Análisis dimensional

El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema ) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:

Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el

comportamiento o respuesta del sistema.

Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles.

Análisis dimensional

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales:

1. Contar el número de variables dimensionales n.2. Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) m3. Determinar el número de grupos adimensionales. El número de grupos o números adimensionales (

)es n - m.4. Hacer que cada número dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa además de una

de las n - m variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio, una geométrica y otra cinemática; ello para asegurar que los números adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema).

5. Cada se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.

6. El número que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales.

7. En caso de trabajar con un modelo a escala, éste debe tener todos sus números adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.

Aplicaciones del Análisis dimensional

Detección de errores de cálculo. Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables. Creación y estudio de modelos reducidos. Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.

Un ejemplo de Análisis dimensional

Calculemos mediante Análisis Dimensional la velocidad de un cuerpo en caída libre. Sabemos que dicha velocidad dependerá de la altura y de la gravedad . Pero imaginemos que también se nos ocurre decir

que la velocidad depende de la masa . Una de las bondades del Análisis Dimensional es que es "autocorregible", es decir, el procedimiento, por sí sólo, elimina las unidades que no son necesarias.

Identificar las magnitudes de las variables:

Formar la matriz

Hacer el producto de matrices:

Aquí tenemos que decir que se refiere al exponente de la unidad , pero eso se verá en pasos sucesivos.

Desarrollar el producto de matrices y resolver el sistema de ecuaciones.

Se forma un sistema de ecuaciones. Si nos fijamos, tenemos 4 incógnitas, y sólo 3 ecuaciones, así que para que el sistema pueda ser resuelto, necesitamos tantas incógnitas como ecuaciones. ¿Cómo se subsana el problema? Muy sencillo: se coge un cualquiera y le asignamos el valor que queramos, a excepción del 0. En nuestro caso, vamos a tomar como .

Si aplicamos la solución inicial que hemos propuesto anteriormente ( ), se realizan los sencillos cálculos y llegamos a las soluciones:

Formar el/los grupos

Un grupo es una ecuación adimensional. ¿Cuántos grupos vamos a obtener? Pues si es el número de unidades (las unidades son el metro, el kilo, el segundo, el grado, ...), y el rango máximo de la matriz que contiene los coeficientes de las magnitudes de las unidades (a veces coincide el rango de la matriz con el número de variables que tenemos, aunque ésta no es una regla fiable), el número de grupos (o ecuaciones que obtendremos) será . En el caso que nos ocupa, ecuación.

Ahora se cogen las unidades que hemos tomado en nuestro problema y las elevamos a los exponentes que hemos obtenido. Ésa es nuestra ecuación.

(Nótese que es adimensional). Aquí obtenemos aquello que llamábamos "autocorrección": el exponente de la masa es 0, así que desaparece de nuestra ecuación, demostrando una vez más que la caída libre no depende de la masa del objeto en cuestión.

Paso final: obtención de la ecuación.

con valiendo , lo que nos da la fórmula correcta:

a) Las Unidades Fundamentales son las que sirven de base para crear un Sistema de unidades. Como su nombre lo indica, son las más importantes y a partir de ellas se encuentran las otras unidades.

... De acuerdo a lo señalado en el Sistema Internacional de Unidades ( S.I. ) que nos rige, las Unidades Fundamentales son 7 :

............------------------- -------------- - ---------------------- ------------------- -------------------

................. ...... MAGNITUD ..................... ........... UNIDAD ........ .... SÍMBOLO

............-------------- ------------------- - ---------------------- ------------------- -------------------

.............LONGITUD ................ ................. ........... metro ...................... m

.............MASA ..... ...................... .......................... kilogramo................ kg

.............TIEMPO ....................... ........................... segundo .................. s

.............CORRIENTE ELÉCTRICA .......... .......... Ampere .................. A

....... .....TEMPERATURA TERMODINAMICA .... Kelvin .............. ...... K

............ CANTIDAD DE SUSTANCIA ............ .....mol .........................mol

...... .......INTENSIDAD LUMINOSA ............ ........ candela .................. cd

............--------------- ------------------ - ---------------------- ------------------- -------------------

b) Las Unidades Derivadas son aquellas que se obtienen a partir de las unidades fundamentales y algunas de ellas son :

................. .----------------------- ------------------------ ----------------------- --------------------------

.....................MAGNITUD ........................UNIDAD .............................. ......... SIMBOLO

................. .----------------------- ------------------------ ----------------------- --------------------------

.......... ......... Área .............. ....................Metro cuadrado ................... ............m²

......... ......... .Volumen ............. ............ ..Metro cúbico ................... ............... m3

........ ........ ...Velocidad, rapidez ............metro por segundo .............. .......... m /s

........ ......... ..Velocidad angular............. radián por segundo ..... ............ ...... rad /s

........ .......... .Aceleración ................... ... metro por segundo al cuadrado ......m /s²

.......... ..........Fuerza ........................ .... ...Newton ............................. ................N

............. .......Densidad ............ ...............kilogramo por metro cúbico ........... kg /m3

.............. ......Energía ..................... .........Joule ........................ ...................... Joule

................. .----------------------- ------------------------ ----------------------- --------------------------

c) La unidades secundarias son aquellas que derivan de una principal (son mayores o menores a ésta). Algunos ejemplos son: De masa: hectogramo, decagramo, miligramo, decigramo.

De longitud: kilómetro, hectómetro, decámetro, decímetro, centímetro , milímetro, etc. (principal: metro)

De volumen: cm*3, dcm*3, mm.*3, dam*3, etc. (principal:m*3)

De velocidad: km / h (principal: m/s)

De tiempo: Minuto, hora, día, año, lustro etc. (principal:segundo)