2.1.1. ¿Qué es un sistema?control1/apuntes/C2.1.pdf · Sistemas Psicológicos Sistemas Sociales...

1

2. Modelado del comportamiento dinámico de procesos

2

2. Modelado del comportamiento dinámico de procesos2.1. Introducción2.2. La función de transferencia2.3. Funciones de Transferencia de una red

eléctrica2.4. Funciones de transferencia de un

sistema mecánico trasnacional2.5. Funciones de transferencia de un

sistema mecánico rotacional2.6. Funciones de transferencia para

3

2.1. Introducción al modelado

4

2.1. Introducción al Modelado

2.1.1. ¿Qué es un sistema?2.1.2. ¿Qué es un modelo?

Tipos de modelos. 2.1.3. ¿Qué es una simulación?2.1.4. Modelado

5

2.1.1. ¿Qué es un sistema?

6

DEFINICIÓN: (B. Ziegler): “A system is a potential source of data.”

DEFINICIÓN: Es un conjunto de componentes, partes u objetos, que interactúan unos con otros dentro de unos límites para producir un determinado patrón de comportamiento.

DEFINICIÓN: “A system is defined by its boundary.”

DEFINICIÓN: (B. Gaines): “A system is what is distinguished as a system.”

La definición completa de sistema mediante su contorno implica tener en cuenta:

•Especificación de la frontera

• Los canales del contorno a través de los cuales el sistema interacciona con el entorno (entradas y salidas).

• La estructura interna y el comportamiento del sistema.

2.1.1. ¿Qué es un sistema?

7

Entrad as

En tradas

Manipula das

Pert urbacionesMedida s

Medidas

Medidas

Medida

No

NoSISTEMAEntrad as

En tradas

Manipula das

Pert urbacionesMedida s

Medidas

Medidas

Medida

No

NoSISTEMA

El sistema y su entorno

SISTEMAENTRADAS MANIPULADAS

SALIDAS MEDIDAS

SALIDAS NO MEDIDAS

ENTRADAS PERTURBACIONES

MEDIDAS NO MEDIDAS

8

TIPOS DE VARIABLES o SEÑALES

Entrada: Denotan el efecto del entorno sobre el proceso

Manipuladas: Sus valores se pueden ajustar libremente por un operador o una acción de control.

Perturbaciones: Sus valores no son ajustables.

Salida: Denotan el efecto del proceso sobre el entorno

Medidas: Sus valores se conocen por los sistemas de medida.

No medidas: Sus valores no se pueden medir de forma directa.

Internas: Son variables propias del sistema.

De estado: Definen el estado del sistema y necesitan conocer la historia del mismo para ser definidas. Es el conjunto mínimo de variables internas que define el estado del sistema.

9

2.1.2. ¿Qué es un modelo?

10

MODELO (M.Minsky): Un modelo M para un sistema S y un experimentoE, es cualquier cosa a la que se le puede aplicar E en orden a obtener respuestas a preguntas que hagamos sobre S.

MODELO: Es una representación simplificada de un sistema y estáformado por un conjunto de variables y por un conjunto de relacionesentre ellas. Con él se pretende mejorar nuestra habilidad de entender, explicar, cambiar, preservar, predecir y posiblemente controlar el comportamiento del sistema representado.

MODELO: Actúa como el objeto real modelado en cuanto a la imitación de ciertas características, pero su uso evita experimentos reales que pueden ser caros, peligrosos, lentos o físicamente imposibles.

1.2. ¿Qué es un modelo?

11

Un modelo es:• La representación formal del sistema

• Las suposiciones que definen el contexto en el que el modelo es aplicado.

¿Predice el modelo los aspectos del comportamiento del sistema que nos interesan con suficiente exactitud para nuestra aplicación?

• El modelo sólo es válido en el contexto y bajo las suposiciones con las que ha sido desarrollado.• La extrapolación del modelo fuera del contexto es muy peligrosa.• Se debe verificar el modelo contra el sistema real siempre que sea posible.• Existen muchos modelos para un mismo sistema, cada uno representa una vista diferente del sistema. Es importante seleccionar un buen nivel de abstracción.

12

CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS

FÍSICOS: Caros, difíciles de construir y usar.Estáticos: Maquetas,..Dinámicos:

-Analógicos: Circuitos eléctricos-Prototipos: Plantas piloto

MENTALES: Heurísticos, intuitivos.Son imprecisos y de difícil comunicación

MATEMÁTICOS: (Cuantitativos):Estáticos: No se considera la variable tiempo.Dinámicos: El tiempo es una variable del sistema.

-Analíticos-Numéricos

SIMBÓLICOS:Lingüísticos: Descripción de hechos

- Cualitativos- Basados en reglas.

13

Simulación: Aplicar E en M para estudiar S.Simulación Inversa: Aplicar S en M para estudiar E.Diseño y Optimización: Estudio de los parámetros de M (Se conoce tanto la estructura como los estados internos).Control: Estudio de los parámetros que mantienen las especificaciones deseadas.Dado un conjunto de datosDado un conjunto de datos: Entrada (E) y salida (S)

Identificación: Encontrar la estructura y parámetros del modelo M.Estimación: Encontrar los estados internos de M. (Se conoce su estructura).

MODOS DE OPERACIÓN DE UN MODELO

Entrad as

En tradas

Manipula das

Pert urbacionesMedida s MedidasMedidas MedidaNo NoSISTEMAEntrad as

En tradas

Manipula das

Pert urbacionesMedida s MedidasMedidas MedidaNo NoSISTEMAMODELOM(P,D)

ENTRADAS

E

SALIDAS

S

P = ParámetrosD = Dimensiones

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QUÉ DEBE TENER UN BUEN MODELO

PRECISIÓN

Ni mucha ni pocaCuantitativa y cualitativa

VALIDEZ

Rango de validezCondiciones de operaciónCondiciones transitoriasPropiedades internas

COMPLEJIDAD

Simple (macroscópico)Detallado (microscópico)Orientado a los fenómenos

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¿Como obtener modelos?

Mediante razonamientos,usando leyes de físicas,químicas, etc.

MODELOS DE CONOCIMIENTO

Mediante experimentacióny análisis de datos

MODELOS POR IDENTIFICACIÓN

16

Clasificación de los modelos

MODELOSMODELOS DE CONOCIMIENTO

Cajas Blancas (Leyes físicas y químicas)MODELOS POR IDENTIFICACIÓN

cajas grisescajas negras

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Modelos de conocimiento(Leyes físicas y químicas)

Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc y otras leyes particulares del dominio de aplicaciónTienen validez generalRequieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes físico-químicasFormados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicasÚtiles para muchos fines

- ¿Qué pasa si?- Diseño- Pruebas antes de la implementación

Difíciles de manipular matemáticamenteSe resuelven mediante simulaciónSuelen tener algún parámetro desconocido

18

Modelos por IdentificaciónEL MODELO SE OBTIENE A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES DE ENTRADA-SALIDA DEL PROCESO

tt

YUU

Y

Proceso

Modelo

IMPORTANTE: EL SISTEMA TIENE QUE ESTAR CONSTRUIDO Y DISPONIBLE

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Tipos de Modelos por Identificación

Modelos de caja negraSe postula una relación matemática entre la entrada y la salida que depende de unos parámetros que deben ser estimados mediante los datos experimentales, sin que dicha relación deba estar fundada directamente en leyes físico-químicas u otras.

Modelos grisesSon modelos de conocimiento en los que una parte está modelada como un modelo de caja negra, la cual representa ciertos fenómenos complejos o difíciles de modelar de otra forma.Todos los tipos de modelos requieren de una etapa de estimación de los valores de sus parámetros en mayor o menor medida.

20

ESPECTRO DEL MODELADO Y LA SIMULACIÓN

SistemasPsicológicos

SistemasSociales

SistemasEconómicos

SistemasBiológicos

SistemasQuímicos

SistemasMecánicos

SistemasEléctricos

CajasNegras

CajasBlancas

AEs AEs ODEs

/DAEs

DAEs

/PDEsODEs ODEs

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Clasificación de los modelos matemáticos

Estático vs. Dinámico: Modelo estático: Relaciona las variables sin importar el tiempoModelo dinámico: Relaciona las variables a lo largo del tiempo

Agrupados vs. Distribuidos:Agrupado: No se considera relaciones en el espacio.Distribuido: Se considera el espacio y por tanto los elementos están distribuido en el espacio.

Continuos vs. Discretos: Continuos: Las variables se consideran que son continuas en el tiempoDiscretos: Variable muestreadas o por eventos

Lineal vs. No lineal:Lineales: Rige relaciones lineales entre sus componentes (principio de superposición lineal)No Lineales: Rige relaciones no lineales entre sus componentes

Invariantes vs. variante en el tiempoInvariantes en el tiempo: Los parámetros permanecen constantes en el tiempoVariantes en el tiempo: Los parámetros varían en el tiempo

Determinísticos vs. Estocásticos: Determinísticos: se conoce exactamente el valor de los parámetros y variablesEstocásticos: Se conocen distribuciones de probabilidad de los valores de los parámetros y variables

22

Dinámicos Estáticos

Determinísticos Estocásticos

Parámetros concentrados Parámetros distribuidos

Coeficientes Variables

Tiempo contínuo Tiempo discreto

Non linealesLineales

Tipos de modelos

Coeficientes constantes

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Estático Dinámico

Agrupados AE ODEDistribuidos PDE Eliptica PDE Parabólica

Determinísticos NLAE ODEs/PDEEstocásticos AE y DE ODEs estocásticas y DE

Continuos AE ODEDiscretos DE DE

Lineal LAE LODENo lineal NLAE NLODE

Ecuaciones que resultan de los diferentes modelos

AE: Ecuaciones algebraicas.

LAE: AEs lineales.

NLAE: AEs no lineales.

ODE: Ecuaciones diferenciales ordinarias. LODE: ODEs lineales. NLODE: ODES no lineales.DE: Ecuaciones en diferencias.PDE: Ecuaciones en derivadas parciales.

24

2.1.3. ¿Qué es la simulación?

25

1.3. ¿Qué es la simulación?

DEFINICIÓN: (g.Korn): “Una simulación es un experimento realizadosobre un modelo.”

DEFINICIÓN: Es la representación de un sistema que intentamantener las mismas características que el objeto simulado, descrito por el modelo.

DEFINICIÓN: Es la técnica de construir y ejecutar un modelode un sistema real con el fin de estudiar su comportamiento sin intervenir en el ambientedel sistema real.

26

FASES EN LA SIMULACIÓN

Sistema

Correcciones Validación

Modelo

Simulaciones

Observación del comportamiento

(datos E – S)

27

2.1.4. Modelado

28

Las características no esenciales del sistema identificadas

Todas las características del sistema

Las características del sistema incorrectamente identificadas

Todas las características esenciales del sistema

Las características esenciales del sistema identificadas

REALIDAD

MODELO

SISTEMA

29

2.1. Procedimiento de modelado

30

Procedimiento de modeladoDefinición

del problema

Identificar los factores ymecanismos controlantes

Evaluación de los datos del problema

Construcción del modelo

Resolver el modelo con los datos

Verificar la solución del modelo

Validar el modelo

Definición de los límites del sistema (volumen)

Definir las variables características

Establecer las ecuaciones

Restricciones de control y equipamiento

Suposiciones de modelado

31

Describir el proceso a modelar y el objetivo.Especificar entradas y salidas.Especificar el grado de exactitud requerido y el ámbito de aplicación.Especificar las características temporales.Especificar la distribución espacial.

1. Definición del problema

32

2. Identificar los factores y mecanismoscontrolantes

Qué procesos físico-químicos y qué fenómenos suceden:

Reacción químicaDifusión de masaConducción de calorTransferencia de calor por convecciónEvaporaciónMezcla turbulentaTransferencia de masa o energíaFlujo de fluidos

33

Evaluar los datos empíricos de que disponemos y su exactitud.Evaluar los parámetros de que disponemos y su exactitud.Si faltan datos o parámetros puede ser que el problema haya que redefinirlo.

3. Evaluar los datos

34

Desarrollar las ecuaciones del modelo.Procedentes de principios de conservación (serán ecuaciones algebraicas/diferenciales).Procedentes de ecuaciones constitutivas (serán en general ecuaciones algebraicas).Verificar la consistencia del modelo: chequeo de unidades y dimensiones.

4. Construir el modelo

35

Identificar la forma matemática del modelo.(generalmente AEs/ODEs/DAEs).Escoger un procedimiento (método numérico) de resolución.Intentar evitar problemas matemáticos (como “alto índice”) que dificultan el uso de métodos estándar de resolución.

5. Resolver el modelo

36

Verificar si el modelo se comporta correctamente.Verificar la correcta implementación (código del programa) del modelo.

6. Verificar la Solución del modelo

37

7. Validar el modelo

Se chequea el modelo (los resultados de su simulación) con la realidad modelada.Posibilidades de validar el modelo:

Verificar las suposiciones de forma experimental.Comparar el comportamiento del modelo y del proceso real.Comparar el modelo con datos del proceso.

Realizar validaciones estadísticas: contraste de hipótesis, cálculo de medias, distribuciones, varianzas,...Corregir el modelo si los resultados de la validación no son de la exactitud especificada al formular la definición del modelo.

38

2.2. Principios de conservación

39

2.2. Principios de conservación

Se basan en los principios físicos que indican que la masa, la energía y el momento no pueden ser ni creados ni destruidos sino solo transformados.

Se establecen sobre una región de interés (con un volumen y una superficie asociada).

Esta región se suele denominar volumen de control.

Los volúmenes de control muchas veces se establecen:

•Los volúmenes físicos de los equipos.•Las diferentes fases presentes en un equipo.

Principal herramienta para el modelado

40

El balance dinámico sobre el sistema:

Cambio neto = Entra por - Sale por + Generación – Consumoacumulado la frontera la frontera neta netoen el tiempo

Este balance se aplica a: Masa, energía y momento.

Agrupados DinámicosDistribuidos Estáticos

Modelos macroscópicos (ODEs)Modelos microscópicos (PDEs)

GeneraciónConsumo

Acumulación

SISTEMA

Energía

Masa

Momento

Energía

Masa

Momento

41

2.2. La función de transferencia

42

2.2. La función de transferencia

2.2.1. Transformada de Laplace2.2.2. La función de transferencia2.2.3. Respuesta al impulso y función de transferencia de sistemas lineales2.2.4. Diagrama en bloques

43

2.2.1. Transformada de Laplace

44

Motivación:La forma más sencilla de caracterizar un sistema es a través de su relaciónsalida entrada. En este tipo de enfoque no es tan importante conocerinternamente el sistema.

SistemaEntrada Salida

EntradaSalidasistemadelaciónCaracteriz =

Cuando el sistema no posee una dinámica interna. Es decir, su respuesta ante una entrada es instantánea o si existe dinámica pero es despreciable. La relación salida entrada es caracterizada por una expresión algebraica.

i(t) 1v(t) R

=R)(tv )(ti

45

Sin embargo, cualquier sistema interesante, por más sencillo que sea, es de naturaleza dinámica y consecuentemente para su representación es necesario el uso de ecuaciones diferenciales.

dtdiLtV =)(?

)()( =tVti L)(tv

)(ti

para caracterizar los comportamientos de los sistemas dinámicos frecuentemente se usa la transformada de Laplace. Cualquier sistema que pueda describirse por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo puede ser analizado en el método operacional de Laplace.

El método de la transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferenciales lineales de “difícil” solución en ecuaciones algebraicas simples.

46

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un operador lineal perteneciente a la familia de las integrales de transformación, es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. Se puede decir que es la segunda transformación más utilizada para resolver problemas físicos, después de la transformación de Fourier. La transformada de Laplace unilateral se define como:

{ } ∫==∞

−

0)()()( dtetftfsF stL

donde:

)(sF es la transformada de Laplace de )(tf)(tf es una función en el tiempo

es una variable complejases el operador lineal de LaplaceL

47

La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, su solución se obtiene a partir de operaciones básica de álgebra.

No todas las funciones tienen transformada de Laplace. La transformadade Laplace de )(tf existe si

∞<∫∞

−

0)( dtetf tσ

σdonde:

es una constante real positiva0)( >∀< tAetf tαSi la integral convergerá para ασ > . La región de

convergencia es ∞<< σα σ. Y es la abscisa de convergencia. 0<cteA

Todas las señales realizables físicamente tienen transformada de Laplace.

48

Aplicando la transformada de Laplace a una ecuación diferencial, se tiene una ecuación algebraica cuya solución se obtiene a partir de operaciones básicas del álgebra. Esta solución está en función de s y para transformarla a una función en el tiempo se necesita de La Transformada inversa de Laplace.

La transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace formalmente se define por la siguiente integral de inversión:

∫= ∞+∞−jcjc

stdsesFj

tf )(21)(π

donde c )(sFes una constante mayor que cualquier punto singular de Esta integral de inversión rara vez se usa, ya que existen otros métodos más directos y simples. Como por ejemplo tablas de transformadas o fracciones parciales.

.

49

transformada inversa

0)()( '10 =+ tfatfa n

)(tf

Ecuación diferencial Ecuación algebraica

0)()( 10 =+ ssFasFsa n

)(sFSolución en

transformadaL

1-L

Transformada de Laplace

50

Tabla de transformadas de Laplace

51

Sean

tres funciones cuyas Transformadas de Laplace son, respectivamente

y un escalar (real o complejo). Se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades de la transformada de Laplace

Linealidad:

Diferenciación:

52

Desplazamiento en la Frecuencia:

Multiplicación por :

Teorema de valor Inicial:

53

Teorema de valor final:

Convolución:

54

EjemploSe puede usar la Trasformada de Laplacepara resolver un problema de valores iniciales en una ecuación diferencial

" 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2y y y t u ty y

+ − = ⋅ −= − =

Se pasa el problema a una ecuación algebraica

22 1( )*( 3 4) ( 1) s

ss e

Y s s s s +⋅

+ − + + =

Resolver para y(t)

Resolver para Y(s)

55

Una vez resuelto el problema algebraico

2

2 2

( 1) ( 1)( )( 3 4)

s ss s e eY ss s s

−− + ⋅ ⋅ − ⋅=⋅ + −

Se encuentra la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), y se obtiene la solución de la ecuación diferencial

56

La trasformada inversa de Laplace de

es

4 43 32 15 80 4 16

4325 5

( ) ( 1)( + ( ) )

( )( ( ) )

t tee

t t

y t u t e e t

u t e e

−

−

= − ⋅ ⋅ − −

− ⋅ − ⋅

2

2 2

( 1) ( 1)( )( 3 4)

s ss s e eY ss s s

−− + ⋅ ⋅ − ⋅=⋅ + −

57

4 43 32 15 80 4 16

4325 5

( ) ( 1)( + ( ) )

( )( ( ) )

t tee

t t

y t u t e e t

u t e e

−

−

= − ⋅ ⋅ − −

− ⋅ − ⋅

es la solución de la ecuación diferencial

" 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2y y y t u ty y

+ − = ⋅ −= − =

Por lo tanto

58

2.2.2. La función de transferencia

59

La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.

La función de transferencia:

•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.

•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema

•Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada

La función de transferencia

[ ][ ]

L c(t)Función de transferencia

L r(t)=

con condiciones iniciales cero

c(t) salidar(t) entrada

==

60

Ejemplo de función de transferenciaEjemplos de funciones de transferencia:

Circuito RL

L

R)(ti

)(tvUtilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

dtdiLtRitv += )()(

Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:

)()()( sLsIsRIsV +=

la relación corriente voltaje en Laplace, queda:

1

1

)()(

+=

sRL

RsVsI

Figura 1. Circuito RL

61

2.2.3. RESPUESTA AL IMPULSO Y FUNCION DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS LINEALES

62

t

u(t)

1/ 0( )

00

para tt

en otro lugarpara

ε εδ

ε

≤ ≤⎧= ⎨ =⎩

→

1/ε

t

u(t)δ(t)

t=ta

( )at tδ −

FUNCIÓN IMPULSO

[ ]( ) 1L tδ =

63

LA RESPUESTA AL IMPULSOy(t)

( )( )( )

Y sG sU s

=

[ ]

[ ]

[ ]

1

1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1( ) ( )

( ) ( ) ( )

y t L y sY s G s U s

U s L tY s G s

y t L G s g t

δ

−

−

==

= ==

= =

( ) ( ) ( ) ( )y t g t cuando u t tδ= =

( ) ( )u t tδ=

64

Para los Sistemas lineales invariantes en el tiempo

El sistema se puede caracterizar por su RESPUESTA AL IMPUSO g(t)

o por su FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(s)

Donde

LA RESPUESTA AL IMPULSO Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS LINEALES

[ ] [ ]1( ) ( ) ( ) ( )g t L G s y G s L g t−= =

65

Para los SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

Para cualquier entrada, r(t), se puede encontrar la salida y(t)Ya sea por la

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA G(s)

O por la RESPUESTA AL IMPUSO g(t)

( ) ( ) ( )Y s G s U s=

0

( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t g t u t g t u dτ τ τ∞

= = −∫ Convolución

66

1- La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada2- La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.3- La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información necesaria acerca de la estructura física del sistema.

67

2.2.4. Diagramas en bloques

68

Diagramas de bloquesLa relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por medios diagramáticos.

Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.

Diagrama a bloques

• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señalesde un sistema.

• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componenteal desempeño total del sistema.

• No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.

Consideraciones:

69

Elementos de un diagrama a bloques

Función de transferencia

)(sGVariablede entrada

Variablede salida

Flecha:Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la direccióndel flujo de señales.

Bloque:

Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.

+ -)(sR )(sE

( )Y s

Punto se Suma: Punto de Ramificación:

( ) ( ) ( )= −E s R s Y s

( )Y s ( )Y s

( )Y s

70

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

)(sG+ -

punto de sumapunto de bifurcación

)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB

Función de transferencia en lazo abierto )()()()( sHsG

sEsB =

Función de transferencia trayectoria directa )()()( sG

sEsC =

Función de transferencia lazo cerrado )()(1)(

)()(

sHsGsG

sRsC

+=

71

Reducción de diagrama de bloques

Por elementos en serie

)(1 sG)(sR )(sC)(sD

)(2 sG )()( 21 sGsG)(sR )(sC

Por elementos en paralelo

)(1 sG)(sR

)(1 sG

++

)(sC

)()( 21 sGsG +)(sR )(sC

72


Reglas del álgebra de los diagramas de bloques

G + -

A AG BAG −

B

+ -

A

B

G

G1G

B

GBA − BAG −

GA AG

AG

AG

GAG

AG

Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente

73

)(sG+ -

)(sH

)(sR )(sE )(sC

)(sB


Por elementos en lazo cerrado

)()(1)(

sHsGsG

+

)(sR )(sC

La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloquesutilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

74


Reglas del álgebra de los diagramas de bloques

GA AG

A

AG

G1 A

AG

+ -

A B1G

2G

+ -

A B2G 1G

2

1G

Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente

75

Ejemplo de reducción de diagrama en bloques

76

77

78

79

80

2.3. Funciones de Transferencia de circuitos eléctricos y electrónicos

81

Relación entre Tensión-corriente-carga-impedancia para inductancias, capasitores y resistencias

82

Red RLC

Encontrar la función de transferencia que relacione el voltaje del capacitor, vC(s), con el voltaje de entrada, V(s)

( )G s( )V s ( )CV s

83

FUNCION DE TRANSFERENCIA EMPLEANDO PRIMERO LAS ECUACION DIFERENCIAL

Y

DESPUÉS LA TRASFORMADA DE LAPLASE

84

( ) ( ) ( ) ( )∫ =++t

tvdiC

tRidt

tdiL0

1 ττ

( ) ( )( )tdtdqti =

( ) ( ) ( ) ( )tvtqCdt

tdqRdt

tqdL =++ 12

2

85

( ) ( )tCvtq C=

( ) ( ) ( ) ( )tvtvdt

tdvRC

dttvd

LC CCC =++2

2

( ) ( ) ( )sVsVRCsLCs C =++ 12

( )( )

LCs

LRs

LCsVsVC

1

1

2 ++=

Aplicando la Transformada de Laplace a cada elemento

86

Diagrama en bloques del sistema RLC

87

FUNCION DE TRANSFERENCIA

EMPLEANDO

LA TRASFORMADA DE LAPLASE

88

Aplicando la Transformada de Laplace a la columna voltaje-corriente de la tabla:

Para el capacitor: ( ) ( )sICs

sV 1=

Para la resistencia: ( ) ( )sRIsV =

Para la inductancia: ( ) ( )sLsIsV =

Definimos la función de transferencia:

Impedancia ( )( ) ( )sZsIsV =

FUNCION DE TRANSFERENCIA EMPLEANDO

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

89

( ) ( ) ( ) ( )∫ =++t

tvdiC

tRidt

tdiL0

1 ττ

La transformad de Laplace es:

( ) ( )sVsICs

RLs =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 1

[Suma de impedancias] I(s) = [Suma de voltajes aplicados]

90

En lugar de escribir primero la ecuación diferencial y luego la transformada de Laplace, se puede dibujar el circuito transformado y obtener la transformada de Laplace de la ecuación diferencial con sólo aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff al circuito transformado

Pasos1- Trazar de nuevo la red original, mostrando todas las variables de tiempo2- Sustituir los valores componentes con sus valores de impedancia.

91

( ) ( )sVsICs

RLs =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 1

92

Malla 1: ( ) ( ) ( ) ( )sVsLsIsLsIsIR =−+ 2111

Malla 2: ( ) ( ) ( ) ( ) 0112222 =−++ sLsIsI

CssIRsLsI

Encontrar la función de transferencia I2(s)/V(s)

FUNCION DE TRANSFERENCIA Y LAZOS MULTIPLES

93

Combinando las ecuaciones

( ) ( ) ( ) ( )sVsLsIsILR s =−+ 211

( ) ( ) 01221 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++− sI

CsRLssLsI

( )

( ) ( )( )

Δ=

Δ−

+

= sLsVLssVLsR

sI0

1

2

Donde:

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

−+=Δ

CsRLsLs

LsLsR1

2

1

94

( ) ( )( ) ( ) ( ) 121

221

22

RsLCRRLCsRRLCsLs

sVsIsG

++++=

Δ==

95

[Suma impedancias malla 1] I1(s) - [Suma impedancias comunes a las dos mallas] I2(s)= [Suma voltajes aplicados a malla 1]

-[Suma impedancias comunes a las dos mallas] I1(s) + [Suma impedancias malla 2] I2(s)= [Suma voltajes aplicados a malla 2]

( ) ( ) ( ) ( )sVsLsIsILR s =−+ 211

( ) ( ) 01221 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++− sI

CsRLssLsI

MÉTODO PARA OBTENER LAS ECUACIONES

DE UNA RED ELÉCTRICA

96

c. Amplificador operacional inversor configurado para la realización de funciones de trasferencias.

a. Amplificador Operacional

AMPLIFICADORES OPERACIONALES

b. Esquemático para unamplificador operacionalinversor

97

( )( )

( )( )sZsZ

sVsV

i 1

20 =

( ) ( )1 20 por lo tantoaI I s I s= =

98

EjemploAmplificador operacional inversor

Encontrar la función de transferencia, V0(s)/Vi(s)

99

( )( ) 1016.2

10360

103601106.5

11

1 3

36

11

1 +=

+=

+=

− sx

xsx

RsC

sZ

( )s

xsC

RsZ7

3

222

10102201 +=+=

( )( ) s

sssVsV

i

55.2295.45232.12

0 ++−=

( )( )

( )( )sZsZ

sVsV

i 1

20 =

100

2.4. Funciones de transferencia de un sistema mecánico trasnacional

101

102

103

Relaciones de fuerza, desplazamiento e impedancia para masas, resortes y amortiguadores

104

a. Masa, resorte y amortiguadorb. Diagrama en bloques

Encontrar la función de transferencia X(s)/F(s)

105

OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Se define un sentido positivo de movimientoSe dibuja un diagrama de cuerpo libre, colocando todas las fuerzas que actúan sobre éste, ya sea en la dirección de movimiento o en sentido opuesto a éste.Se emplea la ley de Newton para formar la ecuación de movimiento al sumar las fuerzas y hacer la suma igual a cero.Suponiendo condiciones iniciales nulas, se toma la transformada de Laplace de la ecuación diferencial , se separan las variables y se llega a la función de transferencia.

106

a. Diagrama de cuerpo libre del sistema masa, resorte y amortiguador;b. Diagrama d cuerpo libre trasformado

107

( ) ( ) ( ) ( )tftKxdt

tdxfdt

txdM v =++2

2

( ) ( ) ( ) ( )sFsKXssXfsXMs v =++2

( ) ( )( ) KsfMssFsXsG

v ++== 2

1

( ) ( ) ( )sFsXKsfMs v =++2

108

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EMPLEANDO EL CONCEPTO DE IMPEDANCIA

109

Se toma la Transformada de Laplace de la columna fuerza-desplazamiento

Para el resorte:

Para el amortiguador viscoso:

Para la masa:

Se define la impedancia para los componentes mecánicos:

( ) ( )sKXsF =

( ) ( )sXMssF 2=

( ) ( )( )sXsFsZM =

( ) ( )ssXfsF v=

110

Se sustituye cada fuerza por su transformada de Laplace en el diagrama de cuerpo libre:

( ) ( ) ( )sXsZsF M=

[Suma de impedancias] X(s) = [Suma de fuerzas aplicadas]

111

( ) ( ) ( )sFsXKsfMs v =++2

112

Ejemploa. Sistema mecánico de dos grados de libertad;b. Diagrama en bloques

Encontrar la función de transferencia X2(s)/F(s)

113

El sistema tiene dos grados de libertad: Cada masa se puede mover en la dirección horizontal, mientras la otra está inmóvil.

Se necesitan dos ecuaciones simultáneas para describir el sistema

Las dos ecuaciones provienen de diagramas de cuerpo libre de cada masa.

114

Se utiliza superposición para dibujar los diagramas de cuerpo libre

Las fuerzas sobre M1 se deben a:

- Movimiento propio (M2 inmovil)- Movimiento de M2 transmitido a M1 (M2 se mueve hacia la

derecha)

115

a. Fuerzas sobre M1 debido solo al movimiento de M1;b. Fuerzas sobre M1 debido solo al movimiento de M2;c. Todas las fuerzas sobre M1

116

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )sFsXKsfsXKKsffsM vvv =+−++++ 223121312

1


117

a. Fuerzas sobre M2 debido solo al movimiento de M2;b. Fuerzas sobre M2 debido solo al movimiento de M1;c. Todas las fuerzas sobre M2

118

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322

2123 =++++++− sXKKsffsMsXKf vvv


119


1

Se obtiene la función de transferencia X2(s)/F(s):

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322


( )( ) ( ) ( )

Δ+

== 232 KsfsG

sFsX v

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++++−+−++++

=Δ3232

2223

3312

1 221KKsffsMKsf

KsfKKsffsM

vvv

vvv

120

[Suma impedancias conectadas al movimiento en x1] X1(s) – [Suma de impedancias entre x1 y x2] X2(s)=[Suma de fuerzas aplicadas en x1]

- [Suma impedancias conectadas entre x1 y x2] X1(s) + [Suma de impedancias conectadas al movimiento en x2] X2(s)=[Suma de fuerzas aplicadas en x2]


1

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0232322


121

2.5. Funciones de transferencia de un sistema mecánico rotacional

122

123

124

Relaciones de par, velocidad angular, desplazamiento e impedancia rotacional para inercia, resortes y amortiguadores

125

Ejemploa. Sistema Físico; b. Esquemático; c. Diagrama en bloques

Encontrar la función de transferencia θ2(s)/T(s)

126

a. Par sobre J1 debido solo al movimiento de J1b. Par sobre J1 debido solo al movimiento de J2c. Diagrama final de cuerpo libre sobre J1

( ) ( ) ( ) ( )sTsKsKsDsJ =−++ 2112

1 θθ

127

a. Par sobre J2 debido solo al movimiento de J2b. Par sobre J2 debido solo al movimiento de J1c. Diagrama final de cuerpo libre sobre J2

( ) ( ) ( ) 0222

21 =+++− sKsDsJsK θθ

128

( ) ( ) ( ) 0222


( ) ( ) ( ) ( )sTsKsKsDsJ =−++ 2112

1 θθ

Obtener la ecuación de transferencia θ2(s)/T(s)

( )( ) Δ

= KsTs2θ

( )( )KsDsJK

KKsDsJ++−

−++=Δ

22

2

12

1

129

[suma de impedancias conectadas al movimiento en θ1] θ1(s) – [Suma de impedancias entre θ1 y θ2] θ2 = [Suma de pares aplicados en θ1]

( ) ( ) ( ) ( )sTsKsKsDsJ =−++ 2112

1 θθ

( ) ( ) ( ) 0222


- [suma de impedancias conectadas entre θ1 y θ2] θ1(s) + [Suma de impedancias al movimiento en θ2] θ2(s) = [Suma de pares aplicados en θ2]

130

2.6. Funciones de transferencia para sistemas con engranajes

131

132

133

Un sistema con engranajes

134

A medida que giran los engranajes, la distancia recorrida a lo largo de la circunferencia de cada uno de ellos es la misma, porlo tanto:

2211 θθ rr =

La relación de dientes a lo largo de la circunferencia está en la misma proporción de los radios

2

2

1

1 22N

rNrr ππ =

Luego

2

2

1

1

Nr

Nr

=

135

Resumiendo:

2

1

2

1

1

2

NN

rr

==θθ

Suponemos que los engranajes no absorben o almacenan energíaLa energía que entra al engranaje 1 es igual a la energía que sale del engranaje 2.

2211 θθ TT =

Luego:

1

2

2

1

1

2

NN

TT

==θθ

136

2211 θθ TT =

1

2

2

1

1

2

NN

TT ==

θθ

137

Impedancias mecánicas impulsadas por engranajes

Representar al sistema como un sistema equivalente en θ1, sin los engranajes.

138

T1 puede reflejarse a la salida si se multiplica por N2/N1.

Ecuación de Movimiento

( ) ( ) ( )1

212

2

NNsTsKDsJs =++ θ

139

Convertimos θ2 en un θ1 equivalente, utilizando:

2

112 N

Nθθ =

La ecuación se verá como si estuviera escrita a la entrada

( ) ( ) ( )1

211

2

12

NN

sTsNN

KDsJs =++ θ

Simplificando:

( ) ( )sTsNNKs

NNDs

NNJ 11

2

2

1

2

2

122

2

1 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ

140

Sistema equivalente a la entrada:

( ) ( )sTsNNKs

NNDs

NNJ 11

2

2

1

2

2

122

2

1 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ

141

Generalizando:

Las impedancias mecánicas rotacionales se pueden reflejar en trenes de engranajes si se multiplica la impedancia mecánica por su cociente

(Número de dientes de engranaje en eje de destino/Número de dientes de engranaje en el eje de fuente)

142

a. Sistema rotacional manejado con engranajes;b. Sistema equivalente en la salida después de la reflexión del par de entrada;c. Sistema equivalente en la entrada después de la reflexión de las impedancia

143

a. Sistema rotacional manejado con engranajes;b. Sistema después de la reflexión del par e impedancia en el eje de salida;c. Diagrama en bloques

144

Trenes de engranajesPara eliminar los engranajes con grandes radios, se utiliza un tren de engranajesSe pueden logran grandes reducciones al poner en cascada reducciones mas pequeñas

145

Tren de engranajes

1 3 54 1

2 4 6

N N NN N N

θ = θ

146

Función de transferencia de engranajes con pérdida

147

El sistemas no tiene engranajes sin pérdidaTodos los engranajes tienen inercia y para algunos ejes hay fricción viscosa

Resolución:

Se busca reflejar todas las impedancias al eje de entrada, θ1.La reducción (de engranajes) no es la misma para todas las impedancias.- D2 está reflejada sólo pro una reducción, como D2(N1/N2)2 dd- J más J está reflejada por dos reducciones como

(J4+J5)[(N3/N4)/(N1/N2)]2.

148

Resultado de todas las impedancias reflejadas a θ

149

Ecuación de movimiento

( ) ( ) ( )sTssDsJ ee 112 =+ θ

donde

( ) ( )2

42

3154

2

2

1321 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

NNNN

JJNN

JJJJ e

y2

2

121 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

NN

DDDe

150

De la ecuación

( ) ( ) ( )sTssDsJ ee 112 =+ θ

la función de transferencia es

( ) ( )( ) sDsJsTssG

ee +== 2

1

1 1θ

151

Ejemploa. Sistema usando una cadena de engranajes;b. Sistema equivalente en la entrada;c. Diagrama en bloque

152

2.7. Funciones de transferencia de un sistema electromecánicoMotor de Corriente Continua

153

a. Esquema de Motor C.C.b. Diagrama de bloques

154

Formado por:

• Un CAMPO MAGNÉTICO mediante imanes permanentes estacionarios o mediante un electroimán estacionario llamado CAMPO FIJO

•Un circuito giratorio llamado ARMADURA, por el que circula una corriente ia(t), pasa por este campo magnético a ángulos rectos y detecta una fuerza F=Bl ia(t), donde B es la intensidad de campo magnético y l, la longitud del conductor

El par resultante hace girar el rotor, que es el elemento giratorio del motor.

155

Un conductor que se mueve a ángulos rectos respecto de un campo magnético

e=Blv

La armadura portadora de corriente está girando en un campo magnético

( ) ( )dt

tdKtv mbb

θ= (2)

(1)

Tomando la Transformada de Laplace

( ) ( )ssKsV mbb θ= (3)

156

Transformada de Laplace de la ecuación de malla alrededor del circuito de armadura

( ) ( ) ( ) ( )sEsVssILsIR abaaaa =++ (4)

157

El par creado por el motor es proporcional a la corriente de armadura

( ) ( )sIKsT atm = (5) Reacomodando

( ) ( )sTK

sI mt

a1= (6)

Reemplazando (3) y (6) en (4)

( ) ( ) ( ) ( )sEssKK

sTsLRamb

t

maa =++ θ (7)

158

Carga mecánica típica en un motor

159

De la figura

( ) ( ) ( )ssDsJsT mmmm θ+=− 2 (8)

Reemplazando (8) en 7)

( )( ) ( ) ( ) ( )sEssKK

ssDsJsLRamb

t

mmmaa =+++ θθ2

(9)

160

Si se supone que la inductancia de armadura, La, es pequeña en comparación con la resistencia de armadura, Ra

( ) ( ) ( )sEssKDsJKR

ambmmt

a =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++ θ (10)

Se encuentra la función de transferencia θm(s)/Ea(s)

( )( )

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

a

btm

m

ma

t

a

m

RKKD

Jss

JRK

sEs

1θ

(11)

161

Función de Transferencia relativamente sencilla

(12)( )( ) [ ]α

θ+

=ssK

sEs

a

m

Función de transferencia θm(s)/Ea(s)

( )( )

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

a

btm

m

ma

t

a

m

RKKD

Jss

JRK

sEs

1θ

162

Motor de CC excitando una carga mecánica rotacional

163

Estudio de las constantes mecánicas Jm y Dm

Inercia equivalente, Jm, y el amortiguamiento equivalente Dm, en la armadura

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

NNJJJ Lam

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

NNDDD Lam (13)

164

Constantes eléctricas de la función de transferencia

Se pueden obtener por medio de prueba de dinamómetro del motor, donde un dinamómetro mide el par y la velocidad de un motor bajo la condición de un voltaje constante aplicado.

Reemplazar (3) y (6) en (4), con La=0

( ) ( ) ( )sEssKsTKR

ambmt

a =+ θ (14)

165

Aplicando la transformada inversa de Laplace

( ) ( ) ( )sEssKsTKR

ambmt

a =+ θ

( ) ( ) ( )tetKtTKR

ambmt

a =+ ω (15)

Si se aplica un voltaje de corriente continua, ea, el motor girará a una velocidad angular constante, ωm, con un par constante, Tm

166

Relación cuando el motor esté operando en estado estable con una entrada de voltaje de corriente continua

ambmt

a eKTKR =+ ω (16)

Al despejar Tm resulta

aa

tm

a

tbm e

RK

RKKT +−= ω (17)

167

aa

tm

a

tbm e

RK

RKKT +−= ω

La ecuación (17) es una recta, Tm contra ωm

168

Curvas Torque-velocidad con un voltaje de armadura, ea, como un parámetro

169

El cruce del eje del par se presenta cuando la velocidad angularllega a cero

Ese valor de par de torsión se llama máximo, Tparmax.

aa

tpar e

RKT =max (18)

La velocidad angular que se presenta cuando el par máximo es cero se denomina velocidad sin carga, ωsin_carga

b

aac K

e=argsin_ω (19)

170

Las constantes eléctricas de la función de transferencia del motor se pueden hallar de las ecuaciones (18) y (19)

a

parmáx

a

t

eT

RK

=ac

ab

eKargsin_ω

=

Las constantes eléctricas, Kt/Ra y Kb, se pueden hallar de una prueba de dinamómetro del motor, que daría como resultado una Tparmáx y ωsin carga para una ea dada.

171

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

NNJJJ Lam

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

NNDDD Lam

a

parmáx

a

t

eT

RK

=

ac

ab

eKargsin_ω

=

Constantes Eléctricas

Constantes Mecánicas

172

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

NNJJJ Lam

2

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

NNDDD Lam

a

parmáx

a

t

eT

RK

=ac

ab

eKargsin_ω

=

( )( )

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

a

btm

m

ma

t

a

m

RKKD

Jss

JRK

sEs

1θ

Función de Transferencia

Constantes Eléctricas

Constantes Mecánicas

173

a. Motor CC y carga;b. Curva par-velocidad;c. Diagrama de bloque

174

2.8. Modelado de Sistemas de Fluidos

Hidráulicos y Neumáticos

175

Sistemas de FluidosSistemas Hidráulicos

Sistemas Neumáticos

176

SISTEMAS HIDRAULICOS

177

Resistencia Hidráulica

Rq=p1-p2

Resistencia al flujo hidráulico al pasar por una obstrucción o reducción de diámetro de una tubería.

Produce una caída de presión del fluido

178

Capacitancia Hidráulica

( )dtdp

gA

dtgpdAqq

ρρ ==− 21

gAC

ρ=

dtdpCqq =− 21

( )dtqqC

p ∫ −= 211

dtdVqq =− 21 AhV =

dtdhAqq =− 21

ghA

AhgAVg

Amg

AFp ρρρ =====

21 ppp −=

Describe la energía almacenada en un líquido cuando se almacena en forma de energía potencial

La razón de cambio de volumen es igual a la diferencia de flujos volumétricos de entrada y salida

179

Inercia Hidráulica

( )AppApApFF 212121 −=−=−

( ) maApp =− 21

( )dtdvmApp =− 21

Avq =

dtdqIpp =− 21

ALI ρ=

AF ρ=1 AF ρ=2

Fuerza Neta: 21 FFF −=

( )dtdqLApp ρ=− 21

( )dtdvALApp ρ=− 21

ALVm ρρ ==

Oposición de un líquido a cambiar su estado de movimiento.

Para acelerar un fluido de masa m se necesita una fuerza

180

SISTEMAS NEUMATICOS

181

Resistencia Neumática

Gasto másico=dm/dt

•==− mR

dtdmRpp 21

Se define en función del gasto volumétrico dm/dt y la diferencia de presión, (p1 –p2)

182

Capacitancia Neumática

Razón de cambio de masa en el recipiente ( )dt

Vd ρ=

dtdV

dtdV ρρ +=Razón de cambio de masa en el recipiente

( ) ( )( )dtdpdpdVdtdV =

Razón de cambio de masa en el recipientedt

dmdt

dm 21 −=

mRTpV =

( ) RTRTVmp ρ==

( )( )dtdpRTdtd 1=ρ

Se debe a la compresibilidad del gas

183

Capacitancia Neumática que produce cambio de volumen del recipiente: C1

dtdp

RTV

dpdV

dtdm

dtdm

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=− ρ21

dpdVC ρ=1

RTVC =2

Capacitancia Neumática debida a la compresibilidad del gas: C2

( )dtdCC

dtdm

dtdm ρ

2121 +=−

dtmmCC

pp ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=−

••

2121

211

Razón de cambio de masa en el recipiente=dtdp

RtV

dtdp

dpdV +ρ

184

Inercia Neumática

( ) dtmvdma =

( ) ( )dtmvdApp =− 21

LAm ρ=

LqAqLAmv ρρ ==

( ) ( )dt

qdLApp ρ=− 21

ALI =

dt

mdIpp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−

•

21

qm ρ=•

dt

md

ALpp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−

•.

21

Avq =

Se debe a la caída de presión para acelerar un bloque de gas

185

186

EJEMPLOS

187

Obtención de un modelo para sistemas de fluidos

dtdpCqq =− 21

221 Rqpp =−

ghpp ρ=− 21

Rghq ρ=2

( )dt

ghdCR

ghq ρρ =−1

gAC

ρ=

Rgh

dtdhAq ρ+=1

Ejemplo 1: Sistema Hidráulico

21 ppp −=

188

Ejemplo 2: Sistema Neumático

•=− mRpp 21

02 =m 02 =•

m

( ) 22

211 pdt

dpCCRp ++=

kxF =AFp =2

kxFAp ==2

( ) xAk

dtdx

AkCCRp ++= 211

( )dt

dpCC

Rpp 2

2121 +=

−

( )dt

dpCCmm 22121 +=−

••

189

21 dp

dVC ρ=

kxAp =2

( ) kA

AkxddxAC

2

1ρρ ==

AxV =

21 dpdxAC ρ=

RTAx

RTVC ==2

Capacitancia Neumática debida al cambio de volumen en el recipiente

Capacitancia Neumática debida a la compresibilidad del aire

190

Ejemplo 3: Sistema hidráulico

dtdpCqq 121 =−

ghp ρ1=

gACρ

11 =

dtdhAqq 1

121 =−

2121 qRpp =−

11 ghp ρ=

22 ghp ρ=

( ) 2121 qRghh =− ρ

( )dtdh

AR

ghhq 1

11

211 =

−−

ρ

191

dtdpCqq 232 =−

ghp ρ2=

gA

Cρ

22 =

dtdhAqq 2

232 =−

322 0 qRp =−

dtdh

AR

ghq 2

22

22 =−

ρ

( )dt

dhAR

ghR

ghh 22

2

2

1

21 =−− ρρ

192

2.9. Modelado de Sistemas Térmicos

193

RESISTENCIA TERMICA

RTTq 12 −

=

Conducción

LTT

Akq 21 −=

AkLR =

Convección

( )12 TTAhq −=

AhR 1=

h: coeficiente de transferencia calórica

A: área de la superficie donde hay diferencia de temperatura

q: velocidad de flujo calórico

A: área sección transversal material que conduce calor

L: longitud material entre los puntos correspondientes a las temperaturas T1 y T2

K: conductividad térmica

Transmisión de calor en sólidos Transmisión de calor en líquidos y gases

194

CAPACITANCIA TERMICA

Relación de cambio de la energía interna = q1 – q2

Cambio de la energía interna = mc x razón de cambio de la temperatura

dtdTmcqq =− 21

mcC =

dtdTCqq =− 21

Es la medida de almacenamiento de energía interna en un sistema.

Si q1 velocidad de flujo de entrada, q2 velocidad de flujo de salida:

m: masa

c: calor específico del material

Capacidad Térmica

El aumento de energía interna produce incremento de temperatura

195

EJEMPLO: Obtención de modelos para sistemas Térmicos

RTTq L −

=

Solo existe flujo neto calorífico del líquido al termómetro

dtdTCqq =− 21

qq =1

02 =q

dtdTCq =

LTTdtdTRC =+

RTT

dtdTC L −

=

196

EJEMPLO: Obtención de modelos para sistemas Térmicos

dtdTCqq =− 21

RTT

q 02

−=

R: Resistividad de los muros

dtdTC

RTT

q =−

− 01

01 TRqTdtdTRC +=+

197

2.10. No linealidades y Linealización

198

a. Sistema Lineal;b. Sistema no lineal

199

Algunas no linealidadesfísicas

200

Linealización alrededor de un punto A

( ) ( )[ ] ( )oa xxmxfxf −≈− 0

( ) xmxf aδδ ≈

( ) ( ) ( ) ( ) xmxfxxmxfxf aa δ+≈−+= 000

201

Ejemplo:Linearización de 5 cos x alrededor de x = π/2

( )senxdxdf 5−=( ) xxf cos5=

( ) 55 2/2/ −=−= == ππ xx senxdxdf

( ) ( ) ( ) 02cos520 === ππfxf

( ) xxf δ5−=

( ) ( ) ( ) ( ) xmxfxxmxfxf aa δ+≈−+= 000

202

( ) ( ) ( ) ( )...

!2!1

20

2

20

0 00+

−+

−+= ==

xxdx

fdxxdxdfxfxf xxxx

Para pequeñas excursiones de x desde x0

( ) ( ) ( )00 0xx

dxdfxfxf xx −≈− =

( ) xmxf xx δδ0=≈

Realizando la expansión de la serie de Taylor de f(x):

203

LINEALIZACION EN UNA VARIABLE

( ) ( ) ( )00 0xx


LINEALIZACION EN DOS VARIABLES

( ) ( ) ( ) ( )0

0220110

022011

022011 22

211

12121 ,, xx

dxdfxx

dxdfxxfxxf

xxxx

xxxx

xxxx −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

==

==

==

204

Ejemplo de linealización de unaecuación diferencial

rvr ei 1.02=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= rr iv

21ln10 ii r =

Corriente i en estado estable: v(t)=0

( ) 0==dtdiLtvL

Encontrar VL(s)/V(s)

( )tvidtdiL =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ 20

21ln10

205

Vvr 20=

iii δ+= 0

( ) ( ) ( )tviidt

iidL =−++

+20

21ln10 0

0 δδ

Linealizar: ( )ii δ+021ln

Ecuación 1

amperesiei rvr 78.142 1.0 ===

206

Usando la ecuación: ( ) ( ) ( )00 0xx


( ) ii

ii

idt

idiii ii δδδδ

000

1121ln

21ln

21ln

0==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−+ =

Linealizar: ( )ii δ+021ln

( ) ii

iii δδ

0

00

12

ln21ln +=+

Reemplazando en la Ecuación 1:

( )tvii

idt

idL =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 201

2ln10

0

0 δδ

207

Haciendo L=1 e i0=14.78

( )tvidt

id =+ δδ 677.0

Aplicando Transformada de Laplace y despejando δi(s)

( ) ( )677.0+

=s

sVsiδ

Voltaje en la inductancia alrededor del punto de equilibrio:

( ) ( )dt

idLiidtdLtvL

δδ =+= 0

( ) ( ) ( )sVsisis =+ δδ 677.0 ( ) ( ) ( )sVsis =+ δ677.0

208

Tomando Transformada de Laplace

( ) ( )sissiLssVL δδ ==)(

( ) ( )677.0+

=s

sVssVL

( )( ) 677.0+

=s

ssVsVL Para pequeñas ecursiones alrededor de

i=14.78 o bien , alrededor de v(t)=0

209

Resumen

210

La función de transferenciaResumen de las leyes de elementos

Tipo deelemento

Elementofísico

Ecuaciónrepresentativa Símbolo

Inductancia

Inductanciaeléctrica

Resortetraslacional

Resorterotacional

dtdiLv =21

dtdf

kv 1

21 =

dtdT

k1

21 =ω

1v 2v

i L

1v 2v

ff

1T

1ω2ω

2T

211


Capacitancia

Capacitanciaeléctrica

Masa

Inercia

dtdvCi 21=

dtdvmf =

dtdjT ω=

Capacitanciafluídica

dtdpCq f

2121 =

Capacitanciatérmica

1v 2vi

C

mv

f

jT ω

1q 2q2p

1p

fC

qT tCdt

dTCq t=

212


Resistencia

Resistenciaeléctrica

Amortiguadortraslacional

211 vR

i =

bvf =

21ωbT =

Resistenciafluídica 21

1 pR

qf

=

Resistenciatérmica

b

T

1ω

q2p1p

fRq

1TtR21

1 TR

qt

=

Amortiguadorrotacional

1v 2v

i

R

21vff b

2ω

T

2T

213

Fin tema 2

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