Antología de Probabilidad y estadística I

Matemáticas 3

Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 1

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Unidad I

Función Cuadrática

Última revisión: 30-Abril-2010

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Tema 1. Ecuación cuadrática y su representación gráfica

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica

donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el

coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las

ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.

La ecuación de segundo grado y la solución tienen un origen antiguo. Se conocieron

algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto. En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue

introducida en Europa por el matemático judeo-español Abraham bar Hiyya, en su

Liber embadorum.

Su representación gráfica corresponde a lo que se denomina una parábola, y podemos

apreciar la forma de esta figura, mediante el siguiente gráfico.

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Tema 2. Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado

para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización,

completando el cuadrado, deducción de la fórmula general y el método gráfico.

Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego

expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente

se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 +7x = -10 por factorización.

x2 +7x = -10 se puede escribir como:

x2 +7x + 10 = 0

Regla1: Buscamos dos números que sumados den 7 y multiplicados den 10. Tales números

son: 5 y 2, por lo tanto:

(x+2)(x+5) = 0

Regla2: Si el producto de dos factores es cero, uno de los dos (o los dos), deben ser cero.

Por lo tanto:

x+2 = 0 -> x1 = -2 ;

x+5 = 0 -> x2= -5 ;

Ahora se comprueba cada valor hallado sustituyendo en la ecuación original:

x2 +7x = -10

(-2)2 + 7(-2) = -10 .

4 - 14 = -10

-10 = -10

x2 +7x = -10

(-5)2 + 7(-5) = -10

25 - 35 = -10

-10 = -10

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Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros

métodos.

Completando el trinomio cuadrado perfecto (deducción de la fórmula general)

Dada la ecuación ax2 + bx + c = 0 si el trinomio ax2 + bx + c no es perfecto se puede

obligar a que sea perfecto realizando los siguientes pasos:

1.- Se suma y se resta él termino 𝒃

𝟐 𝟐

después del término bx, sí el valor de a = 1.

Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + 6x - 7 = 0 se puede completar el trinomio

cuadrado perfecto de la siguiente manera.

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto y despejamos.

x = -7

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2.- Si 𝒂 ≠1, primero sé factoriza "𝒂" y luego se suma y se resta el nuevo 𝒃

𝟐 𝟐

.

Ejemplo: Si tenemos la ecuación 2x2 - 8x + 6 = 0 se puede completar el T.C.P. de la

siguiente manera:

Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las

raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la

ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.

Sea dada la ecuación:

Donde a≠0 para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.

x = 1

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Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:

Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar

el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente

lineal, por lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación:

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:

Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:

Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:

Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:

Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:

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Despejamos la incógnita que buscamos:

Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la

fórmula general:

Fórmula general

Es trivial el orden en que se toman los valores de x; algunos autores prefieren colocar en

primer término el valor menor de x, es decir, aquél en el cual va el signo negativo antes

del radical. Antes de aplicar indiscriminadamente la fórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado particulares, se sugiere resolver cada ecuación empleando

todos los pasos de la deducción cada vez para tener dominio del método de completar el

cuadrado.

Ejemplos:

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Gráfico

Las raíces (o ceros) de las funciones cuadráticas son aquellos valores de x para los cuales

la expresión vale cero, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente

corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta el eje x.

Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

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En este caso, tienes que darle valores a la variable independiente "x" por ejemplo (-3,-2,-1,0,1,2 y 3) evalúas cada uno de estos en tu ecuación (función) para encontrar los

valores de "y", después localizas cada par de puntos en la gráfica y listo donde tu

parábola corte el eje de las "x" esas son tus soluciones.

Ejemplo. Evaluar gráficamente los valores de x para la función x2+2x-2.

Sus raíces (o valores de x) son aproximadamente -2.73 y 0.74.

x x2+2x-2.

-5 13

-4 6

-3 1

-2 -2

-1 -3

0 -2

1 1

2 6

3 13

4 22

5 33 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-6 -4 -2 0 2 4 6

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Tema 3. Representación gráfica de la función cuadrática y de su

solución.

A continuación se verá como influye un cambio en los valores del coeficiente del término

cuadrático, del término lineal y el término independiente de una función cuadrática.

Haciendo variar el coeficiente del término cuadrático.

A continuación se deja de manifiesto la influencia de cambios en el valor del coeficiente del término cuadrático de la función cuadrática.

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Haciendo variar el coeficiente del término lineal.

A continuación se deja de manifiesto la influencia de cambios en el valor del coeficiente del término lineal de la función cuadrática.

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Haciendo variar el término independiente.

A continuación se deja de manifiesto la influencia de cambios en el valor del coeficiente

del término independiente de la función cuadrática.

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Tema 3. Sistemas de ecuaciones.

En algunos temas de matemáticas nos podemos encontrar con la resolución de problemas donde se tenga que resolver un sistema de ecuaciones donde involucre la resolución de

una ecuación lineal con una ecuación cuadrática, a continuación veremos un ejemplo de

resolución donde se tenga que resolver una cuadrática y una línea y posteriormente 2 cuadráticas

Cuadrática y lineal.

En este caso el sistema de ecuaciones quedaría definido de la siguiente manera:

𝑥 − 𝑦 = 2

𝑥2 + 𝑦2 = 4

Veamos la forma de cómo se puede resolver dicho sistema de ecuaciones. Regularmente

el método que se utiliza es el clásico de sustitución que se hace para un sistema de

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ecuaciones lineales simultáneas, es decir, despejar a una de las variables y sustituirla en la otra ocasión para encontrar su solución. Veamos.

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