Procesamiento Digital de Señales: Señales y Sistemas

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Objetivo

Exponer los principios y particularidades del tratamiento de señales, sus clasificaciones y su relación con su representación digital.

El alumno aprenderá las características básicas de la señales y su impacto en el diseño de los sistemas digitales.

Al finalizar esta unidad el alumno deberá tener una idea clara sobre la relación existente entre la representación digital de una determinada señal respecto a la señal analógica original.

Definición● El Procesamiento de Señales comprende la representación, transformación y manipulación de señales con especial énfasis en la información que contienen.

● El procesamiento de señales se lleva a cabo mediante distintos medios con los cuales se trata de identificar el comportamiento de un fenómeno con respecto a las variaciones de una o varias variables independientes. Siendo estas, por lo general, el tiempo o el espacio (distancias X, Y, Φ, etc. ).

Procesamiento de señales

Descripción de fenómenos físicos● CLIMA (Temperatura, Humedad, etc.)

● Sonido (Presión en un punto 3D)

● Grabación de Audio (Flujo Magnético)

● Fotografía (Intensidad de Luz/Color sobre papel)

Señales

Monitoreo continuo vs discreto● Sonido / Grabación de Audio

Señales

Monitoreo continuo vs discreto● Registro de Precipitación de lluvia

Señales

Representación mediante una función:

Señales

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● La señal analógica es aquella que presenta una variación o fluctuación continua con el tiempo, es decir, que para cualquier valor de la variable independiente existe un valor de la variable dependiente que le corresponde.

● Una señal digital es aquella que presenta una variación discontinua con el tiempo y que sólo puede tomar ciertos valores discretos.

● Las señales digitales no se producen en el mundo físico como tales, sino que son creadas por el hombre.

Señales

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Las señales pueden clasificarse a partir de sus características

● Según el dominio o comportamiento con respecto a la variable independiente:

● Continua en el tiempo : f(t), t ∈ [a,b] ● Discreta en el tiempo: f[t] ∈ {t₀,t₁,...,tn}

● Según el intervalo o variabilidad de la amplitud de la variable dependiente:

● Continua en amplitud ● Discreta en amplitud

Señales

Se dice que una señal es:

● Continua: si es continua en todo t

● Continua a tramos: si presenta un valor finito o infinito numerable de discontinuidades siempre y cuando se produzcan saltos de amplitud finita

Señales

Dominio (variable Independiente)

Continuat >f (t)

Discretan > f [n]

Dominio (variable Independiente)

Señales

Sea t1 un instante de tiempo y e un número que pertenece a los reales positivo e infinitesimalmente pequeño Y sean:

Si se cumple

Se dice que la señal es continua en t=t1 si no se dice que la señal es discontinua en t1.

Intervalo (variable Dependiente)

x ( t+ )=x (t−)=x (t1 )

t+=t1 +e

t−=t1−e

Señales

Se dice que una señal es de:

● Valor discreto si la variable dependiente solo toma valores de un conjunto numerable.

● Valor continuo si la variable dependiente toma valores en un conjunto en los reales

Señales

Intervalo (variable Dependiente)

Parámetros de las Señales

● Duración

● Periodicidad

● Amplitud

● Velocidad de cambio (Frecuencia)

● Fase

Señales

El modelado de una señal ( o sistema de control) se lleva a cabo mediante tres representaciones o modelos:

Ecuaciones diferenciales, integrales, derivadas y otras relaciones matemáticas.

Diagrama de bloques.

Diagrama de flujo de análisis.

Modelado de Señales

Trasformada de Laplace

Se aplica para la solución del modelado matemático de los Sistemas de Control de Tiempo Continuo. Esta se define para una señal X(t) de la siguiente manera:

X ( s )=∫−∞

+∞

x( t )e−st dt


Herramientas

Trasformada Z

Se aplica para la solución del modelado matemático de los Sistemas de Control de Tiempo Discreto. Esta se define para una señal X[n] de la siguiente manera:

X ( z )= ∑n=−∞

+∞

x [ n ] z−n


Herramientas

Una función de transferencia es un modelo matemático a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). Se determina por la siguiente expresión:

)(

)()(

sU

sYsH


Herramientas

Señales Finitas vs Acotadas● Las señales Finitas son aquellas que están definidas por un punto de inicio y otro de fin.

- Señales en el universo real

● Las señales acotadas son aquellas cuya relación permite definir un valor de convergencia a lo largo de los valores de la variable independiente.


x ( t )=∑n=1

∞ 1

2n = 1

E.g. : Promedio● Señales Lentas y Suaves


x ⋍ -0.034121

x̄ = 1b−a∫a

b

f(t)dt

E.g. : Promedio● Señales Lentas y Suaves


x = -0.036392

x̄ =1N ∑n=0

N-1

x[n]

E.g. : Promedio● Señales Rápidas y Abruptas


Error● Diferencia entre los datos adquiridos y la función real (ideal)

● Imprecisiones del sistema de adquisición

● No linealidades (e.g.: offset)

● Ruido

● Velocidad de muestreo

Características de las Señales

● Toda señal variable en el tiempo se puede representar en el ámbito de sus valores de frecuencia (espectro). Dicho espectro brinda información sobre la velocidad de la señal y se compone por una frecuencia fundamental y un conjunto de armónicos.

● El proceso matemático que permite esta descomposición se denomina análisis de Fourier.


Velocidad de cambio (espectro de Frecuencias)

● Representación cartesiana permite la representación de un sistema en coordenadas rectangulares, la posición de un punto se encuentra determinada por 2 o 3 magnitudes independientes que definen su relación con los llamados planos coordenados.

● El cálculo vectorial proporciona una notación para representar a través de ecuaciones matemáticas modelos de las distintas situaciones físicas y de las dinámicas que los afectan en diversas situaciones.


Representación de variables

● El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula:


Teorema de Muerstreo (Nyquist & Shannon)

x ( t )=∑n=-∞

∞

x [n]sin (π(t−nT S)/T S)

π( t−nT S)/T S




x ( t )=∑n=-∞

∞


π( t−nT S)/T S

Señal continua en el tiempo




x ( t )=∑n=-∞

∞


π( t−nT S)/T S

Cada muestra discreta está multiplicada por una función sinc




x ( t )=∑n=-∞

∞


π( t−nT S)/T S

Pre-requisito: que la señal no sea muy rápida

Representación digital●

Importancia

● Almacenamiento

● Procesamiento

● Transmisión



Almacenamiento

● Independiente del medio

● Independiente del contenido

● Compatibilidad

● “Inmune” a la Evolución tecnológica



Procesamiento

● Multiplicidad de aplicaciones

● Dispositivos de propósito general

● (CPU, MCU o DSP)

● Alta flexibilidad

● Insensible al medio ambiente

● Independencia de la plataforma

tecnológica


Transmisión digital

● Mayor flexibilidad

● Simplicidad y re-uso de HW

● Reconstrucción de señales

● Compresión de datos

● Mayor aprovechamiento del canal

● Posibilidad de uso de repetidores

regenerativos


Transmisión digital●

Degradación de la señal


MedioRxTx




MedioRxTx

x̂ (t )x (t) 1/G+

σ (t)




x̂ (t)x (t) 1/G+

σ (t)

x (t )




x (t )⋅1G

x̂ (t)x (t) 1/G+

σ (t)




x (t)⋅1G+σ(t )

x̂ (t)x (t) 1/G+

σ (t)




x̂ (t)⋅G

x̂ (t)x (t) 1/G+

σ (t)




x̂ (t)x (t) 1/G+

σ (t)




x̂1(t)x (t )

1/G1+

σ1(t)

x̂2(t)

1/G2+

σ2(t)




x̂1(t)x (t )

1/G1+

σ1(t)

x̂2(t)

1/G2+

σ2(t)

x̂2(t)


Regeneración de Pulsos


Tipos de Señales

Señales discretas (tiempo)

● Secuencia unidimensionales (nivel básico)

● Notación: x[n]

● Secuencias bilaterales: x : ℤ → ℂ

-∞, … x[-1], x[0], x[1], … , ∞

● El índice n carece de dimensiones (min, s, ms, ns, ...)

● Análisis : Mediciones de secuencias periódicas

● Síntesis : Secuencia de muestras generadas numéricamente

Tipos de Señales


● Delta Diracx [n] = δ[n]

Tipos de Señales


● Unit Stepx [n] = u [n]

Tipos de Señales


● Decremento Exponencial x [n] =∣a∣n u [n ] ∣a∣<1

Tipos de Señales


● Sinusoidal x [n] = sin (ω0 n+θ)

Tipos de Señales

Clases de Señales

● Duración-Finita

● Duración-Infinita

● Periódica

● Secuencia de intervalo (limitada)

Tipos de Señales

De Duración-Finita

● Notación de una secuencia : x[n], n = 0, 1, …, N-1

● Notación vectorial : x = [x0, x1, … , xN-1] T

● Usadas en paquetes como: Matlab/Octave, Python ó Perl

● x=linspace(0,4*pi,100);

● x = [0:0.1:2*pi];

● for(i=1:15) % No es recomendable !!!!

y(i)=i^2;

end

Tipos de Señales

De Duración-Infinita

● Notación de una secuencia : x[n] , n ∈ ℤ (enteros)

● Abstracción

● Usadas en el análisis y desarrollo Matemático

● Propiedades

● Teoremas

● Transformaciones

● No existen en la realidad

Tipos de Señales

Periódicas

● Secuencia periódica N: ã[n] = ã[n+kN], n, k, N ∈ ℤ

● La secuencia contiene la misma información que la secuencia « de duración finita » de longitud N

● Las señales periódicas son un puente natural entre las secuencias finitas e infinitas

● Elongación del período

● Copia y repetición de secuencias

Tipos de Señales

Secuencia de intervalo

● Secuencia definida por:

● La secuencia contiene la misma información que la secuencia « de duración finita » de longitud N

● Otro puente entre las secuencias finitas e infinitas

x̄ [n] = { x[n] if 0 ≤n<N−1 0 otherwise }

Manipulación de Señales

Operaciones básicas

● Escala y[n] = α x[n]

● Suma y[n] = x[n] + z[n]

● Producto y[n] = x[n] · z[n]

● Corrimiento (retardo) y[n] = x[n - k]


Corrimiento (retardo)

[ x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ]


Corrimiento (retardo)

x[n] = … , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , ...


Corrimiento en Secuencia de intervalo

x [n] = … 0 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 0, 0, 0 ...



x [n-1] = … 0 , 0 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 0, 0 ...



x [n-2] = … 0 , 0 , 0 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , 0...



x [n-3] = … 0 , 0 , 0 , 0 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7...


Corrimiento en Secuencia Periódica

x [n] = … x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x0 , x1 ...~



x [n-1] = … x5 , x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x0 ...~



x [n-2] = … x4 , x5 , x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ...~



x [n-3] = … x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ...~



x [n-4] = … x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ...~


Energy & Power

● Diferencia entre las definiciones de energía y potencia

Energía :

Potencia :

E x=∑n=-∞

∞

∣ x [n ]∣2

Px=limN →∞

12N−1 ∑n=-N

N

∣ x [n ]∣ 2

Potencia = Energía instantánea = Etotal / Período


Energy & Power

● Para señales Periódicas :

Energía :

Potencia :

E x̃=∞

Px̃ ≡1N ∑n=0

N−1

∣ x̃ [n ]∣2

Potencia = Energía instantánea = Etotal / Período


Representación de frecuencia

● Representación de exponenciales complejas

● Periodicidad

● Efecto de la periodicidad con respecto a la velocidad

● Frecuencias del ámbito digital respecto al mundo real


Elementos que componen las oscilaciones

● Frecuencia de oscilación ω (radianes / s)

● Fase inicial Φ (radianes)

● Amplitud de las oscilación (unidades varias)

● Representación trigonométrica

x [n ] = Acos(ω n+φ)


Representación trigonométrica en DSP's ● Dentro del procesamiento digital de señales se emplean de manera extensiva las exponenciales complejas:

● Euler

x [n ] = A [cos(ωn+φ) + j sen(ωn+φ)]

x [n ] = Ae j(ωn+φ)


¿Por que usar exponenciales complejas? ● Los sistemas digitales pueden representar números complejos con gran facilidad

● Agrupa al seno y al coseno en una sóla expresión

● Simplifica la matemática, convierte los problemas trigonométricos en problemas algebraicos

● Notación más sencilla

● El corrimiento de fase se convierte en una simple multiplicación de exponentes


¿Por que usar exponenciales complejas? ● Ejemplo:

- Cambio de fase de un coseno puro.

cos (ω n+φ)= a cos (ωn) + b sen (ωn)donde a = cos φ y b = sen φ

cos (α±β)= cosα cosβ ∓ senα senβ




- En términos de exponenciales complejas el coseno representa la parte real del número complejo

cos (ω n+φ)= a cos (ωn) + b sen (ωn)donde a = cos φ y b = sen φ

cos (ωn+φ) = ℜe {ej (ωn+φ)}= ℜe {e

j (ωn)e j (φ)}




● Las funciones seno y coseno siempre están relacionadas (trigonometría)

● El cambio de fase se reduce a una simple multiplicación

● La notación compleja es más simple.

cos (ωn+φ) = ℜe {ej (ωn+φ)}= ℜe {e

j (ωn)e j (φ)}


¿Por que usar exponenciales complejas?

e jα = cosα + j senαIm

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario



e jα = cosα + j senαIm

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

cos α

α



Im

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

cos α

sen αα

e jα = cosα + j senα


Rotación z = e jωn

Im

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z


Rotación

Im

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

z`

αz

z = e jωn


Rotación

Im

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

z`

αz

z = e jωn

z ' = e jωn e jα


Rotación → Cambio de Fase

α

x [n ] = e jωn

x [n ] = e jωn e jα


Rotación recursiva

x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];



Rotación recursiva

Im

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

z`

z

x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];



Rotación recursiva

Im

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

αz

x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];


z`


Rotación recursiva

x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];


Im

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

z`

αz


Rotación recursiva

Im

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

z`

αz

e j α periodic ←→ α =MN

2 π

x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];

donde M , N ∈ ℕ


Rotación

Señal de 200Hz muestreada a 2000Hz

0 < α < π


Rotación x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];

0 < α < πIm

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

z`

αz



0 < α < πIm

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z`

α1

z α1 =23π



0 < α < πIm

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z`z

α1 = πα1


Rotación α = π



0 < α < πIm

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z`

z

α1 = πα1


Rotación


α = π


Rotación

Im

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z`

α

z

x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e jα x [n ];

π < α < 2π


Rotación


π < α < 2π


Rotación en sentido inverso (CW)

Im

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z`

α

z

π < α < 2π

-2π+α1



Im

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z`z

α1 = π=− πα1

-2π+α1



Im

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z`-2π+α

zαα

0 < α < π


Rotación x [n ] = e jωn ; x [n+1 ] = e− jα x [n ];

Im

Re

1

-1

-1 1

Círculo unitario

z`

-α

z

Elementos constructores en DSP's

Elementos constructores

z-1

+

z-2

+

z-3

+

Filtro Digital

x[n] y[n]a b

c

d

e


+Sumador x[n]

z[n]y[n]

x[n]

z[n]y[n]


Multiplicador x[n] y[n]

x[n] y[n] = ½ (x[n])

α=1/2

α


Corrimiento x[n] x[n-1]

x[n] x[n-1]

z-1


Corrimiento x[n] x[n-N]

x[n] x[n-N]

z-N

N=3


Ejemplo: Promedio de 2 elementos

m =a + b

2



m =a + b

2

y [n ] =x [n ] + x [n−1]

2

moving average = promedio local



y [n ] =x [n ] + x [n−1]

2



y [n ] =x [n ] + x [n−1]

2

z-1

+x[n] y[n]1 1/2



x[n] y[n]

y [n ] =x [n ] + x [n−1]

2



x[n]=δ[n] y[n]

y [n ] =x [n ] + x [n−1]

2



x[n]=u[n] y[n]

y [n ] =x [n ] + x [n−1]

2

Tareas para Matlab :

y[n ] =x [n ] + x [n−1]

2

Im

Re

1

-1

-1 1

α

Círculo unitario

z`

α zTarea 1

Tarea 2

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