TRANSMULTIPLEXORES

En Estados Unidos y casi los demás países el servicio telefónico emplea dos tipos de multiplexaje para transmitir señales de voz de baja frecuencia sobre un canal de banda ancha.

• En el esquema telefónico de multiplexaje por división de frecuencia (MDF) se modulan primero las señales de voz analógicas mediante moduladores de banda lateral (BLU) y se transmiten sobre un canal de banda ancha común. Para evitar la diafonía, las subportadoras se eligen para asegura que no se traslapen los espectros de las señales moduladas.

• El sistema telefónico de multiplexaje por división de tiempo (MDT), las señales de voz se convierten primero en señales digitales mediante muestreo y conversión A/D y se intercalan en el tiempo por un multiplexador digital y se transmite la señal combinada. En el extremo receptor las señales de voz digitales se separan mediante un desmultiplexor digital, para luego pasar a un convertidor D/A y un filtro de reconstrucción analógico para recuperar su forma original.

El sistema MDT se emplea en comunicaciones de recorrido corto, el MDF se prefiere en la transmisión de recorrido largo.

El transmultiplexor es una estructura de multientrada y multisalida, como se muestra en la fig 15.49, está compuesto por un banco de filtros de síntesis de L canales en el extremo de entrada, seguido por un banco de filtros de análisis de L canales en el extremo de salida.

La relación entrada-salida del transmultiplexor está dada por:

(15.108)

Denotando

Se puede reescribir la ecuación (15.108) como

(15.110)

F(z) es una matriz L x L cuyo elemento (k, l)-ésimo está dado por Fk(z)

• El objetivo del diseño del multiplexor es asegurar que yk[n] sea una réplica razonable de xk[n].

• Si yk[n] contiene contribuciones de xr[n] con r ≠ n, entonces hay diafonía entre estos dos canales.

• La diafonía está totalmente ausente si F(z) es una matriz diagonal, la ecuación (15.110) se reduce a:

Yk(z)= Fkk(z)Xk(z), 0≤ k ≤ L -1

Se pueden definir tres tipos de sistemas Transmultiplexores:

• un sistema preservador de fase si Fkk(z) es una función de transferencia de fase lineal para todos los valores de k.

• un sistema preservador de la magnitud si Fkk(z) es una función pasatodas.

• un transmultiplexor de reconstrucción perfecta.

FKK(z)= αkz-nk, 0 ≤ k ≤ L-1

nk es un entero

αk es una constante distinta de cero

Para un sistema de reconstrucción perfecta, yk[n]=αkxk[n-nk].

La condición de reconstrucción perfecta también puede obtenerse en términos de las componentes polifase de los bancos de filtros de síntesis y de análisis del transmultiplexor de la figura 15.49, como se muestra en la figura 15.51 a). Mediante las equivalencias en cascada se llaga a la representación equivalente indicada en la figura 15.51 b).

Advierta que la estructura en la parte central de esta figura es un caso especial del sistema

de la figura 15.49, donde G(z) = z-(L-1- ) y Hk(z) = z-k, con ,k =0, 1, …, L-1.

Aquí la componente polifase cero de H+1(z) G(z)es z-1 para = 0,1,…, L-2,

La componente polifase cero de H0(z) GL-1(z)es 1

Y La componente polifase cero de Hk(z) G (z)es 0 para todos los demás casos.En consecuencia, una representación equivalente simplificada de la figura 15.51 b) se muestra en la figura 15.52.

En una traslación común del formato MDT a MDF, 12 señales de voz digitalizada se interpolan mediante un factor de 12, se modulan por una modulación de banda lateral única, se suman digitalmente y después se convierte en una señal analógica MDF mediante conversión D/A. En el extremo receptor, la señal analógica se convierte en una señal digital mediante conversión A/D y se pasa a través de un banco de 12 demoduladores de banda lateral única cuyas salidas luego se diezman, dando lugar a señales de voz de baja frecuencia. Las señales de voz tienen un ancho de banda de 4 kHz y se muestrean a una tasa de 8 kHz. La señal analógica del MDF ocupa la banda de 60 kHz a 108 kHz, como se ilustra en la figura 15.53. La interpolación y la modulación de banda lateral única pueden efectuarse mediante sobremuestreo y el filtrado de manera apropiada. De igual manera, la

demodulación de banda lateral única y el diezmado pueden implementarse mediante el filtrado y el sobremuestreo apropiados.

Figura 15.53 Espectros de las señales del MDT y la señal MDF

Transmisión multitonos discreta de datos digitales• Los datos binarios se transmiten de manera normal serialmente como un tren de

pulsos, como se indica en la figura 15.54 a). Sin embargo el receptor requiere procedimiento de ecualización compleja para compensar la imperfección del canal y aprovechar al máximo su ancho de banda .Por ejemplo, el tren de pulsos de la figura 15.54 b). Para reducir los problemas al transmitir datos como un tren de pulsos, se ha propuesto el multiplexaje por división de frecuencia con subcanales traslapados, en un sistema de este tipo, cada dígito binario modula una señal senoidal subportadora cos(2π rt/T) como se indica en la figura 15.54c) para transmitir datos de la figura 15.54a). En el receptor la señal analógica pasa a través de un banco de demoduladores cuyas salidas se verifican para determinar los dígitos transmitidos.

• Ésta es la idea básica que sostenía el esquema de modulación/demodulación de multiportadora para la transmisión de datos digitales.

Convertidor A/D de sobremuestreo

* En el procesamiento digital analógica en tiempo continuo, la señal se hace pasar a través de un circuito de muestreo y retención cuya salida se convierte después en una forma digital mediante un convertidor A/D.

* De acuerdo al teorema de muestro, una señal en tiempo continuo de banda limitada con un espectro pasabajas puede recuperarse por medio de su versión muestreada de manera uniforme, si se muestrea a una frecuencia de muestreo que es al menos el doble de la frecuencia más alta contenida en la señal analógica.

* El convertidor A/D de densidad de ruido se encarga de convertir una señal analógica a una señal digital, pero además se encargan de atenuar las interferencias en la señal debido al ruido.

En la figura se presenta una gráfica de las densidades de ruido para dos tasas de muestreo diferentes, donde la porción sombreada indica la banda de interés de la señal. Como puede verse la cantidad total de ruido en la banda de interés de la señal para el caso de la tasa de muestreo alta, es más pequeña que para el caso de la tasa de muestreo baja.

Figura 15.59 Estructura del convertidor A/D sigma- delta de sobremuestreo.

Esta figura indica las tasas de muestreo en diversas etapas de la estructura.

Debe notarse que las muestras de salida de 1 bit del cuantizador despues del diezmado se convierte en muestras de b bits a la salida de convertidor A/D, debido a las operaciones de filtrado que involucran coeficientes de multiplicador de b bits del filtro pasabajas digital de banda M-ésima.

Convertidor D/A de sobremuestreo

El proceso de conversión digital-analógico consta de dos pasos:

• La conversión de muestras digitales de entrada en una forma de onda con tiempo continuo en escalera mediante un convertidor D/A con una retención de orden cero en su salida.

• Seguida por un filtro de reconstrucción analógico pasabajas.

Una mejora adicional en el desempeño de un convertidor D/A de sobremuestreo se obtiene al emplear el cuantizador de 1 bit sigma-delta digital a la salida del interpolador digital, como se indica en la figura 15.68

Figura 15.68 Representación en diagrama de bloques de un convertidor D/A sigma- delta de sobremuestreo.

Figura 15.69 Cuantizador sigma-delta

Se deduce de esta figura que la relación de entrada-salida del cuantizador está dada por

y[n] – e[n] = x[n] – e[n-1]

O, de manera equivalente, mediante

y[n] = x[n] + e[n] – e[n-1]

y[n] es el BMAS de la muestra enésima de la salida del sumador.

e[n] es la muestra n-ésima del ruido de cuantización compuesto por todos los bits, excepto el BMAS.

Una de las aplicaciones más comunes del convertidor D/A sigma-delta de sobremuestreo se encuentra en el reproductor de discos compactos (CD).

Diseño de arreglos de antenas dispersas Los arreglos de antenas de fase lineal se usan en el procesamiento de señales de

radar, sonar , imágenes de ultrasonido y sísmicas.

Los arreglos dispersos con cientos elementos eliminados son económicos y de interés práctico.

Existe una similitud matemática entre el patrón de radiación de campo lejano de un arreglo de antenas lineales de elementos igualmente espaciados y la respuesta de frecuencia de un filtro FIR, que puede aprovecharse para diseñar arreglos dispersos con patrones de haces específicos.

Se restringe la atención al diseño de arreglos dispersos para el explorador de ultrasonido.

Fig. 15.75 Arreglo uniforme de antenas lineales

Considere un arreglo lineal de N elementos isotrópicos e igualmente espaciados, con un espaciamiento entre d y ubicados en xn = n • d para 0 ≤ n ≤ N – 1.

El patrón de radiación de campo lejano a un ángulo está dado por

(15.142)

w[n]: es la excitación o peso complejo del elemento n-ésimo.

λ: la longitud de onda.

u = sen θ.

P(u) puede considerarse como la transformada de Fourier en tiempo discreto de w[n], con la variable de frecuencia dada por 2π(u/λ)d.

La ponderación del elemento del arreglo w[n] como una función de la posición del elemento se denomina función de abertura.

Para un arreglo excitado de manera uniforme w[n]=una constante, y se evitan los lóbulos de rejilla en el patrón de radiación si d ≤ λ/2.

Si d = λ/2, en cuyo caso el intervalo de u está entre –π y π. De acuerdo con la ecuación (15.142), puede verse que la expresión para P(u) es idéntica a la respuesta en frecuencia de un filtro FIR de longitud N.

Los arreglos dispersos con menor número de elementos se obtiene eliminando algunos de ellos, lo cual incrementa el espacio entre elementos en algunos pares consecutivos de elementos hasta más de λ/2.

Esto suele producir un aumento en los niveles de los lóbulos laterales y posiblemente provoque la aparición de lóbulos de rejilla en el patrón de radiación. Sin embargo estos lóbulos indeseables pueden reducirse de manera significativa al seleccionar de manera apropiada las ubicaciones de los elementos.

Para el caso de exploradores de ultrasonidos, se genera un patrón de radiación de dos vías mediante un arreglo de transmisión y otro de recepción. El diseño de este tipo de arreglos se simplifica tratando el problema como el diseño de una “función de abertura efectiva”.

wef[n] = wT[n]⊛ wR[n] (15.143)

El procedimiento de factorización polinomial

En el dominio z, la ecuación 15.143 es equivalente a

Pef(z)= PT(z)PR(z)

Donde

Pef ( z )=∑n=0

N−1

wef [n] z−n ,PT ( z )=∑

n=0

L−1

wT [n]z−n , PR ( z )=∑

n=0

M−1

wR [n ]z−n

El diseño del arreglo de antenas dispersas se puede formular como la factorización del polinomio Pef ( z ) en factores PT ( z ) y PR (z ) con coeficientes faltantes.

Primero se considera un arreglo uniforme para el cual wef[n] = 1.

Con este fin se puede recurrir a la siguiente factorización de Pef ( z ) para valores de N que son potencias de 2.

Pef (z)=(1+z−1 ) (1+ z−2)… (1+z−2K−1 ) (15.146)

Donde N = 2K.

Función de abertura efectiva uniforme

Del procedimiento de factorización anterior para el diseño de un arreglo disperso en el caso N=16; esto es; k=4. Se tiene:

Pef (z)=(1+z−1 ) (1+ z−2) (1+z−4 ) (1+z−8 )

Tres posibles selecciones para PT ( z ) y PR (z ) son:

Diseño #1: PT ( z ) = 1

PR (z ) = (1+z−1 ) (1+z−2 ) (1+z−4 ) (1+z−8 )

¿1+z−1+z−2+ z−3+ z−4+z−5+z−6+z−7+z−8+z−9

+z−10+z−11+z−12+z−13+z−14+z−15

Consta de un arreglo de transmisión de un elemento Un arreglo de recepción no disperso de 16 elementos. En consecuencia requiere un total de 17 elementos.

Diseño #2: PT ( z )=1+z−1

PR (z ) = (1+z−2 ) (1+z−4 ) (1+z−8 )

¿1+z−2+z−4+z−6+z−8+z−10+z−12+z−14

Las funciones de abertura de transmisión y recepción están dados por:

wT [n ]= {11 } ,wR [n ]={101010101010101 }

Donde 0 en wR [n ]indica la ausencia de un elemento.

Diseño #3: PT ( z )=(1+z−1 ) (1+z−8 ) =1+z−1+z−8+z−9

PR (z ) = (1+z−2 ) (1+z−4 )=1+z−2+z−4+z−6

Se obtiene un diseño de arreglo disperso más económico con ocho elementos si se recurre a este diseño.

Ejemplo. Las funciones de abertura de transmisión y recepción están dados por:

wT [n ]= {1100000011 } ,wR [n ]={1010101 }

Se puede encontrar otras selecciones adicionales para PT ( z ) y PR (z ).

Función de abertura efectiva de variación progresiva lineal

La forma de la función efectiva puede hacerse más suave para reducir los lóbulos de rejilla controlando la forma de las funciones de abertura de transmisión y recepción. Para el diseño de un par de arreglo disperso con una función de abertura efectiva de variación progresiva lineal Pef ( z ), se puede elegir:

Pef(z)= P1(z)P2(z) (15.147)

Donde

P1 (z )= 1R∑n=0

R−1

z−n , P2 ( z )=∑n=0

S−1

z−n

El número de elementos en la función de abertura efectiva es N = R + S – 1.

El número de elementos apodizados al principio y al final de la función de abertura efectiva es de (R - 1).

Los valores de los elementos apodizados son 1R,2R,…,

R−1R

.

El parámetro S debe satisfacer la condición S>R-1.

Para un diseño de par de antena disperso, el valor de R o S o de ambos debe ser una potencia de 2.

Función de abertura efectiva en escaleraLos pares de arreglos de antenas dispersas con una función de abertura efectiva en escalera exhiben también lóbulos de rejillas reducidos. Para diseñar este tipo de arreglos, hay dos formas posibles del factor P1 (z ) de la ecuación (15.147)

Una formas es para un número par de pasos en la función de abertura efectiva, y la otra corresponde a un número impar de pasos.

Consideramos la primera forma, para la cual

P1 (z )= 12 l+1

[1+z−k 1(1+z−k 2(1+…+ z−kl(1+…+ z−k 2 (1+z−k1 )…)))]

El número R de elementos (incluyendo los de valor cero) en P1 (z ) está dado por

R=2∑i=1

l

k i+1.

Para una función de abertura efectiva en escalera, el número S de elementos en P2 (z )debe

satisfacer la condición S > 2∑i=1

l

k i.

El número de elementos apodizados al principio y al final de la función de abertura efectiva

es en cada uno de 2∑i=1

l

k i.

Los valores de los elementos apodizados son 12l+1

,2

2l+1,…,

2 l2 l+1

Para un diseño de par de antenas disperso, el valor de S debe ser una potencia de 2.