32015

Aptitud Acadmica

Matemtica

Ciencias Naturales

Cultura General

Preguntas propuestas

lgebra

2

Nmeros complejos

NIVEL BSICO

1. Si i39=ai (2i) 3=bi, donde {a; b} R, deter-

mine el valor de a

b

2

2..

A) 1/64 B) 64 C) 32D) 1/8 E) 4

2. Sea A=i+i2+i3+i4+...+i ab. Halle mn(ab)+mx(ab), tal que A=0.

A) 96 B) 108 C) 12D) 100 E) 112

3. Determine el equivalente reducido de M.

M

i

i

i

i=

+

+

+

1

1

1

1

5

5

5

5

2

A) 2i B) 5i C) 0D) 2 E) 4

4. Determine el valor de n si se sabe que

zn i

i=

+ +( )+

3 12 5

es un complejo real. Considere

que n R.

A) 8,3 B) 8,5 C) 2,5D) 6,5 E) 5,2

5. Determine el valor de b si se sabe que

zi

bi=

++

3 41

es un imaginario puro. Considere

que b R.

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/2D) 1/4 E) 3/4

6. Calcule el mdulo del complejo z si se sabe

que 12 3

1 1+( )+

= +i zi

icos sen .

A) 6 B) 132

C) 12

D) 132

E) 6

NIVEL INTERMEDIO

7. Dado w=(2+i)2+(1+3i)(1 3i) 8i, halle el va-lor de |w|+|w|+|w*|+| w|.

A) 2 34 B) 34 C) 2 136

D) 4 185 E) 8 17

8. Halle la suma A de nmeros complejos. A=(1+i)+(2+i2)+(3+i3)+...+(4n+i4n)

A) n(2n+1) B) 2n(4n+1) C) 0D) n(4n+1) E) 2n(4n 1)

9. Dados z=a2+6i, w=9+(b2+a)i, i = 1 y z=w, indique la alternativa incorrecta.

A) z=9+6i

B) a+b=0 para algunos a b

C) ab = 9 3

D) ab ab= = 3 3 9

E) ab= 1 para algunos a b

10. Sean P(x)=x2 4x+13 z=2 3i, indique la se-

cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) segn corresponda.

I. Pz( ) = 0

II. P(z+2)=4 12i III. P(z*)=0 IV. P(z)=0

A) FVFV B) FFVV C) VVVVD) VVFF E) VVFV

11. Determine la parte real de z15 si z=1+i.

A) 128 B) 128 C) 0D) 1 E) 64

lgebra

3

12. Si z=x+yi; x, y R i = 1, tal que 11

1+

=zz

;

entonces podemos afirmar que I. z es un nmero real. II. z es un nmero primo. III. z es un complejo nulo. IV. z es un imaginario puro.

A) solo IV B) solo III C) I y IID) II y III E) III y IV

NIVEL AVANZADO

13. Se define f(k; x)=x+x2+x3+...+xk+1. Halle el

conjugado de (f(4; i)+f(9; i)).

A) 1+2i B) 1+2i C) 1 2iD) 2 i E) 2 i

14. Sea el complejo

z

ii

ii

ii

i=

+

= 9 31 2

20 42 3

35 53 4

1; ,

determine el valor de Re(z4)

A) 16 B) 32 C) 64D) 32 E) 64

15. Si Re(z1 z2)=1, adems,

k z z z z i= +( )1 2 1 2 , determine el valor de (k+i).

A) 5 B) 3 C) 2

D) 2 E) 1

16. Determine el mdulo del complejo w.

wi i

i i=

+( )

( ) +( )3 5 1

26 2 2 2 2

5 7 2

4 7 7

A) 27 B) 17 C) 14

D) 29 E) 2 47

17. Si

ziiiii

=+

+

+

+

1

11

11

111

determine el valor de z2013.

A) 1 B) 1 C) i

D) i E) 1+i

18. Determine el valor de n si se sabe que el m-dulo del complejo z es igual a n 530 .

z k k ik

k

n= + ( ) +( )

= 1 1

1

2

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

lgebra

4

Ecuaciones polinomiales

NIVEL BSICO

1. Si b es una solucin de la ecuacin x2+7x 5=0, determine el valor de k.

k =

++

2 171 2

A) 5 B) 1 C) 0D) 1 E) 10

2. Determine los valores reales de n, de modo que la siguiente ecuacin paramtrica de in-cgnita x sea compatible determinada.

(2n 1)(n 3)x=(n 5)(n 3)

A) n R {3; 5}

B) n R {3}

C) n R {5}

D) n { }R 12 3;E) n { }R 12

3. Calcule el valor de mn si se sabe que la si-guiente ecuacin paramtrica de incgnita x tiene infinitas soluciones.

(m+n+100)x=2m 40 2n

A) 2400 B) 1000 C) 600D) 1200 E) 2400

4. Determine el valor de para que la siguiente ecuacin paramtrica de variable x sea incom-patible.

(2 1)x=(2 2 3)

A) 1 B) 1 C) 3D) 3 E) 2

5. Resuelva la siguiente ecuacin polinomial. (x2 x+1)(x+1) (x2+x+1)(x 1)=2(x 2)

A) {6} B) 27

15

;{ } C) {3}D) 1

534

; { } E) {0}6. En la ecuacin lineal (5a+10)x2+3ax+48=6x,

calcule el valor de (a+x).

A) 2 B) 2 C) 1D) 1 E) 0

NIVEL INTERMEDIO

7. Si x0 es una solucin de la ecuacin x3 3x2+3x+3=0, determine el valor de M. M=(x0 1)

6 2

A) 12 B) 14 C) 16

D) +4 13 E) 2 13 +

8. Si la siguiente ecuacin de incgnita x es inde-terminada, halle el menor valor de m n.

(m+n)x+6=5x+mn {m; n} Z+

A) 0 B) 1 C) 1D) 2 E) 3

9. Dada la siguiente ecuacin paramtrica de incgnita x.

(9n2 1)x=(3n+1)(n+2) Determine el valor de (12n+1) si se sabe que

el conjunto solucin de la ecuacin es el vaco.

A) 4 B) 5 C) 3D) 13 E) 14

10. Respecto a la ecuacin paramtrica de varia-ble x: (a2 4)x=(9 b2), indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) segn corresponda.

I. Si a=2 b=3 es compatible indetermi-nada.

II. Si a=0 b= 3 es inconsistente III. Si a=2 b 3 es indeterminada.

A) FVV B) VFV C) FFVD) VVV E) VFF

lgebra

5

11. Resuelva la siguiente ecuacin. (x 10)+(2x 9)+(3x 8)+...+(10x 1)=

2+4+6+...+20

A) 2 B) {2} C) 3D) {3} E) {5}

12. Dada la ecuacin polinomial (x2 3x+2)(x2 5x+6)(x2 7x+12)...

(x2 19x+90)=0 si m es la suma de races y n representa la

suma de soluciones, calcule el valor de m2 n2.

A) 4554 B) 6776 C) 5225D) 5335 E) 5445

NIVEL AVANZADO

13. Determine un valor del parmetro para que la siguiente ecuacin de incgnita x sea deter-minada, indeterminada e incompatible, res-pectivamente.

(2 5+6)x=2 4+3

A) 1; 2; 3 B) 5; 2; 3 C) 3; 2; 1D) 2; 3; 1 E) 5; 3; 2

14. Sea la ecuacin lineal de variable x. (x 1)(n2+n)=2 x, donde x Z n Z. Determine el mayor valor de x+n.

A) 5 B) 4 C) 1D) 2 E) 3

15. Si x0 es la solucin de la ecuacin lineal en x.

x a b

cx b c

ax c a

b

+

+

= 3,

donde {a; b; c} R+. Calcule el valor de

x a b

c0 .

A) 2 B) a b c C) 1D) 1 E) 2

16. Determine el valor de la solucin de la siguien-te ecuacin lineal.

(x2 x 3)2+(x2+x+3)2=2x2(x2+1)

A) 4/5 B) 3/2 C) 3/7D) 2/9 E) 3/4

17. Si la ecuacin polinomial tiene 9 races (x q)2(x 2)m(x m)q=0 y la suma de sus races es 26, halle el valor de

q2+m2.

A) 8 B) 25 C) 9D) 10 E) 12

18. Resuelva la siguiente ecuacin lineal de in-cgnita x.

ix ii i ii

+( )+( ) +( )

== 22 1

1032022

100

A) CS = { }12 B) CS = { }99102 C) CS = { }10399D) CS = { }3411 E) CS = { }32

lgebra

6

Ecuaciones cuadrticas

NIVEL BSICO

1. Resuelva la siguiente ecuacin. (x 2)2+(x+1)2=(x 1)2+x+3

A) CS =+

1 22

1 22

i i;

B) CS =+

1 33

1 33

i i;

C) CS =+

1 32

1 32

;

D) CS = +

1 32

1 32

i i;

E) CS =+

1 32

1 32

i i;

2. Determine el valor de la suma de los inversos de las races de la ecuacin 2x2 3x+4=0.

A) 3/4 B) 4/3 C) 3/4D) 4/3 E) 0

3. Si x1 y x2 son las races de la ecuacin x2 x 2=0, determine el valor de T.

T

xx

xx

= +12

2

1

A) 3,6 B) 3,5 C) 6,5D) 2,5 E) 2,6

4. Si las ecuaciones cuadrticas

m n x m n x n

x x

( ) + +( ) + =+ =

2

2

41 0

6 7 20 0 tienen las mismas races, determine el valor

de m/n.

A) 1/3 B) 13 C) 14D) 14 E) 1/13

5. Dado el trinomio f(x)=(r+3)x

2 2(r+3)x+(r2+1), indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-ciones.

I. f(x) tiene races simtricas r= 3 II. f(x) tiene races recprocas r=2 r=1 III. La suma de races de f(x) es 2; r R.

A) VVV B) VFV C) FVVD) FVF E) FFF

6. Sea la ecuacin x2+bx+c=0, indique la rela-cin que cumplen b y c para que sus races se diferencien en 5c.

A) b2=c B) b+1=x C) b=9c

D) b2=9c E) c2=3b

NIVEL INTERMEDIO

7. Las dimensiones exteriores de un marco de fotografa son 12 por 15 cm. Si se sabe que su ancho permanece constante, halle el ancho del marco, tomando en cuenta que el rea de la fotografa es de 88 cm2.

A) 11 cm B) 2,5 cm C) 2 cmD) 4 cm E) 3,5 cm

8. Si x1 x2 son las races de la ecuacin cuadr-tica 234x2+233x+232=0, determine el equiva-lente reducido de M.

M x x x x x x= +( ) + +( ) + +( )234 233 23215 25 14 24 13 23

A) 2 B) 2 C) 3D) 0 E) 3

9. Calcule el valor de 2m 3 si se conoce que las ecuaciones cuadrticas 3mx2+x 2=0 y 45x2+(3m 2)x 2=0 tienen una raz en comn y la raz restante de la segunda ecuacin es el cuadrado de la raz restante de la primera.

Considere m Z.

A) 17 B) 5 C) 7D) 9 E) 19

lgebra

7

10. Qu cantidad es necesaria aumentar a las ra-ces de la ecuacin?

ab

ba

x a b xab

ba

+ +( ) + + =2 2 1

para que las cantidades resultantes sean igua-les en magnitud pero de signos opuestos.

A) a bab

B) aba b

C) a bab+

D) aba b+

E) b aab

11. Dada la ecuacin cuadrtica en x 2x2+2(a+1)x+(a2 1)=0 si la ecuacin tiene 2

races iguales, determine dicha raz. Considere a > 0.

A) 3 B) 2 C) 1D) 4 E) 2

12. Si las ecuaciones polinomiales de incgnita x

x x k

xk

xm

2 2 0

335

+ + =

+ =

son equivalentes, determine el valor de m.

A) 14

B) 35

C) 54

D) 720

E) 720

NIVEL AVANZADO

13. En la ecuacin cuadrtica 2ax2+(3a 1)x+(a+b)=0, calcule un valor de b para que exista un solo

valor de a que permita que las races de dicha ecuacin sean iguales

A) 1/2 B) 1/2 C) 2D) 2 E) 1/4

14. Dadas las ecuaciones cuadrticas 2!x2 0!x+1!=0 3!x2 1!x+2!=0 4!x2 2!x+3!=0

5!x2 3!x+4!=0 11!x2 9!x+10!=0 determine la suma de todas las races.

A) 910

B) 1011

C) 911

D) 79

E) 89

15. Sea la ecuacin cuadrtica ax2+bx+c=0 con races r y s, determine una ecuacin cuadrtica cuyas races son r3 y s3.

A) a3x2 (3abc b3)x+c3=0B) ax2 (3abc b3)x+c=0C) a3x2 (b3 abc)+2c3=0D) (a3+b3+c3)x2+(a2+b2+c2)x+a+b+c=0E) a3x2+b3x+c3=0

16. Determine el valor de x si es el resultado de la siguiente fraccin continua.

x = ++

++

+

11

31

21

31

2 ...

A) 5 B) 3 C) 153

D) 3,1415... E) 2,718281...

17. Si P x e x ex( ) = + + +2 2 21 3 , tal que a b son

las races del polinomio, determine el valor de P(a3) P(b3)

A) e B) 1 C) 0

D) e2 1 E) e 1

18. Determine el mayor valor de p+q si la ecuacin cuadrtica x2+px+q=0 tiene como races a y (1 ); donde es el discriminante.

A) 15/16 B) 13/16 C) 1/16D) 3/4 E) 1/4

lgebra

8

Teoremas sobre ecuaciones polinomiales

NIVEL BSICO

1. Dada la ecuacin x3 4x2+ax 8=0 de races x1, x2 y x3, tal que x1+x2=2, calcule el valor de a.

A) 8 B) 0 C) 4D) 1 E) 2

2. Dada la ecuacin 2 2 2 2 1332 03 2x x x + + = de races a; b; c, indique la secuencia correcta

de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las si-guientes proposiciones.

I. a b c+ + =12

II. ab bc ac+ + =22

III. abc a b c( ) + +( ) = 2 666

A) VFF B) FFF C) VVFD) VVV E) VFV

3. Si a, b y q son las races de la ecuacin cbica ax3+bx2+5x 20=0, determine el valor de E.

E = + +

1 1 1

A) 4 B) 2 C) 100D) 1/2 E) 1/4

4. Si x3+bx+c=0 es una ecuacin cbica de races x1; x2 y x3, determine el valor de L.

L

x x x

x x x=

+ +

+ +13

23

33

12

22

32

A) c/b B) 3c/b C) 3c/2bD) c/b E) b/c

5. Respecto a las races del polinomio P(x)=x

4 2x3+3x2 4x+5, marque la alternativa correcta.

A) No tiene races negativas.B) Solo tiene dos races negativas.

C) Tiene cuatro races negativas.D) Solo tiene tres races negativas.E) Solo tiene una raz negativa.

6. Se sabe que las races de la ecuacin x3 12x2+rx 28=0 estn en progresin aritm-

tica. Halle el valor de r.

A) 20 B) 24 C) 39D) 16 E) 20

NIVEL INTERMEDIO

7. Si la ecuacin cbica x3 3x2+4x+m=0 tiene CS={ 2; a; b}, halle la ecuacin cuadrtica de races a y b.

A) x2 6x+14=0B) x2 7x+14=0C) x2 5x+14=0D) x2 8x+14=0E) x2 4x+14=0

8. Resuelva la ecuacin polinomial (3x 1)(x 1)(3x 2)= 2 e indique la parte imaginaria de una de sus so-

luciones.

A) 2 B) 10 C) 1

D) 23

E) 3

9. Si 2 es una raz doble de la ecuacin polino-mial x3+ax2+b=0, calcule el valor de ab.

A) 10 B) 12 C) 8D) 12 E) 6

10. Resuelva la ecuacin polinomial x7 6x6+19x5 16x4 33x3+22x2+13x=0 si una de sus races es 2 3i.

A) CS={0; 2; 2 3i; 2+3i}B) CS= 0 2 3 2 3 1 1 1 2 1 2; ; ; ; ; ; + + { }i iC) CS= 0 2 3 2 3 1 1 2 5 2 5; ; ; ; ; ; + + { }i iD) CS={0; 2 3i; 2+3i; 1+i; 1 i; 2; 2}E) CS={0; 2; 2; 2 3i; 2+3i; 1; 1}

lgebra

9

11. Si z=1+i es una raz de la ecuacin x5+ax3+b=0, a b R, determine el valor de a+b.

A) 10 B) 12 C) 6D) 15 E) 5

12. La ecuacin de coeficientes racionales x4+mx3+nx2+px+q=0 tiene como races a

tan60 y al resultado de efectuar 3i+2i3 i2. Determine el valor de m+n+p+q.

A) 3 B) 4 C) 4D) 3 E) 2

NIVEL AVANZADO

13. Si la ecuacin x4+mx3+2x+n=0 admite una raz triple, determine su conjunto solucin.

A) {1; 1} B) {1; 2} C) {1; 2}D) {1; 2} E) {1; 2}

14. Si x1; x2 y x3 son las races de la ecuacin c-

bica 3x3 5x+3=0, forme otra ecuacin cbica

de races 3 2

113

1

xx

; x x22

21+ y

53

.

A) x xx3 25

259

1259

0 + =

B) x xx3 25

259

1259

0+ =

C) x xx3 25

259

1259

0 =

D) x xx3 25

259

1259

0+ =

E) x xx3 25

259

125 0 =

15. Indique una raz real de la ecuacin cbica x3 6x+6=0

A) 2 33 3+

B) 5 43 3

C) 2 43 3+

D) 4 23 3

E) +

12

32

43

16. Dada la ecuacin cuadrtica en x

(a2 b)x2 2000ax+1000 000=0; {a; b} Q.

Si una raz es de la forma x1=P1+P2+P3+...+Pn

donde Pn

na n bn =

2, calcule el valor de n.

Considere que n > 0 b I .

A) 10 B) 100 C) 1000D) 10 000 E) 100 000

17. Si P(x)=ax3+bx2+cx+d es un polinomio de

tercer grado cuyas races son trminos de una progresin aritmtica de razn 2, adems, P(1)=1, P(0)=0 y P(1)=1. Determine los va-lores de a y c, respectivamente.

A) 3 y 2 B) 2 y 1 C) 13

43

y

D) 12

12

y E) 1 y 2

18. La figura es un esbozo del grfico del polinomio Y=P(x)=(x a)(x b)(x

2 2x+c)

X

Y

1 2 0

10

Determine una de las races complejas de P(x).

A) 112

i B) 1+i C) 12

i

D) 1+2i E) 2 i

lgebra

10

Ecuaciones bicuadradas y fraccionarias

NIVEL BSICO

1. Respecto a la ecuacin bicuadrada x4 7x2=6x2 36, determine el valor de verdad (V)

o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Su CS={2; 2; 3; 3} II. La suma de los cuadrados de las races es 26. III. Las races estn en progresin aritmtica.

A) VFF B) VVF C) FVFD) VVV E) VFV

2. Halle la suma de los cuadrados de las races de la ecuacin 4x4 17x2+4=0.

A) 1/2 B) 1 C) 17/4D) 17/2 E) 9

3. Si x1; x2; x3 y x4 son las races de la ecuacin bicuadrada x4+x2+2=0, determine el valor de J.

J x x x x x x x x= +( ) + +( ) + +( ) + +( )13 1 23 2 33 3 43 4

A) 1 B) 2 C) 2D) 0 E) 1

4. Reconstruya una ecuacin bicuadrada, donde una de sus races es 1 y, adems, la suma de los cuadrados de sus races sea 20.

A) x2 10x+9=0B) x4+10x2+9=0C) x4 10x2 9=0D) x4 10x2+9=0E) x2 10x+3=0

5. Indique la mayor solucin de la ecuacin

22

1 12

13

16x x+

+ = + +

A) 3 B) 2 C) 0D) 2 E) 1

6. Resuelva la siguiente ecuacin fraccionaria.

2 2 4

8

3 9

61

2

3 2x x

x

x

x x

+( )+

+

=

A) {3} B) { 2; 3} C) { 3}D) {2} E) f

NIVEL INTERMEDIO

7. Si a y b son races de la ecuacin x2 3x+4=0, halle la ecuacin bicuadrada donde dos de sus races son 2a y 2b.

A) x4 8x2+162=0B) x4+8x2+44=0C) x4 4x2+16=0D) x4 12x2+26=0E) x4 4x2+44=0

8. Determine la variacin de , de modo que la ecuacin bicuadrada tenga solo dos races reales.

x4+(1 )x2+2( 3)=0

A) ; 2B) R {5}C) 6; 7D) ; 3E) 0; 3

9. Halle la suma de los cuadrados de las races

que se obtienen en la ecuacin bicuadrada

generada por xx

228

6 0 = .

A) 17 B) 21 C) 12D) 68 E) 6

10. Indique la solucin de la ecuacin

11 2

12 3

13 5

0x x x x x x( ) ( )

+( ) ( )

+( ) ( )

=

A) 11 B) 11/2 C) 11/3D) 11/4 E) 11/5

lgebra

11

11. Dada la ecuacin fraccionaria

11

12

11

0x x x+

++

+

= ,

determine la suma y producto de soluciones, respectivamente.

A) 13

43

y B) 13

43

y C) 13

43

y

D) 143

y E) 43

13

y

12. Si a es la solucin de la ecuacin

x x

x x

x

x

2

2

2

26 10

8 17

3

4

+

+ +=

( )

+( ),

determine el valor de 2a2+a+1.

A) 1/2 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

NIVEL AVANZADO

13. Al resolver la ecuacin bicuadrada de incgnita x. x4 (a b)(x3+1)+(x 1)3 c(x+3) 1=0, determine el producto de todas las soluciones.

A) 12 B) 6 C) 1D) 3 E) 12

14. El producto de tres races de la ecuacin 2x4 (m 46)x2+m=0 es m/6. Halle el valor de m.

A) 36 B) 48 C) 72D) 144 E) 18

15. Si las cuatro races de la ecuacin x4 30x2+(m+1)2=0 estn en progresin aritmtica, halle la suma

de los valores de m.

A) 10 B) 8 C) 2

D) 2 E) 18

16. Calcule la suma de todas las soluciones positi-vas de la ecuacin fraccionaria.

10

16

22

+ +=

x xx x

A) +2 5 17

2

B) + +2 5 17

2

C) 2 5 17

2+ +

D) + +3 5 17

2

E) 3 5 172

+ +

17. Siendo x1 y x2 soluciones de la ecuacin

12

5 1

1

13

5 5

12

2

2

2

2x x

x x

x x

x x

+ +

+

+

+ +

+ +

= ,

determine el valor de 1 1

1 2x x+ .

A) 1/5 B) 15 C) 5

D) 5 E) 1

18. Cul es el producto de las soluciones reales de la siguiente ecuacin?

x

x x xx

x x1 1

1

21

1

31 1

10

2 2+ ++

+ +

+ +=

A) 2 B) 0 C) 1

D) 2 E) 6

Anual UNI

Nmeros complejos01 - B

02 - B

03 - C

04 - D

05 - E

06 - D

07 - D

08 - B

09 - C

10 - E

11 - B

12 - A

13 - C

14 - C

15 - E

16 - B

17 - C

18 - B

01 - A

02 - D

03 - A

04 - A

05 - C

06 - A

07 - B

08 - B

09 - B

10 - E

11 - D

12 - B

13 - E

14 - D

15 - D

16 - B

17 - B

18 - D

ecuacioNes poliNomiales

01 - E

02 - C

03 - D

- - - -

18 - B

ecuacioNes cuadrticas

01 - A

02 - C

03 - E

04 - C

05 - A

06 - C

07 - C

08 - D

09 - B

10 - B

11 - A

12 - A

13 - A

14 - A

15 - D

16 - C

17 - C

18 - D

teoremas sobre ecuacioNes poliNomiales

01 - B

02 - D

03 - D

04 - D

05 - B

06 - E

07 - E

08 - D

09 - C

10 - C

11 - E

12 - E

13 - A

14 - C

15 - D

16 - B

17 - D

18 - D

ecuacioNes bicuadradas y fraccioNarias