Analisis del Lugar Geometrico de las Raıces

de Sistemas con Retardo de Primer y

Segundo Orden

M. Rıos Flores ∗ J. F. Marquez Rubio ∗ B. del Muro Cuellar ∗

∗ Instituto Politecnico Nacional, SEPI ESIME Culhuacan, Mexico(e-mail: moy30spl@gmail.com,jfcom23@yahoo.com.mx,

bdelmuro@yahoo.com).

Resumen: Para los sistemas lineales de dimension finita el lugar geometrico de las raıces esun metodo bien establecido. Sin embargo, para el caso de los sistemas con retardo el metodotiene algunos problemas debido al termino de retardo involucrado. En este trabajo se deseaobtener el diagrama del lugar geometrico de las raıces para esta clase de sistemas, ası como eldesarrollo de una funcion de Matlab que proporcione el diagrama del lugar de las raıces parasistemas con retardo de bajo orden. De igual manera, se proporcionan algunos comentariosacerca de los problemas que deberan ser considerados para obtener una generalizacion delmetodo computacional para sistemas retardados con m polos y n ceros.

Keywords: termino de retardo, diagrama del lugar geometrico de las raıces, retroalimentacionde control, polos, ceros.

1. INTRODUCCION

Los retardos aparecen en el modelado de diferentes clasesde sistemas (procesos quımicos, cadenas de manufactura,modelos economicos, etc.), convirtiendose en una situa-cion desafiante desde el punto de vista de control que debeser afrontada disenando estrategias de control que per-mitan obtener un desempeno aceptable y estabilidad enlazo cerrado. Con el paso del tiempo se han desarrolladodiferentes estrategias de control y analisis de estabilidadpara sistemas con retardo. Una manera de abordar elproblema es por medio de metodos como la aproximacionde Pade o series de Taylor, donde el termino de retardopuede ser aproximado y se puede considerar como un casocontinuo, lo que conduce a un proceso de fase no mınimacon una representacion de funcion de transferencia ra-cional (Gouaisbaut and Peaucelle, 2006). Con la mismapropuesta de analisis, algunos trabajos han aplicado lasustitucion de Rekasius, ver por ejemplo (Munz et al.,2009). Se debe tener en cuenta que usando las estrate-gias mencionadas y si requiere un analisis de estabilidaden lazo cerrado, el resultado de estabilidad obtenido eslimitado debido a las aproximaciones correspondientes.

Por otra parte (Silva and Bhattacharyya, 2005) propor-cionan una parametrizacion completa de controladoresestabilizantes P, PI y PID en el caso de sistemas de primerorden con retardo, FOPTD (por sus siglas en ingles FirstOrden System Plus Time Delay) utilizando un enfoquede analisis en frecuencia. Es importante mencionar queal realizar un analisis de frecuencia no es facil extendersea un sistema de alto orden debido al hecho que variascondiciones deberan cumplirse y en ocasiones, el pro-blema radica en determinar la(s) condicion/condiciones

mas relevante(s). Incluso con esta desventaja en (Silvaand Bhattacharyya, 2005), se obtienen las condiciones deestabilidad para un sistema de primer orden con retardocuando se consideran controladores P, PI y PID.

El metodo del lugar geometrico de las raıces se ha uti-lizado como una invaluable herramienta de diseno parasistemas lineales (Suh and Bien, 1982). Esto es porque,la estabilidad en lazo cerrado puede asegurarse desde eldiagrama del lugar geometrico de las raıces. El metodografico del lugar geometrico de las raıces nos permiteanalizar como las raıces cambian cuando se considera unavariacion de un parametro. Este metodo se ha utilizadopara establecer las condiciones de estabilidad en lazocerrado, por lo tanto el diseno de algunos controladoresse puede obtener a partir del analisis de la grafica.

Generalmente el analisis de estabilidad de sistemas conretardo no es facil, especialmente si el sistema es dealto orden o tiene multiples retardos. En (Wang andHu, 2008), se utiliza el concepto de la raız caracterısticasituada mas a la derecha, como la raız con la maximaparte real de las raıces caracterısticas de un sistema conretardo. Para sistemas retardados, la estabilidad puedeser determinada por la raız caracterıstica que se encuentramas a la derecha (Wang and Hu, 2008). De esta manera,en (Wang and Hu, 2008), el calculo de la raız situadamas a la derecha del sistema con retardo, esta basado enla funcion de Lambert W. Como se puede ver, usandoeste enfoque no es posible obtener informacion de unnumero completo de polos, de cualquier manera el metodopresenta unas ventajas desde el punto de vista analıtico.

En (Baker, 2011) los autores proponen el diseno de con-troladores PID para plantas de primer orden con retardo

Memorias del Congreso Nacional de Control Automático

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usando el lugar geometrico de la raıces, resolviendo elproblema con la evaluacion de la condicion de fase y lacondicion de magnitud. Los autores presentan una idea deusar de funciones computacionales, de cualquier manerael sofware desarrollado no esta disponible. Por otra parte,(Baker, 2011), no aborda el caso de un sistema de altoorden, ni plantas con mas de dos ceros. Inspirado en lapropuesta presentada en (Baker, 2011), la idea principalde este trabajo es el diseno de una plataforma que permitaal usuario obtener el diagrama del lugar geometrico delas raıces para sistemas con retardo, incluso cuando elusuario no conozca los detalles del programa. Esto, con lafinalidad de proporcionar un lugar geometrico similar a laherramienta rlocus() de Matlab para sistemas lineales dedimension finita. En este escrito, se describe el desarrollocomputacional y analisis para casos de primer orden ysegundo orden con retado.

El escrito se organiza de la siguiente manera: La formula-cion del problema se presenta en la Seccion 2, en la Seccion3 se presenta el lugar geometrico . Se muestran algunosejemplos en la Seccion 4 y finalmente en la Seccion 5 semencionan algunas conclusiones.

2. FORMULACION DEL PROBLEMA

Para ilustrar los problemas que surgen cuando se realizael calculo de las raıces en lazo cerrado, se considera el casomas simple, un sistema de primer orden con retardo dadopor:

Y (s)

U(s)=

b

s+ ae−τs (1)

donde los parametros a, b y τ son conocidos, τ es eltermino de retardo asociado a la funcion de transferencia.Un controlador proporcional dado por:

U(s) = (R(s)− Y (s))k (2)

donde R(s) es la entrada de referencia. En tal caso, lafuncion de transferencia en lazo cerrado es:

Y (s)

R(s)=

kb

s+ a+ kbe−τse−τs (3)

y la ecuacion caracterıstica, en lazo cerrado es :

s+ a+ kbe−τs = 0 (4)

con a, b y τ siendo constantes conocidas. τ es el terminode retardo asociado a la planta (1). Si se realiza un analisisdel lugar geometrico a (4), se podrıan encontrar algunosproblemas y el diagrama del lugar geometrico no serıafacil de desarrollar. En esta Seccion se ilustran algunosproblemas tıpicos del lugar de las raıces de sistemasretardados. Como primer intento para resolver nuestroproblema, podrıa formularse el problema de una formasimplificada de la siguiente manera: para una gananciaconstante k dada, se debe encontrar todas las raıces de(4). Bajo estas condiciones, se analiza la naturaleza de las

raıces de la ecuacion (4). Las raıces de la ecuacion (4) sontodos los valores de la variable compleja s = σ + jω talque (4) se cumpla, desde este punto de vista, se tienendos parametros desconocidos por encontrar. Entonces,tomando en cuenta la identidad de Euler, la ecuacioncaracterıstica en lazo cerrado se puede escribir como:

σ + a+ kbe−τσcos(ωτ)− j(ω − kbsin(ωτ)) = 0 (5)

La solucion de la ecuacion (5) se puede obtener por laconsideracion del sistema de ecuaciones no lineal siguien-te:

σ + a+ kbe−τσcos(ωτ) = 0 (6)

ω − kbsin(ωτ) = 0 (7)

Para resolver el sistema de ecuaciones no lineal se nece-sitan obtener los valores de σ y ω tal que las ecuaciones(6) y (7) se cumplan para un k dado. Entonces, se tie-ne un sistema de ecuaciones no lineal con dos variablesdesconocidas (σ y ω), las cuales, en general no tienen unasolucion analıtica. Ademas, el sistemas de ecuaciones tieneun numero infinto de soluciones debido a que las funcionesseno y coseno estan involucradas. Si se disena una solucionnumerica iterativa para las ecuaciones no lineales (6) y(7), para la primera iteracion, se debe proponer un valorinicial para el algoritmo y esto dara como resultado unasolucion de σ y ω. Para la segunda iteracion, se debeproponer un valor inicial y no hay manera de asegurar queel valor inicial propuesto dara una solucion diferente a laencontrada en la primera iteracion. Por lo tanto, una malaseleccion del valor inicial para el algoritmo, dara comoresultado una innecesaria perdida de tiempo. Ademas, sise tiene en cuenta que el sistema de ecuaciones tiene unnumero infinito de soluciones, la tarea de obtener todaslas raıces (5) se vuelve practicamente imposible.

Como se puede ver, la solucion de la ecuacion (5) no es unatarea facil, incluso cuando anteriormente nosotros hemosformulado un problema simplificado, ya que el parametrok ha sido considerado fijo. Para obtener el diagrama dellugar geometrico de las raıces, se requiere obtener lasraıces de la ecuacion (5) para diferentes valores de k.

En la siguiente Seccion se utiliza una solucion compu-tacional para obtener un diagrama del lugar geometricopara sistemas retardados. Esta solucion esta basada en laspropiedades que tienen la condicion de fase y la condicionde magnitud del sistema. Este metodo no ha sido explo-tado para sistemas de alto orden con retado, tampoco hasido presentado como una funcion final de Matlab paraser usada como una herramienta de diseno de control.

3. ALGORITMO COMPUTACIONAL

La principal idea detras de la construccion de un diagramadel lugar geometrico de las raıces se basa en el hecho deque la condicion de fase, del sistema en lazo cerrado conuna retroalimentacio unitaria G(s)e−τs, dada por:

∠G(s)e−τs = ∠N(s)

D(s)e−τs = ±180◦(2q + 1) (8)

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para q = 0, 1, 2, ..., siempre se cumpla para las raıces delsistema en lazo cerrado. La evaluacion de la condicionde fase tambien se realizo en (Baker, 2011). En nuestrapropuesta la condicion de fase se prueba en un areaconocida del plano s. La iteracion del algoritmo propuestoconsiste en seleccionar un punto en el plano s = σ + jω, donde σ y ω son valores dentro del area dada. El puntode prueba se evalua en el lado izquierdo de la ecuacion(8). Si la ecuacion (8) se cumple, entonces se concluyeque la raız s = σ + jω asociada al valor σ y ω dado porla iteracion, es una raız de la ecuacion caracterıstica yestos valores son almacenados para ser utilizados despues,si la condicion (8) no se cumple, los valores σ y ω no seguardan. Despues de esto, se selecciona un segundo puntoen el plano s y el metodo se aplica nuevamente. Debido aque se usa un programa computacional para la evaluacionde la condicion (8) es importante establecer una toleranciaen el lado derecho de la condicion (8). Este valor (ǫ) debeser pequeno, si se propone un valor grande, la evaluacionde la condicion de fase propiciara que mas puntos deprueba sean considerados como lugar geometrico de lasraıces, cuando en realidad es por que la condicion ha sidorelajada con este parametro. Ası, en el almacenamientode puntos se tendran valores que no ayudaran a tener undiagrama del lugar geometrico depurado, la expresion dela condicion de fase bajo esta idea sera evaluada como:

∠N(s)

D(s)e−τs = ±180◦(2q + 1)± ǫ (9)

Otro problema, es el numero de puntos evaluados en elalgoritmo. En nuestra experiencia este es un parametroque debera seleccionar el usuario debido a que la veloci-dad del calculo computacional depende directamente deeste valor. De esta manera, si el usuario requiere unaidea rapida del comportamiento del diagrama del lugargeometrico de las raıces, se sugiere al usuario seleccionarun numero pequeno de puntos. Este mismo parametro nospermitira ver el diagrama generado con mayor nitidez,debido a que si se evaluan un mayor numero de puntosen el plano s, mayor sera la cantidad de puntos quecumplan con la condicion de fase (9) y como consecuenciatendremos un diagrama del lugar geometrico con mayorpresicion.

Para proporcionar algunos comentarios sobre la fase, seconsidera un sistema de primer orden con retardo dadopor (1). En este caso, la ecuacion (8) esta dada por :

∠N(s)

D(s)e−τs = ±180◦(2q + 1) (10)

∠N(s) + ∠e−τs − ∠D(s) = ±180◦(2q + 1) (11)

0◦ − 57,3◦ωτ − ∠s+ a = ±180◦(2q + 1) (12)

∠s+ a = ∓180◦ − 57,3◦ωτ (13)

Como se puede ver en (13), la contribucion de la fasedel termino del retardo es una funcion de ω, ∠e−τs =−57,3◦ωτ . La contribucion de la fase del polo estable∠s+a depende de la posicion del punto de prueba s = σ+jω y se calcula facilmente usando algunas propiedadesdel triangulo rectangulo. En el caso de un sistema de

Figura 1. Regiones del plano s para un sistema primeroorden.

primer orden retardado, al obtener la contribucion delpolo estable ∠s + a se derivan cuatro casos, dos cuandoel punto de prueba se encuentra a la derecha del poloestable y dos mas cuando el punto esta a la izquierdadel polo. Para determinar estos cuatro casos, se divide elarea conocida del plano s en cuatro regiones, ver Fig. 1,si el punto de prueba se encuentra dentro de una regionespecıfica es un caso diferente, es decir, el calculo analıticode ∠s+ a se debe realizar con diferentes expresiones.

Por ejemplo, en la Fig. 2 se muestra la contribucion deangulo, α1 y α4 de dos puntos de prueba, el punto deprueba P1 se coloca en la primera region del plano s yel segundo punto P4 en la cuarta region. Para calcularα1 se utilizan las propiedades del triangulo rectangulo.Como se requiere realizar el calculo para diferentes puntosde prueba dentro de la primera region, se debe tener encuenta que los valores de σ y ω son diferentes para cadapunto de prueba y automaticamente las distancias delcateto opuesto (co) y cateto adyacente (ca) del triangulorectangulo tambien cambian. A partir de este plantea-miento se tiene la expresion para el calculo de α1:

α1 = arctanω

|a− σ|(14)

Para el segundo caso de la Fig. 2 se realiza un analisissimilar, cuando el punto de prueba se encuentra en lacuarta region del plano s (P4), la contribucion de angulodel polo estable al punto P4 es α4 y su calculo esta dadopor:

α4 = 360− arctan|ω|

|a− σ|(15)

En la Fig. 3 se tienen los dos casos restantes del analisis.El primer caso, cuando el punto de prueba esta en lasegunda region (P2) y utilizando las propiedades deltriangulo rectangulo para calcular el angulo α2, se obtienela expresion:

α2 = 180− arctanω

|a− σ|(16)

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Figura 2. Puntos de prueba a la derecha del polo estable.

Figura 3. Puntos de prueba a la izquierda del poloinestable.

Similarmente, para calcular el angulo de contribucion α3

en la Fig. 3, este caso es cuando el punto de prueba estaen la tercera region (P3), la expresion a utilizar es:

α3 = 180 + arctan|ω|

|a− σ|(17)

Con lo anterior, el algortimo se desarrollo para realizaruna evaluacion de la condicion de fase (13) en el areadel plano s, teniendo presente los cuatro casos derivadospara un sistema de primer orden con retardo. Dado quelos puntos de prueba se posicionan en cuatro regionesdiferentes la ecuacion (13) se evalua considerando dichoscasos.

Es importante resaltar que la evaluacion de la condicionde fase (13) no depende de la ganancia del controladork, y esto puede ser visto como una ventaja del metodo,ya que en la formulacion del problema se ilustro que lavariable k complicaba considerablemente el analisis delproblema enunciado.

Una vez que todos los puntos de prueba de la regiondeseable del plano s se han utilizado para el calculo yevaluacion de la condicion de fase (13), se guardan todoslos puntos de prueba que cumplen la condicion de fase,los cuales son las raıces de la ecuacion caracterıstica delazo cerrado. Tales raıces seran utilizadas mas tarde parala construccion del lugar geometrico de las raıces. Elsiguiente paso es obtener la ganancia k asociada a cadaraız. Para esto, se utiliza la condicion de magnitud dadapor:

∣

∣

∣

∣

kN(s)

D(s)

∣

∣

∣

∣

= 1 (18)

En el caso del sistema de primer orden con retardoanalizado anteriormente se tiene:

k =

∣

∣

∣

∣

s+ a

b

∣

∣

∣

∣

s=σ+jω

(19)

Finalmente, para realizar el diagrama de lugar geometricode las raıces se grafican las raıces almacenadas durantela prueba de condicion de fase con su correspondienteganancia proporcional k. Las raıces se trazan dependiendoel valor de k, por ejemplo, las raıces de color rojo sonraıces en intervalo 0 < k < α. Luego las raıces de coloramarillo son raıces obtenidas en el intervalo α < k < β,despues de esto, las raıces de color azul son las raıcesobtenidas en el intervalo β < k < γ, con α < β < γ, yası sucesivamente.

Ahora, abordando el caso de un sistema de segundo ordenretardado, se considera un sistema con un polo estable yuno inestable:

Y (s)

U(s)=

1

(s− a)(s+ b)e−τs (20)

Para este caso, la condicion de fase esta dada por:

∠N(s)

D(s)e−τs = ±180◦(2q + 1) (21)

∠N(s) + ∠e−τs − ∠D(s) = ±180◦(2q + 1) (22)

−57,3◦ωτ − ∠(s− a)− ∠(s+ b) = ±180◦(2q + 1) (23)

∠s− a+ ∠s+ b = ∓180◦ − 57,3◦ωτ (24)

Para la evaluacion de la condicion de fase (24) de estesistema de segundo orden se necesitan las contribucionesde fase de los polos ∠s− a y ∠s+ b, estas dependen de laposicion del punto de prueba dentro de la area del planos. En este sistema se derivan seis casos, en cada caso lasexpresiones para el calculo de angulos de los polos haciael punto de prueba cambian. En la Fig. 4 se observan lasregiones determinadas para cada caso. En comparacioncon un sistema de primer orden retardado tenemos dosregiones mas.

En la Fig. 5 se aprecia que el punto de prueba seposiciona dentro de las regiones 2 y 5, estas regiones estanlocalizadas entre las posiciones de los polos del sistemade segundo orden. El punto de prueba P2 se coloca enla segunda region, dentro de esta region se tienen quecalcular α1 y α2 para poder realizar la evaluacion de (24).Para el punto P5 se debe calcular α3 y α4.

A partir del sistema de primer y segundo orden conretardo considerados en este escrito, se realizo un analisispara entender el comportamiento del numero de casosderivados considerando solo posiciones de polos en el ejereal (σ). El analisis se extendio considerando ceros conposiciones solo en el eje real y se observo que, al teneruna singularidad (polo o cero) en el eje real se derivancuatro casos, donde las expresiones para obtener lascontribuciones de angulos cambian. Al tener una segunda

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Figura 4. Regiones del plano s para un sistema segundoorden.

Figura 5. Puntos de prueba entre los polos del sistema desegundo orden

singularidad sobre el eje real, se derivan seis casos. Si setienen tres singularidades en el eje real se derivaran ochocasos. Considerando solo posiciones de polos y ceros sobreel eje real (σ) se tiene la siguiente expresion:

2(n+m) + 2 = l (25)

donde n es el numero de polos del sistema, m el numerode ceros y l el numero de casos (regiones) derivadospor la posicion del punto de prueba dentro del area delplano s y donde las contribuciones de angulo cambian.Se debe tener cuidado ya que en la condicion de fase, lacontribucion de polos es negativa mientras que la de ceroses positiva.

En la Fig. 6 se presenta un diagrama de flujo del algoritmopropuesto para generar el diagrama del lugar geometricode las raıces para sistemas de primer y segundo orden conretardo.

4. EJEMPLOS

Ejemplo 1. Considere un sistema inestable de primerorden dado por:

Y (s)

U(s)=

1

s− 2e−0,3s. (26)

Con el metodo computacional desarrollado se deben en-contrar los valores que cumplan con la condicion de fase

Figura 6. Diagrama de flujo del algoritmo computacional.

Eje real (σ)-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Eje

imag

inar

io (ω

)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Diagrama LGR primer orden inestable

Figura 7. LGR Sistema de Primer orden con retardo

(8). La Fig. 7 muestra el diagrama de los puntos deprueba que cumplen con la condicion y se concluye queesos puntos son lugar geometrico de las raıces. Ahora, serequieren los valores de las ganancias proporcionales kpara interpretar la estabilidad en lazo cerrado.

De esta manera, al aplicar la condicion de magnitud (18),se obtienen los valores de las ganancias proporcionalesk asociadas a cada punto encontrado. En la Fig. 8, setiene un diagrama de lugar geometrico de las raıces conintervalos de valores k. Estos intervalos permiten teneruna idea del comportamiento del polo en lazo cerrado porla variacion del parametro k, tambien permite obtenerlas ganancias estabilizantes k de un control proporcional.Note que las raıces de color rojo pertenecen al intervalo0 < k < 10, las raıces de color amarillo pertenecenal intervalo 10 < k < 20. Con un cuidadoso analisis

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Eje real (σ)-10 -5 0 5 10 15

Eje

imag

inar

io (ω

)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Ganancias k primer orden inestable

0<k<1010<k<2020<k<3030<k<4040<k<5050<k<6060<k<7070<k<8080<k<9090<k<100

Figura 8. Ganancia proporcionales del sistema de primerorden

Eje real (σ)-6 -4 -2 0 2 4

Eje

imag

inar

io (ω

)

-10

-5

0

5

10

Ganancias k segundo orden inestable

0<k<1010<k<2020<k<3030<k<4040<k<5050<k<6060<k<7070<k<8080<k<9090<k<100

Figura 9. Ganancias proporcionales del sistema de segun-do orden

del diagrama mostrado en la Fig. 8, la estabilidad seencuentra en el intervalo 2 < k < 4.

Ejemplo 2. Se considera un sistema de segundo orden,

Y (s)

U(s)=

1

(s+ 5)(s− 2)e−0,2s (27)

En la Fig. 9 se puede observar el diagrama del lugargeometrico de las raıces obtenido al utilizar el algoritmodescrito, los intervalos de k se establecen por diferentescolores. En este caso, el intervalo de estabilidad de k deun control proporcional es 11 < k < 15.

Ejemplo 3. Para este ejemplo, se considera un sistemainestable de segundo orden con retardo y con un cero,

Y (s)

U(s)=

s+ 2

(s− 0,5)(s− 2)e−0,1s (28)

En la Fig. 10 se presenta el diagrama del lugar geometricode las raıces asociado y se observan los intervalos deganancias k. Para la estabilidad en lazo cerrado se re-quiere que todas las raıces se encuentren en el semi-planoizquierdo del plano s. Por lo tanto, para este ejemplo

Eje real (σ)-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Eje

imag

inar

io (ω

)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80Ganancias k segundo orden inestable

0<k<1010<k<2020<k<3030<k<4040<k<5050<k<6060<k<7070<k<8080<k<9090<k<100

Figura 10. Ganancias proporcionales de un sistema desegundo orden con retardo y un cero.

se tiene una estabilidad del controlador proporcional con4 < k < 12.

5. CONCLUSION

En este trabajo se ilustraron los problemas computacio-nales que se tienen al realizar un diagrama de lugargeometrico de las raıces al considerarse los casos massimples, es decir, sistemas de primer orden y segundoorden retardados. Sin embargo, se propone como trabajoa futuro la generalizacion de un metodo computacionalpara sistemas con retardo con cualquier numero de polosy ceros, el principal objetivo de este desarrollo es disenaruna interfaz para obtener el lugar geometrico de las raıcespara sistemas con retardo. Se expresaron las ideas esencia-les para desarrollar un algoritmo que nos ayude a crear undiagrama del lugar geometrico de las raıces, ası como losposibles problemas que se deben tener presente cuando seconsidere la generalizacion para abordar sistemas de altoorden con retardo.

REFERENCIAS

Baker, G. (2011). PID tuning of plants with time delayusing root locus. Masters Theses. Paper 4036, San JoseState University.

Gouaisbaut, F. and Peaucelle, D. (2006). Stability of timedelay systems with non-small delay. In Proccedings ofthe 45th IEEE Conf. on Decision and control, 840–845.San Diego, CA, USA.

Munz, U., Ebenbauer, C., Haag, T., and Allgwer, F.(2009). Stability analysis of time-delay systems with in-commensurate delays using positive polynomials. IEEETransactions on Automatic Control, 54(5), 1019–1024.

Silva, G.J. and Bhattacharyya, S.P. (2005). PID contro-llers for time-delay systems. Birkhuser, Boston.

Suh, I.H. and Bien, Z. (1982). A root-locus techniquefor linear systems with delay. IEEE Transactions onAutomatic Control, 27-1, 205–208.

Wang, Z. and Hu, H. (2008). Calculation if the rightmostcharacteristic root od retarded time-delay systems vialambert w function. Journal of Sound and Vibration,318, 757–767.

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