Angel Montesdeoca_Construcciones de Triángulos

RESOLUCION DE TRIANGULOS

Angel MontesdeocaLa Laguna, 13 de Febrero del 2012

Version 2.120213842

~ Notaciones

En un triangulo ABC se designa por: a, b y c, las longitudes de los lados opuestos a los vertices A,B y C, respectivamente. A,B y C (o A, B, C) los angulos en los vertices A,B y C. ha, hb y hc, las alturas desde los vertices A,B y C, y por Ha, Hb y Hc sus pies. ma,mb y mc las medianas desde los vertices A,B y C, y por Ma,Mb y Mc sus pies. va, vb y vc, las bisectrices desde los vertices A,B y C, y por Va, Vb y Vc sus pies. wa, wb y wc, las bisectrices exteriores desde los vertices A,B y C, y por Wa,Wb y Wc sus pies. R, el radio de la circunferencia circunscrita. r, el radio de la circunferencia inscrita. ra, rb y rc los radios de las circunferencia exinscritas. s el semipermetro, s = (a+ b+ c)/2. el area. I el incentro, centro de la circunferencia inscrita I(r). Ia, Ib y Ic los centros de las circunferencias exinscritas. G el baricentro, punto de interseccion de las medianas. O el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita O(R). H el ortocentro, punto de interseccion de las alturas. N el centro de la circunferencia de los nueve puntos (circunferencia de Euler) N(R/2). K el simediano, interseccion de las rectas simetricas de las medianas respecto a la bisectrices

respectivas.

PQ la recta que pasa por los puntos P y Q o conjunto de todos sus puntos. PQ el segmento que une los puntos P y Q o distancia entre P y Q (d(P,Q)). d(P,Q), d(P,UV ), distancia entre dos puntos o de un punto a una recta. [num] para el caso num) en Fursenko ([4]). [-num-] para el caso Exercice num) en Lus Lopes ([7]).

La Laguna, 13 de Febrero del 2012 Pag. 1/9 Angel Montesdeoca

Resolucion de triangulos conocidos ciertos datos

[=num=] para el caso num. en W. Wernick ([11]). [*num*] para el caso num. en ([5]). |A| = n, si el cardinal del conjunto A es igual a n.

~ Resolucion de triangulos conocidos ciertos datos

(El orden de esta lista esta dado segun se han introducido las notaciones anteriores)

1) a b = 2a vc = AVc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24162) a b c [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997

3) a b A [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024

4) a b C [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20165) a b ha [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20016) a b hc [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20027) a b ma [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20178) a b mc [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19909) a b vc [9] [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201010) a b R [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084

11) a b A B [1076] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208212) a b AB||IO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242413) a b AMa BMb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241514) a b AMcC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225615) a b R mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216616) a b MaVa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204917) a b McVc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048

18) a A B [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028

19) a A = 90 B [16] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106

20) a A ha [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005

21) a A hb [18][19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217122) a A ma [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109

23) a A mb [20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986

24) a A va [21][28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198025) a A = 90 va [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094

26) a A = 90 vb [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978

27) a A R [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156

28) a A r [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110

29) a A 2s [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013

30) a A = 90 2s [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875

31) a A a b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215732) a A b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216033) a A b+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215

34) a A b+ 3c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107

35) a A = 90 b/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2332

36) a A u b+ v c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210837) a A AI/IVa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146

38) a A = 90 AMa BMb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209839) a A BMb CMc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152



40) a A = 90 Z BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179941) a B C [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088

42) a B ha [30] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006

43) a B hb [31] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148

44) a B hc [32][22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217545) a B vb [37] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159

46) a B 2s [44] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038

47) a B b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206248) a B = 90 b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201149) a B b ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212250) a B = 90 hb = HbMb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212951) a B Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243452) a ha hb [46] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200453) a ha ma [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202254) a ha R [51] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214755) a ha r [52][153] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217256) a ha b/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214557) a hb hc [57]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200358) a hb mb [59] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203259) a hb vc [63] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203360) a ma mb [71] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198461) a mb mc [80] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198362) a va R [92][195] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217663) a va Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214464) a vb b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207465) a R r [106][215] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203666) a R B C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247167) a R OH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197568) a r |I(r) Ma(a/2)| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211869) a AB = AC, a = BD = AD, a AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248770) a 7BAMa = 7C = 2B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274

71) a R = |a c| A C = 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240372) a P I(r) BC |I(r) Ma(a/2)| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211973) A B C vertice A,B P (r1) vertice C P (r2) . . . . . . . . . 248174) A B ha [123] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007

75) A B ma [125] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998

76) A B va [128] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034

77) A B wa [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216878) A B R [129] [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216979) A B r [130] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072

80) A = 90 B r [130] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067

81) A B ra [131] [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217082) A B 2s [133] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2061

83) A B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112

84) A B a+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217

85) A B a+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216

86) A ha hb [135] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009

87) A ha ma [136] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056



88) A = 90 ha ma [136]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065

89) A = 90 ha mb [137] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012

90) A ha R [140] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059

91) A = 90 ha r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154

92) A ha 2s [144] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086

93) A = 90 ha 2s [144] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097

94) A hb hc [146] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008

95) A ma mb [160] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999

96) A = 90 ma va [161] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856

97) A ma r [164] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2041

98) A ma ra [165] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042

99) A mb mc [169]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987

100) A = 90 mb 2s [178] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023

101) A va R [181][101] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177102) A va b+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2121

103) A va b+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092

104) A va b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2091105) A R r [195] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037

106) A = 90 R O Y AC Z AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018107) A = 90 R HaAMa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096

108) A r 2s [202] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2060

109) A 2s P BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377110) A = 90 1/a2 + 1/b2 = 1/m2 1/a+ 1/b = 1/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369

111) A a+ b a+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2020

112) A a b c b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043113) A b c BMb CMc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158114) A b+ ha b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153

115) A = 90 vertice : A ` vertice : B,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985116) A AMa BVb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2063117) A = 60 2s = 4ha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624

118) A = 90 Va Vb Vc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982119) ha hb hc [211] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613120) ha hb ma [212] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029121) ha hb mc [213] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027122) ha ma b/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194123) ha ma mb [222] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989124) ha ma va [223] [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031125) ha ma r [226] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138126) ha mb mc [231] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988127) ha R r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265128) ha r ra [262] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2140129) ha r b c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137130) ha r I(r) BC Ia(ra) BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139131) ha BAMa = MaAHa = HaAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057132) ha OMa OMb OMc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095133) ma mb mc [273][288] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939134) va vb vc [313] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035

135) va BAMa = MaAHa = MaHaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2151


Algunas construcciones basicas

136) R a+ ha b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196137) R a+ ha b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339138) R O X AH O(R) Y AG O(R) Z AI O(R) . . . . . 2030139) R Ha Ma vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114140) R N O(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798141) r BAMa = MaAHa = MaHaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2150142) r IA IB IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976143) ra rb rc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304144) ra rb [349] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053145) 42367146) a = b = c P PA PB PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412147) A NP,B PMPM,C MN ;M BC , N C A, P

AB;AB||AB, BC||BC , CA||C A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2409

148) I IA IB IC Z BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974149) I G vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164150) I O vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2040151) I O H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2130152) I O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093153) I Ma vertice : A d(I,Ma) = d(A, IMa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163154) G vertice : A B p C q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292155) G BC P AB Q AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125156) G BC P AB Q AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120157) O Ha Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104158) O H vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087159) O N Ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039160) O K vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113161) O Va vertice : A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179162) Ha Hb AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2090163) Ha Hb Hc [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979164) Ha Hb Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488165) H b = c AB X BC HXAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2071166) H Ma Mb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375167) H Va Wa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513168) Ma Mb Mc [23] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089169) Ma Va Ea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376170) Ma Wa Ea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378171) X AX = p BX = q CX = r a = b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374172) X BC Y CA Z AB BX : XC = p CY : Y A =

q AX : ZB = r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2136

Ver tambien la pagina WEB:http://webpages.ull.es/users/amontes/angel/pdf/ct.pdf.

~ Algunas construcciones basicas

Exponemos aqu ciertas construcciones (algunas poco justificas) que se utilizan frecuentementeen la resolucion de triangulo y que no siempre se detallan all.

C1. Construir un segmento de longitud k2



Sobre la perpendicular en el extremo D de un segmento CD de longitud unidad, trazamos unsegmento DB de longitud k dada. La perpendicular a CB en B corta a la recta CD en A.

El triangulo ABC es rectangulo y se verifica que la altura relativa a la hipotenusa es mediaproporcional entre los dos segmento en que divide a la base; es decir,

BD2= CD DA, a2 = 1 k = k.

As, DA es el segmento buscado (Figura de la izquierda).

C2. Construir un segmento de longitudk

Sobre una misma recta se trazan dos segmentos contiguos BD de longitud k y DC de longitudunidad. Se traza la circunferencia de diametro BC y la perpendicular por D a BC. Ambas se

cortan en A y el triangulo ABC es rectangulo en A. La altura AD es media proporcional entrelos dos segmentos en que divide a la hipotenusa:

AD2= BD DC = k 1 = k.

Luego, AD es el segmento pedido de longitudk. (Figura de la derecha)

C3. Construir la races de la ecuacion de segundo grado x2 2Sx+ P = 0 (S > 0,P > 0)

C4. Arco capaz del angulo sobre el segmento BC

Es el lugar geometrico de los puntos desde los cuales se ve al segmento BC bajo el mismoangulo .



/2

pi 2= 2

C5. Tangente a una circunferencia desde un punto exterior

Dada al circunferencia y punto P exterior, se traza la circunferencia de diametro el segmentoque une P con el centro de la circunferencia dada. Los puntos de corte de ambas circunferenciasson los de tangencia de las tangentes desde P .

C6. Cuarto armonico

Construir el punto Q armonicamente separado de P respecto a M y N .

Utilizamos el hecho de que en un cuadrivertice dos puntos diagonales estan separados armo-nicamente de los dos puntos en que la recta que los une corta a los dos lados opuestos delcuadrivertice que pasan por el tercer punto diagonal.

C7. Eje radical

El eje radical de dos circunferencias O1(R1) y O2(R2), cuando estas se cortan, es la recta quepasa por los puntos de interseccion de ambas.


REFERENCIAS

Cuando las circunferencias son disjuntas, es decir, cuando sean exteriores una de la otra ocuando una esta contenida en la otra, acudimos al caso anterior sin mas que trazar una circun-ferencia que sea secante a las dos circunferencias dadas (no concentricas).

Construimos la interseccion de las dos circunferencia con la recta que une sus centros. Tomemosde estos puntos el segmento MN sobre la recta O1O2, de tal forma que el segmento O1O1quede en su interior. La circunferencia que pasa por O1 y O2 y de radio MN corta a las doscircunferencias O1(R1) y O2(R2), incluso cuando una esta contenida en la otra, puesto que suradio es R1 +R2 +O1O2.

Si ST es el eje radical de O1(R1) y y UV es el eje radical de O2(R2) y , la interseccion Pde estos dos ejes radicales pertenece pues al eje radical de las dos circunferencias dadas, el cuales ademas perpendicular a O1O2.

Referencias

[1] Jose Echegaray.- Problemas de Geometra. Madrid, 1865, Facsimil editado por la Universidadde Las Palmas de Gran Canaria. 2000

[2] Harold Connelly.- An extension of triangle constructions from located points. Forum Geo-metricorum, 9 (2009) 109112.

[3] Harold Connelly; Beata Randrianantoanina.- An Angle Bisector Parallel Applied to Tri-angle Construction. Forum Geometricorum Volume 9 (2009) 161-163.

[4] V. B. Fursenko.- Lexicographical account of constructional problems of triangle geometryproblems (en ruso). Mathematicals in schools, 1937 (5) pp. 4-30, 1937 (6) pp. 21-45, Moscow,USSR. Pag. WEB:

http://g.boutte.free.fr/geometrie.htm

[5] Ludi geometrici. Pag. WEB:

http://www.polarprof.org/geometriagon/

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[9] V. Prasolov.- Problems on Plane Geometry (to be published) Pag. WEB:

http://www.math.su.se/~mleites/ Books translated

[10] P. Puig Adam.- Curso de Geometra Metrica (2 vols.). Madrid. Ed. Euler, 1986

[11] W. Wernick.- Triangle constructions with three located points. Mathematics Magazine55(1982)4, pp.227-230.

[12] Paul Yiu.- Elegant Geometric Construct. Forum Geometricorum 5(2005) 75-96.

[13] Paul Yiu.- Cinic constructions of a triangle from the feet of its angle bisectors. Journal forGeometry and Graphics 12(2008) 133-144.

Direcciones electronicas:

[14] Ricardo Barroso Campos.- Laboratorio virtual de triangulos con Cabri II, Pag. WEB:

http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/index.htm

[15] Alexander Bogomolny.- The many ways to construct a triangle, Pag. WEB:

http://www.cut-the-knot.org/triangle/index.shtml#table


REFERENCIAS

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[17] Francisco Garca Capitan.- Problemas de Triangulos con Cabri. Pag. WEB:

http://www.garciacapitan.auna.com/ricardo/

[18] Ricard Peiro.- Resolucio de triangles. Pag. WEB:

http://webs.ono.com/rpe1/resolucio1.htm

[19] The Math Forum.- Ask Dr. Math Pag. WEB:

http://mathforum.org/library/drmath/sets/college_constructions.html


Notaciones Resolucin de tringulos conocidos ciertos datos Algunas construcciones bsicas

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