INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TIERRA BLANCA

MATERIA:GRAFICACIN

PRESENTAN: MNICA STEPHANI CARRILLO MARTNEZ ANUAR RAJIV VIVEROS SACAULA

DOCENTE:EVA MORA COLORADO

CARRERA:INGENIERA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

GRUPO:602-A

TIERRA BLANCA VERACRUZ A 19 DE ABRIL DEL 2012

Contenido

ndice1

Introduccin2

COMBINACIN DE TRANSFORMACIONES GEOMTRICAS3

Transformaciones Geomtricas en 3D4

Escalacin en 3D4

Traslacin en 3D7

Rotacin en 3D8

Frmula para Escalar en 3D11

Frmula para Trasladar en 3D12

Frmula para Rotar en 3D13

Conclusin14

Bibliografa15

Introduccin

En esta investigacin hablaremos del concepto de combinaciones de transformaciones geomtricas, as como tambin de las frmulas de las trasformaciones bsicas en 3DTambin comentaremos de las transformaciones bsicas y que coordenadas trabajan.Las formas y figuras grficas se pueden alterar o manipular como: cambiar su dimensin cambiar su posicin rotarlas reflejarlas enchuecarlasAplicando transformaciones geomtricas a las figuras u objetos deseados, se pueden alterar o manipular. Una transformacin geomtrica altera la descripcin de las coordenadas de los objetos.Una transformacin geomtrica puede aplicarse a figuras planas (2D) o a objetos en el espacio (3D).

COMBINACIN DE TRANSFORMACIONES GEOMTRICAS

A un objeto se le puede aplicar una operacin compleja en la que intervengan varias operaciones bsicas encadenadas si se logra multiplicar las matrices correspondientes a las trasformaciones geomtricas a combinar y as se obtiene una matriz compuesta. A esas operaciones complejas se les llama combinaciones de transformaciones geomtricas.Una transformacin geomtrica es una operacin o combinacin de varias operaciones, en que, partiendo de una figura original, se obtiene una nueva figura denominada imagen. Podemos clasificar las transformaciones en: Isomtricas.La imagen conserva la forma, las dimensiones y los ngulos del original. Pueden ser directas, si se conserva el sentido de ordenacin de los puntos (giro, traslacin, simetra central) o indirectas, si no se conserva este sentido (simetra axial). Isomrficas.La imagen conserva la forma y los ngulos del original, pero no las dimensiones que ahora sern proporcionales con las del original. Son transformaciones isomrficas la semejanza y la homotecia. Anamrficas.Es cuando la imagen no conserva la forma del original. Son transformaciones anamrficas la homologa, la afinidad y la inversin.

Las operaciones bsicas de transformaciones son Traslacin Escalamiento Rotacin.

Transformaciones Geomtricas en 3D

Las transformaciones geomtricas 3D son extensiones de las transformaciones geomtricas 2D, pero con la incorporacin del eje Z. Si los puntos que se alteran puntos con coordenadas (x, y, z), la transformacin es en 3D.Entre ellas destacan: Escalacin Traslacin RotacinEscalacin en 3D

Esta operacin nos permitir cambiar las dimensiones de un objeto.Requiere de 3 parmetros: Sx = Factor de escalacin en X Sy = Factor de escalacin en Y Sz = Factor de escalacin en ZEl escalamiento implica el cambio de tamao de un poliedro, donde cada punto p=(x1, x2, x3) es transformado por la multiplicacin de tres factores de escalamiento: s1, s2, s3 a lo largo de los ejes x1, x2, x3 respectivamente, de esta forma las coordenadas del nuevo punto p=(x1, x2, x3) se obtiene como:X1= x1* s1X2= x2* s2X3= x3* s3Sea S= (s1, s2, s3) el vector de factores de escalamiento y S(s) es la matriz de escalamiento, en coordenadas homogneas el escalamiento de un punto p en 3D se puede expresar como el producto matricial p=p*S(s), es decir:

Expresin matricial para el escalamiento 3D

Cuando:Sx, Sy, Sz > 1 Aumenta la dimensinSx, Sy, Sz < 1 Disminuye la dimensin Sx, Sy, Sz = 1 Se mantiene la dimensin

Representacin de EscalacinTraslacin en 3D

La Traslacin nos permitir cambiar la posicin de un objeto, movindolo en lnea recta desde una posicin inicial a la posicin final.Requiere de 3 parmetros: Tx = Desplazamiento en X Ty = Desplazamiento en Y Tz = Desplazamiento en ZEl punto (x, y, z) es trasladado Tx en el eje x, Ty en el eje y Tz en el eje z, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto p=(x, y, z) con la operacin de matriz P = T x P se obtiene como:X= x +TxY= y +TyZ= z + TzSea T= (Tx, Ty, Tz) el vector de distancias, y P (T) la matriz de traslacin, en coordenadas homogneas la traslacin de un punto p en 3D se puede expresar como el producto matricial p=p*T (d), es decir:

Tx, Ty, Tz > 0 Desplazamiento positivoTx, Ty, Tz < 0 Desplazamiento negativo Tx, Ty, Tz = 0 No hay desplazamiento

Representacin de la Traslacin.

Rotacin en 3D

Una rotacin tridimensional se puede especificar alrededor de cualquier lnea en el espacio. Los ejes de rotacin ms fciles de manejar son los paralelos a los ejes de coordenadas. Los ngulos de rotacin positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de coordenadas. Rotacin 3D en torno al eje XNos permite rotar o girar un objeto en torno al eje X un ngulo dado.Requiere de un parmetro: q = ngulo de rotacin.Cuando: q > 0 Rotacin contraria a sentido de las manecillas del reloj q < 0 Rotacin en el sentido de las manecillas del reloj q = 0 Sin rotacinLa matriz de rotacin respecto al eje x se especifica como:

Representacin grfica de rotacin en el eje x en 3D Rotacin 3D en torno al eje YNos permite rotar o girar un objeto en torno al eje Y un ngulo dado Requiere de 1 parmetro: q = ngulo de rotacin q > 0 Rotacin contraria a sentido de las manecillas del reloj q < 0 Rotacin en el sentido de las manecillas del reloj q = 0 Sin rotacinLa matriz de rotacin respecto al eje y se especifica como:

Representacin Grafica de Rotacin 3D entorno al eje Y

Rotacin 3D en torno al eje ZNos permite rotar o girar un objeto en torno al eje Z un ngulo dado Requiere de 1 parmetro: q = ngulo de rotacin.Cuando: q > 0 Rotacin contraria a sentido de las manecillas del reloj. q < 0 Rotacin en el sentido de las manecillas del reloj. q = 0 Sin rotacin

La matriz de rotacin respecto al eje z se especifica como:

Representacin en 3D de rotacin respecto al eje Z

Frmula para Escalar en 3D

La frmula para escalar en 3D:X=x*SxY=y*SyZ=z*SzDnde:Sx = Factor de Escalacin en XSy = Factor de Escalacin en YSz = Factor de Escalacin en Z

El punto p=(x1, x2, x3) es transformado por la multiplicacin de tres factores de escalamiento: s1, s2, s3 a lo largo de los ejes x1, x2, x3 respectivamente, de esta forma las coordenadas del nuevo punto p=(x1, x2, x3) se obtiene como:X1= x1* s1X2= x2* s2X3= x3* s3S= (s1, s2, s3) es el vector de factores de escalamiento S(s) es la matriz de escalamientoEl producto matricial es p=p*S(s)

Frmula para Trasladar en 3D

El punto (x, y, z) es trasladado a Tx en el eje X, Ty en el eje Y, Tz en el eje Z, de esta manera las coordenadas del nuevo punto p=(x, y, z) con la operacin de matriz:P = T x PSe obtiene como resultado la frmula siguiente:X= x +TxY= y +TyZ= z + TzDnde:T= (Tx, Ty, Tz) es el vector de distanciasP (T) la matriz de traslacin.En coordenadas homogneas la traslacin de un punto p en 3D se puede expresar como el producto matricial p=p*T (d), es decir:

Frmula para Rotar en 3D

Por cada punto p= (x1, x2, x3) dado un ngulo , puede ser rotado sobre el eje X3 en sentido contrario a las manecillas del reloj, as se obtiene las coordenadas del nuevo punto p=(x1 , x2 , x3), la coordenada x3 quedo sin cambio, la frmula para la rotacin 3D queda como:

Sea R3 () la matriz de rotacin alrededor del eje X3 , en coordenadas homogneas la rotacin de un punto p alrededor de dicho eje, se expresa como el producto matricial p=p* R3 (), es decir:

Conclusin

En conclusin, podemos decir que la combinacin de transformaciones geomtricas se logra multiplicando las matrices correspondientes a las trasformaciones geomtricas bsicas (Escalacin, Traslacin y Rotacin) a combinar y as obteniendo una matriz compuesta.Las transformaciones geomtricas se pueden aplicar a objetos en el espacio, y si alteran los puntos de las coordenadas (x, y, z), la transformacin es en 3D.Tambin vimos las frmulas de las transformaciones en 3D de traslacin, escalacin y rotacin, y podemos cambiar su posicin, su dimensin y girar o rotar en torno al eje de un objeto.

Bibliografa

catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/mcc/.../capitulo3.pdf

dis.um.es/~ginesgm/files/doc/pav/tema4.ppt

nafiux.com/itz/.../9.00A11.00/.../CONFERENCIA910martes.ppt

www.colegiosangabriel.com/imagen/BACHILLERATO/1%C2%BA%20BACH%20ASIGNATURAS%20TRABAJOS/DIBUJO%20T%C3%89CNICO/Tema%202%20%20DIBUJO%20T%C3%89CNICO%20I%20%20Transformaciones%20geom%C3%A9tricas.pdf

alereimondo.no-ip.org/OpenCV/uploads/41/tema4.pdf

http://www.angelfire.com/ma4/g_transform/

http://graficasmotul.blogspot.mx/2009/09/composicion-de-transformaciones_29.html

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