TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

Homología y Afinidad

Ejercicio Nº 41Dada una par de segmentos homológicos AB y A'B' y el punto doble P, hallar el homológico del punto C

A

B

P=P'

A'

C

B'

1º Unimos A y B así como A' y B' el punto de corte es un punto del eje.2º Unimos el punto anterior 1 con el punto dado P = P' y tenemos el eje.

A

B

P=P'

A'

C

B'

eje

1

3º Unimos A' y A así como B' y B y obtenemos el punto O centro de Homología.4º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje, si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el punto solicitado

A

B

P=P'

A'

C

B'

eje

1

O

4º Unimos el punto C con O.

A

B

P=P'

A'

C

B'

eje

1

O

5º Unimos el punto C con B o con A en este caso con B y obtenemos el punto 2 del eje, si unimos el punto 2 con B' y prolongamos corta a la recta OC en el punto C' que es el punto solicitado

A

B

P=P'

A'

C

B'

eje

C'

1

O

2

Ejercicio Nº 42De una homología se conocen el centro, O, el eje, e, y la pareja de puntos homólogos A-A'. Hallar el homólogo del punto B.

eje

O

B

A'

A

1º Tomamos un punto cualquiera C y hallamos el homólogo C' por medio del punto A-A', Unimos C con O, unimos C con A y prolongamos C-A hasta que corte el eje en el punto 1, unimos 1 con A' y determinamos el punto C' al cortarse con la recta C-O

eje

O

B

A'

A

C'C

1

2º Unimos B con C y nos da el punto 2 al cortarse con el eje, si unimos el punto C' con el punto 2 y determinamos el punto B' solicitado.

eje

O

B

A'

A

C'C

B'

1

2

Ejercicio Nº 43En una homología se conocen el centro, O, el eje, e y la recta limite RL, hallar la figura homológíca del triángulo ABC

eje

A

B

C

1º El punto C es un punto doble por estar situado en el eje por lo tanto C=C'.

ejeO

A

B

C=C'

RL

2º Prolongamos el lado A-C hasta que corte a la recta limite RL en el punto 1.Unimos el punto anterior 1 con el centro de homología O.

ejeO

A

B

C=C'

RL

1

3º Por el punto C trazamos una paralela a la recta anterior O1, unimos O con A y el punto de corte con la recta anterior nos determina el punto A' homologo del A .

ejeO

A

B

C=C'

RL

A'

1

4º Unimos el punto A' con el punto 2 que corta en B' a la recta O-B y tenemos resuelto el problema

ejeO

A

B

C=C'

RL

A'

1

B'

2

Ejercicio Nº 44Hallar la figura homológica del paralelogramo ABCD conociendo el centro, O, el eje, e, y la recta limite RL‘

A

B

C

D

eje

RL'O

1º El punto A es un punto doble por encontrarse en el eje por lo tanto A=A'.

A=A'

B

C

D

eje

RL'O

2º Trazamos la recta límite RL sabiendo que la distancia entre el eje, el centro de homología y las rectas límites RL y RL' es como se acota en la figura.

A=A'

B

C

D

eje

RL'O

RL

D

D

D'

D'

3º Prolongamos el lado CD hasta que corte a la recta limite RL en el punto 1, unimos el punto 1 con el centro O y por el punto 2 trazamos una paralela a O1 que corta a la recta CO en el punto C' homologo del C.

A=A'

B

C

D

eje

RL'O

RL

C'

1

2

D

D

D'

D'

4º Prolongamos el lado CB hasta que corte al eje en el punto 3 unimos 3 con C' que corta al lado AB en el punto B' que es el punto que nos falta.

A=A'

B

C

D

eje

RL'O

RL

C'

3

1

2

B'

D

D

D'

D'

5º Unimos D con O y obtenemos el vértice D’ homologo del D

A=A'

B

C

D

eje

RL'O

RL

C'D'

3

1

2

B'

D

D

D'

D'

6º Unimos los vértices A’, B’, C’ y D’ y tenemos la figura homologa buscada

A=A'

B

C

D

eje

RL'O

RL

C'D'

3

1

2

B'

D

D

D'

D'

Ejercicio Nº 45Transformación homológica de un cuadrilátero en un cuadradoSea el cuadrilátero ABCD y queremos que su transformada sea un cuadrado.

A

B

C

D

1º Se determina la recta Limite y el Centro de homología. Si Prolongamos los lados opuestos AB y CD, su punto de intersección 1 es un punto de la RL, si prolongamos BC y AD obtenemos el punto 2 que es otro punto de RL, Se traza RL.

A

B

C

D

3

1

4

2

2º Prolongamos las diagonales que cortan a RL en los puntos 3 y 4.El centro de homología debe ser un punto en que se vean los segmentos 1-2 y 3-4 bajo un ángulo recto trazamos dos lugares geométricos que son dos semicircunferencia de diámetros 1-2 y 3-4 que se cortan en el punto C, Centro de homología.

A

B

C

D

RL

3

1

4

2

C

3º El eje se coloca a cualquier distancia solamente influye para la longitud del lado del cuadrado. Unimos el centro de homología con los puntos 1, 2, 3 y 4. Los lados del cuadrado serán paralelos a la dirección C-1 y C-2 como se ve en la figura. Por el eje se trazan paralelas a C-1 y a C-2 tal como vemos y ya tenemos el cuadrado, las diagonales no hace falta trazarlas.

A

B

C

D

RLeje

3

1

4

2

C

Como se ve no hace falta tampoco unir el centro de homología con los puntos A, B, C y D para determinar los homólogos pero se hace para que se vea que cumple la homología

A

B

C

D

RLeje

3

1

4

2

C

D'

A'

B'

C'

Ejercicio Nº 46Transformación homológica de la circunferencia en una elipseDatos centro C, eje e y la recta limite RL, así como la circunferencia de centro O que corta el eje en los puntos J y K.

O

C

JK

RL

eje

Por C trazamos una recta cualquiera CN, por el punto N se trazan las tangentes a la circunferencia t1 y t2, cuyos puntos de tangencia son T1 y T2, centro

O

C

T2

T1

N

1

JK

t1

t2

2

RL

eje

Prolongamos la recta T1-T2 se obtiene el punto M desde el que se trazan las otras dos tangentes t3 y t4 cuyos puntos de tangencia son T3 y T4

O

C

T2

T1

NM

t3

t4

T3

T4

1

JK

3

t1

t2

2

RL

eje

Si unimos T3 y T4 dan otra cuerda que pasa por N . Las direcciones CN y CM son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse

O

C

T2

T1

O1

NM

t3

t4

T3

1

J4

K

3

t1

t2

2 R

RL

eje

Las direcciones CN y CM son las direcciones de los diámetros conjugados de la elipse de centro Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2 Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4 Hallamos los puntos de tangencia de T1, T2, T3 y T4, puntos T'1, T'2, T'3 y T'4.

O

C

T2

T1

O1

NM

t3

t4

T3

O'1

T'2T'3

1

J4

K

3

t1

t2

2 R

RL

eje

Las tangentes desde N cortan al eje en 1 y 2 desde estos trazamos paralelas a la dirección CN y se obtienen las tangentes t'1 y t'2 Las tangentes desde M cortan al eje en 3 y 4 desde estos trazamos paralelas a la dirección CM y se obtienen las tangentes t'3 y t'4

O

C

T2

T1

O1

NM

t3

t4

T3

T4

O'1

T'2T'3

T'4

T'1

1

J4

K

3

3

t1

t2

t'4

t'3

t'2

2 R

RL

eje

Hallamos los homólogos de los puntos de T1, T2, T3 y T4, uniendo estos con el centro de homología y donde corte a las rectas anteriores determinan los punto homólogos T'1, T'2, T'3 y T'4.

O

C

tt'

T2

T1

O1

NM

t3

t4

T3

T4

O'1

T'2T'3

T'4

T'1

1

J4

K

3

3

t1

t2

t'4

t'3

t'2

2 R

RL

eje

Trazamos la elipse

O

C

tt'

T2

T1

O1

NM

t3

t4

T3

T4

O'1

T'2T'3

T'4

T'1

1

J4

K

3

3

t1

t2

t'4

t'3

t'2

2 R

RL

eje

Ejercicio Nº 47En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y la razón de afinidad K = A‘L / AL = -3/4 hallar la figura afín del hexágono regular ABCDEF

e

1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es doble C=C' trazamos perpendiculares al eje dado. Por ser una afinidad ortogonal la dirección de afinidad es perpendicular al eje

e

B

C-C'

D

E

F

2º Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm.) punto s y trazamos una recta r cualquiera concurrente en B y tomamos 4 unidades (cm.) punto t, unimos s y t.

e

B

C-C'

D

E

F

st

r

3º Llevamos la distancia B-3 sobre la recta r punto 3' por este trazamos la paralela a s-t que corta a la perpendicular por B en 4 la relación B-3/B-4, esta en la proporción dada en la razón de afinidad 3/4.

e

B

C-C'

D

E

F

st

3

3'

4

r

3º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B' afín del punto B y que esta en la razón de 3/4.

e

B

C-C'

D

E

F

st

3

3'

4

B' r

4º Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con el eje unimos este punto con B' y determinamos el vértice A'.

e

B

C-C'

D

E

F

st

3

3'

4

B' r

5º Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos con A' y determinamos el vértice D'.

e

B

C- C'

D

E

F

st

3

3'

4

B'

D'

r

6º Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos lo unimos con D' y obtenemos el vértice F'.

e

B

C- C'

D

E

F

st

3

3'

4

B'

F'

D'

r

7º Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'

e

B

C- C'

D

E

F

st

3

3'

4

B'

F'

E'

D'

r

Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura afin del exágono dado.

e

B

C- C'

D

E

F

st

3

3'

4

B'

F'

E'

D'

r

Ejercicio Nº 48Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce B'

A

B B'

C

D

Eje

1º Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C y D trazamos paralelas al eje.

A

B B'

C

D

Eje

2º Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto de corte con el eje con B' y obtenemos el vértice A'.

A

B B'

C

D

Eje

A'

3º Unimos a continuación C con B y el punto de corte con el eje lo unimos con B' y obtenemos el vértice C'.

A

B B'

C

D

Eje

A'

C'

4º Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' y obtenemos el vértice que nos falta D'

A

B B'

C

D

Eje

A' D'

C'

Ejercicio Nº 49En una homología se da el centro O, la recta limite RL y el eje e. Hallar la figura homóloga del polígono ABCDEF.

O

e

B

C

E

F

A

D

1º Prolongamos los lados A-B y A-F, hasta que corten a la recta limite RL en N y M respectivamente. Unimos el centro O con N y M.

O

e

B

C

E

F

N

M

A

D

2º Por el punto A trazamos paralelas a ON y OM unimos el centro O con B y F que cortan a las paralelas a ON y OM respectivamente en B' y F'

O

e

A'

B

C

E

F

N

M

B'

F'

A

D

3º Como BF que contiene a los vértices C y E es paralela al eje su homóloga también lo es, por lo que la recta B'-F' es paralela al eje, unimos B'-F' y nos da el punto C' al cortar a la recta que une O y C, y E’ al cortar la recta O-E.

O

e

A'

B

C

E

F

N

M

B'

F'

AC'

E'D

4º Unimos D y C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' que corta a la recta que une O con D en el vértice D'.

O

e

A'

B

C

D'

E

F

N

M

B'

F'

AC'

E'D

5º Unimos E’ y D’ y tenemos la figura afín de la dada.

O

e

A'

B

C

D'

E

F

N

M

B'

F'

AC'

E'D

Ejercicio Nº 50Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado por el lado AB =30 mm., en una homología de centro O, eje e y siendo A' el punto homólogo de A. Realizar el dibujo a escala 2:1

O

A

A'

B

e

1º Dibujamos los datos dados a escala 2:1

eje

O

A

A'

B

2º Trazamos el Triángulo equilátero de lado dado hacemos centro en A con radio AB, hacemos centro B con el mismo radio y determinamos el otro vértice C. (se podría construir el triángulo por el otro lado)

eje

O

A

A'

B

C

3º Unimos el centro O con A, C y B en estas rectas tienen que estar sus homólogos

eje

O

A

A'

B

C

4º Prolongamos A-B hasta que corte el eje punto 1, unimos el punto 1 con A' y obtenemos B'.

eje

O

A

A'

B

C

B'

5º Unimos A' o B' con el punto que la recta AC o la BC corta al eje y obtenemos el punto C'.

eje

O

A

A'

B

C

B'

C'

Ejercicio Nº 51Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A y A', se pide obtener las figura afín de la dada.

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1º La dirección de afinidad es la recta A-A'

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

d.a

2º Por los vértices restantes B, C, D, E, F, G y H trazamos paralelas a la dirección de afinidad d.a.

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

d.a

3º Prolongamos AB hasta el eje punto 1 unimos este con A' y nos determina el vértice B'.

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1

B'

d.a

4º Unimos B con G que pasa por C y F hasta que corte el eje por este punto unimos con B' y obtenemos los vértices C', F' y G'5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1

B' F'C'

G'

d.a

5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1 2 3 4

B'

D' E'

F'C'

G'

H'

d.a

6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1 2 3 4

B'

D' E'

F'C'

G'

d.a

Ejercicio Nº 52Hallar la figura afín del cuadrado ABCD conociendo el eje y el punto A' afín del A.

A

B

C

D

A'

eje

1º La dirección de afinidad es la recta A-A'.

d.a.

A

B

C

D

A'

eje

2º Por los vértices del cuadrado B, C, y D, se trazan las rectas paralelas a la dirección afinidad A-A'.

d.a.

A

B

C

D

A'

eje

3º Se prolonga el lado AB que corta al eje en el punto 1, unimos este punto 1 con el punto A' y obtenemos el punto B'.

d.a.

A

B

C

D

A'

B'

1

eje

4º Unimos los vértices de las diagonales AC y BD que cortan al eje en los puntos 2 y 3 unimos estos puntos con A' y con B' y obtenemos los puntos C' y D', que son los otros dos vértices de la figura afín.

d.a.

A

B

C

D

A'

C'

D'B'

1

2

3

eje

5º También como vemos podríamos trazar por B' y A' paralelas al eje y obtendríamos los vértices C' y D' si tenemos presente que al ser A-D y B-C paralelas al eje también lo son sus afines A'-D' y B'-C'Se une los vértice y tenemos la figura afín del cuadrado dado.

d.a.

A

B

C

D

A'

C'

D'B'

1

2

3

eje

Ejercicio Nº 53Dado el trapezoide ABCD y el punto doble P = P', hallar el eje y el centro de homología, para que se transforme en un cuadrado el trapezoide ABCD.

P=P'

A

D

B

C

1º Prolongamos los lados del trapezoide que no se corta AB y CD que se cortan en el punto M, AD y BC que se cortan en el punto N, los puntos M y N son puntos de la recta limite RL.

P=P'

A

D

B

C

M

N

2º Prolongamos las diagonales que cortan a la RL en los punto F y Q

P=P'

A

D

B

C

RL F

MQ

N

3º Por P = P' trazamos una paralela a RL que es el eje de homología.

P=P'

A

D

B

C

RL F

MQ

N

eje

4º Para determinar el centro de homología con la condición de que el trapezoide se transforme en un cuadrado tenemos que tener un punto que vea a las diagonales y a los lados que se cortan con un ángulo de 90º, para eso trazamos la mediatriz de MN y trazamos una semicircunferencia de diámetro MN, hacemos lo mismo con los punto de corte de las diagonales FQ y donde se corte ambas semicircunferencias resulta el centro de homología O.

P=P'

A

D

B

C

RL F

MQ

N

O

eje

5º Unimos O con M y con N que son las direcciones de los lados del cuadrado

P=P'

A

D

B

C

RL F

MQ

N

O

eje

8

8

6º Prolongamos las rectas MDC y NDA hasta que corten al eje por los puntos de corte con el eje trazamos paralelas a OM y ON respectivamente, donde se corten ambas paralelas es el vértice D'.

P=P'

A

D

B

C

RL F

MQ

N

O

eje

8

8

7º Por los puntos de corte con el eje de las rectas MDC y NDA trazamos paralelas a OM y ON respectivamente, donde se corten ambas paralelas es el vértice D'.

P=P'

A

D

B

C

RL F

MQ

N

O

eje

8

8

8º Unimos el centro de homología O con los vértices A, B, C y D y obtenemos los vértices homólogos A’, D’ y C’

P=P'

A

D

B

C

RL F

MQ

N

O

eje

8

8

C'

A'

D'

9º Unimos C’ con el punto de corte del lado B-C con el eje y obtenemos el vértice B’, se podria hacer lo mismo uniendo A’ con el punto de corte del lado A-B.

P=P'

A

D

B

C

RL F

MQ

N

O

eje

8

8

C'

B'

A'

D'

Ejercicio Nº 54Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A', se pide hallar la figura afín de la dada. Realizar el dibujo a escala 2:

e

A

A'

1º Reproducimos los datos dados a la escala solicitada 2:1

A

A'

eje

2º Determinamos la dirección de afinidad que es la recta A-A'.

d.a

A

A'

eje

3º Por los vértices B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad.

d.a

A

A'

B

C

D

eje

4º Unimos A' con el punto de corte del lado AB con el eje punto 1 y lo prolongamos hasta que corte a la paralela trazada por B y nos determina el vértice B'.

d.a

A

A'

B'

B

C

D

eje

1

5º Unimos B' con el punto de corte del lado BC con el eje punto 2 prolongando obtenemos el punto C'.

d.a

A

A'

B'

B

C

C'

D

eje

1

2

6º prolongamos el lado DC hasta que corte al eje en el punto 3 unimos este con C' y obtenemos el vértice D'.

d.a

A

A'

B'

B

C

C'

D

D'

eje

1

23

Ejercicio Nº 55Dada la afinidad determinada en la figura determinar los ejes de la elipse afín de la circunferencia dada y trazar la elips

r

s C

s'

r'

1º La dirección de afinidad (d.a.) es la recta que une P y P' puntos donde se cortan r-s y r'-s'.

r' s'

C

s

r

P

P'

d.a

2º Determinamos el eje de afinidad por los puntos dobles donde se cortan r - r' y s-s' puntos 1-1' y 2-2'.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

1-1'

2-2'

3º Por C trazamos una paralela al eje de afinidad que corta a r en el punto 3, por este punto trazamos la recta 3-3' paralela a la dirección de afinidad que corta en 3' a r', y por 3' una paralela al eje, por C otra paralela a la dirección de afinidad que se corta con la anterior en C' afín del C.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

1-1'

2-2'3

3'

4º Trazamos el diámetro ED perpendicular al AB, por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que nos determina directamente A' y B‘.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

1-1'

2-2'3

3'

4º Prolongamos el diámetro ED hasta que corte al eje de afinidad este punto lo unimos con C' y determinamos los punto D' y E'.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'1-1'

2-2'3

3'

5º Por C' levantamos una perpendicular a A'-B' y llevamos la distancia C'-A', punto M’

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'

1-1'

2-2'3

3'

6º Unimos el punto M’ con E' y trazamos una circunferencia en el punto medio de E'-M’ que pase por E' y M’ unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'

1-1'

2-2'3

3'

7º Unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'N'

N'

1-1'

2-2'3

3'

8º Trazamos dos circunferencias de centro C' y radios C'-N y C'-N‘.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'N'

N'

1-1'

2-2'3

3'

9º Por C' trazamos las paralelas a N-E' y N-M que son las direcciones de los ejes de la elipse y nos determinan los puntos H', I', G', F'.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'N'

N'F'

G'

H'

I'

1-1'

2-2'3

3'

7º Para determinar mas puntos se trazan diámetros cualesquiera y en sus puntos de corte con las circunferencias de diámetros los ejes de la elipse paralelas a los ejes tal como vemos en la figura

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'N'

N'F'

G'

H'

I'

1-1'

2-2'3

3'

Ejercicio Nº 56Hallar la figura afín de la circunferencia dada sabiendo que el punto afín del centro es el punto O'. Realizar el dibujo a escala 2:1

e

O

O'

1º Dibujamos los datos a escala 2:1

eje

O

O'

2º La dirección de afinidad es la recta O-O' que une los centros.

eje

O

O'

d.a

3º Hallamos la mediatriz de O-O', donde esta corta al eje de afinidad punto G trazamos una circunferencia de diámetro O-O', que corta al eje en los puntos M y N que son puntos de los ejes.

eje

O

O'

d.a

GM

N

4º Unimos N y M con O y O' y estas rectas son los ejes perpendiculares de la elipse y de la circunferencia.

eje

O

O'

d.a

A

B

C

D

GM

N

5º determinamos los extremos de los ejes de la circunferencia A-B y C-D.Por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que al cortase los las rectas M-O' y N-O' nos determinan los extremos de los ajes de la elipse.

eje

O

O'

d.a

A

B

C

D

G

C'A'

D'B'

M

N

6º Por ultimo se dibuja la elipse 6º Por ultimo se dibuja la elipse

eje

O

O'

d.a

A

B

C

D

G

C'A'

D'B'

M

N