Antología de Probabilidad y Estadística.docx

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco.

Plantel 11. Atotonilco el Alto; Jal.

Antología de Probabilidad y Estadística.

Compilado por: Profr. Juan Manuel Juárez Zamorano

Semestre Agosto 09-Enero 10

M.E.T. Juan Manuel Juárez Zamorano

Índice

Introducción1. Conceptos básicos

1.1 Estadística1.2 Población

1.3 Muestra

1.4 Variable1.5 Variable discreta

1.6 Variable contínua

1.7 Redondeo de datos

1.8 Notación científica

1.9 Toma de datos1.10 Distribución de frecuencias1.11 Intervalos de clase

1.12 Limites de clase

1.13 Marca de clase1.14 Representaciones gráficas

2. Medidas de tendencia central

2.1 Media

2.2 Moda2.3 Mediana

2.4 Cuartiles2.5 Deciles

2.6 Percentiles

3. Medidas de dispersión

3.1 Rango3.2 Varianza

3.3 Desviación media

3.4 Desviación estándar

3.5 Coeficiente de variación

4. Acercamiento a la probabilidad

4.1 Teoría de conjuntos

4.2 Diagramas de Venn

4.3 Antecedentes, axiomas y conceptos básicos de probabilidad- Espacio muestral

- Evento

- Punto muestral

- Experimento

4.4 Modelos matemáticos


5. Probabilidad

5.1 Técnicas de conteo

a) Selecciones sucesivas (permutaciones)

b) Combinacionesc) Diagrama de árbol

d) Procesos de conteo

e) Conjuntos y subconjuntos

f) Teorema del binomio

5.2 Probabilidad en eventos sucesivos5.3 Probabilidad condicional

5.4 Eventos independientes

5.5 Teorema de Bayes

5.6 Selecciones al azar

Bibliografía


Introducción.

La presente antología de Probabilidad y Estadística está elaborada pensando en facilitar a los

estudiantes de preparatoria el estudio de esta materia. En ella se encuentran los conceptos más básicos

que el estudiante debe aprender y utilizar a lo largo del quinto semestre del bachillerato.

Sin dudas, la recopilación de datos es una de las actividades que enfrenta el estudiante y que si

no sabe como hacerla, pierde tiempo al mismo tiempo que desgasta sus energías contribuyendo esto a

crear un desánimo en torno a la materia.

Por otro lado, el material que aquí se propone es complementario a lo que el estudiante puede

indagar por su cuenta, de manera que a ti te corresponde comparar los temas expuestos con otro tipo de

bibliografía para validar los conocimientos y aprender puntos de vista de los diferentes autores.

Suerte en tus estudios!

Atte: Profr. Juan Manuel.


1. Conceptos Básicos

Es muy recomendable que cuando vamos a comenzar el estudio de una materia nueva, tengamos en cuenta los conceptos que se manejan para poder entenderla mejor. En esta ocasión, comenzaremos por definir aquellos conceptos que serán relevantes para el comienzo del estudio de la Estadística.

1.1 Concepto de Estadística

La Estadística, es la rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de “interpretación” de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos


estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

Un estudio estadístico consta de los siguientes pasos:

Recogida de datos. Organización y representación de datos. Análisis de datos. Obtención de conclusiones.

1.2 Población.

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. A cada elemento se le denomina también como individuo. Cada individuo puede ser descrito mediante uno o varios caracteres. Por ejemplo, si los individuos son personas, el sexo, el estado civil, el número de hermanos o su estatura son caracteres. Y si el individuo es una reacción química, el tiempo de reacción, la cantidad de producto obtenido o si éste es ácido o básico serán posibles caracteres que pueden analizarse.

Un carácter puede ser cuantitativo si es medible numéricamente o cualitativo si no admite medición numérica. El número de hermanos y la estatura son caracteres cuantitativos mientras que el sexo y el estado civil son caracteres cualitativos.

1.3 Muestra

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población. La muestra estadística al extraerse de la población tiene como objeto inferir, mediante su estudio, características de toda la población. Se dice que una muestra es representativa cuando, por la forma en que ha sido seleccionada, aporta garantías suficientes para realizar inferencias fiables a partir de ella.

El procedimiento por el cual se adquiere una muestra se le denomina muestreo. Para que se puedan obtener conclusiones fiables para la población a partir de la muestra, es importante tanto su tamaño como el modo en que han sido seleccionados los individuos que la componen.

Para seleccionar los individuos de la muestra es fundamental proceder aleatoriamente, es decir, decidir al azar qué individuos de entre toda la población forman parte de la muestra. Si se procede como si de un sorteo se tratara, eligiendo directamente de la población sin ningún otro condicionante, el muestreo se llama aleatorio simple o irrestrictamente aleatorio.

Las inferencias realizadas mediante muestras seleccionadas aleatoriamente están sujetas a errores, llamados errores de muestreo, que están controlados. Si la muestra está mal elegida —no es significativa— se producen errores sistemáticos no controlados.

1.4 Variable

Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población. Existen diferentes tipos de variable, según las cualidades que se busquen en ellas.


1.5 Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

1.6 Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números, es decir, cuando admite todos los valores de un intervalo. Por ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

1.7 Redondeo de datos

El redondeo de datos es una práctica que nos permite visualizar cantidades de una forma mas cómoda. El propósito de redondear las cantidades decimales es facilitarnos la interpretación y la comunicación de los resultados de un proceso estadístico. Para realizar el redondeo de una cifra decimal existen varios procedimientos. El mas común es el que se realiza, por ejemplo, al asignar calificaciones en los parciales de nuestras materias. Por ejemplo: si un alumno tiene 87 puntos, como solamente podemos manejar una cantidad entera en los parciales, se sube al entero superior, que seria 9 (90 puntos). Por lo contrario, si el alumno tiene 83 puntos, se redondea su calificación al entero inmediato anterior, que sería 8 (80 puntos).

El redondeo se realiza de la siguiente manera: si el dígito que queremos redondear es un 0, 1, 2, 3 ó 4, entonces se redondea al entero anterior; si fuera 5, 6, 7, 8 ó 9, se redondea al entero superior.

1.8 Notación científica

Es la forma de expresar un número mediante la cual se aprecia, de un golpe de vista, el orden de magnitud del mismo. Un número escrito en notación científica consta de un decimal con una única cifra distinta de cero en su parte entera, multiplicado por una potencia entera de 10:

a,bcd… · 10n

con a ≠ 0, por lo que el número a,bcd… es mayor o igual a 1 y menor que 10. n es un número entero, positivo o negativo.

La notación científica es muy útil para manejar números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, 3,548 · 1012 es un número grande, que puesto en la forma habitual sería 3.548.000.000.000. Para interpretarlo habría que contar sus cifras, tarea que se da hecha en la expresión científica. El número 5,5491 · 10-20 = 0,000000000000000000055491 es un número muy pequeño. Es clara la ventaja que supone la notación científica sobre la habitual para interpretar su valor.

Para manejar de una manera práctica la notación científica, podemos decir que la potencia nos indica los lugares que se mueve el punto decimal. Si la potencia es positiva, entonces el punto decimal se mueve a la derecha, si es negativa, entonces se moverá a la izquierda.


1.9 Toma de datos

Es el primer paso de un proceso estadístico y consiste en recabar la información del campo de estudio. La toma de datos se realiza mediante entrevistas estructuradas o preguntas directas, de acuerdo con el objeto del estudio a realizar. La concentración de los resultados obtenidos se analiza y se representa de diferentes maneras.

1.10 Distribución de frecuencias.

Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Estas tablas constan de dos columnas. En la primera se escriben los valores de la variable, xi. En la segunda las correspondientes frecuencias, fi. Estas sencillas tablas se utilizan, únicamente, cuando la variable es discreta y admite pocos valores (a lo sumo, de 12 a 16).

La tabla siguiente da la distribución de la variable “número de hijos” correspondiente a un conjunto de 43 familias:

Tipos de frecuencia

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por fi.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada


La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi.

Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.

1.11 Intervalos de clase

Cuando tenemos una cantidad grande de datos para analizar (30 o mas), la mayoría de las veces nos conviene separarlos por clases, que son grupos de datos a los que les asignamos una característica de forma arbitraria. Cada uno de esos grupos abarca una cierta cantidad de datos de la población, separándolos de los demás de acuerdo a su categoría. A esto le llamamos también intervalo o intervalo de clase.

Pasos para agrupar datos.

Determinar el rango o recorrido de los datos: Rango = Valor mayor – Valor menor

Establecer el número de clases (k) en que se van a agrupar los datos tomando como base para esto la siguiente tabla.

Tamaño de muestra o No. De datos Número de clasesMenos de 50 5 a 750 a 99 6 a 10100 a 250 7 a 12250 en adelante 10 a 20

El uso de esta tabla es uno de los criterios que se puede tomar en cuenta para establecer el

número de clases en las que se van a agrupar los datos, existen otros para hacerlo. Determinar la amplitud de clase para agrupar (C).

k

RangoC

1.12 Límites de clase Las clases tiene dos límites: uno superior y uno inferior. Para formar clases y agrupar datos se

procede de la siguiente manera:

Para formar la primera clase, se pone como límite inferior de la primera clase un valor un poco menor que el dato menor encontrado en la muestra y posteriormente se suma a este valor C, obteniendo de esta manera el límite superior de la primera clase, luego se procede a obtener los límites de la clase siguiente y así sucesivamente.


1.13 Marca de clase

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

1.14 Representaciones gráficas

Para representar gráficamente el resultado de un proceso estadístico, podemos acudir a varias herramientas que nos permiten visualizar dichos resultados de una forma comprensible y agradable. Entre las gráficas que vamos a necesitar, encontramos tres: el histograma, la gráfica de barras y el polígono de frecuencias.

Gráfica de barras:

En este tipo de gráfica, sobre los valores de las variables se levantan barras estrechas de longitudes proporcionales a las frecuencias correspondientes. Se utilizan para representar variables cuantitativas discretas. El diagrama de barras siguiente representa la distribución del número de hijos de 43 familias:

Histograma:

Los histogramas se utilizan para representar tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Si los intervalos son todos iguales, cada uno de ellos es la base de un rectángulo cuya altura es proporcional a la frecuencia correspondiente. El histograma que se muestra a continuación es el correspondiente a la tabla de frecuencias con intervalos adjunta (1.200 calificaciones distribuidas en 10 intervalos):


Si se unen los puntos medios de la base superior de los rectángulos se obtiene el polígono de frecuencias.

Polígono de frecuencias

Un pol ígono de f recuenc ias se forma uniendo los ext remos de las barras de un d iagrama de barras mediante segmentos . También se puede realizar trazando los puntos que representan las f recuenc ias y uniéndolos mediante segmentos .

Ejemplo: Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Hora Temperatura6 7º9 12°

12 14°15 11°18 12°21 10°24 8°

Polígonos de frecuencia para datos agrupados


http://www.vitutor.net/2/11/graficas_estadistica.html#db

Para construir el po l ígono de f recuenc ia se toma la marca de c lase que coincide con el punto medio de cada rectángulo de un h i s tograma . Ejemplo: El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

ci fi Fi

[50, 60) 55 8 8[60, 70) 65 10 18[70, 80) 75 16 34[80, 90) 85 14 48[90, 100) 95 10 58[100, 110) 110 5 63[110, 120) 115 2 65 65

Polígono de frecuencias acumuladas

Si se representan las f recuenc ias acumuladas de una tab la de datos agrupados se obtiene el h i s tograma de f recuenc ias acumuladas o su correspondiente po l ígono .

Gráfica circular


http://www.vitutor.net/2/11/graficas_estadistica.html#hi

En un diagrama de este tipo, los 360º de un círculo se reparten proporcionalmente a las frecuencias de los distintos valores de la variable. Resultan muy adecuados cuando hay pocos valores, o bien cuando el carácter que se estudia es cualitativo. El diagrama de sectores siguiente refleja el resultado de una encuesta (realizada a 300 personas) sobre los tipos de película preferidos por el público en general:

2. Medidas de tendencia central

La estadística descriptiva en su función básica de reducir datos, propone una serie de indicadores que permiten tener una percepción rápida de lo que ocurre en un fenómeno.

La primera gama de indicadores corresponde a las “Medidas de Tendencia Central”. Existen varios procedimientos para expresar matemáticamente las medidas de tendencia central, de los cuales, los más conocidos son: la media aritmética, la moda y la mediana.

2.1 Media

Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar datos muestrales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador será μ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será .

Media aritmética (μ o X): Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos.

Podemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos poblaciones y muestrales:


Observa que la variación de ambas fórmulas radica en el tamaño de los datos (N identifica el tamaño de la población, mientras que n el de la muestra).

2.2 Moda

Indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor frecuencia. Su símbolo será Mo. En el caso de que dos valores presenten la misma frecuencia, decimos que existe un conjunto de datos bimodal. Para más de dos modas hablaremos de un conjunto de datos multimodal. Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

2.3 Mediana

Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales. Su símbolo será Me. Para localizar la mediana de un conjunto de datos, éstos deberán estar ordenados en orden ascendente o descendente.

Al momento de ordenar los datos, podremos observar que en ocasiones será un conjunto de elementos impares, lo que facilita la ubicación de la mediana. Cuando el conjunto de datos será impar, se necesitará desarrollar un procedimiento como el que a continuación veremos.

a) Mediana para datos no agrupados (cantidad de datos impar)

Encontrar la mediana para los siguientes datos:4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3

SOLUCIÓNPASO 1: Ordenar los datos.

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

La mediana es 3, dejando 5 datos a cada lado.

Me = 3

b) Mediana para datos no agrupados (cantidad de datos par)


Modifiquemos el ejemplo anterior, eliminando el último dato. Encontrar la mediana:4 1 2 3 4 2 2 1 5 5SOLUCIÓN

PASO 1: Ordenar los datos.1 1 2 2 2 3 4 4 5 5

PASO 2: Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

El punto medio se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la mediana será 2,5.Me = 2,5

2.4 Cuartiles

En estadística, son las medidas de posición que, junto con la mediana, sirven para separar la población en cuatro porciones, cada una de ellas con la cuarta parte de los individuos.

El cuartil inferior, Q1, es un valor por debajo del cual queda el 25% de la población. Es, por tanto, el percentil 25: Q1 = p25. El cuartil superior, Q3, es un valor por debajo del cual queda el 75% de la población. Es, por tanto, el percentil 75: Q3 = p75. La mediana sería el segundo cuartil, pero no se le suele dar este nombre.

La diferencia entre los cuartiles superior e inferior es el recorrido intercuartílico.

Cálculo de los cuartiles

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

Número impar de datos2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Número par de datos2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9


2.5 Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D5 coincide con la mediana.

2.6 Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P50 coincide con la mediana.

3. Medidas de dispersión

Cuando se tiene una muestra de datos obtenida de una población cualquiera, es importante determinar sus medidas de tendencia central así como también es básico el determinar que tan dispersos están los datos en la muestra, por lo que se hace necesario determinar su rango, la varianza, la desviación estándar, etc., ya que una excesiva variabilidad o dispersión en los datos indica la inestabilidad del proceso en análisis en la mayoría de los casos.

3.1 Rango

El rango (también lo podemos llamar recorrido) es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor encontrados en la muestra, también se le denomina recorrido ya que nos dice entre que valores hace su recorrido la variable de interés; y se determina de la siguiente manera: R = VM – Vm Donde: R = rango o recorridoVM = valor mayor en la muestraVm = valor menor en la muestra

El rango intercuartílico es la diferencia, Q3 – Q1 , entre el cuartil superior, Q3, y el cuartil inferior, Q1. El par de parámetros formado por la mediana, Me, y el rango intercuartílico, Q3 – Q1, proporciona una buena información sobre la forma de la distribución.

3.2 Varianza

La varianza, V, es el promedio de los cuadrados de las desviaciones, (xi - )2, de cada elemento, xi, respecto a la media, :


La fórmula anterior es equivalente a esta otra:

que resulta más cómoda de aplicar, sobre todo cuando la media, , no es un número entero.

En la distribución 4, 6, 6, 7, 9, 11, 13, de media 8, la varianza es:

Aplicando la segunda fórmula se obtiene, obviamente, el mismo resultado:

El cálculo de la varianza en un proceso estadístico puede aplicarse tanto a una muestra (simbolizada como S2) o también a una población (su símbolo será 2 ).

3.3 Desviación media

Se simboliza con Dm y es un promedio de los valores absolutos de las desviaciones, |xi - |, de cada elemento, xi, de la distribución respecto a su media, :

Por ejemplo, en la distribución 4, 6, 6, 7, 9, 11, 13, cuya media es 8, la desviación media es:

La desviación media en ocasiones la podemos encontrar simbolizada con

3.4 Desviación estándar

También llamada desviación típica y se obtiene sacándole raíz cuadrada a la varianza. Se representa con la letra S o con σ. La razón de ser de este parámetro es conseguir que la medida de


dispersión se exprese en las mismas unidades que los datos a los que se refieren. Por ejemplo, en una distribución de estaturas en la que los datos están dados en centímetros (cm), la media viene dada en centímetros, pero la varianza en centímetros cuadrados (cm2). Para evitar este inconveniente se calcula su raíz cuadrada, obteniéndose así la desviación típica en centímetros. El par de parámetros formado por la media y la desviación típica ( , σ) aporta una información suficientemente buena sobre la forma de la distribución.

Fórmula de trabajo para la población

Fórmula de trabajo para la muestra:

Propiedades de la desviación típica

a) La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

b) Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.c) Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda

multiplicada por dicho número.d) Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones

típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la desviación típica

a) La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

b) En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.c) Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de

la media.


http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html#me

3.5 Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:

El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas.

Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí. La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.

Ejemplo: Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 25. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

La primera distribución presenta mayor dispersión.

4. Acercamiento a la probabilidad

En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, pero ¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?, es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, ¿entonces que es lo más aconsejable para predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información.

4.1 Teoría de conjuntos

La Teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

La Teoría de Conjuntos es necesaria para entender como la teoría moderna de la probabilidad. En este apartado se explicarán algunos conceptos y temas que te ayudarán a comprender mejor esta teoría.


Comenzaremos por definir algunos conceptos fundamentales:

Conjunto: es una colección bien definida de objetos, los cuales se denominan elementos o miembros del conjunto. Generalmente se utilizan las letras mayúsculas, como A, B, X, Y… para designar los conjuntos mientras que las letras minúsculas, como a, b, x, y…. se utilizan para designar los elementos de los conjuntos. Las palabras clase, colección, y familia son sinónimos de conjunto.

Para designar la pertenencia de un elemento a un conjunto se utiliza el símbolo que se lee “pertenece”. Así, al escribir b S, se lee “el elemento b pertenece al conjunto S”. De forma contraria, si el elemento no pertenece a determinado conjunto se escribe el símbolo que se lee “no pertenece”. Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo, S1 = {2, 4}; S2 = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los enteros pares}; S3 = {x | x2- 6x + 11 ≥ 3}; S4 = {todos los varones vivos llamados Juan}. S3 se describe como el conjunto de todas las x tales que x2- 6x + 11 ≥ 3.

Subconjuntos y superconjuntos: Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando símbolos, R S, o S R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R. Si R S y S R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S1 es un subconjunto propio de S2.

Unión e intersección de conjuntos: Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A B. Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo . Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A B = {2, 4, 6, 8, 10}, A C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A B = {4, 6} y A C = .

Conjunto Universo: es un conjunto que contiene todos los elementos de una cierta investigación. Por ejemplo, en el estudio de la población humana, el conjunto universo consiste en todas las personas del planeta. El conjunto Universo de denota con el símbolo U.

Diferencia y complemento de conjuntos: El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces A\B). Así, siguiendo con el ejemplo anterior, A - B = {2}, B - A = {8, 10}. Si A es un subconjunto del conjunto l, el conjunto de los elementos que pertenecen a l pero no a A, es decir, l - A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a l), lo que se escribe l - A = A′ (que también puede aparecer como Ā, Ã o ~A).


U BA

U BA

U A B

A B

4.2 Diagramas de VennEl la teoría de conjuntos, la simbología que se maneja, a parte de la que ya hemos mencionado

para los conjuntos es la que se conoce como diagramas de Venn. Estos diagramas son representados por círculos, los cuales simbolizan a los conjuntos y las relaciones o superposiciones entre ellos son los que definen las operaciones que se realizan entre ellos.

Para representar al conjunto universal se utiliza un rectángulo y los demás conjuntos están representados por círculos que se encuentran dentro del rectángulo. Si A B (léase el conjunto A es un subconjunto del conjunto B), entonces el círculo que representa a A estará completamente dentro del círculo que representa a B. Si A y B son disyuntivos, es decir, no tienen elementos en común, entonces el círculo que representa a A estará separado del círculo que representa a B. En otra situación, si A y B tienen elementos comunes, aunque no todos los de A estén en B y viceversa, entonces se representan con círculos superpuestos. Veamos las siguientes figuras:

A B A y B disyuntivos A y B con elementos comunes

También los diagramas de Venn nos sirven para graficar las operaciones que se pueden realizar con los conjuntos. Veamos con mas detalle estas operaciones, donde el resultado se muestra sombreado.

Operación Expresión gráficaUnión de conjuntos: es el conjunto de todos los elementos

que pertenecen a A o a BSe expresa:

A B

Intersección de conjuntos: la intersección de A y B la conforman los elementos comunes a ambos conjuntos.

Se expresa:A B

Diferencia de conjuntos: se conforma por los elementos de B que no pertenecen a A

Se expresa:B – A

Complemento: El complemento de un conjunto A, representado por Ac, es el conjunto de los elementos que

pertenecen a U pero que no pertenecen a A.Se expresa:

Ac = { x:x U, x A}Diferencia simétrica: consiste en aquellos elementos que

pertenecen a A o a B, pero no a ambos.Se expresa:

A B = (A B) \ (A / B)


U A

Los conjuntos bajo las operaciones de unión, intersección y complemento, satisfacen las diversas leyes (identidades) que se muestran a continuación. Las propiedades se cumplen si A, B, C... son subconjuntos de un conjunto U:

1. A B = B A 2. A B = B A 3. (A B) C = A (B C) 4. (A B) C = A (B C) 5. A = A 6. A = 7. A U= U 8. A U = A 9. A (B C) = (A B) (A C) 10. A (B C) = (A B) (A C) 11. A A′ = U 12. A A′ = 13. (A B)′ = A′ B′ 14. (A B)′ = A′ B′ 15. A A = A A = A 16. (A′)′ = A 17. A - B = A B′ 18. (A - B) - C = A - (B C) 19. Si A B = , entonces (A B) - B = A 20. A - (B C) = (A - B) (A - C)

Éstas también son llamadas “propiedades del álgebra de conjuntos”, que es un caso particular del sistema algebraico conocido como álgebra de Boole.

4.3 Antecedentes, axiomas y conceptos básicos de probabilidad.

La Probabilidad es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

Antecedentes

Analizando un poco la historia de esta disciplina, encontramos que la creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%. La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.


Históricamente se han desarrollado tres diferentes enfoques conceptuales para definir la probabilidad y para determinar valores de probabilidad:

el clásico,el de frecuencia relativa yel subjetivo.

De acuerdo con el enfoque clásico de la probabilidad, si N(A) resultados elementales posibles son favorables en el evento A, y existe N(S) posibles resultados en el espacio muestral y todos los resultados elementales son igualmente probables y mutuamente excluyentes; entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A es:

P ( A )= N ( A)N (S )

EJEMPLO:

En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as (A) en una sola extracción es

P ( A )= N ( A)N (S )

= 452

= 113

Obsérvese que el enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada uno de los resultados es igualmente probable. Debido a que este enfoque (cuando es aplicable) permite determinar los valores de probabilidad antes de observar cualesquiera eventos muestrales, también se le denomina enfoque a priori.

A través del enfoque de frecuencia relativa, se determina la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en un determinado número de observaciones o experimentos. No hay implícita ninguna suposición previa de igualdad de probabilidades. Debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos, a este enfoque se le denomina también enfoque empírico. La probabilidad de que ocurra un evento A, de acuerdo con el enfoque de frecuencia relativa es

P ( A )= Número de observacionesde ATamaño de la muestra

=n(A )

n

Tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos, en el sentido de que señalan la tasa relativa de ocurrencia del evento a largo plazo.

Por el contrario, el enfoque subjetivo a la probabilidad es particularmente apropiado cuando sólo existe una probabilidad de que el evento ocurra, y se da el caso de que ocurra o no esa única vez. De acuerdo con el enfoque subjetivo, la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.

Axiomas


A

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

1) La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 £ p(A) ³ 1

2) La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.

p(d) = 1

3) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AB) = p(A) + p(B)

Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces; p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

Teoremas

Teorema 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero. p(f)=0

Demostración: Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(Af)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD Teorema 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

Demostración: Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AAc, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD Teorema 3. Si un evento A B, entonces la p(A) £ p(B). Demostración: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LQQD

Teorema 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AB)

M.E.T. Juan Manuel Juárez ZamoranoA\B

AB ABC

Demostración: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AB). LQQD Teorema 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) – p(AB). DEMOSTRACIÓN: Si AB = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AB), por tanto, p(AB) = p(A) + p(B) – p(AB). LQQD

Corolario:Para tres eventos A, B y C, p(ABC) = p(A) + p(B) + p(C) – p(AB) – p(AC) – (BC) + p(ABC).

Conceptos Básicos

a) Espacio muestral (d).- Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Es nuestro Universo. Ejemplos:

1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento.

d= {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal, defina su espacio muestral.

d = {AA, AS, SA, SS} b) Evento A.- El evento A es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplos:

1. Sea A el evento de que aparezca un número par en el lanzamiento de un dado, entonces;

A = {2,4,6}2. Sea B el evento de que aparezcan dos águilas en tres lanzamientos de una moneda normal,

entonces;


Como d = {AAA, AAS, SAA, ASA, ASS, SAS, SSA, SSS}

Luego B = {AAS, SAA, ASA}

c) Evento seguro.- Se dice de aquel evento cuya probabilidad siempre es 1. P(A)=1

d) Punto muestral.- se le denomina punto muestral a un resultado particular, es decir, a un elemento del conjunto de estudio.

e) Eventos mutuamente excluyentes.- los eventos A y B se denominan mutuamente excluyentes si son disyuntivos, es decir, si A B = . En esta característica, A y B no pueden ocurrir en forma simultánea.

4.4 Modelos matemáticos

5. Probabilidad.

Se le conoce como Probabilidad a la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre.

El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad.

5.1 Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:

-¿Cuántas comisiones pro limpieza del Plantel se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho alumnos?

-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de alumnos de Informática?, b) se desea que el presidente sea un Electromecánico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean electromecánicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de once alumnos.


-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.

Principio Multiplicativo

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

Ejemplos:

1) Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución: Considerando que r = 4 pasos N1= maneras de hacer cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

El principio multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad cualquiera. 2) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al


!knn!

9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G. Solución: a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil

a) Selecciones sucesivas (permutaciones)

Suponga que hay n objetos diferentes y queremos ordenar r de estos objetos en línea. Puesto que hay n maneras de escoger el primer objeto y luego n-1 maneras de escoger el segundo… y finalmente n-r+1 maneras de escoger el r-esimo, a partir del principio fundamental de conteo se deduce que el número de arreglos diferentes o permutaciones, como se les nombra con frecuencia, está dado por:

nPr = n(n-1)(n-2)…(n-r+1),

De acuerdo con el principio de la multiplicación:

P(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1)=

Ejemplo: si tomamos 7 letras diferentes A, B, C, D, E, F, G, y de entre ellas tomamos arreglos de 3 letras, entonces el número de arreglos que se pueden lograr es:

7P3 =7 !

(7−3 )!=7 !

4 !=7.6 .5=210

En las permutaciones, el orden en el que se ubiquen las personas, símbolos u objetos hace diferencia, es decir SI importa el orden, de manera que

Existe un caso especial de ordenamientos sin reemplazo y se da cuando r = n, es decir, las extracciones son del mismo tamaño que el conjunto.

Su fórmula es:


Ejemplo 1.- Cuantas permutaciones diferentes podemos formar al lanzar un dado 6 veces

2.- Cuantas permutaciones podemos formar con los 10 alumnos del salón

3.- En la caja hay 5 pelotas negras, 6 pelotas blancas, 7 pelotas verdes, se pide extraer:

a) 3 pelotas con reemplazo

b) cantidad de permutaciones

c) permutaciones de pelotas verdes ;-)

d) 4 pelotas blancas con reemplazo

e) 3 pelotas verdes sin reemplazo

4.- De los 18 hombres del salón y 15 mujeres, se pide formar:

a) Pares de alumnos con reemplazo

b) Permutaciones de mujeres

c) Tercias de mujeres sin reemplazo

d) Permutaciones de alumnos

e) Quintetos de mujeres con reemplazo

Permutaciones SIN repetición:

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos. El número de estas permutaciones será:

Permutaciones CON repetición:

Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n. El número de estas permutaciones será:

Permutaciones circulares


Una permutación circular es una disposición de n elementos de forma tal que una cualquiera de ellas se distingue de otra por variar la posición relativa de los elementos que la componen. En este sentido dos disposiciones circulares son iguales si una se puede obtener de la otra por medio de una rotación.

El número de arreglos circulares de n elementos viene dado por

b) Combinaciones

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Por ejemplo abc es una combinación diferente de bca. Sin embargo, en muchos problemas solo nos interesa la selección de los objetos sin tener en cuenta su orden.

Combinaciones sin repetición.Definición:

Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

nCr = n !

r ! (n−r )!

Ejemplo: el número de maneras como pueden escogerse 3 personas de un total de 8 es:

8C3 =8.7 .6 .5 .4 .3 .2.13.2.1(5.4 .3.2 .1)

=8.7 .63.2.1

=56

Definición:

Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fórmula:

c) Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos posibles donde cada evento puede ocurrir en un número finito de formas. Por ejemplo, al resolver el problema: Julio tiene dos pantalones (azul y blanco) y dos camisas


PC (n )=(n−1 )!

(negra y blanca) ¿de cuántas formas diferentes se puede vestir, sin repetir?. La construcción del diagrama de árbol se ejemplificaría de la siguiente manera:

Siendo las ultimas “ramas” el resultado final, en este caso, como son 4 ramas al final, serían 4 resultados:

Pantalón azul – camisa blanca, Pantalón azul – camisa negra, Pantalón blanco – camisa blanca y Pantalón blanco – camisa negra.

d) Procesos de conteo

Existen dos principios básicos de conteo, uno comprende la adición y el otro, la multiplicación.

El principio de la adición menciona: supongamos que algún evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F puede ocurrir en n formas, y supongamos que ambos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea. Entonces E o F pueden ocurrir en m + n formas.

Este principio puede expresarse en términos de conjuntos de la siguiente manera: supongamos que A y B son conjuntos disyuntos. Entonces: n(A U B) = n(A) + n(B).

Ejemplo: supongamos que hay 8 profesores y 5 profesoras que enseñan una clase de cálculo. Un estudiante puede escoger un profesor de cálculo de 8 + 5 = 13 formas.

El principio multiplicativo menciona: supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independiente de este evento, un evento F puede ocurrir en n formas. Entonces las combinaciones de los eventos E y F pueden ocurrir en mn formas.

Este principio también puede expresarse en términos de conjuntos de la siguiente manera: supongamos que A y B son conjuntos finitos. Entonces: n(A x B) = n(A) * n(B).

Ejemplo: supongamos que un restaurante tiene 3 aperitivos diferentes y 4 entradas diferentes. Entonces hay

n = (3)(4) = 12


Combinaciones

Pantalón azul

Camisa blanca

Camisa negra

Pantalón Blanco

Camisa blanca

Camisa negra

formas diferentes de ordenar un aperitivo y una entrada.

e) Teorema del binomio

Este teorema hace referencia a la expansión de la expresión algebraica (a + b) n. Los números que aparecen en los resultados se denominan coeficientes binomiales. Los coeficientes de las potencias sucesivas de a + b pueden arreglarse en un ordenamiento triangular de números, llamado triángulo de Pascal. Los números en el triángulo de Pascal tienen las siguientes propiedades interesantes:

a) El primer y el último número de cada fila es 1b) El número después del siguiente en el ordenamiento se puede obtener sumando los dos

números que aparecen directamente encima de éste. Por ejemplo: 10 = 4 + 6, 15 = 5 + 10, etc.

1 (a+b)0 = 1

1 1 (a+b)1 = a + b

1 2 1 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

1 3 3 1 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

1 4 6 4 1 (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

1 5 10 10 5 1 (a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

1 6 15 20 15 6 1 (a+b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

La fórmula que se utiliza para el teorema del binomio es: (a+b )n=∑k=0

n

an−kb k

5.2 Probabilidad de eventos sucesivos

5.3 Probabilidad condicional

Supongamos que E es un evento de un espacio muestral S con P(E) > 0. La probabilidad de que ocurra un evento A una vez que E ha ocurrido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, escrita P(A|E), se define así:

P ( A|E )=P( A E)P(E)

Ejemplo: se lanza un par de dados equilibrados. El espacio muestral S consiste en 36 pares ordenados (a,b) donde a y b pueden ser cualquier entero del 1 al 6. Por tanto, la probabilidad de cualquier resultado es 1/36. Encuentra la probabilidad de que uno de los dados sea 2, si la suma es 6. Es decir, encuentre P(A|E) donde

E={la suma es 6} y A={2 aparezca al menos en un dado}


También encuentra P(A)

Ahora E está formado por cinco elementos, específicamente:

E={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

Dos de ellos, (2,4) y (4,2) pertenecen a A, es decir, A E={(2,4),(4,2)}. Por el teorema, P(A|E)=2/5.

Por otra parte, A está conformado por 11 elementos, específicamente:

A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}

Y S está conformado por 36 elementos; por tanto P(A)=11/36

5.4 Eventos independientes

En este tipo de eventos, si P(B|A), es decir, que la probabilidad de que ocurra B no está afectada por la ocurrencia o no de A, entonces decimos que A y B son eventos independientes, esto equivale a:

P(AB)= P(A)P(B)

5.5 Teorema de Bayes

Suponiendo que A1, A2,…. An, son eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral S, es decir, que debe ocurrir uno de los eventos. Entonces, si A es un evento cualquiera, tenemos el teorema de Bayes.

Este teorema nos permite encontrar las posibilidades de diferentes eventos A1, A2,…. An, que pueden hacer que ocurra A. Por esta razón, con frecuencia se hace referencia a este teorema como el teorema de la probabilidad de las causas.

La fórmula que caracteriza a este teorema es:

P ( Ak|A )=P ( Ak ) P ( A|Ak )

∑j=1

n

P ( A j ) P( A∨A j)


Bibliografía.

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