Análisis de error en estado estacionario -...

ERROR DE ESTADO

ESTACIONARIO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA

CÁTEDRA: CONTROL I

(Bioingeniería e Ingeniería Electrónica)

Error de estado estacionario

Los errores en un sistema de control pueden ser efecto de diversas

causas:

Los cambios en la entrada de referencia provocan errores

inevitables durante los períodos transitorios y también pueden

producir errores en estado estable.

Las imperfecciones en los componentes del sistema (fricción

estática, juego o bamboleo, deriva térmica, envejecimiento o

deterioro)

Estudiaremos el Error de Estado Estacionario (Ess), provocado por

la incapacidad del Sistema de seguir ciertos tipos de Entradas.

Por ejemplo: un sistema puede no tener un Ess para una entrada escalón,

pero exhibir un Ess distinto de cero ante una entrada rampa.


En general, los errores en estado estable de sistemas de control

lineales, dependen de la SEÑAL DE REFERENCIA y del TIPO DEL

SISTEMA.

SEÑAL DE REFERENCIA

Impulso

Escalón

Rampa

Parábola

TIPO DE SISTEMA

(Sist. con Realimentación Unitaria)

FTLA


Señal de

Referencia

Nombre Interpretación física Función Transformada

de Laplace

Escalón Posición constante f(t)=1 F(s)=1/s

Rampa Velocidad f(t)=t F(s)=1/s2

Parábola Aceleración f(t)= 1/2* t2 F(s)=1/s3


TIPO DE SISTEMA: Es la cantidad de integradores puros o polos en el origen que posee la Función

de Transferencia del Trayecto Directo G(s). Se define para sistemas de

Realimentación Unitaria.

Para identificar el tipo de sistema la FTLA debe estar factorizada, en función de

sus ceros y polos.

n cantidad de integradores puros del sistema


Si n=0, el sistema se denomina Tipo Cero,

Si n=1, el sistema se denomina Tipo Uno, y así sucesivamente.

Comentarios:

1. El Tipo de Sistema me indica el orden de la señal de referencia que el sistema

puede seguir con error nulo en régimen estacionario.

2. Esta clasificación es diferente e independiente a la del orden del sistema.

3. Al aumentar el tipo, disminuye el error en estado estable pero empeora la

estabilidad relativa.


Sistema de lazo cerrado

Error Verdadero= Unidades: ºC; rad/seg; m/s

Error Actuante = Unidades: Volts

Si el sistema tiene realimentación unitaria H(S) = 1, o bien H(S) ≠ 1, pero la ganancia

estática de realimentación KH = 1 (KH=limS→0 H(S)=1); G1(s)=1, SR(s)=R(s) y

B(s)=C(s), luego

Error Verdadero= Error Actuante

)(sG+ -

)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB

)(1 sG)(sSR

)s(C)s(SR

)()( sBsR

)()( sBsR

Error en estado estacionario

Ess en el dominio temporal:

Ess en el dominio de Laplace:

+ -

B(s)=C(s)

E(s) C(s) Sr(S)=R(s) G(s)


Utilizando el Teorema del Valor Final podemos hallar el valor del Ess:

Empleando estas expresiones calcularemos el Ess para distintos tipos

de sistema aplicando diferentes Señales de Referencia.

Entrada Impulso: Se puede probar que para esta entrada el Ess es

cero para cualquier tipo de sistema.


Entrada Escalón: r(t)=1 → R(s)=1/s

a) Sistema Tipo cero:


b) Sistema Tipo uno:


c) Sistema Tipo dos:

Un sistema tipo uno o más puede seguir una

entrada escalón con error cero.

𝐸𝑠𝑠 =1

1 +∞= 0

Entrada Rampa: r(t)=t → R(s)=1/s2

a) Sistema Tipo cero:


b) Sistema Tipo uno:


c) Sistema Tipo dos:


Un sistema tipo dos o más puede seguir una

entrada rampa con error cero.


Ejemplo:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

Ess(escalón)=0 Ess(rampa)=1/kv=0,14

¿Tipo del sistema?


Sistemas con Perturbaciones de tipo escalón

El Error en Estado Estable de la respuesta total del sistema se calcula

como la suma del error de la respuesta a la entrada de referencia y el error

debido a la entrada de perturbación:

Expresión del Error para

una perturbación, anulando

la entrada de referencia.

Error debido a la perturbación


Aplicando el Principio de Superposición y modificando el diagrama de bloques se tiene:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Respuesta del sistema sin controlador

Time [s]

Volts [

V]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Respuesta del sistema con controlador proporcional

Time [s]

Volts [

V] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Respuesta con controlador Proporcional-Integral

Time [s]

Volts [

V]


Error en sistemas con realimentación No Unitaria - Error Verdadero

- Error Actuante

2 métodos para calcular Error Verdadero

G equivalente

Usando coeficientes de FTLC

Cálculo del Error Verdadero mediante el método de G equivalente:


A partir de este sistema equivalente aplicamos todos los conceptos

vistos para el cálculo del error en sistemas con realimentación unitaria

(tipo de sistema, entrada de referencia, coeficientes de error, etc.)

Considerar como error del sistema al “error verdadero” significa

tomar como salida verdadera del sistema la Variable Controlada C(s) y

compararla con la Señal de Referencia SR(s).



Cálculo del Error Verdadero mediante coeficientes de la FTLC


Error Actuante:

Se puede calcular en la misma unidad que sale del comparador (volts)

o bien en las unidades de la Señal de Referencia.


Error Actuante en unidades de la Señal de Referencia:

Considerar como error del sistema al “error actuante” significa

tomar como salida a la medición de la variable controlada verdadera

B(s) y compararla con la Señal de Referencia SR(s).

Resolución ejemplo 1:

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