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ANALISIS MATEMATICO

APLICADO

profesores Candelero-Di Baja

Guía de Ejercicios con

Aplicaciones Económicas

2015

2

INDICE

FUNCIONES 3

LIMITES 15

CONTINUIDAD 25

DERIVADAS 28

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO 42

FORMULAS DE TAYLOR Y MAC LAURIN 45

CLASIFICACION DE FUNCIONES, EXTREMOS 48

INTEGRALES INDEFINIDAS 57

INTEGRALES DEFINIDAS 64

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 68

DERIVADAS PARCIALES 72

EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 87

3

Análisis Matemático Aplicado.

Guía de Ejercicios de Funciones.

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1) x

1x)x(f

2)

3x

1xln)x(f

3) )xln(2x)x(f

4) 1xln)x(f 2

5) 4x

6x2x)x(f

2

2

6) 5x6

2x)x(f

7) 3 x6

10x)x(f

8) )3x(ln

)xln()x(f

2

9) x2)x6()x(f

10)

x

x

11ln)x(f

11) x2e

1)x(f

4

Respuestas:

1) RDf

2) ),3()1,(Df

3) ,2Df

4) RDf

5) 2,2RDf

6) ,2Df

7) ,10Df

8) ),0(Df

9) 6RDf

10) ,01,Df

11) RDf

Graficar en el plano de coordenadas las siguientes funciones lineales:

1) 2x6)x(f

2) 7x)x(f

3) 43

x)x(f

4) 2x)x(f

5) 14

x3)x(f

5

6) 6x6y6

7) 2x3y2

8) 1x24

y

9) 3x42

y

10) 5

1x

5

7)x(f

11)

0x si 3

0x si 3x)x(f

12)

0x si 1x3

0x si 1x)x(f

13)

2x si 4x

2x2 si x

2x si 3

)x(f

14)

5x si 6x

5x0 si 1

0x si 1x3

)x(f

Graficar en el plano de coordenadas las siguientes funciones módulo:

1) 1x)x(f

2) 5x)x(f

3) 2x)x(f

6

4) 4x)x(f

5) 1x)x(f

6) 5x)x(f

7) 12x)x(f

8) 23x)x(f

9) 2x4)x(f

10) 5x6

11) 3

4x)x(f

12) 2

3x)x(f

Graficar las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas:

1) 2xe)x(f

2) 1xe)x(f

3) 2xe)x(f

4) )1xln()x(f

5) )x(ln)x(f 2

6) 2xln)x(f

7

7) x

)xln()x(f

8) x

e)x(f

x

9) 1)xln()x(f

10) 1)xln()x(f

Graficar las siguientes funciones cuadráticas:

1) 3x)x(f 2

2) 1x2)x(f 2

3) 1x)x(f 2

4) 3x2x)x(f 2

5) 2)2x()x(f

6) 2)3x()x(f

7) 2)1x()x(f 2

8) 2x6)x(f 2

9) 1x3)x(f 2

10) x3x)x(f 2

8

Graficar las siguientes funciones homográficas:

1) 2x

2x)x(f

2) 3x

16)x(f

3) 22 9x

3x)x(f

4) 1x

52)x(f

5) 3x4

8x6)x(f

6) 8x

83)x(f

7) 3x

3x3)x(f

8) x

9)x(f

9) x7

10)x(f

10) x1

5)x(f

11) 2x

8)x(f

12) 2x2

64)x(f

9

Graficar las siguientes funciones trigonométricas:

1) )x3(sen)x(f

2) 2

)x2cos()x(f

3) )x(sen)x(f 2

4) )x2cos()x(f

5) )x4(tg)x(f

6) )x2sec()x(f

7) )x3(eccos)x(f

8) 2

)x2(sen)x(f

9) 2

)x2(tg)x(f

10) )x(cos)x(f 2

Ejercicios de aplicaciones económicas:

1) La función de costos de una empresa se puede obtener sabiendo que sus

costos fijos son de $20 y la producción de un artículo cuesta $7. Además la

función ganancia tiene un comportamiento lineal; sin producir la empresa

pierde $20 y produciendo 10 unidades la empresa gana $10

a) Escriba la función de ingreso.

b) Encuentre el punto de equilibrio.

c) ¿A partir que de qué producción la empresa es rentable?

10

2) La ganancia trimestral, en miles de pesos, de la empresa “Informática y

más” está representada por una función cuadrática, cuyo vértice es el par

4

267,

2

21 y tiene una ganancia de $30 sin producir ninguna unidad.

a) Encontrar una expresión para la función ganancia y graficarla.

b) Realizar el análisis económico correspondiente a la misma.

c) Determinar la cantidad que “Informática y más” debería producir para

obtener una ganancia trimestral máxima.

d) ¿Cuál es la máxima ganancia trimestral que puede lograr la empresa.

3) Dos fábricas tienen funciones de costo )q(Cy)q(C 21 respectivamente (a

continuación se muestran las gráficas de estas funciones).

a) Modelizar las funciones de costo.

b) ¿Cuál de las dos fábricas tiene mayor costo fijo?

c) ¿Cuál de las dos fábricas tiene mayor costo variable?

d) ¿Qué interpretación económica se ve antes y después del punto de

equilibrio entre ambas gráficas?

4) Los ingresos, en miles de pesos, totales de la empresa Apolo por la venta de

agendas están dados por una función cuadrática donde los ingresos son nulos

si no se produce ninguna agenda y toman un valor máximo de $625 000 si se

venden 2500 agendas.

11

El costo de venta está representado por la siguiente función:

( )

a) Determinar la función de Ingreso.

b) Determinar la función de Ganancias totales.

c) ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 1500 unidades cada mes?

d) ¿A partir de qué nivel de ventas la empresa es rentable?

5) A continuación se muestran las gráficas de las funciones de costo y de

ingreso de una fábrica de quesos.

Determinar:

a) Las funciones de costo, ingreso y ganancia.

b) Punto de equilibrio.

c) Interpretación económica de los resultados.

6) Una empresa tiene las siguientes funciones de costo q324)q(C y de

ingreso q5)q(I .

a) Escriba la función de ganancia y encuentre el punto de equilibrio.

b) Grafique las funciones de costo, ingreso y ganancia.

c) Interprete económicamente las tres funciones.

x

y

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

0

10

20

30

40

50

60

70

12

7) Una empresa tiene costos fijos de $3500 y la producción de cada artículo

cuesta $50.

a) Escriba la función de costos de esta empresa (supóngala lineal).

b) ¿Qué significa la pendiente de esta función?

c) ¿Qué cantidad cuesta producir 1200 artículos?

8) Un banco paga 8% anual. Si se depositan $2500.

a) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza anualmente?

b) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza semestralmente?

(Utilizar fórmula de interés compuesto capitalizable en un período).

9) El precio de un automóvil se devalúa en 22,5% cada año. Si cuando sale el

automóvil a la venta tiene un precio de $145000,

a) Escriba una función que dé el precio del automóvil como función del

número t de años transcurridos después de haber salido a la venta.

b) ¿Cuánto costará el automóvil después de 3 años?

10) Encontrar gráfica y analíticamente el punto de equilibrio si las ecuaciones

de oferta y demanda de un producto son respectivamente:

1040

qp

q

8000p

11) Sea 1q

100p la función de demanda de cierto fabricante.

a) Graficar la función de demanda.

b) Determinar el dominio y la imagen en términos económicos.

c) ¿Puede ser que la demanda sea cero? ¿Qué pasa con el precio cuando hay

muy poca demanda?

12) La función de demanda de un producto viene dada por 5q

1000p

,

a) Determinar la función de ingreso y graficarla.

b) Determinar dominio e imagen en términos económicos.

c) Determinar cuál será el ingreso si vende 10 unidades.

d) Es posible que halla un ingreso igual o mayor que $1000.

13

13) Las siguientes son las funciones de oferta 1q)q(Op y de demanda

1q

400)q(Dp

de un determinado producto.

Encontrar en forma gráfica y analítica el punto de equilibrio.

Respuestas

1) a) I(q) = 10q

b) q = 20/3 I = C = $200/3

c) q > 20/3

2) a) 4

267

2

21q

3

1)q(G

2

c) q = 21/2

d) G = 267/4

3) a) C1(q) = 3q + 10 C2(q) = 8q + 5

b) C1(q)

c) C2(q)

4) a) q5000q10

1)q(I 2

b) G(q) = – 0,000003q3 – 0,07q

2 + 300q

c) G(1500) = $282375

d) q > 3699,24

5) a) I(q) = 2q 40q3

2qC 40q

3

4)q(G

b) Peq =(30, 60)

6) a) G(q) = 2q – 24 Peq = (12, 60)

7) a) C(q) = 50q + 3500

b) Costo unitario

c) C(1200) = $63500

8) a) M = $5397,31

b) M = $5477,81

14

9) a) P(t) = 145000(1 – 0,225)t

b) P(3) = $67495,23

10) Peq = (400, 20)

11) b) q > 0 p > 0

12) a) ( )

b) q > 0 I(q) > 0

c) I(10) = $666,67

d) No

13) Peq = (19, 20)

15


Guía de Ejercicios de Límites.

Calcular los siguientes límites y graficar:

1) xlim0x

2) )x(flim1x

con

1x si

7x

2

1x si x3

)x(f

2

3a) )x(loglim a0x

3b) )x(loglim ax

4a) x

xalim

si 0 < a < 1 4b)

x

xalim

si a > 1

Respuestas:

1) 0)x(flim0x

0)x(flim0x

2) 3

1)x(flim

1x

2)x(flim1x

3a) 3b)

4a) 0 4b)

Calcular los siguientes límites laterales:

1) x

2lim

0x

2) x

x2lim

3 4

0x

16

3) 2x x

2lim

4) x

x3lim

5) x1

0x e1

1lim

6) x

)x(senlim

0x

7) 32

12lim

x

x

x

8) x1

x1

0x 32

31lim

9) x1

x1

0x 53

25lim

Respuestas:

1) 2) 3) 0 4) 0 5) 1

6) 1 7) 3

1 8)

2

1 9) 1

Verificar los siguientes límites correspondientes a indeterminaciones 0

0:

1) 12x2

1xlim

2

1x

2) 4

5

4x

6xxlim

2

2

2x

17

3) 8

5

16x

4x3xlim

2

2

4x

4) 5

2

5x10

1x4lim

2

21x

5) 3

4

4x4x

4xlim

2

2

2x

6) 2

3

8x6x

2x3x3xlim

2

23

2x

7)

10

2x.x

2x.6xxlim

2

2x

8) 2x

x2x3lim

2

0x

9) 9

2

273x

9xlim

2

3x

10) 6

3

32

1

3x

3xlim

3x

11) 16

2

28

1

4x

x2lim

22x

12) 1x

x1x1lim

0x

13) 2

1

x

1x1lim

0x

14) 01x

1x33xlim

1x

18

15) 4x11x

x2lim

20x

16) 40

1

25x

1x2lim

25x

17) 8

9

31x4

2xxlim

2x

18) 0x

xaalim

22

0x

19) a3ax

aaxxlim

ax

20) 56

1

49x

3x2lim

27x

21) 12x

8)x2(lim

3

0x

22) b2x

b)xb(lim

22

0x

Verificar los siguientes límites correspondientes a indeterminaciones

:

1) 1x

x2lim

2

3

x

2) 01x4x3

2x5lim

2x

3) 3

7

1x3

x2x7lim

5

35

x

19

4) 2x5x

2xx3lim

2

42

x

5)

5

2

1x5

x5x).x23(lim

3

2

x

6) 11xx

xxxxlim

2

22

x

7) 3

x

1

x

1x

3

x

3

lim

2

2

x

8) 3

2

2x).1x3(

1x2).x1(lim

2

2

x

9) 1bax

baxlim

4

4

x

10) 1x2x

2xlimx

11) 122

22lim

xx

xx

x

12) 133

33lim

xx

xx

x

Verificar los siguientes límites de indeterminaciones :

1)

5x51xlimx

20

2) 2

ax)ax.(xlim

x

3) 1xxxxlimx

4) 42x

1x

2x

1xlim

22

x

5)

x2xlim 2

x

6) 01x2xlim 22

x

7) 2

31x3xxlim 2

x

8) 0x5xlimx

9) 1xx2xlimx

10) 2

1

1x

2

1x

1lim

2x

Verificar los siguientes límites correspondientes a indeterminaciones 1 :

1) 23

1x

xe

x2

31lim

2) 4

x4

xe

2x

11lim

21

3) 3

21x3

xe

1x

31lim

4) 6

x3

xe

x

21lim

5) 4xx1

0xex41lim

2

6) 2x1

0xex21lim

7) 21x611

0xex31lim

8)

1x

x

2

3x2

5x2lim

9) 0x2x

3xlim

2x

2

2

x

10) 341x

2x

xe

4x3

x3lim

2

Verificar los siguientes límites trigonométricos:

1) 3

5

)x3(sen

)x5(senlim

0x

2) 0x

)x(senlim

2

0x

3) 3

2

x3

)x2(tglim

0x

22

4) 2

1

x

)xcos(1lim

20x

5) 2)xcos(1

)x(sen.xlim

0x

6) 2)x(sen1

)xcos(lim

2x

7)

1x1sen.x

1limx

8) 9x

3sen.x3lim

x

9) 2

1)x4(eccos).x2(tglim

0x

10) 0x3

)x2(senlim

0x

Calcular dominio y asíntotas de las siguientes funciones:

1) 4x3x

xx)x(f

2

2

2) 9x

3x)x(f

2

2

3) 2x

x2x)x(f

2

4) 1x

x)x(f

2

23

5) 9x9

1x3x3)x(f

2

3

6) 3 2 4x

x2)x(f

7) 4x

1x2)x(f

2

8) 1e)x(f x

Respuestas:

1) Df = – {–1, 4} AH: y = 1 AV: x = 4 x = –1

2) Df = – {–3, 3} AH: y = 1 AV: x = –3 x = 3

3) Df = – {2} AV: x = 2 AO: y = x + 4

4) Df = AH: y = 0 AV: no

5) Df = – { –1, 1} AO: y = x3

1 AV: x = 1 x = –1

6) Df = – {–2, 2} AH: no AV: x = 2 x = – 2

7) Df = ) ,2()2 ,( AH: y = 2 y = –2 AV: x = 2 x = – 2

8) Df = AH: y = – 1 AV: no


1) La empresa Supercable comenzó recientemente su servicio de TV por cable

en la ciudad de Metrópolis. Sobre la base de experiencias pasadas en ciudades

similares, se estimó que el número de suscriptores al cabo de x meses está

24

dado por la función:

6x

x250)x(N

a) Calcular la cantidad de suscriptores al cabo de 24 meses.

b) Estimar el número de suscriptores al cabo de un número muy grande de

meses.

2) La función de costo en pesos para una tienda de yogur congelado está dada

por:

4q

400q400)q(C

Calcular el costo cuando la cantidad de yogur fabricada es muy grande.

3) La función de demanda de un producto está dada por:

5p

1000)p(D

a) ¿Cuál es la demanda cuando el precio tiende a cero?

b) ¿A cuánto tiende la demanda cuando el precio es muy alto?

Respuestas

1) a) N(x=24) = 200

b) N(x) = 250

2) C(q) = 400

3) a) D(p=0) = 200

b) D(p) = 0

25


Guía de Ejercicios de Continuidad.

Analizar y clasificar la continuidad de las siguientes funciones:

1) x12x7x

12x9x3)x(f

23

2

2) x121)x(f

3)

6x si 6

1

6x si 33x

6x

)x(fx5

4)

7x si 2

7 xsi 7x

x49

)x(f

2

5) 1x

3x)x(f

2

6) x4

x9)x(f

2

7) x

16)x(f

8) x3e)x(f

9) )xcos(5

x)x(f

2

10) )xsgn()x(f

26

11)

3 xsi 0

3 xsi 9x

27x

)x(f 2

3

12) x1x10)x(f

Respuestas:

1) Discontinua no evitable con salto en x = 0 y x = 3

Discontinua evitable en x = 4

2) Discontinua no evitable con salto en x = 0

3) Continua

4) Discontinua evitable en x = 7

5) Discontinua no evitable con salto en x = 1 y x = –1.

6) Continua x –3, 3 (4, )

7) Continua x 1/6, )


9) Continua

10) Discontinua no evitable con salto finito en x = 0

11) Discontinua evitable en x = 3

Discontinua no evitable con salto en x = –3


27

Determinar los valores de a y b para que las siguientes funciones resulten

continuas:

1)

3 xsi ax

3 xsi x)x(f

2

2)

2 xsi 1x

2 xsi b

2 xsi 4ax3

)x(f

2

Respuestas:

1) a = 3

2) a = –1/6 b = 3

28


Guía de Ejercicios de Derivadas.

Calcular las siguientes derivadas por definición:

1) 1x3y

2) xy

3) 1xy 2

4) 2x3x2y

5) 3x2y

6) )2xln(y

7) x2ey en x = 1

8) x32y en x = –1

9) x2y en x = 4

Respuestas:

1) 3)x('f

2) x2

1)x('f

3) x2)x('f

4) x62)x('f

5) 2x6)x('f

29

6) 2x

1)x('f

7) 2e2)x('f

8) )2ln(8

3)x('f

9) 2

1)x('f

Hallar la derivada primera de cada una de las siguientes funciones:

1) 2)xln(5x4y

2) 32 x2)x(sen3xy

3) )aln(x6,0x22

xy 42

3

4) 4x3)2ln()xln(3y

5) x3)3ln(x)x(seny

6) )xln(xy 3

7) )xcos(xy 2

8) 3x3)xcos()x(seny

9) 3x

)x(seny

10) 1x

)xln(y

2

30

11) )xln(

xy

12)

1x

23y

x

13) x

)xln(xy

14) )x(sen1

)xln(x5y

15) x1

x1y

16) )x(cos1

x21y

2

17) 9x

x3y

2

18) 3 5 1x2xy

19) x2x2 3

ey

20) 5 2x2 ax ay

21) ax

baxxy

2

22)

3

2x

bx1

bxe1lny

31

23)

x2

1xseny 3

24) 1xln)x2(serny

25) 1xlnay 2x

26) x2seney x2

27) )acos()x2cos()xln()baln(y

28) )xln(2xx 2

33seny

Respuestas:

1) x

5

x

2'y

2) 3 2x3

2)xcos(3x2'y

3) 32 x4,2x4x2

3'y

4) 3x12x

3'y

5) x2

3)3ln()xcos('y

6) 22 x)xln(x3'y

7) )x(senx)xcos(x2'y 2

8) 23232 x9)xcos()x(senx3)x(senx3)x(cos'y

32

9) 6

23

x

x3)x(senx)xcos('y

10)

22

2

1x

x2)xln(1xx

1

'y

11) 2)xln(

x

x

x2

)xln(

'y

12) 1x

1x2

2.31x)2ln(2.3

'y

xx

13)

x

x2

1)xln(xx1)xln(

'y

14)

2)x(sen1

)xcos()xln(x5)x(sen15)xln(5'y

15) 22 )x1(

2

)x1(

)x1()x1('y

16)

22

2

)x(cos1

)x(sen)xcos(2)x21()x(cos12'y

17) 9x

9x

x39x3

'y2

2

22

18) 2x53

11x2x'y 4325

33

19) 2x6e'y 2x2x2 3

20) x2axaax)aln(a2'y542x25 2x2

21)

2

221

2

)ax(

baxx)ax)(ax2(

ax

baxx

2

1'y

22)

2x

2xx

bxe1)bx1(3

bxe1b)bx1(bx2e'y

23) 2

2

x2

1

x2

1xcos

x2

1xsen.3'y

24) 1x2

1

1x

1)x2(sen1xln2)x2cos('y

25) 1x

x)xln(a

1x2

x2

1x

1)xln(a'y

2

x

22

x

26) x22

2x2cosex2sene2'y x2x2

27) )x2(sen2x

)baln('y

28)

x

2x3)3ln(3)3ln(3 3cos'y 2)xln(2xxx 3

Calcular las siguientes derivadas logarítmicas:

1) xxy

2) xxy

34

3) )xln(xy

4) x3)x2(seny

5) 2xaln3xy

6) )x(sen)xln(y

7)

x1

x

1y

8) xx10y

9) 1x2

x2y

Respuestas:

1) 1)xln(x'y x

2) xx x

x)xln(

x2

1'y

3) )xln(

xx2

)xln(

x

xln'y

4) x3)x2(sen

)x2(sen

)x2cos(x6)x2(senln3'y

5) 2xaln3

2

2x

x

xaln3

xa

)xln(x6'y

6) )x(sen)xln(

)xln(x

)x(sen)xln(ln)xcos('y

35

7) x1

22 x

1

x

1

x

x1ln

8) xxxxx 10)10ln(x210)10ln(x10ln'y

9) 1x2

2

)x2(x

1.x)x2ln(x2'y

Calcular las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones:

1) 323 x3

1xcos)x(f

2) )x(tglog)x(f

3) 1x2

x)x(f

2

4) 2x2e)x(f

5) )xln(2xa)x(f

6) )x(cos)x(f 2

Respuestas:

1) 323 x3

1xcos)x('f

3533232

3 x9

2xcos

3

x

3

xxsen)x(''f

2) )xcos()x(sen

)elog(

)x(tg

)elog()x(sec)x('f

2

36

222

)xcos()x(sen

)elog()x(cos)x(sen)x(''f

3) 2

2

1x2

x2x2)x('f

3

2

4

22

)1x2(

x2x24)1x2)(2x4(

)1x2(

2)1x2(2x2x2)1x2)(2x4()x(''f

4) x4e)x('f2x2 1x4e44ex4x4e)x(''f 2x2x2x2 222

5) x

2

x2

a)x('f

2

23

x

2x

4

a)x(''f

6) )x(sen )x(cos3)x('f 2 )x(cos3)x(sen)xcos(6)x(''f 32

Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las siguientes

curvas en los puntos indicados:

1) 3x4x)x(f 2 en x = 3

2) 4x2x)x(f 23 en x = 2

3) 16x)x(f 2 en x = 5

4) 3 21x)x(f en x = 2

5) x4)x(f en x = 1

6) )xcos()x(f en x = 0

37

Respuestas:

1) Recta tangente: 6x2y Recta normal: 2

3

2

xy


9

4

xy

3) Recta tangente: 3

16

3

x5y Recta normal: 6

5

x3y

4) Recta tangente: 3

16

3

x5y

Recta normal: 6

5

x3y


15

4

xy

6) Recta tangente: 1y Recta normal: 0x

Determinar en que puntos es la recta tangente paralela al eje x en los

ejercicios anteriores:

Respuestas:

1) x = 2

2) x = 0 y x = 4/3

3) no

4) no

5) no

6) x = k. / k

38

Ejercicios de aplicaciones económicas

1) El costo total de un producto está dado por la ecuación:

C(x) = 50 + 60x – 12x2 + x

3

siendo x la cantidad producida. Determinar si existe costo fijo, y cuál es el

costo mínimo.

2) El beneficio de cierta industria está dado por:

B(x) = 230 +20x – 0,5x2

donde x es el gasto en publicidad. ¿Qué cantidad de publicidad produce el

máximo beneficio?

3) Dada la siguiente ley de demanda de un producto: x9)x(P

donde x es la cantidad demandada y P(x) es el precio unitario del bien:

a) hallar la función ingreso del producto.

b) hallar el valor de x para el cual el ingreso es máximo.

4) La función demanda de un producto es: 4p

25x

Determinar la elasticidad de la demanda.

5) Sea la función demanda: p2500x . Calcular la elasticidad de la

función demanda indicando si la misma es elástica, inelástica o unitaria.

6) El costo de producir x unidades de un cierto artículo viene dado por:

x80x2 2

e20100)x(C

Indicar los intervalos de decrecimiento y hallar cuántas unidades deben

producirse para que el costo sea mínimo.

7) Un minorista de bicicletas analiza los costos anuales de comprar, poseer y

mantener el número de unidades de cada pedido de bicicletas que coloca. El

39

costo anual viene dado por:

750000q15q

4860)q(C

donde q es el número de bicicletas ordenadas cada vez que el minorista repone

la oferta.

a) Determinar el tamaño del pedido que minimice el costo anual de inventario.

b) ¿Cuál se espera que sea el costo mínimo anual de inventario?

8) Obtener la elasticidad de la función de demanda 100

2I)I(D

con respecto

al ingreso I, y calcular dicha elasticidad par un ingreso I = 18.

9) La función de demanda de un cierto producto es: 100q3

1)q(Dp

Calcular la elasticidad para q = 100.

10) La demanda de x unidades de cierto producto de consumo viene dada por:

x212000)x(p . Hallar las funciones demanda marginal, ingreso total e

ingreso marginal.

11) Determinar las funciones de costo marginal y costo total para la siguiente

función de costo medio: 2Me x2x35

x

160)x(C

12) El costo total de una empresa esta dado por:

12000x10x001,0)x(C 2T

Se desea conocer el costo total, el costo medio y el costo marginal para una

producción de 1000 unidades del producto.

Respuestas:

1) El costo fijo es de $50; no existe costo mínimo.

2) El máximo beneficio se produce cuando x = 20.

40

3a) La función ingreso es x9x)x(I

3b) El ingreso es máximo para x = 6.

4) La elasticidad es: 4 x

y'x

5) )p2500(2

p

con p 2500

Si 3

5000p entonces la elasticidad es unitaria ( = 1) .

Si 3

5000p la elasticidad es inelástica ( < 1)

Si 3

5000p la elasticidad es elástica ( > 1)

6) C(x) decrece en el intervalo (0, 20) y crece para x > 20. En x = 20 C(x) es

mínima.

7a) El costo se minimiza cuando se piden 18 bicicletas

7b) El costo mínimo de inventario es C(18) = $750.540

8) 2I

I

para I = 18 = 0,9

9) 18

3

8

3 la demanda es inelástica

10) La demanda marginal es: x21200

1'p

El ingreso total es: x21200x)x(IT

41

El ingreso marginal es: x21200

xx21200)x('I)x(IMar

11) 2Mar x6x65)x('C)x(C CT(x) = 160 + 5x – 3x

2 + 2x

3

12) 3000)1000(CT 3)1000(CMe 8)1000('C)x(CMar

42


Guía de Ejercicios de Teoremas del Valor Medio.

Resolver los siguientes ejercicios:

1) Hallar x0 tal que cumpla las condiciones del teorema de Rolle

a) 2xx23)x(f en el intervalo –2, 4

b) 10x4x)x(f 34 en el intervalo –2, 4

c) 1x3x)x(f 23 en el intervalo –1, 2

2) Hallar x0 tal que cumpla las condiciones del teorema de Lagrange

a) 1x

x2)x(f

2 en el intervalo –1, 3

b) 1x)x(f en el intervalo 1, 3

c) x9x6x8)x(f 23 en el intervalo 1, 4

d) xe)x(f en el intervalo 0, 1

3) Hallar x0 tal que cumpla las condiciones del teorema de Cauchy

a) 4x2x)x(f 3 x2)x(g en el intervalo 0, 2

b) 2x1)x(f

3x)x(g en el intervalo 2, 4

c) xx)x(f 2 3x)x(g en el intervalo 0, 3

Respuestas:

1a) x0 = 1

43

1b) x0 = 3

1c) x0 = 0

2a) 2

657x0

2b) 2

3x0

2c) 4

931x0

2d) x0 = ln(e – 1)

3a) 3

4x0

3b) 9

28x0

3c) 2

3x0

Verificar los siguientes límites aplicando la regla de L’Hospital:

1) 2)x(senx

x)x(tglim

0x

2) 1ee

eelim

xx

xx

x

3) 2

1

1x

1

1x

2lim

21x

4) 0)xln(.xlim0x

44

5)

2

2

xtg).x1(lim

1x

6) 1x1

1

1xexlim

7) 61

0xe

)x(senx

x)x(tglim

8) 1xlimx12

x

9)

81xln

1xlnlim

22

x

10) 0)xln(.x

)xln(xlimx

45


Guía de Ejercicios de Formulas de Taylor y Mac Laurin.

Desarrollar según Taylor los siguientes polinomios en las potencias

indicadas:

1) P(x) = x2 + 2x + 3 en potencias de (x + 1)

2) P(x) = x3 + 2x

2 – 3x + 1 en potencias de (x – 2)

Respuestas:

1) P(x) = (x + 1)2 + 2

2) P(x) = (x – 2)3 + 4(x – 2)

2 + (x – 2) – 5

Desarrollar según Taylor las siguientes funciones en los puntos indicados

y hasta el orden de derivación señalado:

1) x

1)x(f

c = 1

n = 4

2) x)x(f c = 1 n = 3

3) 2)1x(

1)x(f

c = 2 n = 3

4) )xln()x(f c = e n = 4

Respuestas:

1) c432 T)1x()1x()1x()1x(1

x

1

2) c32 T)1x(

16

1)1x(

8

1)1x(

2

11x

46

3) c32

2T)2x(4)2x(3)2x(21

)1x(

1

4) c4

4

3

3

2

2T)ex(

e4

1)ex(

e3

1)ex(

e2

1)ex(

e

11)xln(

Desarrollar según Mac Laurin (c = 0) las siguientes funciones hasta el

orden de derivación señalado:

1) 2)1x(

1)x(f

n = 3

2) )x(sen)x(f n = 4

Respuestas:

1) c32

2Tx4x3x21

)1x(

1

2) c

3

T!3

xx)x(sen

Desarrollar según Taylor las siguientes funciones en los puntos indicados

y hasta el orden de derivación señalado:

1) 3x)x(f c = 1 n = 3

2) x3e)x(f

c = 2 n = 3

Respuestas:

1) c32 T)1x(

512

1)1x(

64

1)1x(

4

123x

47

2) c362666x3 T)2x(e

2

9)2x(e

2

9)2x(e3ee

Desarrollar según Mac Laurin la siguiente función hasta el término que

contenga x3:

1) )x2ln()x(f

Respuesta:

1) c

32

T24

x

8

x

2

x)2ln()x2ln(

48


Guía de Ejercicios de Clasificación de Funciones.

Determinar la paridad de las siguientes funciones:

1) 3 2 5x)x(f

2) 12x6

10x5x)x(f

2

3) x5x)x(f 3

4) x6x

1)x(f

5) xx18)x(f 2

6) xx6

9x6)x(f

3

7) x5x)x(f 2

8) 2)2x()x(f

9) 3x

1)x(f

10) 6x5

3x2)x(f

11) xe)x(f

12) x2e

1)x(f

49

Respuestas:

1) Par

2) No par, no impar

3) Impar

4) Impar

5) No par, no impar

6) No par, no impar

7) No par, no impar

8) No par, no impar

9) No par, no impar

10) No par, no impar



Hallar las intersecciones con los ejes de las siguientes curvas:

1) 2x5x3)x(f 2

2) 2xx6)x(f

3) )3x8ln()x(f

4) x2xx)x(f 23

5) 1xxx)x(f 23

6) 6x5

4)x(f

7) 1xe)x(f

8) 3x)x(f 3

9) )1xln()x(f

10) 4x)x(f

50

Respuestas:

1) P1 = (1/3, 0) P2 = (–2, 0) P3 = (0, –2)

2) P1 = (0, 0) 0 ,6P 32

3) P1 = (–1/4, 0) P2 = (0, ln(3))

4) P1 = (0, 0) P2 = (1, 0) P3 = (–2, 0)

5) P1 = (1, 0) P2 = (0, –1)

6) P1 = (0, 6) P2 = (15/2, 0)

7) P = (0, 1/e)

8) P1 = (0, 3) P2 = (–31/3

, 0)

9) P = (0, 0)

10) P = (4, 0)

Hallar las intersecciones entre las siguientes curvas:

1) 2x3)x(f 6x)x(g 2

2) x2x)x(f 3 x2x)x(g 2

3) 3x6)x(f 2x8)x(g

4) 2x)x(f 4x)x(g

5) 1x)x(f 2 2)x(g

6) xe)x(f 1x)x(g

7) )xln()x(f 1x)x(g

8) 1x)x(f 3 1x)xa(g 2

9) x)x(f 2x)x(g

10) 6)x(f )xln()x(g

51

Respuestas:

1) P1 = (1, 5) P2 = (–4, –10)

2) P1 = (0, 0) P2 = (1, 3) P3 = (–2, 0)

3) P1 = (–5/2, –18)

4) No existe intersección

5) 2 ,3P1 2 ,3P2

6) P1 = (0, 1)

7) P1 = (1, 0)

8) P1 = (0, 1) P2 = (1, 2)

9) P1 = (0, 0)

10) P1 = (36, 6)

Determinar el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en

los puntos que se indican:

1) xe)x(f en x = –1

2) x3x)x(f 3 en x = 2

3) 3x2)x(f en x = –1

4) 1)xln()x(f en x = e

5) 3 2x)x(f en x = 3

6) )x3(sen)x(f en x =

7) )x(cos)x(f 2 en x = /2

8) 2x3x2x)x(f 34 en x = –4

9) 5x7

2x6)x(f

2

en x = 2

52

10) 2x

3x9)x(f

en x = 4

Respuestas:

1) Creciente

2) Creciente

3) Creciente

4) Creciente

5) Creciente

6) Decreciente

7) f (x) = 0 (punto cuspidal)

8) Decreciente

9) Decreciente

10) Decreciente

Determinar, si existen, los extremos relativos de las siguientes funciones:

1) 23 xx)x(f

2) 2)x3()x(f

3) 24 xx)x(f

4) 2)x6()x(f 2

5) x

)xln()x(f

6) x9x6x3

4)x(f 23

7) 4x

x5)x(f

8) 2x7)x(f

53

9) 2e)x(f 4x

10) 1xe)x(f

Respuestas:

1) Max en (0, 0); Min en

27

4 ,

3

2

2) Min en (3, 0)

3) Max en (0, 0); Min en

4

1 ,

2

1; Min en

4

1 ,

2

1

4) Min en (6, 2)

5) Max en

e

1 ,e

6) No existen extremos


8) Max en (0, 7)



Determinar, si existen, puntos de inflexión en las siguientes funciones:

1) 2x)x(f 3

2) 3x

1)x(f

3) 24 xx)x(f

4) 2)x6()x(f 2

54

5) 2xln

x)x(f

6) x3x4x)x(f 23

Respuestas:

1) PI1 = (0, –2)

2) No existen PI

3)

36

5 ,

6

1PI1

36

5 ,

6

1PI2

4) No existen PI

5)

2

e ,ePI

22

1

2

e ,ePI

22

2

6)

27

236 ,

3

4PI1

Determinar los intervalos de concavidad de las siguientes funciones:

1) 1x)x(f 2

2) 1x)x(f 3

3) x4x)x(f 3

4) 2x

7)x(f

5) 1x)x(f

55

6) )x(sen)x(f

7) )xln()x(f

8) x

e)x(f

x

9) 2x

4x)x(f

2

10) 34 xx)x(f

Respuestas:

1) Cóncava hacia abajo en todo

2) Cóncava hacia abajo en todo

3) Cóncava hacia abajo x < 0; cóncava hacia arriba x > 0

4) Cóncava hacia arriba en (–, –2); cóncava hacia abajo en (–2, +)

5) Cóncava hacia abajo x –1

6) Cóncava hacia abajo en (0, ); cóncava hacia arriba en (, 2)

7) Cóncava hacia arriba x > 0

8) Cóncava hacia abajo en (–, 0); cóncava hacia arriba en (0, +)

9) No tiene concavidad (es una línea recta con una discontinuidad)

10) Cóncava hacia arriba en (–, 0); cóncava hacia abajo en (0, 1/2); cóncava

hacia arriba en (1/2, +)


1) Dada la función de demanda de una empresa 0p290q y la función

56

costo 125q120q5,39q)q(C 23 . Se pide determinar el nivel de

producción que:

a) maximiza el ingreso total.

b) minimiza el costo marginal.

c) maximiza el beneficio.

2) Una empresa tiene una función de demanda 22 – 0,5q – p = 0 y la función

de costo 90q50q85q3

1)q(C 23 . Determinar el nivel de producción

que maximice:

a) el ingreso total.

b) el beneficio total.

3) Sabiendo que la ecuación de demanda de cierto artículo es q + 80p = 800 a) Hallar la función de ingreso.

b) Determinar el ingreso adicional por producir en lugar de 80 unidades, 81

unidades.

c) Determinar la función de ingreso marginal y evaluarla en q = 80.

d) ¿Qué conclusión puedes sacar?

Respuestas:

1) a) q = 45

b) q = 13,17

c) q = 26,93

2) a) q = 22

b) q = 168,83

3) a) 2q80

1q10)q(I

b) 880

639

c) I(80) = 8

57


Guía de Ejercicios de Integrales Indefinidas.

Resolver las siguientes integrales por descomposición:

1) Cx4)xln(x3

1dx

x3

x43x 331

2)

C)xln(

5

3edx

x5

3e xx

3) Cx7

3x

9

2adx xax

3 793 47

4) Cxa24e3)aln(

a2dx xa6e3a2 412x

x452xx

5) Cx5

2x

3

4

7

xdx xxx4x 2523

76

6) C)xcos(5)x(sen23

axdx )x(sen5)xcos(2ax

34

7) Cx5

4x

3

4xdxx21 5322

8) C)2ln(x)x(sen3dx )2ln()xcos(3

9) C6

x

x

8x

7

2dx x

x

8x2

675

2

6

10) Cx12

9x

2

3)xln(

2

1dx

x2

x9x31 66

58

11) Cxa8xa6ax24

xdxa2x 3223

43

12) Cx43

xdx )2x)(2x(

3

13) Ca1

)ax(dx)ax(

a11a1

14) Cx)xln(14x5

2dx 1x7xx2 2523

15) C)x(tg)xsec(ln)xcos(lndx)xcos(

1)x(sen

16) C2

x

3

xdx

2x3x

x2xx2x 23

2

234

17)

Cx18x2

7x

3

10

4

xdx

2x

)1x)(9x(4x 2342

Resolver las siguientes integrales por sustitución:

1) C

7

x5x3dx)5x6(x5x3

7262

2)

C)xln(sendxx

)xln(cos

3) Cxxlndx xx

1x2 2

2

4) C2

)x2cos(dx)x2(sen

59

5) C5

edxe

1x51x5

6)

C3

2xdx 2xx

2322

7) C22x7x 3dx 2x7x

14x4 3 2

3 2

8) C)x(sen2

1dx

)x(sen

)xcos(23

9) C)xln(ln)xln(x

dx

10) Cx13

4dx

x

x1 23

11) C2

)x(lndx

x

)xln( 2

12) Cx253

1dx

x25

x 232

4 2

13)

Ce12dxe1

e x

x

x

14) Ce

3

1dx xcosex

33 xsen3xsen2

15)

Cx6x3

12

5dx

x6x3

2x3 543

5 3

2

60

Resolver las siguientes integrales por partes:

1)

C

3

1)xln(

3

xdx)xln(x

32

2) C)1x(edxxe xx

3) C)a(ln

a2

)aln(

a)1x2(dxa)1x2(

2

xxx

4) C)xln(sen)xln(cos2

xdx )xln(cos

5) C4

)x2cos()x2(sene

17

8dx)x2cos(e 2x2x

6) C)x(arctg2x21xlnxdx 1xln 22

7) C1x1xxlnxdx 1xxln 222

8) C)xcos()2x2()x(sen1x2xdx 3x2x 22

9) C)x(tg)xsec(ln)xcos(

xdx

)x(cos

)x(xsen2

10) C110x5e 5

2dxe 10x510x5

11) C)xcos()x(sen2

edx)x(sene

xx

12) C)aln()2ln(7

2adx2a

x7xx7x

61

13) C9x6x3xedx 3xe 23x3x

14) Cx89

x)xln(x8

3

xdx)xln(8x

332

15) C1)xln(xdx)xln(

Resolver las siguientes integrales por fracciones simples:

1) C5xln5

47xln

5

3x2dx

x5x

3x22

2

2) C2xln2

13xln

2

1x4x

3

xdx

)2x(x

1x2x 234

3) C2xln451xln9x16x33

xdx

2x3x

5x3x 23

2

34

4) C1xln7xln2dx 7x6x

5x32

5) C3xln93xln9xdx 9x

x2 2

2

3

6) C1xln2

11xln

2

1dx

1x

dx2

7) C4xln18

175xln

45

2xln

10

1dx

x20xx

2x5x23

2

8)

dx x54x15x

dx234

C18xln6804

13xln

189

1xln

972

5

x54

1

62

9)

dx)8x()1x(

x622

C8xln243

14

)8x(27

161xln

243

14

)1x(27

2

10) C5xln125

19xln

125

19

x25

19

x10

9dx

)5x(x

x2923

11)

dx

x5x

5x2x3x6x72

245

C5xln5137xlnx1028x2

205x

3

41x

4

7 234

12) C2xln4

1

)2x(2

1xln

4

1dx

x4x4x

123

13) Cbxlnba

baxln

ba

adx

)bx)(ax(

x

14)

Cbxlnba

b2axln

ba

1axln

ab

1dx

bxax

x22222

15) C2xln6)2x(

21

)2x(

10dx

)2x(

2x3x623

2

16) C4

3xln

13

1

3

1xln

13

1

)3x4)(1x3(

dx


1) El costo marginal a un nivel de producción de q artículos es:

5q6q2)q('C 3 y los costos fijos son $800. Encontrar la función de

costo.

63

2) La función de costo marginal de una empresa es q05,040)q('C

a) Determinar la función costo C(q), si los costos fijos de la empresa son de

$3000 por mes.

b) ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?

3) Supongamos que el ingreso marginal de un producto está dado por 2qq350)q('I . Encontrar la función de demanda (precio) para el

producto (recordar que I = p.q).

4) La función de ingreso marginal de cierta empresa es q01,04)q('I

a) Determinar la función de ingreso.

b) ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?

5) El departamento de investigación de una cadena de ferreterías ha

determinado que en una tienda el precio marginal de la venta de q cajas por

semana de un tipo particular de clavos es:

315q2

4000)q(p

Encontrar la función de demanda, sabiendo que la demanda semanal de este

tipo de clavos es de 10 cajas cuando el precio de una caja de clavos es de $4.

Respuestas:

1) 800q5q3q2

1)q(C 24

2) a) 3000q025,0q40)q(C 2

b) C(150) = 9562,5

3) 2q3

1q

2

350)q(p

4) a) I(q) = 4q – 0,005q2

b) p(q) = 4 – 0,005q

5) 49

156

)15q2(

1000)q(p

2

64


Guía de Ejercicios de Integrales Definidas.

Calcular el área entre las siguientes curvas y dibujar el recinto:

1) )xln(y x = e y = 0

2) y = x2 + 1 x = 1 x = –1 y = 0

3) y = e–x

x = 2 x = 0 y = 0

4) y = x2 + 2 y = e

–x x = 2 x = 0

5) y = ex y = x + 1 x = 1

6) 4xy y = –x – 4 4x5

7y

7) y = –x2 – 2 x = 1 x = –1

2

5x

2

5y

8) y = 4 x = 4 y = x2 y = 0

9) xy 2xy

10) y = –x2 + 1 y = –x

2 + 8x – 12 1x

4

3y

11) xy y = –x2 + 2

12) y = x y = x2

Respuestas:

1) 1 u2

65

2) 2u3

8

3) 1 – e–2

u2

4) 2e3

17 u2

5) 2

3e u

2

6) 2

57 u

2

7) 3

29 u

2

8) 3

32 u

2

9) 3

1 u

2

10) 4,841 u2

11) 3

7 u

2

12) 2

1 u

2


1) La función de costo marginal de un fabricante es C(q) = 0,6q + 2 si la

producción es de q = 80 unidades por semana. ¿Cuánto más costará

incrementar la producción a 100 unidades por semana?

66

2) La función de costo marginal de un fabricante es

40q6,0q003,0)q('C 2 si la producción es de q = 100 unidades por

semana. ¿Cuánto más costará incrementar la producción a 200 unidades por

semana?

3) La función de ingreso marginal de un fabricante es q100

1000)q(I ,

encuentre el cambio del ingreso total del fabricante si la producción aumenta

de 400 a 900 unidades.

4) La función de demanda para un producto es q5,0100p , donde p es el

precio por unidad y q la cantidad demandada. La función de oferta es

q1,010p .

a) Hacer el gráfico de ambas funciones.

b) Determinar el punto de equilibrio.

c) Determinar los excedentes de consumidores y productores.

5) Supongamos que la función de oferta de un cierto artículo está dada por

q5

7p y la función de demanda por 10q

5

3p .

a) Hacer el gráfico de ambas funciones.

b) Determinar el punto de equilibrio.

c) Determinar los excedentes de consumidores y productores.

6) Supongamos que el precio en dólares por tonelada de avena es 2qq20900p cuando la demanda es de q unidades. Además supongamos

la función q10qp 2 es el precio en dólares por tonelada cuando la oferta

es de q unidades.

a) Determinar el punto de equilibrio.

b) Determinar los excedentes de consumidores y productores.

Respuestas:

1) $1120

2) $2000

3) $2000

67

4) b) Peq = (150, 25)

c) EC= $5625 EP = $1125

5) b) Peq = (5, 7)

c) EC = $7,5 EP = $17,5

6) b) Peq = (15, 375)

c) EC = $4500 EP = $3375

68


Guía de Ejercicios de Funciones de Varias Variables.

Determinar y graficar el dominio de las siguientes funciones:

1) yx)y,x(fz

2) 1yx

1)y,x(fz

22

3) 2222 yx41yx)y,x(fz

4) 22

22

yx9

4yx)y,x(fz

5) 22 yx1)y,x(fz

6) yx

1)y,x(fz

2

7) 22 yx

1)y,x(fz

8) 22 yx

1)y,x(fz

9) 3xysen)y,x(fz

10) xyyx)y,x(fz

11)

x

xyln9xy)y,x(fz

22

69

12) 3xyln)y,x(fz

13)

xy

x1ln9x)y,x(fz

22

Respuestas:

1) 0y/Ry,xD 2f

2) 1yx/Ry,xD 222f

3) 4yx1/Ry,xD 222f

4) 9yx4/Ry,xD 222f

5) 1yx0/Ry,xD 222f

6) 22f xy/Ry,xD

7) 0,0y,x/Ry,xD 2f

8) yx/Ry,xD 2f

9) fD

10) 2

f RD

11) 0yx9yx/Ry,xD 222f

12) 4yx/Ry,xD 2f

13) fD =

70

Determinar y graficar las curvas de nivel de las siguientes funciones.

1) 22 yx)y,x(fz

2) 2yx)y,x(fz

3) x

y)y,x(fz

4) 22 y2x

1)y,x(fz

5) xy)y,x(fz

6) yx)y,x(fz

Respuestas:

1) Hipérbolas equiláteras con asíntotas xy

2) Rectas paralelas

3) Haz de rectas con vértice en (0,0) excepto el vértice

4) Elipses

5) Hipérbolas equiláteras asintóticas a los ejes en el 1er y 3

er cuadrante

6) Líneas poligonales de 2 lados con vértice en el eje y

Hallar las trazas de las siguientes superficies:

1) 6y3x2z

2) 20z10x5

3) 6x

4) xzy 22

71

5) 16zyx 222

6) 1xyz 22

7) xy

1z

Respuestas:

1) Traza sobre plano xy: x3

22y

Traza sobre plano yz: 6y3z

Traza sobre plano xz: 6x2z

2) Traza sobre plano xy: 4x

Traza sobre plano yz: 2z

Traza sobre plano xz: x2

12z

3) Traza sobre plano xy: 6x

Traza sobre plano yz: no tiene

Traza sobre plano xz: 6x

4) Traza sobre plano xy: y2 = x

Traza sobre plano yz: z2 = –y

2 y = z = 0

Traza sobre plano xz: z2 = x

5) Traza sobre plano xy: x2 + y

2 = 16

Traza sobre plano yz: y2 + z

2 = 16

Traza sobre plano xz: x2 + z

2 = 16

6) Traza sobre plano xy: x2 –

y

2 = 1

Traza sobre plano yz: z = y2 +1

Traza sobre plano xz: z = –x2 +1

7) Traza sobre plano xy: no tiene

Traza sobre plano yz: no tiene

Traza sobre plano xz: no tiene

72


Guía de Ejercicios de Derivadas de Funciones de Varias Variables.

Calcular las derivadas parciales aplicando su definición:

1) 7y3x6)y,x(fz

2) xy3x4)y,x(fz 2

3) 6y5xy)y,x(fz 22

4) 2yx6xy3)y,x(fz

5) 22 yx)y,x(fz

6) yx

y2x)y,x(fz

2

7) x

y

y

x)y,x(fz

Respuestas:

1) 6zx 3zy

2) y3x8zx x3zy

3) 2x yz y10xy2zy

4) 6y3zx y2x3zy

5) 22

x

yx

xz

22y

yx

yz

73

6) 22

2

x

yx

xy4yxz

22

2

y

yx

xx2z

7) 2x

x

y

y

1z

x

1

y

xz

2y

Aplicando la definición, hallar las derivadas parciales de las siguientes

funciones en los puntos indicados

1) 23 xyyx2)y,x(fz 2 ,1M

2) yx)y,x(fz 2 1 ,2M

3) xy)y,x(fz 1,1M

4) y

x)y,x(fz 1 ,1M

5) 3yx8)y,x(fz 2 3 ,1M

Respuestas:

1) 8zx 2zy

2) 4zx 1zy

3) 2

1zx

2

1z y

4) 1zx 1zy

5) 8zx 6zy

74

Aplicando las reglas de derivación hallar x

f

y

y

f

1) )y(senx)y,x(fz 22

2) 2yx)y,x(fz

3) 22 yxe)y,x(fz

4)

xyx

xyxln)y,x(fz

22

22

5) axy3yx)y,x(fz 33

6) yx

yx)y,x(fz

7) x

y)y,x(fz

8) 22 yx)y,x(fz

9) 22 yx

x)y,x(fz

10) 22 yxxln)y,x(fz

11)

y

axsenln)y,x(fz

12) 22 yx1yx)y,x(fz

13) 5 22 yxyx)y,x(fz

14)

yxcos

yxlnyx)y,x(fz

75

15) xytg)y,x(fz 1

Respuestas:

1) )y(xsen2z 2x )ycos()y(sen2x)y2(senxz 22

y

2) 1y2x

2

xyz )xln(y2xz2y

y

3) 22 yx

x xe2z 22 yx

y ye2z

4) 22

x

yx

2z

22y

yxy

x2z

5) ayx3z 2x axy3z 2

y

6) 2

xyx

y2z

2y

yx

x2z

7) 2x

x

yz

x

1z y

8) 22

x

yx

xz

22y

yx

yz

9)

23

22

2

x

yx

yz

23

22

y

yx

xyz

10) 22

x

yx

1z

2222y

yxxyx

yz

11)

y

axctg

y

1zx

y

axctg

yy2

axzy

12) 22x yxy2x31z

22y xxy2y31z

76

13)

5 422x

yxyx5

yx2z

5 422y

yxyx5

y2xz

14)

yxcos

yxsenyxlnyxyxcosyxln1zz

2yx

15) xysen

yz

2x

xysen

xz

2y

Determinar las derivadas parciales de primer y segundo orden de las

siguientes funciones

1) 2244 yx4yx)y,x(fz

2) y

xxy)y,x(fz

3) 2y

x)y,x(fz

4) 22 yx

x)y,x(fz

5) yxsenx)y,x(fz

6) y

xcos)y,x(fz

2

7)

y

xtg)y,x(fz

2

8) 2yxln)y,x(fz

9) 33 yxcos)y,x(fz

10) 1y1x xeye)y,x(fz

77

Respuestas:

1) 22xx

23y

23x y8x12zyx8y4zxy8x4z

22yyxy x8y12zxy16z

2) 0zy

xxz

y

1yz xx2yx

3yy2xy

y

x2z

y

11z

3) 0zy

x2z

y

1z xx3y2x

4yy3xy

y

x6z

y

2z

4) 2522

2

xx2322y2322

2

x

yx

xy3z

yx

xyz

yx

yz

2522

222

yy2522

322

xy

yx

xy3yxxz

yx

y3yxy2z

5) yxxsenyxcos2zyxcosxzyxcosxyxsenz xxyx

yxxsenzyxxsenyxcosz yyxy

6)

y

xcosx4xsen2z

y

xcosz

y

xxsen2z

222

xx2

2

y

2

x

3

2

yy2

2

xyy

xcos2z

y

xxsen2z

78

7)

y

xtg

y

xsec

y

x8

y

xsec

y

2z

y

xsec

y

xz

y

xsec

y

x2z

222

2

222

xx

22

2

2

y

22

x

y

xsec

y

x2

y

xtg

y

xsec

y

xz

y

xsec

y

x2

y

xtg

y

xsec

y

x2z

23

3

2222

2

2

yy

22

2

3222

xy

8) 22

xx2y2x

yx

1z

yx

y2z

yx

1z

22

2

yy22xy

yx

yx2z

yx

y2z

9)

33334xx

233y

233x yxxsen6yxcosx9zy3yxsenzx3yxsenz

33334yy

3322xy yxysen6yxcosy9zyxcosyx9z

10) 1xxx

1y1xy

1y1xx yezxeezeyez

1yyy

1y1xxy xezeez

Hallar z y dz para las siguientes funciones en los puntos y con los

incrementos indicados

1) 1y5x2)y,x(fz 2 ,4 2,0x 1,0y

2) 1yx)y,x(fz 22 0 ,3 2,0x 2,0y

79

3) x

y)y,x(fz 2 ,2 03,0x 02,0y

4) yxe)y,x(fz 0 ,0 02,0x 03,0y

5) xyxye)y,x(fz 4 ,2 1,0x 2,0y

6) y4x2yx)y,x(fz 22 1 ,3 1,0x 1,0y

7) 32yx)y,x(fz 1 ,1 1,0x 1,0y

8) yx

yx)y,x(fz

22

0 ,1 2,0x 1,0y

9)

y

xlny)y,x(fz 2

2 ,2 4,0x 2,0y

10) 23yx)y,x(fz 1 ,1 01,0x 01,0y

11) 22 yxyx)y,x(fz 2 ,3 02,0x 03,0y

12) )xln(y)yln(x)y,x(fz 1 ,1 01,0x 02,0y

Respuestas:

1) 9,0dz9,0z

2) 0dz3136,0z

3) 40

1dz

197

5z

4) 02,0dz0206,0e02,0z 03.0

5) 0019,0dz0026,0z

6) 1dz98,0z

80

7) 5,0dz40951,0z

8) 3,0dz3,0z

9) 2,1dz657,1z

10) 01,0dz009798,0z

11) 37,0dz3719,0z

12) 03,0dz03015,0z

Calcular la diferencial total de las siguientes funciones:

1) 7y3xyx4)y,x(fz 23

2) )x(ysen)ycos(x)y,x(fz

3) )y(senxyx)y,x(fz 22

4) xyln)y,x(fz

5) 22 yxe)y,x(fz

6) 423 yxy)y,x(fz

7) yx

)x(sen)y,x(fz

8) 1x)y,x(fz y

Respuestas:

1) dyxy23dxyx12dz 22

81

2) dy)x(sen)y(xsendx)xcos(y)ycos(dz

3) dy)ycos(xy2dxyx2dz 2

4) dyy

1dx

x

1dz

5) ydyxdxe2dz22 yx

6) dyy3xyxy4xydxyxy8dz 22323323

7)

dy

yx

)x(sendx

yx

)x(sen)xcos(yxdz

22

8) dy)xln(xdxyxdz y1y

Hallar las diferenciales de segundo orden:

1) 1xyz 34

2) xylnz

3) xyez

4) nm yxz

5) 22 yxlnz

Respuestas:

1) ydyx12dxdyyx24xdxy6zd 22332242

2) ydy

1xd

x

1zd 2

2

2

2

2

82

3) ydxdxdyxy12xdyezd 2222xy2

4) yydx1nnmnxydxdy2xdy1mmyxzd 22222n2m2

5)

222

22222

yx

xydxdy4ydxdxyzd

Derivar las siguientes funciones compuestas de una sola variable

independiente

1) )t(seny)tcos(xxeyeu yx

2) )xcos(v)xcos(uv1

u1z

3) 1tyt3xy

xsenlnu 22

4) )t(tgz)tln(y1txxyzu 2

5) )xcos(v)x(senuuz v

Respuestas:

1) )t(sen)t(cose)t(sen)tcos(eu 2)t(sen2)tcos(

2) )xcos(1

1z

3)

452

3

4 24 2

2

1t2

t3

1t

t6

1t

t3gcotu

4)

tcos

tln 1t

t

ttg 1t)t(tg)tln(t2u

2

22

83

5) )x(senln)x(sen)x(sen)x(cosz1)xcos(1)xcos(2

Derivar las siguientes funciones compuestas de varias variables

independientes

1) s2rysr3xyxu 22

2) srys3r2xyx3y2xyx3u 22

3) )t(rsen4y)tcos(r2xeu xy

4) s2r3ysrxxyxu 222

5) )cos(rz)(sen)(rseny)cos()(rsenxzyxu 222

6) 23v2u yxv)x(senuez

7) 222 yxuxy2tutz

8) y

xvxyueveuz uv

9) 2233 yxvyxuuv3vuz

10) y2xvy2xuvevuz 22u

Respuestas:

1) s6r10s

us10r16

r

u

2) 10s44r41s

u5s41r24

r

u

84

3) )t(sece2t

u0

r

u 2)t(tg2

4) 22322223 rs3rs3s2sr22s

us3rs4r9rs4r4

r

u

5) )(cos)(sen)(sen)(cos)(senr2r

u 22222

0

u

0

u

6) 2323 yx2)x(sen2yx2)x(sen ye4y

zx6)xcos(e

x

z

7) 222222y

222222x yxxy8yxx2zyxyx8yxy2z

8) xy

2

yx2

xy2

yxy

xyyxxyyx

x ey

xe

y

xe

y

xxez

y

exexeyez

9) yx3yx3yxx6yxx6z 222222x

yxy6yxy6yx3yx3z 222222y

10) y2x2y

y2x23x e2y16x2x6zexy12y2x3x4z

Derivar las siguientes funciones implícitas de x

1) 01b

y

a

x2

2

2

2

2) 1b

y

a

x2

2

2

2

3) xy yx

4) 4yxy2x 22

85

5) x)y(sen2

1y

Respuestas:

1) y

x

a

by

2

2

2) y

x

a

by

2

2

3) 1xy

1yx

xy)xln(x

yx)yln(yy

4) yx

yxy

5)

)ycos(2

11

1y

Analizar si las siguientes funciones son homogéneas y aplicar el teorema

de Euler cuando sea posible

1) zxey

x)z,y,x(f

2) 3231 yxz

3) 2yxy3z

4)

2

2

xz

yln)z,y,x(f

5) 22 xy3yx2z

86

Respuestas:

1) Homogénea de grado 0

2) No homogénea


4) No homogénea



1) Una empresa fabrica dos tipos de esquíes A y B. Suponga que la función de

costo conjunta de producir x pares de esquíes del tipo A e y pares de esquíes

del tipo B por semana es:

1000y75x65x06,0)y,x(C 2

Determinar los costos marginales cuando x = 50 e y =100. Interpretar el

resultado.

2) Determinar los costos marginales para la función 1000yxx)y,x(C

para x = 40 e y = 60

Respuestas:

1) CMargx = 71 CMargy = 75

2) CMargx = 12 CMargy = 2

87


Guía de Ejercicios de Extremos de Funciones de Varias Variables.

Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones:

1) 1y2x2y5xy2x2)y,x(fz 22

2) 44 )1y()yx(25)y,x(fz

3) y12x15xy3x)y,x(fz 23

4) 5x12x16y4xy16x)y,x(fz 223

5) xyx2)y,x(fz 24

6) x3yx)y,x(fz 23

7) y

48

x

48yx)y,x(fz 33

8) 22yx yxe)y,x(fz

9) y

2

x

4xy)y,x(fz

10) x2y3y4)y,x(fz 24

11) 110y128x36y32x18)y,x(fz 22

Respuestas:

1) Min en P =

0 ,

3

1 ,

3

2

88

2) Min en P = (1, 1, 25)

3) Min en P1 = (2, 1, –28); Max en P2 = (–2, –1, 28)

PS en P3 = (1, 2, –26); PS en P4 = (–1, –2, 26)

4) Min en P1 = (2, 4, –11); PS en P2 = (–2, –4, 21)

5) Min en P =

8

3 ,0 ,

2

1

6) Min en P1 = (1, 0, –2); PS en P2 = (–1, 0, 2)

7) Min en P1 = (2, 2, 64); PS en P2 = (2, –2, 0)

PS en P3 = (–2, 2, 0); Max en P4 = (–2, –2, –64)

8) Min en P1 = (0, 0, 0); PS en P2 = 2e2 ,1 ,1

9) Min en P =(2, 1, 6)

10) No puntos críticos

11) Min en P= (1, 2, –256)

Hallar los extremos condicionados de las siguientes funciones:

1) 3y4x3)y,x(fz sujeto a: 026y)1x()y,x(g 22

2) 22 yx25)y,x(fz sujeto a: 0y4yx)y,x(g 22

3) 5y2x4)y,x(fz 22 sujeto a: 0y2yx)y,x(g 22

4) yx)y,x(fz 2 sujeto a: 09yx)y,x(g 22

5) yx)y,x(fz 2 sujeto a: 024y8x)y,x(g 22

6) yx)y,x(fz sujeto a: 01yx)y,x(g 22

89

7) 22 yx)y,x(fz sujeto a: 01yx)y,x(g 22

8) 2y1

x)y,x(fz

sujeto a: 01yx)y,x(g 22

9) xyy3x)y,x(fz sujeto a: 06yx)y,x(g

Respuestas:

1) MinCond en P1 = (–2, –4, –25); MaxCond en P2 = (4, 4, 25)

2) MaxCond en P1 = (0, 0, 25); MinxCond en P2 = (0, 4, 9)

3) MaxCond en P = 0, 2, 13)

4) MaxCond en P1 =

4

37 ,

2

1 ,

2

35; MaxCond en P2 =

4

37 ,

2

1 ,

2

35

MinCond en P3 = (0, 0, 3); MinCond en P4 = (0, –3, –3)

5) MaxCond en P1 = (4, 1, 18); MinCond en P2 = (4, –1, –16)

MaxCond en P3 = (–4, 1, 16); MinCond en P4 = (–4, –1, –16)

MaxCond en P5 = 0 ,3 ,0 ; MinCond en P6 = 0 ,3 ,0

6) MaxCond en P1 =

2,

2

2,

2

2; MinCond en P2 =

2,

2

2,

2

2

7) MaxCond en P1 = (1, 0, 1); MinCond en P2 = (–1, 0, 1)

MinCond en P3 = (0, 1, –1); MinCond en P4 = (0, –1, –1)

8) MaxCond en P1 = (1, 0, 1); MinCond en P2 = (–1, 0, –1)

9) MaxCond en P = (5, 1, 7)

90

Ejercicios de aplicaciones económicas (extremos libres):

1) Supongamos que la ganancia de cierta compañía esta aproximada por 22 yy80xx241000)y,x(G , donde x es el costo de una unidad de

trabajo e y es el costo de una unidad de bienes. Encontrar los valores de x e y

que maximicen la ganancia. Calcular la ganancia máxima.

2) Una empresa está desarrollando un nuevo refresco. El costo en U$S de

producir un lote de refresco está dado por 23 y8xy72x272200)y,x(C

donde x es el número de kg de azúcar e y es el número de gramos de

saborizante por lote.

Encontrar las cantidades de saborizante y azúcar que conducen a un costo

mínimo por lote. ¿Cuál es ese costo mínimo?

3) El ingreso mensual en cientos de dólares por la producción de x miles de

toneladas de minerales de hierro grado A e y miles de toneladas de minerales

de hierro grado B está dado por 12y2xy2)y,x(P .

El correspondiente costo en dólares está dado por 22 yx2)y,x(C .

Encontrar la cantidad de cada grado de mineral que producirá la ganancia

máxima. Calcular la ganancia máxima.

4) Un monopolista vende 2 productos A y B los cuales tienen precios unitarios

BA pyp respectivamente y cuyas demandas están dadas por las leyes

PA = 12 – qA y PB = 20 – 3qB. La función costo es C = 3 + 2qA + 2qB .

Obtener las cantidades y precios que maximicen la ganancia, y calcular esa

ganancia máxima.

Respuestas:

1) (x, y, G) = (12, 40, 2744)

2) (x, y, C) = (4, 18, 1336)

3) (x, y, G) = (1, 2, 14)

4) (qA, qB) = (5, 3) (pA, pB) = (7, 11) G = 49

91

Ejercicios de aplicaciones económicas (extremos condicionados):

1) La función de producción de una empresa es 22 y2xy20x12)y,x(f

El costo para la compañía es de $4 y $8 cada unidad de x e y respectivamente.

Si la empresa desea que el costo total de insumos sea $88, calcular la máxima

producción posible sujeta a esta restricción presupuestaria.

2) La función de costo total de una empresa es 22 y12xyx8)y,x(C ,

donde x e y son las cantidades producidas de dos artículos. Determinar los

valores críticos para minimizar los costos si la empresa está obligada por

contrato a producir un total de 42 artículos.

3) Supongamos que las leyes de demanda de dos bienes A y B cumplen las

condiciones BABBAA pp3100Dp2p300D

Si además, la demanda total tiene la restricción 5000D2D4 BA , obtener

las cantidades y los precios que corresponden al ingreso total máximo.

Respuestas:

1) (x, y, f) = (8, 7, 74)

2) (x, y, C) = (25, 17, 8043)

3) (qA, qB) = (400, 1700) (pA, pB, I) = (660, 380, 550000)

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