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Física - 3ro Sec.

Prof. Dante Ronald Fernández Zapata

Capítulo

1Análisis Dimensional

IntroduccIón

Sabemos que la madre de la sabiduría es la curiosidad y todo aquel que se deleita con el mundo de la física, deberá observar para comprender los fenómenos que ocurren en su entorno. Sinembargo,unaobservacióncientífica,porlogeneral,está incompleta si no se expresa de manera cuantitativa, así que para obtener tal información debe hacerse la medición de la cantidad física. Por tanto, las mediciones conforman buena parte de la rutina de un físico experimental. En el artículo único del Real Decreto 1317/1989, del 27 de octubre de 1989 por el que se establecen las unidades legales de medida, publicada el 3 de noviembre, se dice que: El sistema legal de unidades de medida es el Sistema Métrico Decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (S.I.) adoptado en la Conferencia General de Pesas y Medidas en la Comunidad Económica Europea.

La masa de 30 manzanas tiene una dimensión de ....................... (kilogramos).

La altura de un semáforo tiene una dimensión de .............. (metros).

Es todo aquello susceptible de ser medido, asignándole un número y una unidad.

Volumen, peso, tiempo, velocidad.

a Relacionar una magnitud física con otras magnitudes establecidas como fundamentales.a Comprobar la veracidad de las fórmulas físicas.a Determinar fórmulas empíricas.a Determinar las unidades de una magnitud.

La yarda, el pie y la pulgada son unidades de longitud que no pertenecen al S.I.

dImensIón

Nos indica el tipo de patrón que se ha usado para realizar una medición.

Ejemplos:

magnItud

Ejemplo:

OBJETIVOS:

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Son aquellas elegidas arbitrariamente para establecer las unidades de un sistema.

I) Por su origen

UnIdadMagnITUd SíMBOLO dIMEnSIón

Son aquellas que son expresadas por las magnitudes fundamentales.

Observación: Toda magnitud se expresa en función de las magnitudes

fundamentales.

magnitudes Fundamentales

magnitudes derivadas

Propiedades de las ecuaciones dimensionales

Los ángulos y razones trigonométricas, en general, son adimensionales y para los cálculos se consideran igual a 1.

rad

sr

MagnITUdES aUxILIarES UnIdad

nombre nombre Símbolo

1. Ángulo Plano

2. Ángulo Sólido

radián

estereorradián

clasIFIcacIón de las magnItudes

• [40°] = • [ 4 ] = • [π] =

1. ______________

2. ______________

3. ______________

4. ______________

5. ______________

6. ______________

7. ______________

1. ______________

2. ______________

3. ______________

4. ______________

5. ______________

6. ______________

7. ______________

1. ______________

2. ______________

3. ______________

4. ______________

5. ______________

6. ______________

7. ______________

1. ______________

2. ______________

3. ______________

4. ______________

5. ______________

6. ______________

7. ______________

=

• [Área] = L2

• [Volumen] = L3

• [Velocidad] =

• [Aceleración] =

• [Densidad] =

RecorridoTiempo

LT

= LT -1

= =

• [tg α] = • [Ln5] = • [A.B] =

magnItudes Fundamentales

UnIdadMagnITUd dIMEnSIón

Longitud

Masa

Tiempo

Temperatura

magnItudes derIvadas

dIMEnSIónMagnITUd

Velocidad

Aceleración

Fuerza

Densidad

PrIncIPIo de homogeneIdadRealiza las siguientes operaciones:• 1m + 1m =• 2kg + 3kg =• 5m + 3kg =• 1s + 7kg =• 3m - 1m =

Nos damos cuenta que para sumar o restar 2 magnitudes deben ser de la misma especie, es decir, deben ser ___________________________.

En conclusión si: A + B + C = D

[ ] = [ ] = [ ] = [ ]

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1. En la siguiente expresión, halla [K] si:

V : velocidadd : distanciaK=

V2

2d

La dimensión de los términos de la ecuación.

→ [K] = (LT-1)2

L= (L2T-2)

L

→ [K] = LT-2

2. Halla la dimensión de ‘‘E’’ si:

D : densidadV : velocidadg : aceleración

E=DV2

g

[E] =

= [D][V]2

[g][DV2]

g

Donde: [D] = ML-3 , [V] = LT-1

[g] = LT-2

→ [K] = (LT-1)2

L= (L2T-2)

L

→ [E]= ML-3. (LT-1)2

LT-2

= ML-1T-2

LT-2

∴ E = ML-2

Resolución:

Resolución:

[K] = donde [V] = [LT-1] [d] = L [2] = 1

[V2] [2] [d]

;

EJERCICIOS RESUELTOS

3. Halla [T] en el siguiente caso:

m : masaV : velocidadF : fuerza

T= mV2

F

[T] =

= [m][V]2

[F][mV2]

[F]

Donde: [m] = M , [V] = LT-1, [F] = MLT-2

[T] = M.(LT-1)2

MLT-2

ML2T-2

MLT-2=

[T] = L

Resolución:

historia de la unidad: longitud (metro)

aunque la distancia podría determinarse aproximadamente por la duración de un día de viaje, el cuerpo humano fue la medida lineal más conveniente en los primeros tiempos.La longitud de un paso o un pie, la anchura de un dedo o mano, la longitud del antebrazo, todo servía como referencia directa para las mediciones en la antigüedad. En las épocas de los grandes reinos de Egipto y Babilonia (unos 2500 a. C.), el codo que correspondía a la longitud del antebrazo de un hombre, desde el codo hasta la punta del dedo índice extendido, era la medida lineal más usual. Este tipo de concepción aceptada por la cual cuantificamos cualquier cosa física, se denomina unidad. Para asegurar algún grado de constancia para una medida ampliamente utilizada, pues es evidente que los antebrazos difieren, una sociedad avanzada debe desarrollar una materialización física invariabe de cada unidad que sirva como referencia primaria o patrón con el cual se comparaban y calibraban todas las varas de codo de Egipto.desde el Medio y Próximo Oriente, a través del comercio, las antiguas nociones de medida se dezplazaron a Occidente hasta grecia y después hasta roma y, con la conquista, a la mayor parte de Europa. El pie, aunque su longitud variaba bastante, era de uso común entre los griegos y los romanos. Su historia va desde la longitud de una sandalia romana y de bota británica, hasta el familiar concepto contemporáneo.Cuando las legiones romanas recorrían el mundo, medían sus avances en passus, o milios passuum que fue el precursor de la milla británica. Cuenta la leyenda que la yarda, o doble codo, fue fijada en el siglo XII por Enrique I de Inglaterra como la distancia desde su nariz a la punta de su dedo índice extendido.de manera similar, el patrón original para el pie, adoptado por los franceses, fue la longitud del pie real de Luis xIV. Este patrón prevaleció hasta 1799, cuando el patrón legal de longitud en Francia vino a ser el metro, definido como un diez mil millonésimo de la distancia del Ecuador al Polo norte a lo largo de una línea longitudinal que atraviesa París y que prevaleció en todos los países y en los círculos científicos de todo el mundo.En 1960, la longitud de un metro se definió como la distancia entre dos líneas sobre una barra de platino - iridio almacenada en condiciones controladas. Este patrón se abandonó por varias razones; la principal fue el hecho de que la limitada precisión con la cual se puede determinar la separación entre las líneas sobre la barra no cubre las necesidades actuales de la ciencia y tecnología. Después el metro fue definido como 1650763.73 longitudes de onda de la luz naranja - rojo emitida por una lámpara de Kriptón 86.Sin embargo, en octubre de 1983, el metro se redefinió como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/ 299792458 segundos.

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1. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: P = x . Vx Dy

Donde: P : presión V : velocidad D : densidad Determina: x + y.

La dimensión de los términos de la ecuación.[P] =[ x . Vx Dy] =[x] [V]x [D]y

Donde: [P] =ML-1T-2 ; [V] =LT-1

[D] =ML-3 ; [ x ] =1

Entonces:ML-1T-2 = (LT-1)x(ML-3)y

ML-1T-2 = LxT-xMyL-3y

M L-1 T-2 = Lx-3y T-x My

De donde: y = 1 ; x -3y = -1 x = 2Entonces: x + y = 2+1= 3

Por el principio de homogeneidad:

[ SQJ ] =[4mD] = 21

2. Si la ecuación 5Qt = 4mD + 2 es dimensionalmente

correcta, determina [P]. (Q : caudal; t : tiempo; W : energía)

PW

PW

Resolución:

Resolución:

Del principio de homogenidad:

3. Halla las dimensiones de ‘‘G’’, ‘‘H’’e ‘‘I’’ en la siguiente fórmula física.

F = Ga + Hv + I Donde: F : fuerza a : aceleración v : velocidad

1

2

3

4. Determina la relación b/c, de la siguiente ecuación homogénea.

Donde: W : trabajo e : longitud a : aceleración

We

= ba + b2c

We

= [ ba ] = [b2c]

2

1

Donde:[W] = ML2T-2 ; [e] = L ; [a] = LT-2

De → = [b] . LT-2 → [b] = M

1 ML2T-2

L

Donde:

[F] =MLT-2; [a] =LT-2 ; [v] =LT-1

Entonces:De → MLT-2 = [G] . LT-2 → [G] = M

De → MLT-2 = [H] .LT-1 → [H] = MT-1

De → MLT-2 = I

Del principio de homogeneidad:[ F ] = [Ga] = [Hv] = [ I ] ... (1)

12

3

Resolución:

Resolución:

De → = M2[c] → [c] = M-1LT-2

Entonces:

2ML2T-2

L

=

M

M-1LT-2 = M2L-1T2

5. Si la siguiente fórmula D.a = cosφ. Vn es dimensionalmente correcta, determina ‘‘n’’, siendo:

D : longitud ; a : aceleración V : velocidad

[D.a] =[cosφ . Vn][D] [a]=[cosφ] [V]n

Donde:[D] =L ; [a] =LT-2 [V] =LT-1 ; [cosφ] =1Entonces:L .LT-2 = (LT-1)n

L2 T-2 = (LT-1)n

(LT-1)2 = (LT-1)n

→ n = 2

bc

Resolución:

→ [S] [Q] [t] = [21] [P] [W]-1 De donde:

[S] =1 ; [Q] =L3T-1 ; [t] =T [21] =1 ; [W] =ML2T-2

Entonces:L3T-1 . T = [P] . (ML2T-2)-1

L3 = [P] . M-1L-2T-2

→ [P] = ML5T2

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Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

1) Determina la ecuación dimensional de R si: R = Velocidad x Aceleración

2) Determina la ecuación dimensional de Q si: Q =

FuerzaDensidad

1) Determina la ecuación dimensional de Z si:

Z = trabajo x velocidad

2) La ley de gravitación universal de Newton tiene como expresión:

Donde: F : fuerza m1 y m2 : masa de los cuerpos G : constante r : distancia Determina la dimensión de la constante.

F = G.m1.m2

r2

3) Hallaladimensióndelcalorespecífico(Ce)si:

Ce = CalorTemperatura . Masa

3) Halla la dimensión del calor latente (L) si:

[calor] = ML2T-2

L = calormasa

4) Determina la ecuación dimensional de W si: W = (fuerza)2 x (presión)3

5) Determina la ecuación dimensional de R si: R = (velocidad)2 x (presión)2

6) Determina la ecuación dimensional de P si:

P = (energía)3 x (área)2

(velocidad)6

4) Determina la ecuación dimensional de ‘‘S’’ si: S = (trabajo)3 x (aceleración)2

5) Determina la ecuación dimensional de H si:

H = Área x Trabajo x Densidad

6) Determina la ecuación dimensional de Z si: Z = Área x Aceleración

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________