TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

Afinidad

Ejercicio Nº 1.- Hallar el punto afín del B conociendo el eje de afinidad y un par de puntos afines A y A'.

eje

A'

B

A

1.- Tomamos un punto C cualquiera, por C trazamos una paralela a la dirección de afinidad A-A’, unimos A con C y obtenemos el punto 1-1’, se une a continuación el punto 1-1’ con A’ y obtenemos el punto C’ afín del C.

eje

A'

B

A

CC'

1-1'

2.- Una vez que tenemos el punto C-C’ de la misma afinidad que la dada. Unimos B con C y obtenemos el punto 2-2’ que unido con C’ nos determina el punto B’ afín del B.

eje

A'

B

A

CC'

1-1' 2-2'

B'

Ejercicio Nº 2.- Hallar la figura afín del triángulo ABC conociendo el eje y un punto A' afín del A.

ejeC

A

B

A'

1.- Unimos los puntos afines A y A’ y obtenemos la dirección de afinidad. Por B y C trazamos paralelas a esta dirección A-A’

ejeC

A

B

A'

2.- Unimos A y B y determinamos el punto 1-1’, unimos este con el A’ y obtenemos el punto B’ afín del B.

ejeC

A

B

A'

B'

1-1'

3.- Unimos C y B y determinamos el punto 2-2’, unimos este con el B’ y obtenemos el punto C’ afín del C.

ejeC

A

B

A'

B'

1-1'

2-2'

C'

4.- Unimos A’ C’ y B’ obtenemos la figura afín de la dada. También podríamos obtener el punto C trazando una paralela por A’ al ser la recta A-C paralela al eje también lo es la afín A’-C’.

ejeC

A

B

A'

B'

1-1'

2-2'

C'

Ejercicio Nº 3.- Hallar la figura afín del cuadrado ABCD dado.

eje

A B

CD

A'

1.- Determinamos la dirección de afinidad A-A’. Trazamos por los puntos B, C y D paralelas a la recta A-A’.

eje

A B

CD

A'

2.- Como la recta A-B es paralela al eje la recta afín A’-B’ será también paralela al eje, por tanto por A’ trazamos la paralela a A-B y obtenemos B’.

eje

A B

CD

A' B'

3.- Como la recta A-D y B-C cortan al eje las afines A’-B’ y B’-C’ cortaran al eje en el mismo punto. Se une A’ y B’ con el punto donde A-D y B-C corta al eje y obtenemos los punto D’ y C’.

eje

A B

CD

A' B'

D' C'

4.- Se unen los puntos A’,B’, C’ y D’ y obtenemos la figura afín de la fig. dada.

eje

A B

CD

A' B'

D' C'

Ejercicio Nº 4.- Hallar la figura afín de un triángulo ABC, sabiendo que la razón de afinidad es -1 y se trata de una afinidad ortogonal.

eje

A B

C

1.- Al ser una afinidad ortogonal y de razón -1 se trata en realidad de una simetría axial. Por los puntos A, B y C trazamos perpendiculares al eje.

eje

A B

C

2.- Determinamos los puntos A’, B’ y C’ simétricos de A, B y C.

eje

A B

C

B'

C'

A'

3.- Unimos los puntos A’, B’ y C’ y tenemos la fig. afín de la dada.

eje

A B

C

B'

C'

A'

Ejercicio Nº 5.- Conocidas dos figuras afines ABC y A‘ B‘ C' determinar el punto afín de un punto dado P.

C'

A

A'

P B'

B

C

1.- Unimos los puntos A y A’ ( o B-B’ o C-C’) y tenemos la dirección de afinidad.

C'

A

A'

P B'

B

C

2.- Prolongamos A-B y A’-B’ que se cortan en el punto 1 que es un punto del eje, prolongamos también C-B y C’-B’ y obtenemos el punto 2 que resulta otro punto del eje, se unen y se determina el eje de afinidad.

C'

A

A'

P B'

B

C

eje

1

2

3.- Se une por ejemplo P con A, que se cortan en el punto 3, se une este punto con el A’ y determinamos el P’ afín del punto P.

C'

A

A'

P B'

B

C

eje

1

2

3

P'

Ejercicio Nº 6.- En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y la razón de afinidad K = A‘L / AL = -3/4 hallar la figura afín del hexágono regular ABCDEF.

e

1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es doble C=C' trazamos perpendiculares al eje dado. Por ser una afinidad ortogonal la dirección de afinidad es perpendicular al eje

e

B

C-C'

D

E

F

2º.- Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm.) punto s y trazamos una recta r cualquiera concurrente en B y tomamos 4 unidades (cm.) punto t, unimos s y t.

e

B

C-C'

D

E

F

st

r

4º.- Llevamos la distancia B-3 sobre la recta r punto 3' por este trazamos la paralela a s-t que corta a la perpendicular por B en 4 la relación B-3/B-4, esta en la proporción dada en la razón de afinidad 3/4.

e

B

C-C'

D

E

F

st

3

3'

4

r

5º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B' afín del punto B y que esta en la razón de 3/4.

e

B

C-C'

D

E

F

st

3

3'

4

B' r

6º.- Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con el eje unimos este punto con B' y determinamos el vértice A'.

e

B

C-C'

D

E

F

st

3

3'

4

B' r

7º.- Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos con A' y determinamos el vértice D'.

e

B

C- C'

D

E

F

st

3

3'

4

B'

D'

r

8º.- Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos lo unimos con D' y obtenemos el vértice F'.

e

B

C- C'

D

E

F

st

3

3'

4

B'

F'

D'

r

9º.- Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'

e

B

C- C'

D

E

F

st

3

3'

4

B'

F'

E'

D'

r

10.- Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura afín del exágono dado.

e

B

C- C'

D

E

F

st

3

3'

4

B'

F'

E'

D'

r

Ejercicio Nº 7.- Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce B'

A

B B'

C

D

Eje

1º.- Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C y D trazamos paralelas al eje.

A

B B'

C

D

Eje

2º.- Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto de corte con el eje con B' y obtenemos el vértice A'.

A

B B'

C

D

Eje

A'

3º.- Unimos a continuación C con B y el punto de corte con el eje lo unimos con B' y obtenemos el vértice C'.

A

B B'

C

D

Eje

A'

C'

4º.- Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' y obtenemos el vértice que nos falta D'

A

B B'

C

D

Eje

A' D'

C'

Ejercicio Nº 8.- Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A y A', se pide obtener las figura afín de la dada.

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1º.- La dirección de afinidad es la recta A-A'

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

d.a

2º.- Por los vértices restantes B, C, D, E, F, G y H trazamos paralelas a la dirección de afinidad d.a.

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

d.a

3º.- Prolongamos AB hasta el eje punto 1 unimos este con A' y nos determina el vértice B'.

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1

B'

d.a

4º.- Unimos B con G que pasa por C y F hasta que corte el eje por este punto unimos con B' y obtenemos los vértices C', F' y G'5º.- Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.6º.- Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1

B' F'C'

G'

d.a

7º.- Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1 2 3 4

B'

D' E'

F'C'

G'

H'

d.a

8º.- Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada

eje

A

A'

BC

D

E

F

G

H

1 2 3 4

B'

D' E'

F'C'

G'

d.a

Ejercicio Nº 9.- Hallar la figura afín del cuadrado ABCD conociendo el eje y el punto A' afín del A.

A

B

C

D

A'

eje

1º.- La dirección de afinidad es la recta A-A'.

d.a.

A

B

C

D

A'

eje

2º.- Por los vértices del cuadrado B, C, y D, se trazan las rectas paralelas a la dirección afinidad A-A'.

d.a.

A

B

C

D

A'

eje

3º.- Se prolonga el lado AB que corta al eje en el punto 1, unimos este punto 1 con el punto A' y obtenemos el punto B'.

d.a.

A

B

C

D

A'

B'

1

eje

4º.- Unimos los vértices de las diagonales AC y BD que cortan al eje en los puntos 2 y 3 unimos estos puntos con A' y con B' y obtenemos los puntos C' y D', que son los otros dos vértices de la figura afín.

d.a.

A

B

C

D

A'

C'

D'B'

1

2

3

eje

5º.- También como vemos podríamos trazar por B' y A' paralelas al eje y obtendríamos los vértices C' y D' si tenemos presente que al ser A-D y B-C paralelas al eje también lo son sus afines A'-D' y B'-C'Se une los vértice y tenemos la figura afín del cuadrado dado.

d.a.

A

B

C

D

A'

C'

D'B'

1

2

3

eje

Ejercicio Nº 10.- Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A', se pide hallar la figura afín de la dada. Realizar el dibujo a escala 2:

e

A

A'

1º.- Reproducimos los datos dados a la escala solicitada 2:1

A

A'

eje

2º.- Determinamos la dirección de afinidad que es la recta A-A'.

d.a

A

A'

eje

3º.- Por los vértices B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad.

d.a

A

A'

B

C

D

eje

4º.- Unimos A' con el punto de corte del lado AB con el eje punto 1 y lo prolongamos hasta que corte a la paralela trazada por B y nos determina el vértice B'.

d.a

A

A'

B'

B

C

D

eje

1

5º.- Unimos B' con el punto de corte del lado BC con el eje punto 2 prolongando obtenemos el punto C'.

d.a

A

A'

B'

B

C

C'

D

eje

1

2

6º.- Prolongamos el lado DC hasta que corte al eje en el punto 3 unimos este con C' y obtenemos el vértice D'.

d.a

A

A'

B'

B

C

C'

D

D'

eje

1

23

Ejercicio Nº 11.- Dada la afinidad determinada en la figura determinar los ejes de la elipse afín de la circunferencia dada y trazar la elipse

r

s C

s'

r'

1º.- La dirección de afinidad (d.a.) es la recta que une P y P' puntos donde se cortan r-s y r'-s'.

r' s'

C

s

r

P

P'

d.a

2º.- Determinamos el eje de afinidad por los puntos dobles donde se cortan r - r' y s-s' puntos 1-1' y 2-2'.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

1-1'

2-2'

3º.- Por C trazamos una paralela al eje de afinidad que corta a r en el punto 3, por este punto trazamos la recta 3-3' paralela a la dirección de afinidad que corta en 3' a r', y por 3' una paralela al eje, por C otra paralela a la dirección de afinidad que se corta con la anterior en C' afín del C.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

1-1'

2-2'3

3'

4º.- Trazamos el diámetro ED perpendicular al AB, por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que nos determina directamente A' y B‘.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

1-1'

2-2'3

3'

5º.- Prolongamos el diámetro ED hasta que corte al eje de afinidad este punto lo unimos con C' y determinamos los punto D' y E'.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'1-1'

2-2'3

3'

6º.- Por C' levantamos una perpendicular a A'-B' y llevamos la distancia C'-A', punto M’

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'

1-1'

2-2'3

3'

7º.-Unimos el punto M’ con E' y trazamos una circunferencia en el punto medio de E'-M’ que pase por E' y M’ unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'

1-1'

2-2'3

3'

8º.-Unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'N'

N'

1-1'

2-2'3

3'

9º.- Trazamos dos circunferencias de centro C' y radios C'-N y C'-N‘.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'N'

N'

1-1'

2-2'3

3'

10º.- Por C' trazamos las paralelas a N-E' y N-M que son las direcciones de los ejes de la elipse y nos determinan los puntos H', I', G', F'.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'N'

N'F'

G'

H'

I'

1-1'

2-2'3

3'

11º.- Para determinar mas puntos se trazan diámetros cualesquiera y en sus puntos de corte con las circunferencias de diámetros los ejes de la elipse paralelas a los ejes tal como vemos en la figura.

r' s'

C

s

r

eje

P

P'

d.a

C'

A

B

A'

B'

E

D

D'

E'

M'N'

N'F'

G'

H'

I'

1-1'

2-2'3

3'

Ejercicio Nº 12.- Hallar la figura afín de la circunferencia dada sabiendo que el punto afín del centro es el punto O'. Realizar el dibujo a escala 2:1

e

O

O'

1º.-Dibujamos los datos a escala 2:1

eje

O

O'

2º.- La dirección de afinidad es la recta O-O' que une los centros.

eje

O

O'

d.a

3º.- Hallamos la mediatriz de O-O', donde esta corta al eje de afinidad punto G trazamos una circunferencia de diámetro O-O', que corta al eje en los puntos M y N que son puntos de los ejes.

eje

O

O'

d.a

GM

N

4º.- Unimos N y M con O y O' y estas rectas son los ejes perpendiculares de la elipse y de la circunferencia.

eje

O

O'

d.a

A

B

C

D

GM

N

5º.- Determinamos los extremos de los ejes de la circunferencia A-B y C-D. Por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que al cortase los las rectas M-O' y N-O' nos determinan los extremos de los ajes de la elipse.

eje

O

O'

d.a

A

B

C

D

G

C'A'

D'B'

M

N

6º.- Por ultimo se dibuja la elipse.

eje

O

O'

d.a

A

B

C

D

G

C'A'

D'B'

M

N

Ejercicio Nº 13.- Obtener la figura transformada del pentágono regular ABCDE de lado AB conocido, tras aplicarle primero una afinidad de eje e y conocido un punto A' afín del A y posteriormente una homotecia de centro O y siendo A'' el transformado de A'. Dibuja el pentágono regular a la izquierda del lado AB.

A

O

B

e

A'

A''

2º.- Comenzamos por construir el pentágono regular como ya sabemos.

A

O

B

e

A'

A''

3º.- Seguimos la construcción del pentágono.

A

O

B

e

A'

A''

E

4º.- Se termina el pentágono.

A

O

B

e

A'

A''

C

D

E

5º.- Determinamos la dirección de afinidad A-A’.

A

O

B

e

A'

A''

C

D

E

6º.- Por los vértices C, D y E trazamos paralelas a la dirección de afinidad A-A’.

A

O

B

e

A'

A''

C

D

E

7º.- Unimos E-A y prolongamos para que corte al eje y se une con A’ para determinar E’.

A

O

B-B'

e

A'

A''

C

D

EE'

8º.- Unimos D con A hasta que corte al eje y se une este punto del eje con A’ y nos determina D’.

A

O

B-B'

e

A'

A''

C

D

E

D'

9º.- Prolongamos el lado D-C para que corte al eje y se une este punto del eje con D’ y nos determina C’, como el punto B es un punto doble B-B’, tenemos la figura afín de la dada.

A

O

B-B'

A'

C

D

EE'

C'

D'

10º.- La homotecia tiene la propiedad de que los puntos se encuentran en línea recta con el centro de homotecia y las rectas son paralelas, tal como vemos con O-A’-A’’.

A

O

B-B'

e

A'

A''

C

D

EE'

C'

D'

11º.- Unimos O con E’ y por A’’ trazamos una paralela al lado A’-E’ y determinamos el vértice E’’.

A

O

B-B'

A'

A''

C

D

EE'

C'

D'

E''

12º.- Unimos O con D’ y por E’’ trazamos una paralela al lado D’-E’ y determinamos el vértice D’’.

A

O

B-B'

e

A'

A''

C

D

EE'

C'

D'

E''

D''

13º.- Unimos O con C’ y por D’’ trazamos una paralela al lado D’-C’ y determinamos el vértice C’’.

A

O

B-B'

e

A'

A''

C

D

EE'

C'

D'

E''

D''

C''

14º.- Unimos O con B’ y por A’’ trazamos una paralela al lado A’-B’ y determinamos el vértice B’’. Unimos B’’ con C’’ y tenemos la transformada solicitada.

A

O

B-B'

e

A'

A''

C

D

EE'

C'

D'

E''

D''

C''

B''