DIVISIÓN DE INGENIERÍA PETROLERA

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS

Análisis Numérico“Unidad 6 y 7”

Grado y Grupo: 3A

CARRERA:Ingeniería Petrolera

FACILITADOR:

12/06/13

Alumno:

COATZACOALCOS, VERACRUZ

Índice

Introducción----- 3

6. Solución numérica de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales-----4

6.1 Método de la serie de Taylor.----- 5-66.2 Método de Euler y Euler mejorado.-----7-12 6.3 Métodos de Runge-Kutta.----- 136.4 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias con valores iníciales.----- 14-156.5 Aplicaciones.-----15-16

Conclusión----- 17

Bibliografía----- 17

Introducción----- 18

7. Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales-----19-21

7.1 Clasificación de ecuaciones diferenciales Parciales------21-227.2 Método de diferencias finitas. -----237.3 Aplicaciones.-----23-26

Conclusión----- 27

Bibliografía -----27

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Introducción

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una o varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales.

Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible o difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. Comenzaremos discutiendo los métodos para ecuaciones escalares y luego generalizamos los mismos a sistemas de ecuaciones.

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Solución numérica de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales

Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico.

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

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6.1 MÉTODO DE LA SERIE DE TAYLOR

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos. Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria:

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva. La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como   como  1 (  = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionara, la serie se denomina también de Maclaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la

forma   siempre se puede hacer el cambio de variable   (con

lo que   en la función a desarrollar original) para expresarla como   centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere

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desarrollar la función   alrededor de a = 1 se puede tomar  , de

manera que se desarrollaría   centrada en 0.

Ejemplo 1.

La ecuación diferencial

= 2ty, 1 t 1.5 y(1) = 1

Tiene como solución exacta o analítica a , ya que

, además y(1) = 1.

Si se quiere aproximar la solución con N=5, entonces h=0.1,    ti=1+0.1i,    f(ti, yi) = 2tiyi

Si se utiliza el método de Euler entonces:

 yi+1 = yi + hf(ti, yi)

 y0=

 yi+1 = yi + h(2tiyi)

 y0= i = 0,1,2,3,4 ti = 1+0.1i

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6.2 MÉTODO DE EULER Y EULER MEJORADO

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales.

Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler y Euler mejorado.

MÉTODO DE EULER 

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto

de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto  como una

aproximación al valor deseado  . 

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Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación

diferencial  dada   en el punto  . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: 

                                                 

donde  m  es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

 

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es : 

 

Ahora bien, suponemos que    es un punto cercano a  , y por lo tanto estará

dado como  . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: 

 

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de  h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el

error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia   en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n  pasos, aplicando la fórmula anterior  n  veces de

un paso a otro, con la nueva  h  igual  a  .

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En una gráfica, tenemos lo siguiente: 

Ahora bien, sabemos que: 

 

Para obtener    únicamente hay que pensar que ahora el papel de   lo

toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que: 

 

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: 

 

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de   

aplicándola sucesivamente desde    hasta   en pasos de longitud  h. 

Ejemplo 2

Aplicar el método de Euler para aproximar , dada la ecuación diferencial. 

 

SoluciónNuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así,

elegimos nuevamente   para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto,  aplicamos el método de Euler con los siguientes datos: 

 

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En un primer paso, tenemos que:                                          

Resumimos los resultados en la siguiente tabla: 

n

0 1 21 1.1 2.32 1.2 2.68553 1.3 3.1901

De lo cual, concluímos que la aproximación buscada es: 

MÉTODO DE EULER  MEJORADO 

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

La fórmula es la siguiente: 

 

donde

 

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

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En la gráfica, vemos que la pendiente promedio   corresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la

“recta tangente” a la curva en el punto  , donde   es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en  el punto 

 como la aproximación de Euler mejorada. 

Ejemplo1

Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar   si: 

SoluciónVemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos 

 y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el

de  primero  y posteriormente el de  .

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales: 

 

En nuestra primera iteración tenemos:

Nótese que el valor de    coincide con el  (Euler 1), y es el único valor que va

a coincidir, pues para calcular   se usará    y no  .

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

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Nótese que ya no coinciden los valores de   (Euler 1) y el de . El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: 

n

0 0 11 0.1 1.012 0.2 1.0407043 0.3 1.0939884 0.4 1.1731925 0.5 1.28336

Concluimos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado  es: 

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero: 

                                      

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente a un 0%! 

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6.3 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA.En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos

genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos,(implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

una ecuación diferencial ordinaria, con   donde   es un

conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más

general:

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento   entre los sucesivos puntos   y  . Los coeficientes   son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con   coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes   del esquema. Si esta matriz es triangular

inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,   

para  , los esquemas son explícitos.

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6.4 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores

iníciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.

Todo sistema de ecuaciones diferenciales puede representarse generalmente como

dy1dx

=f 1 ( x , y1 , y2 , .. . yn)dy2dx

=f 2 (x , y1 , y2 , . .. yn )⋮

dyndx

=f n ( x , y1 , y2 , .. . yn)

La solución de este sistema requiere de n condiciones iniciales conocidas para un valor inicial de x.

Una ecuación diferencial de orden superior puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Escriba la ecuación diferencial ordinaria y(n) = f (x, y, y’, y´´, ..., y(n - 1)) como un sistema de ecuaciones de primer orden haciendo las sustituciones

y1 = y, y2 = y’, ..., yn = y(n - 1)

Entonces:

y´1 = y2

y´2 = y3

y’n = f (x, y1, y2, y3, ..., yn )

es un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias.

Por ejemplo, considere el problema de valor inicial.

y´´´ -3y’’ – y’y = 0 y (0) = 0 y´ (0) = 1 y´´ (0) = -1

Despeje en la ecuación diferencial, para su derivada de mayor orden escribiendo y´´´ en términos de x y de sus derivadas de orden menor y´´´ = 3y´´ + y´y. Si hacemos las sustituciones

y1 = y y2 = y’ y3 = y´´

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Entonces

y´1 = y2

y´2 = y3

y3’ = 3y3 + y2 y1

con las condiciones iniciales

y1 (0) = 0y2 (0) = 1y3 (0) = -1

6.5 Aplicaciones

Ley de Newton del enfriamiento

Una esfera de aluminio de 3 cm. de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200 ºC. Entonces, en el instante t = 0, se coloca en aire que se mantiene a una temperatura de 30 ºC. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es de 20 W/m ºC, calcule el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperatura de 150 ºC.

Suponga las siguientes propiedades del aluminio:

k = 210 W / m ºCc = 0.895 J / g ºC = 2.72 g / cm3

Aplicando la primera ley de la termodinámica a la esfera, y suponiendo que el calor fluye tan rápidamente en la esfera que la temperatura es prácticamente la misma en todos los puntos de la misma, el calor disipado por la esfera se puede expresar analíticamente por medio de la ecuación diferencial homogénea:

dTdt

+ hAρ cV

(T−T∞ )=0

Donde

h = coeficiente de transferencia de calor

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A = área de la esfera para la transferencia de calor = densidad de la esferaV = volumen de la esferac = calor especifico de la esfera

hAρ cV

=h( 4πR2 )

ρc( 43πR3 )

= 3hρcR

= 3∗202. 75x 103∗0 .895 x103∗1 .5 x 10−2

=16 .43 x 10−4 s−1

16

dTdt

=−16 . 43x 10−4 (T−30 )

t=0 , T=200 ºC

ConclusiónSolución de una ecuación diferencial: Es una función que no contiene derivadas y

que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. 

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.  Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...  El método de Euler mejorado pertenece a una categoría de técnicas numéricas conocidas como métodos predictor-corrector.

El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud más alto que este.

Bibliografía

Ecuaciones diferenciales ordinarias By Otto Plaat

Prácticas de ecuaciones diferenciales con Mathematica: aplicaciones By Ángel Balaguer Beser

Métodos numéricos en ingeniería: prácticas con Matlab By Arturo Robles del Peso, Julio García Benedito

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Unidad 7

Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales

Introducción

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas.

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7.1 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales

FORMA GENERAL DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

A) Elípticas.

B) Parabólicas

C) Hiperbólicas.

Las ecuaciones diferenciales parciales al igual que las diferenciales

ordinarias, pueden ser lineales o no lineales. En forma análoga a la de una E. D.

ordinaria, la variable dependiente y sus derivadas parciales solo aparecen

elevadas a la primera potencia en una E. D. parcial lineal.

Ecuación diferencial parcial lineal.

Si u representa la variable dependiente y x e y las variables independientes,

la formula general de una E. D. en derivadas parciales lineal de segundo orden

(E. D. P.) con dos variables independientes x e y, es:

A∂2u∂ x2

+B ∂2u∂ x∂ y

+C ∂2u∂ y 2

+D ∂ u∂ x

+E ∂ u∂ y

+Fu=G

A, B, C, D…G son funciones de x e y. Cuando G(x.y)=0, la ecuación se

llama homogénea; en cualquier otro caso es no homogénea.

∂2u∂ x 2

+ ∂2u∂ y 2

=0 Homogénea

∂2u∂ x 2

− ∂u∂ y

=xy No homogénea.

Una ecuación en derivadas parciales lineal de segundo orden con dos

variables independientes y con coeficientes constantes puede pertenecer a uno de

tres tipos generales. Esta clasificación solo depende de los coeficientes de las

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derivadas de segundo orden. Naturalmente suponemos que al menos uno de los

coeficientes A, B, y C no es cero.

La ecuación en derivadas parciales lineal y de segundo orden:

A∂2u∂ x2

+B ∂2u∂ x∂ y

+C ∂2u∂ y 2

+D ∂ u∂ x

+E ∂ u∂ y

+Fu=0

A, B, C, D, E, Y F son constantes reales, es:

Hiperbólica si B2-4AC0

Parabólica si B2-4AC=0

Elíptica si B2-4AC0

Las ecuaciones de segundo orden se clasifican debido al hecho de que se

desea resolver ecuaciones sujetas a ciertas condiciones que pueden ser de

frontera o iniciales. El tipo de condiciones adecuadas para cierta ecuación

depende si es hiperbólica, parabólica o elíptica.

Tipos de condiciones iniciales y de frontera.

a) Dirichlet

b) Newman

Aquí nos ocuparemos de determinar soluciones de las siguientes

ecuaciones clásicas de la físico-matemática.

K∂2u∂ x2

=∂u∂ t , K0 (1)

a2∂2u∂ x2

=∂2udt 2 (2)

∂2u∂ x 2

+ ∂2u∂ y 2

=0 (3)

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O pequeñas variaciones de las mismas. A estas ecuaciones clásicas se les

conoce respectivamente como ecuación en una dimensión del calor, ecuación de

onda unidimensional, ecuación de Laplace en 2 dimensiones. En una dimensión

indica que x representa una variable espacial y que t representa el tiempo.

Obsérvese que de acuerdo a la clasificación de las ecuaciones parciales lineales y

de segundo orden, la ecuación número 1 de transmisión de calor es parabólica, la

ecuación de onda (2) es hiperbólica y la ecuación de Laplace (3) es elíptica.

7.2 Método de diferencias finitas.En análisis numérico, el método de las diferencias finitas es un método utilizado

para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el

limite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en

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diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.

Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.

El primer paso para la aplicación del método consiste en discretizar el recinto del

plano en el que se quiere resolver la ecuación con una malla, por conveniencia cuadrada.

Los puntos de la malla están separados una distancia h en ambas direcciones x e y.

Podemos desarrollar T(x,y) en serie de Taylor alrededor de un punto:

                                     

                                       

Sumando miembro a miembro, agrupando, despreciando los términos o(h3) y

despejando el término de la derivada segunda resulta:

                                                                  

De forma similar se obtiene la expresión equivalente:

                                                                   

Pero de la ecuación de Laplace:

                                                                                                     

por lo tanto:  

              

Lo que significa que el valor de la temperatura en un punto se puede escribir como la

media de las temperaturas de los 4 puntos vecinos.

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7.3 Aplicaciones.CONSISTENCIA: Un esquema en diferencias se dice consistente si la ecuación

discretizada tiende a la ecuación diferencial cuando , , , etc. tienden a cero.Esto es relativamente fácil de verificar, dado que plantear el desarrollo en serie de Taylor es siempre posible.

ESTABILIDAD: El esquema se dice estable si la diferencia entre la solución exacta

y la numérica permanece acotada , con fijo, y siendo además la cota independiente de n.Es decir,

∀ n |uin−u (x i , n Δt )|≤k Δt fijo

Esta condición garantiza que los errores (por ejemplo, los iniciales) no se amplifican con el tiempo. Es una condición para el esquema, y no para la ecuación diferencial. Nótese que esto es muy parecido a decir que las soluciones de la EDP homogénea son acotadas en el tiempo.En realidad, lo que interesa asegurar es que la solución exacta y la aproximada se parezcan; por ello se define un nuevo concepto, el de convergencia.

CONVERGENCIA: El esquema será convergente, si (fijos)

lim ¿ Δx→0 ¿Δt→0 ¿

i , n→+∞ ¿¿¿ |uin−u (i Δx ,n Δt )|=0 para x=i Δx , t=n Δt ¿

fijos

Se pueden vincular las dos primeras condiciones con la tercera, mediante el así llamado Teorema de equivalencia de Lax. "Para un problema de valor inicial well posed con un esquema de discretización consistente, la estabilidad es CN y S para la convergencia".

Por "well posed" se entiende un problema en el cual la solución en todo punto del dominio depende en forma continua de las condiciones iniciales y de borde; ello implica que pequeñas perturbaciones en éstas, producen pequeñas discrepancias en la solución.

ECUACIONES PARABÓLICAS: Son ejemplos de este tipo de ecuación los fenómenos transitorios de transmisión de calor en sólidos, o de difusión molecular.La forma más simple (unidimensional) del problema sería:

∂ φ∂ t

=α∂2 φ∂ x2

+S ( x ,t )⏟

der ( x, t )

Se estudiarán a continuación los esquemas típicamente aplicados a esta tipo de EDP.

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Euler hacia adelante (explícito):φ (x i , tn+1)−φ ( xi , tn)

Δt=der (x i , tn )

Nota: Se indica con un círculo negro los valores incógnita, y con un círculo blanco los ya conocidos.

Euler hacia atrás (implícito):φ (x i , tn+1)−φ ( xi , t n)

Δt=der (x i , tn+1)

Crank-Nicholson (implícito)

Discretiza en (x i , tn+12 ) ; es de segundo orden en

φ (x i , tn+1)−φ ( xi , t n)Δt

=12 [der (x i , tn+1 )+der (x i , tn )]

En cualquiera de los esquemas, debe justificarse la convergencia. Como ello es dificultoso, se intenta justificar la estabilidad.Para ello se puede aplicar el criterio de Von Neumann. El mismo es aplicable a ecuaciones lineales con ; el dominio debe ser no acotado, =cte. y que los coeficientes de la EDP sean también constantes. En estas hipótesis, si la condición inicial es

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combinación lineal de otras funciones, la solución de la EDP será a su vez combinación lineal de soluciones.

Una descomposición apropiada es la de series de Fourier (en variable compleja)

P.ej

11−z

=1+ρ e iϕ+ ρ2 e2iϕ+. .. ..+ ρm emi ϕ |ρ|<1

Cada sumando de la serie está formado por un Nº real que multiplica a las

funciones base (denominadas "modos" o "armónicos")φ (x i , tn)≈φ i

(n )=∑m=1

N

Em(n ) e

jimπN

Así, para el m-ésimo armónico φ in=Em

(n ) ejimπN j=√−1

Para que el esquema sea estable, todos y cada uno de los modos debe

permanecer acotado en el tiempo, o sea, llamando G=

Em(n+1 )

Em(n )

se tiene que

|G|=|Em

(n+1 )

Em(n ) |≤1 ∀θ=m π

N

G es llamado factor de amplificación, y es en general, un número complejo. G depende de , etc.

Así, por ejemplo, para el esquema de Euler hacia adelante.

φi(n+1 )−φ i

(n )

Δt=α

φi−1(n ) −2φi

(n )+φi+1(n )

Δx2 ‖

Se analiza la ecuación homogénea,pues se estudia la perturbación a la solución

φ i(n )=Em

(n ) e j i θ⇒(E(n+1 )−E (n ) )⋅e j i θ

Δt= α

Δx2Em

(n ) [e j (i−1 ) θ −2e j iθ+e j ( i+1 ) θ ] ; dividiendo porE(n ) e j i θ

Δt

Em(n+1 )

Em(n )

−1=α ΔtΔx2

[e− j θ−2+e j θ ] ∴ G=1+2α ΔtΔx2

[ cosθ−1 ]⏞≡−2 sen2( θ2 )

En este caso, G es real, y cumple G≤1−2⋅2⋅sen2(θ2 )α Δt

Δx 2≤1−4

α ΔtΔx2

≤1 ∴

Se observa que, aún tendiendo a cero, no cualquier combinación de , es admisible; el esquema converge sólo si se cumple la condición.

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El criterio de Von Neumann no es una CN ó CS. Se podría decir, a los fines prácticos, que se usa como CN y S, pero hay casos que no la cumplen y sin embargo son convergentes (y no es CS por los efectos de no linealidad, etc. no considerados).

Para el caso de Euler hacia atrás

φi(n+1 )−φ i

(n )

Δt=

α

Δx2 [φi−1(n+1 )−2φ i

(n+1 )+φ i+1(n+1 ) ]

Nuevamente, se estudia un único armónico

(E(n+1 )−E (n ) )Δt

e j i θ= α

Δx2 E(n+1 ) [ e j ( i−1 ) θ−2e j i θ+e j ( i+1 ) θ ]

;

si de divide entre

E(n ) e j i θ

Δt resulta:

E(n+1 )

E(n )−1=α Δt

Δx2 E

(n+1 )

E(n ) 2 (cosθ−1 ) ∴ E

(n+1 )

E (n ) [1−2α ΔtΔx 2

(cosθ−1 )]=1

G= 1

1−2α ΔtΔx2

(cos θ−1 )⏟

¿0

<1 ∀θ ⇒

es incondicionalmente estable.

Se puede ver que, para Crank-Nicholson,

En general, G es un número complejo.

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ConclusiónLa necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos

sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas o métodos numéricos son la parte de análisis numérico la cuál estudia la solución numérica a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Este campo también es conocido como Integración Numérica, pero alguna gente reserva este término para el cómputo de integralesEn estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numéricos

Bibliografía Prácticas de ecuaciones diferenciales con Mathematica: aplicaciones By Ángel Balaguer Beser

Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera By R. KENT AUTOR NAGLE, EDWARD B AUTOR SAFF, ARTHUR DAVID AUTOR SNIDER

Métodos Para la Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias By Liliana Patricia Ospina

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