* "*B C œ "

B C"* "*

$ "!

œ "

VIRG

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44

b) Tiene pendiente y pasa por el punto A (Î& "ß #a b Ecuación general: Ecuación principal:

C # œ B " C # œ B "( (

& &a b a b

&C "! œ (B ( C œ B #( (

& &

(B &C "( œ ! C œ B ( "(

& &

Ecuación de segmento:

(B &C "( œ !

(B &C œ "( Î À "(

B C œ "( &

"( "(

B C

"( "(

( &

œ "

c) corta al eje X en 2 y al eje Y en 3

Ecuación general: Ecuación de segmento:

B C B C

# $ # $ œ " Î' œ "

$B #C œ '

$B #C ' œ !

Ecuación principal:

B C

# $ œ "

C B

$ #œ "

C œ B $$

#

VIRG

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45


1) Determine y grafique en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si

pasa por los puntos:

a) 2, 3EÐ &Ñ C FÐ ß ""Ñ

b) 2 0 0 4GÐ ß Ñ C HÐ ß Ñ

c) -1 3 5 1IÐ ß Ñ C JÐ ß Ñ

2) Determine y grafique en cada caso, la ecuación general, principal y de segmento de la recta si:

a) Pasa por el punto y tiene pendiente EÐ'ß (Ñ"

&

b) Pasa por el punto y tiene pendiente FÐ %ß "Ñ $

#

c) Pasa por el punto y tiene pendiente GÐ#ß &Ñ '

VIRG

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46

Solución:

1)

VIRG

INIO

GO

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47

2)

VIRG

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48

Tipos de Rectas

Sean L : 1 C œ 7 B 8" "

y L , entonces,2 À C œ 7 B 8# #

a L es secante a L si , y sólo si L LÑ ß 1 2 1 2

b) L es paralela a L L L si, y sólo si 1 2 1 2 a bm ß 7 œ 7" #

Y

X

L1 : y = m1 x+ n1

L2 : y = m2 x+ n2

VIRG

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49

c) L es perpendicular a L L L si, y sólo si 1 2 1 2 a b¼ ß 7 † 7 œ "" #

Ejemplos

1) Determine el punto de intersección de las rectas #B C œ & à $B #C œ (

Para determinar el punto de intersección de las dos rectas, sólo se debe resolver un sistema de ecuaciones.

#B C œ & † # /

$B #C œ (

%B #C œ "!$B #C œ (

(B œ $ Ê B œ$

(

# C œ & Ê C œ & Ê C œ$ ' #*

( ( (Œ

Luego el punto de intersección de las rectas es el punto #B C œ & à $B #C œ ( ß$ #*

( (Œ

2) Decida si las siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares

+Ñ À #B $C œ ( L1

L# À #B $C œ )

En L , se tiene, Luego, 1 L#B $C œ ( Ê #B ( œ $C Ê B œ C 7 œ# ( #

$ $ $"

En L , se tiene, Luego, # #B $C œ ) Ê #B ) œ $C Ê B œ C 7 œ# ) #

$ $ $L#

Como , entonces L L7 œ 7 mL L 1 2 " #

VIRG

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50

,Ñ À %B &C œ # L1

L# À &B %C œ "

En L , se tiene, 1 %B &C œ # Ê %B # œ &C Ê B œ C% #

& &

Luego, 7 œ%

&L"

En L , se tiene, # &B %C œ " Ê %C œ &B " Ê C œ B & "

% %

Luego, 7 œ &

%L#

Como , entonces L L7 † 7 œ † œ " ¼% &

& %L L 1 2 " # Œ

3) Determine la ecuación de la recta que pasa por y esa b"ß #

a) paralela con la recta L" À &B #C & œ !b) perpendicular con la recta L# À $B %C œ (

a) Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L . Además,1

como la recta buscada debe ser paralela con L , entonces sus pendientes son las mismas.1

&B #C & œ ! Ê &B & œ #C Ê B œ C& &

# #

Luego la pendiente de L . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es 1 œ& &

# #

Su ecuación es:

C # œ B " Ê #C % œ &B & Ê &B #C * œ !&

#a b

Así, la recta es paralela con L .&B #C * œ ! 1

,Ñ Para encontrar la ecuación de la recta buscada se debe conocer la pendiente de la recta L . Además,#

como la recta buscada debe ser perpendicular con L , entonces el producto de sus pendientes debe ser igual2

a . "

$B %C œ ( Ê %C œ $B ( Ê C œ B $ (

% %

Luego la pendiente de L . Por lo tanto, la pendiente de la recta buscada es 1 œ $ %

% $

Su ecuación es:

C # œ B " Ê $C ' œ %B % Ê %B $C "! œ !%

$a b

Así, la recta es perpendicular con L .%B $C "! œ ! 2

VIRG

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51

4) Determine el valor de en para que la recta5 5B 5 " C $ œ ! Àa ba) pase por el punto a b#ß $ Þb) sea paralela a la recta L À #B C & œ !c) sea perpendicular a la recta L À B C ) œ !

a) Para que el punto pertenezca a la recta se debe reemplazar en la recta a b a b#ß $ 5B 5 " C $ œ ! Bpor e por y resolver la ecuación resultante para Si la ecuación tiene solución, entonces el punto# C $ 5Þpertenece a la recta, de lo contrario, si la ecuación no tiene solución, entonces el punto no pertenece a la

recta.

5Ð#Ñ Ð5 "ÑÐ $Ñ $ œ !

#5 $5 $ $ œ !

&5 œ '

5 œ '

&

Luego, la recta es

B " C $ œ !' '

& &Œ

B C $ œ !' "

& &

'B C "& œ !

b) Para que la recta sea paralela con L sus pendientes deben ser5B 5 " C $ œ ! À #B C & œ !a biguales.

5B 5 " C $ œ ! Ê 5B $ œ 5 " C Ê œ C5 $

5 " 5 "a b a b

la pendiente de esta recta es 5

5 "

#B C & œ ! Ê #B & œ C

la pendiente de la recta L es #

así, 5

5 "œ # Ê 5 œ #5 # Ê 5 œ #

Luego, la recta es

#B # " C $ œ !a b #B C $ œ !

VIRG

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52

c) Para que la recta sea perpendicular con L5B 5 " C $ œ ! À B C ) œ !a bel producto de sus pendientes debe ser igual a . "

5B 5 " C $ œ ! Ê 5B $ œ 5 " C Ê œ C5 $

5 " 5 "a b a b

la pendiente de esta recta es 5

5 "

B C ) œ ! Ê C œ B )

la pendiente de la recta L es "

así, 5 "

5 " #† Ð"Ñ œ " Ê 5 œ 5 " Ê 5 œ

Luego, la recta es:

B " C $ œ !" "

# #Œ

B C $ œ !" "

# #

B C ' œ !

Distancia de un punto a una recta

Sea L : y P un punto que no pertenece a la recta1 EB FC G œ ! B ß Ca b! !

la distancia , desde a la línea recta y denotada por es :. T . T ßPa b . T ßP œ

EB FC G

E Fa b ¸ ¸

È # #

VIRG

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53

Ejemplos:

1) Determinar la distancia que existe desde el punto a la recta LE $ß % À $B œ %C &a bL À $B %C & œ ! Ê E œ $ ß F œ % ß G œ &

. Eß œ$ $ % % &

* "'a b ¸ ¸a b a bÈL

. Eß œ #!

&a b ¸ ¸

L

. Eß œ %a bL

2) Determinar la distancia que existe entre las rectas

L1 À C œ #B $

L# À C œ #B &

Como L es paralela con L , L L , basta elegir un punto en la recta L o en la recta L y1 2 1 2 1 2a bmcalcular la distancia de este punto a la otra recta.

Para este ejemplo se elegirá un punto de la recta L ,A y se calculará la distancia de este1 a b"ß "punto a la recta L2

L2 À #B C & Ê E œ # ß F œ " ß G œ &

L. Eß œ# " " " &

% "a b ¸ ¸a b a ba bÈ#

L. Eß œ)

&a b ¸ ¸

È#

L. Eß œ) &

&a b È

#

Luego la distancia entre las rectas L y L es unidades1 2

) &

&

È

VIRG

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54


1) Los vértices de un triángulo son:

E "ß # à F $ß & à G "ß (a b a b a b Determinar y graficar:

a) Ecuación de sus lados en forma principal y general

b) Perímetro del triángulo ABC

c) Ecuación de las transversales de gravedad

d) Ecuación de las alturas

e) Ecuación de las medianas

f) Area de triángulo ABC

2) Determinar el valor del parámetro k:

a) para que el triángulo de vértices A sea rectánguloa b a b a b%ß # 5 à F #ß #5 $ à G &ß # en C.

b) Para que la recta que pasa por los puntos A y sea perpendicular a laa b a b#ß " F "ß 5 recta que pasa por C y Da b a b $ß # 5ß $ c) Para que la recta L sea paralela L1 2À $B #C œ * À 5B 5 " C & œ !a b$Ñ 5 B 5 " C $ œ ! Hallar el valor de k para que la recta sea:# a b a) paralela a la recta $B #C % œ ! b perpendicular a la recta Ñ $B #C "" œ ! c) pase por el punto a b"ß #

%Ñ #ß ' À %B $C œ "# Hallar la distancia del punto P a la recta La b5) Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta y que distan de ella.$B %C œ ( %

6) Un departamento de policía ha averiguado que el número de crímenes o delitos graves que

ocurren por semana es una función del número de oficiales asignados a la vigilancia preventiva.

La función matemática es: donde es el número de crímenes por- œ 0Ð:Ñ œ "#&! #Þ&: ß -semana y indica el número de oficiales asignados a la vigilancia preventiva.:

a) ¿Cuál es el número esperado de crímenes si 250 oficiales son asignados a la vigilancia

preventiva?

b) ¿Cuántos oficiales habría que asignar si se quisiera reducir a 500 el nivel semanal de crímenes?

c) ¿Cuántos oficiales habría que asignar para reducir a cero el nivel semanal de crímenes?

VIRG

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55

7 La utilidad total de plantar acres en la granja se expresa en la función:Ñ B 44

TÐB ß B Ñ œ %!!B &&!B #)&Þ!!!" # " #

a) ¿Cuál es la utilidad total si en la granja se plantan acres y en la granja se plantan " #!! # )&!acres?

b) Si en la granja se plantaron acres ¿Cúal debe ser la mínima cantidad de acres plantados" '!!en la granja para que exista utilidad?#

c) Identifique una combinación de plantaciones que produzcan una utilidad de cero.

8) Hallar los valores de tales que la distancia de a la recta es5 Ð #ß $Ñ (B #%C œ 5 $

9) Hallar los valores de tales que la recta determine, con los ejes coordenados, un5 $B %C œ 5triángulo de área 6.

10) Hallar el punto de la recta que equidista de y $B C œ % Ð &ß 'Ñ Ð$ß #Ñ

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56

Solución:

1)

b) Perímetro = .ÐEßFÑ .ÐFßGÑ .ÐEßGÑ œ & # # #*È È


VIRG

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57


e) Ecuación de las medianas:

f) Area ABC 14? œ

#Ñ 5 œ ( à 5 œ 5 œ 5 œ* " $

# # & a) b) c)

3) a) 5 œ à 5 œ$ $$ $ $$

% %

È È

b) 5 œ à 5 œ" ( " (

$ $

È È c) 5 œ "

4) Distancia = 14

5

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58

5)

6) a) crímenes- œ '#& Þ b) oficiales: œ $!! c) oficiales: œ &!!

7) a) $Y œ #'#Þ&!! b) acres)# c) Granja acres" À $!! Granja acres.# À $!!

8) 5 œ "'" ""œ

9) 5 œ "# "#œ

10)

VIRG

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59

Cónicas

:Lugar Geométrico

El lugar geométrico de una ecuación es una curva que contiene aquellos puntos y sólo aquellos

puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

Las secciones cónicas se llaman así porque todas ellas son secciones planas de un cono circular

recto. Una puede formarse cortando un cono perpendicular a su eje, una se producecircunferencia elipse

cuando el corte del cono es oblicuo al eje y a la superficie, se produce una cuando el cono eshipérbola

intersectado por un plano paralelo al eje, y resulta una cuando el plano de intersección es paraleloparábola

a un elemento de la superficie.

Es decir, a la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola se les llama frecuentemente secciones

cónicas porque todas ellas pueden obtenerse como secciones de un cono recto circular al ser cortados por

planos. Se entenderá que el cono se extiende indefinidamente a ambos lados de su vértice. Cada cono

situado a un lado del vértice se denomina hoja de cono.

Cuando la curva producida cortando el cono se refiere a un sistema de coordenadas se definirá una

sección cónica como:

"Una es el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que su distanciasección cónica

desde un punto fijo es una relación constante respecto de su distancia a una línea fija. El punto fijo se

denomina y la línea fija se llama ."foco directriz

Recta L1

Recta L2

α

y

x

z

Recta L2

Generatriz

Manto

superior

Manto

Inferior

Vértice

Recta L2

Generatriz

Hojas de

cono

VIRG

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60

Circunferencia Elipse

Parábola Hipérbola

VIRG

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61

Circunferencia

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante.

El punto fijo se llama y la distancia fija centro radio.

Sea el centro de la circunferencia, un punto de la circunferencia y el radio,GÐ2ß 5Ñ T ÐBß CÑ <entonces À

.ÐT ßGÑ œ <

ÉÐB 2Ñ ÐC 5Ñ œ <# #

es la ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ œ <# # # ecuación reducida de la circunferencia

Si entonces la ecuación de la circunfrerncia esGÐ2ß 5Ñ œ Ð !ß ! Ñß À

que se conoce como B C œ <# # # ecuación canónica de la circunferencia

x

y

P (x , y)

C (0,0)

r

r : Radio C( 0,0 ) : Centro de la ⊗x

2 + y

2 = r

2

- r r

- r

VIRG

INIO

GO

MEZ


62

Ejemplo À

1) Determine la ecuación de la circunferencia si À

a) C a b a b a b"ß # < œ # Ê B " C # œ %# #

b) C a b a bÈ #ß ! < œ $ Ê B # C œ $# #

c) C a b a bÈ!ß & < œ # ' Ê B C & œ #%# #

d) C a b a b a b $ß % < œ ( Ê B $ C % œ %*# #

2) Obtener el centro y el radio de la circunferencia si su ecuación es À

a C Ñ B " C % œ % Ê "ß % • < œ #a b a b a b# #

b C Ñ B C # œ " Ê !ß # • < œ "# #a b a b c C Ñ B $ C œ ( Ê $ß ! • < œ (a b a b È# #

d C Ñ B # C & œ $ Ê #ß & • < œ $a b a b a b È# #

De la ecuación reducida se tiene À

a b a bB 2 C 5 œ < Ê B #B2 2 C #C5 5 œ <# # # # # # # #

Ê B C #B2 #C5 2 5 < œ !# # # # #

Si C D E entonces es laœ #2ß œ #5ß œ 2 5 < ß# # # B C GBHC I œ !# #

ecuación general de la circunferencia que también se puede expresar de la forma:

, con EB FC GBHC I# # œ ! E œ F

Ejemplos À

1) Dada la ecuación de la circunferencia, determine su centro y su radio.

+Ñ B C #B %C œ "# #

Para encontrar la ecuación de la circunferencia reducida dada la ecuación general de la

circunferencia se debe realizar el proceso de completación de cuadrado de binomio.

B C #B %C œ " Ê B #B C %C œ "# # # # a b a b Ê B #B " C %C % œ " " %a b a b# #

Ê B " C # œ % Ê "ß # • < œ #a b a b a b# # C

VIRG

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MEZ


63

,Ñ "'B "'C #%B "'C œ $ Î À "'# #

B C B C œ$ $

# "'# #

Œ a bB B C C œ$ $

# "'# #

Œ Œ B B C C œ $ * " $ * "

# "' % "' "' %# #

Œ Œ Œ B C œ " Ê ß • < œ "$ " $ "

% # % #

# #

C

2) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A y B y tiene sua b a b "ß % #ß "centro en la recta %B (C & œ !

Sea C el centro de la circunferencia, entoncesa b2ß 5

a) A,C B,C y b) C. œ . 2ß 5 − %B (C & œ !a b a b a b A,C B,C . œ . Ê 2 " 5 % œ 2 # 5 "a b a b a b a b a b a bÉ É# # # #

Ê 2 " 5 % œ 2 # 5 "a b a b a b a b# # # #

Ê 2 #2 " 5 )5 "' œ 2 %2 % 5 #5 "# # # #

Ê '2 '5 "# œ !

Ê 2 5 # œ ! ‡a bC a b a b2ß 5 − %B (C & œ ! Ê %2 (5 & œ ! ‡ ‡

De y se tiene el siguiente sistemaa b a b‡ ‡ ‡ À

2 5 # œ !%2 (5 & œ ! donde Así C2 œ $ ß 5 œ "Þ $ß "a b< œ . EßG < œ . FßGa b a bo

< œ $ " " % Ê < œ #*Éa b a b È# #

Luego la ecuación de la circunferencia es À B $ C " œ #*a b a b# #

VIRG

INIO

GO

MEZ


64


1) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en y que es tangente al eje .GÐ#ß %Ñ ]

2) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en 3 2 y que es tangente al eje .GÐ ß Ñ \

3) Una circunferencia pasa por los puntos y , y su centro está sobre la rectaÐ $ß $Ñ Ð"ß %Ñ$B #C #$ œ !. Hallar su ecuación.

4) Una cuerda de la circunferencia está sobre la recta cuya ecuación esB C œ #&# #

B (C #& œ !. Hallar la longitud de la cuerda.

5) Obtener la ecuación de la circunferencia si tiene centro en el punto , y es tangente a laÐ#ß $Ñrecta que contiene los puntos y .Ð#ß #Ñ Ð'ß &Ñ

6) Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos yTÐ#ß %Ñß UÐ'ß #ÑVÐ#ß #Ñ

7) ¿Para qué valores de pasa el círculo por el punto ?5 ÐB #5Ñ ÐC $5Ñ œ "! Ð"ß !Ñ# #

8) Hallar el valor de tal que sea la ecuación de un círculo de radio 55 B C %B 'C 5 œ !# #

9) Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia B C #B )C " œ !# #

y tangente a la recta #B C œ $

10) Hallar la ecuación de las circunferencias de radio tangentes a la circunferencia "! B C œ #&# #

en el punto Ð$ß %Ñ

VIRG

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65

Solución:

1) B C %B )C "' œ !# #

2) B C 'B %C * œ !# #

3) B C %B "(C )" œ !# #

4) Longitud cuerda : & #È

5) B C %B 'C $ œ !# #

6) B C 'B #C œ !# #

7) 5 œ ß 5 œ "*

"$

8) 5 œ "#

9) B C #B )C # œ !# #

10) B C ")B #%C "#& œ !# #

B C 'B )C (& œ !# #

VIRG

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MEZ


66

Parábola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado y defoco

una recta fija llamada directriz.

Si es el foco de la parábola es la ecuación de su directriz y es unJÐ!ß :Ñ ß H À C œ : TÐBß CÑpunto de ella, entonces À .ÐT ß JÑ œ .ÐHßT Ñ

È ¸ ¸ÈB ÐC :Ñ œC :

"# #

È È abB ÐC :Ñ œ ÐC :Ñ Î# # # #

B C #:C : œ C #:C :# # # # #

es la B œ %:C# ecuación canónica de la parábola

El punto se denomina , la recta se llama Z Ð!ß !Ñ B œ !vértice de la parábola eje de simetría de la

parábola. lado recto El trazo perpendicular al eje de la parábola y que pasa por el foco se denomina y su

longitud es ¸ ¸%: Þ

Si , entonces la curva queda situada sobre el eje X, es no negativa y simétrica respecto al eje Y.: ! Si , entonces la curva queda situada bajo el eje X, es no positiva y simétrica respecto al eje: !Y.

Si es el foco de la parábola es la ecuación de su directriz y es unJÐ:ß !Ñ ß H À B œ : TÐBß CÑpunto de ella, entonces su ecuación canónica es À

C œ %:B#

VIRG

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MEZ


67

Vértice À Z Ð!ß !Ñ Foco À J Ð:ß !Ñ Directriz À H À B œ : Eje de simetría À C œ ! Long. lado recto À %:¸ ¸ Si , entonces la curva queda situada a la derecha del eje Y y es simétrica respecto al eje X.: !

Si , entonces la curva queda situada a la izquierda del eje Y y es simétrica respecto al eje X.: !

Ejemplo À

Determine vértice, foco, directriz, longitud del lado recto, eje de la parábola y gráfico en

+Ñ B œ %C Ê %: œ % Ê : œ "#

Vértice À Z Ð!ß !Ñ Foco À J Ð!ß "Ñ Directriz À H À C œ " Eje de simetría À B œ ! Long. lado recto À %

VIRG

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68

,Ñ C œ #B Ê %: œ # Ê : œ "

##

Vértice À Z Ð!ß !Ñ

Foco À J Ð ß !Ñ"

#

Directriz À H À B œ"

#

Eje de simetría À C œ !

Long. lado recto À #

VIRG

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69

-Ñ B œ )C#

.Ñ C œ B#

Si es el vértice y el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje Y, entoncesZ Ð2ß 5Ñ

Ecuación À ÐB 2Ñ œ %:ÐC 5Ñ#

Vértice À Z Ð2ß 5Ñ Foco À J Ð2ß 5 :Ñ Directriz À H À C œ 5 : Eje de simetría À B œ 2 Long. l. recto À %:¸ ¸ Si , entonces la curva es cóncava hacia arriba.: !

Si , entonces la curva es cóncava hacia abajo.: !

VIRG

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MEZ


70

Si es el vértice y el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje X, entoncesZ Ð2ß 5Ñ

Ecuación À ÐC 5Ñ œ %:ÐB 2Ñ#

Vértice À Z Ð2ß 5Ñ Foco À J Ð2 :ß 5Ñ Directriz À H À B œ 2 : Eje de simetría À C œ 5 Long. l. recto À %:¸ ¸ Si , entonces la curva es abierta hacia la derecha.: !

Si , entonces la curva es abierta hacia la izquierda.: !

La ecuación general de la parábola es À

ó EB FC GBH œ ! EBFC GC H œ !# #

VIRG

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71

Ejemplo À

Determine vértice, foco, directriz, longitud del lado recto, eje de la parábola y gráfico en

+Ñ B %B %C "# œ ! Ê B %B œ %C "## #a b Ê B %B œ %C "#a b# % %

Ê B # œ % C # Ê %: œ %a b a b#

Ê : œ "

Vértice À Z Ð #ß #Ñ

Foco À J Ð #ß $Ñ

Directriz À H À C œ "

Eje de simetría À B œ #

Long. l. recto À %

VIRG

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72

,Ñ C %B 'C "$ œ ! Ê C 'C œ %B "$# #a b Ê C 'C œ %B "$a b# * *

Ê C $ œ % B " Ê %: œ %a b a b#

Ê : œ "

Vértice À Z Ð"ß $Ñ

Foco À J Ð#ß $Ñ

Directriz À H À B œ !

Eje de simetría À C œ $

Long. l. recto À %

-Ñ C )B %C "# œ !#

.Ñ B #B )C * œ !#

VIRG

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MEZ


73


1) Hallar el vértice, foco, directriz, longitud del lado recto y gráfico de:

a) C "'B œ !#

b) #C $B œ !#

c) &B %C œ !#

2) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos y Ð$ß $Ñ Ð$ß "Ñrespectivamente. Hallar además la ecuación de su directriz y la longitud del lado recto.

3) Hallar la ecuación de la parábola de foco en el punto y directriz la recta Ð'ß #Ñ B œ #Þ

4) Dada la parábola de ecuación hallar las coordenadas del vértice, del focoC )C 'B % œ !ß#

y la ecuación de la directriz.

5) Determinar la ecuación de la parabola con vértice en el punto y directriz Ð$ß !Ñ B œ "

6) Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje como eje de simetría y queCcontenga al punto Ð$ß ")Ñ

7) Determinar la ecuación de la parábola con vértice en eje de simetría paralelo al eje ,Ð$ß &Ñß Ccontiene al punto Ð&ß (Ñ

8) Hallar la ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo al eje X, que contiene los puntos

Ð!ß "Ñß Ð$ß #Ñß Ð"ß $Ñ

9) Si el lado recto de una parábola es el segmento que une con , determinar la ecuaciónÐ#ß %Ñ Ð'ß %Ñrespectiva si la parábola pasa por el punto Ð)ß "Ñ

10) Si una parábola pasa por los puntos y , con eje de simetría vertical y vértice sobre laÐ"ß "!Ñ Ð#ß %Ñrecta , determinar su ecuación.%B $C œ '

VIRG

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74

Solución:

1) a) Vértice: Z Ð!ß !Ñ

Foco: JÐ %ß !Ñ

Directriz: B œ %

Long lado recto: ¸ ¸%: œ "'

b) Vértice: Z Ð!ß !Ñ

Foco: 0, 1

6JŠ ‹

Directriz: C œ "

'

Long lado recto: ¸ ¸%: œ#

$

VIRG

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75

c) Vértice: Z Ð!ß !Ñ

Foco: J !ß "

&Œ

Directriz: C œ"

&

Long lado recto: ¸ ¸%: œ%

&

VIRG

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76

2) Ecuación: B 'B )C "& œ !#

Directriz: C œ &

Long lado recto: ¸ ¸%: œ )

3) Ecuación: C %C )B $' œ !#

4) Vértice: Z Ð #ß %Ñ

Foco: J ß %"

#Œ

Directriz: B œ (

#

5) C œ )ÐB $Ñ#

6) B œ C"

##

7) ÐB $Ñ œ #ÐC &Ñ$

8) ÐC Ñ œ ÐB Ñ#" # "#"

"! & %!#

9) ÐB %Ñ œ %ÐC &Ñ#

10) ÐB $Ñ œ ÐC #Ñ"

##

ÐB Ñ œ ÐC Ñ#" " #

"$ #' "$#

VIRG

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77

Elipse

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es

constante. Los puntos fijos de llaman y la distancia constante se designa por focos #+

Sean y los focos, la distancia constante y un punto de la elipse,J Ð-ß !Ñ J Ð -ß !Ñ #+ T ÐBß CÑ" #

entonces À

.ÐT ß J Ñ .ÐT ß J Ñ œ #+" #

È ÈÐB -Ñ C ÐB -Ñ C œ #+# # # #

peroÐ+ - ÑB + C œ + Ð+ - Ñ ß + œ , -# # # # # # # # # # #

así , B + C œ + ,# # # # # #

es la B C

+ , œ "

# #

# #ecuación canónica de la elipse

Si entonces C œ !ß œ " Ê B œ + Ê B œ „ +B

+

#

## #

Si entonces B œ !ß œ " Ê C œ , Ê C œ „ ,C

,

#

## #

Los puntos y se denominan y los puntos yZ Ð+ß !Ñ Z Ð +ß !Ñ F Ð!ß ,Ñ" # "vértices del eje mayor

F Ð!ß ,Ñ J J# " # se llaman Los focos y quedan siempre ubicados sobre el ejevértices del eje menor.

mayor.

VIRG

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78

La longitud del eje mayor es , la longitud del eje menor es y la longitud del eje focal es .#+ #, #-

La razón se denomina excentricidad y señala el grado de mayor o menor alargamiento de/ œ-

+la elipse.

Como , entonces + - ! / "

Si los focos de la elipse son y y la distancia constante es , entonces suJ Ð!ß -Ñ J Ð!ß -Ñ #+" #

ecuación es:

B C

, + œ "

# #

# #

Centro : GÐ!ß !Ñ

Vértices eje mayor : Z Ð!ß +Ñ à Z Ð!ß +Ñ" #

Vértices eje menor : ;F Ð,ß !Ñ F Ð ,ß !Ñ" #

Focos :J Ð!ß -Ñ à J Ð!ß -Ñ" #

Excentricidad : / œ-

+

VIRG

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79

Ejemplo À

Determine centro, vértices del eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de À

+Ñ *B "'C œ "%%# #

*B "'C œ "%% Î À "%%# #

* "'

"%% "%%B C œ "# #

B C

"' * œ " Ê + œ "' Ê + œ „ %

# ##

Ê , œ * Ê , œ „ $#

Ê - œ ( Ê - œ „ (# È

Centro : GÐ!ß !Ñ

Vértices eje mayor : Z Ð%ß !Ñ à Z Ð %ß !Ñ" #

Vértices eje menor : ;F Ð!ß $Ñ F Ð!ß $Ñ" #

Focos :J Ð (ß !Ñ à J Ð (ß !Ñ" #È È

Excentricidad : / œ(

%

È

VIRG

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80

,Ñ #&B %C œ "!!# #

#&B %C œ "!! Î À "!!# #

#& %

"!! "!!B C œ "# #

B C

% #& œ " Ê + œ #& Ê + œ „ &

# ##

Ê , œ % Ê , œ „ ##

Ê - œ #" Ê - œ „ #"# È

Centro : GÐ!ß !Ñ

Vértices eje mayor : Z Ð!ß &Ñ à Z Ð!ß &Ñ" #

Vértices eje menor : ;F Ð#ß !Ñ F Ð #ß !Ñ" #

Focos :J Ð!ß #"Ñ à J Ð!ß #"Ñ" #È È

Excentricidad : / œ#"

&

È

VIRG

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81

-Ñ *B %C œ $'# #

.Ñ *B #&C œ ##&# #

Si es el centro de la elipse y el eje focal es paralelo al eje X, entonces la ecuaciónGÐ2ß 5Ñreducida es À

ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ

+ , œ "

# #

# #

Centro : GÐ2ß 5Ñ

Vértices eje mayor : ; Z Ð2 +ß 5Ñ Z Ð2 +ß 5Ñ" #

Vértices eje menor : ; F Ð2ß 5 ,Ñ F Ð2ß 5 ,Ñ" #

Focos : J Ð2 -ß 5Ñ à J Ð2 -ß 5Ñ" #


+

VIRG

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MEZ


82

Si es el centro de la elipse y el eje focal es paralelo al eje Y, entonces la ecuaciónGÐ2ß 5Ñreducida es À

ÐB 2Ñ ÐC 5Ñ

, + œ "

# #

# #

Centro : GÐ2ß 5Ñ

Vértices eje mayor : Z Ð2ß 5 +Ñ à Z Ð2ß 5 +Ñ" #

Vértices eje menor : ; F Ð2 ,ß 5Ñ F Ð2 ,ß 5Ñ" #

Focos : J Ð2ß 5 -Ñ à J Ð2ß 5 -Ñ" #


+

La forma general de la ecuación de la elipse es À

con EB FC GB HC J œ ! E Á F# #

VIRG

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83

Ejemplo À

Determine centro, vértices del eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de À

+Ñ *B #&C ")B "&!C * œ !# #

*B #&C ")B "&!C * œ !# #

a b a b*B ")B #&C "&!C œ *# #

* B #B #& C 'C œ *a b a b# #

* B #B #& C 'C œ *a b a b# #" * * ##&

* B #B " #& C 'C * œ ##&a b a b# #

* B " #& C $ œ ##& Î À ##&a b a b# #

* #&

##& ##&B " C $ œ "a b# #a b

a b a bB " C $

#& * œ " Ê + œ #& Ê + œ „ &

# ##

Ê , œ * Ê , œ „ $#

Ê - œ "' Ê - œ „ %#

Centro : GÐ"ß $Ñ

Vértices eje mayor : ; Z Ð'ß $Ñ Z Ð %ß $Ñ" #

Vértices eje menor : ; F Ð"ß !Ñ F Ð"ß 'Ñ" #

Focos : J Ð&ß $Ñ à J Ð $ß $Ñ" #

Excentricidad : / œ%

&

VIRG

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84

,Ñ #&B "'C "!!B $#C #)% œ !# #

#&B "'C "!!B $#C #)% œ !# #

a b a b#&B "!!B "'C $#C œ #)%# #

#& B %B "' C #C œ #)%a b a b# #

#& B %B "' C #C œ #)%a b a b# #% " "!! "'

#& B %B % "' C #C " œ %!!a b a b# #

#& B # "' C " œ %!! Î À %!!a b a b# #

#& "'

%!! %!!B # C " œ "a b# #a b

a b a bB # C "

"' #& œ " Ê + œ #& Ê + œ „ &

# ##

Ê , œ "' Ê , œ „ %#

Ê - œ * Ê - œ „ $#

Centro : GÐ #ß "Ñ

Vértices eje mayor : ; Z Ð #ß %Ñ Z Ð #ß 'Ñ" #

Vértices eje menor : ; F Ð#ß "Ñ F Ð 'ß "Ñ" #

Focos : J Ð #ß #Ñ à J Ð #ß %Ñ" #

Excentricidad : / œ$

&

VIRG

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85

-Ñ "!!B $'C %!!B (#C $"'% œ !# #

.Ñ B %C 'B "'C œ *# #


1) Determine centro, vértices eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de la elipse

%B $'C œ "%%# #

2) Determine en cada caso centro, vértices eje mayor y menor, focos, excentricidad y gráfico de la

elipse:

a) #&B *C "!!B &%C %% œ !# #

b) %B *C )B $'C % œ !# #

3) Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos , y cuyos focosÐ%ß !Ñ à Ð %ß !Ñson los puntos y .Ð$ß !Ñ Ð $ß !Ñ

4) En cada caso determine la ecuación de la elipse centrada el el origen sabiendo que:

a) Un foco es el punto y el vértice el punto Ð"#ß !Ñ Ð"$ß !Ñ

b) Un foco es y un vértice es Ð %ß !Ñ Ð!ß &Ñ

c) Un foco es y la excentricidad es Ð!ß $Ñ$

%

d) Un foco es y el semieje mayor es de longitud Ð!ß &Ñ "$

e) Contiene los puntos y y el eje mayor está en el eje YÐ"ß # $ Ñ ß "&"

#È ÈŠ ‹

5) Determine la ecuación de la elipse si:

a) Tiene centro en el punto foco en y contiene el puntoÐ#ß %Ñß Ð(ß %Ñ Ð&ß )Ñ

b) Tiene vértice en , centro en y excentricidad Ð'ß "Ñ Ð!ß "Ñ#

$

c) Contiene al punto y foco en Š ‹ Š ‹% %

& $ß " = !ß

d) Focos en y el semieje menor es de longitud 12.Ð!ß *Ñ

VIRG

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86

Solución:

1) Centro: GÐ!ß !Ñ

Vértices eje mayor: Z Ð'ß !Ñ à Z Ð 'ß !Ñ" #

Vértices eje menor: F Ð!ß #Ñ à F Ð!ß #Ñ" #

Focos: J Ð $# ß !Ñà J Ð $# ß !Ñ1È È

#

Excentricidad: / œ ##

$È

2) a)

Centro: GÐ #ß $Ñ

Vértices eje mayor: Z Ð #ß )Ñ à Z Ð #ß #Ñ" #

Vértices eje menor: F Ð"ß $Ñ à F Ð &ß $Ñ" #

Focos: J Ð #ß (Ñ à J Ð #ß "Ñ1 #

Excentricidad: / œ%

&

VIRG

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87

2) b)

Centro: GÐ "ß #Ñ

Vértices eje mayor: Z Ð% ß #Ñ à Z Ð #ß #Ñ" #

Vértices eje menor: F Ð"ß !Ñ à F Ð"ß %Ñ" #

Focos: J Ð" & ß #Ñ à J Ð" & ß #Ñ1È È

#

Excentricidad: / œ&

$

È

VIRG

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88

3) Ecuación: (B "'C œ ""## #

4) a) Ecuación: #&B "'*C œ %##&# #

b) Ecuación: #&B %"C œ "!#&# #

c) Ecuación: "'B (C œ ""## #

d) Ecuación: B C

"%% "'* œ "

# #

e) Ecuación: B C

% "' œ "

# #

5) a) Ecuación: ÐB #Ñ ÐC %Ñ

%& #! œ "

# #

b) Ecuación: B ÐC "Ñ

$' #! œ "

# #

c) Ecuación: B œ "* C

#&#

#

d) Ecuación: B C

"%% ##& œ "

# #

VIRG

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89

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es

constante. Los puntos fijos se denominan y la diferencia constante se designa por focos #+

Si y son los focos, es la diferencia constante y un puntoJ Ð-ß !Ñ J Ð -ß !Ñ #+ T ÐBß CÑ" #

cualquiera, entonces À

¸ ¸.Ð:ß J Ñ .ÐT ß J Ñ œ #+" #

¸ ¸È ÈÐB -Ñ C ÐB -Ñ C œ #+# # # #

resolviendo y ordenando se obtiene , pero en la hipérbolaÐ+ - ÑB + C œ + Ð+ - Ñ# # # # # # # #

+ , œ - Ê + - œ ,# # # # # #, luego

, B + C œ + , ÎÐ "Ñ# # # # # #

, B + C œ + , Î À + ,# # # # # # # #

B C

+ , œ "

# #

# # que es la .ecuación canónica de la hipérbola

VIRG

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90

Si entonces C œ !ß œ " Ê B œ + Ê B œ „ +B

+

#

## #

Si entonces No existe intersección con los ejesB œ !ß œ " Ê C œ , ÊC

,

#

## #

Los puntos y se denominan y los puntosZ Ð+ß !Ñ Z Ð +ß !Ñ" # vértices del eje real

F Ð!ß ,Ñ F Ð!ß ,Ñ J J" # " #y se llaman Los focos y quedan siempre ubicadosvértices del eje imaginario.

sobre el eje real.

La longitud del eje real es , la longitud del eje imaginario es y la longitud del eje focal es .#+ #, #-

La excentricidad en la hipérbola indica la abertura del ángulo determinado por lasŒ / œ-

+asíntotas y en cuyo interior se encuentra la hipérbola.

Como , entonces+ - / " Las asíntotas se obtienen haciendo igual a cero la ecuación de la hipérbola

B C

+ , œ !

# #

# #

Œ Œ B C B C

+ , + , œ !

B C B C

+ , + , œ ! ” œ !

C œ B ” C œ B, ,

+ +

Si los focos de la hipérbola son y y la diferencia común es , entonces suJ Ð!ß -Ñ J Ð!ß -Ñ #+" #

ecuación es À

C B

+ , œ "

# #

# #

Vértices eje real : Z Ð!ß +Ñ à Z Ð!ß +Ñ" #

Vértices eje imaginario: ;F Ð,ß !Ñ F Ð ,ß !Ñ" #

Focos :J Ð!ß -Ñ à J Ð!ß -Ñ" #


+

Asíntotas : C œ B à C œ B+ +

, ,

VIRG

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91

La forma general de la ecuación de la hipérbola es À

, con EB FC G œ ! E œ Fß E F ” E F# #

o bien;

, con EB FC G œ ! E œ Fß E F ” E F# #

Ejemplo À

Determine coordenadas de los eje real e imaginario, focos, excentricidad, asíntotas y gráfico de À

+Ñ "'B *C œ "%%# #

"'B *C œ "%% Î À "%%# #

"' *

"%% "%%B C œ "# #

B C

* "' œ " Ê + œ * Ê + „ $

# ##

Ê , œ "' Ê , „ %#

Ê - œ #& Ê - „ &#

VIRG

INIO

GO

MEZ


92

Vértices eje real : Z Ð$ß !Ñ à Z Ð $ß !Ñ" #

Vértices eje imaginario : ;F Ð!ß %Ñ F Ð!ß %Ñ" #

Focos :J Ð&ß !Ñ à J Ð &ß !Ñ" #

Excentricidad : / œ&

$

Asíntotas : C œ B à C œ B% %

$ $

,Ñ C B œ "# #

-Ñ %B #&C œ "!!# #

VIRG

INIO

GO

MEZ


93


1) Determinar vértices eje real e imaginario, focos, excentricidad, asíntotas y gráfico de:

a) B C

"' % œ "

# #

b)C B

% * œ "

# #

2) Obtener la ecuación de la hipérbola si un vértice está en y un foco en Ð!ß %Ñ Ð!ß &Ñ

3) Determine la ecuación de la hipérbola centrada en el origen si À

a) Un foco esta en la longitud del eje imaginario es 6.Ð)ß !Ñ

b) Eje de simetria el eje X y contiene los puntos y Ð'ß %Ñ Ð $ß "Ñ

c) Vértice en y una asíntota es Ð$ß !Ñ C œ B#

$

d) Sus asíntotas son y contiene al punto C œ „ #B Ð"ß #ÑÈ e) Un vértice está en el punto y un foco en el puntoÐ$ß !Ñ Ð%ß !Ñ

f) El eje real está en el eje , longitud del eje real y longitud del eje imaginario \ "% "!

g) El eje real está en el eje , longitud del eje real y distancia de los focos desde el centro \ ") "!

h) El eje imaginario está en el eje , longitud del eje imaginario y distancia de los focos desde\ "%

el centro È#!!

4) Determinar si la hipérbola de ecuación intersecta a la recta:B œ "C

%#

#

a) C œ B b) .C œ $B

Si es así, encuentre en cada caso las coordenadas de todos los puntos de intersección.

5) ¿Para qué valores de la recta con ecuación intersecta la hipérbola ?7 C œ 7B œ "B C

"' *

# #

6) ¿Cuántas hipérbolas tienen su centro en y su foco en ?. Encuentre sus ecuaciones.Ð!ß !Ñ Ð"ß !Ñ

VIRG

INIO

GO

MEZ


94

Solución:

1) a) Vértices eje real : Z Ð%ß !Ñ à Z Ð %ß !Ñ" #

Vértices eje imaginario : F Ð!ß #Ñ à F Ð!ß #Ñ" #

Focos : J Ð #! ß !Ñ à J Ð #! ß !Ñ1È È

#

Excentricidad : / œ #!"

%È

Asíntotas : C œ B à C œ B" "

# #

b) Vértices eje real : Z Ð!ß #Ñ à Z Ð!ß #Ñ" #

Vértices eje imaginario : F Ð$ß !Ñ à F Ð $ß !Ñ" #

Focos : J Ð!ß "$ Ñ à J Ð!ß "$ Ñ1È È

#

Excentricidad : / œ "$"

#È

Asíntotas : C œ B à C œ B# #

$ $

VIRG

INIO

GO

MEZ


95

2) Ecuación: C B

"' * œ "

# #

3) a) Ecuación: B C

&& * œ "

# #

b) Ecuación: &B C

$' % œ "

# #

c) Ecuación: B C

* % œ "

# #

d) Ecuación: C

# B œ "

##

e) Ecuación: B C

* ( œ "

# #

f) Ecuación: B C

%* #& œ "

# #

g) Ecuación: B C

)" %! œ "

# #

h) Ecuación: C B

"&" %* œ "

# #

VIRG

INIO

GO

MEZ


96

4) a) La intersecta en los puntos y Š ‹ Š ‹Ê Ê Ê Ê% % % %

$ $ $ $ß ß

b) No la intersecta.

5) Para los valores que cumplen la desigualdad , es decir, 7 7 $ $ $

% % %¸ ¸

6) Un número infinito de hipérbolas de ecuación a

B C œ "" +

# #

# #

VIRG

INIO

GO

MEZ


97

VIRG

INIO

GO

MEZ


98

Límites

Concepto de límite de una función

Sea la función real Se estudiará qué sucede en las proximidades de 2.0ÐBÑ œ $B "Þ La gráfica de es la siguiente0ÐBÑ œ $B " À

Observar la siguiente tabla À

?

B "ß * "ß ** "ß *** # #ß !!" #ß !" #ß "0 B %ß ( %ß *( %ß **( &ß !!$ &ß !$ &ß $a b

De la tabla se deduce lo siguiente cuando se acerca a 2 por la izquierda, se acerca a 5 yÀ B 0 Ba bcuando se acerca a 2 por la derecha, también se acerca a 5. Es decirB 0 B Àa b 1) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una décima, entoncesB "ß * B #ß " ß0 B %ß ( 0 B &ß $a b a b se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres décimas,

2) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una centésima, B "ß ** B #ß !" ßentonces se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres centésimas, 0 B %ß *( 0 B &ß !$a b a b 3) Si se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha en una milésima, B "ß *** B #ß !!" ßentonces se aproxima a 5 por la izquierda y por la derecha en tres milésimas, 0 B %ß ( 0 B &ß $a b a b Esto indica que la gráfica de queda comprendida en un rectángulo. Por ejemplo, si0 Ba bconsideramos 1 el rectángulo tiene por lados a b B œ "ß *à B œ #ß "à C œ %ß (à C œ &ß $

VIRG

INIO

GO

MEZ


99

Esto significa que si entonces y si entoncesB È # ß 0 B œ $B " È & B È # ß a b +

0 B œ $B " È &a b De esta situación se puede concluir lo siguiente À

lim limB Ä # B Ä #

0 B œ $B " œ &a b

Concepto de límite

Se dice que una función tiende al límite L L cuando tiende al valor C œ 0 B 0 B È B +a b a ba ba b a b a bˆ ‰¸ ¸B È + 0 B 0 B si el valor absoluto de la diferencia L L puede ser tan pequeño como se

quiera siempre que el valor de esté en las proximidades de " ". Esto es válido aún cuando no estéB + Bdefinida en .B œ +

Simbólicamente, LlimB Ä +

0 B œa b Esto significa que para un valor pequeño positivo arbitrario La b a b¸% ! 0 B ¸ ¸ ¸a b ! B + Þ% $ % $es posible determinar otro valor pequeño positivo que depende de tal que Así

aB + B + 0 B , se cumple que L L$ $ % %a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


100

Teoremas sobre límites

Teorema1 À

Si L y L , entonces L Llim limB Ä + B Ä +

0 B œ 0 B œ œa b a b" # " #

Teorema # À

Si , entonces 0 B œ - 0 B œ - œ - aB −B Ä + B Ä +

a b a blim lim ‘

Teorema $ À

Si , entonces 0 B œ B 0 B œ B œ + aB −B Ä + B Ä +

a b a blim lim ‘

Teorema % À

Si , entonces 0 B œ 1 B 0 B œ 1 BB Ä + B Ä +

a b a b a b a blim lim

Teorema & À

Si y son funciones tales que y ,0 B 1 B 0 B œ P 1 B œ PB Ä + B Ä +

a b a b a b a blim lim" #

entonces:

a) lim lim limB Ä + B Ä + B Ä +

Ò 0 B „ 1 B Ó œ 0 B „ 1 B œ P „ Pa b a b a b a b " #

VIRG

INIO

GO

MEZ


101

b) lim lim limB Ä + B Ä + B Ä +

0 B † 1 B œ 0 B † 1 B œ P † Pa b a b a b a b " #

c) con limlim

limB Ä +

0 B P

1 B 1 B Pœ œ 1 B Á ! • P Á !

0 Ba ba b a ba b a bBÄ+

BÄ+

"

##

d) Si , y par, entonces lim lim limB Ä B Ä + B Ä ++

0 B œ P P ! 8 0 B œ 0 B8 8a b a b a bÈ É œ P8È Teorema ) À

Si , entonces 0 B œ 7B , 0 B œ 7B , œ 7+ ,B Ä + B Ä +

a b a blim lim

Ejemplos À

"Ñ œB Ä *

lim 1 1

#Ñ $B " œ $ # " œ &B Ä #

lim a b

$Ñ B B # œ " " # œ #B Ä "

lim # #a b a b

%Ñ œB È "

B " !

B " !lim Para levantar la indeterminación se debe factorizar

#

lim limB Ä " B Ä "

B " B "

B "œ B "

a ba b œ " "a b œ #

Por lo tanto, limB È "

B "

B "œ #

#

&Ñ œB Ä #

B # !

B ) !lim

$ Para levantar la indeterminación se debe factorizar


B # " " "

B # B #B % B #B % # # # % "#œ œ œa ba b a b# # #

Por lo tanto, limB È #

B # "

B ) "#œ

$

VIRG

INIO

GO

MEZ


102

'Ñ œB Ä $

B #B "& !

B * !lim

#

# Para levantar la indeterminación se debe factorizar

lim limB Ä $ B Ä $

B & B $ B &

B $ B $ B $œ

a ba ba ba b

œ $ &

$ $

œ )

'

œ%

$

Por lo tanto, limB Ä $

B #B "& %

B * $œ

#

#

(Ñ œB Ä #

B *B "% !

B 'B "' !lim

#

# Para levantar la indeterminación se debe factorizar


B # B ( B (

B ) B # B )œ

a ba ba ba b

œ # (

# )

œ&

"!

œ "

#

Por lo tanto, limB Ä #

B *B "% "

B 'B "' #œ

#

#

)Ñ œB Ä $

B * !

B #( !lim

#



B $ B $ B $ ' ' #

B $ B $B * B $B * $ $ $ * #( *œ œ œ œ

a ba ba ba b a b# # #


B * #

B #( *œ

#

$

VIRG

INIO

GO

MEZ


103

*Ñ œB Ä #

B "' !

B ) !lim

%



B % B % B # B # B %

B # B #B % B # B #B %œ

a ba b a ba ba ba ba b a ba b# # #

# #

œ œ œB Ä #

B # B % % ) )

B #B % "# $lim

a ba b a ba b#

#

Por lo tanto, limB Ä #

B "' )

B ) $œ

%

$

"!Ñ œB Ä #

B # !

B # !lim È È Para levantar la indeterminación se debe racionalizar


B #

B # B #† œ

B # B # B #

B #È ÈÈ ÈÈ È a bŠ ‹È È

œ B #B Ä #

lim È È œ # #ÈPor lo tanto, lim

B Ä #

B #

B #œ # #È È È

""Ñ œB Ä !

$ B $ !

B !lim

È ÈPara levantar la indeterminación se debe racionalizar

lim limB Ä ! B Ä !

$ B $ $ B $ $ B $

B† œ

$ B $ B $ B $

È ÈÈ ÈÈ È Š ‹È È

œB Ä !

B

B $ B $lim Š ‹È È

œB Ä !

"

$ B $lim Š ‹È È

œ"

# $ÈPor lo tanto, lim

B Ä !

$ B $ "

Bœ

# $

È ÈÈ

VIRG

INIO

GO

MEZ


104

"#Ñ œB Ä $

B $ !

B ( % !lim È #

Para levantar la indeterminación se debe racionalizar


B $ B ( %

B ( % B ( %† œ

B $ B ( %

B ( "'È ÈÈ a bŠ ‹È

# #

##

#

œB Ä $

B $ B ( %

B $ B $lim

a bŠ ‹Èa ba b

#

œB Ä $

B ( %

B $lim

Èa b#

œ)

'

œ %

$


B $ %

B ( %œ

$È #

"$Ñ œB Ä !

B " B B " !

B !lim

È È #

Para levantar la indeterminación se

debe racionalizar

œ †B Ä !

B " B B " B " B B "

B B " B B "lim

È ÈÈ ÈÈ È

# #

#

œB Ä !

B " B B "

B B " B B "lim

a bŠ ‹È È

#

#

œB Ä !

B

B B " B B "lim

#

#Š ‹È È œ

B Ä !

B

B " B B "lim È È #

œ!

#

œ !

Por lo tanto, limB Ä !

B " B B "

Bœ !

È È #

VIRG

INIO

GO

MEZ


105

"%Ñ œB Ä "

B " !

B $ # !lim È #

Para levantar la indeterminación se debe racionalizar


B " B $ #

B $ # B $ #† œ

B " B $ #

B $ %È ÈÈ a bŠ ‹È

# #

##

#

œB Ä "

B " B $ #

B " B "lim

a bŠ ‹Èa ba b

#

œ œ œ #B Ä "

B $ # %

B " #lim

Èa b#

Por lo tanto, limB Ä "

B "

B $ #œ #È #

"&Ñ œB Ä $

B #(B !

B $B !lim

# ÈÈ Para levantar la indeterminación se debe racionalizar

œ †B Ä $

B #(B B $B

B $B B $Blim

# ÈÈ È

È

œB Ä $

B #(B B $B

B $Blim

Š ‹Š ‹È È#

#

œ †B Ä $

B #(B B $B

B $B

B #(B

B #(Blim

Š ‹Š ‹È È ÈÈ

#

#

#

#

œB Ä $

B #(B B $B

B $B B #(Blim

ˆ ‰Š ‹Èa bŠ ‹È

%

# #

œB Ä $

B B #( B $B

B B $ B #(Blim

a bŠ ‹Èa bŠ ‹È

$

#

œB Ä $

B $ B $B * B $B

B $ B #(Blim

a ba bŠ ‹Èa bŠ ‹È

#

#

œ œ œ *B Ä $

B $B * B $B

B #(B

#( '

")lim

a bŠ ‹ÈŠ ‹È a ba b#

#


B #(B

B $Bœ *

# ÈÈ

VIRG

INIO

GO

MEZ


106

"'Ñ œB Ä +

B B + +

B +

!

!lim

È ÈÈ È Para levantar la indeterminación se debe racionalizar

œ †B Ä +

B B + + B B + +

B + B B + +lim

È È È ÈÈ È È È

œB Ä +

B +

B + B B + +lim

$ $

ˆ ‰ˆ ‰È È È È

œ †B Ä +

B +

B + B B + + B +

B +lim

$ $

ˆ ‰ˆ ‰È È È È È ÈÈ È

œB Ä +

B + B +

B + B B + +lim

a bˆ ‰È Èa bˆ ‰È È

$ $

œB Ä +

B + B +B + B +

B + B B + +lim

a ba bˆ ‰È Èa bˆ ‰È È

# #

œB Ä +

B +B + B +

B B + +lim

a bˆ ‰È ÈÈ È

# #

œ$+ # +

#+ +

a bˆ ‰ÈÈ

#

œ $+

Por lo tanto, limB Ä +

B B + +

B +œ $+

È ÈÈ È


Determine los siguientes límites:

1) lim limB Ä $ B Ä #

B * B #

B $'Ñ

B & $

#

#È

#Ñ (ÑB Ä %

B B #! & B &

B #B ) BB Ä ! lim lim

#

#

È È

$Ñ )ÑB Ä " B Ä !

B " B

B $B % B ( ( lim lim

$

# È È

%Ñ *ÑB Ä $ B Ä #

B %B #" B )B

B )" B #B lim lim

# #

%

ÈÈ

&Ñ "!ÑB Ä &

B & + B

B & B Ä + + B lim limÈ È È È

VIRG

INIO

GO

MEZ


107

Solución:

1) limB Ä $

B *

B $œ '

#

#Ñ œB Ä %

B B #! $

B #B ) # lim

#

#

$Ñ œ B Ä "

B " $

B $B % & lim

$

#

%Ñ œB Ä $

B %B #" &

B )" &% lim

#

%

&Ñ œ # &B Ä &

B &

B & lim È È È

'Ñ œB Ä #

B # $

B & $ # lim È #

(Ñ œ B Ä !

& B & "

B # & lim

È ÈÈ

)Ñ œ # (B Ä !

B

B ( ( lim È È È

*Ñ œ 'B Ä #

B )B

B #B lim

# ÈÈ

"!Ñ œ # +B Ä +

+ B

+ B lim È È È

VIRG

INIO

GO

MEZ


108

Límites laterales

Existen funciones definidas por tramos donde es importante obtener límites laterales.

indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" pora) Límite lateral derecho Ànúmeros mayores o iguales a él.

Si , entonces B + ” B + B È +

indica que nos estamos aproximando a un cierto valor "a" porb) Límite lateral izquierdo Ànúmeros menores o iguales a él.

Si , entonces B + ” B Ÿ + B È +

VIRG

INIO

GO

MEZ


109

Así, existe:

VIRG

INIO

GO

MEZ


110

Determine si y si b 0 B b 0 BB Ä " B Ä $

lim lima b a b


0 B œ B B œ !

#a b


0 B œ B " œ !

a blim lim lim

B Ä " B Ä "0 B œ 0 B ß 0 B œ !

B Ä "

a b a b a b luego existe


0 B œ B " œ #

a b


0 B œ %B "! œ #

a blim lim lim

B Ä $ B Ä $0 B œ 0 B ß 0 B œ #

B Ä $


# 0 B œ Þ b 0 BB B #' B œ #$B # B # B Ä #

) Dada la función Determine si a b a bÚÛÜ lim


0 B œ B œ #

a b


0 B œ $B # œ %

a b

lim lim limB Ä # B Ä #

0 B Á 0 B ß 0 BB Ä #

a b a b a b luego no existe

$Ñ 0 B œ b 0 BB #( # B Ÿ "

B %B #& " B Ÿ $ B Ä Dada la función .Determine si

1a b a bœ $

# lim


0 B œ B #( #)

$a b =


0 B œ B %B #& œ #)

#a blim lim lim

B Ä " B Ä "0 B œ 0 B ß 0 B œ #)

B Ä "


VIRG

INIO

GO

MEZ


111

%Ñ 0 B œ

& #B B " B Ÿ #

B " # B $

B $B '

%$ Ÿ B "#

Dada la función a bÚÝÝÛÝÝÜ

È#

$

Determine si y si b 0 B b 0 BB Ä # B Ä $

lim lima b a b


0 B œ & #B B œ $

a b È


0 B œ B " œ $

#a b


0 B œ 0 B ß 0 B œ $B Ä #



0 B œ B " œ )

#a b


0 B œ œ 'B $B '

%

$a b

lim lim limB Ä $ B Ä $

0 B Á 0 B ß 0 BB Ä $

a b a b a b luego no existe

VIRG

INIO

GO

MEZ


112


1) Dada la función ¿ ?0 B œ b 0 B# $B B %

B ) B % B Ä %a b a b

ÚÛÜ lim

2) Dada la función ¿ ?0 B œ b 0 BB " B $

B " B $ B Ä $a b a b

ÚÛÜ

Èlim

3) Dada la función 0 B œ#B B "( B œ "B " B "

a bÚÛÜ

Determine si b 0 BB Ä "

lim a b

4) Dada la función 0 B œ

#B $ " Ÿ B $

B #B $ Ÿ B Ÿ &$B " & B *

a bÚÛÜ #

Determine si b 0 BB Ä $

lim a b

5) Dada la función 0 B œ

(B # # Ÿ B &

B # & Ÿ B Ÿ )'B "% ) B "!

a bÚÛÜ #

¿ ? ¿ ?b 0 B ß b 0 BB Ä & B Ä )

lim lima b a b

6) Dada la función ¿ ?0 B œ b 0 BB &

B & B Ä &a b a b¸ ¸

lim

VIRG

INIO

GO

MEZ


113

Solución:

1) lim limB Ä % B Ä %

0 B œ B ) œ %

a b lim lim

B Ä % B Ä %0 B œ # $B œ "!

a b

luego no existe 4

¾ lim lim limB Ä % B Ä

0 B Á 0 B ß 0 BB Ä %

a b a b a b

2) lim limB Ä $ B Ä $

0 B œ B " œ #

a b lim lim

B Ä $ B Ä $0 B œ B " œ #

a b È

luego existe ¾ lim lim limB Ä $ B Ä $

0 B œ 0 B ß 0 B œ #B Ä $

a b a b a b

3 Ñ 0 B œ #B œ #B Ä " B Ä "

lim lim

a b lim lim

B Ä " B Ä "0 B œ B " œ #

a b

luego existe ¾ lim lim limB Ä " B Ä "

0 B œ 0 B ß 0 B œ #B Ä "

a b a b a b

4) 3 3

lim limB Ä B Ä

0 B œ #B $ œ $

a b

3 3lim lim

B Ä B Ä0 B œ B #B œ $

#a b

luego existe 3 33

¾ lim lim limB Ä B Ä

0 B œ 0 B ß 0 B œ $B Ä

a b a b a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


114

5) Para B œ &

lim limB Ä & B Ä &

0 B œ (B # œ $$

a b lim lim

B Ä & B Ä &0 B œ B # œ #$

#a b

luego no existe 3

¾ lim lim limB Ä &

0 B Á 0 B ß 0 BB Ä & B Ä

a b a b a b

Para B œ )

lim limB Ä ) B Ä )

0 B œ B # œ '#

#a b lim lim

B Ä ) B Ä )0 B œ 'B "% œ '#

a b

luego existe ¾ lim lim limB Ä ) B Ä )

0 B œ 0 B ß 0 B œ '#B Ä )

a b a b a b

6 Ñ 0 B œ " œ "B Ä & B Ä &

lim lim

a b lim lim

B Ä & B Ä &0 B œ " œ "

a b

luego no existe ¾ lim lim limB Ä & B Ä &

0 B Á 0 B ß 0 BB Ä &

a b a b a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


115

Límites infinitos

Sea 0 B œ#

B "a b

Observe la siguiente tabla À

?

B !ß * !ß ** !ß *** " "ß !!" "ß !" "ß "0 B #! #!! #Þ!!! #Þ!!! #!! #!a b

De la tabla se puede concluir que À Si , entonces decrece y si , entonces crece por lo tanto no existeB È " 0 B B È " 0 B ß a b a blim

B Ä "0 Ba b

Cuando sucede que crece o decrece indefinidamente, entonces hablamos de 0 B 0 Ba b a b límites

infinitos. Graficamente:

Concepto À

1) Si entonces M tal que M siempre quelimB Ä +

0 B œ _ß a ! b ! 0 B a b a b$

! B + ¸ ¸ $

2) Si entonces N tal que N siempre quelimB Ä +

0 B œ _ß a ! b ! 0 B a b a b$

! B + ¸ ¸ $

Entonces para el ejemplo:

y lim limB Ä "

0 B œ _ 0 B œ _B Ä "

a b a b

VIRG

INIO

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MEZ


116

Ejemplos À Analizar

+ÑB Ä $

#

B $lim

limB Ä $

#

B $œ _

limB Ä $

#

B $œ _

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo $ 0 B $ß 0 Ba b a btanto, no existe lim

B Ä $

#

B $

,ÑB Ä # B #

$lim a b#

limB Ä # B #

$œ _

#a blim

B Ä #

$

B #œ _

#a bLuego a la izquierda y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe #ß 0 Ba b limB Ä #

0 Ba b

-ÑB Ä %

"

B %lim a b#

limB Ä %

"

B %œ _

#a blim

B Ä %

"

B %œ _

#a bLuego a la izquierda y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe %ß 0 Ba b

limB Ä %

"

B %a b#

VIRG

INIO

GO

MEZ


117


Analizar los siguientes límites:

1 ÑB Ä %

$

% Blim

2) limB Ä #

&

ÐB #Ñ#

3) limB Ä $

B "

B $

4) limB Ä $

$ B

' #B

5) limB Ä "

$B

B "

6) limB Ä &

$ B

Ð& BÑ#

7) limB Ä %

#B "

B %

8) limB Ä !

"

B

VIRG

INIO

GO

MEZ


118

Solución:

"Ñ œ _ à œ _B Ä %

$ $

% B % BB Ä % lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe% 0 B %ß 0 Ba b a blim

B Ä %

$

% B

#Ñ œ _ à œ _B Ä #

& &

ÐB #Ñ ÐB #ÑB Ä # lim lim

# #

Luego a la izquierda y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe #ß 0 Ba b

limB Ä #

&

ÐB #Ñ#

$Ñ œ _ à œ _B Ä $

B " B "

B $ B $B Ä $ lim lim

Luego a la izquierda de , decrece y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe$ 0 B $ß 0 Ba b a b lim

B Ä $

B "

B $

%Ñ œ _ à œ _B Ä $

$ B $ B

' #B ' #BB Ä $ lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no existe$ 0 B $ß 0 Ba b a b lim

B Ä $

$ B

' #B

5 Ñ œ _ à œ _B Ä "

$B $B

B " B "B Ä "lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no " 0 B "ß 0 Ba b a bexiste lim

B Ä "

$B

B "

VIRG

INIO

GO

MEZ


119

6 Ñ œ _ à œ _B Ä &

$ B $ B

Ð& BÑ Ð& BÑB Ä &lim lim

# #

Luego a la izquierda y a la derecha de , decrece. Por lo tanto, no existe& 0 Ba b lim

B Ä &

$ B

Ð& BÑ#

7 Ñ œ _ à œ _B Ä %

#B " #B "

B % B %B Ä %lim lim

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. Por lo tanto, no % 0 B %ß 0 Ba b a bexiste lim

B Ä %

#B "

B %

8 Ñ œ _ à œ _B Ä !

" "

B BB Ä !lim lim

Luego a la izquierda de , decrece y a la derecha de crece. Por lo tanto, no existe! 0 B !ß 0 Ba b a b

limB Ä !

"

B

VIRG

INIO

GO

MEZ


120

Límites al infinito

Conceptos À

a) Si , entonces tal que siempre quelimB Ä _

0 B œ P a ! b Q ! 0 B P a b a b¸ ¸% %

B Q

b) Si , entonces tal que siempre quelimB Ä _

0 B œ P a ! b R ! 0 B P a b a b¸ ¸% %

B R

Teorema À

1) Si , es racional y es un número cualquiera, entonces< ! < -

limB Ä _

0 B œ œ !-

Ba b

<

2) Si , es racional y es un número cualquiera, entonces< ! < -

limB Ä _

0 B œ œ !-

Ba b

<

Ejemplos À

1) lim lim limB Ä _ B Ä _ B Ä _

#B "

B $œ œ œ #

# # B " "

B B BB $ $

B B B "

Por lo tanto, limB Ä _

#B "

B $œ #

#Ñ œ œB Ä _ B Ä _ B Ä _

&B &B

B (

&B

BB ( (

B B B "

lim lim lim#

#


&B

B (œ _

#

$Ñ œ œ œB Ä _ B Ä _ B Ä _

#B " !

"!B * "!

# B " # "

B B B B

"! B *

B B"!

*

B

lim lim lim"!

""

"!

"" "" ""

""

"" "" ""


#B "

"!B *œ !

"!

""

VIRG

INIO

GO

MEZ


121


Analizar los siguientes límites:

1 ÑB Ä _

$B &

# Blim

#ÑB Ä _

(B

# $B lim

#

$ÑB Ä _

# (B

&B " lim

$

&

4) limB Ä _

( B

B "

5) limB Ä _

"!B &B $B (

#B %B

% $ #

$

6) limB Ä _

$B (B "

& %B

#

7) limB Ä _

#B "

BŠ ‹

#

8) limB Ä _

#

B &BŠ ‹

$

9 ÑB Ä _

%B $

B "lim È #

10 +

ÑB Ä _

#B "

$B Blim È #

VIRG

INIO

GO

MEZ


122

Solución:

1 Ñ œ $B Ä _

$B &

# Blim

#Ñ œ _B Ä _

(B

# $B .lim

#

$ÑB Ä _

# (B

&B " = 0lim

$

&

4) limB Ä _

( B

B "œ "

5) limB Ä _

"!B &B $B (

#B %Bœ _

% $ #

$

6) limB Ä _

$B (B "

& %Bœ _

#

7) limB Ä _

#B œ _"

BŠ ‹

#

8) limB Ä _

#

B &B œ _Š ‹

$

9 Ñ œ %B Ä _

%B $

B "lim È #

10 +

Ñ œB Ä _

#B " #

$B B $lim È È#

VIRG

INIO

GO

MEZ


123

Asíntotas

1) Vertical

es asíntota vertical de si, y sólo siB œ + C œ 0 Ba b lim lim

B Ä + B Ä +0 B œ _ ” 0 B œ _

a b a b

y

lim limB Ä + B Ä +

0 B œ _ ” 0 B œ _

a b a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


124

2) Horizontal

se dice asíntota horizontal de si, y sólo siC œ - C œ 0 Ba b c

+lim lim

B Ä _0 B œ ” 0 B œ -

B Ä _a b a b

3) Oblicua

se dice asíntota oblicua de si, y sólo siC œ 7B , C œ 0 Ba b

VIRG

INIO

GO

MEZ


125

Ejemplos À

Determinar las asíntotas de À

"Ñ 0 B œ $"

B #a b

* Asíntota vertical

B # Á ! Ê B Á #

lim limB Ä #

" "

B # B # $ œ _ • $ œ _

B Ä #

Por lo tanto, es asíntota vertical de B œ # 0 B Þa b* Asíntota horizontal

+ +

lim lim lim limB Ä _ B Ä _

" " $B '

B # B # $ œ œ œ œ $

B Ä _ B Ä _

( B (

B B B $ $

B # #

B B B "

Por lo tanto, es asíntota horizontal de C œ $ 0 B Þa b

#Ñ 0 B œB 'B "#

B %a b #

* Asíntota vertical

B % Á ! Ê B Á %

lim limB Ä %

B 'B "# B 'B "#

B % B %œ _ • œ _

B Ä %

# #

Por lo tanto, es asíntota vertical de B œ % 0 B Þa b

* Asíntota horizontal

+ +

6lim lim lim

B Ä _ B Ä _

B 'B "#

B %œ œ œ _

B B "# "#

B B B B B '

B % %

B B B " B Ä _

#

#

Por lo tanto,no existe asíntota horizontal de 0 B Þa b

VIRG

INIO

GO

MEZ


126

* Asíntota oblicua

7 œ Ê 7 œB Ä _ B Ä _

0 B

B B

B 'B "#

B % lim lim

a b#

Ê 7 œB Ä _

B 'B "#

B %Blim

#

#

Ê 7 œB Ä _

B B "#

B B B '

B B

B B %

lim

#

# # #

#

# #

Ê 7 œB Ä _

" ' "#

B B

" %

B

lim#

Ê 7 œ "

, œ 0 B 7B Ê , œ BB Ä _ B Ä _

B 'B "#

B % lim lima ba b #

Ê , œB Ä _

B 'B "# B %B

B %lim

# #

Ê , œB Ä _

"!B "#

B %lim

Ê , œB Ä _

"! B "#

B BB %

B B

lim

Ê , œB Ä _

"! "#

B

" %

B

lim

Ê , œ "!

Por lo tanto es asíntota oblicua de C œ B "! 0 Ba b

VIRG

INIO

GO

MEZ


127


Determinar las asíntotas de:

1) 0ÐBÑ œ$B

& B

2) 0ÐBÑ œB &B "

( B

#

3) 0ÐBÑ œ#B $

B

4) 0ÐBÑ œB &

B #

5) 0ÐBÑ œB $

& B

#

6) 0ÐBÑ œ# B

" B

( 0ÐBÑ œB "

B %B)

#

8) 0ÐBÑ œB $

B B '#

9) 0ÐBÑ œ%B

B "

#

10) 0ÐBÑ œ&

B 'B *#

VIRG

INIO

GO

MEZ


128

Solución:

1) Asíntota vertical: B œ & Asíntota horizontal: C œ $ Asíntota oblicua: No existe.

2) Asíntota vertical: B œ ( Asíntota horizontal: No existe.

Asíntota oblicua: C œ B #

3) Asíntota vertical: B œ ! Asíntota horizontal: C œ # Asíntota oblicua: No existe.

4) Asíntota vertical: B œ # Asíntota horizontal: C œ " Asíntota oblicua: No existe.

5) Asíntota vertical: B œ & Asíntota horizontal: No existe.

Asíntota oblicua: C œ B &

6) Asíntota vertical: B œ " Asíntota horizontal: C œ " Asíntota oblicua: No existe.

7) Asíntota vertical: B œ !ß B œ % Asíntota horizontal: C œ ! Asíntota oblicua: No existe.

8) Asíntota vertical: B œ $ß B œ # Asíntota horizontal: C œ ! Asíntota oblicua: No existe.

9) Asíntota vertical: B œ " Asíntota horizontal: No existe.

Asíntota oblicua: C œ %B %

10) Asíntota vertical: B œ $ Asíntota horizontal: C œ ! Asíntota oblicua: No existe.

VIRG

INIO

GO

MEZ


129

Continuidad

Sea una función real, entonces se dice que es continua en si, y sólo siC œ 0 B 0 B B œ + Àa b a b

Ejemplos À

Analizar la continuidad en À

"Ñ 0 B œ#B &B $

B $B Á $

% B œ $a b

ÚÛÜ

#

Solución À

Punto de análisis À B œ $

3Ñ 0 $ œ %a b#3Ñ 0 B œ

B Ä $ B Ä $

#B &B $

B $lim lima b

#

Es posible levantar la indeterminaciónœ!

!


#B &B $ #B " B $

B $ B $œ

# a ba b

œ (


#B &B $

B $œ (

#

VIRG

INIO

GO

MEZ


130

$3Ñ 0 B Á 0 $B Ä $

lim a b a b Luego es discontinua en 0 B B œ $a bEn este caso es posible redefinir la función de modo de hacerla continua

0 B œ#B &B $

B $B Á $

( B œ $a b

ÚÛÜ

#

Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad evitable

#Ñ 0 B œ

%

B "B Á "

$ B œ

a bÚÛÜ a b#

1

Solución À

Punto de análisis À B œ "

3Ñ 0 " œ $a b#3Ñ 0 B œ œ

B Ä " B Ä $ B "

% %

!lim lima b a b No es posible levantar la indeterminación

#

Por lo tanto, no existe1 1

limB Ä

%

B a b#Como no se cumple la condición de continuidad se concluye que es discontinua en a b a b#3 0 B B œ "

En este caso no es posible redefinir la función de modo de hacerla continua

Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad infinita

$Ñ 0 B œB " B Ÿ "$B " B "

a b œSolución À

Punto de análisis À B œ "

3Ñ 0 " œ " " œ #a b#3Ñ 0 B œ B " œ #

B Ä " B Ä "lim lim

a b


0 B œ $B " œ #

a b

lim lim limB Ä " B Ä "

0 B œ 0 B b 0 B œ #B Ä "

a b a b a b , por lo tanto

VIRG

INIO

GO

MEZ


131

$3Ñ 0 B œ 0 "B Ä "

lim a b a b Luego es continua en 0 B B œ "a b

%Ñ 0 B œ#B $ ! B Ÿ #) $B # B Ÿ $B % $ B %

a bÚÛÜ

Puntos de análisis À B œ #ß B œ $

* Para B œ #

3Ñ 0 # œ # # $ œ (a b a b#3Ñ 0 B œ #B $ œ (

B Ä # B Ä #lim lim

a b


0 B œ ) $B œ #

a b


0 B Á 0 B ß 0 BB Ä #

a b a b a b , por lo tanto no existe

Como no se cumple la condición de continuidad se concluye que es discontinua en a b a b#3 0 B B œ #

* Para B œ $

3Ñ 0 $ œ ) $ $ œ "a b a b#3Ñ 0 B œ ) $B œ "

B Ä $ B Ä $lim lim

a b


0 B œ B % œ "

a b

lim lim limB Ä $ B Ä $

0 B œ 0 B b 0 B œ "B Ä $


$3Ñ 0 B œ 0 $B Ä $

lim a b a b Luego es continua en 0 B B œ $a bDel análisis anterior, se concluye que es discontinua en el intervalo ,0 B ! %a b a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


132

&Ñ 0 B œ

$B * # Ÿ B Ÿ "

B "$ " B Ÿ "

$)B # ) " B Ÿ $

a bÚÛÜÈ

#

$

Puntos de análisis À B œ "ß B œ "

* Para B œ "

3Ñ 0 " œ $ " * œ "#a b a b#

#3Ñ 0 B œ $B * œ "#B Ä " B Ä "

lim lim

#a b


0 B œ B "$ œ "#

$a b


0 B œ 0 B ß b 0 B œ "#B Ä "


$3Ñ 0 B œ 0 "B Ä "

lim a b a bLuego, es continua en 0 B B œ "a b

* Para B œ "

3Ñ 0 " œ " "$ œ "%a b $

#3Ñ 0 B œ B "$ œ "%B Ä " B Ä "

lim lim

$a b


0 B œ $)B # ) œ "%

a b È


0 B œ 0 B b 0 B œ "%B Ä "


$3Ñ 0 B œ 0 "B Ä "

lim a b a b Luego es continua en 0 B B œ "a bDel análisis anterior, se concluye que es continua en el intervalo 0 B Ò #ß $ Óa b

VIRG

INIO

GO

MEZ


133


Analizar la continuidad en À

"Ñ 0 B œB #B "&

B &B Á &

) B œ & a b

ÚÛÜ

#

2 Ñ 0 B œB "

B "B Á "

# B œ "a b

ÚÛÜ

#

3 Ñ 0 B œB &

B #&B Á &

* B œ &a b

ÚÛÜ #

4 Ñ 0 B œB #

B %B Á %

& B œ %a b

ÚÛÜ

#

5 2

Ñ 0 B œB $ B Ÿ #

B & B #a b œ

6 Ñ 0 B œ& B B Ÿ "$B " B "

a b œ

7 Ñ 0 B œB & ! B Ÿ "#B % " B Ÿ &B $ & B *

a bÚÛÜ

8 Ñ 0 B œ#B " # B Ÿ %B $ % B Ÿ (#B % ( B )

a bÚÛÜ

VIRG

INIO

GO

MEZ


134

Solución:

"Ñ 3Ñ 0Ð &Ñ œ )

33Ñ 0ÐBÑ œ )B Ä &

lim

333Ñ 0ÐBÑ œ 0Ð &ÑB Ä &

lim

Luego es continua en 0ÐBÑ B œ &

2 2 Ñ 3Ñ 0Ð"Ñ œ

1

33Ñ 0ÐBÑ œ #B Ä

lim

333Ñ 0ÐBÑ œ 0Ð"ÑB Ä "

lim

Luego es continua en 0ÐBÑ B œ "

3 Ñ 3Ñ 0Ð&Ñ œ *

33Ñ 0ÐBÑ œB Ä &

"

"!lim

333Ñ 0ÐBÑ Á 0Ð&ÑB Ä &

lim

Luego no es continua en 0ÐBÑ B œ &

4 Ñ 3Ñ 0Ð%Ñ œ &

33Ñ 0ÐBÑ œB Ä %

"%

!lim

Luego no existe.limB Ä %

0ÐBÑ

es discontinua en ¾ 0ÐBÑ B œ %

5 Ñ 3Ñ 0Ð#Ñ œ (

33Ñ 0ÐBÑ œ (B Ä #

lim

limB Ä #

0ÐBÑ œ $

No existe ¾ limB Ä #

0ÐBÑ

Luego es discontinua en 0ÐBÑ B œ #

VIRG

INIO

GO

MEZ


135

6 Ñ 3Ñ 0Ð"Ñ œ %

33Ñ 0ÐBÑ œ %B Ä "

lim

limB Ä "

0ÐBÑ œ %

Existe 1

¾ limB Ä

0ÐBÑ œ %


lim


Por lo tanto, es discontinua en el intervalo 0ÐBÑ Ð!ß *Ñ

7 Ñ Para Para B œ " B œ &

3Ñ 0Ð"Ñ œ ' 3Ñ 0Ð&Ñ œ "%

33Ñ 0ÐBÑ œ ' 33Ñ 0ÐBÑ œ "%B Ä " B Ä &

lim lim

lim limB Ä " B Ä &

0ÐBÑ œ ' 0ÐBÑ œ #

¾ ¾Existe No existe lim limB Ä " B Ä &

0ÐBÑ œ ' 0ÐBÑ


lim

Luego es continua en Luego es discontinua en 0ÐBÑ B œ " 0ÐBÑ B œ &

Por lo tanto, es discontinua en el intervalo 0ÐBÑ Ð!ß *Ñ

8 Ñ Para Para B œ % B œ (

3Ñ 0Ð%Ñ œ ( 3Ñ 0Ð(Ñ œ "!

33Ñ 0ÐBÑ œ ( 33Ñ 0ÐBÑ œ "!B Ä % B Ä (

lim lim

lim limB Ä % B Ä (

0ÐBÑ œ ( 0ÐBÑ œ "!

¾ ¾Existe Existe 7

lim limB Ä %

0ÐBÑ œ ( 0ÐBÑ œ "!B Ä

333Ñ 0ÐBÑ œ 0Ð%Ñ 333Ñ 0ÐBÑ œ 0Ð(ÑB Ä % B Ä (

lim lim

Luego es continua en Luego es continua en 0ÐBÑ B œ % 0ÐBÑ B œ (

Por lo tanto, es continua en el intervalo 0ÐBÑ Ð#ß )Ñ

VIRG

INIO

GO

MEZ


136

Otros estilos de ejercicios asociados a la continuidad son los siguientes À

Determine el valor de para que la función sea continua en todo su dominio.5

"Ñ 0 B œ5 B œ %B #

B #B Á %

a bÚÛÜ #

Solución À

Para que la función sea continua debe cumplirse la condición a b$3

lim limB Ä % B Ä %

0 B œ 0 % Ê œ 5B #

B #a b a b

#

Ê œ 5 Ê œ 5' "

") $

Luego la función es À 0 B œ

"

$B œ %

B #

B #B Á %

a bÚÝÛÝÜ #

#Ñ 0 B œ5B " B #

5B B #a b œ #

Para que la función sea continua debe cumplirse la condición a b#3

lim lim lim limB Ä # B Ä #

0 B œ 0 B Ê 5B " œ 5BB Ä # B Ä #

#a b a b Ê #5 " œ %5 Ê " œ #5

Ê œ 5"

#

Luego la función es À 0 B œ B " B #

"

#

B B #"

#

a bÚÝÛÝÜ #

$Ñ + , Determine el valor de y de para que la función sea continua en todo su dominio

0 B œB #+ B #$+B , # Ÿ B Ÿ "$B #, B "

a bÚÛÜ



0 B œ 0 B Ê B #+ œ $+B ,B Ä # B Ä #

a b a b

Ê # #+ œ '+ , Ê )+ , œ # ‡a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


137

lim lim lim limB Ä " B Ä "

0 B œ 0 B Ê $+B , œ $B #,B Ä " B Ä "

a b a b

Ê $+ , œ $ #, Ê $+ $, œ $ Ê + , œ " ‡‡a b

De y se obtiene un sistema de ecuacionesa b a b‡ ‡‡

)+ , œ #

+ , œ " de donde + œ ß , œ" #

$ $

Luego la función es

À 0 B œ

B B ##

$

B # Ÿ B Ÿ "#

$

$B B "%

$

a bÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ

%Ñ + , Determine el valor de y de para que la función sea continua en todo su dominio

0 B œ

#+ $,B # " Ÿ B #

+B , # Ÿ B Ÿ $,B * $ B Ÿ "

a bÚÛÜ #



0 B œ 0 B Ê #+ $,B # œ +B ,B Ä # B Ä #

#a b a b Ê #+ ', # œ %+ , Ê # œ #+ &, ‡a b

lim lim lim limB Ä $ B Ä $

0 B œ 0 B Ê +B , œ ,B *B Ä $ B Ä $

#a b a b Ê *+ , œ $, * Ê *+ %, œ * ‡‡a bDe y se obtiene un sistema de ecuacionesa b a b‡ ‡‡

#+ &, œ #*+ %, œ * de donde + œ "ß , œ !

Luego la función es À 0 B œ

% " Ÿ B #

B # Ÿ B Ÿ $* $ B Ÿ "

a bÚÛÜ #

VIRG

INIO

GO

MEZ


138


Determine el valor de " " para que la función sea continua en todo su dominio:5

"Ñ 0 B œ$5 B œ &B "

B #B Á &

a bÚÛÜ

2 Ñ 0 B œ5 $ B œ "# B

B &B Á "

a bÚÛÜ

3 Ñ 0 B œ$B 5 B Ÿ %#B5 " B %

a b œ

4 Ñ 0 B œ

B %5

$B Ÿ #

&5 B #%B

(

a bÚÝÛÝÜ

Determine los valores de " " y " " para que la función sea continua en todo su dominio:+ ,

5 Ñ 0 B œ#B + B &%+ ,B & Ÿ B Ÿ #$, &B B #

a bÚÛÜ

6 Ñ 0 B œ+ B B #%+B #, # Ÿ B Ÿ $B $, B $

a bÚÛÜ

7 Ñ 0 B œ

+ $, B "&B

$ #+ " Ÿ B Ÿ &

#,

( %B B &

a bÚÝÝÝÛÝÝÝÜ

8 Ñ 0 B œ

&B "

$ % + B $

+ B

# , $ Ÿ B Ÿ %

$,

& B B %

a bÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ

VIRG

INIO

GO

MEZ


139

Solución:

1) 5 œ%

#"

2) 5 œ"*

'

3) 5 œ""

*

4) 5 œ$)

((

5) + œ à , œ ) #

$ $

6) 4 3

11 11+ œ à , œ

7) + œ à , œ $&& $&

#% )

8) + œ $( à , œ"#&

%

VIRG

INIO

GO

MEZ


140


DerivadasDerivadas

VIRG

INIO

GO

MEZ


141

Derivada

Sea una función real y sean y dos puntos de C œ 0 B T B ß C U B ß C 0 B Þa b a b a b a b" " # #

es una recta secante a , luego la pendiente de esP C œ 0 B P À" "a b

incremento de ordenadas

incremento de abscisas7 œ Ê 7 œ œ

C C C

B B B" "

# "

# "

?

?

Como entonces ? ?B œ B B ß B B œ B# " " #

C œ 0 B" "a b C œ 0 B Ê C œ 0 B B# # # "a b a b?

Así, 7 œ0 B B 0 B

B"

" "a b a b?

?

Si se aproxima a , tiende a cero y la recta recta secante se transforma en la recta ,U T B P P? " #a bque es la recta tangente a en el punto Es decir,C œ 0 B T B ß C Þa b a b" "

lim?

?

?B Ä !

0 B B 0 B

BC œ 0 B es la pendiente de la recta tangente a en el

a b a b a b" "

punto con T B ß C C œ 0 Ba b a b" " " "

VIRG

INIO

GO

MEZ


142

Concepto de derivada de una función

Si es una función, entonces la derivada de en esC œ 0 B 0 B Àa b si el límite existe.lim

?

?

?B Ä !

0 B B 0 B

B

a b a b

Notación À

lim?

?

?B Ä !

0 B B 0 B .C .0

B .B .Bœ 0 B œ C œ œ

a b a b a bw w

Teoremas À

Teorema1: es derivable en si existe .C œ 0 B B 0 Ba b a bw

Teorema 2: es derivable en el intervalo si lo es en cada puntoC œ 0 B +ß ,a b a b del intervalo.

Teorema 3: Si es derivable en , entonces es continuaC œ 0 B B œ - C œ 0 Ba b a b en B œ -Þ

El cuociente se denomina .?

?

C

BCuociente de Newton

VIRG

INIO

GO

MEZ


143

Interpretaciones de la derivada

I) Geometría Analítica:

a) Si , entonces la derivada representa la C œ 0 B œ.C 0 B B 0 B

.B BB Ä !a b a b a b

lim?

?

?pendiente

de la recta tangente a en el punto El punto debe pertenecer a la funciónC œ 0 B Bß 0 B Þ Bß 0 Ba b a b a ba b a bC œ 0 Ba b para ser el punto de tangencia.

Si es punto de tangencia de la curva entonces es posible establecer lasa b a bB ß C C œ 0 B ß! !

ecuaciones de dos rectas À

Recta Tangente C C œ B ß C B B.C

.B! ! ! !” •Œ a b a b

Recta Normal C C œ B B ".C

.BB ß C

! !

! !

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

a bÎ ÑÏ Òa b

La recta tangente y la recta normal son perpendiculares en el punto de tangencia.

b) Si , entonces representa, además, la C œ 0 B œ.C C

.B BB Ä !a b lim

?

?

?razón instantánea de

cambio de con respecto a .C B

II) Física:

* Velocidad media À

Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidad= œ = >a bdel objeto en el intervalo esa b>ß > À?

? ?

? ?

= = > > = >

> >œ

a b a b * Velocidad o velocidad instantánea À

Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces la velocidad= œ = >a bdel objeto en el tiempo es> À

@ > œ = > œ> Ä !

= > > = >

>a b a b a b a bw lim

?

?

?

Rapidez œ @ >¸ ¸a b * Aceleración À

Si es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces su= œ = >a baceleración en el instante es> À

+ > œ @ > œ> Ä !

@ > > @ >

>a b a b a b a bw lim

?

?

?

VIRG

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GO

MEZ


144

Reglas de derivación:

1) Si , una constante, entonces 0 B œ - - - œ !.C

.Ba b a b

2) Si , un número racional, entonces 0 B œ B 8 B œ 8B8 .C

.B8 8 "a b ˆ ‰

3) Si y una constante, entonces C œ 0 B - -0 B œ - 0 B.C

.Ba b a b a ba b w

4) Si , entonces0 B œ 0 B 0 B 0 B ÞÞÞ 0 Ba b a b a b a b a b" # $ 8

.C

.B0 B œ 0 B 0 B 0 B ÞÞÞ 0 Ba b a b a b a b a ba b " #

w w w w$ 8

5)Si , entonces C œ 0 B † 1 B 0 B † 1 B œ 0 B † 1 B 0 B † 1 B.C

.Ba b a b a b a b a b a b a ba b a b w w

6) Si con , entoncesC œ 1 B Á !0 B

1 B

a ba b a b

.C 0 B 0 B † 1 B 0 B † 1 B

.B 1 Bœ

1 BŒ a b a b a b a b a ba b a ba b

w w

#

Ejemplos À

I) Obtener en.C

.BÀ

"Ñ 0 B œ # à œ !.C

.Ba b

#Ñ 0 B œ #B $B % à œ 'B $.C

.Ba b $ #

$Ñ 0 B œ &B $ à œ B" .C #!

$ .B $a b ˆ ‰% $

%Ñ 0 B œ B #B " B "a b a ba b# $

.C

.Bœ #B # B " B #B " $Ba bˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰$ # #

.C

.Bœ &B )B $B #B #% $ #

VIRG

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GO

MEZ


145

&Ñ 0 B œ$ #B B

B $Ba b #

%

.C

.Bœ

# #B B $B $ #B B %B $

B $B

a b a ba bˆ ‰a b

% # $

% #

.C #B 'B "#B $B *

.Bœ

B $B

& % $ #

% #a b

'Ñ 0 B œ B * B $" #

B Ba b Œ Œ È

#$Î#

.C " # # " $ #

.B B B B # Bœ B $ B * B

# B È Œ Œ Œ È È$ # #

$Î#

.C %B #(B $B $B $'B "#B "#

.B #Bœ

& *Î# (Î# &Î# #

%

(Ñ 0 B œ B B "B B

B "a b Œ ˆ ‰#

#% $

.C #B " B " B B #B B B

.B B "œ B B " %B $B

B " a ba b a ba b

a b ˆ ‰ ˆ ‰Œ # # #

# #% $ $ #

#

.C #B %B B "

.Bœ

B "

& $ #

# #a b

)Ñ 0 B œB B #B *B $

$B &a b a ba ba b

$ & &

.C

.Bœ

$B &B #B *B $ B B "!B * $B & B B #B *B $ $

$B &

ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰a b a b a b a ba ba ba ba b

# % & $ & % $ & &

#

.C

.Bœ B $'B #!&B #)#B &'B "*)B %&

$B &

# & % $ #

#

ˆ ‰a b

II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.

"Ñ 0 B œ B #B T "ß $a b a b#

.C .C

.B .Bœ #B # "ß $ œ # " # œ % a b a b

7 œ % 7 œ "

%X R

VIRG

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MEZ


146

Recta tangente Recta normal

C $ œ % B " C $ œ B ""

%a b a b

C œ %B " C œ B " "$

% %

#Ñ 0 B œ T %ß " #B (

B " &a b Œ

.C # B " " #B " $

.Bœ œ

B " B "

a b a ba ba b a b# #

.C ( $ $

.B & #&%ß œ œ

% "Œ a b#

7 œ 7 œ$ #&

#& $X R

Recta tangente Recta normal

C œ B % C œ B %( $ ( #&

& #& & $a b a b

C œ B C œ B $ #$ #& &#"

#& #& $ "&

III)

1)La altura en el instante de una moneda que se deja caer es con medida en= > = > œ "'> "$&! =a b #

pies y medido en segundos. Hallar> À

a) velocidad media en el intervalo Ò "ß # Ó

= " œ "' " "$&! œ "$$%a b a b= # œ "' % "$&! œ "#)'a b a b?

?

= "#)' "$$%

> # "œ œ %)

la velocidad media es de pies/seg. %)

b) velocidad instantánea en y > œ " > œ #

@ > œ œ $#>.=

.>a b

@ " œ $# @ # œ '%a b a b

la velocidad instantánea en es pies/seg. y en es pies/seg.> œ " $# > œ # '%

VIRG

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147

c)¿cuánto tarda en llegar al suelo?

= > œ ! Ê "'> "$&! œ !a b #

"$&! œ "'>#

Ê"$&!

"'œ >

*ß "* µ >

en llegar al suelo tarda aproximadanemte segundos*ß "* Þ

2) La velocidad de un automóvil que parte del reposo es , en m/seg. Hallar la aceleración@ > œ @"!!>

#> "&a b

tras :

a) 5 segundos.

b) 10 segundos

c) 15 segundos

+ > œ œ œ.@ "!! #> "& "!!> # "&!!

.> #> "& #> "&a b a b a b

a b a b# #

+ & œ œ #ß %"&!!

"! "&a b a b#

la aceleración a los segundos es de m/seg & #ß % Þ2

+ "! œ œ µ "ß ##"&!! '!

#! "& %*a b a b#

la aceleración a los segundos es aproximadamente de m/seg "! "ß ## Þ2

+ "& œ œ µ !ß (%"&!! #!

$! "& #(a b a b#

la aceleración a los segundos es aproximadamente de m/seg "& !ß (% Þ2


I) Obtener en.C

.BÀ

"Ñ 0 B œ $B %B B B ( a b & $ #

2) 0ÐBÑ œ ÐB #B $Ñ ÐB &Ñ$ #

3) 0ÐBÑ œB #B "

B $

#

$

4) 0ÐBÑ œÐB "Ñ ÐB %B #Ñ

ÐB &Ñ

$

#

VIRG

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148

5) 0ÐBÑ œ Ð#B $BÑ ÐB %B Ñ Ð$B &BÑ# $ # #

II) Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado.

"Ñ 0 B œ $B %B T #ß " a b a b$

2) 0 B œ T $ß &$B #

% Ba b a b

III) 1)La posición de un cuerpo está dada por con medida en metros y medido en= > œ $> &> = >a b #

minutos. Hallar À

a) velocidad media en el intervalo 2 3Ò ß Ó

b) velocidad instantánea en 3 y 5> œ > œ

c)¿en qué tiempo el cuerpo vuelve a pasar por el origen?

2) La velocidad de un tren que parte del reposo es , en km/hr. Hallar la@ > œ @> #&

#>a b

aceleración tras :

a) horas.# b) 3 horas.

c) 90 minutos.

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149

Solución :

I) 1) .C

.Bœ "&B "#B #B "% #

2) .C

.Bœ &B *B 'B "!% #

3) .C B %B $B 'B '

.Bœ

ÐB #Ñ

% $ #

$ #

4) .C #B B #!B #"B %%B $!

.Bœ

ÐB &Ñ

& % $ #

# #

5) .C

.Bœ %B $ B %B $B &B a b ˆ ‰ ˆ ‰$ # #

a b a b a b a b a b a b#B $B $B )B $B &B #B $B B %B 'B &# # # # $ #

II) 1) Recta tangente: C œ %!B (*

Recta normal: C œ B " #"

%! #!

2) Recta tangente: C œ B # #*

( (

Recta normal: C œ B ( $"

# #

III) 1) a) Veloc media: "!7>Î738 b) Veloc instantanea: => => > œ $ "$7>Î738 à > œ & #&7>Î738 c) El cuerpo vuelve a pasar por el origen después de "ß '(738Þ

2) a) La aceleración a las 2 horas es de $ß "#& 57Î2< Þ#

b) La aceleración a las 3 horas es de "ß $* 57Î2< Þ#

c) La aceleración a los 90 minutos es de m&ß &' 5 Î2< Þ2

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150

Regla de la cadena

a) Si es una función derivable y es también una función derivable, entoncesC œ 0 ? ? œ 0 B Àa b a b

.C .C .?

.B .? .Bœ †

b) Si es una función derivable, es una función derivable y esC œ 0 ? ? œ 0 @ @ œ 0 Ba b a b a btambién una función derivable, entonces À

.C .C .? .@

.B .? .@ .Bœ † †

c) Si , entonces C œ 0 B œ 8 0 B † 0 B8 .C

.B8 "a b a b a ba b a b w

Ejemplo À

Obtener en.C

.BÀ

"Ñ C œ ? ? ? à ? œ B $B &" " "

# $ %# $ % & #

.C .C .?

.B .? .B†œ

.C .? &

.? .B Bœ ? ? ? à œ 'B# $

'

.C &

.B Bœ ? ? ? 'Bˆ ‰Œ # $

'

#Ñ C œ $B (B *È &

C œ $B (B *

"

#a b&

.C " "&B (

.B #œ $B (B * "&B ( œ

"

## $B (B *

ˆ ‰ ˆ ‰ È& % %

&

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151

$Ñ C œ ? &? $? à ? œB "

B "ˆ ‰ È( % &

#

.C .C .?

.B .? .Bœ †

.C

.?œ & ? &? $? (? & "#?ˆ ‰ ˆ ‰( % ' $%

.?

.B B "œ

#B B " B ""

# B "È a b È#

.C

.B B "œ & ? &? $? (? & "#?

#B B " B ""

# B "ˆ ‰ ˆ ‰Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

È a b È( % ' $%

#

%Ñ C œ $B %B † B Bˆ ‰ È( ( #

.C #B "

.Bœ ( $B %B #"B % B B $B %B †

# B Bˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰È È( ' (' (#

#

&Ñ C œ $? (? à ? œ #@ (@ † @ à @ œ# $B B

@ $B "È ˆ ‰ Œ È& %

'

#

.C .C .? .@

.B .? .@ .Bœ † †

.C "&? (

.?œ

# $? (?

%

&È

.? # " #

.@ @ @œ )@ ( @ #@ (@

# @ˆ ‰ ˆ ‰Œ È È$ %

#

.@ ")B " $B " $B B 'B $'B ")B $B "

.Bœ œ

$B " $B "

a ba b a ba ba b a b

& # ' ( & #

# ## #

.C "&? ( # " # $'B ")B $B "

.B @ @œ )@ ( @ #@ (@

# $? (? # @ $B " È Èˆ ‰ ˆ ‰Œ È a b

% ( & #

&

$ %# # #

VIRG

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152

6) C œ œ$ $B &B $B &B

" $B " $BÊ Œ % % "Î$

.C " $B &B

.B $ " $Bœ

"#B & " $B $B &B $

" $BŒ a ba b a bˆ ‰

a b% #Î$ $ %

#

.C " "#B #(B &

.Bœ †

$$ $B &B

" $B

" $BËŒ a b% #

$ %

#

(Ñ C œ#B " † $B (

#B &

È a b%

.C

.Bœ

"

#B "$B ( "# #B " $B ( #B & #B " † $B ( #

#B &

È a b a b a b a b a bŠ ‹ Š ‹È Èa b

% $ %

#

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153


Obtener en.C

.BÀ

"Ñ C œ ? ? ? à ? œ $B #B *# " &

$ # # ' % # % $

2) C œ ? ? ? à ? œ B B &B$ # " " #

& $ % & (& $ " $ #

3) C œ &B #B %È % $

4) C œ &B %B ÐB $BÑÈ $ #†

5) C œ à ? œ #B B "#? "

? $È ˆ ‰#

$ # $

6) C œ Ð)? $?Ñ $? " à ? œ B $B ÐB #Ñ# ## $† †È È

7) C œ à ? œ @ #@ à @ œ $B &B#? &

? %

&

$$ #È

8) C œ Ð? $?Ñ à ? œ à @ œ? " @ @ B B B

? $ @ $ B "Œ È

È# $ #

$#

9) C œ& #B %B

B "Ê $

10) C œ ? ? Ð? $?Ñ à ? œ ÐB &Ñ %B $BÈ È( $# & #$ #† †

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154

Solución :

1) .C

.Bœ %? #? &? "#B 'Bˆ ‰ˆ ‰& $ $ #

2) .C " $ %

.B % & (œ $? #? ? B B &Š ‹Š ‹% % # %

3) .C "!B $B

.Bœ

&B #B %

$ #

% $È

4) .C "&B %

.Bœ B $B &B %B Ð#B $Ñ

# &B %B È ˆ ‰ È#

$

# $

5) .C

.B Ð? $Ñœ $Ð#B B "Ñ Ð'B #BÑ

# ? $ ?Ð#? "Ñ

? $Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

È È ˆ ‰#

#

#$ # # #

6) .C '?

.Bœ "'? $ $? " )? $?

# $? " a bÈ ˆ ‰ È# #

#

È ˆ ‰ È#B B $B B #$B $

# B $B$ #

#

$

7) .C 'B &

.Bœ $ @ #

% ? %! ? "& ?

? % # $B &

ˆ ‰a b ˆ ‰ È

( % #

$ ##

#

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155

8) .C #? Ð? $Ñ Ð? "Ñ ? "

.B Ð? $Ñ ? $œ ? $? $? $Œ Œ Œ ˆ ‰ ˆ ‰# #

#$ #

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

È È#@ "

# @ @Ð@ $Ñ @ @

Ð@ $Ñ

##

#

a b a bÈ È$B #B " B " B B B"

# B "# $ #

9) .C " %B 'B %

.Bœ

&#B %B

B "

B "

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒËŒ

a b&

$ %

$ #

#

10) .C #? "

.Bœ ? $? ? ? $? $

( ? ?

Î ÑÐ ÓÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ ÒÉa b ˆ ‰ ˆ ‰È

(

(

# '

$ ##

Î ÑÐ ÓÏ Ò

È ˆ ‰Î ÑÐ ÓÏ ÒÉa b#B %B $B B &

#!B 'B

$ %B $B

$

$

& # #%

& # #

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156

Derivación Implícita

Hasta el momento se han derivado funciones explícitas, es decir, funciones de la forma .C œ 0 Ba bAhora, se derivarán funciones implícitas, es decir, funciones en las cuales la variable dependiente noCaparece despejada.

Son funciones explícitas Son funciones implícitasÀ À

"Ñ C œ B &B ( "Ñ B C œ $B &C *( $ (

#Ñ C œ #Ñ BC $B C œ #B &C& %B &

( )B

È*

# $

$Ñ C œ %B ( $Ñ #B $C œ " BC#B "

& $B Ê a b a b% (

Para derivar funciones implícitas se usa el proceso de derivación implícita que consiste en derivar

tanto la variable como la variable usando las reglas de derivación ya conocidas y cada vez que seB C

derive la variable , variable dependiente, se debe agregar C.C

.B

Ejemplos À

"Ñ B C œ $B &C * $ (

$B (C œ $ &.C .C

.B .B# '

(C & œ $ $B.C .C

.B .B' #

.C

.B(C & œ $ $Bˆ ‰' #

.C $ $B

.B (C &œ

#

'

#Ñ BC $B C œ B &C # $ 2

Œ Œ C B 'BC *B C œ #B &.C .C .C

.B .B .B$ # #

B *B C & œ #B C 'BC.C .C .C

.B .B .B# # $

.C

.BB *B C & œ #B C 'BCˆ ‰# # $

.C #B C 'BC

.B B *B C &œ

$

# #

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157

$Ñ $B (C % œ #B )C &C % ) *

"#B &'C œ # ) %&C.C .C .C

.B .B .B$ ( )

&'C ) %&C œ # "#B.C .C .C

.B .B .B( ) $

.C

.B &'C ) %&C œ # "#Bˆ ‰( ) $

.C # "#B

.B &'C ) %&Cœ

$

( )

%Ñ B C %BC œ B C #B $C $ ( ) *

Œ Œ Œ $B C (B C %C %B œ )B C *B C # $.C .C .C .C

.B .B .B .B# ( $ ' ( * ) )

(B C %B *B C $ œ $B C %C )B C #.C .C .C .C

.B .B .B .B$ ' ) ) # ( ( *

.C

.B(B C %B *B C $ œ $B C %C )B C #ˆ ‰$ ' ) ) # ( ( *

.C $B C %C )B C #

.B (B C %B *B C $œ

# ( ( *

$ ' ) )

&Ñ #B $C œ " BC a b( ( #B $C # $ œ C B

.C .C

.B .Ba b Œ Œ '

"% #B $C #" #B $C œ C B.C .C

.B .Ba b a b' '

#" #B $C B œ C "% #B $C.C .C

.B .Ba b a b' '

.C

.B #" #B $C B œ C "% #B $Cˆ ‰a b a b' '

.C C "% #B $C

.Bœ

#" #B $C B

a ba b

'

'

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158

'Ñ # BC œ $B #BC (C *a b% ( $

% # BC C B œ #"B #C #B #"C.C .C .C

.B .B .Ba b Œ $ ' #

%C # BC %B # BC œ #"B #C #B #"C.C .C .C

.B .B .Ba b a b$ $ ' #

.C #"B #C %C # BC

.Bœ

%B # BC #B #"C

' $

$ #

a ba b


Obtener en.C

.BÀ

"Ñ &B $C " œ *B $C % & #

2) %B (C œ #C %B &$ # $

3) $B C B œ #B C %C# $ $ % &

4) %BC #C ' œ &B C 'B" % # $ %

5) (B C #C *B œ %B C 'C% $ & # & (

6) # " " $

& $ # %BC B C 'B œ B C# % & $ $

7) a b&B #C &B œ #BC *C&

8) a b a bB C &BC œ B $C) # # %

9) a b#B $B C œ (C #BC $B# #*

10) Œ a b$ #

& $C #B C BC œ BC B$ % #

'%

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159

Solución :

1) .C * #!B

.B "&C 'Cœ

$

%

2) .C "#B "#B

.B "%C #œ

% #

$

3) .C 'B C 'BC $B

.B $B )B C #!Cœ

# % #

# $ $ %

4) .C #%B "!B C %C

.B %BC )C "&B Cœ

& $ $ "

# $ # #

5) .C )BC #)B C *

.B #"B C "!C #!B C %#Cœ

& $ $

% # % # % '

6) .C

.Bœ

$ # %

# & $B C B C '

& % *

$ & %B C BC C

# # & &

% ' $ %

7) .C #C #& &B #C &

.Bœ

* #B "! &B #C

a ba b

%

%

8) .C )B B $C ) B C &C

.Bœ

) B C "!BC "# B $C

a b a ba b a b

# #& (

( &$ #

9) .C

.Bœ

$ #C ") #B $B C &%BC #B $B C

#(B #B $B C "%C #B

a b ˆ ‰a b

# ) # )

# # )

10).C

.Bœ

%C BC B % BC B $'B C C #B C C$ #

& $

C #B C %)B C C #B C BC %B BC B") $ $ %

& & & $

a b a b Œ Œ Œ a b

& & % % $ % #(

$ % $ & $ % $( (

&

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160

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

1) Si con , entoncesC œ + ? œ B? a b

.C .?

.B .Bœ + † 68 + †?

2) Si con , entonces C œ / ? œ B? a b

.C .?

.B .Bœ / †?

3) Si con , entonces C œ 691 ? ? œ B+ a b

.C " .?

.B ? .Bœ † 691 / †+

4) Si con , entonces C œ 68 ? ? œ Ba b

.C " .?

.B ? .Bœ †

Ejemplos À

Obtener en.C

.BÀ

"Ñ C œ # Ê œ # 68 # #B "B B .C

.BB B# #

a ba b

#Ñ C œ 68 $B B " Ê œ $ .C " "

.B $B B " # B "Š ‹È È È

Ê œ.C

.B

$ "

# B "

$B B "

ÈÈ

$Ñ C œ 691 % $B Ê œ 691 / "#B.C "

.B % $B$ $

%%

$ˆ ‰ ˆ ‰a b

Ê œ .C "#B 691 /

.B % $B

$$

%

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161

%Ñ C œ % Ê œ % 68 % $68 " $B .C "

.B " $B68 " $Ba b a ba b a bŒ

Ê œ .C

.B " $B

$ % 68 %68 " $BŠ ‹a b

&Ñ C œ B † 68 B " Ê œ #B 68 B " B.C #B

.B B "# # # #

#a b a bˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ Œ

Ê œ #B 68 B " .C #B

.B B "ˆ ‰#

$

#

'Ñ C œ / † 68 &B * Ê œ #/ 68 &B * /.C &

.B &B *#B" #B" #B"a b a bˆ ‰ ˆ ‰a b Œ

Ê œ #/ 68 &B * .C &/

.B &B *#B"

#B"a b

(Ñ C œ œ/ /

68 B " 68 B "

È ÈB" B"

# #a b a ba b

.C

.Bœ

/ † 68 B " / #68 B " †" "

# B " B "

68 B "

È a b a ba b Š ‹Œ a ba b

È ÈB" # B"

%

)Ñ / œ 68 B 68 Ca bBC

/ " œ .C " " .C

.B B C .Ba bBC Œ

.C

.Bœ

"

B /

/ "

C

a ba b

BC

BC

*Ñ / C œ 68B † 68 CBC

/ C B œ 68 C 68BBC .C .C " " .C

.B .B B C .BŒ

.C

.Bœ

68 C

B C/BC

B/ " BC 68B

C

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162

"!Ñ 68 B C œ #B $Ca b# #

" .C .C

B C .B .B#B #C œ # $

# #Œ

.C

.Bœ

# #B

B C

$#C

B C

# #

# #

Derivación logarítmica

Hasta el momento se han derivado expresiones de la forma ó , es decir,C œ 0 B C œ +8 Ba ba bexpresiones en las cuales la base o el exponente de una potencia son variables. Ahora, se derivarán

expresiones en las cuales tanto la base como el exponente son variables. Para este tipo de expresiones se

usa la Este estilo de derivada consiste en aplicar a la función dada la funciónderivación logarítmica.

logaritmo natural y recordar la siguiente propiedad À

68 B œ 8 68 B8

Después que se aplica esta propiedad se deriva en forma implícita.

Ejemplos À

Obtener en.C

.BÀ

"Ñ C œ B Î 68B

68 C œ 68 BB

68 C œ B 68 B

" .C "

C .B Bœ 68B B †

.C 68 B " .C

.B .Bœ Ê œ C 68 B "

"

C

a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


163

#Ñ B œ C Î68C B

68 B œ 68 CC B

C 68 B œ B 68 C

.C C B .C

.B B C .B68 B œ 68 C

.C

.Bœ

68 C C

B

68 B B

C

$Ñ B C œ B C Î 68B Ca b a b

68 B C œ 68 B Ca b a bB C

B 68 B C œ C 68 B Ca b a b68 B C " œ 68 B C "

B .C .C C .C

B C .B .B B C .Ba b a bŒ Œ

.C

.Bœ

68 B C C B

B C B CB C

B C B C 68 B C

a ba b

%Ñ BC " œ B C Î 68B C BCa b a ba b

68 BC " œ 68 B CB C BCa b a ba b

a b a b a bB C 68 BC " œ BC 68 B C

Œ Œ Œ a b" 68 BC " C B œ C 68ÐB CÑ B68ÐB CÑ " .C B C .C .C BC .C

.B BC " .B .B B C .B

68ÐBC "Ñ 68ÐBC "Ñ œ C 68ÐB CÑ.C BC C B BC .C

.B BC " BC " .B

# #Œ B68ÐB CÑ

.C BC BC .C

.B B C B C .BŒ

.C

.Bœ

C 68 B C 68 BC " BC BC C

B C BC "

68 BC " B 68 B C B BC BC

BC " B C

a b a ba b a b

#

#

VIRG

INIO

GO

MEZ


164


Obtener en.C

.BÀ

"Ñ C œ $#B &B %

2) C œ 68 #B $ &BŠ ‹È #

3) C œ 691 #B %B(& $ˆ ‰

4) C œ $B 68 B "% Š ‹È

5) C œ68 #B "$

/ %B &

a bÈ

6) / 68C œ 68B CBC

7) 68 B C / œ # 691 Ba b BC $C$

8) a b a bB C œ $C#C B

9) a b a bB C œ BC "B C BC

10) a b a b68 C œ B CB 68 C

VIRG

INIO

GO

MEZ


165

Solución :

1) .C

.Bœ $ 68 $ )B &#B &B%

$a b ˆ ‰

2) .C " "

.Bœ "!B

#B $ &B #B $ ˆ ‰È È#

3) .C "

.B #B %Bœ 691 / "!B "#BŒ ˆ ‰

& $ (% #

4) .C $B

.B # B "œ "#B 68 B " $

%Š ‹È a b

5).C

.Bœ

$ 68 #B " / 68 #B " /# #

#B "%B & %B &

%B &

/ %B &

# $

#

a b a bŒ È È ÈŒ È

6) .C

.Bœ

"

B C /

B / ""

C

BC

BC

7) .C

.Bœ

C /691 / "

B B C"

B C B / $ # 68#

$ BC

BC $Ca b a bˆ ‰

VIRG

INIO

GO

MEZ


166

8) .C

.Bœ

68 $C #C

B C

# 68 B C #C B

B C Ca b

9) .C

.Bœ

C 68 BC " 68 B C B C B C

BC " B C

68 B C B 68 BC " B C B C

B C BC "

a b a ba b a b

#

#

10) .C

.Bœ

68 C

B C 68 68 C

B 68 ÐB CÑ 68 C

C 68C C B C

a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


167

Derivada de funciones trigonométricas

1) Si con , entonces C œ =/8? ß ? œ Ba b

.C .?

.B .Bœ -9= ? †

2) Si con , entonces C œ -9= ? ß ? œ Ba b

.C .?

.B .Bœ =/8? †

3) Si con , entonces C œ >1 ? ß ? œ Ba b

.C .?

.B .Bœ =/- ? †#

4) Si con , entonces C œ -9>1 ? ß ? œ Ba b

.C .?

.B .Bœ -9=/- ? †#

5) Si con , entonces C œ =/- ? ß ? œ Ba b

.C .?

.B .Bœ =/- ? † >1 ? †

6) Si con , entonces C œ -9=/- ? ß ? œ Ba b

.C .?

.B .Bœ -9=/- ? † -9>1 ? †

Ejemplos À

Determine en.C

.BÀ

"Ñ C œ =/8#B -9=$B >1B Ê œ -9=#B # =/8$B $ =/- B #B.C

.B# # # a b a b ˆ ‰

Ê œ #-9=#B $=/8$B #B =/- B.C

.B# #

#Ñ C œ -9>1 $B & Ê œ -9=/- $B & % $B & $.C

.Ba b a b a bŠ ‹% % $#

Ê œ "# $B & -9=/- $B &.C

.Ba b a b$ %#

VIRG

INIO

GO

MEZ


168

$Ñ C œ =/8 B B -9= B B Ê C œ =/8 B B -9= B BÈ È È ÈŠ ‹# # # #$$

.C " #B " #B

.Bœ -9= B B $ -9= B B =/8 B B

# B B # B BŠ ‹ Š ‹ Š ‹È È È È ÈŠ ‹# # #

# #

#

%Ñ C œ >1 (B =/8 B "È a b&

.C ( =/- (B

.Bœ &=/8 B " -9= B "

# >1 (B

#%È a b a b

&Ñ C œ 68 =/8B -9=B /=/-Ba b #

.C -9=B =/8B

.B =/8B -9=Bœ #B =/-B >1B /=/-B# #

#

'Ñ C œ =/8 >1 /=/8#B

" -9=#BBˆ ‰ˆ ‰

.C #-9=#B " -9=#B #=/8 #B

.Bœ / -9= >1 / =/- /

" -9=#BB B Ba b

a b ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰#

##

.C #

.B " -9=#Bœ / -9= >1 / =/- /B B Ba b ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ #

(Ñ =/8 B C œ B -9= B C Ca b a b-9= B C " œ " =/8 B C "

.C .C .C

.B .B .Ba b a bŒ Œ

.C -9= B C =/8 B C "

.B -9= B C =/8 B C "œ

a b a ba b a b

)Ñ =/8B œ -9=C Î 68-9=C =/8Ba b a b

68 =/8B œ 68 -9=C-9=C =/8Ba b a b-9=C 68 =/8B œ =/8B 68 -9=Ca b a b =/8C 68 =/8B -9=B œ -9=B 68 -9=C =/8C

.C -9=C =/8B .C

.B =/8B -9=C .Ba b a b

.C -9=B 68 -9=C -9=C -9>1 B

.B =/8C 68 =/8B =/8B >1 Cœ

a ba b

VIRG

INIO

GO

MEZ


169


Determine en.C

.BÀ

"Ñ C œ =/8 &B -9= $B -9>1 B # #

2) C œ =/- $B "a b# &

3) C œ >1 " B =/8 B BÈ È& $

4) C œ 68 =/8 #B -9= )Ba b È#

5) C œ>1 B

" =/8B

#

6) C œ=/8 B -9>1 B

-9=/- $B

$ #

È7) -9= B =/8 C œ >1 BC

8) >1 ÐB CÑ -9=/- C œ =/8Ð68 BCÑ# $

9) a b a b=/8 B œ >1 CC B

10) a b a ba b-9>1 B C œ =/- BB C

VIRG

INIO

GO

MEZ


170

Solución :

1) .C

.Bœ & -9= &B ' -9= $B =/8 $B #B -9=/- B# #

2) .C

.Bœ $! B =/- $B " >1 $B " $B "ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰# # #& & %

3) .C =/- " B

.Bœ

# " B

& =/8 B B -9= B B $B "

# B B È

È ÈÎ ÑÐ ÓÏ Ò

Š ‹Š ‹È È a b#% #$ $

$

4) .C % =/8 #B -9= #B % =/8 )B

.B =/8 #Bœ

-9= )BŒ È#

5) .C # >1 B =/- B " =/8B >1 B -9=B

.Bœ

" =/8B

a ba ba b

# #

#

6) .C

.Bœ

Š ‹ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹È È'B =/8 B -9=B -9=/- B -9=/- $B =/8 B -9>1B $ -9=/- $B -9>1 $B

# -9=/- $B-9=/- $B

# # # # $ #

7) .C C =/- BC =/8B

.B -9= C B =/- BCœ

#

#

a b a b

8) .C

.Bœ

-9B 68 BC

B #B #C =/- B C

#B #C =/- B C $ -9=/- C -9>1 C -9= 68 BC

C

a b a b a bˆ ‰a b a b a ba bˆ ‰ a b

# #

# $#

9) .C

.Bœ

68 >1 C C -9= B

=/8B

68 =/8B B =/- C

>1 C

a ba b #

10) .C

.Bœ

C >1B 68 -9>1 B C B -9=/- B C

-9>1 B C

68 =/- BB -9=/- B C

-9>1 B C

a ba b a ba ba ba b a b

#

#

VIRG

INIO

GO

MEZ


171

Derivada de funciones trigonométricas inversas

1) Si con , entonces C œ E<- =/8? ß ? œ Ba b

.C " .?

.B .Bœ †

" ?È #

2) Si con , entonces C œ E<- >1 ? ß ? œ Ba b

.C " .?

.B " ? .Bœ †

#

3) Si con , entonces C œ E<- =/- ? ß ? œ Ba b

.C " .?

.B .Bœ †

? ? "È #

4) Si con , entonces C œ E<- -9=? ß ? œ Ba b

.C " .?

.B .Bœ †

" ?È #

5) Si con , entonces C œ E<- -9>1 ? ß ? œ Ba b

.C " .?

.B " ? .Bœ †

#

6) Si con , entonces C œ E<- -9=/- ? ß ? œ Ba b

.C " .?

.B .Bœ †

? ? "È #

Ejemplos À

Determine en.C

.BÀ

"Ñ C œ E<- =/8 #B E<->1 $Ba b a b#.C # 'B

.Bœ

" #B " $BÉ a b a b# # #

.C # 'B

.B " *Bœ

" %BÈ # %

VIRG

INIO

GO

MEZ


172

#Ñ C œ E<- =/8 " B B E<- >1 /BÈ # $

.C B /

.Bœ $B E<- >1 /

B

" B

" " B

BB

" /B

ÈÊ Š ‹È a b

#

##

#$

#

.C " B /

.Bœ $B E<- >1 /

" B

BB

" /BÈ a b#

#$

#

$Ñ C œ E<- =/-Ba b$ (

.C $B

.Bœ ( E<- =/- B

B B "ˆ ‰ È$ '

#

$ '

.C #"B E<- =/- B

.Bœ

B B "

# $ '

$ '

a bÈ%Ñ C œ E<- >1 =/8B /a bB.C -9=B /

.Bœ

" =/8B /

B

B #a b&Ñ BE<-=/8 C œ CE<- =/- B

E<- =/8 C œ E<- =/- B B .C .C C

" C .B .B B B "È È# #

.C

.Bœ

C

B B " E<- =/8 C

B

" C E<- =/- B

ÈÈ

#

#

'Ñ B œ C Î 68E<- =/8 C E<- >1 B

68 B œ 68 CE<- =/8 C E<- >1 B

E<- =/8 C 68 B œ E<- >1 B 68 C

" .C E<- =/8 C " E<- >1 B .C

" C .B B " B C .B68 B œ 68 C È # #

.C

.Bœ

68C E<- =/8 C

" B B

68B E<- >1B

" C

C

#

#È

VIRG

INIO

GO

MEZ


173


Obtener en.C

.BÀ

"Ñ C œ E<- >1 #B E<- -9>1 &B ˆ ‰ a b$

2) C œ E<- -9=/- Bˆ ‰% '

3) C œ E<- -9= &B >1 Ba b4) C œ E<- =/8 68 B E<- >1 =/- Ba b a b#

5) C œ E<- -9= / E<- -9=/- $a b a bB B

6) C œ E<- >1 =/8 Ba ba b& (

7) C E<- -9= B œ BE<- =/8 C

8) E<- >1 B C $B œ BE<- =/8 =/8 Ca b a b

9) C œ BE<- -9= #B E<- =/- C#

10) a b a bE<- =/- B œ E<- >1 C# $C B

VIRG

INIO

GO

MEZ


174

Solución :

1) .C 'B &

.B " %B " #&Bœ

#

' #

2) .C %

.Bœ ' E<- -9=/- B

B B "ˆ ‰ È% &

)

3) .C & =/- B

.Bœ

" &B >1 B

#

#É a b

4) .C " #B =/- B >1 B

.B " =/- Bœ

B " 68 BÈ #

# #

# #

5) .C / 68$

.Bœ

" / $ "

B

#BÈ È #B

6) .C & B -9= B

.B " =/8 Bœ ( E<- >1 =/8 Bˆ ‰ˆ ‰ Œ & '

% &

# &

7) .C

.Bœ

E<- =/8 C C

" B

E<- -9= B B

" C

ÈÈ

#

#

8) .C

.Bœ

E<- =/8 =/8 C $"

" B C" B -9= C

" B C

" =/8 C

a b a ba b È

#

# #

9) .C

.Bœ

E<- =/- C # 68 C

B

" %BE<- -9= #B # 68 B

C

C C "

#

#

%

ÈÈ

10) .C

.Bœ

68 E<- >1 C #C

BE<- =/- B B "

68 E<- =/- B $BC

E<- >1 C " C

a b Èa b a b

$

# %

##

$ '

VIRG

INIO

GO

MEZ


175

Derivadas de orden superior

es una función real que al derivarla, es decir, al obtener obtenemos otra funciónC œ 0 B 0 Ba b a bw

que depende de , por lo tanto, se puede volver a derivar y así obtener la B À 0segunda derivadaw w

a b a bB œ 0 B. C

.B

#

#. Pero, a su vez, es también una función, luego es posible derivarla y así obtener la

w w

tercera derivada À 0 B œ. C

.B

w w wa b $

$ y así sucesivamente.

En general, si tiene derivadas, entonces la ésima derivada seráC œ 0 B 8 8 Àa b

. C8 . 0 B

.B .B8 œ 0 B œ88 "a b Š ‹a b

Ejemplos

1) Determinar todas las derivadas de À

C œ $B #B &B% #

.C

.Bœ "#B %B &$

. C

.Bœ $'B %

#

##

. C

.Bœ (#B

$

$

. C

.Bœ (#

%

%

. C

.Bœ !

&

&

2) Obtener en. C

.BÀ

#

#

+Ñ C œ $B B † % &Bˆ ‰ a b% #$

.C

.Bœ $ $B B "#B " % &B $B B "!Bˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ a b% $ # %# $

. C

.Bœ ' $B B "#B " "#B " % &B $ $B B $'B % &B

#

#% $ $ # % # ##ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰

$ $B B "#B " "!B $ $B B "#B " "!B "! $B Bˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰a ba b a ba b% $ % $ %# $

VIRG

INIO

GO

MEZ


176

,Ñ $B %BC &C œ !

$ %C %B & œ !.C .C

.B .B

.C %C $

.B & %Bœ

. C

.Bœ

% & %B %C $ %.C

.B

& %B

#

# #

Œ a b a ba ba b


"Ñ Determinar todas las derivadas de:

C œ "!B (B *B )B $& $ #

#Ñ. C

.B Obtener en:

#

#

a) C œ Ð#B $BÑ Ð(B 'B Ñ# $ %

b) (C &B œ #BC

c) $B C &B œ 'C %BC# #

d) C œ =/8 B -9= #B$

e) C œ 68ÐB B Ñ$

f) C œ &B "#

g) =/8 C B œ / -9= B# C

VIRG

INIO

GO

MEZ


177

Solución:

1) .C

.Bœ &!B #"B ")B )% #

. C

.Bœ #!!B %#B ")

#

#$

. C

.Bœ '!!B %#

$

$#

. C

.Bœ "#!!B

%

%

. B

.Bœ "#!!

&

&

. B

.Bœ !

'

'

#Ñ +Ñ œ %Ð(B 'B Ñ Ð%B $Ñ Ð%Ñ Ð(B 'B Ñ Ð( ")B Ñ . C

.B

#

#$ % $ $ #

Ð%B $Ñ Ð%Ñ Ð(B 'B Ñ Ð( ")B Ñ $ $ #

Ð#B $BÑ Ð"#Ñ Ð(B 'B Ñ Ð( ")B Ñ Ð( ")B Ñ # $ # # #

Ð#B $BÑ Ð%Ñ Ð(B 'B Ñ Ð $'BÑ# $ $

,Ñ œ. C

.B

# ( #B #C & #.C

.B

( #B

#

# #

Œ a b a b a ba b

-Ñ œ. C

.B

)C 'C 'B $B ' )BC %C & 'BC 'B )C )B.C .C .C

.B .B .B#

#

# #Œ Œ a b a ba b$B ' )BC# #

VIRG

INIO

GO

MEZ


178

d) .C

.Bœ $ Ð=/8 BÑ Ð-9= BÑ #=/8 #B#

. C

.Bœ ' =/8B -9= B $=/8 B %-9= #B

2

2# $

e) .C " $B

.B B Bœ Œ #$

. C Ð 'BÑ ÐB B Ñ Ð" $B Ñ Ð" $B Ñ " $B

.B ÐB B Ñ ÐB B Ñœ œ

2

2

$ # # %

$ # $ #

f) .C

.Bœ & Ð68 &Ñ Ð#BÑŠ ‹B "#

. C

.Bœ Ð68 &Ñ Ð& Ñ Ð68 &Ñ Ð#BÑ Ð#BÑ Ð68 &Ñ Ð& Ñ Ð#Ñ

2

2B " B "# #

œ Ð%B Ñ Ð68 Ñ Ð& Ñ # Ð68&Ñ Ð& Ñ# # B " B "# #

g) -9= C #B œ / =/8B.C .C

.B .BC

.C =/8B #B

.B -9= C /œ

C

. C

.B Ð-9= C / Ñœ

Ð-9= B #Ñ Ð-9=C / Ñ Ð=/8B #BÑ Ð =/8 C / Ñ.C .C

.B .B#

# C #

C C

VIRG

INIO

GO

MEZ


179

Aplicación de la derivada

A) Gráfico de curvas

Conceptos À

a) Valores extremos

Sea una función definida en un cierto intervalo I donde I, entoncesC œ 0 B B œ - − Àa b

1) es el de en I si, y sólo si I.0 - 0 B 0 - Ÿ 0 B aB −a b a b a b a bmínimo

2) es el de en I si, y sólo si I.0 - 0 B 0 - 0 B aB −a b a b a b a bmáximo

Criterios de la primera derivada

b) Valor crítico

Si es una función que existe para , entonces se dice un de si, yC œ 0 B B œ - - 0 Ba b a bvalor crítico

sólo si . El punto se denomina de 0 - œ ! -ß 0 - 0 B Þwa b a b a ba b punto crítico

c) Intervalos de crecimiento y/o decrecimiento

Si es una función definida en un cierto intervalo I, entoncesC œ 0 B Àa b 1) es en I si, y sólo si I.0 B 0 B Å 0 B ! aB −a b a b a ba bcreciente w

2) es en I si, y sólo si I.0 B 0 B Æ 0 B ! aB −a b a b a ba bdecreciente w

d) Concavidad

Si es una función definida en un cierto intervalo I, es derivable en I, entoncesC œ 0 B 0 B Àa b a b 1) es en I si, y sólo si es creciente en I.0 B 0 B 0 Ba b a b a ba bcóncava hacia arriba w

2) es en I si,y sólo si es decreciente en I.0 B 0 B 0 Ba b a b a ba bcóncava hacia abajo w

Criterios de la segunda derivada

e) Valor de inflexión

Si es una función definida en un cierto intervalo I que existe para , entonces seC œ 0 B B œ + +a bdice un del gráfico de si, y sólo si . El punto se denominavalor de inflexión C œ 0 B 0 + œ ! +ß 0 +a b a b a ba bw w

punto de inflexión del gráfico de 0 B Þa b

VIRG

INIO

GO

MEZ


180

f) Intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo

Sea es una función definida en un cierto intervalo I, entoncesC œ 0 B Àa b 1) es en I si, y sólo si I.0 B 0 B 0 B ! aB −a b a b a ba bcóncava hacia arriba

w w

2) es en I si, y sólo si I.0 B 0 B 0 B ! aB −a b a b a ba bcóncava hacia abajow w

g) Valores máximos y/o mínimos

Si es un valor crítico de , entonces el punto es unB œ - 0 B -ß 0 - Àa b a ba b 1) relativo de si, y sólo si .máximo 0 B 0 - !a b a bw w

2) relativo de si, y sólo si mínimo 0 B 0 - !Þa b a bw w

Ejemplos À

Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión,

intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de À

"Ñ 0 B œ B 'B )a b #

‡ ÀPuntos críticos

0 B œ #B 'wa b0 B œ ! Ê #B ' œ !wa b #B œ '

B œ $

0 $ œ * ") ) œa bœ "

Punto crítico À $ß "a b

‡ ÀIntervalo de crecimiento y decrecimiento

Intervalo

Valor de prueba

Signo de

Conclusión decreciente creciente

_ B $ $ B _# %

0 B 0 # ! 0 % !w w wa b a b a b0 B Å À Ó $ß _ Òa b0 B Æ À Ó _ß $ Òa b

VIRG

INIO

GO

MEZ


181

‡ Punto de inflexión:

0 B œ #w wa b

0 B œ ! Ê # œ !w wa b Falso

Por lo tanto, no existe punto de inflexión.

‡ ÀIntervalos de concavidad

Como entonces es siempre cóncava hacia arriba.# !ß 0 Ba b‡ ÀPunto de máximo y/o mínimo

0 $ œ #w wa b

Luego es un mínimo de a b a b$ß " 0 B

#Ñ 0 B œ $BB

%a b $

‡ ÀPuntos críticos

0 B œ B $$

%w #a b

0 B œ ! Ê B $ œ !$

%w #a b

$B œ "##

B œ „ #

0 # œ ' œ % 0 # œ ' œ % Ê À #ß % à #ß %) )

% %a b a b a b a b Puntos críticos

VIRG

INIO

GO

MEZ


182

‡ ÀIntervalo de crecimiento y decrecimiento

Intervalo

Valor de prueba

Signo de

Conclusión creciente decreciente creciente

_ B # # B # # B _ $ ! $

0 B 0 $ ! 0 ! ! 0 $ !w w w wa b a b a b a b

0 B Å À Ó _ß # Ò Ó #ß _ Òa b0 B Æ À Ó #ß # Òa b

‡ ÀPunto de inflexión

0 B œ B'

%

w wa b0 B œ ! Ê B œ !

'

%

w wa b

B œ !0 ! œ !a bPunto de inflexión À !ß !a b

‡ ÀIntervalos de concavidad

'

%B ! Ê B !

'

%B ! Ê B !

0 B À Ó !ß _Òa b0 B À Ó _ß !Òa b

‡ ÀPunto de máximo y/o mínimo

0 # œ $w wa b

Luego es un mínimo de a b a b#ß % 0 B

0 # œ $w wa b

Luego es un máximo de a b a b #ß % 0 B

VIRG

INIO

GO

MEZ


183


Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de

concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de À

1) 0ÐBÑ œ B #B "&#

#Ñ 0ÐBÑ œ B %B &#

$Ñ 0ÐBÑ œ B %B &"

##

%Ñ 0ÐBÑ œ B #B ""

$#

&Ñ 0ÐBÑ œ B $B$

'Ñ 0ÐBÑ œ #B 'B$

(Ñ 0ÐBÑ œ B B $B *% ""

$ #$ #

)Ñ 0ÐBÑ œ B B $B #"

$$ #

VIRG

INIO

GO

MEZ


184

Solución:

"Ñ Ð "ß "'Ñ Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À "ß _‘ 0ÐBÑ Æ À _ß "‘ Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.

Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia arriba.0ÐBÑ

Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de .Ð "ß "'Ñ 0ÐBÑ

2 Puntos Críticos: Ñ Ð#ß *Ñ

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À _ß #‘ 0ÐBÑ Æ À # ß _‘ Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.

Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia abajo.0ÐBÑ

Punto de máximo y/o mínimo: es un máximo de .Ð# ß *Ñ 0ÐBÑ

VIRG

INIO

GO

MEZ


185

$Ñ Ð%ß $Ñ Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À %ß _‘ 0ÐBÑ Æ À _ß %‘ Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.

Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia arriba.0ÐBÑ

Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de .Ð %ß $Ñ 0ÐBÑ

VIRG

INIO

GO

MEZ


186

%Ñ Ð$ß %Ñ Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À _ß $‘ 0ÐBÑ Æ À $ß _‘ Punto de Inflexión: No existe punto de inflexión.

Intervalo de Concavidad: siempre es cóncava hacia abajo.0ÐBÑ

Punto de máximo y/o mínimo: es un máximo de .Ð$ß %Ñ 0ÐBÑ

&Ñ Ð"ß #Ñ à Ð "ß #Ñ Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À _ß " "ß _‘ ‘ : 1 0ÐBÑ Æ ß "‘ Punto de Inflexión: Ð ! ß ! Ñ

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À !ß _‘ 0ÐBÑ À _ß !‘ Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de Ð"ß #Ñ 0ÐBÑ es un máximo de Ð "ß #Ñ 0ÐBÑ

VIRG

INIO

GO

MEZ


187

'Ñ Ð"ß %Ñ à Ð "ß %Ñ Puntos Críticos:

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À _ß " "ß _‘ ‘ : 1 0ÐBÑ Æ ß "‘ Punto de Inflexión: Ð ! ß ! Ñ

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À !ß _‘ 0ÐBÑ À _ß !‘ Punto de máximo y/o mínimo: 4 es un mínimo de Ð"ß Ñ 0ÐBÑ 4 es un máximo de Ð "ß Ñ 0ÐBÑ

VIRG

INIO

GO

MEZ


188

7 Puntos Críticos: Ñ $ß à ß#( " *!"

# % *'Œ Œ

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À _ß $ ß _"

%‘ ‘

:0ÐBÑ Æ ß $"

%‘

Punto de Inflexión: Œ "" $*&

) "*#ß

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À ß _""

)‘

0ÐBÑ À _ß""

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Punto de máximo y/o mínimo: es un mínimo de Œ $ß 0ÐBÑ#(

#

es un máximo de Œ ß 0ÐBÑ" *!"

% *'

VIRG

INIO

GO

MEZ


189

8 Puntos Críticos: Ñ Ð$ß (Ñ à Ð "ß Ñ""

$

Interv crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À "ß $‘ : 0ÐBÑ Æ _ß " $ß _‘ ‘ Punto de Inflexión: Œ "ß

&

$

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À _ß "‘ 0ÐBÑ À "ß _‘ Punto de máximo y/o mínimo: ( es un mínimo de "ß Ñ 0ÐBÑ

""

$ es un máximo de Ð$ß (Ñ Ð 0ÐBÑ

VIRG

INIO

GO

MEZ


190

Obtenga asíntotas, puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de

inflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de À

+Ñ 0 B œ#B $

B &a b

‡ ÀAsíntota vertical

H970 B œ Ö&×a b ‘

lim limB Ä &

#B $ #B $

B & B &œ _ à œ _

B Ä &

Por lo tanto, es una asíntota verticalB œ &

‡ ÀAsíntota horizontal

lim limB Ä _ B Ä _

#B $

B &œ œ #

#B $

B B

B &

B B

Por lo tanto, es una asíntota horizontalC œ #

‡ ÀPunto crítico

0 B œ œ # B & #B $ " "$

B & B &

wa b a ba b a ba ba b a b# #

0 B œ ! Ê œ ! Ê "$ œ !"$

B &

wa b a b# Falso

Luego, no existe punto crítico

‡ ÀIntervalo de crecimiento y de decrecimiento

Como 0 B œ Ê 0 B !aB − Ö&×"$

B &

w wa b a ba b# ‘

Por lo tanto es decreciente 0 B a B − Ö&×a b ‘


0 B œ œ œ! B & "$ # B & #' B & #'

B & B & B &

w w a b a b a b a b a ba b a b a b#

% % $

0 B œ ! Ê œ ! Ê #' œ !#'

B &

w w a b a b$ Falso

No existe punto de inflexión

VIRG

INIO

GO

MEZ


191

‡ ÀIntervalo de concavidad

0 B ! Ê !#'

B &

w w a b a b$Como , entonces #' ! aB − B & !‘ a b$a bB & ! Ê B & ! Ê B &$

0 B ! Ê !#'

B &

w w a b a b$Como , entonces #' ! aB − B & !‘ a b$a bB & ! Ê B & ! Ê B &$

0 B À Ó &ß _Òa b0 B À Ó _ß &Òa b‡Máximo y/o mínimo:

Como no existe punto crítico, entonces no hay puntos de máximo ni de mínimo

VIRG

INIO

GO

MEZ


192

,Ñ 0 B œB "

B %a b #

#

‡ ÀAsíntota vertical

H970 B œ Ö #ß #×a b ‘

lim limB Ä #

B " B "

B % B %œ _ à œ _

B Ä #

# #

# #

Por lo tanto, es una asíntota verticalB œ #

lim limB Ä #

B " B "

B % B %œ _ à œ _

B Ä #

# #

# #

Por lo tanto, es una asíntota verticalB œ #

‡ ÀAsíntota horizontal

lim limB Ä _ B Ä _

B "

B %œ œ "

B "

B B

B %

B B

#

#

#

# #

#

# #

Por lo tanto, es una asíntota horizontalC œ "

* :Punto crítico

0 B œ œ#B B % B " #B "!B

B % B %

wa b a ba b a ba ba b a b

# #

# ## #

0 B œ ! Ê œ ! Ê "!B œ ! Ê B œ ! "!B

B %

wa b a b# #

0 ! œ À !ß " "

% %a b Œ Punto crítico

‡ ÀIntervalo de crecimiento y de decrecimiento

Intervalo

Valor de prueba

Signo de

Conclusión creciente decreciente

_ B ! ! B _ " "

0 B 0 " ! 0 " !w w wa b a b a b0 B Å À Ó _ß ! Òa b0 B Æ À Ó !ß _ Òa b

VIRG

INIO

GO

MEZ


193


0 B œ œ "! B % "!B # B % #B "! B % B % %B

B % B %

w w a b a b a b a b a ba ba b a b

# # # # ##

# #% %

œ"! $B %

B %

a ba b

#

# $

0 B œ ! Ê œ ! Ê $B % œ ! Ê $B œ % B"! $B %

B %

w w a b a ba b

#

# $# # No existe en ‘

No existe punto de inflexión.

‡ ÀIntervalo de concavidad

0 B ! Ê !"! $B %

B %

w w a b a ba b

#

# $

Como , entonces "! $B % ! aB − B % !a b a b# # $‘

a b a ba bB % ! Ê B % ! Ê B # B # !# #$

0 B ! Ê !"! $B %

B %

w w a b a ba b

#

# $

Como , entonces "! $B % ! aB − B % !a b a b# # $‘

a b a ba bB % ! Ê B % ! Ê B # B # !# #$

Intervalo

Valor de prueba

Signo de

Conclusión cóncava hacia arriba cóncava haci

_ B # # B # # B _ $ ! $

0 B 0 $ ! 0 ! ! 0 $ !w w w w w wa b a b a b a bw

a abajo cóncava hacia arriba

0 B À Ó _ß #Ò Ó #ß _Òa b0 B À Ó #ß #Òa b‡ ÀMáximo y/o mínimo

0 ! œ %!

'%

w wa bLuego, es un máximo de Œ a b!ß 0 B

"

%

VIRG

INIO

GO

MEZ


194


Obtenga asíntotas, puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de

inflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de À

1 Ñ 0ÐBÑ œ$B "

B #

2) 0ÐBÑ œB "

" B

3) 0ÐBÑ œB #

" B

4 Ñ 0ÐBÑ œB #

* B

#

#

5 Ñ 0ÐBÑ œ$B "

B %

#

#

6 Ñ 0ÐBÑ œ#B

"' B

#

#

VIRG

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GO

MEZ


195

Solución:

"Ñ B œ # Asíntota Vertical:

Asíntota Horizontal: C œ $

Puntos Críticos: No existe Punto Crítico.

Interv de crecimiento y/o decrecim: es decreciente 0ÐBÑ a B − #‘ ˜ ™ Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.

Intervalo de Concavidad: 20ÐBÑ À ß _‘ 20ÐBÑ À _ß‘ Punto de máximo y/o mínimo: No existe Punto Crítico No existe Punto deÊ

máximo ni de mínimo.

VIRG

INIO

GO

MEZ


196

2 Asíntota Vertical: Ñ B œ "

Asíntota Horizontal: C œ "


Interv de crecimiento y/o decrecim: es creciente 0ÐBÑ a B − "‘ ˜ ™ Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À _ß "‘ 0ÐBÑ À "ß _‘ Punto de máximo y/o mínimo: No existe Punto Crítico No existe Punto deÊ


VIRG

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GO

MEZ


197

3 Asíntota Vertical: Ñ B œ $



Interv de crecimiento y/o decrecim: es creciente 0ÐBÑ a B − $‘ ˜ ™ Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À _ß $‘ 0ÐBÑ À $ß _‘ Punto de máximo y/o mínimo: No existe Punto Crítico No existe Punto deÊ


VIRG

INIO

GO

MEZ


198

4 Asíntota Vertical: Ñ B œ $ à B œ $


Puntos Críticos: Œ !ß#

*

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À !ß _‘ : 0ÐBÑ Æ _ß !‘ Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À $ß $‘ 0ÐBÑ À _ß $ $ ß _‘ ‘ Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de .

2

9Œ 0ÐBÑ

VIRG

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GO

MEZ


199

5 Asíntota Vertical: Ñ B œ # à B œ #

Asíntota Horizontal: C œ $

Puntos Críticos: Œ !ß "

%

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À _ß !‘ :0ÐBÑ Æ !ß _‘ Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À _ß # # ß _‘ ‘ 0ÐBÑ À #ß #‘ Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un máximo de .Œ 0ÐBÑ

"

%

VIRG

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200

6 Asíntota Vertical: Ñ B œ % à B œ %

Asíntota Horizontal: C œ #

Puntos Críticos: a b!ß !

Interv de crecimiento y/o decrecim: 0ÐBÑ Å À !ß _‘ : 0ÐBÑ Æ _ß !‘ Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À %ß %‘ 0ÐBÑ À _ß % % ß _‘ ‘ Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de ..a b! 0ÐBÑ

VIRG

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MEZ


201

B) Problemas de aplicación de máximos y/o mínimos

Procedimiento À

1) Realizar un dibujo esquemático.

2) Asignar variables a cada una de las cantidades mencionadas en el problema.

3) Establecer una ecuación que represente lo que se desea maximizar o minimizarÞ

4) Transformar la ecuación anterior en una ecuación que depende de una sola variable usando

toda la información del problema.

5) Determinar el punto crítico de la ecuación encontrada en 4 . Este valor será un máximo si ela bproblema es maximizar o un mínimo si el problema consiste en minimizar.

VIRG

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202

Ejemplos À

1) Una caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 64 m . El material de la parte de3

encima y el fondo de la caja cuesta $1000 por m y el material de los lados $500 el m . Calcular las2 2

dimensiones de la caja cuyo costo de construcción es mínimo.

Z œ B C#

'% œ B C#

'%

Bœ C

#

G œ "!!! #B &!! %BCa b a b#

G œ #!!!B #!!!BC#

G œ #!!!B #!!!B'%

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Bw

#

G œ ! Ê %!!!B œ !"#)!!!

Bw

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B œ"#)!!!

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B œ $#È$ B œ # %È$C œ Ê C œ % %

'%

% "'È È$

$

Las dimensiones de la caja son base m y altura m.À # % % %È È$ $

VIRG

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GO

MEZ


203

2) Un impresor recibe un pedido para producir un cartel rectangular que contiene 100 cm de2

impresión rodeado de márgenes de 1 cm. a cada lado, 3 cm. en la parte superior y 2 cm. en la parte inferior.

¿Cuáles son las dimensiones del cartel más económico?

a ba bB # C & œ "!!

BC &B #C "! œ "!!

BC #C œ *! &B

C B # œ *! &Ba bC œ

*! &B

B #

E œ BC

E œ B*! &B

B #Œ

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E œ*! "!B B # *!B &B "

B #w

#

#

a ba b a ba ba b

E œ&B #!B ")!

B #w

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&B #!B ")!

B #w

#

##a b È

C œ Ê C œ & & "!*! & # # "!

# # "! #

Š ‹ÈÈ È

Las dimensiones del cartel son largo cm. y ancho cm.À & & "! # # "!È È

VIRG

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MEZ


204

3) En una ribera de un río de 3 km. de ancho hay una planta eléctrica. En la ribera opuesta y 4 km. aguas

arriba hay una fábrica. Se desea tender un cable dede la planta eléctrica hasta la fábrica. calcular el trazado

más económico, si el metro de cable bajo el agua tiene un costo de $1200 y el metro de cable aéreo tiene un

costo de $720

G œ "#!! * B (#! % BÈ a b#

G œ "#!! * B #))! (#!BÈ #

G œ (#!"#!!B

* Bw

#ÈG œ ! Ê (#! œ ! Ê "#!!B œ (#! * B

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%

B œ #Þ#&% B œ % #Þ#& œ "Þ(&

È É a b* B œ * #Þ#& œ $Þ(&# #

El trazado más económico es 3.75 m. bajo agua y 1.75 m. aéreo

VIRG

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MEZ


205


1) Una caja cerrada con una base rectangular en la cual la altura es el triple de un de los lados

basales, debe tener un volumen de 48 m . El material de la parte de encima y el fondo de la caja3

cuesta $2.500 por m y el material de los lados $1.500 el m . Calcular las dimensiones de la caja2 2

cuyo costo de construcción es mínimo.

2) Con una malla de 48 mt se desea construir un corral aprobechando una pared. ¿Cuáles deben ser

la dimensiones para que el area sea máxima, si el corral tiene forma rectangular?.

3) Con una plancha de 144 cm por 96 cm se construirá una caja. ¿Cómo deben ser los cortes para

que el volumen de la caja sea máximo?.

4) Un rectángulo tiene un perímetro de 120 mt. ¿Qué largo y ancho da el area máxima?.

5) La diferencia entre dos números es 20. ¿Cuáles son aquellos en que su producto es mínimo?.

6) Se desea construir un depósito en forma de cilindro con capacidad máxima para 12 litros.

Determinar las dimensiones con el fin de emplear la mínima cantidad de material.

7) Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una

circunferencia de radio 12.

8) Una ventana normando tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Encontrar

sus dimensiones si el perímetro es de 12 pies y su área debe ser la máxima posible.

9) Calcular el área máxima del rectángulo que tiene su base inferior sobre el eje X y sus otros dos

vértices en la curva C œ "# B#

10) Con un alambre de 36 cm se construye un cuadrado y un círculo .¿Cómo ha de cortarse el alambre

en dos partes para que la suma de sus areas sea máxima.

VIRG

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206

Solución:

1) Largo: 16 ; Ancho: ; Alto: 3 81 20 20

400 9 9Ê Ê Ê3 3 3

2) Largo: 24 mt ; Ancho: 12 mt

3) Cortes cuadrados de 18,83 cm x 18,83 cm

4) Largo: 30 mt ; Ancho: 30 mt

5) Números: "! C "!

6) Radio: Altura

< œ à À 2 œ' "#

$ 'Ê

ËŒ $

11

1

#

7) Es un cuadrado de lado "# #È

8) Radio semi circunferencia: < œ"#

%1

Largo rectángulo: 6 œ"#

%1

Ancho rectángulo: + œ"#

%1

9) El área máxima del rectángulo es $# Ð? ./ +ÑÞ

10) Corte para cuadrado: Corte para círculo:"%% $'

% %Ð-7Ñ -7

1 1

1 a b

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207

C) Problemas de variaciones relacionadas

Procedimiento À

1) Asignar variables a todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.

2) Determinar una ecuación que represente al problema.

3) Derivar implícitamente con repecto al tiempo.

4) Sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y sus razones de

cambio.

VIRG

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MEZ


208

Ejemplos À

1) Una escalera de 25 pies de largo está apoyada en una casa. Si la base de la escalera se separa de la pared

a razón de 2 pies/seg. ¿A qué velocidad está bajando su extremo superior cuando la base está a 7 pies de la

pared?.

.B .C

.> .>œ # œ B œ ( Ê C œ '#& %* œ #%

pies

seg. ? È

B C œ #&# # derivando implícitamente con respecto al tiempo

#B #C œ ! Ê œ Ê œ Ê œ .B .C .C .C ( # .C (

.> .> .> C .> #% .> "#

B.B

.> a b

El extremo superior decrece a razón de 7 pies/seg.

VIRG

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MEZ


209

2) Se arroja arena en un montón cónico a razón de 100 pies /min. Hallar la razón de cambio de la altura del3

montón cuando su altura es 10 pies. Suponga que el radio del cono es igual a su altura .a b

.Z .2

.> .>œ "!! 2 œ "! 2 œ < œ pies ?

pies

min.

3

Z œ < 2 2 œ < À"

$1 # como , se tiene

Z œ 2"

$1 $ derivando implicitamente con respecto al tiempo

.Z " .2

.> $ .>œ $21 #

.2 .2 "!!

.> 2 .> "!!œ Ê œ

.Z

.>1 1#

Ê œ.2 "

.> 1

La altura del montón cónico crece a razón de pies/min.1

1

VIRG

INIO

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210

3) Un automóvil que se desplaza a razón de 120 km/hr., se aproxima a un cruce. Cuando el auto está a

1km. de la intersección, un camión que viaja a 150 km/hr. cruza la intersección. El auto y el camión se

encuentran en carreteras que forman un ángulo recto entre sí. ¿Con qué rapidez se separan 1 minuto

después que el camión pasa el cruce?.

.B .C

.> .>œ "#! œ "&! ;

km km

hr hr

km minutos"#! '!Ò km minuto km B " Ê B œ #Ò

km minutos"&! '!Ò

km minuto kmC " Ê C œ&

#Ò

un minuto después À

VIRG

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211

B C œ D# # # derivando implicitamente con respecto al tiempo

#B #C œ # D.B .C .D

.> .> .>

.D

.> Dœ

B C.B .C

.> .>

Como , entonces B œ "ß C œ D œ& #*

# #

È

Luego . œ œ #*" "#! "&!

&

#

#*

#

**!

#*w

a b a bÈ È

El auto y el camión se separan a una velocidad de km/hr después que el camión pasa por el cruce.**!

#*#*È

VIRG

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212


1) La razón de cambio del radio de un círculo es de 5 mt/mín. ¿Cuál es la velocidad de cambio del

perímetro?

2) El largo de una parcela rectangular aumenta a razón de 7 mt/mín ¿Cuál es la velocidad de

cambio del perímetro de la parcela si su ancho permanece constante?

3) Se infla un globo a razón de 1.800 cm /sg. Determinar la velocidad de aumento de radio del3

globo cuando este mide 15 cm?.

4) Se deposita agua en un tambor cilíndrico a razón de 400 cm /sg. Si el radio del tambor es 103

cm, determinar la razón de cambio de la altura del tambor.

5) Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio del<círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 1 pie/sg. Cuando el radio es 4 pies, ¿a

qué ritmo está cambiando el área de la región circular?E

6) Un avión vuela a una altura de millas por una trayectoria que le llevará a la vertical de una'estación de radar. Si la distancia del avión al radar decrece a una razón de millas/hr cuando%!!dicha distancia es millas, ¿Cuál es la velocidad del avión?."!

7) El radio de una esfera está creciendo a razón de pulg/mín. calcular la razón de cambio del#área de la esfera cuando el radio es pulg.'

8) Una cámara de televisión , situada a ras del suelo, está filmando el despegue de un cohete

espacial, que se mueve verticalmente de acuerdo con la ecuación donde se mide en= œ &!> ß =#

pies y en segundos. La cámara dista 2.000 pies del punto de lanzamiento. Calcular la variación>de cambio del ángulo de elevación de la cámara 10 segundos después del despegue.

9) Un cono circular recto, tiene una altura de 12 cm y un diámetro de base de 8 cm. Si se invierte

el cono y se vacia agua por la base del mismo, haciendo que el radio en el nivel del agua varíe

con una velocidad de . ¿Con qué velocidad cambiará el volumen de agua cuando el radio1 cm3 mˆ ‰

es 2 cm ?

10) Un globo asciende verticalmente sobre un punto del suelo a razón de 15 pies/sg. Un puntoEF E E del suelo dista 30 pies de . Cuando el globo está a 40 pies de , ¿a qué razón está cambiando

la distancia desde el globo al punto ?F

VIRG

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213

Solución:

1) El perímetro del círculo crece a razón de 10 mt/mín.1

2) La velocidad de cambio del perímetro de la parcela es de 14 mt/mín.

3) El radio del círculo crece a razón de cm/sg.2

1

4) La altura del tambor aumenta a razón de cm/sg.4

1

5) El área del círculo crece a una razón de pies sg) Î Þ1 #

6) La velocidad del avión es millas/hr.&!!

7) El área de la esfera aumenta a una razón de pulg mín.*' Î1 #

8) El ángulo de elevación de la cámara crece a una razón de rad/sg.#

#*

9) El volumen de agua aumenta a razón de cm /min.%1 $

10) La distancia desde el globo al punto aumenta a razón de pies/sg.F "#

VIRG

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214

Formas Indeterminadas

1) Si y , entonces adquierelim lim limB Ä + B Ä + B Ä +

0 B œ ! 1 B œ !0 B

1 Ba b a b a ba b

la forma indeterminada !

!Þ

2) Si y , entonces adquierelim lim limB Ä + B Ä + B Ä +

0 B œ _ 1 B œ _0 B

1 Ba b a b a ba b

la forma indeterminada _

_Þ

Regla de L'Hopital

1) Suponga que y lim lim limB Ä + B Ä + B Ä +

0 B œ ! ß 1 B œ ! œ P ß0 B

1 Ba b a b a ba b

w

w

entonces lim limB Ä + B Ä +

0 B 0 B

1 B 1 Bœ œ P

a b a ba b a bw

w

2) Suponga que y lim lim limB Ä + B Ä + B Ä +

0 B œ _ ß 1 B œ _ œ P ß0 B

1 Ba b a b a ba b

w

w

entonces lim limB Ä + B Ä +

0 B 0 B

1 B 1 Bœ œ P

a b a ba b a bw

w

La Regla de L'Hopital también es válida si , es decirB È _ ” B È _

a) Si y si , entonceslim limB Ä _ B Ä _

0 B _ 0 B

1 B _ 1 Bœ œ P

a b a ba b a bw

w

limB Ä _

0 B

1 Bœ P

a ba b b) Si y si , entonceslim lim

B Ä _ B Ä _

0 B _ 0 B

1 B _ 1 Bœ œ P

a b a ba b a bw

w

limB Ä _

0 B

1 Bœ P

a ba b

VIRG

INIO

GO

MEZ


215

Ejemplos:

"Ñ œB Ä !

$ # !B B

B ! lim

P LB Ä !

$ 68$ # 68#B B

"w lim

œ 68$ 68# œ 68$

#Œ


$ # $B B

B #œ 68Œ

#Ñ œ2 Ä !

# 2 % !

2 ! lim

a b#

P L œ %2 Ä !

# # 2

"w lim

a b

Por lo tanto, lim2 Ä !

# 2 %

2œ %

a b#

$Ñ œB Ä !

$ B $ !

B ! lim

È È

P LB Ä !

"

#$ B

"w

"Î#

lima b

œB Ä ! # $ B

"lim È

œ"

# $È


$ B $ "

Bœ# $

È ÈÈ

VIRG

INIO

GO

MEZ


216

%Ñ œB Ä $

B #(B !

B $B ! lim

# ÈÈ

27

3

P LB Ä $

#B #(B"

#

" $B"

#

w

"Î#

"Î#lim

a b a ba b a b

œB Ä $

#B #(

# #(B

" $

# $B

limÈÈ

œ'

#(

")

" $

'

œ)"

*

œ *

&Ñ œB Ä +

B B + +

B +

!

! lim

È ÈÈ È

P LB Ä +

B B"

#"

#B

w

"Î#lim

È "Î#

œB Ä +

$

#B

"

# B

lim

ÈÈ

œ $BB Ä +

lim

œ $+

Por lo tanto, limB Ä +

B B + +

B +œ $+

È ÈÈ È

VIRG

INIO

GO

MEZ


217

Otras formas indeterminadas:

a) ! †_ ß __

En estos casos se transforma la expresión a o y luego se aplica la regla de L'Hopital.! _

! _

Ejemplos:

"Ñ B † =/8 œ _ † !B Ä _ B

lim Š ‹1

limB Ä _

=/8B

"

B

œ!

!

Š ‹1

P LB Ä _

-9=B B

"

B

w #

#

lim

1 1Š ‹

limB Ä _

-9=B

"

11Š ‹

œ 1


B † =/8 œB

Š ‹1 1

# =/- B >1 B œ __

B Ä#

) lim1

a b

lim

B Ä#

" =/8B

-9= B -9= B

1 Œ

œ œ

B Ä#

" =/8B !

-9= B !lim

1

P L

B Ä#

-9=B

=/8Bw lim

1

œ !

Por lo tanto, lim

B Ä#

=/- B >1 B œ !1

a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


218

b) ! à _ à ! à "! ! _ _

Para estos casos primero se debe hacer uso de la función logaritmo natural y recordar la propiedad

68 + œ 8 † 68 +8

Ejemplo

"Ñ " B œ "B Ä !

"

Blim a b _

Sea , entoncesC œ " B

"

Ba b lim lim

B Ä ! B Ä !C œ " B

"

Ba b

C œ " BB Ä !

"

Blim a b

Por otro lado, si , entonces aplicando la función logaritmo natural se tieneC œ " B À

"

Ba b C œ " B Î 68

"

Ba b 68 C œ 68 " B

"

Ba b 68 C œ † 68 " B

"

Ba b

68C œ68 " B

B

a b

Ahora, se puede aplicar la función límite À

lim limB Ä ! B Ä !

68 C œ Ê 68C œ68 " B !

B !

a b

68 C œ P LB Ä !

"

" B"

w lim

68 C œ "

Pero, si , entonces 68 C œ " C œ /


" B œ /

"

Ba b

VIRG

INIO

GO

MEZ


219


"ÑB Ä !

( &B B

Blim

#ÑC Ä !

* C $

Clim

a b#

$ÑB Ä !

& B &

Blim

È È

%ÑB Ä #

)B B

#B Blim

ÈÈ

#

&ÑB Ä &

& & B B

& Blim

È ÈÈ È

' -9=/- B -9>1 BB Ä

) lim1

a b

(Ñ B † >1B Ä _ B

lim Š ‹1

)Ñ B "B Ä #

"

ÐB #Ñ lim a b

9 Ñ " 8 Ä _

"

8

$8

%lim Œ

10 Ñ8 Ä _

#8 $

#8 "

$8

#lim Œ

VIRG

INIO

GO

MEZ


220

Solución:

"Ñ œ 68B Ä !

B B (

B &

7 5lim Œ

#Ñ œ 'C Ä !

* C $

C lim

a b#

$Ñ œ B Ä !

& B & "

B # & lim

È ÈÈ

%Ñ œ 'B Ä #

)B B

#B B lim

ÈÈ

#

&Ñ œ "&B Ä &

& & B B

& B lim

È ÈÈ È

'Ñ -9=/- B -9>1 B œ !B Ä

lim1

a b

(Ñ B † >1 œB Ä _ B

lim Š ‹1 1

)Ñ B " œ /B Ä #

"

ÐB #Ñ lim a b

9 Ñ " œ /8 Ä _

"

8

$8

%lim Œ È% $

10 Ñ œ / /8 Ä _

#8 $

#8 "

$8

#lim Œ È

VIRG

INIO

GO

MEZ


221

VIRG

INIO

GO

MEZ


222

Unidad Nº1: Números Reales

1) $B "% (B #

2) $B % Ÿ #B &B

% #

3) ' B " #B % $B # $ &B #"a b a b a b a b#

4) a b a b a b#B $ %B B ( Ÿ % B ## $#

5) B " B &

B # B $

6) B & B $ #B "

B " B " B " Ÿ

#

7) a b a ba b#B $ $B &

" %B !

8) ¹ ¹&B "

$ (

9) ¹ ¹$B %

& *BŸ #

10) ¸ ¸ ¸ ¸#B & ( "!B

VIRG

INIO

GO

MEZ


223

Unidad Nº2: Geometría Analítica

1) Los vértices de un cuadrilátero son y . Calcular suEÐ %ß $Ñß FÐ"ß "Ñß GÐ #ß $Ñ HÐ%ß #Ñperímetro.

2) Determine el valor de en de modo que , con B EÐ"ß BÑ .ÐEßFÑ œ & FÐ $ß "Ñ

3) Determine la ecuación de la recta en su forma general, principal y de segmento que pasa por los

puntos y EÐ &ß %Ñ FÐ#ß $Ñ

4) Determine la ecuación de la recta que pasa por y es:Ð"ß $Ñ a) paralela con la recta P À B %C ( œ ! b) perpendicular con la recta &B #C " œ !

5) Determine el valor de en para que la recta:5 Ð5 "ÑB #5C " œ ! a) pase por el punto Ð"ß "Ñ b) sea paralela a la recta P À %B C # œ ! c) sea perpendicular a la recta P À #B $C & œ !

6) Los vértices de un triángulo son E #ß " à F $ß $ à G "ß %a b a b a b Determinar:

a) Ecuación de sus lados en forma principal y general

b) Perímetro del triángulo ABC



e) Ecuación de las medianas

f) Area de triángulo ABC

7) Identifique la cónica, determine sus puntos representativos y gráfica de:

a) #&B %C "&!B )C "#* œ !# #

b) C )B 'C %* œ !#

c) B C #B 'C #' œ !# #

d) #&C "'B œ %!!# #

VIRG

INIO

GO

MEZ


224

Unidad Nº3: Límites y Continuidad

1) Determine si existen, los siguientes límites:

a) limB Ä '

' ' B B

' B

È ÈÈ È

b) limB Ä #

B )

B %

$

#

c) limB Ä $

B "

B $

d) limB Ä (

B &B "%

B (

#

e) limB Ä $

B $

B $

È È

f) limB Ä _

& %B

#B $

#

#

g) y si: lim limB Ä ( B Ä (

0ÐBÑ 0ÐBÑ 0ÐBÑ œB " ß B (## #B ß ( Ÿ B Ÿ "!$B " ß B "!

ÚÛÜ

2) Determine las asíntotas de:

a) 0ÐBÑ œB &

" B

b) 0ÐBÑ œB B "

B #

#

c) 0ÐBÑ œB $

B #B $#

VIRG

INIO

GO

MEZ


225

3) Analice la continuidad en:

a) 0ÐBÑ œ

B &B %

" Bß B Á "

$ ß B œ "

ÚÝÝÛÝÝÜ

#

b) 0ÐBÑ œ& $B ß B Ÿ #

%B * ß B #

ÚÛÜ

c) 0ÐBÑ œ#B " ß ! Ÿ B Ÿ $"' $B ß $ B Ÿ )& %B ß ) B Ÿ "!

ÚÛÜ

4) Determine el valor de , y , según corresponda para que la función sea continua en todo su5 + ,dominio:

a) 0ÐBÑ œ

5 " ß B œ $

B &

* Bß B Á $

ÚÝÛÝÜ

b) 0ÐBÑ œ

#B $5 ß B &

B %5 ß B Ÿ &

ÚÛÜ #

c) 0ÐBÑ œ+B $ ß B %,B #+ ß % Ÿ B Ÿ "&B (, ß B "

ÚÛÜ

VIRG

INIO

GO

MEZ


226

Unidad Nº4: Derivadas

1) Obtener la primera derivada de:

a) 0ÐBÑ œ B B B &B" "

% $% $ #

b) 0Ð>Ñ œ> $> (> #>

> #

a b a b# &

$

c) C œ& B #B

B "Ê #

d) 0Ð>Ñ œ > &> > "ˆ ‰& % # '

e) B C $B œ B #C# % $ '

f) a bBC $B C œ B #C$ # $ %%

g) C œ $ 68 B B #B $ #† Š ‹È

h) 0Ð>Ñ œ / 691 > >Ð> >Ñ#$†

%a b

i) # B œ 68 C /BC † %B

j) a bB C œ CB B

k) 0Ð>Ñ œ =/- > " >1 # ># $ #a b a b†

l) C œ =/8 68 $B %B& $ % #ˆ ‰ˆ ‰

m) a b a b-9= B œ >1 C=/8 C =/- B

n) C œ E<- >1 > E<- =/8 > /a b a b$ # >&

o) B œ CE<- =/8 C E<- -9=/- B

VIRG

INIO

GO

MEZ


227

2) Obtenga asíntotas (si corresponde), puntos críticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,

puntos de inflexión, intervalos de concavidad, puntos de máximos y/o mínimos y gráfico de:

a) 0BÑ œ B B B" & $

# % #$ #

b) 0ÐBÑ œ& B

B *

#

#

3) Desarrolle los siguientes problemas:

a) Dos postes, de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que conectarlos mediante un cable

que esté atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el

fin de utilizar la menor cantidad de cable que sea posible?

b) Un granjero dispone de 200 metros de valla para cerrar dos corrales adyacentes. ¿Qué

dimensiones harán que el área encerrada sea máxima?.

c) Un controlador observa dos aviones que vuelan en trayectorias perpendiculares y a la misma

altura. Uno de ellos dista 150 millas y se mueve a 450 millas/hr. El otro está a 200 millas y se

desplaza a 600 millas/hr. ¿A qué ritmo decrece la distancia entre ellos?.

4) Determine los siguientes límites aplicando ' opital:PL

a) limB Ä &

B # *

& B

a b#

b) limB Ä (

$ # B

B (

È

c) limB Ä $

#(B B

$B B

ÈÈ

#

d) limB Ä !

-9=/- B -9>1 Ba b

e) limB Ä _

" &

$B

#B

&Œ

VIRG

INIO

GO

MEZ


228

Solución:

Unidad Nº1:

1) W96 œ $ß _‘

2) W96 œ _ß )‘ ‘

3) W96 œ (ß _‘

4) W96 œ ß _%"

'!’ ’

5) W96 œ ß # $ß _(

&“ ’ ‘

6) W96 œ _ß $

)“ “

7) W96 œ _ß ß& " $

$ % #“ “ “ “

8) W96 œ _ß %ß _##

&“ ’ ‘

9) W96 œ _ß ß _# #

& $“ “ ’ ’

10) W96 œ ß ß" ( ( $

' "! "! #“ ’ “ ’

VIRG

INIO

GO

MEZ


229

Unidad Nº2:

1) Perímetro œ %" "$ '" '&È È È È

2) B œ $ à B œ $

3) B C " œ ! à C œ B " à œ "B C

" "

4) a) B %C "$ œ !

b) #B &C "( œ !

5) a) b) c) 5 œ à 5 œ à 5 œ % " "

$ ( #

6) a) Lado a: C œ B à (B #C "& œ !( "&

# #

Lado b: C œ B à &B $C ( œ !& (

$ $

Lado c: C œ B à #B &C * œ !# *

& &

b) Perímetro = È È È#* &$ $%

c) > À $B )C # œ ! à > À *B (C ' œ ! à > À "#B C ) œ !+ , -

d) 2 À #B (C $ œ ! à 2 À $B &C ' œ ! à 2 À &B #C $ œ !+ , -

e) 7 À "%B %C " œ ! à 7 À "!B 'C "( œ ! à 7 À %B "!C "$ œ !+ , -

f) Area œ Ð? ./ +Ñ$"

#

VIRG

INIO

GO

MEZ


230

7) a) Cónica: Elipse

Centro À GÐ$ß "Ñ

Vértices eje mayor: Z Ð$ß %Ñ à Z Ð$ß 'Ñ" #

Vértices eje menor: ; F Ð&ß "Ñ F Ð"ß "Ñ" #

Focos: J Ð$ß " #" Ñ à J Ð$ß " #" Ñ" #È È

Excentricidad: / œ#"

&

È

VIRG

INIO

GO

MEZ


231

b) Cónica Parábola À

Vértice À Z Ð &ß $Ñ

Foco À J Ð (ß $Ñ

Directriz À H À B œ $

Eje de simetría À C œ $

Long. lado. recto À )

VIRG

INIO

GO

MEZ


232

c) Cónica: Circunferencia

Centro: GÐ "ß *Ñ

Radio: < œ "

d) Cónica: Hipérbola

Vértices eje real: Z Ð!ß %Ñ à Z Ð!ß %Ñ" #

Vértices eje imaginario: ;F Ð&ß !Ñ F Ð &ß !Ñ" #

Focos: J Ð!ß %" Ñ à J Ð!ß %" Ñ" #È È

Excentricidad: / œ%"

%

È

Asíntotas: C œ B à C œ B% %

& &

VIRG

INIO

GO

MEZ


233

Unidad Nº3:

1) a) 18limB Ä '

' ' B B

' Bœ

È ÈÈ È

b) limB Ä #

B )

B %œ $

$

#

c) lim limB Ä $

B " B "

B $ B $œ _ à œ _

B Ä $

Luego a la izquierda de , crece y a la derecha de decrece. $ 0 B $ß 0 Ba b a b Por lo tanto, no existe lim

B Ä $

B "

B $

d) limB Ä (

B &B "%

B (œ *

#

e) limB Ä $

B $

B $œ

"

# $

È ÈÈ

f) limB Ä _

& %B

#B $œ #

#

#

g) lim limB Ä (

0ÐBÑ œ ) à 0ÐBÑ œ )B Ä (

lim limB Ä (

0ÐBÑ œ 0ÐBÑ œ )B Ä (

¾ b 0ÐBÑ œ )B Ä (

lim

lim limB Ä "!

0ÐBÑ œ # à 0ÐBÑ œ $"B Ä "!

lim limB Ä "!

0ÐBÑ Á 0ÐBÑB Ä "!

No ¾ b 0ÐBÑB Ä "!

lim

VIRG

INIO

GO

MEZ


234

2) a) Asíntota vertical: 1B œ

Asíntota horizontal: 1C œ

Asíntota oblicua: No existe.

b) Asíntota vertical: B œ #

Asíntota horizontal: No existe.

Asíntota oblicua: C œ B $

c) Asíntota vertical: B œ " ß B œ $

Asíntota horizontal: C œ !

Asíntota oblicua: No existe.

3) a) 3Ñ 0Ð"Ñ œ $

33Ñ 0ÐBÑ œ $B Ä "

lim


lim


b Ñ 3Ñ 0Ð#Ñ œ "

33Ñ 0ÐBÑ œ " 0ÐBÑ œ "B Ä # B Ä #

lim lim

Existe ¾ limB Ä #

0ÐBÑ œ "

333Ñ 0ÐBÑ œ 0Ð#ÑB Ä #

lim

Luego es continua en 0ÐBÑ B œ #

VIRG

INIO

GO

MEZ


235

c Ñ Para Para B œ $ B œ )

3Ñ 0Ð$Ñ œ ( 3Ñ 0Ð)Ñ œ )

33Ñ 0ÐBÑ œ ( 33Ñ 0ÐBÑ œ )B Ä $ B Ä )

lim lim

lim limB Ä $ B Ä )

0ÐBÑ œ ( 0ÐBÑ œ #(

¾ ¾Existe No existe lim limB Ä $ B Ä )

0ÐBÑ œ ( 0ÐBÑ

333Ñ 0ÐBÑ œ 0Ð$ÑB Ä $

lim

Luego es continua en Luego es discontinua en 0ÐBÑ B œ $ 0ÐBÑ B œ )

Por lo tanto, es discontinua en el intervalo 0ÐBÑ Ò !ß "! Ó

4) a) 5 œ "

$

b) 5 œ "&

(

c) + œ ß , œ #""

#

VIRG

INIO

GO

MEZ


236

Unidad Nº4:

1) a) .C $ #

.B % $œ %B B B && #

b).C

.>œ

#> $ (> #> > $> ( "!> > # > $> (> #> $>

> #

ˆ ‰a b a b a b a b a ba ba bˆ ‰a b

& # % $ # & #

$ #

c).C " B " #B # B " B #B "

.B & B #Bœ

&

B "ËŒ a ba b a ba b

a b#

% #

#

d).C

.>œ ' > &> > " &> #!> #>ˆ ‰ ˆ ‰& % # % $&

e).C $B "#B #BC

.B B "#Cœ

# $

# &

f).C $B #%B C $B

.Bœ

"#C C $B " )C

# $ # $

# $ # $$

a ba b

g).C $ B

.Bœ $ 68 $ 68 B B # $B B

B

B B # B #ˆ ‰a bŠ ‹Š ‹È È È$ ##

$ # #

h).C

.>œ / #> " 691 > > > >

/ 691 / $> "> >

> >Œ a b ˆ ‰ˆ ‰ Î ÑÐ Ó

Ï ÒŠ ‹a b a b#

$

##

$%

%

i).C

.Bœ

% / 68 C # 68 # C "%B BC

B # 68# BC /%B

C

a b a b a b a b a bŠ ‹a b a b a b

j).C

.Bœ

68 C 68 B C B

B CB B

B C C

a b

k).C

.>œ # =/- > " >1 > " >1 # > =/- > " =/- # > #># $ $ # # $ # #ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ a b

VIRG

INIO

GO

MEZ


237

l).C "#B )B

.B $B %Bœ & =/8 68 $B %B -9= 68 $B %B $ 68 $B %Bˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ Œ % $ % # $ % # # % #

$

% #

m).C =/- B >1 B 68 >1 C =/8 C >1 B

.Bœ

-9= C 68 -9= B =/- B =/- C

>1 C

a ba b a b a b a ba b a b a b a b#

n).C $> #> /

.> " >œ & E<- >1 > %

" > /

ˆ ‰ Œ É a b$

# >

'# > #

o) .C

.Bœ

68 C E<- =/8 C

B B " B

68 B E<- -9=/- B

" C

C

ÈÈ

#

#

2) a) Puntos Críticos: Œ Œ " "* #(

# %) %ß à $ß

Interv de crec y/o decrec: 0ÐBÑ Å À _ß $ ß _"

#‘ ‘

:0ÐBÑ Æ $ß"

#‘

Punto de Inflexión: Œ ß& $!&

% *'

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À ß _&

%‘

0ÐBÑ À _ß &

%‘

Punto de máx y/o mín: es un mínimo de Œ " "*

# %)ß 0ÐBÑ

es un máximo de Œ $ß 0ÐBÑ#(

%

VIRG

INIO

GO

MEZ


238

b) Asíntota Vertical: B œ $ à B œ $


Puntos Críticos: Œ !ß &

*

Interv de crecimiento y/o decrecim:0ÐBÑ Å À !ß _‘

: 0ÐBÑ Æ _ß !‘ Punto de Inflexión: No existe Punto de Inflexión.

Intervalo de Concavidad: 0ÐBÑ À $ß $‘

0ÐBÑ À _ß $ $ ß _‘ ‘ Punto de máximo y/o mínimo: 0, es un mínimo de .

9Œ 0ÐBÑ

&

VIRG

INIO

GO

MEZ


239

3) a) Debe amarrarse a 9 pies del poste mas bajo.

b) Cada corral debe medir metros de largo por 25 pies de ancho."!!$

c) La distancia entre los aviones disminuye a una velocidad de 750 millas/hr.

4) a) limB Ä &

B # *

& Bœ '

a b#

b) limB Ä (

$ # B "

B ( 'œ

È

c) limB Ä $

#(B B

$B Bœ *

ÈÈ

#

d) limB Ä !

-9=/- B -9>1 B œ !a b

e) limB Ä _

" œ /&

$B

#B

& $ #Œ È

Apunte Calculo I

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Transcript of Apunte Calculo I