5/21/2018 Aplicaciones Del lgebra Lineal en La Ingenier a

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Aplicaciones del lgebra Lineal en La Ingeniera

Las personas creen saber lo que usan, creen saber lo que manejan, algunas personas deverdad lo saben y otras veces no muestran el inters para informarse sobre cmo es quefunciona.

En nuestra vida cotidiana usamos tanto las matemticas, que sin ellas no podramos vivir,el simple hecho de comprar un dulce de $1 peso y pagar con una moneda de $5 almomento de devolver $4 pesos usaste las matemticas para determinar cunto es lo quesobra, eso es un ejemplo sencillo, ahora veamos un ejemplo en el que los ingenierosaplicaron el lgebra lineal en la solucin de alguna ecuacin; lo cual a lado de ese otroejemplo es algo mucho ms complejo.

El lgebra lineal es la rama de las matemticas que estudia conceptos tales como vectores,matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque ms formal, espacios

vectoriales, y transformaciones lineales.Es un rea activa que tiene conexiones con muchas reas dentro y fuera de lasmatemticas como anlisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigacin deoperaciones, grficas por computadora, ingeniera, etc.

El lgebra lineal en la Ingeniera Qumica

Las matemticas en general son un elemento fundamental para cualquier ingeniero, UnIngeniero debe saber MATEMTICAS, no especializados en las demostraciones y

teoremas, pero si utilizarlas para SOLUCIONAR problemas, el lgebra lineal da la pautapara poder solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de diferentes mtodos,la introduccin a los nmeros complejos, espacios vectoriales y transformaciones lineales.

Sin embargo; la principal aplicacin del Algebra lineal en la Ing. Qumica es en el balanceode ecuaciones qumicas, utilizando sistemas de ecuaciones lineales.Esto nos ayuda a saber cmo reaccionan los reactivos y con esto poder calcular la cantidadexacta que debe utilizarse para obtener el producto deseado.

En el balanceo de ecuaciones qumicas se tienen varios mtodos entre los ms utilizadostenemos:

-Mtodo de tanteo-Mtodo Oxido-Reduccin (REDOX)-Mtodo algebraico

Balanceo de Ecuaciones por Mtodo Algebraico

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Este mtodo est basado en la aplicacin del algebra. Requiere construir un sistema deecuaciones de varias variables y resolverlas simultneamente.

Ejemplo:

Este mtodo est basado en la aplicacin del lgebra. Para balancear ecuaciones se debenconsiderar los siguientes puntos

1) A cada formula de la ecuacin se le asigna una literal y a la flecha de reaccin el signode igual. Ejemplo:

Fe + O2 Fe2O3

A B C

2) Para cada elemento qumico de la ecuacin, se plantea una ecuacin algebraica

Para el Fierro A = 2C

Para el Oxigeno 2B = 3C

3) Este mtodo permite asignarle un valor (el que uno desee) a la letra que aparece en lamayora de las ecuaciones algebraicas, en este caso la C

Por lo tanto si C = 2

Si resolvemos la primera ecuacin algebraica, tendremos:

2B = 3C

2B = 3(2)

B = 6/2

B = 3

Los resultados obtenidos por este mtodo algebraico son

A = 4

B = 3

C = 2

Estos valores los escribimos como coeficientes en las frmulas que les corresponden a

cada literal de la ecuacin qumica, quedando balanceada la ecuacin

4Fe + 3O2 2 Fe2O3

Cambio de base

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En muchas aplicaciones, un problema descrito usando un sistema coordenado puederesolverse ms fcilmente si se cambia a un nuevo sistema coordenado. Estatransformacin se consigue por medio de un cambio de variables; en algebra lineal, unabase nos proporciona un sistema coordenado para un espacio vectorial, mediante lanocin de los vectores coordenados. Si se selecciona la base correcta, a menudo se

simplificara en gran medida un problema en particular.

Un ejemplo de la aplicacin de cambios de base en Ing. Qumica es:

Al considerar la estructura molecular del Zinc presentado en la fig. (a), un cientficonecesita medir las longitudes de los enlaces entre los tomos, los ngulos entre ellos, etc.Un anlisis de este tipo se facilitara en gran medida si se introducen coordenadas y seemplean las herramientas del algebra lineal.La base estndar y los ejes coordenados (xyz) estndar asociados no son siempre la mejoreleccin. Como lo ilustra la fig. (b), en este caso {u, v, w} es probablemente una mejorseleccin de base para IR^3 que la base estndar, en razn de que estos vectores tendrnuna mejor alineacin con los enlaces entre los tomos de zinc.

Transformaciones Lineales

La gran potencialidad del enfoque cintico para el conocimiento de los sistemasenzimticos no se explota adecuadamente en la investigacin bioqumica y a veces se

considera a la cintica enzimtica como un rea muy compleja, altamente especializada ya los cursos de cintica como un viaje a travs de un interminable laberinto de algebrapara llegar a modelos que a veces resultan demasiado abstractos.

Mecanismo Michaelis-Mente:

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El modelo de cintica michaeliana, tiene lugar a una reaccin qumica biomolecular entrela enzima E y el sustrato S, formndose el complejo enzima-sustrato ES.

Un ejemplo de esta aplicacin se presenta en la catlisis enzimtica:

Se realiza una transformacin lineal tal que es posible determinar la constante deMichaelis Km y la velocidad mxima con un procedimiento de mnimos cuadrados.

La enzima ureasa, que cataliza la hidrolisis de la urea, es ampliamente utilizada paradeterminar los valores de urea en la sangre. La constante de Michaelis para la ureasa atemperatura ambiente es 2.0 mM y K2= 2.5X10^4 S^-1 a un pH 7.5

a) Calcule la velocidad inicial de la reaccin cuando la concentracin de la ureasa, 5.0M, y

b) Calcule la VmaximaA partir de la ecuacin 3:

Al comienzo de la reaccin [S]= [S]0 y

La siguiente figura revela que d[P]/dt= Vmax a una concentracin de sustrato alta:

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Y se puede aplicar la siguiente ecuacin:

Por lo tanto: