ÁREA: MATEMÁTICAS DOCENTE: MATEMÁTICAS MÓDULO: …

COLEGIO PRÍNCIPE SAN CARLOS Código: FGF-02

GESTIÓN DE FORMACIÓN Versión: 02

GUÍA DE CLASE Fecha: 10/10/2017

ÁREA: MATEMÁTICAS DOCENTE:

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS ESTUDIANTE:

GRADO: CICLO VI MÓDULO: 2 GUIA: 1 TIEMPO: FECHA: ____/ ____ / ____

1. COMPETENCIA Y CRITERIOS:

COMPETENCIA CRITERIOS

• La formulación, el tratamiento y la resolución de problemas.

• La modelación

• La comunicación

• El razonamiento La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos

• Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos.

• Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

• Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.

• Identificar características de localización de la recta, la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola en sistemas de representación cartesiana

• Usar argumentos geométricos para resolver y formular

problemas que involucren la recta y las cónicas, en

contextos matemáticos y en otras ciencias

• Construye la función de probabilidad de una variable

discreta asociada a un fenómeno sencillo y calcula sus

parámetros y algunas probabilidades asociadas

2. TÍTULO DE LA GUÍA

LOS LÍMITES Y DERIVADAS, LA ELIPSE E HIPÉRBOLA Y LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 3. SITUACIÓN PROBLEMA

Sea la siguiente función real 𝑟(𝑥) = −1

𝑥, observe su gráfica al lado de este

enunciado (¿qué características tiene?). ¿Cuál es el dominio de la función? En esta función 𝑥 puede tomar cualquier valor real menos para

𝑥 ≠ 0 ¿por qué? Para este valor que “causa” problemas a la función se

va a estudiar el comportamiento de 𝑥 tanto a la derecha como a la izquierda de 0, aproximándonos lo más cerca posible de este valor. En la

parte de abajo se presentan los valores de 𝑥 seleccionados con sus respectivos valores en 𝑦:

Tabla 1

Gráfico 1




De acuerdo a la información mostrada reflexiona sobre:

a. ¿Qué ocurre con la función cuando 𝑥 = 0? Explica con tus palabras lo que ocurre.

b. ¿Qué le pasa a 𝑟(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima lo suficientemente cerca a cero por la izquierda? (traduciendo a las mates es así: 𝑦 → ? cuando x → 0−).

c. ¿Qué le pasa a 𝑟(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima lo suficientemente cerca a cero por la derecha? (traduciendo a las mates es así: 𝑦 → ? cuando x → 0+).

d. Ahora ya no vamos a aproximarnos a 0, vamos mejor a alejarnos. ¿Qué le pasa a 𝑟(𝑥) cuando

𝑥 se aleja del 0 por la izquierda? O en otras palabras ¿Qué le pasa a 𝑟(𝑥) cuando 𝑥 tiende al infinito por la izquierda (y el más allá)? (Traduciendo a las mates es así: 𝑦 → ? cuando 𝑥 → −∞ ).

e. Ahora por el otro lado ¿Qué le pasa a 𝑟(𝑥) cuando 𝑥 se aleja del 0 por la derecha? O en otras palabras ¿Qué le pasa a 𝑟(𝑥) cuando 𝑥 tiende al infinito por la derecha (y el más allá)?

(Traduciendo a las mates es así: 𝑦 → ? cuando 𝑥 → +∞ ). 4. MEDIACIÓN DEL CONOCIMIENTO Y DEL PROBLEMA

4.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN En este este momento de sus estudios en las matemáticas, nos interesa estudiar el comportamiento de diversas funciones, en puntos de la función que sean de bastante interés, como en el ejemplo inicial de esta guía, en puntos “problema” que puede tener una función o en lugares donde las funciones

toman comportamientos muy interesantes. Tomemos una función real: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2. Hemos

elegido como 𝑥 de estudio a 𝑥 = 2. A continuación, tenemos la tabla de valores y la gráfica de la función:

Encontrar el límite de una función 𝑓 significa hallar el valor al cual se aproxima 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a tomar un valor determinado. La función 𝑓(𝑥) tiende hacia el límite L cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎, si es posible hacer que 𝑓(𝑥) se

aproxime tanto a L como se quiera, siempre y cuando 𝑥 esté lo suficientemente cerca de 𝑎. Esto se expresa como:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿

Y se lee: el límite cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 de 𝑓(𝑥) es igual a 𝐿. Para la función representada anteriormente, tenemos:

La función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2 tiende hacia el límite 4 cuando 𝑥 tiende hacia 2, puesto que es posible

hacer que 𝑓(𝑥) se aproxime tanto a 4 como se quiera, siempre y cuando 𝑥 esté lo suficientemente cerca de 2. Esto se expresa como:

lim𝑥→2

𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4

Y se lee: el límite cuando 𝑥 tiende hacia 2 de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2 es igual a 4.

Tabla 2

Gráfico 2




Para comprender mejor la noción de límite, le invito a observar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=o2UTk8bsLS0

Figura 1 https://www.youtube.com/watch?v=o2UTk8bsLS0

4.1.1. ACTIVIDAD N° 1

1. Completa las siguientes tablas y, con base en ellas, determina si el límite propuesto existe o no existe.

a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 1

𝒙 0,9 0,99 0,999 1,1 1,01 1,001

𝒇(𝒙) Tabla 3

lim𝑥→1

2𝑥2 − 5𝑥 + 1

b. 𝑔(𝑥) =𝑥2−4

𝑥2−5𝑥+6

𝒙 1,9 1,99 1,999 2,1 2,01 2,001

𝒈(𝒙) Tabla 4

lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥2 − 5𝑥 + 6

c. 𝑗(𝑥) =2+ √𝑥

3

8+𝑥

𝒙 -8.1 -8.01 -8.001 -7.9 -7.99 -7.999

𝒋(𝒙) Tabla 5

lim𝑥→−8

2 + √𝑥3

8 + 𝑥

d. 𝑘(𝑥) = {𝑥2+3𝑥

2𝑥−2, 𝑠𝑖 𝑥 < −1

4𝑥 − 5, 𝑠𝑖 𝑥 > −1

𝒙 -2.01 -2.001 -1.99 -1.999

𝒌(𝒙) Tabla 6

lim𝑘→−2

𝑘(𝑥)

2. Con base en la gráfica determina si los límites existen.

https://www.youtube.com/watch?v=o2UTk8bsLS0






lim

𝑥→−3𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−2𝑓(𝑥)

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

lim𝑥→3

𝑓(𝑥)

3. Con base en las gráfica determina si los límites existen. lim

𝑥→−1𝑔(𝑥)

lim𝑥→0

𝑔(𝑥)

lim𝑥→1

𝑔(𝑥)

lim𝑥→2

𝑔(𝑥)

4.2. LIMITES LATERALES Para hallar el límite de una función 𝑓(𝑥), se realizan aproximaciones con valores cercanos a 𝑥 tales que 𝑥 > 0, y con valores cercanos a 𝑥 tales que 𝑥 < 0. Por tanto, los límites laterales se definen según como se realicen las aproximaciones, que pueden ser por la derecha o por la izquierda. Los límites laterales se representan de dos formas distintas, según si la aproximación se realiza por la izquierda o por la derecha. lim

𝑥→𝑎+𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que el límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha es igual a L.

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que el límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda es igual a L.

La existencia o no del límite depende de los límites laterales, si los límites laterales existen y son iguales, entonces el límite de la función existe y es igual al valor de los límites laterales. En cambio, si los límites laterales no existen o son diferentes, entonces, el límite de la función no existe.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 si y sólo si lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝐿

Ejemplo: Determina el lim𝑥→−1

ℎ(𝑥) y lim𝑥→2

ℎ(𝑥) siendo:

ℎ(𝑥) = {3𝑥 + 1𝑥2 − 39 − 5𝑥

𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 2𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥

Gráfico 4

Gráfico 3




Se realiza la gráfica, luego de calcula los limites laterales:

lim𝑥→−1+

ℎ(𝑥) = −2 lim𝑥→2+

ℎ(𝑥) = −1

lim

𝑥→−1−ℎ(𝑥) = −2 lim

𝑥→2−ℎ(𝑥) = 1

Se compara los resultados y se determina si existen o no lim

𝑥→−1ℎ(𝑥) = −2 lim

𝑥→2ℎ(𝑥) = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Observar el siguiente video para mayor comprensión de límites a partir de una gráfica: https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk

Figura 2 https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk


1. Considera la función dada por la siguiente expresión:

𝑓(𝑥) = {

5𝑥 + 6, 𝑥 ≤ 33𝑥, − 3 < 𝑥 < 15, 1 ≤ 𝑥 ≤ 3

𝑥2 − 4, 3 < 𝑥

a. Realiza la gráfica de 𝑓. b. Determina, en caso de existir, el valor de los siguientes límites

lim𝑥→−4+

𝑓(𝑥) lim𝑥→−3+

𝑓(𝑥) lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) lim𝑥→3+

𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−4−𝑓(𝑥) lim

𝑥→−3−𝑓(𝑥) lim

𝑥→1−𝑓(𝑥) lim

𝑥→3−𝑓(𝑥)

lim

𝑥→−4𝑓(𝑥) lim

𝑥→−3𝑓(𝑥) lim

𝑥→1𝑓(𝑥) lim

𝑥→3𝑓(𝑥)

2. Determina el valor de los límites de acuerdo con la gráfica

Gráfico 5

https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk






lim𝑥→0+

𝑔(𝑥) lim𝑥→−2+

𝑔(𝑥)

lim

𝑥→0−𝑔(𝑥) lim

𝑥→−2−𝑔(𝑥)

lim𝑥→0

𝑔(𝑥) lim𝑥→−2

𝑔(𝑥)

4.3. CÁLCULO DE LÍMITES A partir de la definición formal de límite se pueden demostrar ciertas propiedades que permiten calcular el límite de una función sin necesidad de utilizar tablas de valores o gráficas.

4.3.1. PROPIEDADES DE LOS LIMITES Sean 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) funciones donde lim

𝑥→𝑎f(x) = 𝐿 y lim

𝑥→𝑎g(x) = 𝑀 y 𝑘 una constante real

LÍMITE DE UNA CONSTANTE 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒌 = 𝒌

LÍMITE DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒌𝒇(𝒙) = 𝒌𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒌𝑳

LÍMITE DE UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE FUNCIONES


(𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) ± 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒈(𝒙)

LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES

lim𝑥→𝑎

(𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)) = (lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)) ∙ (lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) )

LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES


𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)=


𝒇(𝒙)


𝒈(𝒙) ¡cuidado con 𝒈(𝒙) = 𝟎!

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ( lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥))

LÍMITE DE LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN


(𝒇(𝒙))𝒏

= (𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙))𝒏

para 𝒏 ∈ ℤ+

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL

lim𝑥→𝑎

√𝑓(𝑥)𝑛 = √lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)𝑛

¡cuidado! Si 𝑛 es par debe cumplirse que 𝐿 ≥ 0

PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂)

Ésta será la propiedad que más va a utilizar (especialmente en los polinomios), donde simplemente lo que va a hacer es “reemplazar” a lo que tiende 𝒙 en la función 𝐟(𝐱), pero ¡CUIDADO!, cuando usa esta propiedad en funciones racionales (que tienen forma de fraccionarios), ya que pueden existir casos donde al reemplazar estos valores, el denominador quede con un valor de CERO. Si sucede o anterior, será necesario aplicar otros tipos de análisis.

Ejemplo: Calcula el lim𝑥→−3

5

9𝑥2 + 3𝑥 aplicando las propiedades

Gráfico 6




lim𝑥→−3

5

9𝑥2 + 3𝑥

= lim𝑥→−3

5

9∙ lim

𝑥→−3𝑥2 + lim

𝑥→−33𝑥

=5

9∙ (−3)2 + 3(−3)

= −4 Ejemplo: S lim

𝑥→−1𝑓(𝑥) = 18 y lim

𝑥→−1𝑔(𝑥) = −4 calcula lim

𝑥→−1[𝑓(𝑥) − 4[𝑔(𝑥)]2]

lim

𝑥→−1[𝑓(𝑥) − 4[𝑔(𝑥)]2]

= lim𝑥→−1

𝑓(𝑥) − lim𝑥→−1

4 ∙ lim𝑥→−1

[𝑔(𝑥)]2

= 18 − 4 ∙ (−4)2 = −46 Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=Ggro0sCkG2U

Figura 3 https://www.youtube.com/watch?v=Ggro0sCkG2U


1. Si lim𝑥→−1

𝑓(𝑥) = 1; lim𝑥→−1

𝑔(𝑥) = −3 y lim𝑥→−1

ℎ(𝑥) = 2, Calcula los siguientes límites:

a. lim

𝑥→−1[𝑓(𝑥) − 3ℎ(𝑥)]

b. lim

𝑥→−1[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)]

c. lim𝑥→−1

[𝑓(𝑥) − 4𝑔(𝑥)]3

d. lim𝑥→−1

𝑓(𝑥)

3𝑔(𝑥)+4ℎ(𝑥)

e. lim𝑥→−1

√𝑓(𝑥)

4+𝑔(𝑥)

2. Calcula el valor de los siguientes límites

lim𝑥→1

3𝑥2 − 5𝑥 + 4

https://www.youtube.com/watch?v=Ggro0sCkG2U






lim𝑥→𝑒

𝐿𝑛2(2𝑥 − 𝑒)

lim𝑥→𝑎

2𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑎2

lim𝑥→2

𝑥3 − 8

𝑥 + 2

lim𝑥→2

𝑒2𝑥−1

lim𝑥→1

2𝑥+3

lim𝑥→1

√3 − 2𝑥2 + 𝑥2

lim𝑥→−2

(3𝑥 + 4)3

4𝑥 + 5

lim𝑥→3

𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑥 + 3

lim𝑥→1

√𝑥 + √𝑥 + 8

3. Determina el valor de los límites de acuerdo con las siguientes gráficas

a. lim

𝑥→0[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]

b. lim

𝑥→2[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]

c. lim𝑥→−3

[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]

d. lim𝑥→3

5+𝑓(𝑥)

7−3𝑔(𝑥)

e. lim

𝑥→−2−[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]

f. lim

𝑥→−2+[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]

g. ¿Existe lim

𝑥→−2[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]

4.4. LÍMITE DE FUNCIONES INDETERMINADAS En algunos casos, al aplicar sustitución directa para calcular un límite, el resultado puede ser que no

existe el límite, como 𝐿

0 o también indeterminación.

Una indeterminación es una expresión de la forma 0

0, 1∞,

∞

∞ y otras más. Estas expresiones no permiten

concluir si el límite existe o no, razón por la cuál es necesario realizar un procedimiento algebraico para eliminar la indeterminación.

Es importante tener en cuenta que tanto para los casos los cuales el límite no existe (𝐿

0) como para

los que se presenta una indeterminación, la gráfica de la función es una herramienta muy útil para el respectivo análisis.

4.4.1. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

Gráfico 7

Gráfico 8




Cuando la indeterminación se obtiene en una función racional. Es decir, 𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥), donde 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥)

son polinomios y lim𝑥→𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)=

0

0, la indeterminación se evita, factorizando el numerador 𝑃(𝑥) y el

denominador 𝑄(𝑥), de tal forma que el binomio (𝑥 − 𝑎) se simplifica así:

lim𝑥→𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

(𝑥 − 𝑎)𝑃1(𝑥)

(𝑥 − 𝑎)𝑄1(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

𝑃1(𝑥)

𝑄1(𝑥)=

0

0

Por tanto, para calcular estos tipos de límites se factoriza el numerador y el denominador, si es posible y finalmente se simplifica. Ejemplo:

lim𝑥→−2

2𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥2 − 4

Haciendo sustitución simple obtenemos:

lim𝑥→−2

2𝑥2+3𝑥−2

𝑥2−4=

2(−2)2+3(−2)−2

(−2)2−4=

0

0 lo cual claramente es un error, puesto que la división por 0 no

existe. Por tanto, procederemos a factorizar para quitar la indeterminación y poder obtener el límite

lim𝑥→−2

2𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥2 − 4= lim

𝑥→−2

(𝑥 + 2)(2𝑥 − 1)

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)= lim

𝑥→−2

(2𝑥 − 1)

(𝑥 − 2)=

2(−2) − 1

(−2) − 2=

5

4

Observa los siguientes videos para más claridad del tema: https://www.youtube.com/watch?v=Gled9_RwIE8 y https://www.youtube.com/watch?v=OH7td82Y94s

4.4.2. LÍMITES DE FUNCIONES RADICALES

Si 𝑓(𝑥) o 𝑔(𝑥) son funciones radicales y lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) tiene la forma

0

0, entonces es posible eliminar la

indeterminación, racionalizando el numerador o el denominador o ambos y después simplificar la expresión resultante. Ejemplo:

lim𝑥→1

√𝑥 + 2 − √3

√𝑥 + 3 − 2

Haciendo sustitución simple obtenemos:

Figura 5 https://www.youtube.com/watch?v=Gled9_RwIE8 Figura 4 https://www.youtube.com/watch?v=OH7td82Y94s

https://www.youtube.com/watch?v=Gled9_RwIE8

https://www.youtube.com/watch?v=OH7td82Y94s








lim𝑥→1

√1+2−√3

√1+3−2=

√3−√3

√4−2=

0

2−2=

0

0, lo cual claramente es un error, puesto que la división por 0 no

existe. Por lo tanto, procedemos a racionalizar,

lim𝑥→1

√𝑥 + 2 − √3

√𝑥 + 3 − 2

Racionalizar consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador por el numerador o denominador que contenga raíz, pero cambiando el signo que divide los términos, en este ejemplo, debido a que tanto numerador como denominador, contienen raíz, multiplicamos por ambos.

= lim𝑥→1

√𝑥 + 2 − √3

√𝑥 + 3 − 2∙

√𝑥 + 2 + √3

√𝑥 + 2 + √3∙

√𝑥 + 3 + 2

√𝑥 + 3 + 2

Luego agrupamos los binomios con iguales términos,

= lim𝑥→1

[(√𝑥 + 2 − √3)(√𝑥 + 2 + √3)](√𝑥 + 3 + 2)

[(√𝑥 + 3 − 2)(√𝑥 + 3 + 2)](√𝑥 + 2 + √3)

Aplicamos producto notable (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2:

= lim𝑥→1

[(√𝑥 + 2)2

− (√3)2] (√𝑥 + 3 + 2)

[(√𝑥 + 3)2

− (2)2] (√𝑥 + 2 + √3)

Resolvemos operaciones hasta simplificar:

= lim𝑥→1

[(√𝑥 + 22 )

2− (√3

2)

2] (√𝑥 + 3 + 2)

[(√𝑥 + 32 )

2− (2)2] (√𝑥 + 2 + √3)

= lim𝑥→1

[𝑥 + 2 − 3](√𝑥 + 3 + 2)

[𝑥 + 3 − 4](√𝑥 + 2 + √3)= lim

𝑥→1

[𝑥 − 1](√𝑥 + 3 + 2)

[𝑥 − 1](√𝑥 + 2 + √3)

= lim𝑥→1

√𝑥 + 3 + 2

√𝑥 + 2 + √3

Finalmente se aplica sustitución:

= lim𝑥→1

√𝑥 + 3 + 2

√𝑥 + 2 + √3=

√1 + 3 + 2

√1 + 2 + √3=

4

2√3

Como matemáticamente está mal visto que una fracción tenga raíz en el denominador, procedemos así:

4

2√3∙

2√3

2√3=

8√3

4(√32

)2 =

8√3

4.3=

8√3

12=

2√3

3

Entonces:

lim𝑥→1

√𝑥 + 2 − √3

√𝑥 + 3 − 2=

2√3

3

Observa el siguiente video para mayor comprensión del tema: https://www.youtube.com/watch?v=4G1VTEaLlA4

https://www.youtube.com/watch?v=4G1VTEaLlA4




Figura 6 https://www.youtube.com/watch?v=4G1VTEaLlA4


1. Determina el valor de los siguientes límites racionales:

a. lim𝑥→1

2𝑥2−𝑥−1

𝑥2+2𝑥−3

b. lim𝑥→−3

𝑥2+8𝑥+15

𝑥2−𝑥−12

c. lim𝑥→5

𝑥2−11𝑥+30

𝑥2+2𝑥−35

d. lim𝑥→0

6𝑥3−7𝑥

8𝑥2+9𝑥

e. lim𝑥→4

𝑥2−6

𝑥2−𝑥−12

2. Determina cada límite:

a. lim𝑥→0

√1+𝑥−√1−𝑥

𝑥

b. lim𝑥→1

√𝑥+3−√3𝑥+1

√𝑥−1

c. lim𝑥→7

2−√𝑥−3

𝑥2−49

d. lim𝑥→7

2−√𝑥−3

𝑥2−49

e. lim𝑥→2

1−√𝑥−1

𝑥−2

4.5. LÍMITES INFINITOS

Observa con mucha atención las siguientes gráficas de funciones reales






Analiza para las anteriores funciones el límite cuando 𝑥 tiene a derecha y a izquierda de 𝑥 = 𝑎 ¿qué sucede? ¿Cómo representamos el fenómeno que ha descubierto en estas funciones? Si este fenómeno ocurre a derecha y a izquierda de 𝑎, puedo decir que el límite de esta función tiende a ______. Todas las preguntas anteriores ayudan a definir lo que son los límites infinitos. Utilizando notaciones matemáticas. En algunos casos como el de los gráficos anteriores, cuando se evalúa el límite de una función para un valor dado, se encuentra que la función crece o decrece sin cota. En este caso, se concluye que el límite de la función no existe. Para expresar que los valores de 𝑓(𝑥) crecen sin cota cuando 𝑥 se acerca a 𝑡 se escribe lim

𝑥→𝑡𝑓(𝑥) = ∞.

De igual manera, si los valores de 𝑓(𝑥) decrecen sin cota cuando 𝑥 se acerca a 𝑡 se escribe lim𝑥→𝑡

𝑓(𝑥) = −∞.

Nota: Una cota es un número que es mayor o menos que todos los demás elementos de un conjunto dado.

4.5.1. LÍMITES EN EL INFINITO Si la variable 𝑥 crece o decrece sin cota, y la función 𝑓(𝑥) se aproxima a 𝐿 𝑜 𝑀, respectivamente. Estos límites se llaman límites en el infinito y se expresan como: lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿, lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑀

Cuando se escribe 𝑥 → ∞, no significa que en un lugar muy alejado a la derecha respecto al eje 𝑥,

exista un número más grande que todos al cual se aproxime 𝑥. En lugar de esto, se usa 𝑥 → ∞, para indicar que 𝑥 se hace cada vez más grande sin cota. Para calcular límites en el infinito se tiene en cuenta los siguientes casos:

Si 𝑘 ∈ 𝑅 y 𝑛 ∈ 𝑍+, entonces, lim𝑥→∞

𝑘

𝑥𝑛 = 0 y lim𝑥→−∞

𝑘

𝑥𝑛 = 0. Además, sí 𝑘 ∈ 𝑅+ y 𝑛 es par. lim𝑥→∞

𝑘𝑥𝑛 = ∞ y

lim𝑥→−−∞

𝑘𝑥𝑛 = ∞ y si 𝑛 es impar, lim𝑥→∞

𝑘𝑥𝑛 = ∞ y lim𝑥→−−∞

𝑘𝑥𝑛 = −∞.

Ejemplo: Hallar lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) y lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥), si 𝑓(𝑥) =8

𝑥3

Realizamos tabla de valores con cantidades muy pequeñas, y muy grandes:

Tabla 7

Cuando x toma valores cada vez más grandes pero negativos, la función tiende a 0.

Gráfico 10 Gráfico 9




Cuando x toma valores cada vez más grandes pero positivos, la función tiende a 0.

Luego, lim𝑥→∞

8

𝑥3 = 0 y lim𝑥→−∞

8

𝑥3 = 0

4.5.2. LÍMITES EN EL INFINITO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

En algunos límites funcionales se presenta la indeterminación ∞

∞, cuando la variable 𝑥 crece o decrece

sin cuota. Par determinar el límite de estas funciones, se dividen el numerador y el denominador de la función racional entre la potencia de mayor grado. A partir de este proceso se puede presentar.

lim𝑥→∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= ±∞, 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑄(𝑥)

lim𝑥→∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 0, 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑄(𝑥)

lim𝑥→∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)=

𝑚

𝑛 ,.

𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 𝑦 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 grado de P(x) y Q(x), respectivamente

Ejemplo: Determinar el lim𝑥→∞

3𝑥5+5𝑥3+12

𝑥5−8𝑥4+6𝑥

Al aplicar el criterio se obtiene:

lim𝑥→∞

3𝑥5 + 5𝑥3 + 12

𝑥5 − 8𝑥4 + 6𝑥=

3

1= 3

Otra forma de calcular el límite es dividir el numerados y denominador entre la mayor potencia. Así:

lim𝑥→∞

3𝑥5 + 5𝑥3 + 12

𝑥5 − 8𝑥4 + 6𝑥= lim

𝑥→∞

3𝑥5

𝑥5 +5𝑥3

𝑥5 +12𝑥5

𝑥5

𝑥5 −8𝑥4

𝑥5 +6𝑥𝑥5

= lim𝑥→∞

3 +5

𝑥2 +12𝑥5

1 −8𝑥

+6𝑥𝑥5

=3 + 0 + 0

1 − 0 + 0= 3

Ejemplo: Determinar el lim𝑥→∞

𝑥4+7𝑥2−15

𝑥3+8𝑥+2

lim𝑥→∞

𝑥4 + 7𝑥2 − 15

𝑥3 + 8𝑥 + 2= lim

𝑥→∞

𝑥4

𝑥4 +7𝑥2

𝑥4 −15𝑥4

𝑥3

𝑥4 +8𝑥𝑥4 +

2𝑥4

= lim𝑥→∞

1 +7

𝑥2 −15𝑥4

1𝑥

+8

𝑥3 +2

𝑥4

=1 + 0 − 0

0 + 0 + 0= ∞

Ejemplo: Determina lim𝑥→∞

√𝑥2+4

8−5𝑥

lim𝑥→∞

√𝑥2 + 4

8 − 5𝑥= lim

𝑥→∞

√𝑥2

𝑥2 +4

𝑥2

8𝑥

−5𝑥𝑥

= lim𝑥→∞

√1 +4

𝑥2

8𝑥

− 5=

√1 + 0

0 − 5= −

1

5

Observa los siguientes videos, como complemento del tema: https://www.youtube.com/watch?v=wm-HUNf0y28 https://www.youtube.com/watch?v=4dmO8UG1z3I, https://www.youtube.com/watch?v=NuyTtrFr-Ew

https://www.youtube.com/watch?v=wm-HUNf0y28

https://www.youtube.com/watch?v=4dmO8UG1z3I

https://www.youtube.com/watch?v=NuyTtrFr-Ew




https://www.youtube.com/watch?v=jILqifoOxeE&list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS&index=59


1. Determina, en caso de existir, el valor de los siguientes límites. Justifica tus procedimientos.

a. lim𝑥→∞

(1

𝑥+1−

1

𝑥)

b. lim𝑥→∞

√𝑥2+6𝑥+7

𝑥+5

c. lim𝑥→∞

𝑥4+3𝑥7−𝑥−2

4𝑥−𝑥6−5𝑥2−9𝑥7

d. lim𝑥→∞

1

𝑥4+𝑥2

2. Considera la función 𝑓(𝑥) =4𝑥

𝑥2−49

a. Complete la siguiente tabla:

Tabla 8

b. ¿Qué se puede afirmar acerca de lim𝑥→7−

𝑓(𝑥), lim𝑥→7+

𝑓(𝑥), lim𝑥→7

𝑓(𝑥)

3. Analiza los siguientes límites

Figura 8 https://www.youtube.com/watch?v=wm-HUNf0y28 Figura 7 https://www.youtube.com/watch?v=4dmO8UG1z3I

Figura 10 https://www.youtube.com/watch?v=NuyTtrFr-Ew Figura 9 https://www.youtube.com/watch?v=jILqifoOxeE&list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS&index=59













a. lim𝑥→0

3𝑥8−2𝑥4

4𝑥7−𝑥5

b. lim𝑥→1

√2𝑥+3

𝑥−1

c. lim𝑥→5

3𝑥2+1

𝑥−5

d. lim𝑥→2

4𝑥+1

𝑥−2

4. Se ha estimado que la población de zorros alrededor de una granja se rige por la fórmula

𝑧 =100(6𝑡2 + 3)

2 + 𝑡2

Donde t viene dado en meses. Conforme transcurre el tiempo ¿qué ocurrirá con el tamaño de la población?

4.6. FUNCIONES CONTINUAS

4.6.1. FUNCIONES CONTINÚAS EVALUADOS EN UN PUNTO.

Diremos que una función es continua si en su gráfica NO presenta algún tipo de cambio abrupto, hueco o salto. En el cálculo, la continuidad es estudiada de forma puntual. Observe del grafico de la izquierda de la función f(x) que en el punto x=a presenta un SALTO, por la cual esta función no es continua en x=a. Para la función con gráfica presentada a la izquierda, observe que en el punto 𝑥 = 𝑎, la función presenta un hueco, por la cual esta función NO es continua en 𝑥 = 𝑎. Para la función a la derecha, observe que en el punto 𝑥 = 𝑎 no existe ninguna “anomalía”, por lo tanto, se puede concluir que la función es CONTINUA en

el punto 𝑥 = 𝑎.

De forma analítica, diremos que una función 𝑓 es continua en un punto 𝑥 = 𝑎 si cumple las siguientes condiciones:

• 𝑓(𝑎) existe. En otras palabras, 𝑎 está en el dominio de la función (𝑎 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓)).

• El límite de la función cuando x tienda a 𝑎 existe. En otras palabras lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) existe.

• Se cumple que lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Gráfico 11




Ejemplo: determinar si la función ℎ(𝑥) = {𝑥2, 𝑥 < 2

−𝑥 + 6, 𝑥 ≥ 2 es continua en x=2.

Primero: comprobamos si está definido ℎ(2). Como 𝑥 = 2, usamos la expresión −𝑥 + 6, entonces

ℎ(2) = −(2) + 6 = 4, lo cual nos generó un valor real, lo cual indica que existe ℎ(2). Segundo: verificamos si el límite lim

𝑥→2𝑓(𝑥) existe. Entonces, lim

𝑥→2+𝑓(𝑥) = −(2) + 6 = 4 y

lim𝑥→2−

𝑓(𝑥) = (2)2 = 4. Como los limites laterales existe y son iguales, podemos concluir que lim𝑥→2

𝑓(𝑥)

existe. Tercero: ¿ lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = 𝑓(2)? De la primera y segunda condición tenemos que lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = 4 = 𝑓(2).

Entonces si se cumple que lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 𝑓(2).

Al verificar que TODAS las condiciones se cumplen, podemos afirmar que la función f es una función continua en x=2.

4.6.2. FUNCIONES CONTINÚAS EVALUADOS EN UN INTERVALO

Cuando queremos evaluar la continuidad de una función ya no solo en un punto, si no por el contrario en un intervalo (𝑎, 𝑏), se hace el estudio de la continuidad en cada uno de los puntos del intervalo de la siguiente forma:

• Una función 𝑓 es continua en un intervalo abierto (𝑎. 𝑏) si f es continua en todos los puntos del intervalo.

• Una función 𝑓 es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si:

- F es continua en el intervalo (𝑎, 𝑏). - lim

𝑥→𝑎−𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) y lim

𝑥→𝑏+𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏).

Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=Yb-lUhwxRKA&t=27s

Figura 11 https://www.youtube.com/watch?v=Yb-lUhwxRKA&t=27s


1. Las funciones dadas en las siguientes gráficas son discontinuas en los puntos dados. Indica

cuál de las condiciones de continuidad es la que falla.

https://www.youtube.com/watch?v=Yb-lUhwxRKA&t=27s






2. Determina los valores 𝑥𝜖ℝ, para los cuales la función no es continua.

a. 𝑓(𝑥) =𝑥2+1

𝑥2−1

b. 𝑓(𝑥) =𝑥3

𝑥2+𝑥−12

c. 𝑓(𝑥) =4𝑥

𝑥2+5

3. Determina si la función es continua en el punto indicado

a. 𝑓(𝑥) = {

𝑥2−𝑥−2

𝑥+1, 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑥2 − 4, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1

en 𝑥 = −1

b. 𝑔(𝑥) = {2𝑥 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

𝑥 − 5, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0−3, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

en 𝑥 = −2 𝑦 𝑥 = 0

4.7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN A continuación, le presentamos la gráfica de una función cuadrática. Ubica un punto arbitrario sobre ella (asígnale un nombre y coloréalo). Luego, sobre el punto designado traza 10 rectas secantes y todas las rectas tangentes que sean posibles sobre ese punto (intenta asignarle un color diferente a cada recta). Resalta la(s) recta(s) tangentes definidas. Bienvenidos al estudio de las rectas tangentes en ciertos puntos sobre las funciones y las velocidades instantánea de un cuerpo en movimiento, les presento las famosas derivadas. Usted se encuentra en este momento en el Colegio Príncipe San Carlos y supongamos que se desplaza desde el colegio hasta el monumento de Fernando Botero ubicado en el parque San Pío por la carrera 33. La distancia entre el colegio y dicho monumento son de 400 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. ¿Cuánto fue la variación de su desplazamiento del colegio hasta el monumento? Para responder la pregunta anterior, ubiquemos sobre la recta real (realiza la representación) en el punto 𝑥 = 0 al colegio y en la posición 𝑥 = 400 𝑚 al monumento de Fernando Botero. Cuando hablamos de “variación” nos referimos a cuanto aumenta o disminuye “cierto valor inicial” (por ejemplo, posición inicial) al ubicarse (desplazarse) “cierto valor final” (posición final). De la situación anterior

Gráfico 12




basta simplemente con hacer la diferencia de la distancia recorrida con la posición inicial, es decir

400 𝑚 − 0 𝑚 = 400 𝑚. Haciendo traducción a las matemáticas, es escrito así lo anterior: si 𝑥 representa el desplazamiento del objeto, tenemos que ∆𝑥 = 400 𝑚 − 0 𝑚 (el lado derecho representa

la variación de la variable 𝑥 y al lado izquierdo la posición final contrastada con la posición inicial). Como somos excelentes algebristas, vamos a generalizar lo anterior. Sea 𝑎 (un número real) la posición inicial de cierto objeto y 𝑏 (otro número real) su posición final, entonces decimos que su

variación de desplazamiento corresponde a ∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎. ¡Fácil! ¿Cierto? (estoy seguro de que lo han visto en la asignatura de física). De forma análoga podemos definir la VARIACIÓN de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 es evaluado en cierto intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], como ∆𝑦 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) (¡cuidado con lo siguiente! 𝑎 y 𝑏, que son número reales, deben estar obligatoriamente en el dominio de la función ¿por qué?).

Con la definición de la variación de 𝑥 (o sea ∆𝑥) y de 𝑦 (es decir ∆𝑦), vamos a definir la VARIACIÓN MEDIA de una función, como sigue a continuación. La variación media de una función real 𝑓 en el intervalo [𝑎, 𝑏], con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓), es el

cociente ∆𝑥

∆𝑦, mejor representado como:

∆𝑥

∆𝑦=

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)

𝑏−𝑎. La

variación media se puede observar en la gráfica de la izquierda.

4.7.1. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: Para la gráfica anterior, podemos definir como ℎ = 𝑏 − 𝑎, entonces 𝑓(𝑏) se puede reescribir como

𝑓(𝑏) = 𝑓(ℎ + 𝑎). Si cambiamos a 𝑎 = 𝑥, tenemos en todas las expresiones 𝑓(𝑏) = 𝑓(ℎ + 𝑥) y 𝑓(𝑎) =𝑓(𝑥). Con lo anterior, realizaremos la definición de derivada de una función.

La derivada de una función real 𝑓(𝑥) es la función 𝑓′(𝑥) (también notada como 𝑑𝑦

𝑑𝑥 o 𝐷𝑥(𝑦) ) definida

por:

𝑓′(𝑥) = 𝐷𝑥(𝑦) =𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ, siempre que el límite exista.

¿Dónde lo ha visto antes?

4.7.2. REGLAS BÁSICAS DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE: Si 𝑓(𝑥) = 𝑐 con 𝑐𝜖ℝ, entonces, 𝑓′(𝑥) = 0 DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDÉNTICA: Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 , entonces, 𝑓′(𝑥) = 1 ∀𝑥𝜖ℝ

Gráfico 13




DERIVADA DE UNA POTENCIA:

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 con 𝑛𝜖ℤ+, entonces, 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 DERIVADA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE:

Si 𝑐 es una constante y 𝑔(𝑥) es una función derivable en 𝑥, entonces, la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑔(𝑥) es 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑔′(𝑥). DERIVADA DE LA SUMA DE FUNCIONES: Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones derivables en 𝑥, tales que existe una función 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) entonces

𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

DERIVADA DE LA RESTA DE FUNCIONES: Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones derivables en 𝑥, tales que existe una función 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) entonces

𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES: Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones derivables en 𝑥, tales que existe una función 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) entonces

𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES:

Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones derivables en 𝑥, tales que existe una función 𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) con 𝑔(𝑥) ≠ 0,

entonces:

𝐹′(𝑥) =𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=06QNxG0W_to y https://www.youtube.com/watch?v=JZbBJJrwZmc

4.7.3. ACTIVIDAD N 7

1. Describa todos los elementos que se exponen en la gráfica.

Por ejemplo: ¿cuál es la gráfica de la función? ¿Cuál es la recta secante? ¿Qué representa la pendiente de la recta secante? ¿Qué coordenadas tiene los puntos donde corta la recta con la función? ¿Qué representa el segmento horizontal b-a? ¿Qué representa el segmento vertical 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)?

Figura 13 https://www.youtube.com/watch?v=JZbBJJrwZmc Figura 12 https://www.youtube.com/watch?v=06QNxG0W_to

https://www.youtube.com/watch?v=06QNxG0W_to

https://www.youtube.com/watch?v=JZbBJJrwZmc


https://www.youtube.com/watch?v=JZbBJJrwZmc





2. Observe nuevamente la gráfica, y ahora comience a aproximar a 𝑏 hacia 𝑎, lo más cerca posible sin que llegue a ocupar la posición de

a. ¿Qué sucede con los valores de la función para 𝑓(𝑏) y 𝑓(𝑎)? b. ¿Qué sucede con la recta secante? c. Cuando se aproxima 𝑏 hacia a 𝑎 ¿a que tiende el valor 𝑏 − 𝑎? d. ¿a qué tiene del valor de 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)?

3. Relacione lo analizado en el reto anterior con lo visto al inicio de esta guía ¿Cómo puedo reescribir todo el análisis hecho anteriormente por medio de una sola expresión matemática?

Esa expresión que ha logrado definir se llama la TASA DE VARIACIÓN INSTANTANEA, la cual nos permite calcular la tasa de variación de una función en un instante dado (¿Qué significa lo anterior?)

Determina la tasa de variación instantánea de cada función en el valor indicado.

a. 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 9 en 𝑥 = −1.5; ¿Qué significa el resultado obtenido?

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥 en 𝑥 = 2 ¿Qué significa el resultado obtenido?

4. Observa el video sobre derivadas: https://www.youtube.com/watch?v=AzTGmJGIpI8.

Figura 14 https://www.youtube.com/watch?v=AzTGmJGIpI8

Posteriormente responde:

a. ¿Qué es una función? ¿Para qué sirven? b. ¿Qué es la derivada? Menciona dos ejemplos. c. Determina la derivada de cada función:

Gráfico 14

https://www.youtube.com/watch?v=AzTGmJGIpI8






• 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 6. • 𝑟(𝑥) = 𝑥4 + 1

• 𝑔(𝑥) =1

𝑥2

• ℎ(𝑥) = √𝑥2

• 𝑗(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 1

5. La derivada de una función se puede evaluar para puntos “x”. Para hacer esto, simplemente se cambia la variable “x” por el valor que sea de interés para estudiar la derivada. A manera de ejemplo, calcule la derivada de las funciones anteriores en el punto x=27.

4.7.4. RECTA TANGENTE Luego de hacer un estudio muy interesante sobre los límites y las derivadas de funciones, vamos a realizar una de las aplicaciones más importantes de estos conceptos: la formulación general de la pendiente de la recta tangente en un punto sobre una función. Entonces, definimos la pendiente de la recta tangente a la curva (o a la función) 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto

(𝑎, 𝑓(𝑎)) como 𝑚 = 𝑓’(𝑎), o en otras palabras, la pendiente en el punto (𝑎, 𝑓(𝑎)) corresponde a la DERIVADA de la función en el punto 𝑥 = 𝑎, siempre y cuando este valor exista. La ecuación de la recta tangente será definida como:

𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).

4.7.5. RECTA NORMAL

La recta NORMAL a la curva de una función en un punto dado es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto. Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=k7JHdBZVCdw

Figura 15 https://www.youtube.com/watch?v=k7JHdBZVCdw


1. Explique cómo se deduce la formula anterior.

2. Determine la recta tangente a la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 3𝑥 en el punto (−1,1). Luego realiza la representación gráfica.

3. Determinar el punto de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 para la cual la ecuación de la recta tangente es el punto 𝑦 = −4𝑥 − 3.

4. Determine la recta normal a la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 3𝑥 en el punto (−1,1). Luego realiza la

representación gráfica.

https://www.youtube.com/watch?v=k7JHdBZVCdw






4.8. CONICAS

Las cónicas son las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la intersección de un cono con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el ángulo de inclinación del plano, que denotamos por ß, podemos encontrarnos con las siguientes figuras: una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor inclinación. Estudiemos a continuación una a una las características más importantes de la elipse e hipérbola.

Figura 16

4.8.1. ELIPSE

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) del plano cartesiano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es constante. Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=P-PhOy9F7Sg

Figura 17 https://www.youtube.com/watch?v=P-PhOy9F7Sg

https://www.youtube.com/watch?v=P-PhOy9F7Sg






4.8.1.1. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE:

Focos: puntos fijos del plano F1 y F2

Eje focal o eje principal: recta a la que pertenecen los dos focos Centro: punto medio C del segmento cuyos puntos extremos son los focos Eje normal o secundario: recta perpendicular al eje focal, que pasa por el centro de la elipse. Vértices: Puntos de intersección V1 y V2 de la elipse con el eje focal. Eje mayor: Segmento del eje focal que une los vértices. Eje menor: segmento cuyos puntos externos B1 y B2 son los puntos de intersección de la elipse con el eje normal. Lado recto: Segmento perpendicular al eje focal que pasa por uno de los focos y que une a dos puntos L y R de la elipse.

4.8.1.2. ECUACIÓNES CANÓNICAS DE LA ELIPSE CON CENTRO 𝑪(𝟎, 𝟎)

La ecuación canónica de una elipse, con centro 𝐶(0,0), focos

𝐹1(−𝑐, 0) y 𝐹2(𝑐, 0) ,vértices 𝑣1(−𝑎, 0) y 𝑣2(𝑎, 0) y puntos de

corte con el eje normal 𝐵1(0, −𝑏) y 𝐵2(0, 𝑏), es: 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Donde 𝑎, 𝑏 son números reales positivos, 𝑏 < 𝑎 y 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

La ecuación canónica de una elipse, con centro 𝐶(0,0), focos 𝐹1(0, −𝑐) y

𝐹2(0, 𝑐) ,vértices 𝑣1(0, −𝑎) y 𝑣2(0, 𝑎) y puntos de corte con el eje normal

focos 𝐵1(−𝑏, 0) y 𝐵2(𝑏, 0), es: 𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Donde 𝑎, 𝑏 son números reales positivos, 𝑏 < 𝑎 y 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

LADO RECTOY E

4.8.1.3. LADO RECTO Y EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE: Para las elipses con centro ( 0, 0) se cumple que:

• La longitud del eje mayor es 2a

• La longitud del eje menor es 2b

• La distancia a, b, c se relacionan mediante la fórmula 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, donde a>b

• La longitud de cada lado recto es 2𝑏2

𝑎

• La excentricidad se define como 𝑒 =𝑐

𝑎=

√𝑎2−𝑏2

𝑎, este valor siempre es mayor o igual a 0 y

menor que 1, entre mayor sea c de a, más lejos estarán los focos del centro de la elipse. Si la excentricidad es 0, entonces la elipse es una circunferencia.

Ejemplo: Bosquejar la gráfica de la elipse 𝑦2

16+

𝑥2

9= 1

Gráfico 15

Gráfico 17

Gráfico 16




Para bosquejar la gráfica de la ecuación de la ecuación de la elipse dada, es necesario obtener sus elementos, sabiendo que se trata de una elipse con centro en el 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑐(0,0) y eje mayor coincidiendo con

el eje 𝑦 𝑎2 = 16 ⟹ 𝑎 = 4

𝑏2 = 9 ⟹ 𝑏 = 3

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ⟹ 𝑐 = √16 − 9 = √7 ≈ 2,6

𝐹1(0, −√7) y 𝐹2(0, √7) 𝐴 = 𝑣1(0,4) y 𝐴 = 𝑣2(0, −4)

𝐵1(−3,0) y 𝐵2(3,0)9

𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎=

2 ∙ 9

4=

9

2

𝑒 =𝑐

𝑎=

√7

4≈ 0,66

Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=bxv6gmYa7JE

Gráfico 19 https://www.youtube.com/watch?v=bxv6gmYa7JE

4.8.1.4. ACTIVIDAD N° 9

1. Completa los espacios a partir de cada gráfica

2. Determina para cada elipse los vértices, los focos y los puntos de corte con el eje normal. Luego, traza su gráfica

a. 𝑥2

9+

𝑦2

16= 1

b. 𝑥2

49+

𝑦2

36= 1

Gráfico 18

https://www.youtube.com/watch?v=bxv6gmYa7JE






c. 𝑥2

7+

𝑦2

4= 1

d. 𝑥2

4+ 𝑦2 = 1

4.8.1.5. ECUACIÓNES CANÓNICAS DE LA ELIPSE CON CENTRO 𝑪 (𝒉, 𝒌):

4.8.1.5.1. CUANDO ES PARALELA AL EJE X: La ecuación canónica cuando tienen centro c(h,k) y eje focal paralelo al eje x es:

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

donde a>b>0 y 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

ELEMENTOS: Centro: (h,k) Focos: F1(h-c, k) y F2(h+c, k) Vértices: V1(h-a, k) y V2(h+a, k) Puntos de corte con el eje normal: B1(h, k-b) y B2(h, k+b) La longitud del eje mayor es 2a La longitud del eje menor es 2b Eje focal: y=k

Longitud del lado recto: 2𝑏2

𝑎

4.8.1.5.2. CUANDO ES PARALELA AL EJE Y:

La ecuación canónica cuando tienen centro c(h,k) y eje focal paralelo al eje x es:

(𝑥 − ℎ)2

𝑏2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑎2= 1

donde a>b>0 y 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

ELEMENTOS: Centro: (h,k) Focos: F1(h, k-c) y F2(h, k-c) Vértices: V1(h, k-a) y V2(h, k+a) Puntos de corte con el eje normal: B1(h-b, k) y B2(h+b, k) La longitud del eje mayor es 2a La longitud del eje menor es 2b Eje focal: x=h

Longitud del lado recto: 2𝑏2

𝑎

Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=NdBQeUVRtYI

Gráfico 20

Gráfico 21

https://www.youtube.com/watch?v=NdBQeUVRtYI




Figura 18 https://www.youtube.com/watch?v=NdBQeUVRtYI

4.8.1.5.3. ACTIVIDAD N° 10

1. Encuentra la ecuación canónica de cada elipse. Determina sus elementos

Gráfico 22

2. Realiza la gráfica de cada una de las siguientes elipses:

a. (𝑥+1)2

36+

(𝑦+3)2

25= 1

b. (𝑥 − 3)2 +(𝑦−3)2

16= 1

3. A los puntos M y N de una pared se han fijado los

extremos de una cuerda, a la que, con una argolla, está sujeto un perro muy peligroso. a. Encuentra la ecuación que describa el alcance

máximo de desplazamiento del perro b. ¿Cuál es la distancia máxima que puede

separarse el perro de la pared?

4. Un planeta describe una trayectoria elíptica alrededor de otro cuerpo celeste que se ubica en uno d ellos focos. El eje mayor de la elipse mide 2,9 × 106 km y la excentricidad es

aproximadamente 1

70.

a. ¿Cuál es la longitud del eje menor de la trayectoria? b. Determina la menor y la mayor distancia posible entre ambos cuerpos

4.8.2. LA HIPÉRBOLA

la hipérbola se obtiene al realizar la intersección de una superficie cónica y un plano oblicuo al eje, pero en este caso, el ángulo de inclinación tiene que ser más pequeño que el que forman el eje y la generatriz. Como ya hemos dicho en el caso anterior, también es una curva abierta. La hipérbola consta de dos ramas separadas, de tal forma que tiene dos asíntotas.

Figura 19






Es el lugar geométrico de los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) del plano cartesiano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante. Según la definición de hipérbola se cumple que |𝑑(𝐹1, 𝑃) − 𝑑(𝐹2, 𝑃)| = 2𝑎, donde a es un número real positivo. Observa el video: https://www.youtube.com/watch?v=Se7nSqmYUJE

Figura 20 https://www.youtube.com/watch?v=Se7nSqmYUJE

4.8.2.1. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

Focos: puntos fijos del plano 𝐹1 y 𝐹2 Eje focal: recta que pasa por los dos focos Vértices: puntos de la hipérbola que están sobre el eje focal 𝑉1 y 𝑉2 Eje transverso: Segmento cuyos extremos son los vértices de la

hipérbola. Centro: punto medio C del eje transverso Eje normal: Recta perpendicular al eje focal que para por el centro

de la hipérbola. Eje conjugado: Segmento perpendicular al eje transverso que pasa

por el centro de la hipérbola; sus puntos extremos son 𝐵1 y 𝐵2 Asíntotas: Dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola, las

cuales se aproximan a las ramas de la hipérbola sin tocarla y se extienden indefinidamente.

Lado recto: segmento perpendicular al eje focal que pasa por un punto de los focos y que une a dos puntos de la hipérbola

4.8.2.2. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (0,0) Cuando el eje focal es el eje x:

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

Cuando el eje focal es el eje y: 𝑦2

𝑎2−

𝑥2

𝑏2−= 1

Gráfico 23

Gráfico 24

https://www.youtube.com/watch?v=Se7nSqmYUJE






Tabla 9

Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=ZM207ZFD_4Q

Figura 21 https://www.youtube.com/watch?v=ZM207ZFD_4Q

4.8.2.3. ACTIVIDAD N° 11

1. Halla la ecuación de la hipérbola a partir de su gráfica. Luego, determina sus vértices, focos, asíntotas y las longitudes de los ejes transverso y conjugado

Gráfico 25

2. Determina los focos, los vértices, la excentricidad y las longitudes de los ejes transverso y conjugado de cada hipérbola. Luego, construye su gráfica.

a. 𝑥2

4−

𝑦2

1= 1

b. 𝑥2

9−

𝑦2

4= 1

https://www.youtube.com/watch?v=ZM207ZFD_4Q






c. 𝑦2

25−

𝑥2

16−= 1

d. 𝑦2

9−

𝑥2

16−= 1

4.8.2.4. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO (𝒉, 𝒌)

4.8.2.4.1. CUANDO EL EJE FOCAL ES PARALELO AL EJE X: (x − h)2

a2−

(y − k)2

b2= 1

donde a, b, c son números reales positivos 𝑐 > 𝑎 y 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Focos: F1(h-c, k) y F2(h+c, k) Vértices: V1(h-a, k) y V2(h+a, k) La longitud del eje transverso es 2a La longitud del eje conjugado es 2b

Asíntotas 𝑦 − 𝑘 =𝑏

𝑎(𝑥 − ℎ) y 𝑦 − 𝑘 = −

𝑏

𝑎(𝑥 − ℎ)

4.8.2.4.2. CUANDO EL EJE FOCAL ES PARALELO AL EJE Y:

(y − k)2

a2−

(x − h)2

b2= 1

donde a, b, c son números reales positivos 𝑐 > 𝑎 y 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Focos: F1(h, k-c) y F2(h, k+c) Vértices: V1(h, k-a) y V2(h, k+a) La longitud del eje transverso es 2a La longitud del eje conjugado es 2b

Asíntotas 𝑦 − 𝑘 =𝑎

𝑏(𝑥 − ℎ) y 𝑦 − 𝑘 = −

𝑎

𝑏(𝑥 − ℎ)

Observa el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=5A8_lhmzU98

Figura 22 https://www.youtube.com/watch?v=5A8_lhmzU98

4.8.2.4.3. ACTIVIDAD N° 12

1. Indica en la siguiente gráfica las coordenadas de los vértices, las de los focos, el eje transverso,

el eje conjugado y las ecuaciones de las asíntotas.

Gráfico 26

Gráfico 27

https://www.youtube.com/watch?v=5A8_lhmzU98






2. Determina los focos, los vértices, el eje transverso, el eje conjugado, las asíntotas, y la ecuación

canónica de cada hipérbola a partir de sus gráficas

Gráfico 29

3. Escribe cuál es el centro, los focos, los vértices y las asíntotas de cada hipérbola. Luego, traza su gráfica.

a. (𝑥+2)2

4−

(𝑦−3)2

1= 1

b. (𝑥+1)2

9−

(𝑦+1)2

4= 1

c. (𝑦−4)2

25−

(𝑥−4)2

16= 1

d. (𝑦−5)2

9−

(𝑥+3)2

16= 1

4.9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial. Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener 2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra variable aleatoria.

Gráfico 28

Gráfico 30




4.9.1. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

- Consiste en una sucesión de n intentos o ensayos idénticos. - En cada intento son posibles dos resultados, uno será el éxito y otro el fracaso. - La probabilidad de éxito, representada por p, no cambia de un intento a otro, en consecuencia,

la probabilidad de fracaso, representada por 1 – p, no cambia de un intento a otro. - Los ensayos o intentos son independientes.

4.9.2. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La función se define así:

𝒇(𝑿) = (𝒏

𝒙) 𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)(𝒏−𝒙)

Dónde: - f(x): probabilidad de x éxitos en n intentos.

- (𝑛𝑥

) =𝑛!

(𝑛−𝑥)!𝑥!

- p: probabilidad de éxito en cualquier intento - 1-p: probabilidad de fracaso en cualquier intento.

Ver el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=EisaSQ1j_Kk

Ejemplo 1: Identificar las características del siguiente experimento y determinar si es binomial Una moneda se lanza cinco veces al aire y en cada lanzamiento se observa si el lado visible es cara o sello. Suponer que para este caso interesa contar la cantidad de sellos que aparecen en los cinco lanzamientos. Se deben examinar las cuatro propiedades.

- El experimento consiste en cinco intentos idénticos, así que n=5

- Son posibles dos resultados, cara o sello. El sello será el éxito y la cara será el fracaso.

- La probabilidad de que caiga sello no cambia en los lanzamientos (p=0.5)

- Cada lanzamiento es independiente pues el resultado de uno no influye en el otro.

En conclusión, el experimento si es binomial.

https://www.youtube.com/watch?v=EisaSQ1j_Kk




Figura 23 https://www.youtube.com/watch?v=EisaSQ1j_Kk

NOTA: Realizar una tabla en Excel para poder realizar la gráfica. https://www.youtube.com/watch?v=TXeex5zCLk0 ver el siguiente enlace como consulta y tutorial. 4.9.3. ACTIVIDAD N° 13 1. Dado un experimento binomial con dos intentos conocidos y 𝑝 = 0,4

a. Elabora el diagrama de árbol que representa este experimento.

b. Calcula la probabilidad de un éxito.

c. Determina 𝑓(0)

d. Calcula 𝑓(2) e. Determina la probabilidad de al menos un éxito

2. Dado un experimento binomial con 𝑛 = 20 y 𝑝 = 0,7

Ejemplo 2: El 90% de las personas que se han postulado para un crédito educativo lo han obtenido, si en la semana anterior se han presentado seis postulaciones para créditos educativos:

a. Hallar la probabilidad de que cuatro de los créditos sean otorgados. n=6 x=4 p = 90% 1-p = 10%

𝒇(𝑿) = (𝟔

𝟒) 𝟎. 𝟗𝟒(𝟏 − 𝟎. 𝟗)(𝟔−𝟒) = 𝟎. 𝟎𝟗𝟖𝟒

Es decir 9.84 % es la probabilidad de que sean otorgados 4 créditos REALIZAR LOS PUNTOS B Y C COMO TALLER.

b. Hallar la probabilidad de que se otorguen entre dos y cuatro créditos

c. Hallar la probabilidad de que otorguen al menos dos créditos.

Gráfico 31


https://www.youtube.com/watch?v=TXeex5zCLk0





a. Encuentra 𝑓(12)

b. Calcula 𝑓(16)

c. Determina 𝑃(𝑋 ≥ 16)

d. Halla 𝑃(𝑋 ≤ 15)

e. Encuentra los valores 𝜇, 𝜎2, 𝜎

4.9.4. USO DE TABLAS DE PROBABILIDAD BINOMIAL En las tablas se trabajan tres valores: x, p y n. Se debe identificar primero dichos valores. Por ejemplo, en el anterior ejercicio en el literal a; n = 6, p = 0.9 y x = 4. Si buscamos en la tabla para estos valores obtenemos una probabilidad de: P = 0.0984 = 9.84 % Lo mismo que habíamos obtenido matemáticamente. Ver el video: https://www.youtube.com/watch?v=14hrsMLTOPk

Figura 24 https://www.youtube.com/watch?v=14hrsMLTOPk

En el link puedes descargar e imprimir las tablas: http://www.um.edu.ar/math/estadis/TD2_BinomialAcumulada.pdf 4.9.5. ACTIVIDAD N° 14

1. La probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10

atm de presión es de 0,4. Si se prueban 12 tubos de ese tipo y con esas mismas condiciones:

a. Determina la probabilidad de que el vapor se condense en cuatro de los tubos

b. Encuentra la probabilidad de que el vapor se condense en más de dos tubos

c. Halla la probabilidad de que el vapor se condense en exactamente cinco tubos.

2. Se dice que el 75% de los accidentes en una planta procesadora de piezas industriales se

atribuyen a errores humano. Si en un período de tiempo se presentan 5 accidentes:

a. Determina la probabilidad de que dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos.

b. Encuentra la probabilidad de que como máximo un accidente se atribuya a un error de tipo

humano.

c. Halla la probabilidad de que dos de los accidentes no se deban a errores humanos.

https://www.youtube.com/watch?v=14hrsMLTOPk


http://www.um.edu.ar/math/estadis/TD2_BinomialAcumulada.pdf





4.10. VALOR ESPERADO Y VARIANZA El valor esperado es:

𝑬(𝑿) = 𝒏. 𝒑 Y la varianza:

𝝈𝟐 = 𝒏. 𝒑. (𝟏 − 𝒑) Ejemplo: El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algún defecto. Se empaquetan en caja de 80 pantalones para diferentes tiendas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja haya entre 8 y 10 pantalones defectuosos? Solución: Sea X = "número de pantalones defectuosos en una caja" Se trata de una distribución

binomial (los pantalones son o no son defectuosos), es decir, una binomial con n 80 = y p 0,07 = : b (80, 0,07), donde:


1. En una cosecha de sandías, el 15% no son de tipo exportación. Un recolector selecciona 6

sandías para determinar si son o no de tipo exportación.

a. Construye el histograma de probabilidades de la variable aleatoria número de sandías

tipo exportación en una muestra de seis

b. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las sandías sean tipo exportación?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una no sea de tipo exportación?

2. La facultad de psicología de una universidad reportó que 20% de sus estudiantes cancelan el

curso de estadística a mitad de semestre. Para el presente semestre se inscribieron 20 alumnos

para cursar esta materia:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o menos las

cancelen a mitad de semestre?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la cancelen

exactamente cuatro estudiantes?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la cancelen más de

siete estudiantes?

d. Para este semestre, ¿cuántos estudiantes se espera

que cancelen estadística?

Figura 25




5. EVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN:

REJILLA DE EVALUACIÓN Y

RETROALIMENTACIÓN

Estratégico Superior (95-100)

Autónomo Alto (80-94)

Resolutivo Básico (70-79)

Pre-formal o Receptivo

Bajo (10-69)

Valoración

Planificación del Trabajo / Puntualidad

Realiza uso adecuado de materiales y

recursos disponibles, de acuerdo con el procedimiento y

plazo establecidos.

Usa materiales y recursos

disponibles, de acuerdo con el procedimiento y

plazo establecidos.


disponibles con cierta dificultad, pero se ajusta al

plazo establecido.


disponibles con dificultad, sin ajustarse al

plazo establecido.

Responsabilidad

Asume responsabilidades y comprende las de los demás, valorando el

esfuerzo individual y colectivo.

Asume y comprende

responsabilidades, reconociendo el


Asume y comprende

responsabilidades con dificultad, reconociendo el


Elude responsabilidad

es y tiene dificultad para reconocer el


Participación / Actitud

Forma parte activa y armónica de la dinámica grupal,

generando propuestas que

mejoran el aprendizaje cooperativo.

Forma parte de la dinámica grupal,

generando propuestas que


Forma parte de la dinámica

grupal y realiza con dificultad

propuestas que mejoran el aprendizaje cooperativo.

Con dificultad forma parte de

la dinámica grupal, sin

realizar propuestas que


Habilidades Sociales

Interactúa con empatía y

autocontrol, manteniendo

actitud de respeto hacia otros puntos

de vista y utilizando diferentes

habilidades sociales que

contribuyen al desarrollo de actividades.

Interactúa con empatía y

autocontrol, manteniendo

actitud de respeto hacia otros puntos

de vista, lo que contribuye al desarrollo de actividades.

Interactúa con actitud de

respeto hacia otros puntos de

vista, lo que contribuye al desarrollo de actividades.

Interactúa con dificultad durante el

desarrollo de actividades.

Generación y Presentación de

Evidencias

Contribuye de manera activa al

alcance de metas, responsabilizándose de sus aportes en la presentación y sustentación de

evidencias.

Contribuye al alcance de metas, responsabilizándose de sus aportes en la presentación y sustentación de

evidencias.

Contribuye al alcance de

metas, pero con dificultad se

responsabiliza de sus aportes

en la presentación y sustentación de

evidencias.

Con dificultad contribuye al alcance de metas, sin

responsabilizarse de sus aportes

en la presentación y sustentación de

evidencias.

Observaciones y/o Sugerencias: ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




6. BIBLIOGRAFIA Y/Ò WEBGRAFÌA

• http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas/teoria/tvm.html

• https://www.youtube.com/watch?v=R2D8SuRjtnQ

• http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-continuas-discontinuas/

• Matemáticas 11, Proyecto los Caminos del Saber, Santillana. Bogotá, 2013.

• Cálculo, trascendentes tempranas, cuarta edición. Mc Graw Hill, 2011.

• http://colegiosarquidiocesanos.edu.co/guias/estadistica/09.pdf

• http://www.iedricaurtevirtual.com/guias/est5iii.pdf

• https://matematica.laguia2000.com/general/las-conicas

http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas/teoria/tvm.html

http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas/teoria/tvm.html

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http://colegiosarquidiocesanos.edu.co/guias/estadistica/09.pdf

https://matematica.laguia2000.com/general/las-conicas

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