Aplicaciones EDOs Chavez

Dr. Milton Chávez Muñoz Docente UNJBG

APLICACIONES DIVERSAS DE LAS EDO – SEGUNDO AÑO

1. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON.- Suponga que una varilla de acero al rojo vivo se sumerge en un baño de agua fría. Si

f(t) es la temperatura de la varilla en el tiempo t, y suponga que la temperatura del agua se mantiene constante en 10ºC. Por la ley

de enfriamiento de Newton: “se tiene que la razón de cambio de temperatura f(t) es proporcional a la diferencia entre las dos

temperaturas 10ºC y f(t). Halle y escriba una EDO que describa esta ley física.

Solución.

Datos: Temperatura de la varilla de acero: f(t). Razón de cambio de la temperatura de la varilla: f´(t).

Ideas claves: Razón de cambio de f´(t). Proporcionalidad: k.

Descripción del enunciado: f¨(t) = k[10 – f(t) ] ó y´ = k[10 – f(t)]

Donde si k 0 (k positiva), calienta. k 0 (k negativa), enfría.

Resolviendo la EDO: y´ = k[10 – f(t)] es de variables separables.

Separando variables:

Integrando: –Ln(10 – y) = kt + Ln(C) Ln[(y – 10)/C] = kt

Potenciando con e: (y – 10) = C ekt, y = 10 + C ekt.

Nota: según el contexto del problema y las condiciones del mismo se determinan los valores de las constantes k y C.

Si la temperatura es inicialmente de 200ºC y en 20 minutos la temperatura es ya de 150, a los 50 minutos que temperatura habrá

alcanzado, luego a los 70 minutos.

Cuando el t=0´ , la temperatura será la inicial de: 200=10+Ce0(k), de donde C=190.

Cuando el t=20´ , la temperatura será de: 150 =10+190ek(20), de donde k= – 0,015269.

Piden para t=50´, la temperatura será de: y = 10+190e– (0,015269)(50) = 98,55ºC.



2. CAPITAL INVERTIDO.- Sea f(t) el monto de capital invertido por una empresa de negocios al tiempo t. La razón de cambio del

capital f´(t) se llama “Tasa neta de inversión”. Suponga que la gerencia de la empresa decide que el nivel óptimo de inversión debe

ser C dólares y que la tasa neta de inversión debe ser proporcional a la diferencia entre el capital óptimo invertido C y el capital

invertido f(t). Halle y escriba una EDO que describa esta situación.

Solución.

Datos: Capital invertido: f(t). Tasa neta de inversión: f´(t).

Ideas claves: Razón de cambio de f(t). Proporcionalidad: k

Descripción del enunciado: f¨(t) = k[C – f(t) ] ó y´ = k[C – f(t)]

Donde si k 0 (k positiva), el capital aumenta.

Resolviendo la EDO: y´ = k[C – f(t)] es de variables separables.

Separando variables:

Integrando: –Ln(C – y) = kt + Ln(L) Ln[(y – C)/ L] = kt. Potenciando con e: (y – C) = L ekt, y = C + Lekt.

C es el capital invertido. L es el capital inicial.

Cuando el t=0 años, el monto del capital inicial será de C0 dólares: L = C0 – C. Entonces y = C + (C0 – C)ekt.

Nota: según el contexto del problema y las condiciones del mismo se determinan los valores de las constantes k, C y C 0. Por

ejemplo: Supongamos que C=1000; C0=800, y que y=900 para t=2; entonces y =1000 –200ekt .

900=1000 – 200 e2k, de sonde k= – 0,3465, finalmente la función particular para estos dato será: y = 1000 – 200e–0,3465t.

_____________________________________________________________________________________________Análisis Matemático Recopilación: Segundo año.1


Para t=5 se tiene: y(5)=964,63 dólares. Para t=10 se tiene: y(10)=993,74 dólares.

3. Un modelo que describe las relaciones entre el precio y las ventas semanales de cierto producto puede tener la siguiente forma:

, donde “y” es el volumen de ventas y “p” es el precio por unidad. Es decir, “en cualquier tiempo la razón de

descenso de las ventas con respecto al precio es directamente proporcional al nivel de ventas e inversamente proporcional al

precio de venta más una constante”. Resuelva esta ecuación diferencial.

Solución. La ecuación es de variables separables.

Separando variables: . Integrando: 2 Ln(y) = –Ln(p+3) + Ln(C)

Ln(y2) = Ln[C/(p+3)]. Potenciando con e: y2 = .

Es decir el conocimiento de las variaciones de las ventas respecto al precio ha permitido conocer el volumen de ventas respecto al

precio por unidad. Si y=1, cuando p=1, se tiene: y2 =

Particularmente: Si el precio es de p=3 soles el volumen de ventas será: y2 = ó y= .

Si el precio es de p=5 soles el volumen de ventas será: y2 = ó y= .

Si el precio es de p=0,5 soles el volumen de ventas será: y2 = ó y= .

4. La ecuación de crecimiento de Gompertz es , donde a y b son constantes positivas. Esta ecuación se

utiliza en biología para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Encuentre la forma general de las soluciones de esta

ecuación diferencial.

Solución. La ecuación dada es de variables separables: .

Separando variables: . Integrando:

Ln[Ln (y/b)] = – at +Ln(C). Ln[Ln (y/b)] = – at +Ln(C) Ln[Ln (y/b)] =Ce –a t

Potenciando con e: Ln(y/b) = Ce– a t).

Ejercicio. Para una población con ritmo de crecimiento a=0,71 por año, que se supone crecerá hasta b=50 millones como máximo,

con yo=0,25b, aplicar el modelo de Gompertz para encontrar la población al cabo de dos y de cuatro años. Para los mismos datos

encontrar el tiempo en que y(t)=0,50b y luego y(t)=0,75b.

5. Cierta sustancia líquida A se calienta en un matraz, se descompone en una sustancia B a una razón (medida en unidades de A

por hora) que, en todo tiempo t, es proporcional al cuadrado de la cantidad de sustancia presente al tiempo t. Construya y resuelva

una ecuación diferencial que f(t) satisfaga.

Solución. Datos: Sustancia A se transforma en sustancia B.

Ideas clave: Razón de cambio. Proporcionalidad:



Descripción: “A se transforma en B a una razón que, en todo tiempo, es proporcional al cuadrado de la cantidad de sustancia

presente en el tiempo” . Para resolver:

Integrando: . La solución es: ó .

6. PENDIENTE DE UNA CURVA. Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1; 3) y tiene una pendiente de y/x 2, hacer

un diagrama.

Solución. Datos: Pendiente de la curva: m = . Pasa por el punto (1; 3).

Ideas clave: Pendiente de una recta tangente a una curva.

Descripción: . Resolviendo: La ecuación es de variables separables:

Integrando: .

La solución general es: .

Usando la condición de que la curva pase por punto (1; 3) se halla el valor de la constante C.

C = Ln(3)+1.

La solución particular será: .

Potenciando: y = 3e(x–1)/x. La gráfica se adjunta.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

7. CONSERVACIÓN DE ALIMENTOS.- En el proceso de conservación de alimentos, el azúcar de caña experimenta una variación

convirtiéndose en una mezcla de dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa. En solución diluida, la tasa de inversión es

proporcional a la concentración y(t) de azúcar no alterado. Si la concentración es de 1/50 en t=0 horas y de 1/200 después de tres

horas, obtener la concentración de azúcar no alterado después de 6 y de 12 horas.

Solución.

Datos: Azúcar de caña se transforma en dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa.

La concentración es de 1/50 en t=0 horas y de 1/200 después de tres horas.

Ideas clave: Variación del azúcar. Proporcionalidad: k, k0.

Descripción: En solución diluida, la tasa de inversión es proporcional a la concentración y(t) de azúcar no alterado:

Resolviendo: La ecuación es de variables separables:



Integrando: . La solución general es: y = C ekt.

Usando las condiciones hallaremos el valor de las constantes desconocidas de la solución general:

Si y=1/50 , t=0 1/50 = C e0, k=1/50.

Si y=1/200, t=3 1/200 = (1/50) e3k, ¼ = e3k, ,

La solución particular será: ,

Calculamos lo que se pide:

i) Si t=6: y=(1/50)4–2 = 1/800 = 0,00125.

ii) Si t=12: y=(1/50)4–4 = 1/12800 = 0,000078125.

2 4 6 8 10 12 14

0.005

0.01

0.015

0.02

Observamos que la concentración a medida que el tiempo pasa es cada vez menor.

8. CRECIMIENTO POBLACIONAL. La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante dado es

proporcional a tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180 moscas después del segundo día del experimento y 300

después del cuarto día; ¿Cuántos moscas habían originalmente?

Solución. Datos: Hay 180 moscas después del 2do. día. Hay 300 mocas después del 4to. día.

Ideas clave: Tasa de crecimiento. Proporcionalidad: k.

Descripción: La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional a tamaño de la

población en dicho momento: .

Resolviendo: La ecuación es de variables separables:

Integrando: .

La solución general es: M = C ekt.

Usando las condiciones hallaremos el valor de las constantes desconocidas de la solución general:

Si M=180, t=2 180 = C e2k, - - - - (a)

Si M=300, t=4 300 = C e4k - - - - (b)

Remplazando (a) en (b): 300 = C(e2k)2 = C(180/C)2 C = 108 moscas.

Por otro lado, hallemos el valor de k: 180 = 108 e2k, 5/3 = e2k, k=

La solución particular será: = .

Respuesta: La cantidad original de moscas es de 180; se obtiene cuando el tiempo t=0.



Se puede calcular la cantidad de moscas para cualquier tiempo que se pida, por ejemplo:

- Al finalizar el día sétimo t=7, habrán = 646 aproximadamente.

- Al finalizar el décimo día t=10, habrán =1 389 moscas aproximadamente.

2 4 6 8 10 12 14

1000

2000

3000

4000

5000

PLANTEO DE OTROS PROBLEMAS:

9. Con base en la hipótesis del modelo de la ecuación , determine una ecuación diferencial que describa la población,

P(t) cuando se permite una inmigración de tasa constante r.

Solución.

Sea: P(t): población del país en el tiempo t (t en años).

: Rapidez de cambio de la población.

k: constante de proporcionalidad positiva, k0.

r: población que inmigra al país al año en forma constante.

Bajo la hipótesis de que la razón de cambio de la población en cualquier instante t es proporcional a la cantidad de población

presente en ese instante, la ecuación diferencial asociada a este fenómeno es: .

10. Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a un flujo constante de r g/s. Al mismo tiempo, esa medicina

desaparece con una razón proporcional a la cantidad x(t) presente en cualquier momento t. Formule una ecuación diferencial que

describa la cantidad x(t).

Solución.

Sea: x(t): cantidad de medicina, en g/s, en el torrente sanguíneo en el tiempo t.

r: cantidad constante de medicina que ingresa al torrente sanguíneo del paciente.

: Rapidez con la que varía la cantidad de medicina en el torrente sanguíneo del paciente.

k: constante de proporcionalidad negativa, k0.

Suponiendo que la cantidad de medicina disminuye proporcionalmente a la cantidad presente en cualquier instante de tiempo t, la

ecuación diferencial que describe la situación será: .

11. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene 300 galones de agua en un inicio, en los que se disolvieron 50 libras de

sal. Al tanque entra agua pura con flujo de 3 galones por minuto y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una

ecuación diferencial que exprese la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque cuando el tiempo es t.

Solución.

Sea: A(t): cantidad de sal en el tanque en el tiempo t (t en segundos).

: Rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque.



R1: rapidez con que entra la sal al tanque.

R2: rapidez con que la sal es desalojada del tanque.

De modo que:

Se tiene que: R1 = 0, no está ingresando sal al tanque (entra agua pura).

R2 = (3 galones/minuto) = .

De modo que: libras/minuto.

12. Por un agujero circular de área A0, en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente

cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a CA0 , donde 0 C 1. Deduzca una ecuación diferencial que

exprese la altura h del agua en cualquier momento t. que hay en el tanque cúbico de la figura 1. el radio del agujero es de 2

pulgadas y g=32 pies/s2.

Solución.

Sea: V: volumen del tanque.

Aw: base cuadrada del tanque.

L=10: arista del cubo.

h: altura del agua en el tiempo t.

De modo que e volumen será: V = 100h.

Derivando ambos lados con respecto a t, se encuentra la relación entre las razones d cambio del volumen y la altura del tanque:

ó .

Pero: = = = = .

De donde: ó .

Dado que la altura va disminuyendo se toma signo negativo, es decir la ecuación diferencial final queda como:

13. En la teoría del aprendizaje, se supone que “la rapidez con que se memoriza algún tema es proporcional a cantidad que queda

por memorizar”. Suponga que M representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que A(t) es la cantidad

memorizada en un tiempo t cualquiera. Deduzca una ecuación diferencial para determinar la cantidad A(t).

Solución.

Sea: A(t): cantidad del tema memorizado en el instante t. M: cantidad total del tema que se debe memorizar.

M – A(t): cantidad del tema que falta memorizar. : Rapidez con que se memoriza.

k: constante de proporcionalidad positiva.

La ecuación diferencial queda: .


10 Pies

Alturah

Aw

o pies

Agujero circular A0


14. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en

cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y en cuánto se cuadruplicará?

Solución. Sean. P: población de la comunidad en el tiempo t. P0: población inicial, en t=0.

t: tiempo en años. : Rapidez con la que aumenta la población.

k: constante de proporcionalidad positiva

Del enunciado, la EDO será: .

Separando variables e integrando: Ln(P) = kt + Ln(C) P = Cekt.

Usando las condiciones iniciales para hallar C y k respectivamente:

- P(0) = P0: P(0) = Cek(0) P0 = Cek(0) C = P0.

- P(5) = 2P0: P(5) = P0 e5k 2P0 = P0 e5k 2 = e5k k = (1/5)Ln(2) k = 0,13863

Finalmente la función queda: P = P0 e0,13863t.

Calculando lo que se pide:

- La población se triplica: 3P0 = P0 e0,13863t 3 = e0,13863t t=7,9 años.

- La población se cuadruplica: 4P0 = P0 e0,13863t 4 = e0,13863t t=10 años.

Respuesta: la población se triplica aproximadamente a los 7,9 años y se cuadruplica a los 10 años.

15. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al

cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especimenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de

bacterias?

Solución. Sean X: cantidad de bacterias en el tiempo t. t: tiempo en horas

X0: cantidad inicial de bacterias. : Rapidez de aumento del nº de bacterias en el cultivo.

k: constante de proporcionalidad positiva.

Según la descripción, la EDO será: .

Separando variables e integrando: Ln(X) = kt + Ln(C) X = Cekt.


- X(0) = X0: X(0) = Cek(0) X0 = Cek(0) C = X0.

- P(3) = 400: P(3) = X0 e3k 400 = X0 e3k

- P(10) = 2000: P(10) = X0 e10k 2000 = X0 e10k

Igualando los k anteriores: X0 = X0 = 201.

Respuesta: la cantidad inicial de bacterias es aproximadamente de X0 = 201 bacterias.



16. El PB-209, isótopo radiactivo de plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento

y tiene un periodo medio de vida de 3,3 horas. Si al principio había un gramo de plomo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que

s desintegre el 90 %?

Solución. Sea. A: cantidad de plomo PB-209 presente en el tiempo t. t: tiempo en horas.

: Rapidez de desintegración del PB-209. k: constante de proporcionalidad positiva.

Del enunciado se tiene la EDO: (el signo – es por ser desintegración, disminución de A)

Separando variables e integrando: Ln(A) = –kt + Ln(C) A = Ce –kt.


- Al inicio, la cantidad es de un gramo: A(0) = 1: A(0) = Cek(0) 1 = Cek(0) C = 1.

- En 3,3 horas se desintegrará aproximadamente la mitad del PB-209: A(3,3) = 0,5:

A(3,3) = e3k 0,5 = e3k k=0,21.

La ecuación finalmente queda: A = e –0,21t.

Piden calcular en que tiempo se desintegra el 90% de PB-209, queda el 10% presente en el tiempo: 0,1 = e– 0,21t

De donde t= 2.30/0,21 t=11 horas aproximadamente.

Respuesta: el 90% de PB-209 se desintegrará aproximadamente en 11 horas.

17. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado que su intensidad I disminuye es

proporcional a I(t), en donde t representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar límpida, la intensidad a tres

pies bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial I0 del rayo incidente, ¿cuál es la intensidad del rayo a 16 pies bajo la

superficie?

Solución. t: es el espesor del medio en pies. k: constante de proporcionalidad positiva.

La descripción “la intensidad del rayo de luz disminuye con una rapidez proporcional a la intensidad presente”, da la EDO:

.

Separando variables e integrando: Ln(I) = –kt + Ln(C) I = Ce –kt.


- La intensidad inicial es I0: I (0) = I0 I (0) = Cek(0) I0 = Cek(0) C = I0.

- La intensidad a una profundidad de 3 pies es del 25% de la inicial I 0, I(3) = 0,25 I0:

0,25 I0 = I0 e –kt, 0,25 = e –kt k= 0,4621

La ecuación finalmente queda: I(t) = I0 e –0,4621t.

Piden calcular la intensidad a una profundidad de 15 pies bajo la superficie del agua:

I(15) = I0 e –0,4621(15) = I0 e –6,9 =0,001 I0 = 0,1 % I0.

Respuesta: A una profundidad de 15 pies habrá una intensidad de luz del 0,1 % de la intensidad original, es decir de la intensidad

de la superficie.



18. En un trozo de madera quemada se determinó que el 85,5% de su C-14 se había desintegrado. Determine la edad aproximada

de la madera (la vida media del C.14 es de 5 600 años). Estos son precisamente los datos que usaron los arqueólogos para fechar

los murales prehistóricos en una caverna de Lascaux, Francia.

Solución.

Hipotéticamente el C-14 se desintegra con una rapidez que es proporcional a la cantidad presente en el tiempo t.

La ecuación diferencial asociada a este tipo de fenómeno es:

Cuya solución es dada por: ,k0 ……… (1)

De donde: , pues la vida media del C-14 es de 5600 años.

Entonces: 5 600k = Ln(1/2) k=0,00012378 ……… (2)

Entonces: ……… (3)

Como ya se desintegrado el 85,5 % del C-14, resta por desintegrarse el 14,5% del C-14 original en el trozo de madera; de donde:

……… (4)

Al reemplazar (4) en (3) se tiene: – 0,0012378= Ln(145)

De donde = 15 600 años.

Respuesta: La madera hallada en la caverna de Lascaux tiene una edad aproximada d 15 600 años.

19. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de 70ºF y se lleva al exterior, donde la temperatura es

de 10ºF. Pasado medio minuto el termómetro indica 50ºF. ¿Cuál es la lectura cuando t=1 minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita

para que el termómetro llegue a 15ºF?

Solución.

La ley de enfriamiento de Newton establece que en un cuerpo que se enfría, la rapidez con que la temperatura del cuerpo T

cambia en el tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante Tm del medio

ambiente que lo rodea. Es decir, si k es una constante de proporcionalidad.

De la Ley se tiene:

Pero nos dan que , es decir:

Separando variables e integrando: Ln(T–10) = kt + C1 T – 10 = C .

Entonces: T(t) = 10 + C ……………… (1)

Como en t=0, T=70, al sustituir en (1): 70 = 10+C , se llega a tener que C=60.

Seguidamente: T(t) = 10 + 70 ……………… (2)

La otra condición: T(0,5)=50, conduce a: 50 = 10 + 60 Ln(0,67) = 0,5k k=1 – 0,81094

Finalmente: T(t) = 10 + 60 ……………… (3)

(i) Piden hallar para t=1 minuto: T(1) = 10 + 60 = 36,67ºF.



(ii) Piden ahora hallar t pata T=15ºF: 15 = 10 + 60 , de donde al despejar t=3,.6 minutos.

Respuesta: Al cabo de un minuto la temperatura del termómetro será de 36,67ºF; el termómetro llegará a 15ºF en 3,06 minutos.


Aplicaciones EDOs Chavez

Documents

Transcript of Aplicaciones EDOs Chavez