AFINIDAD

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN 2º CURSO ITOP

AFINIDAD HOMOLÓGICA ORTOGONAL (ABATIMIENTO)

AFINIDAD HOMOLÓGICA OBLICUA GENERAL

Una afinidad está determinada si conocemos el eje de afinidad, y un par de puntosafines (con lo que, uniéndolos, conoceremos la dirección de afinidad).

OTRAS FORMAS DE DEFINIR LA AFINIDAD

Dando tres pares de puntos afines

(Naturalmente las tres rectas que los unen resultarán paralelas).

Dando dos pares de rectas afines.

PROPIEDADES DE LA AFINIDAD

1. Si un punto M1 divide a un segmento A1 B1en una relación determinada el segmento afín A2 B2 queda dividido por el punto M2, afín de M1, en la misma relación anterior (Teorema de Thales). Por consiguiente el punto medio de un segmento se transforma en el punto medio del segmento afín.

2. Las rectas paralelas tienen por afines rectas que también son paralelas

3. Si una recta t1 es tangente a una curva C1 la afín t2 de esa recta también es tangente a la curva afín C2. Los puntos T1 y T2 de contacto de las respectivas tangentes son también afines y, por consiguiente, la recta que los une es paralela a la dirección de afinidad. Igual sucede con cualquier otra pareja de tangentes q1 q2 etc. y sus puntos de contacto Q1 Q2

4. El punto O2 afín del centro O1 de una curva C1 es el centro de la curva afín C2.

CURVA AFÍN DE UNA CIRCUNFERENCIA (EJE+A1,A2)

1. El centro O2 de la elipse afín se obtiene uniendo O1 con A1 hasta que corte al eje en E y cortando a la recta E A2 con la paralela por O1 a la dirección de afinidad.

2. Dibujemos el diámetro P1 O1 perpendicular a M1 N1 y obtengamos el diámetro afín P2 O2. Los diámetros M2 N2 Y P2 O2 son diámetros conjugados de la elipse

3. En una cónica dos diámetros son conjugados cuando uno es el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas paralelas al otro

4. Las tangentes en los extremas de un diámetro son paralelas a su diámetro conjugado.

OBTENCIÓN DE LOS EJES CONOCIENDO DIÁMETROS CONJUGADOS. CONSTRUCCIÓN DE CHASLES

• Se conocen dos semidiámetros, a´y b´.

1. Por el extremo E de b´ se traza la perpendicular a a´, llevando ER y EQ de igual magnitud que a´.

2. Las bisectrices interior y exterior del ángulo ROQ son los ejes OX e OY de la elipse.

3. Por E se traza paralela a X que corta a OR en P.

4. Los semiejes de la elipse son:

PR = a OP = b

OBTENCIÓN DIRECTA DE LOS EJES

1. Los ejes de la elipse son diámetros conjugados PERPENDICULARES.

2. Debemos elegir dos diámetros perpendiculares de la circunferencia cuyos afines sean perpendiculares.

3. Se halla la mediatriz del segmento O1O2 que corta al eje de afinidad en un punto O que se toma como centro de una circunferencia de radio OO1=OO2 la cual corta al eje de afinidad en los puntos R y S por donde deben pasar los ejes de lo elipse y los diámetros de la circunferencia de los que proceden.

ELIPSE AFÍN ORTOGONAL DE UNA CIRCUNFERENCIA

AFINIDAD ENTRE LAS PROYECCIONES DIÉDRICAS DE UNA FIGURA PLANA

EJE: Intersección plano con 2º bisectorDIRECCIÓN: Perpendicular a la LT.

CASOS PARTICULARES

A. La afinidad que relaciona las dos proyecciones diédricas de una figura plana es, en general, oblicua.

B. En el caso de que el plano de la figura sea paralelo a la línea de tierra o, en particular, pase par ella la afinidad es ORTOGONAL (ya que la intersección de estas planos con el segundo bisector es una recta paralela a la línea de tierra).

C. Cuando el plano en el que está contenida la figura es vertical, de canto, horizontal o frontal no existe la afinidad considerada pues una de las proyecciones de la figura es una recta en la que se confunden todos los puntos. Tampoco tiene objeto hablar de la afinidad en el caso de un plano de perfil ya que tanto la proyección horizontal como vertical de la figura se confunden en una recta.

D. Cuando el plano de la figura, además de ser paralelo a la línea de tierra es perpendicular al primer bisector la afinidad se convierte en un caso particular excepcional: es una TRASLACIÓN de dirección perpendicular a la línea de tierra.

CIRCUNFERENCIA CONTENIDA EN UN PLANO (1)

1. Se abate el centro C sobre H y V con charnelas P y P´.

2. Se dibuja la circunferencia abatida sobre H y sobre V.

3. El eje mayor, 2a, es igual en planta y alzado al diámetro (proyecciones de diámetros horizontal y frontal).

4. Ejes menores sobre línea de máxima pendiente (planta) y sobre línea de máxima inclinación (alzado)

5. Q y S puntos más alto y más bajo

6. V y W puntos más alejado y menos alejado

CIRCUNFERENCIA CONTENIDA EN UN PLANO (2)1. Se abate sobre el plano H la

circunferencia y P´.

2. Los ejes mayores son, 2ª, son iguales al diámetro en planta y alzado (horizontal y frontal por C).

3. Para hallar los ejes menores se abaten los planos proyectantes (Vertical y de Canto) de las líneas de máxima pendiente (sobre H) y máxima inclinación (sobre V).

4. Q y S puntos más alto y más bajo.

5. V y W puntos más alejado y menos alejado.

6. I y D puntos más a la izda. Y más a la dcha. Se obtienen abatiendo una recta de perfil ZZ´y trazando las tangentes a la circunferencia abatida paralelas a ella