Aplicaciones de la

Derivada

Autora: González EmilmarAsignatura: Matemática I

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′.

El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente.

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Definición

Derivadas

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Obtener máximos y mínimos relativos.

Problemas de optimización.

Obtener intervalos de concavidad y convexidad. Obtener puntos de inflexión.

Aplicaciones de la Derivada

• Si una función f cumple que su derivada es mayor que 0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.

Estudiar intervalos de Crecimiento y Decrecimiento de una Función

• Si una función f cumple que su derivada es menor que 0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.

f´ > 0 entonces f es creciente f´ < 0 entonces f es decreciente

Si una función pasa de crecer a decrecer en un punto Xo en ese punto hay un máximo relativo

Mt = 0 f´(x o ) = 0

Obtener Máximos y Mínimos Relativos

Máximos

Los puntos candidatos a ser máximos relativos son aquellos que cumplen que su derivada es 0

Si una función pasa de decrecer a crecer en un punto X o en ese punto hay un mínimo relativo

Mt = 0 f´(xo ) = 0

Mínimos

Los puntos candidatos a ser mínimos relativos son aquellos que cumplen que su derivada es 0

Un problema de optimización consiste en calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.

Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema

Problemas de optimización

Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.

Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b).

Si en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).

Obtener intervalos de concavidad y convexidad.

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Sea y=f(x) la ecuación de una función.

Si f´´(a)=0, o f´´(a) no existe, y la derivada f´´(x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un Punto de inflexión.

Obtener puntos de inflexión