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ACTIVIDADES PLAN DE RECUPERACIÓN SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS

ACADÉMICAS 4º ESO CURSO 2016/17

1

Unidad 1. Estadística

Criterio de evaluación

8. Analizar críticamente e interpretar la información estadística que aparece en los

medios de comunicación. Asimismo, planificar y realizar, trabajando en equipo,

estudios estadísticos relacionados con su entorno y elaborar informaciones estadísticas,

utilizando un vocabulario adecuado, para describir un conjunto de datos mediante tablas

y gráficas, calcular e interpretar los parámetros de posición y de dispersión de una

variable estadística discreta o continua en distribuciones unidimensionales y

bidimensionales, mediante el uso de la calculadora o de una hoja de cálculo; así como

justificar si las conclusiones obtenidas son representativas para la población en función

de la muestra elegida. Además construir e interpretar diagramas de dispersión en

variables bidimensionales estudiando la correlación existente.

Actividades

1. La tabla muestra el sueldo de 40 trabajadores de una empresa de transporte de

paquetería urgente: Sueldo en € xi fi hi % Fi Hi

[1000,1400) 4

[1400,1800) 10

[1800,2200) 15

[2200,2600) 11

TOTAL

a) ¿Cuál es la variable estadística que se está estudiando? ¿ De qué tipo de variable

se trata?

b) Completa la tabla de frecuencias

c) Calcula el sueldo medio de los trabajadores.

d) Determina el intervalo modal y el intervalo mediano. Interpreta el resultado.

e) Halla la desviación típica e interpreta el resultado.

f) Representa los datos mediante el gráfico estadístico que creas más conveniente.

2. El siguiente gráfico indica el número de kilómetros semanales que realizan los

trabajadores de una empresa para llegar desde su domicilio hasta su trabajo.



2

a) ¿Cuántos trabajadores tienen que desplazarse menos de 80 Km semanales?

b) ¿Cuántos kilómetros recorren, por término medio, los trabajadores?

c) Calcula la mediana e interprétala.

d) ¿Cuántos kilómetros recorren las tres cuartas partes de los trabajadores?

3. Tiempo, en minutos, que pasaron en la sala de espera los pacientes de un médico

cierto día:

28 4 12 35 2 26 45 22 6 23

27 16 18 32 8 47 8 12 34 15

28 37 7 39 15 25 18 17 27 15

a) Indica cuál es la variable estadística y de qué tipo se trata.

b) Haz la tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de amplitud 9.

c) Representa los resultados mediante un gráfico adecuado.

d) ¿Cuántos pacientes han esperado menos de 29 minutos?

e) ¿Cuáles el nº medio de minutos que tuvieron que esperar?

f) Halla la desviación típica e indica si Las media es una buena medida para representar

los datos.

4. Para investigar un posible fraude cometido por dos empresas de empaquetado de

café molido, A y B, se han elegido al azar 100 paquetes de la marca A y la misma

cantidad de la marca B. Todos los paquetes indican en su etiqueta que el peso neto es de

250 g. El estudio ha consistido en pesar 100 paquetes de cada marca, hacer el recuento y

realizar los gráficos que se muestran.

a) Sin realizar cálculos, compara ambos histogramas e indica en cuál de las empresas se

ha cometido un fraude significativo.

b) Construye las tablas de frecuencias y determina el número de paquetes cuyo peso es

inferior a lo etiquetado en la empresa, que debe corregir urgentemente su

producción



3

5. Observa los siguientes gráficos y contesta a las siguientes preguntas para cada uno de

ellos:

a) ¿Qué variable estadística se está estudiando? ¿De qué tipo se trata?

b) ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

c) Realiza la tabla de frecuencias correspondiente a cada gráfico.

d) ¿Tienen sentido hallar las frecuencias acumuladas en el gráfico II)?

e) ¿Podrías hallar la media de bebidas que se tomaron en la fiesta?

f) ¿Cuál es el nº medio de capturas?

g) ¿Cuántas personas escogieron la cola como bebida en la fiesta?

h) ¿Cuántas mochilas pesan menos de 3 kilos?

i) ¿Cuál es el peso medio de las mochilas?

j) ¿Es la media de las mochilas una medida representativa?

II)

III)

I)

Cola

Limón

Naranja

Gaseosa



4

6. Una jugadora de baloncesto hace 10 lanzamientos a canasta desde una distancia de 1

metro, otros 10 desde 2 m., y así sucesivamente hasta 8 m. En cada caso ha tomado nota

del número de encestes, obteniendo los siguientes resultados:

Distancia (en

m)

1 2 3 4 5 6 7 8

Nº de encestes 9 10 6 4 2 0 1 0

a) Representa la nube de puntos correspondiente a las dos variables.

b) ¿Hay correlación entre las variables? Razona tu respuesta.

c) En caso afirmativo, indica el tipo de correlación.

7. Indica el tipo de correlación que hay en las siguientes nubes de puntos, razonando tu

respuesta. Traza la recta de regresión en cada apartado, si es posible, y después ordena

de mayor a menor la correlación.

SOLUCIÓN 1 b)

Sueldo en € mi fi hi % Fi Hi xi∙ fi mi2∙ fi

[1000,1400) 1200 4 0,1 10 4 0,1 4800 5.760.000

[1400,1800) 1600 10 0,25 25 14 0,35 16000 25.600.000

[1800,2200) 2000 15 0,375 37,5 29 0,725 30000 60.000.000

[2200,2600) 2400 11 0,275 27,5 40 1 26400 63.360.000

TOTAL N=40 1 100 77200 154.720.000

b) ̅= 77200 / 40 = 1930. El sueldo medio es 1930 €. c) Intervalo modal: [1800,2200), lo que significa que la mayoría de los empleados cobran entre 1800 y 2200 euros.

Intervalo mediano: N/2= 40/2 = 20. El intervalo mediano es [1800,2200), lo que significa que el 50% de los empleados cobran menos de 2200 euros.

d) = √ – –



5

significa que la dispersión de los sueldos con respecto a la media es alta. La media no es una medida representativa en esta distribución. 2.

Kilómetros xi fi Fi xi∙ fi

[40,50) 45 5 5 225

[50,60) 55 5 10 275

[60,70) 65 6 16 390

[70,80) 75 2 18 150

[80,90) 85 2 20 170

TOTAL N=20 1210

a) 5 + 5 + 6 + 218 trabajadores.

b) ̅

c) N/2 = 20 / 2 = 10. Buscamos la primera frecuencia absoluta acumulada que sea igual o mayor que 10, en este caso es 10que se encuentra en el intervalo modal [ lo que significa que el 50% de los trabajadores recorren menos de 70 km para ir al trabajo. d) ¾ . 20 = 15, busco en la frecuencia acumulada el primer valor mayor o igual que 15, que es 16, es decir, que las ¾ de los trabajadores recorren menos de 70 km.

3. a) La variable de estudio es el tiempo de espera y se trata de una variable cuantitativa

continua.

b)

Clases xi fi hi Fi Hi % Xi.fi Xi2fi

[2,11) 6,5 6 0,2 6 0,2 20 39 253,5

[11,20) 15,5 9 0,3 15 0,5 30 139,5 2162,25

[20,29) 24,5 8 0,266667 23 0,766667 26,66667 196 4802

[29,38) 33,5 4 0,133333 27 0,9 13,33333 134 4489

[38,47] 42,5 3 0,1 30 1 10 127,5 5418,75

30 1 100 636 17125,5

d)23 pacientes han esperado menos de 29 minutos.

. El nº medio de minutos que tuvieron que esperar fue de 21,2

minutos.



6

f) √∑

=√

√ √

minutos

CV=

CV = 52,35% por tanto al ser mayor que el 30% la media no es una

buena para representar esta distribución de datos.

4.

a) La empresa que ha cometido un fraude significativo es la B pues la mayor parte de los

paquetes pesan por debajo de los 250gr. Que marca el paquete.

EMPRESA A

INTERVALOS m f F h H %

242-244 243 2 2 0,02 0,02 2

244-246 245 5 7 0,05 0,07 5

246-248 247 10 17 0,1 0,17 10

248-250 249 45 62 0,45 0,62 45

250-252 251 30 92 0,3 0,92 30

252-254 253 5 97 0,05 0,97 5

254-256 255 3 100 0,03 1 3

100

1

100

EMPRESA B

INTERVALOS m f F h H %

242-244 243 25 25

244-246 245 40 65

246-248 247 20 85

248-250 249 10 95

250-252 251 2 97

252-254 253 3 100

254-256 255 0 100

100

En la empresa B el nº de paquetes con un peso inferior a lo etiquetado es 95. Por tanto es la empresa B la que debe corregir urgentemente su producción.



7

5.-

a) I) nº de capturas. Variable cuantitativa discreta.

II) Bebida preferida en una fiesta. Variable cualitativa.

III)Peso de las mochilas. Variable cuantitativa continua.

b) I) El tamaño de la muestra es 120.

II) El tamaño de la muestra es 40.

III)El tamaño de la muestra es 30

c) I)

xi fi hi Fi Hi % xi.fi

0 23 23/120=0.1916 23 23/120 19.16% 0

1 33 33/120=0.275 56 56/120 27.5% 33

2 28 28/120=0.2333 84 84/120 23.33% 56

3 13 13/120=0.1083 97 97/120 10.83% 39

4 12 12/120=0.1 109 109/120 10% 48

5 6 6/120=0.05 115 115/120 5% 30

6 5 5/120=0.0416 120 120/120 4,16% 30

120 1 99,98% 236

xi fi hi %

cola 18 18/40=9/20 45%

limón 12 12/40=3/10 30%

naranja 8 8/40=1/5 20%

gaseosa 2 2/40=1/20 5%

Total 40 1 100%

Para calcula la fi solo tenemos que establecer la proporción

por tanto x=

=

18. Haciendo lo mismo con el resto completamos la columna de las frecuencias absolutas.

xi fi hi Fi Hi %

[0,1) 8 8/30=4/15 8 8/30 26,66%

[1,2) 10 10/30=1/3 18 18/30 33,33%

[2,3) 7 7/30 25 25/30 23,33%

[3,4) 4 4/30=2/15 29 29/30 13,33%

[4,5) 1 1/30 30 30/30 3,33%

Total 30 1 99,98%

d) No tiene sentido hallar las frecuencias acumulada pues las frecuencias acumuladas la

información que nos dan es el nº de datos por debajo de uno, y como se trata de una

variable cualitativa no tiene sentido decir cuántas personas tomaron menos de …

e) No se puede calcular la media por tratarse de una variable cualitativa.



8

f) Para calcular el nº medio de capturas hallamos ∑

. El nº medio de

capturas es aproximadamente 2.

g) 18 personas eligieron la cola como bebida en la fiesta.

h) 25 mochilas pesan menos de 3 kilos. Lo puedo ver en la tabla de frecuencias o bien sin

haber hallado la tabla de frecuencias solo con sumar las frecuencias absolutas de todos los

pesos por dejado de 3 kilos.

i)Para hallar el peso medio de las mochilas necesito hallar la marca de clase de cada

intervalo

xi mi fi hi Fi Hi % mi.fi mi2.fi

[0,1) 0.5 8 8/30=4/15 8 8/30 26,66% 4 2

[1,2) 1.5 10 10/30=1/3 18 18/30 33,33% 15 22.5

[2,3) 2.5 7 7/30 25 25/30 23,33% 17.5 43.75

[3,4) 3.5 4 4/30=2/15 29 29/30 13,33% 14 49

[4,5) 4.5 1 1/30 30 30/30 3,33% 4.5 20.25

Total 30 1 99,98% 55 137.5

= ∑

kg. el peso medio de las mochilas es aproximadamente 2Kg.

j) Para saber si la media es representativa calculamos la desviación típica:

√∑

=√

√ √

CV=

=

, es decir, el CV es 38%, por tanto, al ser > 30% quiere decir que los datos

están alejados de la media y la media no es una medida representativa de esta distribución

de datos.



9

UNIDAD 2. PROBABILIDAD

9. Resolver problemas de la vida cotidiana aplicando los conceptos del cálculo de

probabilidades simples o compuestas y técnicas de recuento adecuadas, así como la

regla de Laplace, diagramas de árbol, tablas de contingencia u otras técnicas

combinatorias.

ACTIVIDADES

8.-¿Cuál es el espacio muestral del experimento “el menor de los números obtenidos al

lanzar dos dados tetraédricos(de 4 caras)”?.

a) Utiliza una tabla de doble entrada para obtener el espacio muestral.

Calcula la probabilidad de que el resultado sea:

b) 6

c) Menor que 5

d) Mayor que 4

9.-Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Calcula las siguientes

probabilidades:

a) A=”que no sea de copas” b) B=”que sea un rey”

c) C=”que sea el as de espadas” d) D=”que sea de copas o figura”

10.- Una urna contiene 4 bolas verdes y 8 azules. Si extraemos dos bolas sin

reemplazamiento, es decir, sin devolverlas a la urna en cada caso,

a) Utiliza un diagrama de árbol para obtener el espacio muestral.

Calcula la probabilidad de que las dos bolas:

b) Sean azules. c) Sean del mismo color

11.- Introducimos en una bolsa 7 bolas numeradas del 1 al 7. Si extraemos dos bolas sin

reemplazamiento, es decir, sin devolverlas a la bolsa en cada caso, calcula la probabilidad

de obtener:

a) Dos números pares. b) Un número par y otro impar

c) Calcula las mismas probabilidades pero en esta ocasión con reemplazamiento

12.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) b) c) d)C7,4 e) (

)



10

13.-Los alumnos de una clase quieren elegir a tres representantes para delegado,

subdelegado y suplente, respectivamente. Si se han presentado para ello 28 alumnos,

¿de cuántas maneras pueden ser elegidos?

14.-En una fiesta con 13 invitados se dan tres regalos distintos: uno al invitado más

simpático, otro al que mejor baila y un tercero al más generoso. ¿De cuántas formas

puede hacerse el reparto, si los tres regalos pueden ser para el mismo invitado?

15.-Treinta personas se presentan voluntarias para ir de misión con una ONG. Si sólo

pueden acudir cuatro, ¿de cuántas formas distintas se pueden elegir?

Unidad 3: Números


3. Conocer y utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus

propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información, resolver problemas

relacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico e interpretar el

significado de algunas de sus propiedades más características: divisibilidad, paridad,

infinitud, proximidad, etc.

ACTIVIDADES

16.-Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la

forma más conveniente en cada caso, el porqué:

17.-Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes

números; en caso de ser racional o irracional, razonar el porqué:

18.- Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales,

indicando el porqué:



11

19.-Rellenar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo):



12

20.-Pasar a potencia única, lo más simple posible, de base racional y exponente

positivo:

21.- Calcula las siguientes raíces cuando sea posible:

a) 169 b) 169 c) √

d) √

e) 25 f) 5 32 g) √

22.- Escribe las siguientes raíces como potencias:

a) √ b) √ c) √

d) √ e) √ f) √

23.- Escribe las siguientes potencias como raíces:

a) 133/2 b) 71/4 c) (-24)2/5 d) 10-1/2 e) (-37)-4/3 f) 2-1/3



13

24.-Simplifica las siguientes raíces aplicando las propiedades:

a) 4 811 b)

5x27 c)3

125

40

d)6 3y64

e) ba5 43 f) 3 g) 72

h) 75

16

i)360 a j)

33 1220 k) 100

144

l) 11 m) 253 n)33 648

o) 24 25 p)4228 yx

25.- Calcula sin usar calculadora (extrae factores del radical si es posible):

a) 175171017 b) 33 485542 c) 2753318

d) 50328423 e) 117445 f) 277512

26.-Calcula paso a paso:

a) -2 + 7 – 254 + 32 : (-4) b)

423 2710027

c) √

(

) d) ( -5 – 18 : 32 )·3 + √

e) (

) (

) √

f) (

) (

) *

+

27.-Calcula utilizando la definición de logaritmo:

a) log2 64 b) log3 243 c) log3 √

28.-Calcula la base de cada logaritmo, razonando tu respuesta.

a) loga 125 = 3 b) logb 10000 = 2

Recuerda el

orden de las

operaciones!!



14

29.-Utiliza las propiedades de los logaritmos para obtener el valor las siguientes

operaciones:

a) log 20 + log 50 b) log2 400 - log2 25 c) log2 288 – 2 · log2 6

UNIDAD 4 . POLINOMIOS. FRACCIONES ALGEBRAICAS


4. Utilizar el lenguaje algebraico, sus operaciones y propiedades para expresar e

interpretar situaciones cambiantes de la realidad, y plantear inecuaciones, ecuaciones y

sistemas, para resolver problemas contextualizados, contrastando e interpretando las

soluciones obtenidas, valorando otras formas de enfrentar el problema y describiendo el

proceso seguido en su resolución de forma oral o escrita.

30.-Calcula las siguientes operaciones con los polinomios:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) - Q(x) c) 3∙P(x) - 2∙Q(x) d) P(x) ∙ Q(x)

31.-Dados los polinomios:

Calcula las siguientes operaciones:

a) P(x) + Q(x) b) 2∙P(x) - R(x) c) P(x) + S(x)

d) –R(x) + S(x) e) Q(x) ∙ R(x) f) 4R(x) - 3Q(x)

32.-Apliquemos la regla de Ruffini para realizar la siguiente división:

a)

b)

33.-Calcula el cociente y el resto de la división de entre los

siguientes polinomios:



15

a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x-4 e) x+4 f) x-3

Indica en cada caso si la división es entera o exacta.

34. Calcular el valor del polinomio para x=4 y

para x=-5,43

35.-Extrae factor común en las siguientes expresiones:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

36.-Desarrolla las siguientes expresiones:

a) b) c)

d) e) f)

37.-Saca factor común y luego simplifica:

a)

b)

c)

d)

38.-Descompón en factores el numerador y el denominador y después simplifica:

a)

c)

d)

e)



16

UNIDAD 5 . ECUACIONES

ECUACIONES BICUADRADAS:

39.-Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

ECUACIONES CON LA X EN EL DENOMINADOR

40.-Resuelve:

a)

b)

ECUACIONES CON RADICALES

41.-Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) √

b) √ √

ECUACIONES DEL TIPO (…)·(…)·(…)=0

42.-Resuelve:

a)

b) (√ )

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

43.-Resuelve:

a) {



17

b

c

a

b) {

c) {

UNIDAD 6 . TRIGONOMETRÍA

Criterio de evaluación 5. Utilizar las razones trigonométricas y las relaciones entre ellas para resolver

problemas de contexto real con la ayuda de la calculadora y de otros medios

tecnológicos, si fuera necesario. Calcular magnitudes directa e indirectamente

empleando los instrumentos, técnicas o fórmulas más adecuadas a partir de situaciones

reales.

44.-Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

a)

b) ̂

45.- Dar todas las razones trigonométricas del ángulo en cada uno de los

siguientes casos:

a)

b)

46.-Una escalera de 5m está apoyada en una pared formando un ángulo de .

Calcula la distancia entre la base de la escalera y la pared. ¿Qué ángulo forma la

escalera con el suelo?



18

47.- Desde un barco vemos la luz de un faro con una inclinación de y, después

de avanzar 20Km en esa dirección, se ve con un ángulo de .¿A qué distancia

estamos del faro?

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