ESTADSTICA: Disciplina que proporciona el conjunto de tcnicas para la recoleccin,organizacin, anlisis e interpretacin de datos, los cuales pueden serutilizados para inferir sobre una poblacin, o para predecir el comportamientode un fenmeno.

ESTADSTICADESCRIPTIVA: es la rama de la estadstica que proporciona las tcnicas oprocedimientos para organizar, resumir, analizar e interpretar lainformacin contenida en un conjunto de datos.

ESTADSTICAINFERENCIAL: se define como la rama de la estadstica que proporciona tcnicaso procedimientos para analizar, interpretar y tomar decisionessobre una poblacin, con base en la informacin que se obtienede una muestra.

ELEMENTOS DE LA ESTADSTICA:

Dato: es un elemento de todo un conjunto que posee una o ms caractersticas o valores ypueden ser cuantitativos o cualitativos.

Poblacin: se puede definir como el total de los elementos o datos en estudio.Muestra: es un subconjunto de datos de una poblacin.Medidasdescriptivas: son indicadores expresados mediante una formula matemtica que

permite conocer, de manera resumida, la informacin o lascaractersticas relevantes de una muestra o una poblacin

Parmetro:esunamedidadescriptivadeunapoblacin,obtenidaconinformacincontenidaenuncenso.

Estadstico:esunamedidadescriptivaqueesobtenidadeunamuestra.

Variablecualitativa:sonaquellascaractersticasdeintersquemanejandatoscualitativos,susvaloresexpresanunniveldecalidadoatributo.

Variablescuantitativas: sonaquellascaractersticasdeintersquemanejandatoscuantitativos,susvaloressepuedencontaromedirmedianteunaexpresinnumrica,ysedividenendiscretasycontinuas.

Variablesdiscretas: sonaquellascaractersticasquenicamentepuedenexpresarseennmerosenteros.

Variablescontinuas: sonaquellascaractersticasquepuedentomarcualquiervalordentrodeunintervalo.

ESTADSTICA

INFERENCIAL ESTIMACIN

DESCRIPTIVA

PRESENTACINDEDATOS

ENFORMATABULAR

DISTRIBUCINDEFRECUENCIAS

DISTRIBUCINDEFRECUENCIASRELATIVAS

DISTRIBUCINDEFRECUENCIASRELATIVAS

ACUMULADAS

ENFORMAGRAFICA

DATOSCUALITATIVOS

DIAGRAMACIRCULAR

DIAFRAMADEBARRAS

DATOSCUANTITATIVOS

DIAGRAMASDELINEA

DIAGRAMADEDISPERSIN

HISTOGRAMAS

MEDIDASDESCRIPTIVAS

DETENDENCIACENTRAL

DATOSAGRUPADOS

MEDIAMEDIANAMODA

NOAGRUPADOS

MEDIAMEDIANAMODA

DEDISPERSIN

RANGO

COEFICIENTEDEVARIACIN

INDICEDESIMETRA

INDICEDEKURTOSIS

DESVIACINESTANDARVARIANZA

AGRUPADOS

NOAGRUPADOS

EJEMPLO:A continuacin se muestran las calificaciones finales de 42 alumnos de una universidad.Las calificaciones son: 5, 10, 10, 10, 10, 5, 6, 5, 6, 10, 5, 9, 8, 5, 9, 9, 6, 8, 9, 5, 5, 9, 8, 10, 10, 7,7, 9, 5,10, 10, 5, 5, 8, 6, 5, 8, 5, 6, 5, 6, 5.a) Construye una tabla de distribucin de frecuenciasb) Construye una tabla de distribucin de frecuencias relativasc) Construye una tabla de distribucin de frecuencias relativas acumuladas.

calificacin tabulacinNumero deestudiantes(frecuencia)

Frecuenciarelativa porcentaje

Frecuenciarelativaacumulada

tabulacinNumero deestudiantes(frecuencia)

Frecuenciarelativa porcentaje

Frecuenciarelativaacumulada

10 lllll llll 9 0.2142 21.42 0.21429 llllll 6 0.1428 14.28 0.35708 lllll 5 0.1190 11.90 0.47607 ll 2 0.0479 4.79 0.52396 lllllll 7 0.1666 16.66 0.69055 lllllllllllll 13 0.3095 30.95 1.0000

total 42 1.0000 100.00

DiagramadeBarras

Se compone de barras o segmentos rectangulares separados que representan unacategora o clase.

Sus desventajas son que deben interpretarse usando las alturas relativas de las barras enuna escala comn y el ancho de las barras disminuye conforme aumentan las categoras .

tabulacinNumero deestudiantes(frecuencia)

Frecuenciarelativa porcentaje

Frecuenciarelativaacumulada

5 lllllllllllll 13 0.3095 30.95 0.30956 lllllll 7 0.1666 16.66 0.47617 ll 2 0.0479 4.79 0.52398 lllll 5 0.1190 11.90 0.64309 llllll 6 0.1428 14.28 0.785810 lllll llll 9 0.2142 21.42 1.0000total 42 1.0000 100.00

sector Millonesdedls PorcentajePetrolero 16379.9 9.70Agropecuario 4262.7 2.56Extractivo 520.7 0.40Manufacturero 145260.7 87.30Total 166424.0 100.00

DiagramaCircularodePastel

Suusomsfrecuentecuandoutilizamosdatosconvariablescualitativasysusdesventajasesqueestnlimitadasaunnmeromuypequeodesectores,serequierequeelobservadorhagajuicioscomparativossobrelosngulos,arcosytamaosdelossectoresyresultaimposiblecomparargruposdedatos.

16379.9

4262.7520.7

145260.7

166424

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

Petrolero Agropecuario Extractivo Manufacturero Total

Series1

DiagramadeBarras

Se compone de barras o segmentos rectangulares separados que representan unacategora o clase.Sus desventajas son que deben interpretarse usando las alturas relativas de las barras enuna escala comn y el ancho de las barras disminuye conforme aumentan las categoras .

DiagramadeLneas

Es utilizado para exponer el comportamiento de variables cuantitativas a travs del tiempo.

020406080

100120140160180

N

u

m

e

r

o

d

e

h

u

e

l

g

a

s

ao

frecuencia

frecuencia

DiagramadeDispersin

Es una representacin de dos variables cuantitativas que se analizan de manera simultanea,los valores de ambas variables se representan individualmente sin agruparse en clases.

Ejemplo:

Se seleccionan al azar cinco automviles de un sitio de alquiler. Cada auto se pesa y despus se conduce durante 100 km para determinar el rendimiento del kilometraje recorrido por litro. Los resultados son:

Automvil Peso(kg) Km/lt1 750 10.02 420 17.23 550 15.04 1000 9.05 680 8.0

Se desarrolla el diagrama de dispersin:

Y(km/lt)

X (peso)0

5

10

15

20

200 400 600 800 1000

750 10.0420 17.2550 15.01000 9.0680 8.0

Histograma

Nos ayuda a describir grficamente la informacin contenida en una distribucin defrecuencias. Analiza datos cuantitativos

0

2

4

6

8

10

12

14

10 9 8 7 6 5

f

r

e

c

u

e

n

c

i

a

ventas

Histogramadeventasdeautos

13

7

2

56

9

0

2

4

6

8

10

12

14

5 6 7 8 9 10

f

r

e

c

u

e

n

c

i

a

calificacin

00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

5 6 7 8 9 10

Poligonodefrecuenciarelativaacumulada

calificacin

Media muestral

Media poblacional

N nmero de datos de la poblacinX i valor que toma cada uno de los datosn nmero de datos de la muestra

Datos no agrupados

Mes Tipodecambioenel2000

Enero 9.47

Febrero 9.44

Marzo 9.29

Abril 9.37

Mayo 9.50

Junio 9.79

Julio 9.46

Agosto 9.28

Septiembre 9.33

Octubre 9.51

noviembre 9.1

diciembre 9.44

Ejemplo:

Obtener la media

9.47 9.44 9.29 9.37 9.5 9.79 9.46 9.28 9.33 9.51 9.1 9.44

12

113.99

12 9.44

La mediana

Valor que se encuentra exactamente a la mitad de una serie ordenada.

1 Se ordenan los datos2 Observar el tamao de la muestra o la poblacin y bajo los siguientes criterios encontrar la mediana.

A Si el nmero de datos es un nmero impar, la mediana es el nmero que se encuentra exactamente a la mitad. (n+1)/2

B Si el nmero de datos es un nmero par, la mediana es el valor de la suma de los dos nmeros centrales entre dos.

La Moda

Se define como el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia en una serie de datos.

Datos Agrupados

Media poblacional

Media muestral

Media aritmtica de la muestra Media aritmtica de la poblacinmj Punto medio de cada clasefi Frecuencia de cada clase

Ejemplo: Con la siguiente informacin de productos vendidos por hora en unatienda de autoservicio, calcula la media, la mediana y la moda.

48 56 50 36 40

65 74 61 43 60

67 31 51 65 54

66 36 53 67 37

40 41 60 83 46

68 37 58 61 54

53 61 70 77 46

62 38 81 68 37

70 63 90 44 45

36 46 60 55 36

Primero se ordena la informacin.

Se obtiene el nmero de clases y amplitud de clase

Numero de clases

Regla de Sturges C= 3.3.(log n) +1= 3.3(log 50)+1=6.606

2k=n log2k = log n k log 2= log n k= log n / log k= log 50/ log 2 =5.64El nmero de clases ser 6

36 31 50 36 36

40 36 51 43 37

48 37 53 44 37

53 38 58 55 40

62 41 60 61 45

65 46 60 65 46

66 56 61 67 46

67 61 70 68 54

68 63 81 77 54

70 74 90 83 60

La amplitud se obtienen a partir del rango:

Rango = (dato mayor dato menor)= 90 31 = 59

La amplitud I= rango / numero de clases = 59/6=9.83 10

Marca de clase = (Valor superior de la clase + Valor inferior de la clase) / 2

Con los datos se obtiene la frecuencia de cada clase y la marca de clase.

mi3140 11 11 35.5 390.5 19.2 368.64 4055.044150 9 20 45.5 409.5 45.5 2070.25 18632.255160 11 31 55.5 610.5 55.5 3080.25 33882.756170 14 45 65.5 917 65.5 4290.25 60063.57180 2 47 75.5 151 75.5 5700.25 11400.58190 3 50 85.5 256.5 85.5 7310.25 21930.75 50 2735 149964.79

fi fa mi mi fi mi (mi )2 (mi )2 fi

Limite inferior real de clase = (valor inferior de la clase + valor superior de laclase anterior) / 2Limite real de clase = (Limite inferior de la clase mediana+ Limite superior de laclase anterior) / 2

La mediana

Identificar la clase donde se encuentra la mediana

Li= Lmite real inferior de la clase medianan= Nmero de datos observadosFa= Frecuencia acumulada anterior a la clase medianaI = Amplitud del intervalo de la clase medianafm= Frecuencia de la clase mediana

I

La moda

Li= Lmite real inferior de la clase modal1=Diferencia entre la mayor frecuencia y la frecuencia anterior2=Diferencia entre la mayor frecuencia y la frecuencia que le sigueI = Amplitud del intervalo de la clase mediana

Varianza

Es una medida de variabilidad que toma en cuenta la dispersin que losvalores de los datos tienen con respecto a su media.

Datos no agrupados

Datos agrupados

Desviacin Estndar

Tambin es una medida de variabilidad que toma en cuenta la dispersin delos valores de los datos con respecto a la media.

Datos no agrupados

Datos agrupados

Ventas(miles) fi fa mi mi fi mi (mi )2 (mi )2 fi5 8.99 39 12.99 513 16.99 717 20.99 621 24.99 325 28.99 1

25

Una empresa de ventas por telfono quiere conocer la variacin existente en las ventas realizadas(en miles de pesos) por sus operadores. Para esto realiza una muestra de 25 operadores telefnicos, obteniendo los resultados de la tabla. Calcular la media, mediana, moda, desviacin estndar.

ndice de asimetra

La probabilidad es un indicador que seala que tan cierto o que tan posibles esque se presente un suceso o un acontecimiento.Se expresa mediante la letra P.

0

Seleccin con reemplazo: es aquella que ocurre cuando una opcin que ya fueseleccionada, puede volver a ser seleccionada.

Seleccin sin reemplazo es aquella que ocurre cuando una opcin que ya fueseleccionada, ya no puede volver a ser seleccionada nuevamente.

Ejemplo: Un inversionista seleccionara de manera aleatoria y sin reemplazodos acciones entre un portafolio compuesto por tres acciones: accin A, accinB, accin C. cules son los posibles resultados o puntos muestrales? cules el espacio muestral?.

R1: (A,B) R2: (A,C) R3: (B,C) R4: (B,A) R5: (C,A) R6: (C,B)

S={(A,B) (A,C) (B,C) (B,A) (C,A) (C,B) }

Evento (E): Se le llama a la coleccin de uno o varios resultados posibles opuntos muestrales que pertenecen a un espacio muestral. Es un subconjuntodel espacio muestral.

Evento simple: se le denomina a la coleccin de un nico resultado posible oun nico punto muestral.

Evento compuesto: se le denomina a la coleccin de dos o ms resultadosposibles o puntos muestrales.

Ejemplo: Estudiante que platica con tres jvenes (guapo o feo)

Probabilidad simple: es que ocurra un evento simple, se presente un punto muestral.

Probabilidad conjunta: es que ocurra un evento conjunto, se presenten dos o mas puntos muestrales.

Enfoques de laprobabilidad

Clsico:

Frecuenciarelativa:

Subjetivo

Probabilidad de un evento= Nmero deresultados favorables/Nmero total deresultados

P(A)=n(A)/N Numero de veces en quese ha presentado el evento/entre total deobservaciones

Es asignada por un individuo, desde suapreciacin personal o con base en elgrado de creencia que tiene sobre laocurrencia de un evento particular

La unin de eventos es la coleccin de puntos muestrales que se encuentran contenidos en los mismos. Si se tienen dos eventos, A y B la unin de estos es la coleccin de puntos muestrales que se encuentran contenidos en el evento A o en el evento B o en ambos y se representan mediante el smbolo AB.

La interseccin de dos eventos A y B es el conjunto de todos los puntos muestrales que se encuentran contenidos en ambos eventos A y B simultneamente, y es representada por el smbolo AB.

La aduana de un determinado punto fronterizo seleccionara 4 camiones para inspeccionar sus mercancas. De acuerdo con las ltimas inspecciones, se sabe que 50% de los camiones que ingresan al pas trae mercanca de contrabando y el otro 50% su mercanca se encuentra en orden.a) Encuentre los puntos muestrales y la probabilidad de que al realizarse la

inspeccin, dos camiones tengan mercanca de contrabando.b) Qu tipo de probabilidad se trata en este evento, simple o conjunta?

R1:(S,S,S,S) R5:(N,S,S,S) R9:(S,N,S,N) R13:(N,S,S,S)R2:(S,S,S,N) R6:(S,S,N,N) R10:(N,S,S,N) R14:(N,S,N,N)R3:(S,S,N,S) R7:(S,N,N,S) R11:(N,S,N,S) R15:(N,N,S,N)R4:(S,N,S,S) R8:(N,N,S,S) R12:(S,N,N,N) R16:(N,N,N,N)

Puntos muestrales

R1:(S,S,S,S) R5:(N,S,S,S) R9:(S,N,S,N) R13:(N,S,S,S)R2:(S,S,S,N) R6:(S,S,N,N) R10:(N,S,S,N) R14:(N,S,N,N)R3:(S,S,N,S) R7:(S,N,N,S) R11:(N,S,N,S) R15:(N,N,S,N)R4:(S,N,S,S) R8:(N,N,S,S) R12:(S,N,N,N) R16:(N,N,N,N)

P(2 CAMIONES CON CONTRABANDO)= 6/16= 0.375

De los eventos A dos camiones que contienen mercanca de contrabando y Bque el primer camin inspeccionado contenga mercanca de contrabando,encontrar la unin de los eventos A y B.

supervisores a 120 0.06

mantenimiento b 50 0.025

produccin c 1460 0.73

administracin d 302 0.151

secretarias e 68 0.034

2000 1

Una muestra de empleados se va a encuestar en cuanto a un nuevo plan de cuidado de la salud. Los empleados se clasifican de la siguiente manera:

A) Cual es la probabilidad de que la primera persona elegida sea:i. De mantenimiento o secretariaii. Que no sea de mantenimiento.

B) Dibuje un diagrama de Venn que ilustre sus respuestas del inciso A)

C) Los eventos del inciso A) i) son complementarios, mutuamente excluyentes, o ambos?

b e

i) Probabilidad que sea de mantenimiento o secretaria

b

ii) Probabilidad que no sea de mantenimiento

P(-b)

No son complementarios pero si son excluyentes

ReglasdelaAdicin

Reglaespecial P(AoB)=P(A)+P(B)eventosmutuamenteexcluyentes

RegladelComplemento P(A)=1 P(~A)

ReglaGeneral P(AoB)=P(A)+P(B) P(AyB)

Una mquina automtica llena bolsas de plstico con una combinacin de frijoles, brcoli yotras verduras. La mayora de las bolsas contienen el peso correcto, aunque comoconsecuencia de la variacin del tamao del frijol y de otras verduras, un paquete podrapesar menos o ms. Una revisin de 4000 paquetes que se llenaron el mes pasado arroj lossiguientes datos:

Peso Evento Nmero depaquetes

Probabilidadqueocurraevento

Menospeso A 100 .025 100/4000Pesosatisfactorio B 3600 .900Mspeso C 300 .075

4000 1.000

Culeslaprobabilidaddequeenunpaqueteenparticularpesemenosopesems?

P(AoC)=P(A)+P(B)=0.025+0.075=.1

Ejemplo: Cul es la probabilidad de que una carta, escogida al azar, de una barajaconvencional sea rey o corazn?

Carta Probabilidad ExplicacinRey P(A)=4/52 4reyesCorazn P(B)=13/52 13corazonesReydecorazones P(AyB)=1/52 1reydecorazones

P(AoB)=P(A)+P(B) P(AyB)=4/52+13/52 1/52=16/5200.3077

RegladelamultiplicacinReglaespecial P(AyB)=P(A)P(B)independencia

Reglageneral P(AyB)=P(A)P(A/B)Probabilidadcondicional

Ejemplo:UnaencuestallevadaacaboporlaAmericanAutomobileAssociation(AAA)revelqueelaopasado60%desusmiembroshicieronreservacionesenlneaareas.Dosdeellosfueronseleccionadosalazar.Culeslaprobabilidaddequeamboshicieranreservacioneselaopasado?

P(R1yR2)=P(R1)P(R2)=(0.60)(0.6)=0.36

Ejemplo:Ungolfistatiene12camisasensuclset.Supongaque9sonblancasylasdemsazules.Comosevistedenoche,simplementetomaunacamisayselapone.Juegagolf2vecesseguidasynolaslava.Culeslaprobabilidaddequelasdoscamisaselegidasseanblancas?

P(B1yB2)=P(B1)P(B2/B1)=(9/12)(8/12)=0.55

Laprobabilidadcondicionaldeuneventoesaquellaqueestacondicionadaodeterminadaporlapresenciadeotroevento.

P(A/B)=P(AB)P(B)

P(A/B)ProbabilidadcondicionaldequesepresenteeleventoAdadoqueocurraeleventoBP(AB)ProbabilidaddelainterseccindeleventoAconeleventoB,probabilidaddequeocurranestoseventosdeformasimultnea.P(B)ProbabilidaddequeocurraeleventoB.

Ejemplo

Deacuerdoconalgunosestudiosrealizadosporanalistasdemercado,sesabequelaprobabilidaddequeexistaunadevaluacindelpesoyunacadaenlatasadeintersdemanerasimultaneaesde0.2.Adems,laprobabilidaddequeexistaunacadaenlastasasdeintersesde0.5.Sealaculserlaprobabilidaddequeexistaunadevaluacinenelpesodadoquesepresenteunacadaenlastasasdeinters.

EventoA=devaluacinEventoB=cadadelastasasdeintersP(AB)=0.2

P(B)=0.5

P(A/B)=P(AB)= 0.2=0.4P(B)0.5

Laindependenciaestadstica

Doseventossonestadsticamenteindependientescuandonotienenningunainfluenciaentres,esdecir,quelaprobabilidaddeuneventoesindiferentealapresenciaonopresenciadeotroevento.SeexpresaP(A/B)=P(A)

SinosonestadsticamenteindependientesseexpresaP(A/B)=P(A)

EjemploSesabeque50%delosrefrescosqueseconsumenenunapoblacinsondeunadeterminadamarca,tambinsesabeque60%delapoblacinhavistoportelevisinelnuevocomercialdeesterefresco,yquelaspersonasqueconsumenesamarcaderefrescoyquehanvistosunuevocomercialrepresentan30%delapoblacin.Determinesilacompraderefrescosdeestamarcahasidoestimuladaporsunuevocomercialentelevisin.

EventoA=consumoderefrescodelamarcasealadaEventoB=Nuevocomercialdelrefresco

P(A)=0.5P(B)=0.6P(AB)=0.3Seobtienelaprobabilidadcondicional

P(A/B)=P(AB)= 0.3=0.5P(B)0.6

P(A/B)=P(A)=0.5,porlotanto,laprobabilidaddequeunclienteconsumarefrescosdeestadeterminadamarcanoestinfluidaporlapresenciadelnuevocomercial.Lapublicidadnoeslaadecuada.

LeydelamultiplicacinEstablecelaprobabilidaddequesepresentelainterseccindedoseventosAyB.

SiloseventossonestadsticamenteindependientesP(AB)=P(A)*P(B)P(AB)=EslaprobabilidaddequesepresenteeleventoAP(A)=EslaprobabilidaddequesucedaeleventoAP(B)=EslaprobabilidaddequesucedaeleventoB

EjemploEldepartamentodemercadotecniadeunaempresarealizounestudiodemercadoparasabercualdedosbebidasrefrescantesprefierenlosconsumidores;labebidarefrescanteAtuvounaprobabilidaddeaceptacinde75%,mientrasquelabebidarefrescanteBtuvounaaceptacinde80%.Culeslaprobabilidaddequeambasbebidasrefrescantestenganaceptacinporpartedelosconsumidoressisesuponequeamboseventossonestadsticamenteindependientes?

P(A)=0.75P(B)=0.80P(AB)=P(A)*P(B)=(0.75)*(0.80)=0.6Laprobabilidaddequeambasbebidasseanaceptadasesde0.60

SiloseventosnosonestadsticamenteindependientesP(AB)=P(A/B)*P(B)P(A/B)=ProbabilidadcondicionaldequesepresenteeleventoAdadoqueocurraeleventoB

EjemploEneldepartamentodeproduccindeunaempresasesabequeunconjuntode10partesderepuestocontieneochopartesaceptables(A)y2defectuosas(B).Dadalaseleccinaleatoriasinreemplazodedospartes,culeslaprobabilidaddequelasdospartesseleccionadasseanaceptables?

P(A)=8/10P(A/B)=7/9P(AB)=P(A/B)*P(B)=(8/10)*(7/9)=(56/90)=0.6222Laprobabilidaddequelasdospartesseleccionadasseanaceptadasesde0.62

Tabla de contingenciaTabla utilizada para clasificar observaciones de una muestra, de acuerdo con dos oms caractersticas identificables.

Una encuesta de 150 adultos clasificados segn su gnero y la cantidad depelculas que vieron en el cine el mes pasado. Cada entrevistado se clasifica deacuerdo con dos criterios: la cantidad de pelculas que ha visto y el gnero

GneroPelculasvistas

Hombres Mujeres Total

0 20 40 601 40 30 702oms 10 10 20Total 70 80 150

Diagrama de rbol

Raz

M80/150

0P40/80 (80/150)(40/80)=4/15

1P30/80 (80/150)(30/80)=3/15

2

TeoremadeBayes

Enlamayoradelasaplicacionesrealeslasdecisionesseactualizanconformeseobtienenuevainformacinoexisteuncambiodeescenarios.LaLeydeBayesproporcionaunmtodomedianteelcuallaprobabilidaddeciertoeventoqueyaesconocido(probabilidadapriori oprevia)sevaactualizandoconformeseobtienenuevainformacin.Unavezquelaprobabilidadhasidoactualizadaselellamaprobabilidadaposteriori (oprobabilidadposterior).Laprobabilidadcondicionaldeterminalaformaenqueuneventoesinfluidoodeterminadodadalapresenciadeotroevento.LaLeydeBayesseutilizaparaobtenerprobabilidadesmsprecisasquelasprobabilidadesapriori,dadalapresenciadeunnuevoevento.LaformulaparaencontrarunaprobabilidadaposteriorieslaqueseconocecomoLeydeBayes.

P(A/B)= P(B/A) * P(A) . P(B/A) * P(A) + P(B/AC) * P(AC)

Si el evento A ocurre, Cul es la probabilidad de que haya sido generado por el evento B?

P(A/B)= Probabilidad de que ocurra A dado que ocurri BP(B/A)= Probabilidad de que ocurra B dado que ocurri AP(A)= Probabilidad del evento A (probabilidad a priori)P(AC)= Probabilidad del complemento del evento A (probabilidad a aposteriori).

Ejemplo:En una fabrica se tienen dos mquinas que producen pantalones de vestir. La mquina 1 produce 45% del total de pantalones y la mquina 2 produce el 55% restante. La mquina 1 produce 10% de pantalones defectuosos y en la mquina 2 la produccin defectuosa es del 8%.Si se observa un pantaln defectuoso, Cul es la probabilidad de que haya sido producido por la mquina 2?

Se identifican los eventos:

A: produccin de la mquina 1B: produccin de la mquina 2

X: productos defectuososY: productos de buena calidad

Utilizando diagrama de rbol:

A 45%

B 55%

XA 10%

YA 90%

XB 08%

YB 92%

Sustituyendo en formula

P(B/XB)= P(XB/B) * P(B) . = (0.08)(0.55) = 0.49P(XB/B) * P(B) + P(XA/BC) * P(BC) (0.08)(0.55) + (0.10)(0.45)

La probabilidad de que el pantaln defectuoso haya sido producido por la maquina 2 es de 49%.

El departamento de compras de una empresa de plsticos reporto lo siguiente: 80% de material de vinil recibido del proveedor A es de buena calidad mientras que solo 50% del material recibido del proveedor B es de la misma calidad. Sin embargo, la capacidad de produccin del proveedor A es limitada, razn por la cual solo 40% del material de vinil adquirido por la empresa de plsticos proviene del proveedor A. El restante 60% procede del proveedor B. Al inspeccionar un embarque de material de vinil, se encuentra que es de buena calidad. Cul es la probabilidad de que el material de vinil haya sido adquirido del proveedor A.

Se identifican los eventos:A: proveedor A X: Buena calidadB: proveedor B Y: Mala calidad

A 40%

B 60%

YA 20%

XB 50%

YB 50%

XA 80%Utilizando diagrama de rbol:

Sustituyendo en formula

P(B/XA)= P(XA/A) * P(A) . = (0.80)(0.40) = 0.516P(XA/A) * P(A) + P(XB/AC) * P(AC) (0.80)(0.40) + (0.50)(0.60)

La probabilidad de que el material de vinil haya sido adquirido por el proveedor A es de 51.6%.

Conteo de puntos muestrales

Las reglas para realizar conteo , son de gran ayuda para resolver problemas de probabilidad cuando es grande el numero de puntos muestrales.

La regla mn se aplica en situaciones en las que se busca el numero de maneras distintas en las que se pueden formar pares de objetos, se seleccionan de dos grupos distintos.

N=mn N es el numero total de puntos muestrales.

A) La lnea de autobuses Estrella Blanca ofrece recorridos a 50 destinosdiferentes y brinda tres tipos diferentes de servicio, estos son; de primera,segunda y plus. De cuntas maneras distintas es posible ordenar losrecorridos?

m= 50 n= 3 N=mn=50 * 3 = 150

Los recorridos se pueden ajustar de 150 maneras distintas.

B) Un grupo de 10 pacientes ingreso a una clnica en donde seran atendidoscada uno, por uno de tres mdicos. De cuntas maneras se puede ordenar alos mdicos?

Permutacin: disposicin en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc., hasta n.

La formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:

nPr = n! .(n-r)!

Donde: P: numero de permutaciones o formas en que pueden ordenarse los objetosn: numero total de objetosr: numero de objetos que se van a disponer cada vez.

La regla de Permutaciones sirve para determinar el numero posible de arreglos cuando solo hay un grupo de objetos.

A) El presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de una determinada asociacin, sern elegidos de entre 10 candidatos. De cuntas maneras distintas pueden ocuparse los puestos?

n = 10 r = 410 P 4 = 10! / (10 4 ) ! = 10 ! / 6 ! = 5 040

B) En una empresa de lubricantes hay ocho lugares de capacitacin administrativa los cuales se asignaran a ocho empleados. De cuntas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos?

La Regla de las combinaciones sirve para combinar los distintos elementos del grupo.En consecuencia, el inters en las combinaciones siempre se dirige al numero de diferentes subgrupos que pueden formarse con n objetos. El numero de combinaciones de n objetos tomados de r a la vez es:

nCr = n! .r! (n-r)!

A) Una agencia de mercadotecnia desea contratar analistas en investigacin de mercados, hay 10 aspirantes. De cuntas maneras se puede escoger 4 de los 10 aspirantes?

n = 10 r = 4

10 C 4 = 10! / 4 ! ( 10 4 ) ! = 10 ! / 4 ! 6 ! = 210

B) La Bolsa Mexicana de Valores ofrece 4 tipos de acciones a los inversionistas, de cuntas maneras se puede seleccionar 2 tipos de acciones?

Variable Aleatoria

Cuando en un proceso de observacin las caractersticas que se desean mediradquieren valores cuantitativos y estos estn sujetos al azar se dice que estascaractersticas son variables. Es decir, una variable aleatoria debe considerar dosaspectos: que las caractersticas se encuentren expresadas en valores cuantitativos yque estos valores tengan un carcter aleatorio.

VariableAleatoria

VariableAleatoriaDiscretaElnmerodeclientesqueacudenenundaalsupermercadoElnmerodeclientesesperandoservicioenunbancoElnmerodepersonasquesonencuestadasenundeterminadoda

VariableAleatoriaContinuaElpesodeunartculoquesevaavenderEltiemponecesarioparallevaracabolaproduccindeciertoartculoLacantidaddegasolinaconsumidaporunautomvilalefectuarentregas.

Variable Aleatoria Continua: es aquella caracterstica que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, es decir no toma valores exactos pudiendo incluir fracciones, asumiendo en un momento dado un nmero infinito de valores.

Variable Aleatoria Discreta: es aquella caracterstica que nicamente puede tomar valores contables expresados en nmeros enteros.

Una funcin de distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una relacin entre los valores asociados a una variable aleatoria discreta X y las probabilidades que se calculan para cada uno de los valores de X. Se representa por una tabla y una grfica que proporcionan las probabilidades asociadas a cada valor posible de la variable aleatoria discreta.

Valordelavariable probabilidad

0 0.16

1 0.48

2 0.36

Ejemplo:

Si se selecciona una muestra aleatoria de dos consumidores que realizan sus compras y cada uno tiene que elegir entre los artculos A y B, segn sus preferencias.

S[AA,AB,BA,BB]

Si se sabe que 60% de los productos demandados por los consumidores son del tipo A y 40% de los productos demandado por los consumidores son del tipo B, se tiene:

P(A,A)=(0.6)(0.6)=0.36P(A,B)=(0.6)(0.4)=0.24P(B,A)=(0.6)(0.6)=0.24P(B,B)=(0.4)(0.4)=0.16

Valordelavariable probabilidad

0 0.16

1 0.48

2 0.36

Distribucin de probabilidad

La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta se representa por una tabla y una grfica que proporcionan las probabilidades asociadas a cada valor posible de la variable aleatoria discreta.

Si en un banco se atendi a tres clientes en un determinado periodo, los cuales pueden ser hombres o mujeres, y adems se sabe que 50% de los clientes que visitan un banco son mujeres y 50% son hombres. Cul es la funcin de distribucin de probabilidad dl nmero de mujeres atendidas?

De lo anterior se obtiene que la probabilidad conjunta es:

P(0)=1/8 {HHH}P(1)=1/8+1/8+1/8=3/8 {HHM, HMH, MHH}P(2)=1/8+1/8+1/8=3/8 {HMM, MHM, MMH}P(3)=1/8 {MMM}

X 0 1 2 3P(X) 1/8 3/8 3/8 1/8

Valor Esperado ( Esperanza Matemtica)

El valor esperado de una variable aleatoria X se puede considerar una medida de tendencia central de una distribucin de probabilidad. El valor esperado considera que cada uno de los datos con que se cuenta tiene una probabilidad de ocurrencia y que las multiplicaciones de los valores de los datos por su probabilidad son sumados.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de los posibles valores que toma la variable X multiplicados por su probabilidad de ocurrencia.

X= E(X) = X1p1 + X2p2 + X3p3 + + X npn = XipiXi = valores enteros que toma la variable XPi = probabilidad de ocurrencia del valor que toma la variable XX= E(X) = valor esperado de la variable XDel ejemplo de las mujeres que son atendidas en un banco se tiene la siguiente distribucin de probabilidad, calcular el promedio de mujeres que se espera sean atendidas.

Valordelavariable(X) 0 1 2 3

ProbabilidadP(X) 1/8 3/8 3/8 1/8

X= E(X) = (0)(1/8) + (1)(3/8) + (2)(3/8) + (3)(1/8)= (0)(0.125) + (1)(0.375) + (2)(0.125) + (3)(0.375)= 0.375 + 0.75 + 0.375 = 1.5

X= E(X) = 1.5

La varianza de una variable aleatoria discreta se define como la suma de las desviaciones o variaciones cuadrticas que tienen los datos de una distribucin de probabilidad con respecto al valor promedio.

2 = Var(X) = [(X-)2 (pi) = (X1-)2p1 + (X2-)2p2 + + (Xn-)2pnX = variable aleatoria discretaPi = probabilidad de que el valor que toma la variable aleatoria X sea igual a Xi= valor esperado

La desviacin estndar o desviacin tpica se define como la raz cuadrada positiva de la varianza

= 2

Tomando los datos del ejemplo del banco se tiene:

2 = (0-1.5)2 (1/8) + (1-1.5)2 (3/8) + (2-1.5)2 (3/8) + (3-1.5)2 (1/8) = 0.75Por lo tanto la desviacin estndar es:

= 2 = 0.75 = 0.8660

Distribucin Binomial

La distribucin binomial emplea variables aleatorias discretas y se caracteriza por el hecho de que nicamente considera que existen xitos y fracasos, es decir, slo toma en cuenta que existen dos alternativas de decisin dentro de un conjunto de datos. Cabe sealar que la distribucin binomial solo considera que los datos corresponden a una muestra o a una poblacin, pero no a ambas.

La distribucin binomial debe de considerar cuatro propiedades:

1) El experimento consiste de un numero fijo de ensayos.2) Cada ensayo slo tiene dos posibles resultados a los que suele llamarse xito

o fracaso.3) La probabilidad de un xito es igual a p y es constante para todos los ensayos

y la probabilidad de fracaso es igual a q = (1-p).4) Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de probabilidades que se

da en un ensayo no afecta al resultado que se da en otro.

La probabilidad de que ocurra un evento es:

P(X)=P (k,n.p) =nCkpkqn-k=[n! / k!(n-k)!] pkqn-k

Donde:P (k,n.p)= Probabilidad de que se den k xitos en n ensayos donde se conoce la

probabilidad de xitoP(X)= Probabilidad de que la variable X tome el valor kn= Tamao de la muestra numero de ensayosk= Nmero de xitosn-k= Nmero de fracasosp= Probabilidad de xitoq= Probabilidad de fracaso!= Factorial de un nmero

Ejemplo:Una empresa consultora afirma que un procedimiento para promocionar las ventas

de una compaa es exitoso 80% de las veces. Si el procedimiento se lleva a cabo cinco veces en un ao, cul es la probabilidad de que:

a) Las cinco veces que se lleva a cabo el procedimiento sea exitosob) A lo ms dos sean exitosas

a) Tenemos que p=80% y q= (1-p)= (1-0.8)= 0.2n= 5 k=5 n-k= 0

Sustituyendo valores en la formula:

P(k)=P (k,n.p) = [n! / k!(n-k)!] pkqn-k = [5! / 5!(5-5)!] (0.8)5 (0.2)0 = 0.32768P(5)= 0.32768

b) k

LADISTRIBUCINHIPERGEOMTRICA

Esenlaqueseconsideralaexistenciadexitosy/ofracasosenunamuestrayenunapoblacin,suponiendoquesetieneconocimientodeltamaodelapoblacinydelnmerodeelementosdentrodeellaqueseconsideranxitosofracasos,yqueseextraeunamuestradondetambinexistenxitosofracasos.

Seutilizantantolamuestracomolapoblacinparahacerreferenciaalknmerodeelementoscontenidosenlapoblacinyaspoderconocerelnmerodexitosofracasosenella.Elmanejodedatosessinreemplazo.

P(k)= (kCx)(N-kCn-x) = k! . (N-k)! .(NCn) x!(k-x)! (n-x)![(N-k)-(n-x)]

N! .n!(N-n)!

N = nmero de elementos en la poblacinK = nmero de elementos en la poblacin que se considera xitoN-k = nmero de elementos en la poblacin que se consideran fracasosn = nmero de elementos en la muestra seleccionados de los N elementos en la poblacin.x = nmero de xitos en la muestra

Ejemplo:

Unaspiranteaunpuestoejecutivoacudealdepartamentoderecursoshumanosdeunaempresayselenotificaqueendosdasdeberrealizarunexamenbasadoenunaguade15secciones.Alprepararseparaelexamen,estudiatansolo10delas15seccionesquedebecubrir.Sisuinstructorseleccionara5seccionesalazaryhaceunapreguntadecadauna,culserlaprobabilidadquetieneelaspirantedehaberestudiadodosdelasecciones?

Datos: N=15 k=10 Nk=5 n=5 nx=3 x=2

P(2)= 10!. 5!.P(2)=0.14992!(102)!3!(53)!.

15!.5!(155)!

Laprobabilidadesunvalormuybajoquedenotaquesusposibilidadesdeaprobarelexamennosonmuyalentadoras.

LADISTRIBUCINDEPOISSON

Empleainformacinreferenteasituacionesenlascualessemanejaqueelresultadodeunensayosecondicioneporpresentarseenunperiododeterminadooenunareaoespacioespecfico.ParadeterminarlaprobabilidaddeocurrenciadeunnmeroestablecidodeeventosenunadistribucindePoissonsoloserequieredeunvalor:elnmeropromediodeeventosenladimensintemporaloespacialespecficadeintersPorlogeneralestamediaserepresentaporlaletragriegalambda().Estadistribucinserepresentapor:

P(x)=e xx!

Elnmeropromediodeventasdeunacompaaenunahoraesde5,sedeseaconocerculeslaprobabilidaddequeenunahoradeterminadaserealicen:

a) tresventasb) Seisventas

=5x=3y6P(3)=e x=e 3=0.1396

x!3!

P(6)=e x=e 6=0.1454x!6!

Distribucin geomtrica

Se basa en la distribucin binomial solo que en sta nos interesan las probabilidades de que el primer xito o fracaso ocurra en un experimento dado, por ejemplo, es de inters conocer si el primer xito o fracaso ocurre en el tercer experimento.La probabilidad de que el primer xito o fracaso ocurra en el x-simo experimento es:

P(x)=P(1-P)x-1

Donde:P(x)= Probabilidad de que el primer xito se de en el experimento x.P= Probabilidad del xito(1-P)= Probabilidad de fracasoX= Experimento elegido donde se espera que se obtenga el primer xito.X-1= Fracasos ocurridos antes de que se obtenga el primer xito.

Ejemplo:

Una casa de bolsa tienen un paquete de acciones con distintos rendimientos. Si la probabilidad de que se eleve el rendimiento de las acciones es de 0.7, encuentra la probabilidad de que la cuarta accin sea la que eleve primero su rendimiento.

Datos: sustituyendo datosP= 0.7 P(x)=(0.7)(0.3)4-1(1-P)= 1 0.7 = 0.3 P(x)= 0.0189X= 4

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA

Una distribucin de probabilidad continua se asocia a las variables aleatorias continuas.Una variable aleatoria continua es aquella que toma cualquier valor dentro de un conjunto de datos, es decir, no solo toma valores enteros sino tambin valores en fracciones o de cualquier otro tipo distintos a los enteros y puede asumir un nmero infinito de valores.

Una parte elemental para la construccin de modelos de variables aleatorias continuas es la distribucin normal.

La distribucin de probabilidad normal es un instrumento adecuado para efectuar mediciones de inters porque no solo trabaja con muestras, sino principalmente con poblaciones.

*Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran nmero de situaciones donde se toman muestras grandes*Se ajusta a distribuciones de frecuencias observadas en muchos fenmenos.

Su representacin es una curva en forma de campana llamada CURVA NORMAL.

x

Curva normal

Sus caractersticas son:

-La curva tiene forma de campana-Es simtrica-Es una distribucin mesocrtica-La curva normal se extiende de infinito a mas infinito-El rea bajo la curva es igual al 100% (P=1)-Cada distribucin normal es completamente especificada por su media y su desviacin estndar.

8 8+

x

Ladispersinhacequelacurvaseamaselevadaomsachatada

DistribucinLeptocrtica(puntiaguda)DistribucinPlaticrtica(achatada)

reas bajo la curva normalPara los valores cualquiera de la media y de la desviacin estndar para una

distribucin de probabilidad normal, el rea bajo la curva tiene valor de 1; se puede pensar en las reas bajo la curva como probabilidades, donde en cada mitad de la distribucin la suma de probabilidades es 0.5 y cualquier valor que se encuentre en la distribucin tiene una probabilidad de ocurrencia. La forma de plantear esto es trazar reas limitadas por desviaciones estndar con respecto de la media.

Ejemplo:El sueldo mensual que reciben los empleados de una empresa dedicada

a la produccin de plstico, sigue una distribucin normal con unamedia de $8000 y una desviacin estndar de $700. La empresadesea conocer:

a)El rango de valores entre los que se encuentran aproximadamente 68% de los sueldos de los empleados.

b)El rango de los valores entre los que se encuentran aproximadamente 95% de los sueldos de los empleados.

c)El rango de los valores entre los que se encuentra aproximadamente 99% de los sueldos de los empleados.

Solucin:a)Datos Desarrollo$8000 8000-700=7300s=$700 8000+700=8700

b)DatosDesarrollo

c)Datos Desarrollo

Distribucindeprobabilidadnormalestandarizada

Existeunnumeroinfinitodedistribucionesnormales,cadaunaconsumediaydesviacinestndar.Esdemasiadocomplicadoproporcionarresultadosparacadacombinacin.EstaproblemticaseaminorautilizandounaestandarizacindelosdatosquetengalavariableX.Estosdatossepuedenconvertiraunaescalaestandarizadaaplicandolasiguienteformula:

Z= X

X=Eselvalordelavariablealeatoriaenestudio=Eselvalordelamediadeladistribucindelavariablealeatoria=EsladesviacinestndardeladistribucinLaformuladaexpresadaentrminosdeZmideladistanciaentreelvalorespecficodeXyelvalordelamedia,utilizandoladesviacinestndarcomounidaddemedida.Zsiempretieneunamediaigualaceroyunadesviacinestndarigualauno.SebuscalaprobabilidaddeocurrenciadeunvalorZyestasebuscaenunatabla.Ejemplo:Unacompaaproductoradellantasrealizaunestudiosobreeltiempodevidatildelasllantas,delestudioresultaquelasllantastienenunaduracinpromediode35,000kms yunadesviacinestndarde4,000kms.

Elgerentedelaempresaestinteresadoensaber:a) Quprobabilidadexistedequelasllantastengauntiempodevidasuperiora38,000

kms?b) Quproporcindeestasllantastienenuntiempodevidainferiora32,000kms?c) Quproporcindeestasllantastieneuntiempodevidaentre32,000y38,000kms?

Datos:X=38000 Z= X P(Xdetablassetienequesuvaloresde0.2734P(X>38000)=P(Z>0.75)=0.5 0.2734=0.2266Porlotantolaprobabilidaddequelasllantastenganunaduracinsuperioralos38000kmsesde0.2266o22.66%.

35000 38000

xZ

0.2734.2266

0 0.75

Relacin entre la distribucin normal y la binomial

Una de las limitaciones de la distribucin binomiales es que nicamente tiene aplicacin donde la muestra es relativamente pequea n30 es til el empleo de la distribucin de probabilidad normal, para dar una aproximacin a la distribucin normal, si esta probabilidad de xito esta prxima a 0.5.Se tienen que suponer que los datos se comportan de manera normal.La distribucin normal es continua en tanto que la distribucin binomial es discreta.Cuando los datos de la distribucin continua no son enteros, el problema se resuelve construyendo intervalos tericos para poder representar valores enteros que sean parecidos a los que toman las variables discretas, utilizando el factor de correccin por continuidad (su representacin es el valor 0.5).Este valor garantiza la simetra de la distribucin normal(se suma o resta).

Sedetermina = np y = npq para obtener Z.

K1

K1K1

a) restar 0.5 cuando se desea conocer P(X>=K1)

b) sumar 0.5 cuando se desea conocer P(X

K1K1

e)Restar 0.5 cuando se desea conocer P(XK1)

Distribucint

Estadistribucinesunconjuntodedistribucionesquetienenuncomportamientomuysimilaraladistribucinnormal,conlasalvedaddequesusdatostienenmayordispersin.Seaplicapararealizarinferenciascuandolamuestraconlaqueseestatrabajandoespequeayademssedesconoceladesviacinestndar.

t=X S/n1/2

Distribucinexponencial

Abordafenmenoscuyaprobabilidadserefiereatiempoydistanciasentrelaocurrenciadeexperimentosconrespectoaunintervalocontinuo(numerodedatosgrande).Sepuedeaplicarcuandoelintersconsistenicamenteenconocereltiempooladistanciahastaelprimerevento,eltiempooladistanciaentredoseventos.

Elobjetivoesencontrarlaprobabilidaddequeeleventonosucedaenelintervaloespecificado:

P(T>t)=et

Elobjetivoesencontrarlaprobabilidaddequeeleventoocurraenelcursodelintervaloespecificado:

P(T

Estimacin

Esunprocedimientodelaestadsticainferencialmediantelacualserealizanclculosconlosdatosdeunamuestraparaobtenervaloresoresultadosquedescribanlascaractersticasdelapoblacin.

Elobjetivodelaestimacinesobtenerestadsticosoestimadores(formulas)paraconocerdemaneraresumidalascaractersticasmasrelevantesdeunapoblacin.

Estimacinpuntual:esunprocedimientomedianteelcualserealizanclculosconlosdatosdeunamuestracuyoresultadoesunvalornumriconicoempleadoparaestimarelvalordeunparmetropoblacional.

Desventajas:silamuestranoesrepresentativa,elresultadodelaestimacinserequivocado.Suresultadovariademuestraenmuestra.Noproporcionaunamedidadereferenciaounniveldeconfianzaencuantoalresultado.

EstimacinporIntervalos:esunprocedimientomedianteelcualserealizanclculosconlosdatosdeunamuestracuyoresultadosondosvaloresnumricosquedefinenunrango,intervaloounconjuntonumricoqueservirparaestimarelparmetropoblacional.

Ventajas:Noofreceunvalornico,sinounrangoMsprobabilidaddeacertaralverdaderovalorOfreceelresultadounniveldeconfianzaquepermiteconocerencuantolepodemoscreerotenerleconfianza.(Intervalodeconfianza).Elniveldeconfianzasealaquetantaconfianzalepodemostenerocreeralresultado.Semideen%0100deconfianzaEjemplos:clima,tipodecambio,etc.

ESTIMACINDELAMEDIA(MUESTRAGRANDE)Paramuestrascompuestasde30msdatosSepuedeutilizarparamuestraschicassolos:Ladistribucinseanormalyseconozcaelvalordelavarianzapoblacionaldesviacinestndarpoblacional.Sebasaenalteoremadellmitecentral.Siseconoceladesviacinestndarpoblacional

X Z/2 (/n1/2)

Sinoseconoceladesviacinestndarpoblacional

X Z/2 (S/n1/2)

Muestrapequeas(n

(x1x2) t/2S 1+1

Encontrar el diagrama circular para la distribucin de la produccin nacional enMxico en el tercer trimestre del 2001, segn el sector econmico.

Sector Millonesdepesos PorcentajeAgropecuario 75043474Industrial 415706866Servicios 941943481Total 1 432693821

Desarrolla un breve reporte

Encontrar el diagrama de barras para la produccin mundial de tabaco, de acuerdo con el pas de origen:

Pas MilesdetoneladasChina 2,021.04India 599.40BrasilEstados Unidos

493.10408.20

Turqua 197.26Indonesia 157.35Otrosproductores 1,869.54Total 5,745.89

Desarrolla un breve reporte

La siguiente distribucin de frecuencias muestra el nmero de millas deviajero frecuente expresado en miles de millas, de empleados de BrumleyStatistical Consultig, Inc., durante el primer trimestre de 2007.

Millasdefrecuenteviajerofrecuente(miles)

Frecuencia

15a18 818a21 2321a24 1724a27 1827a30 830a33 433a36 2Total 80

Construya un histograma, un polgono de frecuencias relativas y un polgonode frecuencias relativas acumuladas.

Desarrolla un breve reporte